专题02 整式乘除化简与规律问题（六大压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制七年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型模版”构建整式乘除系统化训练，覆盖运算、代换、面积综合等核心考法，强化方法迁移与逻辑推理 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|核心解法+2原则|法则/变形/转化+符号/系数底线原则|从概念到运算规则构建基础逻辑| |题型归纳|6题型（每题型含例+变式）|特征+方法（如对应系数法、整体代换等）|从单一运算到综合应用递进| |压轴挑战|14道综合题|多知识点交叉融合应用|从基础到压轴突破思维上限|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02整式乘除化简与规律问题 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、单项式乘法参数求值问题 题型二、整体代换求值运算 题型三、不含指定项的参数求值问题 题型四、多项式乘法与面积综合问题 题型五、多项式乘法规律探究问题 题型六、整式除法运算 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 整式乘除是七年级数学核心重难点，所有题型均围绕整式乘除运算法则、式子恒等变形、图形面积转 化三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是整式运算合并同类项、去括号时符号不能出错，二是参数 求值、无项问题需保证系数取值合理、式子结构不变。 ◆ 刁题型归纳一精讲典型题法，务夫解题根基 题型一、单项式乘法参数求值问题 题型模版 1特征：题目给出含参数的单项式乘法等式，已知运算结果，根据对应次数、对应系数相等的条件，求解 参数或相关代数式的值。 2方法：按照单项式乘法法则运算，化简等式左右两边，根据同底数幂次数相等、对应项系数相等列方程 求解，最后代入原式验证等式成立。 1/30 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1)” 【例11设(xy）(xy）=xy”,则2m的值为（ A日 C.1 D. 【答案】A 【分析】 【详解】解：(y2)(y）=xy22=y=xy ∴.6m-1=5,n+4=7,解得：m=l,n=3, (j(刘j8 故选：A. am+'b")(a2m-b2")=ab 【例2】若 ,则求m+n “的值. 11 【答案】3 【详解1解：aba)=ar6=, :ms寸 3；n=2: .m+n 3*21 3· 【点睛】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键. 【变式11】计算(-2xy:h侧的结果为24xy,则a-b的值是( ) A.-10 B.-1 c.5 D.14 【答案】C 【详解】解： （-2xy'-by2 =-8x34y3.bxy2 2/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =-8bxxy2y2） =-8bxatlys :(2xy·bgy的结果为24xy .-8b=24,3a+1=7, .a=2,b=-3, :0-b=2-(-3)=2+3=5 ∴a-b的值是5. 【变式1-2】若5ag-）2a26=-10,则2m+n= 【答案】2 【详解】解： (-5am+b2n-）2a2b=-10am*b2m=-10a2b 则m+3=3,2n=4, 解得：m=0,n=2, 那么2m+n=0+2=2, 故答案为：2. a b la bad-be m2m-3 【变式1-3】若规定符号cd的意义是：cd 则当m-7m-3=0时，1-2mm-2的值为 A.-9 B.-4 C.-8 D.6 【答案】D 【详解】解：：m3-7m-3=0, .m3-7m=3, 3/30 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m2 m-3引 ∴.1-2mm-2 =m2(m-2)-(m-3)1-2m) =m3-2m2-（m-3-2m2+6m） =m3-2m2-m+3+2m2-6m =m3-7m+3 =3+3 =6 题型二、整体代换求值运算 题型模版 1特征：题目不单独给出字母取值，仅提供某个整式的整体数值，无法单独求出字母，需要对所求式子变 形求解。 2方法：观察所求代数式结构，通过配方、变形、拆分凑出已知整体，直接整体代入计算，运算过程严格 注意符号变化，不随意拆分整体结构。 【例3】若0+b=4,b=2,则代数式2-a2-b)的值为( A.-4 B.-2 C.4 D.14 【答案】D (2-a)(2-b) 【详解】解： =4-2a-2b+ab =4-2(a+b)+ab :a+b=-4,ab=2, 代入得原式 =4-2×(-4)+2=4+8+2=14 【例41已知0-5=-3ab,求 (a+b)(a+2b)-2b2 的值 4/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】5 【详解】解：原式=a2+2ab+ab+2b2-2b2 =a2+3ab, a2-5=-3ab, a2+3ab=5, 原式=5. (x+3)=2025 2(x+4)(x-1)-2016 【变式2-1】已知 则代数式 的值为( A.2020 B.2026 C.2024 D.2022 【答案】B 2(x+4)(x-1)-2016 【详解】解： =2(x2+3x-4）)-2016 =2x2+6x-8-2016 =2x2+6x-2024 =2x(x+3)-2024 (x+3)=2025 ·原式=2×2025-2024 =4050-2024 =2026 【变式2-2】若实数m，n满足m-2n=mm,则代数式 m+2)(n-1) 的值为 【答案】 -2 (m+2)(n-1)=mn-m+2n-2 【详解】解： 将m-2n=mn,代入得， 5/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (m+2)(n-1)=mn-m+2n-2=m-2n-m+2n-2=-2 【变武2】若已知-x=1,则c+20-3)的值为 【答案】-5 (x+2)(x-3)=x2-3x+2x-6=x2-x-6 【详解】解： x2-x=1, ∴原式=1-6=-5」 题型三、不含指定项的参数求值问题 题型模版 1.特征：给出含参数的多项式乘积式子，规定化简后不含某一次项或常数项，利用项的系数特征求参数的 值。 2方法：展开整式式子并合并同类项，找到指定项的对应系数，令该项系数等于0，解方程求出参数，最 终回代检验确认无指定项。 【例5】若3x+)2r-5 的展开式中不含x的一次项，则k的值是( 15 c 5 A.2 B.2 D. 6 【答案】A (3x+k)(2x-5)=6x2-15x+2kx-5k=6x2+(2k-15)x-5k 【详解】解： 展开式中不含x的一次项， .一次项系数2k-15=0, 解得4=片 【例6】先化简，再求值： [2a-b2a+bj+(a-302a+bj+b(46-o]=0】 其中a,b使关于x的 6/30 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 多项式 x+ax-b)不含一次项。 【答案】-4a+4b,0 【详解】解：[2a-b2a+)+(口-362a+b)+b46-a]:（30 =(4a2-6+2a-6ob+ab-36+46-a0)-（30 =6c2-6ajr(30j =-4a+4b, (x+a)(x-b)=x2+ax-bx-ab=x2+(a-b)x-ab :a,b使关于x的多项式 (x+a)(x-b) 不含一次项， .a-b=0, =-4a+4b=-4(a-b)=-4×0=0 原式 【变式31】若a+22r-2)的结果中不含顶，则a的值为() 1 A.0 B.2 C.2 D.-2 【答案】B 【详解】解：先展开并整理原式： (ax+2)(2x2-2x) =ax·2x2+ax(-2x)+2·2x2+2·(-2x) =2ax3-2a2+4x2-4x =2ax3+(4-2a)x2-4x ,结果中不含x项， ∴.x2项的系数为0，即4-2a=0, 解得a=2. 【变武3-2】若(7x+7x- 的乘积结果中不含的一次项，则常数的值为 7/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】1 (7x+1)(7x-k)=49x2-7+7x-k=49x2+(7-7k)x-k 【详解】解： ,乘积中不含x的一次项， ∴一次项系数等于0，即7-7k=0, 解得k=1」 【变式3-3】 (x-x+2水x-2》展开后不含x的一次项，则a的值是 【答案】-1 【详解】解： (x2-ax+2x-2）=x-2x2-am2+2ax+2x-4=x'+(-2-a）x2+(2a+2)x-4 :该多项式展开后不含x的一次项， ∴.2a+2=0 解得a=-l. 题型四、多项式乘法与面积综合问题 题型模版 1.特征：结合长方形、正方形、割补图形，利用图形面积的两种不同表示方法，构造多项式乘法等式求解 问题。 2方法：分别用几何公式、整式展开两种方式表示图形面积，建立等量关系式，通过整式乘除化简计算， 结合图形实际情况检验结果合理性。 【例7】如图，将两张边长分别为“和b(a>b)。 的正方形纸片按图1，图2两种方式放置在长方形内（图 1,图2中两张正方形纸片均有部分重叠)，阴影部分是未被这两张正方形纸片覆盖的部分.己知长方形的 S 边AB,AD的长分别为m,”,设图1阴影部分的面积为心，图2阴影部分的面积为心？.己知下列选项中 S1-S2 的值能确定 的值的是( 8/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 /a=5 a=5 A.m+n=12 B.m-n=2 b=4 b=4 C.m-n=2 D.m+n=12 【答案】C 【详解】解： S=mn-a2-b2+b(a+b-n) S2 =mn-a2-b2+b(a+b-m) :S-5:=b(a+b-n)-b(a+b-m)-b(m-n) S-S2 ∴要确定 的值需要确定b的值和m-”的值， 故C选项符合题意. 【例8】如图，有三张边长分别为4，b,C的正方形纸片A,B,C,将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置 于同一长方形中。记图1中阴影都分周长为，面积为入：图2中阴影部分用长为，面积为5，若 12-4=S2-S ,则下列正确的为( B C B 图1 图2 A.b+c=7 B.b-c=4 C.a-b=4 D.a-c=7 【答案】B 9/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：由图1可得，长方形的长为a+b,宽为a+C, 则=c+(a+b-c)+(a+c-b)+b+(a-b)+a-c)=4a S=(a+b)(a+c)-a2-b2-c2=ab+ac+bc-b2-c2 l2=2b+2(a+c-b)+2(a+c-a)+2a-2b+2a+2c-2b+2a+2c-2a+2a=4a+4c S2=b(a+c-b)+a(a+c-a)-c[a+c-a-(b-c)] =b(a+c-b)+ac-c(2c-b) =ab+bc-b2+ac-2c2+bc =ab+2bc-b2+ac-2c2, ∴.l2-l=4a+4c-4a=4c S2-S =ab+2bc-b2+ac-2c2-(ab+ac+bc-b2-c2)=bc-c2 l2-(=S2-S :.4c=bc-c, c≠0. .b-c=4 【变式4-1】如图所示，长方形ABCD中放置两个边长都为6cm的正方形AEFG与正方形CHW,若如图阴 影部分的面积之和记为3，长方形18CD的面积记为9，已知：38-8=216 ,则长方形4BCD的周长为 E 10/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】 36 【详解】解：设KF=a,FL=b, 由图可得，EK=BH=LJ=GD=6-a,KH=EB=GL=DJ=6-b. :3=2(6-6-b)+ab=72-12a-12b+3abS,=(6+6-b)6+6-a）)=144-12a-12b+ab 38-9=216 ,3(144-12a-12b+ab)-(72-12a-12b+3ab)=216 整理得：a+b=6, C长方形A8cn=2(4B+BC)=2(6+6-b+6+6-a)=2×(24-6)=36 【变式4-2】如图，在长方形ABCD中放入一个边长为8的大正方形ALMN和两个边长为5的小正方形 EFG 水)，3个阴影部分的面积满足 S3+S1-S2=3 (正方形 和正方形“ ,则长方形 BCD的面积为 D H G L M S3 K 【答案】77 【详解】解：设长方形ABCD的长为a,宽为b,则由已知及图形可得： S 的长为8-5=3，宽为-8， :9=36-8) S的长为8+5-a=13-0,宽为5+5-b=10-b, 11/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :3=(13-aj10-b) S 的长为-8，宽为 b-5 :=(a-8)6-5) 2S+S,-S2=3 ÷2(a-86-5)+36-8)-(13-aj010-b)=3 :2(a6-5a-80+40）+36-24-130-136-10a+ab）=3 .ab+80-24-130=3. .ab-74=3, ∴ab=77 ∴.长方形ABCD的面积为77 【变式4-3】一个大长方形按如图方式分割成6个小长方形，且只有标号为①、⑥的两个小长方形为正方形， 若②的面积为25，则△ABC的面积= ② ③ ① ④ A ⑤ ⑥ 【答11232时 25 【详解】解：如图所示： C E F T ② ③ ① H ④ ⑥ 5 12/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设AD=a,BH=b,AG=c, ,一个大长方形按如图方式分割成6个小长方形，且只有标号为①、⑥的两个小长方形为正方形， :CD=AE=WS=a,BV=DW=AS=b,SV=c, ,②的面积为25， ∴.AE·AG=25,即aC=25, :△ABC的面积为： S.CWB-SCDA-S。ASB-S长方形DA _(a+b)(a+c+b)_1a_b(b+e)-ab 2 2 ac =12.5 题型五、多项式乘法规律探究问题 题型模版 1.特征：给出一组多项式运算等式，式子结构相似、存在固定变化规律，需要总结通用公式、续写式子或 直接求值。 2方法：对比观察各式的系数、次数、符号变化规律，归纳通用整式表达式，将己知数值代入规律公式计 算，并验证规律普遍成立。 【例91已知(a+b)=a+2ab+,(a+b=a+3ab+3ab+i(a+bj=a+4ab+6a6+4ab+b 通过观察我们发现它们各项的系数符合杨辉三角的结构，指数也按一定规律排列，若 (b-2)=ab+a,b+a,b+a,b+a,b+a6,则4-a+a-a+a的值是（ 杨辉三角局部图 13/30 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.32 B.211 C.-243 D.243 【答案】B x+y)3=x3+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy+y3 【详解】解：根据杨辉三角的规律，可得 令x=b,y=-2,代入， 得6-2)9=b+56*(-2)+106(-2+106(-2+56(-2+(-2 化简，得6-2°=6-106+406-80b2+806-32 b-2)3=a,b'+a2b4+a,b+a4b2+a,b+a6 对比 得41,8=-10.马=40&=-804，=80 ∴.a1-a2+a-a4+a=1-（-10)+40-(-80)+80=211 【例10】观察下列等式： (x-1)(x+1)=x2-1 (x-10(x2+x+1=x3-1 (x-1)x3+x2+x+1)=x4-1 利用你发现的规律解决下列问题： (①计算：x-x+x+2+x+) (②计算：(-1+r2+x3+…+x+1) (③)利用(2)中结论，求3202+302+3201++3+1的值. 【答案】(1)x3-1 14/30 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②”1 【分析】 【详解】解，(x-x++2+x+1)=-1 (2解：(-1(x+)=x2-1 (x-1(x2+x+1)=x3-1 (x-10(x3+x2+x+1)=x-1 。。 （x-x+x2+x3++x+）x-1 (3)解：32025+3202+3221+…+3+1 =6-060+30+30++3+ -6-) =320-1 2 【变式5-1】观察下列各式： (x-1)(x+1)=x2-1 (x-1)(x2+x+1)=x3-1 (x-1)(x3+x2+x+1)=x-1 … 根据规律计算：2025+22024+22023+…+2+23+22+2+1= 【答案】22026-1 15/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：(x-(x+1)=-1 (x-1)(x2+x+1)=x3-1 (x-10(x3+x2+x+1）=x4-1 … :-0x+x++x+1)=x-1 ∴205+22024+2023++24+23+22+2+1 =(2-1)×(22025+22024+22023+…+24+23+2+2+1） =22026-1. 【变式5-2】观察下列各式的规律 第1个等式：5×2-3×4=2×1-4 第2个等式：8×3-4×5=2×4-4. 第3个等式：11×4-5×6=2×9-4 第4个等式：14×5-6×7=2×16-4， 根据上述规律，请解答下列问题.· (1)请直接写出第5个等式： (2)猜想第n个等式： 并通过计算说明该猜想的正确性， 【答案】(1)17×6-7×8=2×25-4 (2) (3n+2)(n+1)-(n+2)(n+3)=2n2-4 理由： 左边3n+3n+2m+2-(2+2n+3n+6) =3n2+3n+2n+2-n2-2n-3n-6 =2n2-4. :左边=右边， 16/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴该猜想成立 【分析】 【详解】(1)略 (2)略。 【变式5-3】观察以下等式： 第1个等式：2×4+1=32 第2个等式：3×5+1=42 第3个等式：4×6+1=52 第4个等式：5×7+1=62 … 按照以上规律，解决下列问题： (1)请直接写出第6个等式：一 (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明. (3)直接写出下列式子的结果. 3Nf124+*+s 2024×2026】 【答案】(1)7×9+1=82 (2) 解：猜想第”个等式为： (n+1)x(n+3)+1=(n+2)2 (n+1)x(n+3)+1 证明： =n2+4n+3+1 =n2+4n+4 =(n+2) 17/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025 (3)1013 【分析】 【详解】(1)解：通过观察前面式子可得： 7×9+1=82 (2)略 (3)解： f4+s-+m4s =1x3+1x2×4+13×5+ 2024×2026+1 -X。。X 1×32×4 3×5 2024×2026 223242 20252 1×32×43×5 2024×2026 2025) 234 2025 2024(345 2026 2 =2025× 2026 2×2025 2026 2025 1013 题型六、整式除法运算 题型模版 1特征：包含单项式除以单项式、多项式除以单项式运算，常结合化简、求值、参数计算考查，容易出现 幂运算、符号计算错误。 2方法：严格按照整式除法运算法则计算，同底数幂相除底数不变、指数相减，多项式除以单项式逐项相 除，最后化简为最简整式，核对系数与指数确保无误。 m.2x2y3=18x3y4-24x4y 【例11】若 ,则m的值为( ) 12y-8x2 B.9y-12x 12xy2-9x 9x2y-12xy D. 【答案】B 18/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18x3y4-24xy3 m= 【详解】由己知等式可得： 2x2y3 :多项式除以单项式，需将多项式每一项分别除以单项式，再将所得结果相加， 18x3y4 计算第一项：2x2y3 =9xy -24x4y3 计算第二项：2ry-l2r2 .m=9xy-12x2 【例12】化简求值： [x2+y-(x-2x-y)+2y(-刃]÷4y,其中x=4,y=4 5x-3y 【答案】4,8 【详解1解.【(2+yr）(-2y-以+2c-4y =[(x2+y2）-(x2-y-2y+2y2）+2y-2y2]÷4y =(x2+y2-x2+xy+2y-2y2+2y-2y2)÷4y =(5y-3y2）÷4y =5r-3y 4 当x=4’y=-4时，原式= 5×4-3x(4)_5×4+3×4=5+3=8. 4 【变式6-1】计算： x-2y°-(c+2y0x-)】 ②（←wYxnin+m(r}:2mn 【答案】(050y+62 19/30 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2 -m'ns 【分析】 【详解】（山）解：(x-2y-(x+2y)(x-) =x2-4xy+4y2-（x2-y+2xy-2y2） =x2-4xy+4y2-x2+xy-2xy+2y2 =-5xy+6y2 (2②解：（←m×mn+m(aヅ+2mn 2 =-mnx3mn2+mn÷2mn 、3 mn3+-m'n3 2 =-m3n3. 【变式6-2】如果2022=5,2022”=2，那么2022m-2”= 25 【答案】4 【详解】解：，2022"=5,2022”=2， :202220=2022÷2022=(202÷(202}=5÷2=125 4 【变式6-3】己知a"=5,a2m=75,求①a;②am-2m的值. 7 【答案】①3：②25 【分析】 【详解】解：①a=5,a0=(a)=52=25 由同底数幂的乘法，得a2m+"=a2m·a”=75, 即a”=75÷a2m=75÷25=3: 20/30 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②ra=3,a"=(a}=3=27 由同底数幂的除法，得00-2m=a2”÷a2m=27÷25= 27 25 同压轴桃战一或克离凉压轴，突破思上保 1.已知（+mr+n3x-l 的展开式中，不含有x和x,则m+n= 4 【答案】9 【详解】 (x2+x+n)(3x-1) =3x3-x2+3mx2-mx+3x-n =3x3+(3m-1)x2+(3n-m)x-n “展开式中不含有x和x, 1 1m= 3 3m-1=0,解得 1 n=- 3n-m=0 9 114 .∴.m+n= 399· 2.若+c+8x-3x+b 的乘积中不含x和项，则=一，b= 【答案】 3 1 【详解1解：(+ax+8r2-3x+b) =x4-3x3+bx2+ax3-3ar2+abx+8x2-24x+8b =x4+(a-3)x3+(b-3a+8)x2+(ab-24)x+8b :其结果中不含x2和x项， 21/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .a-3=0,b-3a+8=0, 解得：a=3,b=1. 3.若20+4a-3=0,则代数式号 na(a+4)+(a+1)(a-1) 的值为 【答案】2 【详解】解：，2a2+4a-3=0, 2a2+4a=3, 原式=a2+4a+a2-1 =2a2+4a-1 =3-1=2, 故答案为：2. 4.(y)(,求m的值 【答案】3 【详解】解：(xy)(r)=ry y=ry .6m-1=5,n+5=8 ∴m=1,n=3 .nm=3=3 5.如图，点F在△ABC内，∠C=90°，FE⊥AC于点E,FD⊥BC于点D,且△AEF,△BDF,四边形 CDFE的面积分别为3,9,6，则△ABF的面积为 3 6 9 【答案】6 22/30 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 羊解解：由题意可得：AMF的面积AE,EF=3。ABDp的面积BD·DF=9,四边形CDF 面积=CE:EF=CD.DF=CD.CE=6, 设CD=a,CE=b,则AE=b,BD=3a,ab=6, .AC=AE+CE=2b,BC=BD+CD=4a. Sw-AC.BC-x2bx4a-4ab=24 2 :△ABF的面积为 AABC-S△ABr-S△BDF-S四边形cDFE=24-3-9-6=6 6.若rrr=8,r=-5,则（的值为 【答案】-40 【详解】解：，xxx=8,x“÷x=-5, x2bc=8,x2-e=-5, (x =x2a+6 =xatb+c+a-c =xatbte.xa-c =8×(-5) =-40 ,.如图，点P是线段4B上一点（4P>BP）,在4B的上方分别以4P,BP为边长作正方形4PCD和正方 形BPEF,点M是B的中点，连接MD,MF,DE,C.若5o-Saw=6 CDEF ,则四边形 的面积 S阳边形cDEF等于（） 23/30 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B MP A.2 B.3 C.6 D.12 【答案】D 【i详解】解：设1P=a,BP=b,且a>) 点M是AB的中点， :AM=BM=号AB=a+b 1 2 2 S.AMD-S.BMF=6 1a+b.-1.a+b.b=6 -…a- ∴.22 22 (a+b)(a-b)=24 整理得： .CE=a-b, :8达形CDr=S,cm+SCr -CE-CD+LCE.EF 1 2 2 a-)a+a-)-6 1 -a-bja+o创 x24 22 =12. &.已知等式ar++b）+3x-2c=r+5x+4 立，求Q2+3b+2c的值. 【答案】2 24/30 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：(ar++b)+3x-2c=a++br+3x-2c (am+r+j+3x-2c=+5x+4 成立， ∴.ax+x3+bx+3x-2c=x3+5x+4恒成立， 即：ar+(6-2)x-2c-4=0 恒成立， ∴.a=0,b-2=0,-2c-4=0, 解得：a=0,b=2,c=-2, .a2+3b+2c =02+3×2+2×(-2) =2. 9.若ar+r+b）+3x-2c=x+5x+ 恒成立，求a+b+c的值. 【答案】0 【详解】解：(ar++b）+3x-2c=ar+2+bx+3x-2c 又x(ar+r+b小+3x-2c=r+5r+4 成立， .ax+x3+bx+3x-2c=x3+5x+4恒成立， 即：m+(b-2)x-2c-4=0. 恒成立， .a=0,b-2=0,-2c-4=0, 解得：a=0,b=2,c=-2, :a+b+c=0+2+(-2)=0 即a+b+c的值为0. 10.如图，在数学兴趣活动中，同学将两根长度相同的铁丝，分别做成甲、乙两个长方形，面积分别为 P,Q,判断P与Q的大小并说明理由. 25/30 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m+5 m+3 甲 乙 m+2 【答案】P>Q,理由见解析 P=(m+3)(m+5) 【详解】解：由题意得 =m2+5m+3m+15 =m2+8m+15 图乙中长方形的长为： 2(m+5+m+3)-2(m+2)】]÷2=m+6 ∴Q=(m+6)(m+2) =m2+2m+6m+12 =m2+8m+12 ∴.P-9=(m2+8m+15)-(m2+8m+12） =m2+8m+15-m2-8m-12=3>0 ∴P>2 11.“整体思想”在数学中应用极为广泛， 例如：已知a2-2=-3b,求2a2+6b-7的值， 解：a2-2=-3b, :a+3汤=2 :20+6-7=2(02+36)-7=2×2-7=-3 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (四尼知-2y-3=0.*3x2-6y+1 ,求 的值： 26/30 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 @②已知a2+2a-8=0,求a(a+2y-a(a-3a-1)+3(5a-2)的值. 【答案】(1)10 (2)58 【分析】 ,x2-2y-3=0 【详解】(1)解： x2-2y=3 3x-6y+1 =3(x2-2y)+1 =3×3+1 =10 (2)解：a2+2a-8=0, ∴a2+2a=8, .a(a+2-a(a-3)(a-1)+3(5a-2) =aa2+4a+4-aa2-4a+3)+15a-6 =a3+4a2+4a-a3+4a2-3a+15a-6 =8a2+16a-6 =8(a2+2a)-6 =8×8-6 =58 12.小明在计算“1=■(6-2-(2x+32r-3)”时，发现前边有一处看不清楚. (1)若■处是“2”，且满足x2+4x-1=0,请求出整式A的值. 27/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若整式A中不含x的二次项，求■处的值， 【答案】()15 (2)4 【分析】 【详解】（山解：由题意得，4=2(x-2y-(2x+3)2x-3) =2(x2-4x+4）-(4x2-9) =2x2-8x+8-4x2+9 =-2x2-8x+17, .x2+4x-1=0, ∴.x2+4x=1, ,A=-2x2-8x+17=-2(x2+4x)+17=-2×1+17=-2+17=15 (2)解：设■处的值为a, :.A=a(-2}-(2x+3)(2x-3) =a(x2-4x+4）-(4x2-9) =ax2-4ax+4a-4x2+9 =(a-4)x2-4ax+4a+9 ,整式A中不含x的二次项， .a-4=0, ∴.a=4, .■处的值是4. 13.已知： [(y+2)(y-2）-2xy2+4]÷■=xy (1)求■所表示的代数式： 1 (2)求当x=10,y=-25时，■所表示的代数式的值. 28/30 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)y (②5 【详解】4解；：[(g+2g-2)-2y+4]■=y ■=[(y+2)(y-2)-2x2y2+4]÷y =(x2y2-4-2x2y2+4）÷xy =-x2y2÷y 三一y: 2)解：当x=10y25时 ■=-10x1）2 255 14.观察下列各式： 12×18=216=1×2×100+2×8. 23×27=621=2×3×100+3×7: 34×36=1224=3×4×100+4×6. (1)请根据上述规律直接写出计算结果： 73×77==-=-: 92×98==-=· (2)设这两个两位数的十位数字都为4，其中一个两位数的个位数字为b,另一个两位数的个位数字为C,且 b+c=10. 请用代数式表示上述规律，并用所学的知识说明上述规律的正确性. 【答案】(1)7×8×100+3×7,5600+21,5621,9×10×100+2×8,9000+16,9016 (2) (10a+b)10a+c)=100a(a+1)+bc 用代数式表示规律： (10a+b)10a+c)=100a2+10ab+10ac+bc=100a2+10a(b+c)+bc 理由如下： b+c=10 ∴(10a+b)10a+c)=100a2+100a+bc=100a(a+1)+bc 29/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】 【详解】(1)解：73×77=7×8×100+3×7=5600+21=5621， 92×98=9×10×100+2×8=9000+16=9016: 故答案是：5621：9016. (2)略 30/30 专题02 整式乘除化简与规律问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、单项式乘法参数求值问题 题型二、整体代换求值运算 题型三、不含指定项的参数求值问题 题型四、多项式乘法与面积综合问题 题型五、多项式乘法规律探究问题 题型六、整式除法运算 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 整式乘除是七年级数学核心重难点，所有题型均围绕整式乘除运算法则、式子恒等变形、图形面积转化三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是整式运算合并同类项、去括号时符号不能出错，二是参数求值、无项问题需保证系数取值合理、式子结构不变。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、单项式乘法参数求值问题 题型模版 1.特征：题目给出含参数的单项式乘法等式，已知运算结果，根据对应次数、对应系数相等的条件，求解参数或相关代数式的值。 2.方法：按照单项式乘法法则运算，化简等式左右两边，根据同底数幂次数相等、对应项系数相等列方程求解，最后代入原式验证等式成立。 【例1】设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【例2】若，则求的值． 【变式1-1】计算的结果为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】若，则________． 【变式1-3】若规定符号的意义是：，则当时，的值为（   ） A． B． C． D．6 题型二、整体代换求值运算 题型模版 1.特征：题目不单独给出字母取值，仅提供某个整式的整体数值，无法单独求出字母，需要对所求式子变形求解。 2.方法：观察所求代数式结构，通过配方、变形、拆分凑出已知整体，直接整体代入计算，运算过程严格注意符号变化，不随意拆分整体结构。 【例3】若，，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【例4】已知，求的值． 【变式2-1】已知，则代数式的值为（   ） A．2020 B．2026 C．2024 D．2022 【变式2-2】若实数， 满足，则代数式的值为________． 【变式2-3】若已知，则的值为_______． 题型三、不含指定项的参数求值问题 题型模版 1.特征：给出含参数的多项式乘积式子，规定化简后不含某一次项或常数项，利用项的系数特征求参数的值。 2.方法：展开整式式子并合并同类项，找到指定项的对应系数，令该项系数等于0，解方程求出参数，最终回代检验确认无指定项。 【例5】若的展开式中不含的一次项，则k的值是（     ） A． B． C． D． 【例6】先化简，再求值：，其中a，b使关于x的多项式不含一次项． 【变式3-1】若的结果中不含项，则a的值为（  ） A．0 B．2 C． D． 【变式3-2】若的乘积结果中不含的一次项，则常数的值为________． 【变式3-3】展开后不含x的一次项，则a的值是__________． 题型四、多项式乘法与面积综合问题 题型模版 1.特征：结合长方形、正方形、割补图形，利用图形面积的两种不同表示方法，构造多项式乘法等式求解问题。 2.方法：分别用几何公式、整式展开两种方式表示图形面积，建立等量关系式，通过整式乘除化简计算，结合图形实际情况检验结果合理性。 【例7】如图，将两张边长分别为和的正方形纸片按图1，图2两种方式放置在长方形内（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），阴影部分是未被这两张正方形纸片覆盖的部分．已知长方形的边，的长分别为，，设图1阴影部分的面积为，图2阴影部分的面积为．已知下列选项中的值能确定的值的是（     ） A． B． C． D． 【例8】如图，有三张边长分别为的正方形纸片，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为，若，则下列正确的为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图所示，长方形中放置两个边长都为的正方形与正方形，若如图阴影部分的面积之和记为，长方形的面积记为，已知：，则长方形的周长为___________． 【变式4-2】如图，在长方形中放入一个边长为8的大正方形和两个边长为5的小正方形（正方形和正方形），3个阴影部分的面积满足，则长方形的面积为______． 【变式4-3】一个大长方形按如图方式分割成6个小长方形，且只有标号为①、⑥的两个小长方形为正方形，若②的面积为25，则的面积________． 题型五、多项式乘法规律探究问题 题型模版 1.特征：给出一组多项式运算等式，式子结构相似、存在固定变化规律，需要总结通用公式、续写式子或直接求值。 2.方法：对比观察各式的系数、次数、符号变化规律，归纳通用整式表达式，将已知数值代入规律公式计算，并验证规律普遍成立。 【例9】已知，，．通过观察我们发现它们各项的系数符合杨辉三角的结构，指数也按一定规律排列，若，则的值是（     ） ………… 杨辉三角局部图 A．32 B．211 C． D．243 【例10】观察下列等式： ； ； ； … 利用你发现的规律解决下列问题： (1)计算：_________． (2)计算：_________； (3)利用（2）中结论，求的值． 【变式5-1】观察下列各式： ； ； ； …… 根据规律计算：____________． 【变式5-2】观察下列各式的规律． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 根据上述规律，请解答下列问题． (1)请直接写出第5个等式：________________________． (2)猜想第n个等式：________________________．并通过计算说明该猜想的正确性． 【变式5-3】观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)请直接写出第6个等式：____． (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． (3)直接写出下列式子的结果． ______． 题型六、整式除法运算 题型模版 1.特征：包含单项式除以单项式、多项式除以单项式运算，常结合化简、求值、参数计算考查，容易出现幂运算、符号计算错误。 2.方法：严格按照整式除法运算法则计算，同底数幂相除底数不变、指数相减，多项式除以单项式逐项相除，最后化简为最简整式，核对系数与指数确保无误。 【例11】若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【例12】化简求值：，其中，． 【变式6-1】计算： (1)； (2)． 【变式6-2】如果，那么____________________． 【变式6-3】已知，，求①；②的值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知的展开式中，不含有和，则______． 2．若的乘积中不含和项，则_______，_______． 3．若，则代数式的值为_______． 4．，求的值_______． 5．如图，点F在内，，于点E，于点D，且，，四边形的面积分别为3，9，6，则的面积为________． 6．若，，则的值为__________． 7．如图，点是线段上一点，在的上方分别以，为边长作正方形和正方形，点是的中点，连接，，，．若，则四边形的面积等于（     ） A．2 B．3 C．6 D．12 8．已知等式成立，求的值． 9．若恒成立，求的值． 10．如图，在数学兴趣活动中，同学将两根长度相同的铁丝，分别做成甲、乙两个长方形，面积分别为P，Q，判断P与Q的大小并说明理由． 11．“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：∵， ∴ ∴． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 12．小明在计算“”时，发现前边有一处看不清楚． (1)若■处是“2”，且满足，请求出整式A的值． (2)若整式A中不含x的二次项，求■处的值． 13．已知：． (1)求所表示的代数式； (2)求当，时，所表示的代数式的值． 14．观察下列各式： ； ； … (1)请根据上述规律直接写出计算结果： = = ； = = ． (2)设这两个两位数的十位数字都为a，其中一个两位数的个位数字为b，另一个两位数的个位数字为c，且．请用代数式表示上述规律，并用所学的知识说明上述规律的正确性． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $