专题01 整式加减中的化简求值（高效培优专项训练）数学新教材沪教版五四制七年级上册

**基本信息** 以七类典型题型为载体，系统整合整式化简求值的核心方法，构建从定义理解到综合应用的知识逻辑链，培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |整式定义化简求值|多题|紧扣次数、项数定义确定参数|从整式概念出发，建立“定义→参数→求值”逻辑| |去括号化简求值|多题|先去括号再合并同类项的步骤化操作|体现代数变形的基本技能，强化运算准确性| |带字母绝对值化简|多题|结合数轴判断符号去绝对值|数形结合思想的应用，提升几何直观能力| |整体代入求值|多题|代数式变形与整体替换技巧|培养整体思维，简化复杂计算| |字母无关题型|多题|合并同类项使无关项系数为0|深化对多项式结构的理解，发展推理意识| |错题复原题型|多题|逆向分析错误原因还原正确过程|提升批判性思维，强化运算严谨性| |新定义题型|多题|理解新规则并转化为常规运算|培养应用意识，提升知识迁移能力|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01整式加减中的化简求值 参考答案 题型一：根据整式的定义化简求值 1.-9 2.【答案】(1)m=2,n=1 (2)-26 【详解】(1)解：：多项式-3xy1+xy-3r-1是五次四项式，且单项式3x“ymz与多项式的次数相 同， ∴.2+m+1=5,3n+3-m+1=5, 解得：m=2,n=1, (2):m=2, ∴这个多项式是-3x2y3+xy-3x4-1, 当x=1,y=2时， -3x2y3+x3y-3x4-1 =-3×12×23+13×2-3×14-1 =-24+2-3-1 =-26 3.【答案】(1)①3，②-1： (2)a、b的值分别为2和1. 【详解】解：(1)①由题意得， 3a-6=3, 解得，a=3, ②ma-6y3+(-2xy）=0,其中y≠0， ∴m-2n=0, (m-2n-1)25=(0-1)°=-1， 故答案为：3：-1： (2)A-2B=(ar2+2x-5)-2(x2+bx-10） 1/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =ax2+2x-5-(2x2+2bx-20） =ax2+2x-5-2x2-2bx+20, =(a-2)x2+(2-2b)x+15, A-2B的值与x无关， .a-2=0,2-2b=0, 解得，a=2,b=1: ∴.a、b的值分别为2和1 4.【答案】(1)m+n的值是5；(2)这个多项式的值是28 【详解】解：(1)由题意得： m+2=4且1+n=4, 解得m=2,n=3, .m+n=2+3=5, 即m+n的值是5； (2)由题意得，m=2, 解得m=2或m=-2,且m≠2， m=-2, :(x+2)2+y-3=0. x+2=0且y-3=0 解得x=-2,y=3, .3x-(m-2)y+4 =3×(-2)2-(-2-2)x3+4 =12+12+4 =28； 这个多项式的值是28 5.【答案】(1)x+5 (2)k=1 (3)整数m的值为-1或5 【详解】解：(1)：A=3x2-2x+5, ∴.二次三项式A=3x2-2x+5的二次项系数是3，一次项系数是-2，常数项是5， 2/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·.一次式的一次项系数=二次项系数+一次项系数=3+(-2)=1，常数项为5， B=x+5; (2)A=2k(x2+x)+x2+5 =2Gx2+2+x2+5 =(2k+1)x2+2Kx+5 .B=(2k+1+2k)x+5=(4k+1)x+5, 又B=5x+5, 4k+1=5, 解得：k=1: (3):M=(m+2)x2-(1+2m)x+5,且N是M经过处理器得到的一次式， .N=[m+2-(1+2m)】]x+5=-m)x+5, 又N=4x-3. .(1-m)x+5=4x-3. 整理得(m+3)x=8, ,M是关于x的二次三项式， .m+2≠0，即m≠-2， 又1-m≠0， .m≠1， 又方程(m+3x=8的解为x=8 m+3, ,x是正整数，且m是整数， .m+3=1,2,4,8 解得m=-2,-1,1,5 又m≠-2，m≠1， ∴.m=-1或5. 题型二：先去括号，后化简求值 1,【答案1 3/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：(a-b)- =a-b-2a+5b 3 1 当a= 2’b=-3时， 原式子号 2· 2.【答案】(1)-5ab2,-20 211x2-11y-y,65 【详解】(1)解：3(2a2b-ab2）-2(ab2+3a2b) =6a2b-3ab2-2ab2-6a2b =-5ab2: a=1,b=-2 ∴原式=-5×1×(-2}=-20： (2)解：(3x2-y+y)-25y-4x2+y) =3x2-xy+y-10y+8x2-2y =11x2-11xy-y, x=-2,y=1 ·原式=11×(-2)2-11×(-2)×1-1=65」 3.【1, 【t解1解：2(-y+2)引By+20+ 4 =-2xy+4x-2xy-3+4y =-2x2y-2xy+4x2y+4y-3y 4 3少， 当x=-1,y=1时， 4/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 原武骨(-1= 4.【答案】y,-2 【分析】先去括号，再合并同类项，利用非负性求出x,y的值，然后代入化简后的式子进行计算，即可解 答 【详解】解： +2y）2r+2-y) =-2+2wy-7y+2-+y =y, x-2+0y+1)2=0 x-2=0,y+1=0 解得：x=2,y=1, 当x=2,y=-1时，原式=2×(-1)=-2. 5.【答案】b+ab:3 【详解】解：原式=3a2b2-(2b-2ab+3a2b2+ab)+3b4 =3a2b2-2b4+2ab-3a2b2-ab+3b4=b+ab .a-2+(b-1)2=0. .a-2=0,b-1=0. ∴.a=2,b=1 原式=14+2×1=3， 6.【答案】 -2ab2+1,0 2 【详解】解： -[+a+a-到小g-） 3a-a2-ab-2 +1+a2-ab2 3 =-2ab2+1 当a=分6=1时原式=-2x分+1=1+1=0 1 题型三：带字母的绝对值的化简 5/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.b+c 2.【答案】(1)<，>，< (2)b 【详解】(1)解：如图所示： 上净 b-1c0 1a.b<-1<c<0<1<a, 则a+b<0,a+c>0,b-c<0 故答案为：<，><： (2)解：由(1)知，a+b<0,a+c>0,b-c<0, .la+b+la+c-b-|b-c =-(a+b)+(a+c)+b+(b-c) =-a-b+a+c+b+b-c =(-a+a)+(b+b-b)+(c-c) =b 3.【答案】(1)5,4 (2)2b 【分析】(1)根据定义的运算进行解答即可： (2)先根据数轴得到-1<a<0,b>1,则a+b>0,a-b<0,再化简绝对值并合并同类项即可. 【详解】(1)解：a※b=a-b, .2※(-3)=2-(-3)=2+3=5， ..aOb=la+b+la-bl, .2o(-1)=2-1+2-(-1=1+3=4 (2)解：根据题意可知，-1<a<0,b>1, ∴.a+b>0,a-b<0 ..aOb=la+b+la-b=a+b-(a-b)=a+b-a+b=2b 4.【答案】(1)①ab-2a+1,②-2 (2)①a=10,b=20,c=-30,②化简为2b-a. 【详解】(1)解：①原式=A-2B =2a2+3ab-2a-1-2(a2+ab-1 6/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =2a2+3ab-2a-1-2a2-2ab+2 =ab-2a+1 ②当a=0时，①中式子的值为1，当a=1时，①中式子的值为b-1, ∴b-1=1,解得b=2, =b-26+22-3b+56 2 23 =b2-3b =22-3×2 =-2 (2)解：①由数轴可知c<0,0<a<b, 故由a+10=20解得a=10, 由b2=400解得b=20, 由c的相反数是30得c=-30: ②b-c>0,c-3a<0,2a+b>0, ..[b-cl-lc-3al+l2a+b =(b-c)-(3a-c)+(2a+b) =b-c-3a+c+2a+b =2b-a. 5.【答案】(1)11,9,13,3 1 (2)x的值为3或-3 (3)当n≥0或m+n=0时，满足m⊕n=n⊕m 【详解】(1)解：302=3+2+3×2=3+2+6=11， (-4)©(-1)=-4+-1+(-4)×(-1)=4+1+4=9， 5⊕(-2)=|51--2-5×(-2)=5-2+10=13， 0⊕(-3)=|0+-3=0+3=3， (2)解：当x+1>0时，即x>-1, :.(x+1)©(-2)=x+1--2-(x+1)×(-2)=x+1-2+2x+2=3x+1, 7/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .3x+1=10, 解得，x=3: 当x+1=0时，即x=1, :.(x+1)⊕(-2)=0+2=0+2≠10，不符合题意，舍去： 当x+1<0时，即x<-1, .(x+1)®(-2)=x+1+-2+(x+1)×(-2)=-x-1+2-2x-2=-3x-1, .-3x-1=10 解得，= 3: 11 综上所述，x的值为3或3： (3)解：当m,n同号时，m⊕n=m++mn,n⊕m=川+m+mn,则m©n=n⊕m: 当m,n异号时，m⊕n=m-h-mn,n⊕m=n川-m-mn, 若m⊕n=n®m,则m-m-mn=m-m-mn, 解得，m=m,即m,n互为相反数： 当m,n至少一个为0时，m⊕n=m+川，n⊕m=川+m,则m©n=n⊕m: 例如：3⊕4=3+4+3×4=3+4+12=19,4⊕3=4+3+4×3=4+3+12=19： (3)©(4)=-3+4+(-3)×(4)=3+4+12=19，（4)⊕(3)=4+-3+(4)×(-3)=4+3+12=19， 3⊕(-3)=3--3-3×(-3)=3-3+9=9，（-3)®3=-3-3-(-3)×3=3-3+9=9， 0©4=|0+4=4,4⊕0=4+0=4,0©(-4)=|0+4=4，(-4)©0=4+0l=4, 综上所述，当mn≥0或m+n=0时，满足m©n=n⊕m 题型四：整体代入求值 1.D 2.A 3.A 4.A 5.2025 6.16. 8/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.【答案】(1)10 (2)-10 (3)a+b-c+d=-9 【详解】(1)解：x2-y=5, .3x2-3y-5=3(x2-y)-5=3×5-5=10: (2)解：2(3m+n)-4(m-m)=6m+2n-4m+4n=2m+6n=2(m+3m）=2×(-5)=-10, (3)解：A+B+C =ax2+4x-1+bx2-cx+2+5x2+dx-y =(a+b+5)x2+(4-c+d)x-y+1. :A+B+C的结果与x的取值无关， .a+b+5=0,4-c+d=0, .a+b=-5,-c+d=-4, ∴.a+b-c+d=(a+b)+(-c+d)=-5-4=-9 8.【答案】(1)-(m-n) (2)-9 (3)8 【分析】本题考查了合并同类项，代数式求值，利用整体代入思想解题是关键 (1)仿照材料，把(m-n看成一个整体，即可合并： (2)将x2-2y=4整体代入计算即可： (3)先去括号，再添括号，根据已知，然后整体代入求值即可 【详解】(1)解：原式=(2-4+1)(m-n}=-(m-n)} 故答案为：-(m-n}: (2)由x2-2y=4,得3x2-6y=3(x2-2y)=12 因此3x2-6y-21=12-21=-9 故答案为：-9： (3)解：(a-3c)+(5b-d)-(5b-3c)=a-3c+5b-d-5b+3c=a-d, 又：(a-5b)+(5b-3c)+(3c-d)=3+(-5)+10=8,即a-d=8, 9/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴原式=a-d=8 题型五：字母无关题型 1.B 2.D 3.D 4.c 5.2 6.【答案】()6r2y-2.y+x (2)7xy-5x-15 8y-月 【分析】本题主要考查了整式加减运算与无关型问题，解题的关键是熟练掌握整式加减运算法则，准确计 算。 (1)根据题意代入计算求解即可： (2)根据题意直接代入计算即可： (3)根据A-3B的值与x的取值无关时，x的系数为O,即可求出y的值. 【详解】(1)解：B=2x2y-3xy+2x+5,A-B的结果为4x2y+y-x-5, ∴.A=4x2y+y-x-5+B =4x2y+xy-x-5+2x2y-3y+2x+5 =6x2y-2xy+x; (2)解：A-3B =6x2y-2y+x-3(2x2y-3y+2x+5) =6x2y-2xy+x-6x2y+9xy-6x-15 =7xy-5x-15; (3)解：A-3B=x(7y-5)-15 ,多项式A-3B的值与x的取值无关， .7y-5=0 解得：y=7 10/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.【答案】(1)-2 (23 (3)a=2b 【详解】(1)解：mx+2x+4=(m+2)x+4 ,关于x的多项式mx+2x+4的值与x的取值无关， ∴m+2=0, m=-2: (2):A=(r+1(x-2),B=x(m-x), .3A+2B=3(x+1)(x-2)+2x(m-x) =3nx2-6nx+3x-6+2mx-2x2 =(3n-2)x2+(2m-6n+3)x-6 ,3A+2B的值与x的取值无关， 、.3n-2=0,2m-6n+3=0. .m= 3 ∴.3n+2m=3× 2 (3)设AB=x, 观察图形得：S=a(-3b)=a-3ab,S2=2b(x-2a)=2bx-4ab, .'.S -S2 ax-3ab-(2bx-4ab) ax-3ab-2bx +4ab =(a-2b)x+ab. :当AB的长变化时，S-S2的值始终保持不变， ∴.a-2b=0. ∴a=2b 8.【答案】(1)a=-3,b=-1,c=15 (23 (3)a+4b=0或3a+2b=0 【详解】(1)解：，b是最大的负整数， ∴.b=-1, 11/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a,b,c满足(a-3b)2+c-15=0, .a-3b=0,c-15=0. 解得：a=-3,c=15 故答案为：a=-3,b=-1,c=15 (2)解：设点D表示的数为d, 则CD=l5-d,DB=d+l, DC=3DB. 15-d=3(d+1), 解得：d=3, 点D表示的数为3： (3)解：当M以每秒1个单位的速度向右运动时， .PM=(2t+15)-t=t+15, QM=(3t+3)+t=4t+3】 .aPM+b0M=a(t+15)+b(4t+3)=(a+4b)t+15a+3b. 又：aPM+b2M的值不随时间t的变化而变化， .a+4b=0, 当M以每秒1个单位的速度向左运动时， :.PM=(2t+15)+t=3t+15. QM=3t+3-1=2t+3 aPM+b0M=a(3t+15)+b(2t+3)=(3a+2b)1+15a+3b, 又：aPM+bOM的值不随时间t的变化而变化， ∴3a+2b=0, 综上所述，a,b满足的数量关系为a+4b=0或3a+2b=0 题型六：看错题目复原题型 1.B 2.-42 3.-x2+13x-9 4.5x2-8xy+10xz 12118 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.【容案1回8=+3x+1:1B2x-2 2)①2A-C: @:C=2+4x,A=)x2+x-1, 2 4-8=24-c=2行+-小-(+创 =x2+2x-2-x2-4x =-2x-2. 