第一章 三角形（六大考点+五大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材苏科版八年级上册

该初中数学三角形单元知识清单系统梳理了三角形章节核心内容，涵盖三角形的线段与角、边角关系、全等三角形、垂直平分线与角平分线、等腰三角形等知识范畴，搭建了从概念定义到性质定理再到判定应用的递进式学习支架。 清单以“知识点+易错点”双模块构建知识体系，知识点分条呈现确保完整性，易错点设“易错提醒”如“验证三边关系只需较短两边和大于最长边”，并配“对点训练”培养推理能力与应用意识。特色设计帮助学生精准突破难点，教师可据此优化教学，提升学习效率。

第一章 三角形 知识点一·三角形中的线段和角 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 三角形的表示：用符号 “△” 表示，顶点为 A、B、C 的三角形记作 “△ABC”，读作 “三角形 ABC”。 三角形的三要素：三条边、三个内角、三个顶点。 三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 三角形三条重要线段： 高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫三角形的高。 中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫三角形的中线；中线把三角形分成面积相等的两部分。 角平分线：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线。 三角形分类： 按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 按边分类：不等边三角形、等腰三角形（等边三角形是特殊的等腰三角形）。 知识点二·三角形的边角关系 三边关系：三角形任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边。 内角和定理：三角形三个内角的和等于180 ∘ 外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角。 知识点三·全等三角形 全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 全等的表示：符号 “≌”，记全等三角形时，对应顶点写在对应位置。 对应元素：对应顶点、对应边、对应角。 全等三角形性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；周长相等，面积相等。 知识点四·全等三角形的判定 SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。 SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。 ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。 AAS（角角边）：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 HL（斜边直角边）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 注意：SSA、AAA 不能判定两个三角形全等。 知识点五·线段垂直平分线与角平分线 1.线段垂直平分线 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 逆定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 2.角平分线 性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。 逆定理：角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 知识点六·等腰三角形 1.等腰三角形性质 等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。 三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 2.等腰三角形判定：等角对等边。 等边三角形：三边相等，三个内角都等于60°，具备等腰三角形全部性质 易错点1·三角形三边关系的应用 易错提醒 1.判断三条线段能否组成三角形时，只需验证较短两边之和大于最长边即可，不需要逐一验证三组不等式。 2.已知两边长求第三边范围时，第三边大于两边之差且小于两边之和，注意差取绝对值。 3.等腰三角形已知两边求周长时，必须分类讨论哪条边是腰，并逐一验证是否满足三边关系，防止漏解或多解。 【对点训练】1．为估计池塘两岸，间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么，间的距离可能是（     ） A． B． C． D． 【对点训练】2．已知三角形的两边长分别为3和5，则第三条边的长可能是（     ） A．2 B．5 C．8 D．9 【对点训练】3．已知三角形的三边长分别为，若为奇数，则这样的三角形有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 易错点2·三角形外角概念与性质 易错提醒 1.外角定义：是一边与另一边的延长线组成的角，不是三角形外面任意一个角。 2.外角性质：外角等于不相邻两个内角之和，容易错误算成 “等于任意两个内角和” 【对点训练】1．如图，，，三点共线，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【对点训练】2．如图，在中，点是延长线上一点，是内部一条射线，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【对点训练】3．将一副三角板按如图所示的方法摆放，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为，则图中的度数为（   ） A．C B． C． D． 易错点3·全等三角形书写与判定误区 易错提醒 1. 书写全等，对应顶点必须按顺序写，顺序错对应边角就错。 2. SSA、AAA不能证明三角形全等，是高频错误；两边一角必须是夹角 (SAS)。 3. HL 只适用于直角三角形，普通三角形不能用 HL 判定 【对点训练】1．如图，若，则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【对点训练】2．如图，，，再添加一个条件，使得，所添加的条件不正确的是（   ）． A． B． C． D． 【对点训练】3．如图，已知，添加下列一个条件后，能判定的是（   ） ①；② ；③；④． A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 易错点4·线段垂直平分线、角平分线混淆 易错提醒 1. 垂直平分线：点到线段两个端点距离相等； 2. 角平分线：点到角的两条边（垂线段）距离相等 【对点训练】1．到三角形各边距离相等的点是（     ） A．三条中线的交点 B．三角形三条高所在的直线的交点 C．三条内角平分线的交点 D．三角形三条边的垂直平分线的交点 【对点训练】2．如图，在中，平分交于点，，垂足为，的面积为5，则的长为（     ） A．2 B．3 C． D． 【对点训练】3．如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为（     ） A．25 B．20 C．15 D．10 易错点5·等腰三角形 “三线合一” 易错提醒 1.三线合一只在等腰三角形（等边三角形）成立，普通三角形没有三线合一。 2.“三线” 指：顶角平分线、底边上中线、底边上的高；不是任意角、任意边上的线，腰上的高、中线不与角平分线重合。 3.等腰三角形题目没有说明顶角底角，要分类讨论顶角为锐角、钝角两种情况。 【对点训练】1．“红砖古厝，雕梁画栋，闽南建筑瑰宝，蔡氏古民居传文脉”．如图，南安蔡氏古民居的红砖墙图案可看作等腰三角形，点是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（　　） A． B． C． D． 【对点训练】2．如图，在中，，平分，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【对点训练】3．如图，在中，，，则___________． 1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（     ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 2．如图，在中，，，点D，E分别在边，上，延长至点F，若，则的度数为（　　）     A． B． C． D． 3．如图，点A，B，D，E在同一条直线上，，，；则的长是（   ） A．3 B． C．4 D．5 4．如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明的依据是（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知，添加下列条件仍不能判定的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，，按下列步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点；②作直线交于点；③连接．则的周长为（     ） A．9 B．10 C．11 D．12 7．如图，在中，是的角平分线，，若，，则的长度为（    ） A．3 B．2 C．6 D．12 8．陕西省某景区规划在一片三角形草坪上修建一座以兵马俑为主题的观景台，如图所示，要求观景台到三角形草坪三个顶点的距离相等，则观景台应建在（   ） A．三条高线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条边的垂直平分线的交点处 D．三条角平分线的交点处 9．景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若，于点，，则的长为（  ） A．10 B．11 C．12 D．13 25．如图，在中，，，，则的长为________． 10．已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，且c为奇数，求的周长； (2)化简：． 11．如图，在中，，，点D为直线上方一点，且，， (1)求证： (2)若，，求的长． 12．已知，在四边形中，对角线平分，，求证：． (1)小明说他可以用截长的方法解决，如图①，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，请按小明的思路进行证明． (2)小刚说他用补短的方法也可以证明，如图②，延长到，使，连接请按小刚的思路进行证明． (3)如图③，在四边形中，对角线平分，，，过点作，垂足为点，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 13．在学习“三线合一”时罗老师在课堂上进行了探究式教学． (1)【问题原型】定理：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合． ①如图，在中，，平分，根据图用几何语言写出该定理： ∵，平分， ∴______，______． ②如图，在中，，，的周长为，的周长为，求的长； (2)【问题提出】罗老师提出：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？经过小组合作探究后罗老师发现乐乐同学有以下解题思路，请完成命题的证明． 已知：如图，在中，平分，且点是的中点，过点分别作的垂线，垂足分别为．求证：． 4 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 三角形 知识点一·三角形中的线段和角 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 三角形的表示：用符号 “△” 表示，顶点为 A、B、C 的三角形记作 “△ABC”，读作 “三角形 ABC”。 三角形的三要素：三条边、三个内角、三个顶点。 三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 三角形三条重要线段： 高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫三角形的高。 中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫三角形的中线；中线把三角形分成面积相等的两部分。 角平分线：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线。 三角形分类： 按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 按边分类：不等边三角形、等腰三角形（等边三角形是特殊的等腰三角形）。 知识点二·三角形的边角关系 三边关系：三角形任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边。 内角和定理：三角形三个内角的和等于180 ∘ 外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角。 知识点三·全等三角形 全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 全等的表示：符号 “≌”，记全等三角形时，对应顶点写在对应位置。 对应元素：对应顶点、对应边、对应角。 全等三角形性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；周长相等，面积相等。 知识点四·全等三角形的判定 SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。 SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。 ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。 AAS（角角边）：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 HL（斜边直角边）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 注意：SSA、AAA 不能判定两个三角形全等。 知识点五·线段垂直平分线与角平分线 1.线段垂直平分线 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 逆定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 2.角平分线 性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。 逆定理：角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 知识点六·等腰三角形 1.等腰三角形性质 等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。 三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 2.等腰三角形判定：等角对等边。 等边三角形：三边相等，三个内角都等于60°，具备等腰三角形全部性质 易错点1·三角形三边关系的应用 易错提醒 1.判断三条线段能否组成三角形时，只需验证较短两边之和大于最长边即可，不需要逐一验证三组不等式。 2.已知两边长求第三边范围时，第三边大于两边之差且小于两边之和，注意差取绝对值。 3.等腰三角形已知两边求周长时，必须分类讨论哪条边是腰，并逐一验证是否满足三边关系，防止漏解或多解。 【对点训练】1．为估计池塘两岸，间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么，间的距离可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：连接， 在中， ∴，即， 解得， 只有在范围内． 【对点训练】2．已知三角形的两边长分别为3和5，则第三条边的长可能是（     ） A．2 B．5 C．8 D．9 【答案】B 【详解】解：设第三条边的长为，根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． ∵ 已知三角形两边长分别为和， ∴ ，即 ， 对比选项可知，只有在该范围内，2、8、9都不在该范围内， 故第三条边的长可能是5． 【对点训练】3．已知三角形的三边长分别为，若为奇数，则这样的三角形有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】利用三角形三边关系求出的取值范围，再结合为正奇数确定符合条件的的个数，即可得到答案． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为，，， 根据三角形三边关系可得，， 整理得， ∵为奇数， ∴满足条件的奇数只有，共个，即这样的三角形有个． 易错点2·三角形外角概念与性质 易错提醒 1.外角定义：是一边与另一边的延长线组成的角，不是三角形外面任意一个角。 2.外角性质：外角等于不相邻两个内角之和，容易错误算成 “等于任意两个内角和” 【对点训练】1．如图，，，三点共线，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的外角性质，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，进行求解即可． 【详解】解：∵，，是的一个外角， ∴， 故选：A． 【对点训练】2．如图，在中，点是延长线上一点，是内部一条射线，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的外角，解题的关键是掌握三角形的外角，即，根据，等量代换，即可． 【详解】解：∵，， ∴． 【对点训练】3．将一副三角板按如图所示的方法摆放，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为，则图中的度数为（   ） A．C B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的外角性质结合三角板的度数求解即可． 【详解】解：如图，，，， ∴， ∴， 故选C 易错点3·全等三角形书写与判定误区 易错提醒 1. 书写全等，对应顶点必须按顺序写，顺序错对应边角就错。 2. SSA、AAA不能证明三角形全等，是高频错误；两边一角必须是夹角 (SAS)。 3. HL 只适用于直角三角形，普通三角形不能用 HL 判定 【对点训练】1．如图，若，则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：， ，，，，， 故A，B，C选项错误，D选项正确， 故选：D． 【对点训练】2．如图，，，再添加一个条件，使得，所添加的条件不正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知，，对照全等三角形判定定理逐一判断条件能不能证明；两边及其中一边的对角相等不能判定三角形全等． 【详解】解：已知：，， 选项A：，，，属于两边和其中一边的对角对应相等，不能判定，故此选项错误． 选项B：， ， 在和中， ， ，故此选项正确． 选项C：和都是直角三角形， 在和中， ， ，故此选项正确． 选项D：在和中， ， ，故此选项正确． 【对点训练】3．如图，已知，添加下列一个条件后，能判定的是（   ） ①；② ；③；④． A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据三角形判定方法对各个选项依次分析，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：，， ①若添加，满足“边边边”，可证明； ② 若添加，满足“边角边”，可证明； ③若添加，满足“斜边直角边”，可证明； ④若添加，满足“边边角”，无法证明； 综上所述，能判定的是①②③． 故选：A 易错点4·线段垂直平分线、角平分线混淆 易错提醒 1. 垂直平分线：点到线段两个端点距离相等； 2. 角平分线：点到角的两条边（垂线段）距离相等 【对点训练】1．到三角形各边距离相等的点是（     ） A．三条中线的交点 B．三角形三条高所在的直线的交点 C．三条内角平分线的交点 D．三角形三条边的垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】由角平分线的判定定理求解即可． 【详解】解：∵到角两边距离相等的点在这个角的平分线上， ∴到三角形三边距离相等的点，同时在三角形三个内角的角平分线上， ∴满足题意的点是三角形三条内角平分线的交点． 【对点训练】2．如图，在中，平分交于点，，垂足为，的面积为5，则的长为（     ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先作，根据角平分线的性质定理得，再根据可得答案． 【详解】解：如图所示，过点D作，交于点F， ∵平分，， ∴． ∵， ∴, 解得． 【对点训练】3．如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为（     ） A．25 B．20 C．15 D．10 【答案】C 【分析】由线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点，交于点， ∴， ∴的周长． 易错点5·等腰三角形 “三线合一” 易错提醒 1.三线合一只在等腰三角形（等边三角形）成立，普通三角形没有三线合一。 2.“三线” 指：顶角平分线、底边上中线、底边上的高；不是任意角、任意边上的线，腰上的高、中线不与角平分线重合。 3.等腰三角形题目没有说明顶角底角，要分类讨论顶角为锐角、钝角两种情况。 【对点训练】1．“红砖古厝，雕梁画栋，闽南建筑瑰宝，蔡氏古民居传文脉”．如图，南安蔡氏古民居的红砖墙图案可看作等腰三角形，点是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三线合一定理，根据等腰三角形“三线合一”的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、∵，， ∴，即， 又∵， ∴是的角平分线，故此选项不符合题意； B、∵，， ∴是的角平分线，故此选项不符合题意； C、由和现有条件不能得到是的角平分线，故此选项符合题意； D、∵，， ∴是的角平分线，故此选项不符合题意； 故选：C． 【对点训练】2．如图，在中，，平分，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键；根据等腰三角形的三线合一进行求解即可． 【详解】解：∵，平分，， ∴． 故选：B． 【对点训练】3．如图，在中，，，则___________． 【答案】/度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解题关键是熟记等腰三角形三线合一的性质． 根据等腰三角形三线合一的性质得，由此即可解题． 【详解】解：在中，， ， ， ； 故答案为：． 1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（     ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】A 【分析】三角形中，任意两边之和大于第三边，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为、、的三条线段能组成三角形，故此选项符合题意； B、∵， ∴长为、、的三条线段不能组成三角形，故此选项不符合题意； C、∵， ∴长为、、的三条线段不能组成三角形，故此选项不符合题意； D、∵， ∴长为、、的三条线段不能组成三角形，故此选项不符合题意． 2．如图，在中，，，点D，E分别在边，上，延长至点F，若，则的度数为（　　）     A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质及三角形外角的性质是解题的关键．根据平行线的性质，可得，再利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：， ， ． 故选：D． 3．如图，点A，B，D，E在同一条直线上，，，；则的长是（   ） A．3 B． C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形对应边相等． 先根据三角形全等得到，再求得的长度即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 4．如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据作图方法可得，据此利用可证明，可知． 【详解】解：由作图方法可得， ∴， ∴， 即． 5．如图，已知，添加下列条件仍不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：添加条件，结合，，可利用证明，故A不符合题意； 添加条件，结合，，可利用证明，故B不符合题意； 添加条件，结合，，可利用证明，故C不符合题意； 添加条件，结合，，不可利用证明，故D符合题意； 6．如图，在中，，，，按下列步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点；②作直线交于点；③连接．则的周长为（     ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】根据作图步骤判断出是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质解答即可． 【详解】解：由作图步骤可知，直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长 ． 7．如图，在中，是的角平分线，，若，，则的长度为（    ） A．3 B．2 C．6 D．12 【答案】A 【分析】过点作于点，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得，再利用三角形面积公式即可求出的长． 【详解】解：过点作于点， 是的角平分线，，， ， ， ， ， ， ． 8．陕西省某景区规划在一片三角形草坪上修建一座以兵马俑为主题的观景台，如图所示，要求观景台到三角形草坪三个顶点的距离相等，则观景台应建在（   ） A．三条高线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条边的垂直平分线的交点处 D．三条角平分线的交点处 【答案】C 【分析】根据线段的垂直平分线的性质可得答案． 【详解】解：的三边的垂直平分线交于一点，且这一交点到三角形三个顶点的距离相等． ∴观景台应建在三条边的垂直平分线的交点处． 9．景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若，于点，，则的长为（  ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴． 25．如图，在中，，，，则的长为________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了等腰三角形的三线合一的性质．根据等腰三角形的性质得到即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：6 10．已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，且c为奇数，求的周长； (2)化简：． 【答案】(1)12 (2) 【分析】（1）根据三角形三边关系确定c的取值范围，再结合c是整数且为奇数确定其值，即可获得答案； （2）根据三角形三边关系可得，进而可得，然后进一步化简即可． 【详解】（1）解：由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∵c是整数，且为奇数， ∴， ∴的周长； （2）解：∵的三边长为a，b，c， ∴，，， ∴； 由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∴ ． 11．如图，在中，，，点D为直线上方一点，且，， (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：，，， ， ，， ， 在和中， ， ； (2) 【分析】（1）由题意易得，则有，然后根据全等三角形的判定定理可进行求证； （2）由（1）可知，，然后问题可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， ． 12．已知，在四边形中，对角线平分，，求证：． (1)小明说他可以用截长的方法解决，如图①，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，请按小明的思路进行证明． (2)小刚说他用补短的方法也可以证明，如图②，延长到，使，连接请按小刚的思路进行证明． (3)如图③，在四边形中，对角线平分，，，过点作，垂足为点，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明∶如图①，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴． (2)小刚的证明思路∶如图②，延长到，使，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (3)解∶；理由如下： 如图：作于M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即． 【分析】（1）小明的证明方法：证出，再证明可得，再利用等量代换即可证明结论； （2）小刚的证明方法：证出得出，再证明，再利用等角对等边以及等量代换即可证明结论； （3）如图：作于M，先根据角平分线的性质得出，证明得出，证明得出，再根据线段的和差即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 13．在学习“三线合一”时罗老师在课堂上进行了探究式教学． (1)【问题原型】定理：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合． ①如图，在中，，平分，根据图用几何语言写出该定理： ∵，平分， ∴______，______． ②如图，在中，，，的周长为，的周长为，求的长； (2)【问题提出】罗老师提出：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？经过小组合作探究后罗老师发现乐乐同学有以下解题思路，请完成命题的证明． 已知：如图，在中，平分，且点是的中点，过点分别作的垂线，垂足分别为．求证：． 【答案】(1)①，；② (2) 证明：平分，，， ， 在和中， ， ， ， 点是的中点， ． 在和中， ， ， ， ， 即． 【分析】（）①根据等腰三角形的三线合一的性质解答即可；②由等腰三角形的三线合一的性质得，设，，，则，再根据三角形的周长公式解答即可； （）分别证明和，得到，，进而即可求证； 此题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：①，平分， ，， 故答案为：，； ②∵，， ∴， 设，，，则， ∵的周长， ， 的周长， ∴， ， 即的长为； （2）略 4 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $