第一章 三角形（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 八年级上册数学第一章三角形单元能力提升卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层设计，覆盖三角形性质、全等判定、动点探究等核心知识点，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形三边关系、角平分线性质等|第3题结合面积考查点到直线距离，体现几何直观| |填空题|6/18|中线性质、最短路径等|第12题动点问题求线段最小值，培养空间观念| |解答题|9/72|全等证明、动态几何等|第25题结合等边三角形与四边形综合探究，发展推理能力与创新意识|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第一章三角形能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 5 6 8 10 B A A C D B A D C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.25 24 13.44°/44度 14.12 15.AB=AC (AD=BE AE=CD) 16.16 三、解答题（共9小题，共72分） 17.(本题6分) 【详解】证明：在△AOC中， .CO>AC, B ∠A>∠AOC,…2分 :∠AOC=∠BOD ∠A>∠BOD,4分 D ∠B>∠A, ∴.∠B>∠BOD …5分 .OD>BD.6分 18.(本题6分) 【详解】解：如图，点P即为所求. 1/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B …角平分线3分+垂直平分线3分，共6分 777777D 19.(本题8分) 【详解】(1)证明：·CD⊥AB,且BD=DE, .CD垂直平分BE.…l分 .BC=EC,…2分 ~EF垂直平分AC, .AE=EC,3分 AE=BC:4分 (2)解：EF垂直平分AC, AE=EC,…5分 D ,△ABC的周长为21，AC=8, BC+AB=13,6分 BC+AE+BE=13.7分 .BC+EC+BE=13 即△BCE的周长为13..8分 20.(本题8分) 【详解】(I)证明：BD是△ABC的角平分线， .∠ABD=∠DBC. …1分 ∠ABD=∠FEC, D .∠DBC=∠FEC,…2分 F .BD∥EF, B ∠BDF+∠DFE=180°.3分 2/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：∠A=90°， DA⊥AB …4分 BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC, :DA=DE, 5分 24B-AD=m S△ABD= .AD=m,.6分 .DE =m, SAuNc=S+SAmcmBC.DE-m+ 5m 7m 22.8分 21.(本题8分) 【详解】(1)AD=CF,理由如下： 因为点E为AC中点， 所以CE=AE.l分 在△CEF和△AED中， ∠CEF=∠AED ∠F=∠ADF CE=AE CEF≌△AED(AAS) 所以 ,…3分 B 所以AD=CF;4分 (2)解：由(1)可知，aCEF≌△AED, 所以AD=CF=3, 所以AB=BD+AD=2+3=5.…5分 因为E是AC的中点，BE⊥AC 所以CE=AE,∠CEB=∠AEB=90° 6分 又因为BE=BE, 所以△CEB≌△AEB(SAS),7分 所以BC=AB=5.8分 3/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22.(本题8分) 【详解】解：添加条件：∠ACB=∠EBD, …2分 证明过程如下：：∠ABC=90°，∠ABD=∠E, .∠ABD+∠EBD=90°=∠E+∠EBD. ∴.∠D=∠ABC=90°. 在△ABC和△EDB中， [∠D=∠ABC BC=BD ∠ACB=∠EBD' D △ABC≌△EDB(ASA) …8分 添加条件：∠A=∠E,…2分 证明过程如下：∠ABC=90°，∠ABD=∠E, ∴.∠ABD+∠EBD=90°=∠E+∠EBD. ∴∠D=∠ABC=90°， 在△ABC和△EDB中， 「∠A=∠E ∠ABC=∠D BC=BD ∴.△ABC≌△EDB(AAS) …8分 添加条件：AC=EB,2分 证明过程如下：∠ABC=90°，∠ABD=∠E, ∴∠ABD+LEBD=90°=∠E+∠EBD, .∠D=∠ABC=90°， 在Rt△ABC和Rt△EDB中， 「BC=BD AC=EB, RtAABC≌Rt△EDB(HL) 8分 4/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 添加条件：DE=AB,2分 证明过程如下：∠ABC=90°，∠ABD=∠E, ∠ABD+∠EBD=90°=LE+∠EBD, .∠D=∠ABC=90°， 在△ABC和△EDB中， DE=AB ∠D=∠ABC BC=BD ∴.△ABC≌△EDB(SAS) …8分 以上每种情况都是添加条件2分，证明过程6分，共8分 23. (本题8分) 【详解】(1)解：相等，理由如下： :∠APC=∠A+∠B,∠APC=∠APQ+∠CPQ 而∠B=∠APg, ∴.∠CPQ=∠A 在△PCQ和△ABP中， ∠CPQ=∠A PC=AB ∠C=∠B △PCQ≌△ABP(ASA) ,…3分 :.PO=AP: …4分 (2)解：设P点的运动速度为xcm/s,则9 o=xtcm,BP=3tcm,PC=(12-3t)cm :∠B=∠C, :当BP=CP,BM=CO时.△MBPe0CP(SAs) .6分 5/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即3t=12-31,9=xt, 9 解得1=2，x=艺：7分 当BP=CO,BA=C △ABP≌△PCQ(SAS) 时， 即3t=x,9=12-3t 解得1=1，x=3 9 综上所述，Q点的运动速度为2Cm/5或3cm/58分 24.(本题10分) 【详解】(I)证明：：AC=BC,∠ACB=90° ∠CAB=∠CBA=45°，1分 :AD是∠CAB的平分线， .∠CAD=∠BAD=22.5°， .∠ADC=∠BDF=90°-22.5°=67.5 ,…2分 :点A与点E关于直线BC对称， ∴.∠EBC=∠CBA=45°， .∠ABF=90° .∠AFB=90°-∠BAD=90°-22.5°=67.5°，…3分 .∠BDF=∠AFB,.4分 D .BF=BD: △BDF是等腰三角形；5分 (2)证明：过D作DK⊥AB于K,如图： :AD平分∠CAB, ∠CAD=∠KAD,6分 DK⊥AB, .∠AKD=90°=∠ACD,…7分 在△ACD和△AKD中， 6/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ACD=∠AKD ∠CAD=∠KAD AD=AD △ACD≌△AKD(AAS) …8分 .'AC=AK,CD=DK. :AC=BC,∠ACB=90°， .∠KBD=45°， .△KBD是等腰直角三角形， .BK =DK, .BK=CD,9分 AB=AK+BK .AB=AC+CD」 AB+BD=AC+CD+BD=AC+BC=AC+AC=2AC................. 25.(本题10分) 【详解】(1)证明：AB=BC,∠BAC=60°， ,△ABC是等边三角形， AB=AC,∠BAC=60°，l分 △ADE是等边三角形， ∴.AD=AE,∠DAE=∠BAC=60°， .∠BAD=∠CAE,…2分 在△BAD和△CAE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE :.△BAD △CAE(SAS) …4分 BD=CE:5分 (2)证明：延长DP至H,使HP=AP,连接BH, 7/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 图2 ·.·∠APD=120° ∠APH=60°，6分 .HP=AP, ∴△APH是等边三角形， ∴.AP=AH=HP,∠HAP=60°=∠BAC, .∠BAH=∠CAP,.7分 在△ABH和△ACP中， AB=AC ∠BAH=∠CAP AH=AP aABH≌△ACP(SAS) …8分 .BH=CP,…9分 ∴PA+PD+PC=PH+PD+BH≥BD ,…10分 8/8: 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 : 第一章三角形·能力提升 .: 建议用时：120分钟，满分：120分 一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） : 斯 1.已知三角形的三边长分别为3，x,6,若x为奇数，则这样的三角形有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 .: 2.如图，已知∠ADB>∠B>∠C,下列说法正确的是() A.AC>AB>AD B.AC>AD>AB O C.AB>AD>AC D.AB>AC>AD : 尽 : .: 第2题 第3题 O 3.如图，BM是∠ABC的平分线，点D是BM上一点，点P为直线BC上的一个动点.若△ABD的面积为 10,AB=5,则线段DP的长不可能是() A.3 B.4 C.5 D.5.5 4.如图，△ABC≌△AEF,则对于结论①AC=AF,②∠FAB=∠EAB,③EF=BC,④∠EAB=∠FAC, : 其中正确结论的个数是() : : O .: : A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 : 5.根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是() A.AB=4,BC=3,∠A=30° B.∠C=90°，AB=7 C.∠A=60°，∠B=55°，∠C=65° D.AB=4,BC=6,CA=8 : : 6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC<BC,分别以点A、B为圆心，大于号A8的长为半径画弧，两 弧交于D,E两点，直线DE交BC于点F,连接AF,以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于 : 试题第1页（共6页） .: 丽学科网·上好课 点H,连接AH,若△AFH的周长为12，则BC的长为() A.4 B.6 C.8 D.12 D米 B D 第6题 第7题 7.等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰△ABC的周长为10，其中 一条边长是3，则它的“优美比”是() A 6 B.7 c 3或 3 D. 46 8.如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB,∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥AC交AC于F,AC=12, BC=9,则CF的值为() 3 A:2 B.1 C.3 D. 5-2 9.如图，点P,Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB,BC上的动点，点P从顶点A,点Q从顶点B同 时出发，且它们的速度都为lcm/s,下面结论：①AQ=CP;②∠CMg的度数不变，始终等于60°；③当 (）明啦更头彩中洋”ON=p·4乙患系也班期厚4O阳滩影海银 A.①②③ B.①③④ c.②③④ D.①②④ P A 9 第9题 第10题 10.如图，点A在直线BC上，△ABD、△AEC都是等边三角形，BE和AD交于点M,DC和AE交于点 N.有如下结论：(1)△ABE≌△ADC;（2)AB=DN;(3)AP+PD=BP;(4)CP平分∠APE;(5)△AMN 是等边三角形.其中正确结论有()个 A.2 B.3 C.4 D.5 试题第2页（共6页） 学科网·上好课 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.如图，在△ABC中，CD是中线，BC-AC=5cm,△ADC的周长是20cm,则△DBC的周长是cm, B D 第11题 第12题 12.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,AB=10,P为直线AB上一动点，连接PC,则线段PC 的最小值是 13.如图，△ABC≌△AED,点E在线段BC上，∠I=44°，则∠BAE的度数为 D B 第13题 第14题 14.如图，AB‖CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直，若△BPC的面积为 6,那么四边形ABCD的面积为一· 15.如图，点A、D、E在同一直线上，AB LAC,CD⊥AE于D,AE⊥BE,要使△ABE≌ACAD,则 只需添加一个适当的条件是·（只填一个即可） B E D E D B 第15题 第16题 16.如图，直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=11,BC=5,D是边AC上一点，且∠BDC=∠BCD, 过点D作DE⊥BD,交边AB于点E,则BDE的周长是 试题第3页（共6页） 三、解答题（共9小题，共72分） 17.(本题6分)如图，己知：AB与CD相交于点O,CO>AC,∠B>∠A,求证：OD>BD. : : : ☑ : D : 18.(本题6分)校园一角的形状如图所示，其中AB,BC,CD表示围墙.现要修建一个垃圾投放点P, : 使得点P到围墙AB,BC的距离相等，且到围墙边界C,D的距离相等，请确定点P的位置. 张 LA B 游 C777777D 游 19.(本题8分)如图，在△ABC中，CD⊥AB,垂足为D,点E在边AB上，且BD=DE,EF垂直平分AC, .: : 交AC于点F,连接CE. S (1)求证：AE=BC: O (2)若△ABC的周长为21，AC=8,求△BCE的周长. C E D B 20.(本题8分)如图，在△ABC中，∠A=90°，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥BC于点E,点 世 : F在CD上，连接EF,∠ABD=∠FEC. (1)试说明∠BDF+∠DFE=180°； (2)已知AB=2,BC=5,SABD=m,求△ABC的面积.（结果用含m的代数式表示） : B E 试题第4页（共6页) 21.（本题8分)如图所示，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F,使得 ∠ADF=∠F,连接CF. O (1)你认为AD与CF相等吗？并说明理由； ·: (2)若BE⊥AC,BD=2,CF=3,求BC的长. 斯 22.(本题8分)如图，在△ABC和△BDE中，∠ABC=90°，BC=BD,点E在BC的延长线上，∠ABD=∠E, 请你添加一个条件，使得△ABC≌△EDB,并写出证明过程. 23.(本题8分)如图，AB=9cm,BC=12cm,∠B=∠C.如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C O 点运动，同时点Q从C点出发沿射线CD匀速运动.设经过s同时停止. ·… B P (1)若∠B=∠APQ,AB=PC,则AP与QP相等吗？请说明理由 (2)当△ABP与以C,Q,P为顶点的三角形全等时，求2点的运动速度， : o 试题第5页（共6页） 可学科网·上好课 24.(本题10分)在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，AD平分∠CAB,交边BC于点D,点A与点E 关于BC所在直线对称，连接BE,CE,延长AD交BE于点F.求证： (1)△BDF是等腰三角形； (2)AB+BD=2AC. F D 4 25.（本题10分)如图，四边形ABCD中，AB=BC,∠BAC=60°，以AD为边作等边△ADE,连接CE. E 图1 图2 (1)求证：BD=CE: (2)如图2，P为四边形ABCD内一点，且∠APD=120°.求证：PA+PD+PC≥BD. 试题第6页（共6页） 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第一章 三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知三角形的三边长分别为，，，若为奇数，则这样的三角形有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．如图，已知，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 第2题 第3题 3．如图，是的平分线，点D是上一点，点P为直线上的一个动点．若的面积为10，，则线段的长不可能是（     ） A．3 B．4 C．5 D． 4．如图，，则对于结论，，，， 其中正确结论的个数是（    ） A．1   个 B．2  个 C．3  个 D．4    个 5．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（     ） A．，， B．， C．，， D．，， 6．如图，在中，，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，直线交于点，连接，以点为圆心，为半径画弧，交延长线于点，连接，若的周长为，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 第6题 第7题 7．等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰的周长为10，其中一条边长是3，则它的“优美比”是（   ） A． B． C．或 D．或 8．如图，中，D是的中点，，，交于F，，，则的值为（    ） A． B．1 C．3 D． 9．如图，点P，Q分别是边长为的等边边上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为，下面结论：①；②的度数不变，始终等于；③当第秒或第2秒时，为直角三角形；④当第2秒时，．其中结论正确的有（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 第9题 第10题 10．如图，点在直线上，、都是等边三角形，和交于点，和交于点．有如下结论：（1）；（2）；（3）；（4）平分；（5）是等边三角形．其中正确结论有（   ）个 A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，在中，是中线，，的周长是，则的周长是______． 第11题 第12题 12．如图，中，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是 __________． 13．如图，，点在线段上，，则的度数为______． 第13题 第14题 14．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直，若的面积为，那么四边形的面积为______． 15．如图，点、、在同一直线上，，于，，要使，则只需添加一个适当的条件是_____．（只填一个即可） 第15题 第16题 16．如图，直角三角形中，，，，D是边上一点，且，过点D作，交边于点E，则的周长是_______． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（本题6分）如图，已知：与相交于点，，，求证：． 18．（本题6分）校园一角的形状如图所示，其中，，表示围墙．现要修建一个垃圾投放点，使得点到围墙，的距离相等，且到围墙边界，的距离相等，请确定点的位置． 19．（本题8分）如图，在中，，垂足为，点在边上，且，垂直平分，交于点，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的周长． 20．（本题8分）如图，在中，，是的角平分线，过点作于点，点在上，连接，． (1)试说明； (2)已知，，，求的面积．（结果用含的代数式表示） 21．（本题8分）如图所示，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连接． (1)你认为与相等吗？并说明理由； (2)若，，，求的长． 22．（本题8分）如图，在和中，，，点在的延长线上，，请你添加一个条件，使得，并写出证明过程． 23．（本题8分）如图，．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时点从点出发沿射线匀速运动．设经过同时停止． (1)若，则与相等吗？请说明理由． (2)当与以C，Q，P为顶点的三角形全等时，求点的运动速度． 24．（本题10分）在中，，，平分，交边于点D，点A与点E关于所在直线对称，连接，延长交于点F．求证： (1)是等腰三角形； (2)． 25．（本题10分）如图，四边形中，，，以为边作等边，连接． (1)求证：； (2)如图，为四边形内一点，且求证：． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第一章三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.已知三角形的三边长分别为3，x,6,若x为奇数，则这样的三角形有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图，已知∠ADB>∠B>∠C,下列说法正确的是() A.AC>AB>AD B.AC>AD>AB C.AB>AD>AC D.AB>AC>AD D B 第2题 第3题 3.如图，BM是∠ABC的平分线，点D是BM上一点，点P为直线BC上的一个动点.若△ABD的面积为 10,AB=5,则线段DP的长不可能是() A.3 B.4 C.5 D.5.5 4.如图，△ABC2△AEF,则对于结论①AC=AF,②∠FAB=∠EAB,③EF=BC,④∠EAB=∠FAC,其 中正确结论的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是() A.AB=4,BC=3,∠A=30° B.∠C=90°，AB=7 C.∠A=60°，∠B=55°，∠C=65 D.AB=4,BC=6,CA=8 6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，4C<BC,分别以点A、B为圆心，大于号AB的长为半径画弧，两 1/6 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 弧交于D,E两点，直线DE交BC于点F,连接AF,以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点 H,连接AH,若△AH的周长为12，则BC的长为() A.4 B.6 C.8 D.12 DX B ■ D 第6题 第7题 7.等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰△ABC的周长为10，其中 一条边长是3，则它的“优美比”是() 3 3 A.4 B.9 D. 4 8.如图，△ABC中，D是AB的中点，DE1AB,∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥AC交AC于F,AC=I2, BC=9,则CF的值为() A 5 B.1 C.3 D2 9.如图，点P,Q分别是边长为4c的等边△ABC边AB,BC上的动点，点P从顶点A,点Q从顶点B同 时出发，且它们的速度都为lcm/s,下面结论：①AQ=CP；②∠CMQ的度数不变，始终等于60°；③当 第号秒或第2秒时，。P0为直角三角形：国当第2秒时，CM=20.其中结论正确的有《） A.①②③ B.①③④ c.②③④ D.①②④ D M A 第9题 第10题 1O.如图，点A在直线BC上，△ABD、△AEC都是等边三角形，BE和AD交于点M,DC和AE交于点N.有 如下结论：(1)△ABE≌△ADC:(2)AB=DN;(3)AP+PD=BP:(4)CP平分∠APE:（5)△AMN是 等边三角形.其中正确结论有()个 A.2 B.3 C.4 D.5 2/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.如图，在△ABC中，CD是中线，BC-AC=5cm,△ADC的周长是20cm,则△DBC的周长是 cm B D B 第11题 第12题 12.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,AB=10,P为直线AB上一动点，连接PC,则线段PC的 最小值是 13.如图，△ABC≌△AED,点E在线段BC上，A=44°，则∠BAE的度数为 B D 第13题 第14题 I4.如图，AB‖CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直，若△BPC的面积为 6,那么四边形ABCD的面积为 I5.如图，点A、D、E在同一直线上，AB⊥AC,CD⊥AE于D,AE⊥BE,要使△ABE≌△CAD,则只 需添加一个适当的条件是·（只填一个即可) B D E D B 第15题 第16题 16.如图，直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=11,BC=5,D是边AC上一点，且∠BDC=∠BCD, 过点D作DE⊥BD,交边AB于点E,则△BDE的周长是 3/6 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题（共9小题，共72分） 17.(本题6分)如图，已知：AB与CD相交于点O,CO>AC,∠B>∠A,求证：OD>BD. 18.(本题6分)校园一角的形状如图所示，其中AB,BC,CD表示围墙.现要修建一个垃圾投放点P, 使得点P到围墙AB,BC的距离相等，且到围墙边界C,D的距离相等，请确定点P的位置. 人 C777777D 19.(本题8分)如图，在△ABC中，CD⊥AB,垂足为D,点E在边AB上，且BD=DE,EF垂直平分AC, 交AC于点F,连接CE, (1)求证：AE=BC: (2)若△ABC的周长为21，AC=8,求△BCE的周长. F E D 20.(本题8分)如图，在△ABC中，∠A=90°，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥BC于点E,点F 在CD上，连接EF,∠ABD=∠FEC. (1)试说明∠BDF+∠DFE=180°： (2)已知AB=2,BC=5,S2ABD=L,求△ABC的面积.（结果用含m的代数式表示） 4/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 21.（本题8分)如图所示，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F,使得 ∠ADF=∠F,连接CF. (1)你认为AD与CF相等吗？并说明理由： (2)若BE⊥AC,BD=2,CF=3,求BC的长. E 22.(本题8分)如图，在△ABC和△BDE中，∠ABC=90°，BC=BD,点E在BC的延长线上，∠ABD=∠E, 请你添加一个条件，使得△ABC2△EDB,并写出证明过程. D B C 23.(本题8分)如图，AB=9cm,BC=12cm,∠B=∠C.如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C 点运动，同时点Q从C点出发沿射线CD匀速运动，设经过s同时停止， D B P (I)若∠B=∠APQ,AB=PC,则AP与QP相等吗？请说明理由. (2)当△ABP与以C,Q,P为顶点的三角形全等时，求O点的运动速度. 5/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24.（本题10分)在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，AD平分∠CAB,交边BC于点D,点A与点E 关于BC所在直线对称，连接BE,CE,延长AD交BE于点F.求证： (I)△BDF是等腰三角形； (2)AB+BD=2AC. E D A B 25.（本题10分)如图，四边形ABCD中，AB=BC,∠BAC=60°，以AD为边作等边△ADE,连接CE B D 图1 图2 (I)求证：BD=CE; (2)如图2，P为四边形ABCD内一点，且∠APD=120°.求证：PA+PD+PC≥BD. 6/6可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第一章三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.已知三角形的三边长分别为3，x,6,若x为奇数，则这样的三角形有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【详解】解：，三角形的三边长分别为3，x,6,根据三角形三边关系，任意两边之差小于第三边，任 意两边之和大于第三边， .6-3<x<6+3, 整理得3<x<9, x为奇数， ∴满足条件的奇数x为5,7，共2个， 即这样的三角形有2个. 2.如图，已知∠ADB>∠B>∠C,下列说法正确的是() A.AC>AB>AD B.AC>AD>AB C AB>AD>AC D.AB>AC>AD 【答案】A 【详解】解：在△ABD中，∠ADB>∠B, .AB>AD 在△ABC中，∠B>∠C, .AC>AB .AC>AB>AD 1/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故选：A 3.如图，BM是∠ABC的平分线，点D是BM上一点，点P为直线BC上的一个动点.若△ABD的面积为 10,AB=5,则线段DP的长不可能是() M P A.3 B.4 C.5 D.5.5 【答案】A 【详解】解：过点D作DE⊥AB于E,过点D作DF⊥CB于F, E M 入 根据三角形面积公式 ,代入已知 1 P SMBD=)·AB.DE 2 S.4BD=10 AB=5 1 得10=2x5xDE 解得DE=4」 :BM是∠ABC的平分线，D在BM上， .DF DE=4. 根据垂线段最短，DP的最小值为DF,即DP≥4. 选项中只有3<4， 因此DP的长不可能是3. 4.如图，△ABC≌△AEF,则对于结论①AC=AF,②∠FAB=∠EAB,③EF=BC,④∠EAB=∠FAC, 其中正确结论的个数是（) 2/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【详解】解：·△ABC≌△AEF, ∴，AC=AF,BC=EF,∠BAC=LEAF, .∠BAC-∠BAF=∠EAF-∠BAF ∴.∠FAC=∠EAB ∴.①③④ 正确， 而∠FAB、∠EAB不是对应角，不一定相等， 故选：C 5.根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是() A.AB=4,BC=3,∠A=30° B.∠C=90°，AB=7 C.∠A=60°，∠B=55°，∠C=65 D.AB=4,BC=6,CA=8 【答案】D 【详解】解：A、已知AB=4,BC=3,∠A=30°，属于SSA条件，不能唯一确定三角形，因此A不符 合要求： B、已知∠C=90°和AB=7,条件不足，不能确定三角形各边的长度，无法画出唯一三角形，因此B不符 合要求： C、已知三个内角，只能确定三角形的形状，不能确定边长大小，不能唯一确定三角形，因此C不符合要 求： D、已知三边长AB=4,BC=6,CA=8,4+6>8,4+8>6,6+8>4,满足三角形三边关系，根据 SSS全等判定，三边确定即可画出唯一△ABC,因此D符合要求。 6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC<BC,分别以点A、B为圆心，大于2AB的长为半径画弧， 两弧交于D,E两点，直线DE交BC于点F,连接AF,以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线 3/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 于点H,连接AH,若△AFH的周长为I2,则BC的长为() B A.4 B.6 C.8 D.12 【答案】B 【详解】解：，DE是AB的垂直平分线， .AF=BF ,以点A为圆心，AF为半径画弧， .AH=AF, ∴AH=BF. ,△AFH的周长为AF+FH+AH=12, .BF+FH+BF=12. ∴.2BF+FH=12. .BC=BF+FC,FH=FC+CH,AH=AF=BF, :8c=8F+FH0-l2=6, 故选：B 7.等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰△4BC的周长为10， 其中一条边长是3，则它的“优美比”是() 6 4.6 37 B.7 C.3或7 D.4或6 【答案】C 【详解】解：分两种情况讨论： ①当3为腰长时， :等腰△ABC的周长为10， ∴.底边长=10-3-3=4， ,3+3>4,满足三角形三边关系， 4/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “优美比”为3： ②当3为底边长时， ,等腰△ABC的周长为10， 10-37 腰长 Γ22 7、7 :3+3 十2>2，满足三角形三边关系， 76 、“优美比”为3*27： 46 综上，该等腰三角形的“优美比”是3或7： 8.如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB,∠ACE+∠BCE=18O°，EF⊥AC交AC于F,AC=12 ,BC=9,则CF的值为() D A.2 B.1 C.3 D.2 【答案】A 【详解】解：连接BE, D是AB的中点，DE⊥AB,EF⊥AC AD=BD,∠ADE=∠BDE=90°， .DEDE, ,△ADE≌△BDE(SAS) .'AE=BE. 过点B作EGLBC,交BC的延长线于点G, 5/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D :∠ACE+∠BCE=180°，∠GCE+∠BCE=180°， :.∠ACE=∠GCE, :EF⊥AC,EC=EC, ∴.EF=EG, .△AFE≌△BGE,△EFC≌△EGC, .AF=BG,CF=CG. .AF=BG=BC+CG=BC+CF=BC+AC-AF, ∴.2AF=BC+AC, AC=12,BC=9 :Ap=21 29 CF=AC-AF=12-21_3 22 故选：A. 9.如图，点P,Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB,BC上的动点，点P从顶点A,点Q从顶点B同 时出发，且它们的速度都为lcms,下面结论：①Ag=CP:②∠CM0的度数不变，始终等于60°；③当 4 第3秒或第2秒时，△PBQ为直角三角形：④当第2秒时，CM=2MQ·其中结论正确的有() 6/24 可学科网·上好课 ◆ www.zxxk.com 上好每一堂课 M A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②④ 【答案】D 【详解】解：设点P、Q运动时间为t秒，根据题意得：AP=BO=t, :△ABC为等边三角形， .∠AB0=∠CAP=609,AB=AC, 在△ABQ和△CAP中， BO=AP ∠ABQ=∠CAP AB=CA △ABQ≌△CAP(SAS) 、A0=CP,故O正确： :△ABQ≌△CAP. .∠BAQ=∠ACP, 在△APM中，∠PMA=∠ACM+∠CAM=∠PAM+∠CAM=∠CAP=60°， 、∠CM0=∠PMA=60°，故②正确； 若∠POB=90°，由∠PB0=60°，得到∠BA0=30°， .PB=2B0,即4-t=2t, 7/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 解得：t=3: 若∠QPB=90°，由∠PB0=60°，得到∠BA0=30°， :B0=2P8,即1=2(4-） 8 解得：t= 3 4 8 综上，当第3秒或第3秒时，△PBQ为直角三角形，故③错误： 当/=2时，则 P=2x1=2(cm）B0=2×1=2(cm) AB=BC=4cm, .P、O是AB、BC边的中点，即CRAg是△ABC的中线， ,△ABC为等边三角形， ÷∠PCB-/ACB=30,40LBC 、CM=2M0.故④正确， ∴.正确的有①②④ 10.如图，点A在直线BC上，△ABD、△AEC都是等边三角形，BE和AD交于点M,DC和AE交于点 N.有如下结论：(1)△ABE≌△ADC；(2)AB=DN;(3)AP+PD=BP;(4)CP平分∠APE: (5)△AMN是等边三角形.其中正确结论有()个 D D B A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【详解】解：：△ABD、△AEC都是等边三角形， 8/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=AD,AE=AC,∠DAB=∠EAC=60°， ∴∠DAB+∠DAE=∠EAC+∠DAE,即∠BAE=∠DAC, 在△ABE和△ADC中， AB=AD ∠BAE=∠DAC AE=AC .△ABE≌△ADC(SAS) 故(1)正确： :△ABD、△AEC都是等边三角形， .∠DAB=∠EAC=60°， .∠MAW=180°-60°-60°=60°， ∴.∠BAM=∠DAN=60°， :△ABE≌△ADC, ∴.∠ABM=∠ADN 在△ABM和△ADN中， ∠ABM=∠ADN AB=AD ∠BAM=∠DAN' ∴.△ABM≌△ADN(ASA .AM AN, ∴△AMN是等边三角形，故(5)正确： ∠MNA=60°， .∠AND=60°+∠DNM>60° .∠AND>∠DAN, :AD>DN, AB=AD, AB>DN,故(2)错误： :△ABE≌△ADC,如图， ∠CDA=∠ABE, 9/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠DMP=∠AMB 180-(∠CDA+∠DMP)=I80P-(∠ABE+∠AMB), 即∠DPM=∠BAM=60° 在BP上取一点F,使PF=PD,则△DPF是等边三角形， D M B C.DF=DP,∠PDF=∠DFP=60°=∠ADB ∴.∠BDF=∠PDA, .△DBF≌△DAP(SAS) .BF AP, AP+PD=BF+PF=BP,故(3)正确； ∠BFD=∠APD, ∴.180°-∠BFD=180°-∠APD,即∠APC=∠DFP=60°， ∠EPC=∠DPF=60°， ∴.∠APC=∠EPC=60°， ∴.CP平分∠APE,故(4)正确. 综上所述，(1)(3)(4)(5)正确， 故选：C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.如图，在△ABC中，CD是中线，BC-AC=5cm,△ADC的周长是20cm,则△DBC的周长是 cm D B 【答案】25 10/24 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：在△ABC中，CD是中线即AD=BD,BC-AC=5cm, ∴.△DBC 的周长△AD 的周长=(BC+BD+CD)-(AC+AD+CD)=BC-4C=50m :△ADC的周长为20cm, :.△DBC的周长为 0+5=25(cm) 故答案为：25。 12.如图，△ABC中，∠4CB=90,AC=6,BC=8,AB=10,P为直线AB上一动点，连接PC,则线段PC 的最小值是 4 【答案】5 【详解】解：∠ACB=90°，AC=6,BC=8,AB=10, 根据垂线段最短可知，当CP⊥AB时，线段PC的长度最小， SAAC AC:BC=7 AB:PC. x6x8-x10xPC 2 解得：PC=24 24 线段PC的最小值是5： 13.如图，△ABC≌△AED,点E在线段BC上，∠1=44°，则∠BAE的度数为 11/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A E 【答案】44°/44度 【详解】解：△ABC≌△AED, ∴∠BAC=∠EAD .∠BAE+∠CAE=∠I+∠CAE. ∴∠BAE=∠1=44°， 故答案为：44°. 14.如图，AB‖CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直，若△BPC的面积 为6，那么四边形ABCD的面积为一 B 【答案】12 【详解】解：如图，过P作PE⊥BC于点E,则∠PEB=∠PEC=90°， B ,DA⊥BA,AB‖CD, 12/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.DA⊥CD. .∠A=∠D=90°， :BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB, ∴PA=PE,PD=PE, PB=PB,PC=PC, RtAPBAS≌RtAPBE(HL)Rt△PDC≌Rt△PEC(HL) SRLAPBA SRLSPBE SRLAPDC=SRLAPEC ,△BPC的面积为6， SRLPBE+SRLPEC=6 :四边形ABCD的面积为 ++SRPEC+SRPDC=2(RPE+RPEC)=12 15.如图，点A、D、E在同一直线上，AB1AC,CD⊥AE于D,AE⊥BE,要使△ABE≌aCAD,则 只需添加一个适当的条件是一·（只填一个即可） A E B 【答案】AB=AC(AD=BE或AE=CD) 【详解】解：ABLAC,CD⊥AE,AE⊥BE, ∠CAB=∠ADC=∠E=90°， ∠ACD=90°-LDAC=∠BAE, 若添加AB=AC ABE≌△CAD(AAS) 则 13/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若添加AD=BE, △ABE≌ACAD(AAS) 则 若添加AE=CD △ABE≌ACAD(ASA) 故答案为：AB=AC(AD=BE或AE=CD), 16.如图，直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=11,BC=5,D是边AC上一点，且∠BDC=∠BCD, 过点D作DE⊥BD,交边AB于点E,则△BDE的周长是 B E D 【答案】16 【详解】解：∠ABC=90°， .∠A+∠C=90°， :DE⊥BD, ,∠BDE=90°， .∠ADE+∠BDC=90°， .∠BDC=∠BCD ∴.BD=BC=5,∠A=∠ADE, :AE DE, AB=11,BD=BC=5 '△BDE的周长为：BD+BE+DE BD+BE+AE BD+AB =5+11 =16. 三、解答题（共9小题，共72分） 17.(本题6分)如图，已知：AB与CD相交于点O,C0>AC,LB>LA,求证：OD>BD 14/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】证明见解析 【详解】证明：在△AOC中， .CO>AC, .∠A>∠AOC, ·∠AOC=∠BOD ∠A>∠BOD, ∠B>∠A, .B>∠BOD. ∴.OD>BD 18.(本题6分)校园一角的形状如图所示，其中AB,BC,CD表示围墙.现要修建一个垃圾投放点P, 使得点P到围墙AB,BC的距离相等，且到围墙边界C,D的距离相等，请确定点P的位置. LLA C777777D 【详解】解：如图，点P即为所求 777777D I9.(本题8分)如图，在△ABC中，CD⊥AB,垂足为D,点E在边AB上，且BD=DE,EF垂直平分 15/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC,交AC于点F,连接CE, (I)求证：AE=BC: (2)若△ABC的周长为21，AC=8,求△BCE的周长. 【详解】(1)证明：·CD⊥AB,且BD=DE, .CD垂直平分BE. .BC=EC, ~EF垂直平分AC, :AE=EC, :AE=BC (2)解：EF垂直平分AC, ..AE=EC, :△ABC的周长为21，AC=8, BC+AB=13」 ∴.BC+AE+BE=13 ∴.BC+EC+BE=13 即△BCE的周长为13 20.(本题8分)如图，在△ABC中，∠A=90°，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥BC于点E, 点F在CD上，连接EF,∠ABD=∠FEC」 E (1)试说明∠BDF+∠DFE=180°， @记知4B=2.8C=5,Sm=m,求△MBC 的面积。（结果用含m的代数式表示） 16/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)见详解 .7m 2)2 【详解】(I)证明：~BD是△ABC的角平分线， .∠ABD=∠DBC, ·∠ABD=∠FEC, ∴.∠DBC=∠FEC, .BD∥EF, .∠BDF+∠DFE=180° (2)解：∠A=90°， .DA⊥AB, :BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC, :DA=DE, =1 AB.AD=m, .AD =m, .DE=m. SAAnc Sm+SAnco=m+BC.DE=m+m7m 2 22· 21.(本题8分)如图所示，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F,使得 ∠ADF=∠F,连接CF. D (1)你认为AD与CF相等吗？并说明理由： (2)若BE⊥AC,BD=2,CF=3,求BC的长. 【答案】()见详解 (2)5 17/24 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)AD=CF,理由如下： 因为点E为AC中点， 所以CE=AE. 在△CEF和△AED中， I∠CEF=∠AED ∠F=∠ADF CE=AE CEF≌△AED(AAS) 所以 所以AD=CF: (2)解：由(1)可知，△CEF≌aAED, 所以AD=CF=3, 所以AB=BD+AD=2+3=5. 因为E是AC的中点，BE⊥AC, 所以CE=AE,∠CEB=∠AEB=90°. 又因为BE=BE, 所以△CEB≌aAEB(SAS)】 所以BC=AB=5】 22.(本题8分)如图，在△ABC和△BDE中，∠ABC=9O°，BC=BD,点E在BC的延长线上， ∠ABD=∠E,请你添加一个条件，使得△ABC≌△EDB,并写出证明过程. B 【详解】解：添加条件：∠ACB=∠EBD 证明过程如下：：∠ABC=90°，∠ABD=∠E, 、∠ABD+∠EBD=90°=∠E+∠EBD, .∠D=∠ABC=90°. 18/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△ABC和△EDB中， ∠D=∠ABC BC=BD ∠ACB=∠EBD' △ABC≌△EDB(ASA) 添加条件：∠A=∠E, 证明过程如下：∠ABC=90°，∠ABD=∠E, ·∠ABD+∠EIBD=9O°=∠E+∠EBD ∴.∠D=∠ABC=90°， 在△ABC和△EDB中， ∠A=∠E ∠ABC=∠D BC=BD △ABC≌△EDB(AAS) 添加条件：AC=EB】 证明过程如下：∠ABC=90°，∠ABD=∠E, ·∠ABD+LEBD=90°=LE+∠EBD, .∠D=∠ABC=90 在Rt△ABC和Rt△EDB中， BC=BD AC=EB, RtAABC≌Rt△EDB(HL) 添加条件：DE=AB, 证明过程如下：：∠ABC=9O°，∠ABD=∠E, ∴.∠ABD+∠EBD=90°=∠E+∠EBD, ∠D=∠ABC=90°， 在△ABC和△EDB中， 19/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 「DE=AB ∠D=∠ABC BC=BD ∴.△ABC≌△EDB(SAS) 23.(本题8分)如图，AB=9cm,BC=12cm,∠B=∠C.如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向 C点运动，同时点Q从C点出发沿射线CD匀速运动.设经过s同时停止. B P (I)若∠B=∠APO,AB=PC,则AP与QP相等吗？请说明理由. (2)当△ABP与以C,Q,P为顶点的三角形全等时，求Q点的运动速度. 【答案】(1)相等，理由见解析 9 (2)2cm/s或3cm/s 【详解】(1)解：相等，理由如下： :∠APC=∠A+∠B,∠APC=∠APQ+∠CPQ 而∠B=∠AP9, ∴.∠CPQ=∠A 在△PCO和△ABP中， 「∠CPQ=∠A PC=AB ∠C=∠B .△PCQ≌△ABP(ASA) 20/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.PO=AP (2)解：设2点的运动速度为xcm/s,则 O=xtcm,BP=3tcm,PC=(12-3t)cm ∠B=∠C, 当BP=CP,BA=C △ABP≌AQCP(SAS) 2时， 即3t=12-31,9=xt, 9 解得1=2，x=2: 当BP=CO,BA=CP △ABP≌aPCQ(SAS) 时， 即31=x,9=12-3t, 解得t=1,x=3」 9 综上所述， Q点的运动速度为2m/s或3cm1s 24.(本题10分)在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，AD平分∠CAB,交边BC于点D,点A与点E 关于BC所在直线对称，连接BE,CE,延长AD交BE于点F.求证： (I)△BDF是等腰三角形： (2)AB+BD=2AC 【详解】(I)证明：，AC=BC,∠ACB=90°， ·∠CAB=∠CBA=45°， ,AD是∠CAB的平分线， ∴.∠CAD=∠BAD=22.5°」 .∠ADC=∠BDF=90°-22.5°=67.5°， ,点A与点E关于直线BC对称， 21/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠EBC=∠CBA=45°， .∠ABF=90°」 ∠AFB=90°-∠BAD=90°-22.5°=67.5°， ∴∠BDF=∠AFB, .BF =BD: ∴，△BDF是等腰三角形： (2)证明：过D作DK⊥AB于K,如图： E A B AD平分∠CAB, ·∠CAD=∠KAD ,DK⊥AB, ∴.∠AKD=90°=∠ACD 在△ACD和△AKD中， I∠ACD=∠AKD ∠CAD=∠KAD AD=AD △ACD≌△AKD(AAS) .AC=AK,CD=DK. :AC=BC,∠ACB=90°， ∠KBD=45°， :△KBD是等腰直角三角形， .'BK DK, ∴BK=CD, .AB=AK+BK, ∴AB=AC+CD 22/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB+BD=AC+CD+BD=AC+BC=AC+AC=2AC 25.(本题10分)如图，四边形ABCD中，AB=BC,∠BAC=60°，以AD为边作等边△ADE,连接CE D 图1 图2 (I)求证：BD=CE: (2)如图2，P为四边形ABCD内一点，且∠APD=120°.求证：PA+PD+PC≥BD 【详解】(1)证明：：AB=BC,∠BAC=60°， ,∴△ABC是等边三角形， ∴AB=AC,∠BAC=60°， :△ADE是等边三角形， .AD=AE,∠DAE=∠BAC=60°， .∠BAD=∠CAE, 在△BAD和△CAE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE △BAD≌△CAE(SAS) :.BD=CE (2)证明：延长DP至H,使HP=AP,连接BH, E D 图2 ∠APD=120° ∴.∠APH=60° 23/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 HP=AP, ,△APH是等边三角形， .AP=AH=HP,∠HAP=60°=∠BAC, ∠BAH=∠CAP, 在△ABH和△ACP中， AB=AC ∠BAH=∠CAP AH=AP ,aABH2△ACP(SAS) ..BH=CP, .PA+PD+PC=PH+PD+BHz BD . 24/24………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第一章 三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知三角形的三边长分别为，，，若为奇数，则这样的三角形有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．如图，已知，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 第2题 第3题 3．如图，是的平分线，点D是上一点，点P为直线上的一个动点．若的面积为10，，则线段的长不可能是（     ） A．3 B．4 C．5 D． 4．如图，，则对于结论，，，， 其中正确结论的个数是（    ） A．1   个 B．2  个 C．3  个 D．4    个 5．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（     ） A．，， B．， C．，， D．，， 6．如图，在中，，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，直线交于点，连接，以点为圆心，为半径画弧，交延长线于点，连接，若的周长为，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 第6题 第7题 7．等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰的周长为10，其中一条边长是3，则它的“优美比”是（   ） A． B． C．或 D．或 8．如图，中，D是的中点，，，交于F，，，则的值为（    ） A． B．1 C．3 D． 9．如图，点P，Q分别是边长为的等边边上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为，下面结论：①；②的度数不变，始终等于；③当第秒或第2秒时，为直角三角形；④当第2秒时，．其中结论正确的有（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 第9题 第10题 10．如图，点在直线上，、都是等边三角形，和交于点，和交于点．有如下结论：（1）；（2）；（3）；（4）平分；（5）是等边三角形．其中正确结论有（   ）个 A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，在中，是中线，，的周长是，则的周长是______． 第11题 第12题 12．如图，中，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是 __________． 13．如图，，点在线段上，，则的度数为______． 第13题 第14题 14．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直，若的面积为，那么四边形的面积为______． 15．如图，点、、在同一直线上，，于，，要使，则只需添加一个适当的条件是_____．（只填一个即可） 第15题 第16题 16．如图，直角三角形中，，，，D是边上一点，且，过点D作，交边于点E，则的周长是_______． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（本题6分）如图，已知：与相交于点，，，求证：． 18．（本题6分）校园一角的形状如图所示，其中，，表示围墙．现要修建一个垃圾投放点，使得点到围墙，的距离相等，且到围墙边界，的距离相等，请确定点的位置． 19．（本题8分）如图，在中，，垂足为，点在边上，且，垂直平分，交于点，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的周长． 20．（本题8分）如图，在中，，是的角平分线，过点作于点，点在上，连接，． (1)试说明； (2)已知，，，求的面积．（结果用含的代数式表示） 21．（本题8分）如图所示，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连接． (1)你认为与相等吗？并说明理由； (2)若，，，求的长． 22．（本题8分）如图，在和中，，，点在的延长线上，，请你添加一个条件，使得，并写出证明过程． 23．（本题8分）如图，．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时点从点出发沿射线匀速运动．设经过同时停止． (1)若，则与相等吗？请说明理由． (2)当与以C，Q，P为顶点的三角形全等时，求点的运动速度． 24．（本题10分）在中，，，平分，交边于点D，点A与点E关于所在直线对称，连接，延长交于点F．求证： (1)是等腰三角形； (2)． 25．（本题10分）如图，四边形中，，，以为边作等边，连接． (1)求证：； (2)如图，为四边形内一点，且求证：． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $