专题02 乘法公式的综合运算（高效培优专项训练）数学新教材沪教版五四制七年级上册

**基本信息** 以乘法公式为核心，构建“基础计算-几何直观-简便运算-综合应用”递进体系，融合规律探究与实际问题，培养抽象能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础公式应用|题型一至四（共40题）|公式正向应用、特征判断、参数求解|从(x+p)(x+q)到平方差、完全平方公式，构建多项式乘法到公式推导的逻辑链| |几何验证|题型三、五（共11题）|图形面积法验证公式、数形结合转化|通过图形分割拼接，直观理解公式几何意义，强化空间观念| |综合拓展|题型六、七（共25题）|公式变形、整体代换、简便计算技巧|整合公式灵活应用，解决化简求值与实际问题，提升运算能力与推理意识|

专题02 乘法公式的综合运算 题型一 （x+p）(x+q)题型的计算 题型二 运用平方差公式计算 题型三 平方差与几何图形 题型四 运用完全平方公式计算 题型五 完全平方公式与几何图形 题型六 运用乘法公式简便计算 题型七 乘法公式的综合应用 题型一： （x+p）(x+q)题型的计算 1．已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用多项式乘多项式的运算法则展开等式左边，再根据多项式相等对应项系数相等求出和的值，最后计算得到结果． 【详解】解：，， ，解得， ． 2．（25-26七年级上·上海·期中）如果，那么、的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘法的展开和系数比较，是基础题． 通过展开右侧的因式形式，比较多项式系数，即可得出和的值． 【详解】解：， ∵， ∴ ， 比较系数得：，． 故选：B． 3．（25-26七年级上·上海普陀·期中）若，则m可取的整数值有______个． 【答案】9 【分析】本题考查了多项式乘多项式，先整理得，再结合，，，则分别算出m可取的整数值，即可作答． 【详解】解：∵， ， ∴， 则，， ∵为整数 ∴ ， 或35或或16或或9或或5或0，共9个， 故答案为：9 4．北宋沈括在《梦溪笔谈》中首创“隙积术”，引出一个酒坛问题：如图，酒馆店家将酒坛一层层堆放，第一层长有4个酒坛，宽有3个酒坛，往下每一层长宽皆比上一层多一个酒坛，则第n层酒坛的个数比第一层酒坛的个数多_____个．（用含n的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了代数式的表示和计算，以及对数据变化规律的观察能力．根据题意得出第n层酒坛数量的表达式是本题的关键． 通过上面三层酒坛的排列规律，得出第n层酒坛数量的表达式，即可求出答案． 【详解】解：根据题意，第一层酒坛数量为：； 第二层酒坛数量为：； 第三层酒坛数量为：； 以此类推，第n层酒坛数量为：． 则第n层酒坛与第一层酒坛的差为：． 故答案为：． 5．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 6．（25-26七年级上·上海·期末）根据，直接计算下列题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据题目给出一个新算法直接进行求值计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【点睛】本题考查了多项式的乘法，本题类似于给出一个新算法根据新算法直接进行求值． 7．（24-25七年级上·上海虹口·期末）计算： 【答案】 【分析】此题考查了整式的混合运算． 利用多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项即可． 【详解】解： 8．先观察下列各式，再解答后面问题： ； ； ； ． (1)乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？ (2)根据以上各式呈现的规律，用公式表示出来； (3)试用你写的公式，直接写出下列两式的结果． ①_____________； ②_____________． 【答案】(1)两因式中常数项的和等于乘积中的一次项系数，常数项的积等于乘积中的常数项 (2) (3)①；② 【分析】本题考查了多项式乘多项式． （1）根据乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项之间的规律作答； （2）根据（1）中呈现的规律，列出公式； （3）根据（2）中的公式代入计算． 【详解】（1）解：乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项的关系为： 两因式中常数项的和等于乘积中的一次项系数，常数项的积等于乘积中的常数项； （2）解：公式为： （3）解：① ； ② ． 9．定义：对于依次排列的多项式（，，，是常数），当它们满足，且为常数时，则称，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．如对于多项式，因为，所以，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子． (1)已知，，，是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子． (2)若a，b，c，d是一组平衡数，，请写出一组b，c的值， (3)当a，b，c，d之间满足什么数量关系时，它们是一组平衡数？请说明理由． 【答案】(1) (2)（答案不唯一） (3)当时，a，b，c，d是一组平衡数 【分析】本题考查多项式乘多项式，解题的关键在于观察两个展开式中各项之间的关系，通过观察，我们会发现，． （1）直接根据定义计算的值； （2）根据定义表示平衡数的平衡因子，令一次项的系数为，代入可得结论； （3）根据（2）可得，，，之间满足的数量关系式． 【详解】（1）解： （2）由题意，得 ， 因为，，是常数，所以，即，所以，的值可以是．（答案不唯一，满足即可） （3）， ，，，都是常数，所以当时，是常数，即当时，，，，是一组平衡数 10．做一做计算： 探究归纳，如图甲、图乙是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． (1)根据图甲、图乙的特征用不同的方法计算长方形的面积，得到关于字母 x 的系数是 1 的 两个一次式相乘的计算规律，用数学式表达式为 ． (2)尝试运用，利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解．若，则 ． (3)若可以分解成关于 x 的两个一次式乘积的形式，则整数 p 的值一定是 ． 【答案】(1) (2) (3)0或 【分析】（1）根据甲图形的面积等于乙图形的面积，分别计算出两个图形的面积即可得到答案； （2）根据多项式乘以多项式的计算法则得到，由此即可得到答案； （3）根据，即可得到或或，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵可以分解成关于的两个一次式乘积的形式，， ∴或或， ∴或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，多项式乘以多项式与因式分解，灵活运用所学知识是解题的关键． 题型二：运用平方差公式计算 1．（25-26七年级上·上海·期末）下列各式中，能运用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式，平方差公式适用于形式为的表达式，其中a和b是数或代数式．逐项判断是否符合此形式即可． 【详解】解：A．∵ ，不符合平方差公式，故此选项不符合题意； B．∵ ，不符合平方差公式，故此选项不符合题意； C．∵ ，令，，则原式 ，符合平方差公式，故此选项符合题意； D．∵ ，不符合平方差公式，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）计算的结果为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查平方差公式，掌握平方差公式是解本题的关键． 识别表达式符合平方差公式的形式，直接应用公式计算． 【详解】解：给定表达式为，符合平方差公式，其中，， 代入公式得， 故答案为：． 3．若，则的值为___________． 【答案】2 【分析】本题考查平方差公式．根据进行计算即可． 【详解】解：， ， 又， ， 故答案为：2． 4．已知关于x、y的二元一次方程组的解是，在关于a、b的二元一次方程组中，则_____ ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，平方差公式，正确得出关于、的方程组是解题关键．根据已知得出，由进而得出答案． 【详解】解：关于、的二元一次方程组的解是， 方程组中， ∴． 故答案为：． 5．若实数满足，则代数式的值为__________． 【答案】 【分析】利用换元法设，则由已知可得，利用平方差公式求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．如果与的乘积为1，那么的值为______． 【答案】 【分析】根据题意可得，即，再把所求式子前面乘以，据此利用平方差公式求解即可． 【详解】解：∵与的乘积为1， ∴，即， ∴ ． 7．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 8．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】利用多项式乘法、平方差公式和完全平方公式展开原式，合并同类项化简后，代入的值计算结果． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 9．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，1 【分析】先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 10．学习了平方差公式：，小明发现对于某些多项式的运算进行适当的变形后可以出现平方差公式的结构，从而解决问题． 例如：计算． 解：原式， ， ， ． 根据上面的方法，解决以下的问题： (1)__________． (2)计算的值． (3)计算的值（，为正整数）． 【答案】(1)； (2)； (3)当时，结果为；当时，结果为． 【分析】（1）仿照题干方法，通过构造平方差公式求解； （2）仿照题干方法，通过构造平方差公式求解； （3）分两种情况计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：分两种情况讨论： 当时， 原式 ； 当时， 原式 ． 题型三：平方差公式与几何图形 1．为适应儿童健康成长与发展需求，推动城市儿童友好空间建设，某市政公园规划出一片长为，宽为的长方形区域用来打造儿童活动区域．如图，该区域划分为三个功能区，分别是游戏娱乐区、文化体验区和绿化休息区，其中，游戏娱乐区和绿化休息区均为长方形，文化体验区是边长为的正方形． (1)求绿化休息区的面积；（用含a，b的式子表示） (2)该公园计划为游戏娱乐区和文化体验区铺设塑胶地面，造价为每平方米25元．若，，求铺设塑胶地面所需的费用． 【答案】(1) (2)11300元 【分析】（1）先求出绿化休息区的长、宽，再利用长方形的面积公式计算即可； （2）先求出铺设塑胶地面的面积，再根据塑胶地面的造价为每平方米25元求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：绿化休息区是一个长为，宽为的长方形， 则绿化休息区的面积为 ， 答：绿化休息区的面积为． （2）解：铺设塑胶地面的面积为 ， ∵，， ∴， ∵塑胶地面的造价为每平方米25元， ∴（元）， 答：铺设塑胶地面所需的费用为11300元． 2．如图，图1为边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形． (1)设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为，请用含、的代数式表示：_____，_____（只需表示，不必化简）； (2)以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式_____； (3)运用（2）中得到的公式，计算：． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】（1）图1中阴影部分面积用大正方形面积减去小正方形面积表示即可，图2中阴影部分面积用长方形面积公式表示即可； （2）根据（1）的结果，即可得到答案； （3）运用（2）中得到的公式计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：由图形可知，图1中阴影部分面积，图2中阴影部分面积； （2）解：以上结果可以验证乘法公式为：； （3）解： ． 3．【探究】如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图2所示的图形． (1)上述操作能验证的等式是________（请选择正确的一个） A．    B． C．        D． 【应用】 (2)已知，，请计算的值； 【拓展】 (3)已知，，则A与B的大小关系为A________B（填“”“”或“”）． 【答案】(1)A (2)16 (3) 【分析】（1）根据拼接前后的面积相等可得出答案； （2）根据平方差公式进行计算即可； （3）利用平方差公式求出A的值，再与B进行比较即可． 【详解】（1）解：图①的剩余面积为，图②拼接得到的图形面积为， 因此有，，故A正确； （2）解：∵，， ∴ ； （3）解：∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 4．如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个平行四边形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的公式是 （填序号）． ① ② ③ (2)请应用上面的公式完成下列各题： ①若，，则 ． ②计算： 【答案】(1)② (2)①；② 【分析】本题主要考查了平方差公式的验证与应用． (1)根据拼接前后阴影的面积不变，可以验证平方差公式； (2)①把，代入即可求出的值； ②把转化为，用平方差公式展开进行计算． 【详解】（1）解：由图可知，阴影部分的面积为， 如下图所示，图中平行四边形的高为，底为， 平行四边形的面积为， 拼接前后阴影部分的面积没有变化， ， 能验证的公式是②， 故答案为②； （2）①解：，，， ∴ ， 故答案为：； ②解： ． 5．乘法公式的探究及应用． 探究问题：如图①是一张长方形纸条，将其剪成长短两条后刚好能拼成图②． （1）图①中长方形纸条的面积可表示为__________（写成多项式乘法的形式）； （2）拼成的图②阴影部分的面积可表示为__________（写成两数平方差的形式）； （3）比较两图阴影部分的面积，可以得到乘法公式：__________； 结论运用： （4）运用所得的公式计算：__________，__________； 拓展运用： （5）计算：． 【答案】（1） （2） （3） （4）； （5） 【分析】（1）用代数式表示长方形的长、宽，再根据面积公式表示出长方形的面积即可； （2）图2中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，表示两个正方形的面积差即可；（3）由两个图形的阴影部分的面积相等得出答案； （4）利用平方差公式进行计算即可； （5）)利用平方差公式，把每一项展开并计算，约分就可以得到结果. 本题考查了平方差公式的几何背景，解答本题的关键是利用阴影部分面积相等得到平方差公式的表达式，注意灵活运用平方差公式． 【详解】解：（1）图①中长方形纸条的面积可表示为， 故答案为：； （2）拼成的图②阴影部分的面积可表示为， 故答案为：； （3）比较两图阴影部分的面积，可以得到乘法公式：， 故答案为：； （4） ， ， 故答案为：，； （5） ． 题型四：运用完全平方公式计算 1．（25-26七年级上·上海宝山·期末）下列算式中，可用完全平方公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的特征：； 根据完全平方公式逐个判断即可． 【详解】解：A.，不能用完全平方公式进行计算，故本选项错误； B.，不能用完全平方公式进行计算，故本选项错误； C.，不能用完全平方公式进行计算，故本选项错误； D.，能用完全平方公式进行计算，故本选项正确； 故选：D． 2．（25-26七年级上·上海·期中）计算：________________． 【答案】 【详解】解： ． 3．（25-26七年级上·上海闵行·期末）已知，，那么的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式的变形，通过计算与的差得到，进而求出的值，即可作答． 【详解】解：，． 将两式相减，得， 即， ∴． 故答案为：． 4．（25-26七年级上·上海金山·期末）如果关于的整式，那么常数的值是______． 【答案】或9 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． 将右边展开后比较系数，得到关于m和n的方程，求解后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 即，， 由得或， 当时，，解得，则； 当时，，解得，则． 故答案为：或9． 5．（25-26七年级上·上海金山·期末）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先利用完全平方公式和平方差公式化简，然后合并即可． 【详解】解： ． 6．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算法则． 先根据完全平方公式和多项式乘以多项式法则计算，再去括号，合并同类项即可． 【详解】解： 7．（25-26七年级上·上海宝山·阶段检测）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、乘法公式，利用平方差公式和完全平方公式把整式中的各部分展开，再去括号、合并同类项． 【详解】解： 8．（25-26七年级上·上海·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据多项式乘以多项式和单项式乘以多项式的运算法则以及完全平方公式去括号，然后合并同类项化简，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 9．（25-26七年级上·上海·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据完全平方公式去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式 ． 10．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）同学们在学习七年级下册第八章《整式乘法》时，学习了重要的公式——完全平方公式，请解答下列各题： 【基础公式】 (1)请写出 ， ； 【公式变形】 (2)请写出、与的关系： ； 【公式应用】 (3)已知：，，求的值； (4)已知：，求的值． 【答案】(1) (2) (3)10 (4) 【分析】（1）直接默写完全平方和、完全平方差基础公式． （2）将两个完全平方公式作差，整理得到三者之间的等量变形关系． （3）利用完全平方差变形公式 ，代入已知数值计算． （4）设，，先计算的定值，已知，利用完全平方变形公式求出，再通过化简得到，开平方求出的值． 【详解】（1）解：， ； （2）解：∵，， ∴， ∴； （3）解：∵，，， ∴； （4）解：设 ，，则， ，， ∵， ∴， 由（2）得， ∴， ∴，即， ． 题型五：完全平方公式与几何图形 1．如图是一个长为、宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形． (1)你认为图中的阴影部分的正方形的边长等于多少？______． (2)请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积． 方法：______（只列式，不化简） 方法：______（只列式，不化简） (3)观察图，请你写出，，之间的等量关系． (4)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：若，．求． 【答案】(1) (2)， (3) (4)16 【分析】（1）根据图形填空即可； （2）根据面积的不同计算方法填空即可； （3）将三者关系列出等式即可； （4）利用（3）中等式计算即可． 【详解】（1）解：观察图b可以发现：图b中的阴影部分的正方形的边长等于， 故答案为：； （2）解：方法1：, 方法2：, 故答案为：，； （3）解：观察图b可以发现：, 即：, ∴，，之间的等量关系为：； （4）解：∵， ∴根据（2）题中的等量关系，可得 ． 2．【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为， 【类比探究】 （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为______． 【应用】 （2）根据图②所得的公式，若，，求的值． （3）若x满足，求的值． 【拓展】 （4）如图③，某学校有一块梯形空地，于点E，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）种草区域的面积和为60平方米． 【分析】此题主要考查了几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征，图形的面积公式是解决问题的关键． （1）根据图②中“阴影部分两个正方形的面积之和=大正方形的面积-两个长方形的面积”得，据此即可得出答案； （2）由（1）的结论得，将代入计算即可得出答案； （3）设，则，进而得，由（1）的结论得，由此即可得出答案； （4）设，则种花区域的面积（米），由此得，由（1）的结论得，进而得种草区域的面积和为（平方米）． 【详解】解：（1）∵图②中大正方形的边长为，阴影部分两个正方形的边长分别为a，b，两个长方形的宽和长分别为a，b， 大正方形的面积为，阴影部分两个正方形的面积分别为，长方形的面积为， 又阴影部分两个正方形的面积之和大正方形的面积两个长方形的面积， ， 故答案为：； （2）由（1）的结论得：， 又， ； （3）设，则， ， ， ， 由（1）的结论得：， ， ； （4）设， 于点E，米， （平方米），（平方米），（平方米），平方米，（米）， 种花区域的面积和为102平方米， ， ， 由（1）的结论得：， ， ， 种草区域的面积和为：（平方米）， 答：种草区域的面积和为60平方米． 3．“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图（1）是一个大正方形被分割成了边长分别为a、b的两个正方形和长、宽分别为a、b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式______； 利用上述公式解决下列问题： 【直接应用】 （2）若，，则______； 【类比应用】 （3）若，求的值； 【知识迁移】 （4）如图（2），点在线段上，四边形、都是正方形，连接、、．若阴影部分的面积和为11，的面积为7，求的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）用2种方法表示出大正方形的面积即可得出结果； （2）利用完全平方公式进行计算即可； （3）利用完全平方公式变形计算即可； （4）设正方形的边长为，正方形的边长为，利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：（1）由图可知：． （2）∵，， ∴． （3）由题意，得： ． （4）设正方形的边长为，正方形的边长为， 则，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 4．魔法工坊社团的同学们需要为展区的正方形桌子设计一款创意桌布．现有一块长为米，宽为米的长方形四叶草布料（其中），通过裁剪拼接用作桌布的外围四周区域，正中区域用另一块其他花纹的布料填充．（拼接处所用材料忽略不计） 经过调查，以下三种设计方案备受大家喜欢，该花纹布料裁剪方式如下： (1)方案A如图2所示，把布料按左图裁剪成4块全等的长方形，并按右图拼接成大正方形，内部正方形用其它面料补充，则内部正方形的边长为______米，整个正方形桌布的边长为______米． (2)方案B如图3所示，把布料按左图裁剪成4块全等的直角三角形，按右图方式拼接成大正方形，求内部正方形的面积和该桌布的总面积． (3)方案C如图4所示，把布料按左图裁剪成8块全等的直角三角形，按右图中方式拼接成大正方形． ①通过计算，求内部正方形的面积和该桌布的总面积； ②若，请直接写出正方形的面积． 【答案】(1)； (2)内部正方形面积为平方米，桌布总面积为平方米； (3)①内部正方形面积为平方米，桌布总面积为平方米；②平方米 【分析】（1）原长方形布料长、宽，裁剪为4块全等小长方形后，每个小长方形长为、宽为，拼接后，内部正方形边长为小长方形的长减宽，整个桌布的边长为小长方形的长加宽； （2）根据题意得出内部正方形的边长为，从而求出面积；再根据整个桌布的面积四个直角三角形的面积内部正方形的面积求解即可； （3）①根据题意得出，拼接后大正方形（桌布）边长为，据此求出桌布总面积；再根据内部正方形的面积桌布总面积原布料面积求解即可； ②根据正方形的面积桌布总面积四个直角三角形的面积，代入求解即可； 【详解】（1）解：∵原长方形布料长、宽， ∴裁剪为4块全等小长方形后，每个小长方形长为、宽为， ∴内部正方形的边长为：米， 整个正方形桌布的边长为米． （2）解：根据题意可得，4个全等直角三角形的直角边分别为和， 内部正方形的面积， 原布料（4个直角三角形）总面积为， 整个桌布的面积， 答：内部正方形面积为平方米，桌布总面积为平方米； （3）解：①根据题意，8个全等直角三角形的直角边分别为和，拼接后大正方形（桌布）边长为， 桌布总面积； 原布料（8个直角三角形）总面积为， ∴内部正方形的面积桌布总面积原布料面积， 答：内部正方形面积为平方米，桌布总面积为平方米； ②∵， ∴平方米． 5．（25-26七年级上·上海宝山·阶段检测）已知、是两个边长不相等的正方形纸片，它们的边长之和是，边长之差是． (1)如图1，用含、的代数式表示、两个正方形纸片的面积之和____________． (2)如图1，当时，、两个正方形纸片的面积之和为____________． (3)如图2，如果、两个正方形纸片的面积之和为5，阴影部分的面积为2，试求、的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，完全平方公式的应用，整式的加减的应用，熟练掌握完全平方公式，正确找出题目中的等量关系是解题关键． （1）设、两个正方形纸片的边长分别为、，根据图形的特点列出方程组，从而求出大正方形的面积与小正方形的边长，进而得到面积和，再代入计算即可； （2）由（1）代入计算即可； （3）设、两个正方形纸片的边长分别为、，由题意得：，进而求出，即可求出m、n的值； 【详解】（1）解：设、两个正方形纸片的边长分别为、， 由题意得：， 解得： ∴、两个正方形纸片的面积之和为 故答案为：； （2）解：当，时，、两个正方形纸片的面积之和为 故答案为：； （3）解：设、两个正方形纸片的边长分别为、 由题意得： . 6．（25-26七年级上·上海普陀·期末）小明在学习乘法公式时，通过计算图形的面积发现了平方差公式及完全平方公式，他课后遇到了这样一个问题，请帮他一起解决： (1)如图，已知是直角三角形，，，，，请分别画出绕点顺时针旋转得到，关于点O成中心对称的，绕点逆时针旋转得到． (2)第（1）问画出的四边形是一个什么图形？______． 一方面，四边形的面积可以直接用公式计算为______；另一方面，它的面积等于四个三角形和四边形的面积之和，为______．于是，我们得到______．（用含、、且化简后的整式表示） (3)请你借助，再画出一种示意图推出第（2）题得到的等式，并简要说明推导过程． 【答案】(1) 解：如图，四边形即为所求； (2)正方形，，， (3) 解：如图，已知是直角三角形，，，，，分别画出绕点顺时针旋转得到，关于点O成中心对称的，绕点逆时针旋转得到． 则四边形是一个正方形，一方面，四边形的面积可以直接用公式计算为，另一方面，它的面积等于四边形的面积减去四个三角形，为，于是，我们得到﹒ 【分析】本题为开放性问题，考查了通过数形结合思想﹒理解利用图形证明平方差公式，完全平方公式的过程是解题关键﹒ （1）根据题意进行作图即可求解； （2）根据题意分别计算图形面积，再进行整理即可求解； （3）类比（1）（2）进行拼图，计算面积即可求解﹒ 【详解】（1）略 （2）解：四边形是一个正方形，一方面，四边形的面积可以直接用公式计算为，另一方面，它的面积等于四个三角形和四边形的面积之和，为，于是，我们得到﹒ 故答案为：正方形，，，； （3）略 题型六：运用乘法公式简便计算 1．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)10000 (2)505 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式的应用． （1）将式子变形为符合完全平方公式的形式进行简便计算； （2）利用平方差公式进行简便计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 2．用简便方法计算 (1) (2) 【答案】(1)9996 (2)1 【分析】此题考查了乘法公式，熟练掌握公式是解答本题的关键．完全平方公式是；平方差公式是． （1）根据平方差公式计算即可； （2）根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 3．用简便方法计算． (1) (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用． （1）运用完全平方公式计算即可． （2）运用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 4．用简便算法计算 (1)； (2) 【答案】(1) 1 (2) 10392 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握这两个基本公式是解题的关键； （1）将原式变形为，再利用平方差公式求解； （2）将原式变形为，再结合完全平方公式求解即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： . 5．用简便方法计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)999991 (3)9409 (4) 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用； （1）运用平方差公式进行计算即可； （2）运用平方差公式进行计算即可； （3）运用完全平方公式进行计算即可； （4）运用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 题型七：乘法公式的综合应用 1．先化简，再求值：，其中． 【答案】，8 【详解】解： ， ∵ ∴原式． 2．化简并求值，其中，． 【答案】 ， 【详解】解： ， 当，时，原式 3．先化简，再求值：，其中，满足：． 【答案】 【详解】解： ； ， ， ， 把代入，原式． 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算多项式除以单项式和多项式乘以多项式，再去括号、合并同类项即可； （2）把当作一个整体，原式可化为，然后利用平方差公式和完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 5．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）利用平方差公式和完全平方公式计算即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．（1）先化简，再求值： 其中，． （2）运用乘法公式计算：． 【答案】（1）；8；（2） 【分析】本题考查整式的化简求值，利用平方差公式进行简便运算，熟练掌握相关运算法则，正确地进行计算，是解题的关键． （1）先进行完全平方公式和平方差公式的计算，再合并同类项进行化简，将，代入求值即可． （2）将改写为，再利用平方差公式进行计算即可。 【详解】（1）解：原式 当，时， 原式 ． （2）解： ． 7．运用乘法公式计算 (1)； (2) (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查完全平方公式以及平方差公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式、以及平方差公式． （1）根据完全平方公式即可求出答案； （2）根据平方差公式即可求出答案； （3）根据完全平方公式以及平方差公式即可求出答案； （4）根据完全平方公式即可求出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据负整数指数幂、零指数幂、平方计算即可； （2）根据多项式乘单项式法则计算即可； （3）化简后根据平方差公式求解即可； （4）根据积的乘方化简后根据完全平方公式求解即可； 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 9．（1）问题探究：已知，，可利用完全平方公式得：______． （2）自主推导：______． 根据上面的公式计算：已知，，求______ ． （3）问题解决：已知，，求的值． 【答案】（1）；（2），；（3） 【分析】（1）根据，代入可得答案； （2）由多项式乘多项式法则可得，将已知代入可得的值； （3）根据题意可知：，进而得到的值，代入可得答案； 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵ ， ∵，， ∴， ∴, ∴， 故答案为：，； （3）∵，， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 答：的值是 【点睛】本题考查完全平方公式的推广，解题的关键是掌握完全平方公式． 10．阅读材料： 若x满足，求的值． 解：设，则， ． 类比应用： (1)若，求的值； (2)若，则的值为________； (3)已知正方形的边长为a，点P和点R分别是边和上的点，且，分别以和为边长作正方形和正方形．若图中阴影部分长方形的面积是4，请求出正方形和正方形的面积和． 【答案】(1)3 (2) (3)12 【分析】本题考查利用完全平方公式求解，解题的关键是正确的利用完全平方公式． （1）根据例题方法直接求解即可得到答案； （2）利用完全平方公式直接求解即可得到答案； （3）结合图形根据例题方法代入，结合完全平方公式直接求解即可得到答案． 【详解】（1）设， 则， ； （2）设， 则， ， （3）由题意可知： ． 图中阴影部分的面积为， 则正方形和正方形的面积和为． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02乘法公式的综合运算 参考答案 题型一：(x+p)(x+a)题型的计算 1.A 2.B 3.9 4.(n2+5n-6) 5.【答案】(1)x2-x-6 (2)6x2+11xy-10y2 【详解】(1)解：(x+2)(x-3) =x2-3x+2x-6 =x2-x-6 (2)解：(2x+5y)(3x-2y) =6x2-4xy+15xy-10y2 =6x2+11xy-10y2 6. 【答案)2-3x+ 36 36 (2)x2y2-6ay-16a2 【分析】根据题目给出一个新算法直接进行求值计算即可求解， 【详解】(1)解： x+ 3636； (2)解：(y-8a(y+2a）=ry2+(-8a+2a)y-16a2=x2y2-6agy-16a2 【点睛】本题考查了多项式的乘法，本题类似于给出一个新算法根据新算法直接进行求值， 7.【答案】6y-16y 【分析】此题考查了整式的混合运算。 利用多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项即可， 【详解】解：(x-yx-2y)+(x-2y)(x-3y)-2(x-3y)(x-4y) =(x2-3xy+2y2）+(x2-5y+6y2）-2(x2-7xy+12y2） 1/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =x2-3xy+2y2+x2-5xy+6y2-2x2+14xy-24y =(x2+x2-2x2)+(14xy-3xy-5y)+(2y2+6y2-24y2) =6xy-16y2 8.【答案】(1)两因式中常数项的和等于乘积中的一次项系数，常数项的积等于乘积中的常数项 (2)(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab (3)①m2+m-9900:②y2-384y+25200 【详解】(1)解：乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项的关系为： 两因式中常数项的和等于乘积中的一次项系数，常数项的积等于乘积中的常数项： (2)解：公式为：(r+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab (3)解：①(m+100)(m-99) =m2+(100-99)m+100×(-99) =m2+m-9900: ②0y-300)y-84) =y2+(-300-84)y+(-300)×(-84) =y2-384y+25200 9.【答案】(1)-10 (2b=1,c=6(答案不唯一) (3)当a+d=b+c时，a,b,c,d是一组平衡数 【详解】(1)解：M=(x+2x+9)-(x+4x+7)=(x2+11x+18)-(x2+11x+28)=-10 (2)由题意，得 M=(x+4x+3)-(x+b)(x+c)=(x2+7x+12）-[x2+b+c)x+bc]=(7-b-c)x+12-bc, 因为M,b,c是常数，所以7-b-c=0,即b+c=7,所以b,c的值可以是b=l,c=6.(答案不唯一 满足b+c=7即可) (3)M=(x+a)(x+d)-(x+b)(x+c)=[x2+(a+d)x+ad]-[x2+(b+c)x+bcJ=(a+d-b-c)x+ad-bc, a,b,c,d都是常数，所以当a+d-b-c=0时，M是常数，即当a+d=b+c时，a,b,c,d是一 组平衡数 10.【答案】(1)(x+a(x+b)=x2+(a+b)x+ab (2)-18 2/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)0或±3 【详解】1)解：：S=(x+a)(x+b),S2=x2+ax+bx+ab=x2+(a+b)x+ab, ..(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab. 故答案为：(x+a)(+b)=x2+(a+b)x+ab: (2)解：x2-7x+m=(x-9)(x+2), x2-7x+m=x2-7x-18, ∴m=-18, 故答案为：-18： (3)解：：x+px-4可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式，-4=1×(4)=(-1)×4=2×(-2)， .x2+px-4=(x+)(x-4)=x2-3x-4或x2+px-4=(x-10(x+4)=x2+3x-4或 x2+px-4=(x+1)x-2)=x2-4, ∴p=0或±3， 故答案为：0或±3， 【点睛】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，多项式乘以多项式与因式分解，灵活运用所学 知识是解题的关键。 题型二：运用平方差公式计算 1.C 2.4y2-1 3.2 4.2 5.6 6.212 7.4y-y2 8.6a+74,70 9.2y,1 10. 【答案】(1)22-1： 3/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 36-1 22 当m时，结果为m1, m-1:当m=1时，结果为2 【详解】(1)解：原式=(2-1)2+1)(22+1)(24+1)2+1)(26+1) =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(26+1) =(24-1)(24+1)28+10(26+1) =(28-1)(28+1)(26+1) =(216-10(216+1) =22-1: (2解：原式36-6+8+g+g+0 =262-82+i08+1x3+》 =5(3-103+10(38+1) -0-0+0 36-1 2: (3)解：分两种情况讨论： 当m≠1时， 1 原式mm-1m+lm+1m'+-…(m+D 、1 (D(o+..m+ m-1(m-D(om+D) 1 = =m20-1 m-1; 当m=1时， 原式=(1+1)×(+)x(+)×+1)少×(6+x…x(+1) =2×2×2×2×2×…×2 =2” 4/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三：平方差公式与几何图形 1. 【答案】(1)(2a2+2ab-2462)m (2)11300元 【详解】(1)解：由题意得：绿化休息区是一个长为(a+4b)m,宽为3a-2b-(a+4b)=2a-6b(m)的长 方形， 则绿化休息区的面积为(a+4b)(2a-6b) =2a2-6ab+8ab-24b2 =2a2+2ab-24b2(m2）, 答：绿化休息区的面积为(2a2+2ab-24b2)m2 (2)解：铺设塑胶地面的面积为(3a+2b)(3a-2b)-(2a2+2ab-2462) =9a2-4b2-2a2-2ab+24b2 =7a2-2ab+20b2(m2). a=8,b=1, .7a2-2ab+20b2=7×82-2×8×1+20×12=452. :塑胶地面的造价为每平方米25元， .452×25=11300(元)， 答：铺设塑胶地面所需的费用为11300元. 2.【答案】(1)a2-b2,(a+b)(a-b): (2(a+b)(a-b)=a2-b (3)1 【分析】(1)图1中阴影部分面积用大正方形面积减去小正方形面积表示即可，图2中阴影部分面积用长 方形面积公式表示即可： (2)根据(1)的结果，即可得到答案： (3)运用(2)中得到的公式计算，即可得到答案。 【详解】(1)解：由图形可知，图1中阴影部分面积S=a2-b,图2中阴影部分面积S=(a+b)(a-b): (2)解：以上结果可以验证乘法公式为：(a+b)(a-b)=a2-b: 5/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：20252-2024×2026 =20252-(2025-1)(2025+1) =20252-(20252-1) =20252-20252+1 =1. 3.【答案】(1)A (2)16 (3)< 【详解】(1)解：图①的剩余面积为a2-b2,图②拼接得到的图形面积为(a+b)(a-b), 因此有，a2-b=(a+b(a-b),故A正确： (2)解：，m-2n=2,m+2n=8, .m2-4n2 =(m-2n)(m+2n) =2×8 =16: (3)解：，A=2024×2026 =(2025-1)(2025+1) =20252-1 B-A=20252-(20252-)=20252-20252+1=1, 1>0, .B-A>0, ..B>A, 即A<B. 4.【答案】(1)② (2)①2：②-1 【详解】(1)解：由图1可知，阴影部分的面积为a2-b2, 如下图所示，图2中平行四边形的高为a-b,底为a+b, .平行四边形的面积为(a+b)(a-b), 6/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b a-b b 图1 图2 ·拼接前后阴影部分的面积没有变化， .a2-b2=(a+b)(a-b), ∴能验证的公式是②， 故答案为②： (2)①解：a2-b=(a+b)(a-b),a2-b2=22,a+b=11, .22=11(a-b) .a-b=22÷11=2, 故答案为：2： ②解：2025×2027-2026 =(2026-1)×(2026+1)-20262 =20262-12-20262 =-1 5.【答案】(1) (a-b)(a+b)(2)a2-b (3)(a-b)(a+b)=a2-b2 14 (4)4 4m2;42-y 1013 (5)2025 【详解】解：(1)图①中长方形纸条的面积可表示为(a-b(a+b), 故答案为：(a-b)(a+b): (2)拼成的图②阴影部分的面积可表示为a2-b2, 故答案为：a2-b2: (3)比较两图阴影部分的面积，可以得到乘法公式：(a-b)(a+b)=a2-b 7/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：(a-b)(a+b)=a2-b, 4(后mm 6 (2x+y)(2x-y)=(2x}-y2=4x2-y2, 14m㎡，4x-y 故答案为：49” 5〔0---2s -+r-}+-4+个-040+24-5+0 1x2x2x4×2x2x…×2023x2025x2024x2026 223344 2024202420252025 1、2026 22025 1013 2025· 题型四：运用完全平方公式计算 1.D 4x2-1x+ 2.g-3x+ 16 3 3.2 4.(-11或戌9 5.-4m+37 6.x2-9x+14 7.6xy-13y2 8/22 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 8.x+y:600 9.【答案】 15 5a2-56216 【详解】解：(3a-2b)2-(2a-3b)2 =9a2-12ab+4b2-（4a2-12ab+9b2) =9a2-12ab+4b2-4a2+12ab-9b2 =5a2-5b2, 当a=- 16416 10. 【答案】(1)a2+2ab+b2,a2-2ab+b (2)(a+b)}2-(a-b)2=4ab (3)10 (4)±5 【详解】(1)解：(a+b)2=a2+2ab+b2. (a-b}2=a2-2ab+b2; (2)解：(a+b}2=a2+2ab+b2,(a-b2=a2-2ab+b2, .(a+b2-(a-b)2=(a2+2ab+b2）-(a2-2ab+b2） .(a+b)2-(a-b)2=4ab: (3)解：a2+b=(a-b)2+2ab,a-b=2,ab=3, .a2+b2=22+2×3=10 (4)解：设a=x-3,b=2-x,则a+b=(-3)+(2-x)=-1, ab=(x-3)(2-x),a-b=(x-3)-(2-x)=x-3-2+x=2x-5, :(x-3)2-x)=-6, .ab=-6, 由(2)得(a+b)2=(a-b)2+4ab, .(-1)2=(a-b)2+4×(-6), .(a-b)2=25,即(2x-5)2=25, 9/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴2x-5=±5 题型五：完全平方公式与几何图形 1.【答案】(1)m-n 2(m+n'-4mn,(m-n (3)(m+n)2=(m-n)2+4mm (4)16 【分析】(1)根据图形填空即可： (2)根据面积的不同计算方法填空即可： (3)将三者关系列出等式即可： (4)利用(3)中等式计算即可. 【详解】(1)解：观察图b可以发现：图b中的阴影部分的正方形的边长等于(m-n), 故答案为：m-n: (2)解：方法1：(m+n)2-4mn, 方法2：(m-n), 故答案为：(m+n'-4mn,(m-n): (3)解：观察图b可以发现：(m+n-4mn=(m-n), 即：(m+n)2=(m-n}+4mn, “.(m+n),(m-n)2,mn之间的等量关系为：(m+n)=(m-n)+4mn; (4)解：a+b=8,ab=12, 根据(2)题中的等量关系，可得 (a-b)2=(a+b)2-4ab =82-4×12 =16 2.【答案】(1)a2+b=(a+b)-2b;(2)41;(3)10:(4)种草区域的面积和为60平方米 【详解】解：(1)：图②中大正方形的边长为(a+b),阴影部分两个正方形的边长分别为a,b,两个长 方形的宽和长分别为a,b, 10122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 、大正方形的面积为(a+b),阴影部分两个正方形的面积分别为a2,b2,长方形的面积为ab, 又，阴影部分两个正方形的面积之和=大正方形的面积·两个长方形的面积， ∴a2+b2=(a+b)}-2ab 故答案为：a2+b2=(a+b)-2ab: (2)由(1)的结论得：a2+b=(a+b)2-2ab, 又a+b=7,ab=4 a2+b2=72-2×4=41: (3)设5-x=a,x-1=b,则(5-x)+(x-1)2=a2+b2, .a+b=5-x+x-1=4, (5-x)(x-1)=3, ∴.ab=3, 由(1)的结论得：a2+b2=(a+b)2-2ab, .a2+b2=42-2×3=10 .(5-x)2+(x-1)2=a2+b2=10; (4)AE=DE=a,BE=CE=b. :AC⊥BD于点E,AC=18米， Sm02(平方米)，Se=(平方米)，8mb(平方米)，5mb平方米 a+b=18(米)， :种花区域的面积和为102平方米， 1 6S4o+Sc=5a2+5b2=102 ∴a2+b2=204, 由(1)的结论得：a2+b2=(a+b)-2ab, .204=182-2ab, ∴.ab=60 种草区域的面积和为：S。AEB十八。CED二)abx +2ab=ab=60(平方米)， 答：种草区域的面积和为60平方米。 11/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.【答案】(1)(a+b=a2+2ab+b:(2)32:3)80:(4)8 【详解】解：(1)由图可知：(a+b)}'=a2+2ab+b2 (2)y=2,x+y=6, .x2+y2=(x+y)-2xy=36-2×2=32 (3)由题意，得：(20-x)+(x-30)=[(20-x)+(x-30)]-2(20-x(x-30)=(-10)2-2×10 =100-20=80 (4)设正方形ABCD的边长为m,正方形DEFG的边长为n, AB=CD=AD=m,EF=GF=DG=n,AG=m-n, 烟-小=， ，2mn=7, 1 11 。m。mn+5n三，mn149 2 2 ∴m2-mn+n2=22, .m2+n2=22+mn=36, .(m+n)}2=m2+n2+2mn=64. m>0,n>0, .m+n=8 4.【答案】(1)a-b;a+b 2)内部正方形面积为(a-4ab+4b)平方米，桌布总面积为(a+4b)平方米： 3)①内部正方形面积为(a2-2ab+b)平方米，桌布总面积为(a2+2ab+b)平方米；②18,25平方米 【详解】(1)解：：原长方形布料长2a、宽2b, ∴裁剪为4块全等小长方形后，每个小长方形长为a、宽为b, “内部正方形ABCD的边长为：(a-b)米， 整个正方形桌布的边长为(a+b)米 (2)解：根据题意可得，4个全等直角三角形的直角边分别为a和2b, 内部正方形ABCD的面积=(a-2b)=a2-4ab+42, 原布料(4个直角三角形)总面积为2a·2b=4ab, 整个桌布的面积=4ab+(a2-4ab+4b)=a2+4b, 12122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 答：内部正方形面积为(a2-4ab+42)平方米，桌布总面积为(a2+4b2)平方米： (3)解：①根据题意，8个全等直角三角形的直角边分别为a和b,拼接后大正方形（桌布）边长为a+b 桌布总面积=(a+b)2=a2+2ab+b2: 原布料(8个直角三角形)总面积为2a·2b=4ab, ∴内部正方形ABCD的面积=桌布总面积.原布料面积=(a2+2ab+b）4ab=a2-2ab+b2, 答：内部正方形面积为(a-2ab+b2)平方米，桌布总面积为(Q+2ab+b)平方米； ②.a=4,b=1.5. .SE方形rom=(a2+2ab+b2）4×5ab=a2+b2=4+1.52=18.25平方米. 5. m2+n2 【答案】()2 (2)29 (3)m=3,n=1 【详解】(1)解：设A、B两个正方形纸片的边长分别为a、b, a+b=m 由题意得： a-b=n' m+n a= 2 解得： m-n b= 2 ∴.A、B两个正方形纸片的面积之和为 a2+b2=m+n 2m-n2 m2+2mn+n2+m2-2mn+n2_m2+n2 22 4 21 m2+n2 故答案为： 2 72+32 (2)解：当m=7,n=3时，AB两个正方形纸片的面积之和为2 =29, 故答案为：29， (3)解：设A、B两个正方形纸片的边长分别为4、b 由题意得：a2+b2=5,ab=2, 13122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴(a+b)2=a2+b2+2ab=5+4=9,(a-b)2=a2+b2-2ab=1, ∴.m2=9,n2=1 m>0,n>0 .m=3,n=1 6.【答案】(1) 解：如图，四边形AAA4即为所求： A) (2正方形，c2,a2+b2,a2+b2=c2 (3) 解：如图，已知△ABC是直角三角形，∠C=90°，BC=a,AC=b,AB=c,分别画出△ABC绕点O顺时 针旋转90°得到△4B,C,关于点O成中心对称的△A,B,C2,绕点O逆时针旋转90°得到△4，B,C 则四边形A444是一个正方形，一方面，四边形A44,4的面积可以直接用公式计算为2，另一方面，它 的面积等于四边形CCC,C的面积减去四个三角形，为a+b-4×b=a2+6+2b-2ab=a+分，于 是，我们得到a2+b2=c2. A(B) B A3) C3 A2 【详解】(1)略 (2)解：四边形A44,4是一个正方形，一方面，四边形A44,4的面积可以直接用公式计算为c2,另一 方面，它的面积等于四个三角形和四边形CCC,C的面积之和，为 14122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b+(a-b2ab+a+B-2ab=a2+b,于是，我们得到g2+b- 故答案为：正方形，c2,a2+b2,a2+b2=c2; (3)略 题型六：运用乘法公式简便计算 1.【答案】(1)10000 (2)505 【详解】(1)解：原式=482+2×48×52+522 =(48+52)2 =1002 =10000 (2)解：原式=(30.25+20.25)×(30.25-20.25) =50.5×10 =505 2.【答案】(1)9996 (21 【详解】(1)解：98×102=(100-2)100+2)=1002-22=9996」 (2)解：20142-2014×4026+2013 =20142-2×2014×2013+20132 =(2014-2013)月 =1. 3.【答案】(1)4004001 (2)10000 【详解】(1)解：2001 =(2000+1)2 =20002+12+2×2000×1 =4000000+1+4000 =4004001: (2)解：186.7-2×186.7×86.7+86.72 =(186.7-86.7)2 15/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =1002 =10000 4.【答案】(1) 1 (2) 10392 【详解】(1)解：20252-2026×2024 =20252-（2025+1)(2025-1) =20252-20252+1 =1: (2)解：4+4×196+982 =22+2×2×98+982+2×196 =(2+98)+392 =10392 5.【答案】(1)99.99 (2)999991 (3)9409 (4)104.04 【详解】(1)解：原式=(10-0.1)×(10+0.1) =100-0.01 =99.99: (2)原式=(1000+3)×(1000-3) =1000000-9 =999991: (3)原式=(100-3)月 =1002-2×100×3+32 =9409: (4)原式=(10+0.2)2 =102+2×10×0.2+0.22 =104.04 16/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型七：乘法公式的综合应用 1.【答案】x2+2x+5,8 【详解】解：(2x-1)+6x(x+1)-(3x+2)3x-2) =4x2-4x+1+6x2+6x-(9x2-4) =4x2-4x+1+6x2+6x-9x2+4 =x2+2x+5, x=-3 ∴原式=(-3)2+2×(-3)+5=8. 2.【答案】 -4x+y,9 【详解】解：[(2x+y}+(2x+y)2x-y)-6y÷(-2x) =(4x2+4y+y2+4x2-y2-6y)÷(-2x) =(8x2-2xy)÷(-2x) =-4x+y, 当x=-2,y=1时，原式=-4×(-2)+1=9 3【答案】-x2+2y,-16 【详解】解：(x-2y)}-x(3x-4y)+(2y+x)(x-2y)+(2x2y)2÷2xy =x2-4xy+4y2-3x2+4xy+x2-4y2+2y =-x2+2y; x-2≥0，(y+6≥0，x-2+(0y+6}=0, ∴x-2=0y+6=0 .x=2,y=-6 把x=2,y=-6代入，原式=-2+2×(-6)=-16 4.【答案】(1)-2a2+b2+3ab-b (2)x2-36y2-36y-9 【详解】(1)解：原式=-b+2ab-(2a2-2ab+ab-b2) =-b+2ab-2a2+2ab-ab+b2 17122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =-2a2+b2+3ab-b: (2)解：原式=[x-(6y+3)][x+(6y+3] =x2-(6y+3 =x2-(36y2+36y+9列 =x2-36y2-36y-9, 5.【答案】(1)x2-4x+4-9y2 (2)6x+5 【详解】(1)解：(x+3y-2)(x-3y-2) =[x-2)+3y[(x-2)-3y] =(-2)2-(3y)月 =x2-4x+4-9y2: (2)解(3x+1-(3x+2)3x-2) =9x2+6x+1-(9x2-4) =9x2+6x+1-9x2+4 =6x+5. 6.【答案】(1)-4：8：(2)64 【详解】(1)解：原式=x2-4y+4y2-(x2-y2）-5y2 =x2-4y+4y2-x2+y2-5y2 =-4xy 当x=2,y=-1时， 原式=-4×2×(-1)=8 (2)解：20252-2024×2025} 8 =20252- a025-82025+g =20252 2 =20252-20252+ 64 18/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 64 7.【答案】(1)p2-6pg+9g2 (2)4y2-x2 3)a2-4b2-12bc-9c2 (4)x2+4xy+4y2-2x-4y+1 【详解】(1)解：(-p+3g)月 =p2-6pg+9g2: (2)解：（-x-2y)(x-2y) =4y2-x2: (3)解：[a+(2b+3c)][a-(2b+3c)] =a2-(2b+3c)2 =a2-(4b2+12bc+9c2） =a2-4b2-12bc-9c2; (4)解：(x+2y-1月 =(x+2y)2-2(x+2y)+1 =x2+4xy+4y2-2x-4y+1. 8.【答案】(1)-1 2)4a8-ab (3)-16m2+n2 (4)16x4-8x2y2+y4 -5+(2025-π)9 =-1+4-5+1 =-1 64b-3 2解：b。 19122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 babiab-3o8 4 -Ldb-ab. 4 (3)解：（-n-4m)(4m-n） =-(4m+n)(4m-n） =-(16m2-n2） =-16m2+n2. (4)解：(2x-y)(2x+y) =[(2x-y)(2x+y)] =(4x2-y2）月 =(4x2）-2-(4x2)y2）+(02）月 =16x4-8x2y2+y 9.【答案】(1)5，(2)a2+b+c2+2ab+2ac+2bc,14:(3)18 【详解】解：(1)：a+b=3, (a+b)=9, :(a+b)}2=a2+b+2ab,b=2, .9=a2+b2+2×2, a2+b2=5, 故答案为：5： (2).(a+b+c)2 =[(a+b)+c] =(a+b)+2(a+b)c+c2 a2+b2+2ab+2ac+2bc+c2 =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc, ..a+b+c=6,ab+bc+ac=11, a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=a2+b2+c2+2(ab+ac+bc), .36=a2+b2+c2+2×11, 20122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .a2+b2+c2=14, 故答案为：a2+b+c2+2ab+2ac+2bc,14: (3):a+b+c=0,a2+b2+c2=6, :02=6+2(ab+bc+ac), ∴.ab+bc+ac=-3, .a+b+c =(a2+b2+c2-2(a2b2+b2c2+a2c2） =(a2+2+c2-2[(ab+bc+ac-2abc(a+b+c)], a+6+c=6-2x[(-3y-2abcx0]=18, 答：a+b+c4的值是18. 10.【答案】(1)3 22 (3)12 【详解】(1)设3-x=p,x-2=9, 则3-x-2)=p9=-1,3-)+(x-2)=p+q=1, .(3-x)2+(x-2)2=p2+q2=(p+9)2-2p9=12-2×(-1)=3; (2)设n-2024=r,2023-n=5, 则(n-2024)2+(2023-n2=r2+s2=10. (n-2024)+(2023-m)=r+s=-1, r2+s2=(r+S)2-2rs a-20242023-0=5-+9y-+s）1-10_9 2 22 (3)由题意可知： BP=AB-AP=a-4,DR=CD-CR=a-2, ∴.(a-4)-(a-2)=-2 图中阴影部分的面积为(a-4(a-2)=4, 则正方形PBEF和正方形DMNR的面积和为 (a-4)2+(a-2)2=[(a-4)-(a-2)]+2(a-4)(a-2)=(-2)2+2×4=12 21122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22122可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02乘法公式的综合运算 题型归纳 题型一(x+p)区+q)题型的计算 题型二运用平方差公式计算 题型三平方差与几何图形 题型四运用完全平方公式计算 题型五完全平方公式与几何图形 题型六运用乘法公式简便计算 题型七乘法公式的综合应用 题型专练 题型一：（x+p)(x+g)题型的计算 1.已知(x-n)x+1)=x2+mx+3,则m的值为(） 1 1 A.64 B.64 C.-64 D.64 2.(25-26七年级上·上海期中)如果x+px+g=(x-1x+4),那么p、9的值是() A.p=3,9=4 B.p=3,9=-4 C.p=-4,9=3 D.p=4,9=-3 3.(25-26七年级上上海普陀期中)若(c+a)(x+b)=x2+mx-36,则m可取的整数值有一个. 4.北宋沈括在《梦溪笔谈》中首创“隙积术”，引出一个酒坛问题：如图，酒馆店家将酒坛一层层堆放， 第一层长有4个酒坛，宽有3个酒坛，往下每一层长宽皆比上一层多一个酒坛，则第层酒坛的个数比第 一层酒坛的个数多_个.（用含的代数式表示） 1/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.计算： 1)(x+2)(x-3): (2)(2x+5y)(3x-2y) 6.(25-26七年级上，上海期末)根据(c+a)(x+b)=r2+(a+b)x+ab,直接计算下列题： : (2)(y-8a)(xy+2a) 7.(24-25七年级上上海虹口期末)计算：(x-y(x-2y)+(x-2y)(x-3y)-2(x-3y)(x-4y) 8.先观察下列各式，再解答后面问题： (x+5)x+6)=x2+11x+30. (x-5)(x-6)=x2-11x+30. (x-5)(x+6)=x2+x-30: (x+5)(x-6)=x2-x-30 (1)乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？ (2)根据以上各式呈现的规律，用公式表示出来： (3)试用你写的公式，直接写出下列两式的结果， ①(m+100)(m-99)= ②(0y-300)y-84)= 9.定义：对于依次排列的多项式x+a,x+b,x+cx+d(a,b,c,d是常数)，当它们满足 (c+a)(x+d)-(c+bCx+c)=M,且M为常数时，则称a,b,c,d是一组平衡数，M是该组平衡数的 平衡因子.如对于多项式x+2,x+1,x+6,x+5,因为 (x+2)(x+5)-(x+1x+6)=(x2+7x+10)-(x2+7x+6)=4,所以2,1,6,5是一组平衡数，4是该组平 衡数的平衡因子. 2/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)已知2,4,7,9是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子M. (2若a,b,c,d是一组平衡数，a=4,d=3,请写出一组b,c的值， (3)当a,b,c,d之间满足什么数量关系时，它们是一组平衡数？请说明理由. 10.做一做计算：探究归纳，如图甲、图乙是两个长和宽都相等的长方形，其中长为x+四，宽为x+), x+a X 十) b 图甲 图乙 (1)根据图甲、图乙的特征用不同的方法计算长方形的面积，得到关于字母x的系数是1的两个一次式 相乘的计算规律，用数学式表达式为_· (2)尝试运用，利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解. 若x2-7x+m=(x-9)(x+2),则m= (3)若x+px-4可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式，则整数卫的值一定是_ 题型二：运用平方差公式计算 1.(25-26七年级上上海·期末)下列各式中，能运用平方差公式计算的是（) A.(2x+y)(-2x-y) B.-(2x+y)(-2x-y) C.（-2x-y)(-2x+y) D.（-2x+y)(y-2x) 2.(2526八年级上湖南长沙期末)计算(2y-1(2y+1)的结果为 3.若a2-b2=8,a-b=4,则a+b的值为 3x-my =5 x=1 4,己知关于X、y的二元一次方程组2x+w=6的解是y=2,在关于a、b的二元一次方程组 3(a+b)-m(a-b)=5 2a+b)+na-b)=6中，则。2-公=— 5.若实数x满足(2026-x)(2024-x)=5,则代数式(2025-x°的值为： 6.如果(a+1)与(a-)的乘积为1，那么(a2+(a+1(a+少(a+1)+1的值为. 7.计算：(2x+y2x-y)4x(x-y). 3/13 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.(25-26七年级下-江苏苏州期末)先化简，再求值：4(a+1a+2)-7(a+3a-3)+3(a-1)2,其中 3· 2027 9.先化简，再求值：(2x+}-(2x+y(2x-)-2y(x+少其中x二 y=22026. 10.学习了平方差公式：(a+b(a-b)=a-b,小明发现对于某些多项式的运算进行适当的变形后可以 出现平方差公式的结构，从而解决问题， 例如：计算(2+1)(22+1)(2+1) 解：原式=(2-1)(2+1(22+1)(24+)， =(22-1）(22+1)(24+1), =(24-1(2+1), =28-1. 根据上面的方法，解决以下的问题： 1)(2+1)(22+1)(2+1(2+1)(26+1)= 2)计算(3+132+13+13+1)的值， 3)计算(m+1(m2+1(m+(m+(m6+(m+1)的值(n=2,k为正整数). 题型三：平方差公式与几何图形 1.为适应儿童健康成长与发展需求，推动城市儿童友好空间建设，某市政公园规划出一片长为(3+2b)m 宽为(3a-2b)m的长方形区域用来打造儿童活动区域.如图，该区域划分为三个功能区，分别是游戏娱乐 区、文化体验区和绿化休息区，其中，游戏娱乐区和绿化休息区均为长方形，文化体验区是边长为 (a+4b)m的正方形 3a+2b 文化 游戏 体验区 娱乐区 绿化 休息区 (1)求绿化休息区的面积：（用含4，b的式子表示） 4/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)该公园计划为游戏娱乐区和文化体验区铺设塑胶地面，造价为每平方米25元.若α=8，b=1,求铺设 塑胶地面所需的费用， 2.如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个 长方形 a a 图1 图2 (1)设图1中阴影部分面积为S,图2中阴影部分面积为S2,请用含a、b的代数式表示：S=一， S2 (只需表示，不必化简)： (2以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式一一： (3)运用(2)中得到的公式，计算：20252-2024×2026， 3.【探究】如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼 成图2所示的图形 a 图1 图2 (1)上述操作能验证的等式是 (请选择正确的一个) A.a2-b2=(a+b)(a-b)B.a2-2ab+b2=(a-b) C.a2+ab=a(a+b) D.(a+b)=a2+2ab+b2 【应用】 (2)已知m-2n=2,m+2n=8,请计算m2-4n2的值； 【拓展】 (3)已知A=2024×2026,B=20252,则A与B的大小关系为AB(填“>”“<”或“=”)· 4.如图1，边长为的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个平行四边形 5/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (如图2所示)· 6 p a 图1 图2 (1)上述操作能验证的公式是（填序号）. ①a2-2ab+b2=(a-b)月 @a2-b2=(a+b)(a-b) ③a2+2ab+b2=(a+b)月 (2)请应用上面的公式完成下列各题： ①若a2-b2=22,a+b=11,则a-b=_ ②计算：2025×2027-20262 5.乘法公式的探究及应用. 探究问题：如图①是一张长方形纸条，将其剪成长短两条后刚好能拼成图②. b ① ® (1)图①中长方形纸条的面积可表示为. (写成多项式乘法的形式)： (2)拼成的图②阴影部分的面积可表示为， (写成两数平方差的形式)； (3)比较两图阴影部分的面积，可以得到乘法公式： 结论运用： (4)运用所得的公式计算： 后m} (2x+y(2x-y)= 拓展运用： (5)计算： 〔1----2)-02s 6/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型四：运用完全平方公式计算 1.(25-26七年级上·上海宝山期末)下列算式中，可用完全平方公式计算的是() A.(1+x)1-x) B.(-x-1)(-1+x) c.(x-1)1+x) D.(-x+1)1-x) 2.(25-26七年级上上海期中)计算： 3.(25-26七年级上上海闵行期末)已知(x+y)=18,(-y=12,那么y的值为 4.(25-26七年级上上海金山期末)如果关于x的整式x2-2(m+1)x+25=(x+n,那么常数m-n的值 是 5.(25-26七年级上上海金山期未)计算：(2m-1)-4(m-3)(m+3)」 6.(25-26七年级上上海浦东新·期末)计算：2(x-2)-(x+3)(x-2). 7.(25-26七年级上上海宝山阶段检测)计算：(-x+2y)(-x-2y)-(x-3y) 8。(2526七年级上~上海期末)先化简，再求值：(+(x-y+1)-(K-+20-小其中= Γ25 、23 24· 1 1 9.(25-26七年级上上海期末)先化简，再求值：(3a-2b}-(2a-3b,其中a=4b=2 10.(25-26七年级下江苏扬州期未)同学们在学习七年级下册第八章《整式乘法》时，学习了重要的公 式一一完全平方公式，请解答下列各题： 【基础公式】 (1)请写出(a+b=_,(a-b}=: 【公式变形】 (2)请写出(a+b)、(a-b)与ab的关系：： 【公式应用】 (3)已知：a-b=2,ab=3,求a2+b的值： (4)已知：(x-32-)=-6,求2x-5的值. 题型五：完全平方公式与几何图形 7/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.如图是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图b的 形状拼成一个正方形， n m 名 m m m 图a 图b (1)你认为图b中的阴影部分的正方形的边长等于多少？一 (2)请用两种不同的方法求图b中阴影部分的面积. 方法1： (只列式，不化简) 方法2：。 (只列式，不化简) 3)观察图b,请你写出(m+n),(m-n,mm之间的等量关系. (4)根据(2)题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=8,ab=12.求(a-b)」 2.【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为(a+b)}=a2+2b+b2, a ab 花 草 草E花 ab 图① 图② 图③ 【类比探究】 (1)观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为 【应用】 (2)根据图②所得的公式，若a+b=7,ab=4,求a2+b2的值. (3)若x满足(5-x)(x-1)=3,求(5-x+(x-1)的值. 【拓展】 (4)如图③，某学校有一块梯形空地ABCD,AC⊥BD于点E,AE=DE,BE=CE,该校计划在 △AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米， AC=18米，求种草区域的面积和. 8/13 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.“数缺形时少直观，形缺数时难入微.数形结合百般好，隔裂分家万事休.”数形结合是解决数学问 题的重要思想方法.通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式， (1)如图(1)是一个大正方形被分割成了边长分别为a、b的两个正方形和长、宽分别为a、b的两个长 方形，利用这个图形可以验证公式 利用上述公式解决下列问题： 【直接应用】 (2)若y=2,x+y=6,则x2+y=_一 【类比应用】 (3)若(20-x(x-30)=10,求(20-x+(x-30°的值： 【知识迁移】 (4)如图(2)，点D在线段CE上，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接BG、CG、EG.若阴影 部分的面积和为11，△CDG的面积为7，求CE的长度. a b B D 图① 图② 4.魔法工坊社团的同学们需要为展区的正方形桌子设计一款创意桌布.现有一块长为2a米，宽为2b米的 长方形四叶草布料（其中a>2b)，通过裁剪拼接用作桌布的外围四周区域，正中区域用另一块其他花纹 的布料填充.（拼接处所用材料忽略不计） 2a 2b 图1 经过调查，以下三种设计方案备受大家喜欢，该花纹布料裁剪方式如下： (1)方案A如图2所示，把布料按左图裁剪成4块全等的长方形，并按右图拼接成大正方形，内部正方形 ABCD用其它面料补充，则内部正方形ABCD的边长为米，整个正方形桌布的边长为米. D 2a B 图2 9/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)方案B如图3所示，把布料按左图裁剪成4块全等的直角三角形，按右图方式拼接成大正方形，求内部 正方形ABCD的面积和该桌布的总面积. 20 O 2b 图3 (3)方案C如图4所示，把布料按左图裁剪成8块全等的直角三角形，按右图中方式拼接成大正方形. E 2a 2b 图4 ①通过计算，求内部正方形ABCD的面积和该桌布的总面积； ②若a=4,b=1.5,请直接写出正方形EFGH的面积. 5.(25-26七年级上·上海宝山阶段检测)已知A、B是两个边长不相等的正方形纸片，它们的边长之和 是m,边长之差是n. A B B m 2 图1 图2 (1)如图1，用含m、n的代数式表示A、B两个正方形纸片的面积之和 (2)如图1，当m=7,n=3时，A、B两个正方形纸片的面积之和为 (3)如图2，如果A、B两个正方形纸片的面积之和为5，阴影部分的面积为2，试求m、n的值. 6.(25-26七年级上·上海普陀期末)小明在学习乘法公式时，通过计算图形的面积发现了平方差公式及 完全平方公式，他课后遇到了这样一个问题，请帮他一起解决： 10/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1如图，己知△ABC是直角三角形，∠C=90°，BC=a,AC=b,AB=c,请分别画出△ABC绕点O顺时 针旋转90°得到△4B,G,关于点O成中心对称的△4，B,C,绕点0逆时针旋转90°得到△4，B,C. (2)第(1)问画出的四边形A4A,A,是一个什么图形？ 一方面，四边形A444的面积可以直接用公式计算为一一一； 另一方面，它的面积等于四个三角形和四 边形CCC,C的面积之和，为一·于是，我们得到一· (用含a、b、c且化简后的整式表示) (3)请你借助△ABC,再画出一种示意图推出第(2)题得到的等式，并简要说明推导过程. 题型六：运用乘法公式简便计算 1.用简便方法计算： (1)482+96×52+52. (2)30.252-20.252 2.用简便方法计算 (1)98×102 (2)20142-2014×4026+20132 3.用简便方法计算 (1)20012 (2)186.72-2×186.7×86.7+86.72: 4.用简便算法计算 (1)20252-2026×2024: (2)4+4×196+982 5.用简便方法计算： (1)9.9×10.1; 11/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)1003×997: 3)972 (410.2. 题型七：乘法公式的综合应用 1.先化简，再求值：(2x-°+6x(c+)-(3x+2(3x-2),其中x=-3. 2.化简并求值[(2x+)+(2x+y2x-)-6y](-2),其中x=-2,y=1. 3.先化简，再求值：(x-2y-x(3x-4y)+(2y+x(x-2y)+(2ry÷2xy,其中x,y满足： x-2+(y+6)=0. 4.计算： (1)(-4ab2+8a2b2）÷(4ab)-(2a+b)(a-b): (2)(x-6y-3)(x+6y+3). 5.计算： (1)(x+3y-2)(x-3y-2). 2)(3x+1)2-(3x+2)3x-2). 6.(1)先化简，再求值：(x-2y)-(x+y)x-y)5,其中x=2,y=1. (2)运用乘法公式计算：20252-20247×2025 8 7.运用乘法公式计算 1(-p+3g: (2)(-x-2y)(x-2y) (3)[a+(2b+3c)][a-(2b+3c)]; (4(x+2y-1) 8.计算： 12/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 jobobi-3oh) (3)(-n-4m)(4m-n）: (4(2x-y'(2x+y. 9.(1)问题探究：已知a+b=3,ab=2,可利用完全平方公式得：a2+b2= (2)自主推导：(a+b+c)}2=_一. 根据上面的公式计算：已知a+b+c=6,ab+bc+ac=ll,求a2+b2+c2=_一 (3)问题解决：已知a+b+c=0,a2+b2+c2=6,求a+b+c的值. 10.阅读材料： 若x满足9-xx-4)=4,求(9-+(x-4的值. 解：设9-x=a,x-4=b,则(9-x)x-4)=ab=4,a+b=(9-x)+(x-4)=5, ∴(9-x)2+(x-4)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×4=17 R N M E B 类比应用： ()若3-xx-2)=-1,求(3-}+(x-2)的值： (2)若(m-2024+(2023-m)2=10,则n-20242023-m)的值为 (3)已知正方形ABCD的边长为a,点P和点R分别是边AB和CD上的点，且AP=4,CR=2,分别以BP和 DR为边长作正方形PBEF和正方形DMNR.若图中阴影部分长方形的面积是4，请求出正方形PBEF和正 方形DMNR的面积和. 13/13