【都】④解由题意可利8=C-4=(+4合2+--片+3+1， 则4-8=g+可传+x利 =x2+x-1-x2-3x-1 2 =-2x-2. (2)解：①根据题意可得A-B=A-(C-A)=2A-C: 故答案为：2A-C: ②略 6.【答案】(112x-5y2 (2)-56 【详解】(1)解：设破损部分的整式为A, A=-x+9y2-3(2y2-3x)+4(x-2y2） =-x+9y2-6y2+9x+4x-8y2 =12x-5y2: (2)解：因为=3，所以x=±3， 因为0y-2}2=0,所以y-2=0,所以y=2, 因为炒<0 所以x=-3,y=2 则原式=12×(-3)-5×22 =-36-20 13/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =-56 题型七：新定义题型 1.C 2.【答案】(1)不是 (2)x+6,-x (3)n=8 【详解】(1)解：(8-2mn+m2)+(-m2+2mm-10) =8-2mn+m2-m2+2mn-10 =-2 ∴.8-2mn+m2与-m2+2mn-10不是2的“友好整式”； (2)解：x+6-x=6, :.x+6,-x是6的“友好整式”的整式： (3)2x2+c+6+(-2x2-3x+k-1)=(k-3)x+k+5 依题意可知：k-3=0, k=3, k+5=3+5=8, ∴.n=8 3.【答案】()2与3互为“和积数”，理由： 3 +3= 2 23 3 3 Γ2 3 “2与3互为“和积数” (2)-3 间号 【详解】(1)略 (2)解：有理数a与b互为“和积数”，b与C互为相反数 ∴.a+b=ab,b+c=0 14118 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =5ab-3c-5a-8b-3 =5(a+b)-3c-5a-8b-3 =5a+5b-3c-5a-8b-3 =-3c-3b-3 =-3(b+c)-3 =-3×0-3 =-3 (3)解：当x=3时，由“和积数”定义得3+x=3x 解得号 、2 七是x的倒数，故x= 2 由“和积数”定义得3+方=二为 解得x=-2 是5的间欧故=月 由“和积数”定义得十号= 25 解得心=3 是的倒数，故6=3 由此可得这组数以子-2。 32 ,2'33为一个周期循环 .2026÷6=337…4 1 .X206=X4=-2 4.【答案】((3,1)不是“同心有理数对” 、-是同心有理数对” 理由：3-1=2,3×3×1-2=7≠2， 故(3，)不是“同心有理数对” 15118 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -1-(2=3x(-1x7-2, 故(-山习》是“同心有理数对” (2)①是：②-4 【详解】(1)略 (2)解：①(m,n)是“同心有理数对”， ∴.m-n=3mn-2. :(-n)-(-m)=m-n,3(-n)(-m)-2=3mn-2, :.(-n)-(-m)=3(-n)(-m)-2, 故(-n,-m)是“同心有理数对”， 故答案为：是： ②由m-n=3mn-2得：3mn-m+n=2, 3m(n-1)+[2m-n+2(n-3)] =3mn-3m+2m-n+2n-6 =3mn-m+n-6, 当3mn-m+n=2时， 原式=2-6=-4 5.【答案】(1(4，-9) ®四a- (3)-2 【详解】(1)解：-2+3 2+3 “数对(-2,6)，(4，-9)中，是“相伴数对”的是(4，-9)： 故答案为：(4，-9)： (2)解：(a,b)是“相伴数对”， a b a+b 232+3 16118 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .15a+10b=6a+6b. .a=- (3)解：(m,n)是“相伴数对”， 4 “同理(2)得m=g”: m、22 m-[4m-2(3m-1] 422,16 9n+6n-2 -n+ 466.16.5 =gn-9”+g 92 n+ =-2 6.【答案】()x+xy+y2+y(答案不唯一： (2)①能成为“二元对称关联式”；②能成为“二元对称关联式”； B)x2-3y,-x2+3xy,x2-y+2y2: 【详解】(1)解：根据定义，构造多项式x+xy+y+少，该多项式是三次四项式，将x与y互换后结 果与原式一致，且无同类项可合并，按x降幂排列： 故答案为：x+xy+y+y(答案不唯一). (2)解：①对于多项式组[2x2-y-y,x2-y-2y,x2+y2]: :将C=x2+y中的x与y互换，得y2+x2=x2+y2,与原式相同， ∴C是二元对称多项式： 又(2x2-y-y2）-(x2-y-2y2）=2x2-y-y2-x2+w+2y2=x2+y2=C, 即A与B通过减法运算可得到C, ∴该多项式组①能成为“二元对称关联式”； ②对于多项式组[-x+y+y,2gy+2y,x2+y+y]: :将C=x+y+y中的x与y互换，得少+x+x2=x+y+广，与原式相同， ∴C是二元对称多项式： 又：(2y+2y）（-x2+y+y)=2y+2y+x2-y-y=x+y+y=C,即B与A通过减法运算可得到 17/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C. ,该多项式组②能成为“二元对称关联式”： (3)解：已知[A,y+y少，r2-2y+y]是“二元对称关联式”，其中B=y+y2,C=x2-2y+y2,易知 C是二元对称多项式，分三种情况讨论： 情况1：若A+B=C,则4=C-B=(x2-2y+y）-(y+y)=x2-2y+y2-y-y2=x2-3y: 情况2：若A-B=C,则A=C+B=(x-2y+y)+(y+y）=x2-2y+y2+y+y2=x2-y+2y2: 情况3：若B-A=C,则A=B-C=(y+y)-(x2-2y+y)=y+y2-x2+2y-y2=-x2+3y: 综上，符合条件的多项式A为x2-3y,-x2+3xy,x2-y+2y2. 18/18 专题01 整式加减中的化简求值 题型一 根据整式的定义化简求值 题型二 先去括号，后化简求值 题型三 带字母的绝对值化简 题型四 整体代入求值 题型五 字母无关题型 题型六 看错题目，错题复原题型 题型七 新定义题型 题型一：根据整式的定义化简求值 1．（25-26七年级上·上海·期中）如果整式是一个关于的二次三项式，求：当时，这个整式的值． 2．已知多项式是五次四项式，单项式与该多项式的次数相同． (1)求m、n的值． (2)若，求这个多项式的值． 3．（1）如果两个关于，的单项式与是同类项（其中）． 直接写出______． 若这两个单项式和为，求的的值． （2）关于，的多项式，，若的值与无关，求出、的值． 4．（1）已知多项式是四次四项式，单项式的次数与这个多项式相同．求的值． （2）是一个关于的二次三项式，满足，求这个多项式的值． 5．（25-26七年级上·上海奉贤·期末）【方法】有一种整式处理器，能将二次三项式处理成一次式，处理方法是：将二次三项式的二次项系数与一次项系数的和（和为非零数）作为一次式的一次项系数，将二次三项式的常数项作为一次式的常数项．例如：经过处理器得到． 【应用】若关于的二次三项式经过处理器得到，根据以上方法，解决下列问题： （1）填空：若，则 ； （2）若，经过处理器得到结果，求的值． 【延伸】 （3）已知是关于的二次三项式，若是经过处理器得到的一次式，且关于的方程的解为正整数，求整数的值． 题型二：先去括号，后化简求值 1．（25-26六年级上·上海宝山·期中）先化简，再求值：，其中， 2．（25-26七年级上·上海·期末）化简并求值： (1)，其中，； (2)，其中，． 3．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）先化简，再求值：，其中，． 4．（25-26七年级上·四川成都·期末）先化简再求值：，其中． 5．（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）先化简，再求值：若，求代数式的值． 6．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）先化简，再求值：，其中，． 题型三：带字母的绝对值化简 1．（25-26六年级上·上海·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，求式子______． 2．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，且表示数的点、表示数的点与原点的距离相等． (1)用“”“”或“”填空：_______，_______，_______； (2)化简：． 3．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）对于有理数，，定义两种新运算“※”与“◎”，规定：，，例如，，． (1)填空： ； ． (2)，在数轴上的位置如图所示，化简． 4．（25-26七年级上·山东济南·期中）按要求解答 (1)已知： 计算 ； 若和时（1）中式子的值相等，求的值． (2)已知：有理数，，在数轴上的位置如图所示，且． 若， ，的相反数是，求，，的值； 化简： ． 5．（25-26七年级上·上海·期末）我们规定一种新运算“”，对于任意有理数a，b，满足以下运算规则： ①若（a，b同号），则； ②若（a，b异号），则； ③若（a，b至少一个为0），则． 请根据以上运算规则完成下列问题： (1)填空：①___________；②___________；③___________；④___________； (2)已知是有理数，且，求的值； (3)探究：如果对于任意有理数m，n，满足，那么m，n应满足什么条件，请直接写出结论． 题型四：整体代入求值 1．已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·山东菏泽·期末）已知，则的值为（   ） A．4 B． C． D．8 3．已知，，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 4．如果代数式，那么代数式的值等于（　　） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·上海·期末）当时，代数式的值为2026，则的值为________． 6．如果代数式的值是0，那么代数式的值是__________． 7．“整体思想”是初中数学一种重要的思想方法，它在代数中应用较为广泛．如已知，求的值．根据已知条件我们虽无法直接求出a与b的值，但可以将看作一个整体，其值即为2，而，将整体代入，即可求得． (1)已知，则______； (2)若，求的值； (3)设多项式，，，若的结果与x的取值无关，求的值． 8．（25-26七年级上·上海·期末）阅读材料 “整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．比如．由此，若我们把看成一个整体，当成字母“”，则． 迁移应用： (1)把看成一个整体，合并的结果是__________； (2)已知，则的结果是__________； (3)已知，求的值． 题型五：字母无关题型 1．（25-26七年级上·上海·期末）若多项式不含x的一次项，则a的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．若多项式与的差与的取值无关，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（25-26七年级上·山东·期末）多项式的值（    ） A．与a，b，c的大小都有关 B．与a，b的大小有关，与c的大小无关 C．与b，c的大小有关，与a的大小无关 D．与a，c的大小有关，与b的大小无关 4．已知，．当的值与x无关时，的值为（   ） A．6.5 B． C． D．5.5 5．（25-26七年级上·福建·期末）已知无论取什么值，多项式的值都等于定值6，则的值为_____． 6．已知两个多项式A，B，其中，的结果为． (1)求多项式A； (2)求多项式； (3)若多项式的值与x的取值无关，求y的值． 7．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值．通常的解题思路是把x看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的项的系数为0． 具体解题过程：原式 因为代数式的值与x的取值无关． 所以，解得． 【理解应用】 (1)若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m的值为 ； (2)已知，，且的值与x的取值无关，求的值； 【能力提升】 (3)7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长度变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 8．我国著名数学家华罗庚曾经用诗句“数形结合百般好，割裂分家万事非”表达了数形结合的重要性．点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离．如图1，已知数轴上的点分别表示有理数，其中是最大的负整数，且满足 (1)请你直接写出的值，_____，_____，_____． (2)若为数轴上线段之间的一个动点，且，求点在数轴上表示的数． (3)若动点以每秒3个单位长度的速度从点出发向左运动，动点以每秒2个单位长度的速度从点出发向右运动，动点以每秒1个单位长度的速度从原点出发沿数轴朝某个方向运动，点，，同时出发，设运动时间为秒．若的值不随的变化而变化，试求出应满足的数量关系． 题型六：看错题目复原题型 1．老师布置一道多项式的运算：先化简再求值：，其中，一位同学将“”抄成“”，其余运算正确，结果却是对的，则关于和的值叙述正确的是（    ） A．一定是2，一定是 B．不一定是2，一定是 C．一定是2，不一定是 D．不一定是2，不一定是 2．某同学把错抄为，若正确答案为，抄错后的结果为，则_____________． 3．黑板上有一道题，是一个多项式减去，某同学由于大意，将减号抄成加号，得出结果是，则这道题的正确结果是__________． 4．小明在计算一个多项式减去时，误将“减去”抄成了“加上”，结果得到，则正确的结果是____________． 5．嘉嘉在计算两个多项式的差时，误将连接两个多项式之间的“”号抄错为“”号，结果求得的结果为，若． (1)先求出多项式，再求的结果； (2)淇淇想不求，利用已知条件直接求的结果，经过思考，她写出了如图不完整的解题过程： 因为， 所以， 所以__？___（用含的式子表示）． …… ①方框中“？”处的内容为_____； ②请将解题过程补充完整． 6．泽泽在练习册上看到一道整式运算的参考答案破损，形式如下： 解：原式： (1)请你帮助泽泽求出破损部分的整式； (2)如果且，且请求出破损部分整式的值． 题型七：新定义题型 1．自定义运算：，例如：．若在数轴上的位置如图所示，，则的值等于（    ） A．50 B．30 C． D．20 2．阅读材料并完成下列各题： 如果整式A与整式B的和为实数a，那么称为a的“友好整式”．例如：因为与的和为1，所以与是1的“友好整式”；因为与的和为5，所以与是5的“友好整式”． (1)与______（填“是”或“不是”）2的“友好整式”； (2)写出一组是6的“友好整式”的整式； (3)若关于x的整式与是n的“友好整式”，求n的值． 3．新定义：若两个有理数的和等于这两个有理数的积，则称这两个数互为“和积数”．如：有理数与5，因为，所以与5互为“和积数”． (1)判断与3是否互为“和积数”，并说明理由． (2)若有理数与互为“和积数”，与互为相反数，求代数式的值． (3)对于有理数，设的“和积数”为；的倒数为；的“和积数”为；的倒数为；依次按如上的操作，得到一组数．当时，请直接写出的值． 4．观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数为“同心有理数对”，记为，如：数对，都是“同心有理数对”． (1)判断数对，是“同心有理数对”吗？如果是，请说明理由； (2)若是“同心有理数对”， ①则_____“同心有理数对”（填“是”或“不是”）； ②求的值． 5．我们称使方程成立的一对数，为“相伴数对”，记为． (1)数对中，是“相伴数对”的是_______． (2)若是“相伴数对”，求a的值（用含b的代数式表示）． (3)若是“相伴数对”，求代数式的值． 6．新定义型阅读理解题 【知识背景】 定义1：一个关于，的多项式，如果把其中，互换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是关于，的二元对称多项式．如，都是关于，的二元对称多项式． 定义2：若多项式组（，，是关于，的整式)中的三个整式满足两个条件： ①多项式是二元对称多项式； ②整式，通过加减运算后可得到整式，我们把这样的多项式组称为“二元对称关联式”． 【知识应用】 (1)请你写出一个满足下列条件的二元对称多项式：①它是关于，的三次四项式；②它不能合并同类项；③按照的降幂排列． (2)判断①，②能否成为“二元对称关联式”，说明理由． (3)若是“二元对称关联式”，写出所有符合条件的多项式A． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 整式加减中的化简求值 题型一 根据整式的定义化简求值 题型二 先去括号，后化简求值 题型三 带字母的绝对值的化简 题型四 整体代入求值 题型五 字母无关题型 题型六 看错题目，错题复原题型 题型七 新定义题型 题型一：根据整式的定义化简求值 1．（25-26七年级上·上海·期中）如果整式是一个关于的二次三项式，求：当时，这个整式的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的次数和项数．根据二次三项式的定义（最高次数为2，且项数为3），确定参数a和b的值，进而得到整式表达式，再代入求值． 【详解】解：∵整式是关于x的二次三项式，最高次数为2，且项数为3． ∴三次项系数为0，即，解得． 代入得整式为：． 又∵最高次数为2， ∴． 此时整式为：． 当时， 原式． 2．已知多项式是五次四项式，单项式与该多项式的次数相同． (1)求m、n的值． (2)若，求这个多项式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式的项和次数，单项式的次数，绝对值以及偶次方的非负性，有理数的混合运算，根据题意求出题目中未知数的值是解本题的关键． （1）根据多项式是五次四项式，可得，根据单项式与该多项式的次数相同可得，求解即可； （2）把代入多项式中求解即可． 【详解】（1）解：∵多项式是五次四项式，且单项式与多项式的次数相同， ， 解得：； （2）∵， ∴这个多项式是， 当时， ． 3．（1）如果两个关于，的单项式与是同类项（其中）． 直接写出______． 若这两个单项式和为，求的的值． （2）关于，的多项式，，若的值与无关，求出、的值． 【答案】（1）；； （2）、的值分别为和． 【分析】本题考查了同类项的定义、合并同类项法则的应用等知识点，掌握合并同类项时，把同类项的系数相加作为结果的系数，字母和字母的指数不变成为解题的关键． （1）根据同类项的定义求解即可； 根据合并同类项的法则把系数相加即可； （2）计算，合并同类项后，令关于项系数等于即可求得结论． 【详解】解：（1）由题意得， ， 解得，， ，其中， ， ， 故答案为：；； （2）， ， ， ， 的值与无关， ，， 解得，，； 、的值分别为和． 4．（1）已知多项式是四次四项式，单项式的次数与这个多项式相同．求的值． （2）是一个关于的二次三项式，满足，求这个多项式的值． 【答案】（1）的值是；（2）这个多项式的值是． 【分析】此题考查了整式的概念与非负数性质的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识． （1）先运用整式的概念求得的值，再代入计算； （2）先运用整式的概念和非负数的性质求得的值，再代入求解． 【详解】解：（1）由题意得： 且， 解得，， ∴， 即的值是； （2）由题意得，， 解得或，且， ∴， ∵， ∴且， 解得，， ∴ ； ∴这个多项式的值是． 5．（25-26七年级上·上海奉贤·期末）【方法】有一种整式处理器，能将二次三项式处理成一次式，处理方法是：将二次三项式的二次项系数与一次项系数的和（和为非零数）作为一次式的一次项系数，将二次三项式的常数项作为一次式的常数项．例如：经过处理器得到． 【应用】若关于的二次三项式经过处理器得到，根据以上方法，解决下列问题： （1）填空：若，则 ； （2）若，经过处理器得到结果，求的值． 【延伸】 （3）已知是关于的二次三项式，若是经过处理器得到的一次式，且关于的方程的解为正整数，求整数的值． 【答案】（1） （2） （3）整数的值为或 【分析】（1）根据题意进行计算即可求解； （2）由，根据运算法则列方程即可求解； （3）根据题意得，又，得出，进而即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴二次三项式的二次项系数是3，一次项系数是，常数项是5， ∴一次式的一次项系数=二次项系数+一次项系数，常数项为5， ∴； （2）∵ ， ∴， 又， ∴， 解得：； （3）∵且是经过处理器得到的一次式， ∴， 又， ∴， 整理得， ∵是关于的二次三项式， ∴，即， 又， ∴， 又方程的解为， ∵是正整数，且是整数， ∴， 解得， 又，， ∴或5． 题型二：先去括号，后化简求值 1．（25-26六年级上·上海宝山·期中）先化简，再求值：，其中， 【答案】； 【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握整式运算的相关运算法则进行化简并能准确求值是解题的关键． 先去括号，再合并同类项，然后代入已知数值即可求解． 【详解】解： ； 当，时， 原式． 2．（25-26七年级上·上海·期末）化简并求值： (1)，其中，； (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)，65 【分析】本题考查了整式的加减运算以及代数求值，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）先去括号，再合并同类项，然后代数计算即可； （2）先去括号，再合并同类项，然后代数计算即可． 【详解】（1）解： ； ∵， ∴原式； （2）解： ， ∵， ∴原式． 3．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 4．（25-26七年级上·四川成都·期末）先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先去括号，再合并同类项，利用非负性求出x，y的值，然后代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， ， ，， 解得：，， 当，时，原式． 5．（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）先化简，再求值：若，求代数式的值． 【答案】；3 【分析】本题考查了整式加减运算中的化简求值，绝对值的非负性，解题的关键是熟练掌握去括号法则以及合并同类项法则． 先根据去括号法则以及合并同类项法则化简代数式，再根据绝对值以及完全平方式的非负性求解，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ． ∵， ∴， ∴ ∴原式． 6．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ， 【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握去括号法则和合并同类项法则即可求解，先对原式去括号，合并同类项得到最简结果，再代入、的值计算即可求解． 【详解】解： ． 当，时 原式． 题型三：带字母的绝对值的化简 1．（25-26六年级上·上海·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，求式子______． 【答案】/ 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，整式的加减运算，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由，再逐个化简绝对值，然后进行整式的加减运算，即可作答． 【详解】解：观察数轴，得， ∴， ∴ ， 故答案为：． 2．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，且表示数的点、表示数的点与原点的距离相等． (1)用“”“”或“”填空：_______，_______，_______； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查由数轴上点的位置确定式子符号、化简绝对值等知识，熟记数轴比较大小的方法、绝对值意义及整式加减运算是解决问题的关键． （1）由有理数在数轴上的对应点的位置得到，从而确定，，； （2）由（1）中，，，，结合绝对值的代数意义去绝对值，再合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： ， 则，，， 故答案为：； （2）解：由（1）知，，，， ． 3．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）对于有理数，，定义两种新运算“※”与“◎”，规定：，，例如，，． (1)填空： ； ． (2)，在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据定义的运算进行解答即可； （2）先根据数轴得到，则，再化简绝对值并合并同类项即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴ （2）解：根据题意可知，， ∴ ∴ 4．（25-26七年级上·山东济南·期中）按要求解答 (1)已知： 计算 ； 若和时（1）中式子的值相等，求的值． (2)已知：有理数，，在数轴上的位置如图所示，且． 若， ，的相反数是，求，，的值； 化简： ． 【答案】(1)； (2)；化简为． 【详解】（1）解：原式 当 时，中式子的值为 ，当时，中式子的值为， ，解得， ． （2）解：由数轴可知， 故由解得， 由解得， 由的相反数是得； ， ． 5．（25-26七年级上·上海·期末）我们规定一种新运算“”，对于任意有理数a，b，满足以下运算规则： ①若（a，b同号），则； ②若（a，b异号），则； ③若（a，b至少一个为0），则． 请根据以上运算规则完成下列问题： (1)填空：①___________；②___________；③___________；④___________； (2)已知是有理数，且，求的值； (3)探究：如果对于任意有理数m，n，满足，那么m，n应满足什么条件，请直接写出结论． 【答案】(1)，，， (2)的值为或 (3)当或时，满足 【分析】本题主要考查含有字母的绝对值的化简，一元一次方程的运用． （1）根据材料提示方法求解即可； （2）根据材料规定的计算方法，分类讨论即可求解； （3）根据材料规定的计算方法进行验证即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， （2）解：当时，即， ∴， ∴， 解得，； 当时，即， ∴，不符合题意，舍去； 当时，即， ∴， ∴， 解得，； 综上所述，的值为或； （3）解：当同号时，，，则； 当异号时，，， 若，则， 解得，，即互为相反数； 当至少一个为0时，，，则； 例如：，； ，； ，， ，，，， 综上所述，当或时，满足． 题型四：整体代入求值 1．已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于都未知，因此将所求代数式变形为含已知等式的形式，整体代入计算即可． 【详解】， 将代入，得 ． 2．（25-26七年级上·山东菏泽·期末）已知，则的值为（   ） A．4 B． C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查整式的化简求值，关键是通过去括号、合并同类项将代数式转化为含已知条件的形式，再利用整体代入法计算． 【详解】解： ； 已知，将其代入，原式=． 故选：A． 3．已知，，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减，代数式求值，解题的关键关键将整式变形为含有所给数值的代数式及整体思想的应用． 先由等式变形为，再将，代入求值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式 ， 故选：． 4．如果代数式，那么代数式的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查整式的加减—化简求值，原式去括号整理后，将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴原式 ， 故选A． 5．（25-26七年级上·上海·期末）当时，代数式的值为2026，则的值为________． 【答案】2025 【分析】本题考查了整式加减中的化简求值，熟练掌握运算法则和整体思想是解题关键．先根据题意可得，再计算整式的加减，代入计算即可得． 【详解】解：∵当时，代数式的值为2026， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：2025． 6．如果代数式的值是0，那么代数式的值是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据题意得到，再把所求式子去括号后合并同类项得到，据此利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵代数式的值是0， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 7．“整体思想”是初中数学一种重要的思想方法，它在代数中应用较为广泛．如已知，求的值．根据已知条件我们虽无法直接求出a与b的值，但可以将看作一个整体，其值即为2，而，将整体代入，即可求得． (1)已知，则______； (2)若，求的值； (3)设多项式，，，若的结果与x的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将所求代数式变形后整体代入已知条件计算； （2）先化简代数式，再整体代入已知条件求值； （3）先计算并合并同类项，根据结果与取值无关，得到对应各次项的系数为，再整体代入计算所求代数式的值． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：； （3）解： ， ∵的结果与的取值无关， ∴，， ∴，， ∴． 8．（25-26七年级上·上海·期末）阅读材料 “整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．比如．由此，若我们把看成一个整体，当成字母“”，则． 迁移应用： (1)把看成一个整体，合并的结果是__________； (2)已知，则的结果是__________； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了合并同类项，代数式求值，利用整体代入思想解题是关键. ()仿照材料，把看成一个整体，即可合并； ()将整体代入计算即可； ()先去括号，再添括号，根据已知，然后整体代入求值即可. 【详解】（1）解：原式 故答案为：； （2）由，得 因此 故答案为：； （3）解：， 又∵，即， ∴原式. 题型五：字母无关题型 1．（25-26七年级上·上海·期末）若多项式不含x的一次项，则a的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】把所给多项式合并同类项，再令含x的一次项的系数为0，据此求解即可． 【详解】解：， ∵多项式不含x的一次项， ∴， ∴． 2．若多项式与的差与的取值无关，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减混合运算，根据多项式与的差与x的取值无关，即整理后含的项，系数为零，据此建立等式求出与的值，即可解题． 【详解】解：由题意得， ， 多项式与的差与x的取值无关， 且， 解得，， ， 故选：D． 3．（25-26七年级上·山东·期末）多项式的值（    ） A．与a，b，c的大小都有关 B．与a，b的大小有关，与c的大小无关 C．与b，c的大小有关，与a的大小无关 D．与a，c的大小有关，与b的大小无关 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减运算，通过去括号、合并同类项化简多项式，再根据化简结果判断与哪些字母有关. 【详解】解： ， 多项式的值与a，c的大小有关，与b的大小无关， 故选：D． 4．已知，．当的值与x无关时，的值为（   ） A．6.5 B． C． D．5.5 【答案】C 【分析】此题考查了整式加减中的无关型问题．， 本题先代入计算的表达式并合并同类项，再根据“多项式的值与无关则含的项的系数为0”的性质求出、的值，最后计算即可．。 【详解】解：∵， ∴ 去括号得： 合并同类项得： ∵的值与无关 ∴含的项的系数为0，即 解得：， ∴ 故选：C 5．（25-26七年级上·福建·期末）已知无论取什么值，多项式的值都等于定值6，则的值为_____． 【答案】2 【分析】本题主要考查了整式加减混合运算，熟练掌握整式加减混合运算法则是解题的关键． 先对原多项式进行整式的加减运算并合并同类项，再根据多项式的值为定值的条件，确定含与的项的系数为0，求出、的值后计算． 【详解】解： ∵无论，取什么值，多项式的值都等于定值6， ∴， 解得， ∴． 故答案为：2 6．已知两个多项式A，B，其中，的结果为． (1)求多项式A； (2)求多项式； (3)若多项式的值与x的取值无关，求y的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式加减运算与无关型问题，解题的关键是熟练掌握整式加减运算法则，准确计算． （1）根据题意代入计算求解即可； （2）根据题意直接代入计算即可； （3）根据的值与的取值无关时，x的系数为0，即可求出y的值． 【详解】（1）解：∵，的结果为， ∴ ； （2）解： ； （3）解：， ∵多项式的值与x的取值无关， ∴， 解得：． 7．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值．通常的解题思路是把x看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的项的系数为0． 具体解题过程：原式 因为代数式的值与x的取值无关． 所以，解得． 【理解应用】 (1)若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m的值为 ； (2)已知，，且的值与x的取值无关，求的值； 【能力提升】 (3)7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长度变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题： （1）先化简多项式，再根据多项式的值与x的取值无关，可得，即可求解； （2）先化简求出，再由的值与x的取值无关，得到，即可求解； （3）设，观察图形得：，可得，再由当的长变化时，的值始终保持不变，即可求解． 【详解】（1）解： ∵关于x的多项式的值与x的取值无关， ∴， ∴； （2）∵，， ∴ ∵的值与x的取值无关， ∴， ∴， ∴； （3）设， 观察图形得：， ∴ ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变， ∴， ∴． 8．我国著名数学家华罗庚曾经用诗句“数形结合百般好，割裂分家万事非”表达了数形结合的重要性．点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离．如图1，已知数轴上的点分别表示有理数，其中是最大的负整数，且满足 (1)请你直接写出的值，_____，_____，_____． (2)若为数轴上线段之间的一个动点，且，求点在数轴上表示的数． (3)若动点以每秒3个单位长度的速度从点出发向左运动，动点以每秒2个单位长度的速度从点出发向右运动，动点以每秒1个单位长度的速度从原点出发沿数轴朝某个方向运动，点，，同时出发，设运动时间为秒．若的值不随的变化而变化，试求出应满足的数量关系． 【答案】(1)，， (2)3 (3)或 【分析】（1）先根据是最大的负整数，求得，再根据非负数的意义求得，； （2）先用分别表示出、，再根据，列出关于的方程求解即可； （3）分以每秒1个单位的速度向右运动、以每秒1个单位的速度向左运动两种情况，分别列出与的关系式即可． 【详解】（1）解：∵是最大的负整数， ∴， ∵，，满足， ∴，， 解得：，． 故答案为：，，． （2）解：设点表示的数为， 则，， ∵， ∴， 解得：， ∴点表示的数为3； （3）解：当以每秒1个单位的速度向右运动时， ∴， ， ∴， 又∵的值不随时间的变化而变化， ∴， 当以每秒1个单位的速度向左运动时， ∴， ， ∴， 又∵的值不随时间的变化而变化， ∴， 综上所述，满足的数量关系为或． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值非负性，整式四则混合运算，动点问题（一元一次方程的应用）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 题型六：看错题目复原题型 1．老师布置一道多项式的运算：先化简再求值：，其中，一位同学将“”抄成“”，其余运算正确，结果却是对的，则关于和的值叙述正确的是（    ） A．一定是2，一定是 B．不一定是2，一定是 C．一定是2，不一定是 D．不一定是2，不一定是 【答案】B 【分析】先去括号再合并同类项，结合“一位同学将x=-2抄成x=2，其余运算正确，结果却是对的”分析答题即可． 【详解】解：（2x2-3x+1）-（ax2+bx-5） =2x2-3x+1-ax2-bx+5 =（2-a）x2-（3+b）x+6， ∵将“x=-2”抄成“x=2”，其余运算正确，结果却是对的， ∴二次项系数2-a可取任意实数，一次项系数-（3+b）的值为0， ∴a不一定是2，b一定是-3． 故选：B． 【点睛】本题主要考查多项式的运算，难度适中，正确理解整式的运算法则，以及运算顺序是关键． 2．某同学把错抄为，若正确答案为，抄错后的结果为，则_____________． 【答案】 【分析】本题考查的是用字母表示数，整式的加减运算，理解题意，列出正确的运算式是解题的关键．设框表示的数为再表示正确的结果为： ，抄错后的结果为： ，再列式计算即可． 【详解】解：设框表示的数为， 则正确的结果为： ， 抄错后的结果为：， ， 故答案为： 3．黑板上有一道题，是一个多项式减去，某同学由于大意，将减号抄成加号，得出结果是，则这道题的正确结果是__________． 【答案】 【分析】此题考查了整式的加减，弄清题意是解本题的关键． 根据错误操作的结果求出原多项式，再计算正确结果． 【详解】解：原多项式为 正确结果为． 故答案为： 4．小明在计算一个多项式减去时，误将“减去”抄成了“加上”，结果得到，则正确的结果是____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，熟练掌握去括号法则、合并同类项法则以及利用错误结果反推原多项式的方法是解题的关键．设原多项式为 ，错误操作是 ，先求出 ，再计算正确结果 【详解】解：设原多项式为， 由错误操作得 ， 正确结果为 ， 故答案为 5．嘉嘉在计算两个多项式的差时，误将连接两个多项式之间的“”号抄错为“”号，结果求得的结果为，若． (1)先求出多项式，再求的结果； (2)淇淇想不求，利用已知条件直接求的结果，经过思考，她写出了如图不完整的解题过程： 因为， 所以， 所以__？___（用含的式子表示）． …… ①方框中“？”处的内容为_____； ②请将解题过程补充完整． 【答案】(1)； (2)①； ②， ． 【分析】本题考查了整式的加减，熟练计算是解题的关键． （1）根据题意可得，再求得的结果； （2）①根据代入消元法即可解答； ②根据整式的加减即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得， 则 ； （2）解：①根据题意可得； 故答案为：； ②略 6．泽泽在练习册上看到一道整式运算的参考答案破损，形式如下： 解：原式： (1)请你帮助泽泽求出破损部分的整式； (2)如果且，且请求出破损部分整式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减-化简求值，以及代数式求值，掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据题意列出关系式，去括号合并即可确定出所求； （2）利用，且，解出x、y以及把x、y的值代入（1）的结果中计算即可求出值． 【详解】（1）解：设破损部分的整式为， ； （2）解：因为，所以， 因为，所以，所以， 因为 所以． 则原式 ． 题型七：新定义题型 1．自定义运算：，例如：．若在数轴上的位置如图所示，，则的值等于（    ） A．50 B．30 C． D．20 【答案】C 【分析】本题考查了整式加减运算中的化简求值，数轴，解题的关键是正确理解新定义，从数轴判断式子的正负和大小． 由数轴可得，，则，则，据此根据新定义得到，再整体代入求值即可． 【详解】解：由数轴可得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．阅读材料并完成下列各题： 如果整式A与整式B的和为实数a，那么称为a的“友好整式”．例如：因为与的和为1，所以与是1的“友好整式”；因为与的和为5，所以与是5的“友好整式”． (1)与______（填“是”或“不是”）2的“友好整式”； (2)写出一组是6的“友好整式”的整式； (3)若关于x的整式与是n的“友好整式”，求n的值． 【答案】(1)不是 (2) (3) 【分析】（1）根据定义进行解答即可； （2）根据定义写出一组答案即可； （3）先进行整式的加法得到计算结果，根据定义得到，求出，进一步即可得到答案． 【详解】（1）解： ∴与不是2的“友好整式”； （2）解：∵， ∴是6的“友好整式”的整式； （3） 依题意可知：， ， ∴， ． 3．新定义：若两个有理数的和等于这两个有理数的积，则称这两个数互为“和积数”．如：有理数与5，因为，所以与5互为“和积数”． (1)判断与3是否互为“和积数”，并说明理由． (2)若有理数与互为“和积数”，与互为相反数，求代数式的值． (3)对于有理数，设的“和积数”为；的倒数为；的“和积数”为；的倒数为；依次按如上的操作，得到一组数．当时，请直接写出的值． 【答案】(1)与3互为“和积数”，理由： ∵， ∴ ∴与3互为“和积数” (2) (3) 【分析】本题考查有理数的运算、代数式求值、数字类规律探究，掌握“和积数”的定义是解题关键． （1）根据“和积数”的定义，计算两数的和与积，比较是否相等即可判断． （2）根据“和积数”定义得到，相反数定义得到，将代数式化简后整体代入求值． （3）先求出前几个数，找出循环规律，再根据周期计算的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵有理数与互为“和积数”，与互为相反数 ∴， （3）解：当时，由“和积数”定义得 解得 是的倒数，故 由“和积数”定义得 解得 是的倒数，故 由“和积数”定义得 解得 是的倒数，故 由此可得这组数以为一个周期循环 ∵ ∴ 4．观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数为“同心有理数对”，记为，如：数对，都是“同心有理数对”． (1)判断数对，是“同心有理数对”吗？如果是，请说明理由； (2)若是“同心有理数对”， ①则_____“同心有理数对”（填“是”或“不是”）； ②求的值． 【答案】(1) 不是“同心有理数对” ，是“同心有理数对”， 理由：，， 故不是“同心有理数对” ． ，， ， 故是“同心有理数对”； (2)①是；② 【分析】本题主要考查了新定义，整式的加减运算，有理数的混合运算，解题关键是理解新定义运算的含义，并能够根据新定义解决问题． （1）根据新定义，分别求出两数的差与两数积的3倍减2的结果，进行比较，然后判断即可； （2）①根据新定义，由得即可；②先化简，再代入求值即可． 【详解】（1）略 （2）解：①是“同心有理数对”， ． ∵，， ∴， 故是“同心有理数对”， 故答案为：是； ②由得：， ， 当时， 原式 5．我们称使方程成立的一对数，为“相伴数对”，记为． (1)数对中，是“相伴数对”的是_______． (2)若是“相伴数对”，求a的值（用含b的代数式表示）． (3)若是“相伴数对”，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，代数式求值，解决本题的关键是理解题目中相伴数对的定义，并运用． （1）根据“相伴数对”的定义验证即可； （2）根据“相伴数对”的定义将x和y换成a和b，代入计算即可用含b的代数式表示a； （3）同理（2）可得，然后先将原式化简，代入计算即可求值． 【详解】（1）解：∵， ∴数对中，是“相伴数对”的是； 故答案为：； （2）解：∵是“相伴数对”， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵是“相伴数对”， ∴同理（2）得； ∴ ． 6．新定义型阅读理解题 【知识背景】 定义1：一个关于，的多项式，如果把其中，互换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是关于，的二元对称多项式．如，都是关于，的二元对称多项式． 定义2：若多项式组（，，是关于，的整式)中的三个整式满足两个条件： ①多项式是二元对称多项式； ②整式，通过加减运算后可得到整式，我们把这样的多项式组称为“二元对称关联式”． 【知识应用】 (1)请你写出一个满足下列条件的二元对称多项式：①它是关于，的三次四项式；②它不能合并同类项；③按照的降幂排列． (2)判断①，②能否成为“二元对称关联式”，说明理由． (3)若是“二元对称关联式”，写出所有符合条件的多项式A． 【答案】(1)(答案不唯一)； (2)①能成为“二元对称关联式”；②能成为“二元对称关联式”； (3)，，； 【分析】本题考查新定义下的多项式的相关概念与整式加减运算，核心是理解两个定义：二元对称多项式是将与互换后与原式完全相同的多项式；“二元对称关联式”需同时满足两个条件：①多项式是二元对称多项式；②整式与通过一次加法或减法运算可得到． （1）根据三次四项式、二元对称多项式的要求，构造满足与互换后不变、无同类项、按降幂排列的多项式即可； （2）对每个多项式组，先验证是否为二元对称多项式，再验证与能否通过加减运算得到； （3）利用“二元对称关联式”的条件，分、、三种情况列等式，求解对应的多项式． 【详解】（1）解：根据定义，构造多项式，该多项式是三次四项式，将与互换后结果与原式一致，且无同类项可合并，按降幂排列； 故答案为：(答案不唯一)． （2）解：①对于多项式组： ∵将中的与互换，得，与原式相同， ∴是二元对称多项式； 又∵， 即与通过减法运算可得到， ∴该多项式组①能成为“二元对称关联式”； ②对于多项式组： ∵将中的与互换，得，与原式相同， ∴是二元对称多项式； 又∵，即与通过减法运算可得到， ∴该多项式组②能成为“二元对称关联式”； （3）解：已知是“二元对称关联式”，其中，，易知是二元对称多项式，分三种情况讨论： 情况1：若，则； 情况2：若，则； 情况3：若，则； 综上，符合条件的多项式为，，． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $