专题01 整式乘除法的综合运算（高效培优专项训练）数学新教材沪教版五四制七年级上册

**基本信息** 聚焦整式乘除核心运算，以幂的运算性质为基础，通过逆运用与混合运算构建从单一到综合的递进训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |同底数幂相乘及其逆运用|10题|选择、填空、解答，含逆用求值|从同底数幂乘法法则到逆用（指数转化），构建“正向运算-逆向推理”逻辑| |幂的乘方及其逆运用|10题|含新定义运算、证明题|基于幂的乘方法则，拓展至指数方程与代数推理，深化法则的灵活应用| |积的乘方及其逆运算|10题|含大小比较、简便计算|结合积的乘方性质，渗透转化思想，连接数与式的运算规律| |同底数幂的除法|10题|含末尾数字规律探究|从除法法则到指数关系推导，强化运算能力与推理意识| |单项式乘除法混合运算|10题|含代数式化简、实际应用|整合幂的运算性质，解决综合运算与实际问题，培养应用意识|

专题01 整式乘除法的综合运算 题型一 同底数幂相乘及其逆运用 题型二 幂的乘方及其逆运用 题型三 积的乘方及其逆运用 题型四 同底数幂的除法 题型五 单项式乘除法混合运算 题型一：同底数幂相乘及其逆运用 1．（25-26七年级上·上海闵行·期末）设，，下列三者之间的关系式正确的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用，完全平方公式的应用． 由得，根据同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用可得，再进一步分析即可． 【详解】解：∵，∴ ∵ ∴，即，A正确 对于B∶，但，故，所以B错误 对于C∶，不是常数，且不等于2，故C错误 对于D∶，而，所以，故D错误 故选A． 2．（25-26九年级下·上海杨浦·期中）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用合并同类项、同底数幂乘法、幂的乘方的法则，逐一判断选项正误． 【详解】解：A、∵合并同类项时，系数相加，字母和指数不变，∴，A正确； B、∵ ，∴B错误； C、∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，∴，∴C错误； D、∵幂的乘方，底数不变，指数相乘，∴，∴D错误． 3．（25-26七年级上·上海·期末）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项． 根据同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则和合并同类项法则，逐一验证各选项即可． 【详解】解：A．，A错误； B．，B正确； C．和不是同类项，不能合并，C错误； D．，D错误； 故选：B． 4．（25-26六年级下·上海·期末）______． 【答案】 【详解】 ． 5．（25-26七年级上·上海闵行·期末）计算：_____．（结果用幂的形式表示） 【答案】/ 【分析】本题主要考查的就是同底数幂的乘法计算法则，属于基础题型．互为相反数的两个数的偶数次幂相等是解决这个问题的关键． 本题首先转化为同底数，然后根据同底数幂的乘法计算法则即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 6．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）计算：______．（n是整数） 【答案】/ 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，同底数幂乘法计算，先计算积的乘方，再计算同底数幂乘法，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）若，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， 解得：， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·吉林长春·阶段检测）当，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方． 将化为，再根据同底数幂的乘法计算即可． 【详解】解：由得， ∴ ． 故答案为：． 9．（24-25七年级上·上海·期中）计算：________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，负整数指数幂，同底数幂乘法，熟练掌握运算法则，是解题的关键．将原式中的底数转换为以2为底的幂形式，再利用同底数幂乘法运算法则，进行求解即可． 【详解】解：∵， ， ∴． 故答案为：4． 10．（25-26七年级·陕西渭南·期中）已知，求的值．（用含m，n的代数式表示） 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ． 题型二：幂的乘方及其逆运用 1．（25-26七年级上·上海普陀·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查指数运算规则，包括合并同类项、幂的乘方、积的乘方等． 逐项验证即可． 【详解】解：对于A：∵，∴ A错误． 对于B：∵，∴ B错误． 对于C： ∵，∴ ，与右边相等，∴ C正确． 对于D：∵ ，，∴，D错误． 故选C． 2．（25-26七年级上·上海·期末）计算：，其中，第一步运算的依据是______法则．（选填“积的乘方”、“幂的乘方”、“同底数幂的乘法”或“同底数幂的除法”） 【答案】幂的乘方 【分析】本题主要考查幂的乘方运算，关键是熟练掌握幂的乘方运算法则是解题的关键．根据题意可知，第一步运算的依据是幂的乘方运算法则即底数不变，指数相乘，公式为． 【详解】解：计算，其中第一步运算的依据是幂的乘方， 故答案为：幂的乘方． 3．（25-26七年级上·上海闵行·期末）计算：______． 【答案】/ 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方，掌握这两个运算法则是关键；先计算积的乘方，再计算幂的乘方即可． 【详解】解：， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·上海青浦·期末）计算：___________． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方与同底数幂的乘法，掌握相应的运算法则是关键．先计算乘方，再利用同底数幂相乘法则计算乘积． 【详解】解：原式， ， 故答案为． 5．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如果，，那么______． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法逆运算，幂的乘方逆运算，解题的关键是熟练掌握计算公式． 先将原式变形为，再逆用幂的乘方运算法则得到，最后代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ 故答案为：． 6．（25-26七年级上·上海·期末）若，，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方运算的运用，关键是将等式两边的底数化为相同的数，再根据“同底数幂相等则指数相等”建立方程组求解． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∴，即； ∵， ∴，即， ∴； 解，得， 则； 故答案为：． 7．计算： 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则，积的乘方法则进行计算即可. 【详解】解： 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 8．（25-26七年级上·上海金山·期末）计算：． 【答案】 【分析】此题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方以及单项式除以单项式，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方以及单项式除以单项式，然后合并即可． 【详解】解： ． 9．（25-26八年级上·江西上饶·期末）若（且，，是正整数），则． 你能利用上面的结论解决下面的3个问题吗？试试看，相信你一定行！ (1)如果，求的值； (2)如果，求的值； (3)已知满足，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的乘法的逆运算，解题关键在于掌握同底数幂的乘法运算法则． （1）根据幂的乘方运算法则将等式，再根据题目给出的定义即可求出答案； （2）根据同底数幂的运算法则与幂的乘方以及题目给出的定义即可求出答案； （3）根据同底数幂的乘法的逆运算法则可将化为，由此可得再根据题目给出的定义即可求出答案． 【详解】（1）解：， ，， ， 解得； （2）解：， ， ， ， 即， ， ； （3）解：， ， ， ， 即， ． 10．（25-26七年级上·山东济南·期末）规定两数之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：_____． (2)①若，，，请你尝试证明：；②若，，，则_____（用含的式子表示）． 进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明：设， ， ， ，即． ． (3)结合上文结论，求的值． 【答案】(1) (2) ①证明：，，， ，，， ， ，即， ； ② (3) 【分析】本题考查新定义运算，理解新定义，熟记指数幂相关运算法则是解决问题的关键． （1）由新定义运算法则直接求解即可得到答案； （2）①由新定义运算法则及同底数幂的乘法运算法则证明即可；②按照①的证明思路求解即可得到答案； （3）按照材料中的探究过程，结合新定义运算法则求解即可得到答案． 【详解】（1）解：如果，那么， ， ； ， ； 则， 故答案为：； （2）① 略 ②由①的证明过程可知，，， ， ，即， 则， 故答案为：； （3）解： ； 设，，则， ， ， ， ， 即． 题型三：积的乘方及其逆运算 1．（25-26七年级上·上海金山·期末）下列运算不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别根据合并同类项法则、积的幂运算、同底数幂的除法、幂的乘方进行判断即可． 【详解】解：选项A: = ，故正确； 选项B：，故错误； 选项C: ，故正确； 选项D: ，故正确． 【点睛】本题考查合并同类项法则、积的幂运算、同底数幂的除法、幂的乘方，熟练掌握相关运算法则进行计算． 2．（25-26七年级上·上海·期中）计算：________________． 【答案】 【详解】解：． 3．（25-26七年级上·上海·期末）______． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，单项式除以单项式的运算，根据题意只需要计算出的结果即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 4．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，先计算幂的乘方、负整数指数幂和零指数幂，再根据整式的乘除法则进行运算． 【详解】解： 故答案为． 5．（25-26七年级上·上海·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方． 先计算积的乘方，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 6．（1）用两种方法比较若，的大小； （2）结合（1）的经验，解决问题：已知，，用含p，q的式子表示． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查幂的乘方和积的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据幂的乘方逆运算法则将变形为，再进行比较即可； （2）运用积的乘方把变形为，再供稿计算即可． 【详解】解：（1）， ∵底数，， ∴，即． （2）． 7．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，根据各自的运算法计算即可． （1）先计算幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方，最后合并同类项即可． （2）先利用积的乘法的逆运算计算，然后再计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 8．阅读理解：下面是小明完成的一道作业题． 小明的作业：计算：． 解：原式． (1)知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： ①； ②． (2)知识拓展：若，求（用字母表示）． 【答案】(1)①；②； (2) 【分析】本题主要考查了积的乘方法则逆运算、幂的乘方法则的逆运算、同底数幂的乘法法则，熟练掌握积的乘方法则、同底数幂的乘法法则是解题关键． （1）知识迁移：①结合题意，根据积的乘方法则逆运算进行计算即可；②结合题意，根据积的乘方法则逆运算进行计算即可； （2）知识拓展：结合题意，根据幂的乘方法则、积的乘方逆运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：①； ② ； （2）解：∵， ∴， ∴， 即． 9．在数学领域，幂运算和整式乘法构建起了代数运算的重要基石，灵活运用幂的运算性质，能成为破题的关键所在． 类型一：简便计算 （1）______； 类型二：代数式求值 （2）若，，则______； 类型三：解方程 （3）解关于x的方程：． 【答案】（1）；（2）14；（3） 【分析】本题考查了幂的运算性质，包括同底数幂的乘法、积的乘方等，解题的关键是熟练运用这些性质对式子进行变形和计算． （1）利用积的乘方逆运算进行简便计算； （2）先根据同底数幂加法法则对等式左边进行合并，再根据指数相等求出a、b的值； （3），将方程中各项化为同底数幂，然后根据同底数幂的乘除运算法则化简方程，最后求解x． 【详解】（1）解：原式． 故答案为：． （2）解：∵，， ∴，， ∴． 故答案为：14． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． 10．【教材研究】：下面方框内是2022年湘教版教材内的一道例题． 【我的感悟】：请参考例题的解法解答下列问题． 计算：． 解：原式， ， ， ． (1)计算： ①； ②． (2)如果，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】此题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方逆运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）①根据同底数幂的乘法和积的乘方逆运算求解即可； ②根据幂的乘方和积的乘方逆运算求解即可； （2）根据同底数幂的乘法得到，然后指数相等得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：∵ ∴ ∴ ∴． 题型四：同底数幂的除法 1．下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方． 根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的运算法则，对每个选项逐一计算判断即可． 【详解】解：，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项正确； ，故D选项错误； 故选：C． 2．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方的运算法则分别计算各选项，即可得到正确结果． 【详解】解：A、，故该选项错误； B、，故该选项错误； C、，故该选项错误； D、，故该选项正确． 3．若 ，则 的值是（     ） A．6 B．72 C．1 D． 【答案】D 【分析】将所求式子利用幂的运算法则变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 4．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）计算：______． 【答案】 【分析】本题主要考查同底数幂的除法，根据同底数幂的除法法则进行计算即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：a． 5．（25-26七年级上·上海闵行·期末）已知，则的值为_____． 【答案】/ 【分析】本题主要考查同底数幂的除法运算法则的逆用．先逆用同底数幂的除法运算法则，即，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 6．（25-26七年级上·上海·期末）若，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，积的乘方的逆用． 先计算单项式乘以多项式，再逆用积的乘方将各项化为的形式，进而根据计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 7．（25-26七年级上·上海闵行·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂相乘，同底数幂相除，合并同类项，先运算积的乘方，然后运算同底数幂相乘，再运算同底数幂相除，最后合并同类项，即可作答． 【详解】解： ． 8．定义一种幂的新运算：，例如，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了定义幂的新运算．熟练掌握新运算规则，同底数幂的除法法则，是解题的关键． （1）根据新运算规则计算，即可求解； （2）根据新运算规则原式可变形得出，可得，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵， ∴， ∴， 解得：． 9．（1）若，求的值； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是幂的运算中幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法与除法，积的乘方，掌握相关知识点是解题关键． （1）利用幂的乘方逆运算和同底数幂的乘除法得到，，再解方程即可； （2）先利用幂的乘方逆运算，将原式化为，再代入求值． 【详解】解：（1）， ∴， ， ． （2），， ． 10．阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，......，观察规律，，∵的末尾数字是1，∴的末尾数字是1，∴的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7．解答下列问题： (1)的末尾数字是 ，的末尾数字是 ； (2)求的末尾数字； (3)求证：能被5整除． 【答案】(1)3，6； (2)4； (3) 证明：∵的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，的末尾数字是2，… 的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6， 的末尾数字为6； 同理可得： 的末尾数字7，的末尾数字9，的末尾数字3，的末尾数字1； 的末尾数字9， ∴的末尾数字是5， ∴能被5整除． 【分析】（1）根据阅读材料中的结论可知的末尾数字；根据阅读材料中提供的方法，可得的末尾数字是4，的末尾数字是6，于是得解； （2）先将化成，再利用的末尾数字是6，从而得出结论； （3）分别证明的末尾数字为6和的末尾数字9，则命题即可得证． 【详解】（1）解：， 的末尾数字为3； 的末尾数字是4，的末尾数字是6，的末尾数字是4，… 的末尾数字是4，的末尾数字是6， 的末尾数字是6； 故答案为：3，6； （2）解：， ∵的末尾数字是6， ∴的末尾数字是4； （3）略 【点睛】此题是一道阅读理解题，主要考查了幂的运算、数的整除，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则是解答此题的关键． 题型五：单项式乘除法混合运算 1．计算的结果为_______． 【答案】/ 【分析】本题考查单项式乘以单项式，运用单项式乘以单项式法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 2．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘多项式，根据单项式乘多项式的法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为． 3．（25-26七年级上·上海·期中）计算：________________． 【答案】 【详解】解： ． 4．（25-26七年级上·上海·期末）______． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，单项式除以单项式的运算，根据题意只需要计算出的结果即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 5．（25-26七年级上·上海宝山·期末）计算：___． 【答案】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，计算单项式除以单项式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 多项式除以单项式，等于将多项式的每一项分别除以单项式，再将结果相加即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 6．（25-26七年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【详解】解：      ． 7．（24-25七年级上·上海青浦·期末）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的运算，根据多项式除以单项式，然后合并同类项即可． 【详解】解：原式 8．（21-22七年级下·四川巴中·期中）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 9．七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． (1)如果关于的多项式的值与的取值无关，那么的值为__________． (2)已知，，且的值与的取值无关，求的值． (3)有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分)，设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当变化时，的值始终保持不变，求与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式加减运算和单项式乘以多项式的应用，解题关键是熟练掌握单项式乘以多项式法则． （1）先把多项式化简，根据多项式的值与x的取值无关可知：化简后的多项式含有x的项的系数为0，列出方程解答即可； （2）计算，令，再根据多项式的值与x的取值无关可知：化简后的多项式含有x的项的系数为0，列出方程解答即可； （3）观察图形，求出，的长与宽，求出它们的面积，进而求出的差，进行判断即可． 【详解】（1）解：关于的多项式， 关于的多项式的值与的取值无关， ， 即 故答案为：． （2），， ， 又的值与的取值无关， ， 即 （3）由题意得，阴影部分的面积， ， 当变化时，的值始终保持不变， ， 即． 10．在数学综合实践课上，田田设计了一个类似字母“”的图案，其设计原理是：用图1中4张边长为的类正方形，1张边长为的类正方形，4张长为，宽为的类长方形，拼成一个如图2的大正方形，画出涂色部分，形成类似字母“”的图案． (1)当厘米，厘米时，求“”图案中阴影部分的面积； (2)用含字母的代数式表示阴影部分的面积； (3)若阴影部分的面积恰好等于4张小正方形的面积总和，请计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式运算与图形面积，涉及三角形面积公式、不规则图形面积求法及整式的混合运算等知识，数形结合，准确表示出三角形面积是解决问题的关键． （1）根据三角形面积公式进行计算即可； （2）用含有的代数式分别表示三个阴影部分三角形的面积即可； （3）根据题意得出，再进行化简即可． 【详解】（1）解：如图所示： 由三角形面积公式代值可得： ； （2）解：如图所示： ； （3）解：由（2）可知阴影部分面积的代数式为，4张小正方形的面积总和为， 则， 即， ， ， 即． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 整式乘除法的综合运算 题型一 同底数幂相乘及其逆运用 题型二 幂的乘方及其逆运用 题型三 积的乘方及其逆运用 题型四 同底数幂的除法 题型五 单项式乘除法混合运算 题型一：同底数幂相乘及其逆运用 1．（25-26七年级上·上海闵行·期末）设，，下列三者之间的关系式正确的是（） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·上海杨浦·期中）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·上海·期末）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26六年级下·上海·期末）______． 5．（25-26七年级上·上海闵行·期末）计算：_____．（结果用幂的形式表示） 6．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）计算：______．（n是整数） 7．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）若，则_______． 8．（24-25八年级上·吉林长春·阶段检测）当，则的值为________． 9．（24-25七年级上·上海·期中）计算：________． 10．（25-26七年级·陕西渭南·期中）已知，求的值．（用含m，n的代数式表示） 题型二：幂的乘方及其逆运用 1．（25-26七年级上·上海普陀·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海·期末）计算：，其中，第一步运算的依据是______法则．（选填“积的乘方”、“幂的乘方”、“同底数幂的乘法”或“同底数幂的除法”） 3．（25-26七年级上·上海闵行·期末）计算：______． 4．（24-25七年级上·上海青浦·期末）计算：___________． 5．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如果，，那么______． 6．（25-26七年级上·上海·期末）若，，则的值为_____． 7．计算： 8．（25-26七年级上·上海金山·期末）计算：． 9．（25-26八年级上·江西上饶·期末）若（且，，是正整数），则． 你能利用上面的结论解决下面的3个问题吗？试试看，相信你一定行！ (1)如果，求的值； (2)如果，求的值； (3)已知满足，求的值． 10．（25-26七年级上·山东济南·期末）规定两数之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：_____． (2)①若，，，请你尝试证明：；②若，，，则_____（用含的式子表示）． 进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明：设， ， ， ，即． ． (3)结合上文结论，求的值． 题型三：积的乘方及其逆运算 1．（25-26七年级上·上海金山·期末）下列运算不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海·期中）计算：________________． 3．（25-26七年级上·上海·期末）______． 4．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）计算：______． 5．（25-26七年级上·上海·期末）计算： 6．（1）用两种方法比较若，的大小； （2）结合（1）的经验，解决问题：已知，，用含p，q的式子表示． 7．计算： (1)； (2) 8．阅读理解：下面是小明完成的一道作业题． 小明的作业：计算：． 解：原式． (1)知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： ①； ②． (2)知识拓展：若，求（用字母表示）． 9．在数学领域，幂运算和整式乘法构建起了代数运算的重要基石，灵活运用幂的运算性质，能成为破题的关键所在． 类型一：简便计算 （1）______； 类型二：代数式求值 （2）若，，则______； 类型三：解方程 （3）解关于x的方程：． 10．【教材研究】：下面方框内是2022年湘教版教材内的一道例题． 【我的感悟】：请参考例题的解法解答下列问题． 计算：． 解：原式， ， ， ． (1)计算： ①； ②． (2)如果，求的值． 题型四：同底数幂的除法 1．下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．若 ，则 的值是（     ） A．6 B．72 C．1 D． 4．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）计算：______． 5．（25-26七年级上·上海闵行·期末）已知，则的值为_____． 6．（25-26七年级上·上海·期末）若，则的值是________． 7．（25-26七年级上·上海闵行·期末）计算：． 8．定义一种幂的新运算：，例如，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)若，求x的值． 9．（1）若，求的值； （2）已知，，求的值． 10．阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，......，观察规律，，∵的末尾数字是1，∴的末尾数字是1，∴的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7．解答下列问题： (1)的末尾数字是 ，的末尾数字是 ； (2)求的末尾数字； (3)求证：能被5整除． 题型五：单项式乘除法混合运算 1．计算的结果为_______． 2．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）计算：______． 3．（25-26七年级上·上海·期中）计算：________________． 4．（25-26七年级上·上海·期末）______． 5．（25-26七年级上·上海宝山·期末）计算：___． 6．（25-26七年级上·上海·期中）计算：． 7．（24-25七年级上·上海青浦·期末）计算： 8．（21-22七年级下·四川巴中·期中）化简： (1) (2) 9．七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． (1)如果关于的多项式的值与的取值无关，那么的值为__________． (2)已知，，且的值与的取值无关，求的值． (3)有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分)，设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当变化时，的值始终保持不变，求与之间的数量关系． 10．在数学综合实践课上，田田设计了一个类似字母“”的图案，其设计原理是：用图1中4张边长为的类正方形，1张边长为的类正方形，4张长为，宽为的类长方形，拼成一个如图2的大正方形，画出涂色部分，形成类似字母“”的图案． (1)当厘米，厘米时，求“”图案中阴影部分的面积； (2)用含字母的代数式表示阴影部分的面积； (3)若阴影部分的面积恰好等于4张小正方形的面积总和，请计算的值． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01整式乘除法的综合运算 参考答案 题型一：同底数幂相乘及其逆运用 1.A 2.A 3.B 4.x 5.(a-b)°1b-a)° 6.8a"+2/8a2+n 7.1 8.4 9.4. 10.m2n3 题型二：幂的乘方及其逆运用 1.C 2.幂的乘方， 3.-xy 4.x3. 27 5.25 6.-3 7.2a6 8.-a8 9.【答案】(1)x=6 (2)x=5 3)x=2 【详解】(1)解：27=38， 1/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3）=3,3=38, 3x=18, 解得x=6: (2)解：3×9×27=326， 3×3)×3)=-326, 3×32×33r=326 342x+3x=326, 即1+2x+3x=26, 5x+1=26, x=5: (3)解：32+2-32=648， .9×32x-32x=648, 8×32x=648, 32x=81, 32=34, 即2x=4, x=2, 10.【答案】(1)2 (2) ①证明：(5,3)=a,(5,7)=b,(5,21)=c, 5°=3,5=7,5=21， 3×7=21, 550=5,即5b=5, :.a+b=c; ②m+2n (3)2 【详解】(1)解：如果a=b,那么(a,b)=c, 25=32, (2,32)=5: 2/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3=27, (327）=3: 则(2,32)-(3,27)=5-3=2， 故答案为：2： (2)①略 ②由①的证明过程可知x"=2,x”=3,x=18, 2×9=2×32=18, x(x）=x,即xn2m=x, 则k=m+2n. 故答案为：m+2n; （a解：6s8到） -22 设23=a（2)-6,则e=a+6=23r2) c=23×)-24, 2=4, 22=4, .c=2, 64=2 即16,81)+8,27)月 题型三：积的乘方及其逆运算 1.B 2.w 3.27x2y 3/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4. 5.【答案】0 【详解】解：（-2a2)+（3a)-(-a)9 =-8a+9a6-a =0」 6.【答案】(1)220<45；(2)pq 【详解】解：(1)45=(22)5=20， 底数2>1,20<30， 220<20,即20<45 (2)155=(3x55=35×55=(3x(5=pg 7.【答案】(1)2a (2)-2.5 【详解】(1)解：(a2a2+(-3a-(2a2) =a4.a2+9a6-8a =a6+9a6-8a5 =2a6 2025 (2)解： ×2.52026×(-1）2025 =(0.4)025×(2.5)2m5×2.5×(-1） =12025×2.5×(-1) =-2.5 25 8. 【答案】（①-1：②2： (2)a3b 【详解】1)解：085×(-0.125)5=(-0.125x8m5=(←15=-1， @借” 4/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8 副 ( = 5 =-72 (2)解：a=3°，b=53, a2=(3=35,b=(5=55, ab-35×55=(3x5)5=155, 即155=a3b. 9.【答案】月：24，=7 故答案为：一3 (2)解：2+2=2×2=26=2,37+37+37=3×3=38=3， ∴.a=6,b=8, ∴a+b=6+8=14 故答案为：14 (3)解：32.92x1÷27+2=243, 32-(6÷(62=35, .32.342÷3x6=35, 3244+2-3x-6=35, 5/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .2+4x+2-3x-6=5. x=7 10.【答案】(1)①-8；②-1 (2)a=6 【详解】(1)解：①82026×(-0.125)225 =8×82025×(-0.125)2025 =8×(-8×0.125)202 =8×(-1)2025 =-8； @ =6j =9 （ =（-1 =-1: (2)解：3+2.7+2=212a-4 ∴.21+2=212a-4 ∴.a+2=2a-4 a=6 题型四：同底数幂的除法 1.C 2.D 3.D 4.a. 1 5.210.5 6/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.8 7.【答案】x6-1 【详解】解：（-2x2)+(3x-(xx÷(x) =-8x6+9x6-（-x)x÷(x） =-8x6+9x6-（x）:(x4) =-8x6+9x6-1 =x-1 8.【答案】(1)32 (2)x=-1 【详解】(1)解：2#(-3) =22÷23 1 =4÷- 8 =4×8 =32 (2)解：2#(x-)=2, .22÷2=22-=24, .2-(x-1)=4. 解得：x=-1. 9.【答案】(1)m=7:(2)-9 【详解】解：(1)3x3)÷(3)=(3)°， 33m1-2m=38, .3m+1-2m=8, .m=7. (2)a=-2,a'=3, a=(a÷(a}=(-2ys32=-8 10.【答案】(1)3,6： 7/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)4: (3) 证明：：12的末尾数字是2,12的末尾数字是4,12的末尾数字是8,124的末尾数字是6,12的末尾数 字是2，… 12的末尾数字是2,122的末尾数字是4,12+3的末尾数字是8,12“的末尾数字是6， .122024=124506的末尾数字为6： 同理可得： 37+的末尾数字7,37+2的末尾数字9,37+3的末尾数字3,37"的末尾数字1 .372018=3745042 的末尾数字9， .12024+372018的末尾数字是5， 12024+372018能被5整除 【详解】(1)解：32021=34s05 320的末尾数字为3： 14的末尾数字是4,142的末尾数字是6,14的末尾数字是4，… ∴142*的末尾数字是4,142”的末尾数字是6， .1422的末尾数字是6： 故答案为：3,6 (2)解：202=(245×22=(2)0×4， :(2)的末尾数字是6， :2202的末尾数字是4： (3)略 【点睛】此题是一道阅读理解题，主要考查了幂的运算、数的整除，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方 与积的乘方法则是解答此题的关键 题型五：单项式乘除法混合运算 1.-x2y6 3 2.1 ab-ab 3.3b 4.27x2y 8/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2t-6r2y2 5. 6.【答案】2y 【详解】解：(4xy-6x2y)÷2x2y+3yy =2xy3-3y2+3y2 =2y. 7.【答案】3a2+ab+1 【分析】本题主要考查了整式的运算，根据多项式除以单项式，然后合并同类项即可 【详解】解：原式=3a2-2ab+1+3ab =3a2+ab+1 8.【答案】(1)-2xy (2)-3x2y2+5.xy-y 【详解】（a)解(-2÷(2y =-8y+(2 =2x6y4 (2)解：(21ry-35xy2+7xy2）÷(-7x2y) =-3x2y2+5xy-y 9. 【答案】)5 3 2)7 (3)5a=6b 【详解】(1)解关于x的多项式2m2+(3x-2)m-x=(3m-1)x+2m2-2m, ·关于x的多项式2m2+(3x-2)m-x的值与x的取值无关， .3m-1=0, 1 即m= 3 9/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 故答案为： (2)A=3x2+nx+2n,B=x2-2x+x, .A-3B=(3x2+x+2n)-3(x2-2x+x) =3x2+x+2n-3x2+6x-3x =(7n-3)x+2n 又：A-3B的值与x的取值无关， .7n-3=0, 即n-号 (3)由题意得，阴影部分的面积S=a(x-3b),S2=2b(x-2a) .5S-3S,=5×a(x-3b)-3×2b(x-2a) =5ax-15ab-6bx+12ab =(5a-6b)x-3ab ~当x变化时，5S-3S2的值始终保持不变， .5a-6b=0, 即5a=6b 10.【答案】(1)18 3 3 (2)za+2ab 2 3 (3 【详解】(1)解：如图所示： h a b 0 a 6 由三角形面积公式代值可得： Sx2x2+4+x2x2x2+4)+x2x4=18 2 2 10/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：如图所示： b e 2 a a b S=)a(a+b)+5a(2a+b)+5b=3a+3ab 2 2 3 )解：由(2)可知阴影部分面积的代数式为a+b,4张小正方形的面积总和为4Q 则a+b=4u2, 3 2 即3ab=5a2, a≠0， .5a=3b, a 3 即65 11/11