专题03 乘法公式的综合（五大压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制七年级上册

**基本信息** 以“解题通法—题型归纳—压轴挑战”为框架，系统构建乘法公式从结构识别到几何应用、最值求解的方法体系，突出数形结合与转化思想，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1模块|聚焦公式结构识别、恒等变形、几何意义三大核心，明确公式区分与交叉项保留原则|从公式本质出发，奠定运算与变形基础| |题型归纳|5题型（含例+变式）|直接运算强调公式匹配与整体代换；化简求值注重先化简再整体代入；几何应用通过面积等量建立关系；最值求解运用配方法与非负性|从代数运算到几何直观，形成“识别—变形—应用”递进链条| |压轴挑战|15题|综合迁移公式变形、几何建模、多变量最值等方法|整合跨题型考点，提升复杂问题解决能力|

专题03 乘法公式的综合 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、乘法公式的直接运算问题 题型二、乘法公式化简求值问题 题型三、平方差公式的几何应用问题 题型四、完全平方公式的几何应用问题 题型五、完全平方公式求多项式最值问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 乘法公式是七年级数学核心重难点，所有题型均围绕平方差公式、完全平方公式结构识别、恒等变形、几何意义三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是准确区分平方差与完全平方公式，找准公式里a、b所代表的整体；二是完全平方展开务必保留2ab交叉项，不能丢失系数 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、乘法公式的直接运算问题 题型模版 1.特征：给出两个多项式相乘的算式，符合平方差、完全平方公式结构；部分题目需要调整顺序、添括号，把式子改造为公式标准形式再运算。 2.方法：准确分辨公式类型，找准公式里代表、的整体，牢记，。展开后核对符号、不要遗漏交叉项，合并同类项，将结果化为最简整式。 【例1】下列计算错误的有（     ） ① ② ③ ④ ⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：① ，①错误； ② ，②错误； ③ ，③错误； ④ ，④错误； ⑤ ，与题目结果一致，⑤正确． 综上，错误的式子共有4个． 【例2】用乘法公式简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1-1】计算： 【答案】 【详解】解：原式． 【变式1-2】化简的结果是（     ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【详解】解： ． 【变式1-3】利用乘法公式进行简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)11025 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型二、乘法公式化简求值问题 题型模版 1.特征：已知字母数值或者一个代数式的整体条件，所求式子较复杂，直接代入计算运算量大，需要先用乘法公式化简再求值，常结合整体代换。 2.方法：先用平方差、完全平方公式展开原式，去括号合并同类项，简化式子。能整体代换就不单独求字母，代换过程注意符号，计算完成后代回原式检验变形前后恒等。 【例3】已知，，则的值为（     ） A．70 B．80 C．88 D．90 【答案】B 【详解】解：， ． 【例4】若，，则的值是________． 【答案】1 【详解】解：，， ，即， 将三个等式两边分别平方，得：，，， 展开后相加，得：， 整理，得：， 两边同除以，得：， 把代入，得：， ． 【变式2-1】已知实数，满足，，则代数式的值为（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】解：∵ ，已知 ，， ∴ ，解得 ， ∴， 将 ， 代入得， 原式 ． 【变式2-2】已知，则代数式___________． 【答案】2 【详解】解：先展开并化简所求代数式： ∵， ∴， 代入得，原式． 【变式2-3】已知，则__________． 【答案】 1234320 【详解】解：令， 由题意得，， ∴所求式子变形为． 题型三、平方差公式的几何应用问题 题型模版 1.特征：以大正方形裁去小正方形的割补图形为背景，通过图形拼接转化，借助面积相等建立代数等式，用来推导或运用平方差公式求解。 2.方法：从两个角度表示阴影图形面积，一是几何面积公式，二是边长对应的代数表达式，建立等式得到平方差关系。利用等式运算求边长或者代数式的值，注意边长大于 0，对结果取舍检验。 【例5】如图，四边形是长方形，四边形是面积为24的正方形，点M、N分别在、上，点E、F在上，点G、H在上，且四边形是正方形，连接、、，若正方形的面积为5，则图中阴影部分的总面积为___________． 【答案】9.5 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则，， ∵四边形是面积为24的正方形，正方形的面积为5， ∴，， ∴图中阴影部分的总面积为 ． 【例6】【探究发现】 从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是________（填字母序号） A． B． C． 【知识迁移】 (2)运用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，则的值为________； ②计算：． 【拓展应用】 (3)如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积为________． 【答案】(1)B (2)① 3；② (3)20 【分析】 【详解】（1）解：图1阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 故上述操作能验证的等式是； （2）解：①， ， ， ； ② ； （3）解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， 大正方形与小正方形的面积之差是40， ， 阴影部分的面积为． 【变式3-1】如图，正方形和正方形的面积之差为34，M，N分别是边上的点，则图中阴影部分的面积是_____． 【答案】 17 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 由题意可知，即； ∵四边形和均为正方形， ∴，，，， ∴点在同一直线上，且； ∵点在边上，， ∴中边上的高等于的长，即为， ∴点在边上，， ∴中边上的高等于的长，即为. ∴ ； ∵， ∴. 【变式3-2】如图，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形（如图所示） (1)如图，可以求出阴影部分的面积是________（写成平方差的形式）． (2)如图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，比较左、右的阴影部分面积，可以得到公式________． (3)请应用这个公式完成下列各题： ①计算： ②计算： 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】 【详解】（1）解：阴影部分的面积是：； （2）解：由图可知：长方形的宽为，长为，面积为； 由题意，得：； （3）解：①由，可知： ②原式 ． 【变式3-3】【实践操作】 如图①，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，形成一个长方形（如图②）． (1)通过计算图①和图②中阴影部分的面积可以验证的公式是______． 【应用探究】 (2)根据（1）中的公式解决如下问题： ①简便计算：； ②计算：． 【答案】(1) (2)①90000    ② 【分析】 【详解】（1）解：图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为：， 则阴影部分的面积可以验证的公式是； （2）①解： ； ②解：原式 ． 题型四、完全平方公式的几何应用问题 题型模版 1.特征：大正方形分割为若干小正方形与长方形，由各部分面积之和得到完全平方的几何模型，常考查、以及几个代数式之间的变形关系。 2.方法：分别写出整体大正方形面积和分割后每一块图形的面积，建立等量关系式。结合完全平方公式做代数变形计算，注意边长取值为正数，舍去不符合图形意义的结果。 【例7】对于两数和的完全平方公式中的三个代数式：、和，若已知其中任意两个代数式的值，则可求第三个代数式的值．由此解决下列问题： 【问题提出】 (1)已知，，则的值为____________． 【问题解决】 (2)如图1，点C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和正方形，连接，若，两个正方形的面积和，求三角形的面积． 【问题拓展】 (3)如图2，大长方形纸片是由5个长为a、宽为b的小长方形纸片（图中空白部分），2个边长为a的大正方形纸片和2个边长为b的小正方形纸片拼接而成的，若图中空白部分的面积为20，大长方形纸片的周长为30，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)12 (2)5 (3)34 【分析】 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：设，， ∵， ∴， ∵， ∴，则， 即， ∴，解得：， ∴三角形的面积． （3）解：如图， ∵空白部分的面积为20，大长方形纸片的周长为30， ∴，，即，， ∴阴影部分的面积， ∵， ∴， 解得， ∴阴影部分的面积为． 【例8】完成以下问题 (1)【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为，宽为的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到、、三者之间的等量关系式： ； (2)【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图2，观察大正方体分割，可以得到等式： ； 【成果运用】利用上面所得的结论解答： (3)已知，，求的值； (4)已知，求的值； (5)【拓展提升】当时，求． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）解：观察图1可知，大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长方形的面积，即； （2）解：观察图2可知，大正方体的体积等于小正方体的体积加6个长方体的体积，即； （3）解：由（1）可知，， ∵，， ∴， ∴； （4）解：∵，，， ∴， ∴，， 由（2）可知，， ∴； （5）解：令，， 则有，， ， 即． 【变式4-1】阅读：我们学习了完全平方公式：和，可变形解决问题，如：若满足，求的值． 解：设，， 则，， ． 请仿照上述例子解决下列问题： (1)若满足，求的值； (2)若满足，求的值； (3)如图，正方形的边长为，，，长方形的面积是40，四边形和都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积（用具体的数值表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：设，， ∴，， ∴ ； （2）解：设，， ∴，， ∵， ∴， 解得：，即； （3）解：正方形的边长为x，，， ∴，， ∵和都是正方形，是长方形，长方形的面积是40 ∴，， ∴， 设，，则，， ∴阴影部分的面积 即阴影部分的面积为169． 【变式4-2】我们可以将进行变形，得到，等．请灵活利用这些变形解决下列问题： (1)已知，则_____； (2)若满足，求的值； (3)如图，四边形是梯形，，连接，若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)9； (2)； (3)25． 【分析】 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：令， 则， ． （3）解：设， ， ． 则图中阴影部分的面积为 ． 【变式4-3】数学课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片．种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形．现在用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的正方形，根据图2可得出三个代数式：，． (1)写出三个代数式之间的等量关系； (2)解决如下问题 ①已知：求和的值； ②已知，求的值． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】 【详解】（1）解：∵图2是边长为的正方形， ∴， ∵图2可看成1个边长为a的正方形，1个边长为b的正方形以及2个长为b，宽为a的长方形的组合图形， ∴， ∴； （2）解：①， ， ， 又， ； ②， ， ， ． 题型五、完全平方公式求多项式最值问题 题型模版 1.特征：给出二次多项式，自变量没有额外限制，通过配方法把多项式改写为完全平方式与常数的和或差，求代数式的最大值、最小值。 2.方法：提取二次项系数，把多项式配成的形式，利用完全平方式的非负性判断最值。重点看清平方项前面系数正负，分清取最大还是最小值，最后写出对应的最值结果。 【例9】我们把二次三项式，叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求二次多项式的最大值或最小值．例如：，所以当时，多项式有最小值，最小值是．若，则二次多项式的最小值为______． 【答案】 【详解】解：由得，， 将代入得： ， ∵， ∴， 故二次多项式的最小值为. 【例10】请同学运用计算，解决问题：已知x、y、z满足，求的最大值是______． 【答案】12 【详解】∵， ∴ ； ∵， ∴ ∴原式= ， ， ∴原式． 故原式的最大值是12； 故答案为：12． 【点睛】本题考查运用已知公式，及平方的非负性，掌握灵活运用题中给的公式是解题的关键． 【变式5-1】小李同学在解决问题“已知，求的最小值”时，给出框图中的思路： ， ， 则， ， ， 的最小值为． 结合以上小李同学的思路探究：若，则下列关于式子的说法正确的是（   ） A．有最小值3 B．有最大值3 C．有最小值 D．有最大值6 【答案】A 【分析】 【详解】∵ ， ∴ ， 则 ， ∴ ， ， ∴， ∴有最小值3． 故选A． 【变式5-2】若，则的最大值是______． 【答案】17 【分析】 【详解】解：设， 则，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为17， 即的最大值是17． 故答案为：17． 【变式5-3】当x=______时，代数式8x2-12x+5有最小值，最小值为______. 【答案】 【详解】解： ， ， 当时， 有最小值，最小值为． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．计算：__________． 【答案】 【详解】解：原式 ． 2．若，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴的最小值为， ∴的最大值为． 故选：D． 3．已知，那么代数式的值是______ ． 【答案】 【详解】解： ∵， ∴ ． 4．已知，则代数式_________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ． 5．已知实数a，b满足，则代数式的最大值为（    ） A．－4 B．－5 C．4 D．5 【答案】A 【详解】，即 时，的最大值为 故选：A 【点睛】此题考查整体代入求值，以及利用公式变形求最值，解题关键是找到a的取值范围． 6．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 7．先化简再求值：求代数式的值，其中． 【答案】，1 【详解】解： ， ， 原式． 8．若满足，求的值． 解：设，，，， ， ． 请仿照上面的方法求解下面问题： (1)若满足，求的值； (2)已知边长为的正方形中，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、为边作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1)19； (2)阴影部分的面积是20． 【分析】 【详解】（1）解：依题意，设， ∵ ∴， ∴． （2）解：∵正方形的边长为x，，， ∴，， ∴ ∵长方形的面积是， ∴， 则阴影部分的面积 设，， 则，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 即阴影部分的面积是20． 9．数形结合是一种重要的解决数学问题的思想方法，借助图形的直观性可以帮助我们理解数学问题． 方法探究： (1)如图①，②，③中阴影部分的面积可以分别用两种不同的方法表示，请分别用等式表示出来． 图中①：______； 图中②：______； 图中③：______． 综合运用： (2)用4个长、宽分别为a，b的长方形拼成一个如图④所示的正方形，图中阴影部分的面积可以用不同的方法表示，写出能验证的等式：______． 类比迁移： (3)若，求的值． 【答案】(1)，；，；，； (2)； (3). 【分析】 【详解】（1）解：图中①阴影部分的面积： 方法一：， 方法二：； 图中②阴影部分的面积：方法一：， 方法二：； 图中③阴影部分的面积：方法一：， 方法二：； （2）解：图中④阴影部分的面积： 方法一：， 方法二：； ∴可验证的等式是：； （3）解：设，，则，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查乘法公式的几何背景，准确识图，熟练掌握图形的面积计算和识别乘法公式的结构特征是解决问题的关键．要掌握数形结合思想‌，通过数与形的对应关系相互转化解决问题，是数学中的核心思想方法．数形结合思想‌将抽象的数学语言与直观的图形结合，实现复杂问题简单化、抽象问题具体化． 10．将个数，，，排成行列，两边各加一条竖直线记成叫做二阶行列式，且规定，若，求的值． 【答案】 【详解】解:根据二阶行列式的定义， 得， 展开得， 去括号得， 合并同类项得， 移项得， 系数化为1得． 11．求代数式的最小值时，我们通常运用“”这个公式对代数式进行配方来解决．比如， ∵，∴，∴的最小值是． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)填空：的最小值是__________； (2)求的最小值； (3)已知的三边长、、都是正整数，且满足，求当时，的周长． 【答案】(1) (2)3 (3)9 【分析】 【详解】（1）解： ∵ ∴ ∴的最小值是； （2）解： ∵ ∴ ∴的最小值为3； （3）解： ∴， ∴，且， ∴边长为1, 4, 4的三条线段能构成三角形， ∴的周长为． 12．图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． (1)观察图1、图2，用等式表示图1和图2的面积运算为___________；（用含的式子表示） (2)嘉琪想用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，需要图2中的三种纸片各多少张？ (3)如图3，将两个正方形如图摆放，点与点重合，点分别在的延长线上，若它们边长之和为16，阴影部分面积为60，求这两个正方形的面积之差． 【答案】(1) (2)需要图2中的种纸片2张，种纸片2张，种纸片5张 (3)64 【分析】 【详解】（1）解：由题意，大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个长方形的面积， 故； （2）解：， 由图2可知，的面积为，的面积为，的面积为， 故需要图2中的种纸片2张，种纸片2张，种纸片5张； （3）解：设，不妨设，将图形补成边长为的大正方形，如图： 由题意，，， ∴， ∴， ∴， ∴两个正方形的面积之差为. 13．边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______（请选择正确的一个选项） A．        B． C．        D． (2)若，，求的值； (3)计算：． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：边长为的正方形面积是，边长为的正方形面积是， ∴图①阴影部分面积为；图②长方形面积为； ∴验证的等式是： 故选：B． （2）解：∵ ∴当，时， 解得：． （3）解： ． 14．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)用含a，b的代数式分别表示、 (2)若，，求的值； (3)若图1中的，图3中，则的值为 ．（用含x，y的代数式表示） 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：由图1可得， ； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴； （3）解：∵图1中的，图3中， ∴，， ∴． 15．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． (1)请写出图，图，图，图4阴影部分的面积分别能解释的乘法公式． 图：____________________________， 图：_____________________________， 图：____________________________， 图4：______________________________． (2)根据上述图中你探索发现的结论，完成下列计算： ①已知，，求代数式的值． ②若，求的值． (3)如图，E，F分别是正方形的边，上的点，且，，长方形的面积是96，分别以，为边作正方形和正方形，计算阴影部分的面积． 【答案】(1)；；； (2)①17；②17 (3)80 【分析】 【详解】（1）解：由图形可得： 图1：， 图2：， 图3：， 图4：； （2）解：①； ②设，，，， ∴， ∴的值为； （3）解：设正方形的边长为，则，， ∴， 设，，，， ∴， ∴， ∴阴影面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 乘法公式的综合 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、乘法公式的直接运算问题 题型二、乘法公式化简求值问题 题型三、平方差公式的几何应用问题 题型四、完全平方公式的几何应用问题 题型五、完全平方公式求多项式最值问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 乘法公式是七年级数学核心重难点，所有题型均围绕平方差公式、完全平方公式结构识别、恒等变形、几何意义三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是准确区分平方差与完全平方公式，找准公式里a、b所代表的整体；二是完全平方展开务必保留2ab交叉项，不能丢失系数 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、乘法公式的直接运算问题 题型模版 1.特征：给出两个多项式相乘的算式，符合平方差、完全平方公式结构；部分题目需要调整顺序、添括号，把式子改造为公式标准形式再运算。 2.方法：准确分辨公式类型，找准公式里代表、的整体，牢记，。展开后核对符号、不要遗漏交叉项，合并同类项，将结果化为最简整式。 【例1】下列计算错误的有（     ） ① ② ③ ④ ⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】用乘法公式简便计算： (1)； (2)． 【变式1-1】计算： 【变式1-2】化简的结果是（     ） A． B．0 C． D． 【变式1-3】利用乘法公式进行简便运算： (1)； (2)． 题型二、乘法公式化简求值问题 题型模版 1.特征：已知字母数值或者一个代数式的整体条件，所求式子较复杂，直接代入计算运算量大，需要先用乘法公式化简再求值，常结合整体代换。 2.方法：先用平方差、完全平方公式展开原式，去括号合并同类项，简化式子。能整体代换就不单独求字母，代换过程注意符号，计算完成后代回原式检验变形前后恒等。 【例3】已知，，则的值为（     ） A．70 B．80 C．88 D．90 【例4】若，，则的值是________． 【变式2-1】已知实数，满足，，则代数式的值为（     ） A． B． C．1 D．2 【变式2-2】已知，则代数式___________． 【变式2-3】已知，则__________． 题型三、平方差公式的几何应用问题 题型模版 1.特征：以大正方形裁去小正方形的割补图形为背景，通过图形拼接转化，借助面积相等建立代数等式，用来推导或运用平方差公式求解。 2.方法：从两个角度表示阴影图形面积，一是几何面积公式，二是边长对应的代数表达式，建立等式得到平方差关系。利用等式运算求边长或者代数式的值，注意边长大于 0，对结果取舍检验。 【例5】如图，四边形是长方形，四边形是面积为24的正方形，点M、N分别在、上，点E、F在上，点G、H在上，且四边形是正方形，连接、、，若正方形的面积为5，则图中阴影部分的总面积为___________． 【例6】【探究发现】 从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是________（填字母序号） A． B． C． 【知识迁移】 (2)运用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，则的值为________； ②计算：． 【拓展应用】 (3)如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积为________． 【变式3-1】如图，正方形和正方形的面积之差为34，M，N分别是边上的点，则图中阴影部分的面积是_____． 【变式3-2】如图，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形（如图所示） (1)如图，可以求出阴影部分的面积是________（写成平方差的形式）． (2)如图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，比较左、右的阴影部分面积，可以得到公式________． (3)请应用这个公式完成下列各题： ①计算： ②计算： 【变式3-3】【实践操作】 如图①，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，形成一个长方形（如图②）． (1)通过计算图①和图②中阴影部分的面积可以验证的公式是______． 【应用探究】 (2)根据（1）中的公式解决如下问题： ①简便计算：； ②计算：． 题型四、完全平方公式的几何应用问题 题型模版 1.特征：大正方形分割为若干小正方形与长方形，由各部分面积之和得到完全平方的几何模型，常考查、以及几个代数式之间的变形关系。 2.方法：分别写出整体大正方形面积和分割后每一块图形的面积，建立等量关系式。结合完全平方公式做代数变形计算，注意边长取值为正数，舍去不符合图形意义的结果。 【例7】对于两数和的完全平方公式中的三个代数式：、和，若已知其中任意两个代数式的值，则可求第三个代数式的值．由此解决下列问题： 【问题提出】 (1)已知，，则的值为____________． 【问题解决】 (2)如图1，点C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和正方形，连接，若，两个正方形的面积和，求三角形的面积． 【问题拓展】 (3)如图2，大长方形纸片是由5个长为a、宽为b的小长方形纸片（图中空白部分），2个边长为a的大正方形纸片和2个边长为b的小正方形纸片拼接而成的，若图中空白部分的面积为20，大长方形纸片的周长为30，求图中阴影部分的面积． 【例8】完成以下问题 (1)【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为，宽为的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到、、三者之间的等量关系式： ； (2)【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图2，观察大正方体分割，可以得到等式： ； 【成果运用】利用上面所得的结论解答： (3)已知，，求的值； (4)已知，求的值； (5)【拓展提升】当时，求． 【变式4-1】阅读：我们学习了完全平方公式：和，可变形解决问题，如：若满足，求的值． 解：设，， 则，， ． 请仿照上述例子解决下列问题： (1)若满足，求的值； (2)若满足，求的值； (3)如图，正方形的边长为，，，长方形的面积是40，四边形和都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积（用具体的数值表示）． 【变式4-2】我们可以将进行变形，得到，等．请灵活利用这些变形解决下列问题： (1)已知，则_____； (2)若满足，求的值； (3)如图，四边形是梯形，，连接，若，求图中阴影部分的面积． 【变式4-3】数学课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片．种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形．现在用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的正方形，根据图2可得出三个代数式：，． (1)写出三个代数式之间的等量关系； (2)解决如下问题 ①已知：求和的值； ②已知，求的值． 题型五、完全平方公式求多项式最值问题 题型模版 1.特征：给出二次多项式，自变量没有额外限制，通过配方法把多项式改写为完全平方式与常数的和或差，求代数式的最大值、最小值。 2.方法：提取二次项系数，把多项式配成的形式，利用完全平方式的非负性判断最值。重点看清平方项前面系数正负，分清取最大还是最小值，最后写出对应的最值结果。 【例9】我们把二次三项式，叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求二次多项式的最大值或最小值．例如：，所以当时，多项式有最小值，最小值是．若，则二次多项式的最小值为______． 【例10】请同学运用计算，解决问题：已知x、y、z满足，求的最大值是______． 【变式5-1】小李同学在解决问题“已知，求的最小值”时，给出框图中的思路： ， ， 则， ， ， 的最小值为． 结合以上小李同学的思路探究：若，则下列关于式子的说法正确的是（   ） A．有最小值3 B．有最大值3 C．有最小值 D．有最大值6 【变式5-2】若，则的最大值是______． 【变式5-3】当x=______时，代数式8x2-12x+5有最小值，最小值为______. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．计算：__________． 2．若，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知，那么代数式的值是______ ． 4．已知，则代数式_________． 5．已知实数a，b满足，则代数式的最大值为（    ） A．－4 B．－5 C．4 D．5 6．计算： (1)； (2)； (3)． 7．先化简再求值：求代数式的值，其中． 8．若满足，求的值． 解：设，，，， ， ． 请仿照上面的方法求解下面问题： (1)若满足，求的值； (2)已知边长为的正方形中，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、为边作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 9．数形结合是一种重要的解决数学问题的思想方法，借助图形的直观性可以帮助我们理解数学问题． 方法探究： (1)如图①，②，③中阴影部分的面积可以分别用两种不同的方法表示，请分别用等式表示出来． 图中①：______； 图中②：______； 图中③：______． 综合运用： (2)用4个长、宽分别为a，b的长方形拼成一个如图④所示的正方形，图中阴影部分的面积可以用不同的方法表示，写出能验证的等式：______． 类比迁移： (3)若，求的值． 10．将个数，，，排成行列，两边各加一条竖直线记成叫做二阶行列式，且规定，若，求的值． 11．求代数式的最小值时，我们通常运用“”这个公式对代数式进行配方来解决．比如， ∵，∴，∴的最小值是． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)填空：的最小值是__________； (2)求的最小值； (3)已知的三边长、、都是正整数，且满足，求当时，的周长． 12．图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． (1)观察图1、图2，用等式表示图1和图2的面积运算为___________；（用含的式子表示） (2)嘉琪想用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，需要图2中的三种纸片各多少张？ (3)如图3，将两个正方形如图摆放，点与点重合，点分别在的延长线上，若它们边长之和为16，阴影部分面积为60，求这两个正方形的面积之差． 13．边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______（请选择正确的一个选项） A．        B． C．        D． (2)若，，求的值； (3)计算：． 14．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)用含a，b的代数式分别表示、 (2)若，，求的值； (3)若图1中的，图3中，则的值为 ．（用含x，y的代数式表示） 15．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． (1)请写出图，图，图，图4阴影部分的面积分别能解释的乘法公式． 图：____________________________， 图：_____________________________， 图：____________________________， 图4：______________________________． (2)根据上述图中你探索发现的结论，完成下列计算： ①已知，，求代数式的值． ②若，求的值． (3)如图，E，F分别是正方形的边，上的点，且，，长方形的面积是96，分别以，为边作正方形和正方形，计算阴影部分的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $