专题02 整式加减的应用（高效培优专项训练）数学新教材沪教版五四制七年级上册

**基本信息** 聚焦整式加减的七大应用场景，通过典型例题构建从具体情境到抽象规律的知识逻辑，强化模型意识与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图形问题|4题|结合图形边长、面积计算，需用整式表示几何量|从具体图形抽象出代数关系，体现几何直观| |销售问题|5题|涉及成本、利润、售价计算，含方案比较|通过经济情境建立等量关系，培养数据意识| |方案问题|5题|多方案选择与优化，需分类讨论|强化逻辑推理，发展理性思维| |数字问题|4题|数位表示、数制转换，需用整式表达数|体现符号意识，构建数与式的联系| |分段计费|2题|阶梯价格、网约车计费，需分段列代数式|培养分类思想，提升数学应用能力| |图形规律|6题|瓷砖、几何体表面积等规律探究|从特殊到一般，发展抽象能力与创新意识| |数字规律|8题|数列、数阵、幻方等规律归纳|通过观察猜想验证，强化推理意识|

专题02 整式加减的应用 参考答案 题型一：整式加减的应用——图形问题 1．B 2．【答案】(1) (2)张或张 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，完全平方公式在几何图形中的应用： （1）根据根据已知条件做出图形求解即可； （2）根据题目要求作图求解即可； 【详解】（1）根据用1张A型卡片，4张B型卡片，4张C型卡片可以不重叠无缝隙地拼成一个大正方形，可得图形如下： 由图可知，正方形的边长为； （2）需要型长方形卡片：张或张；理由如下： 16张C型卡片可排列成的长方形，或的长方形，或的正方形 所以拼出如下三种情况： 情况一：如图所示： 需型卡片张； 情况二：如图所示： 需型卡片张； 情况三：如图所示： 此时为边长为的正方形，不符合题意； 符合条件的型卡片的张数为张或张． 3．【答案】乙的周长为36 【详解】解：设正方形和正方形的边长分别为和， ∵AB＝20，BC＝26， ∴甲的长和宽分别为：，；乙的长和宽为：， 甲的周长为20， ， ， 乙的周长为： 【点睛】本题以矩形的周长为背景考查了列代数式和代数式的求值，在每个字母未知时，采用整体代入是解决本题的关键． 4．【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：依题意，重叠部分的小长方形的长与宽分别为x和y，如图所示： 则右上角阴影部分的周长为： ， 左下角阴影部分的周长为： ， （2）解：依题意，右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长差为：． 故答案为：． 题型二：整式加减的应用——销售问题 1．D 2．【答案】（1）该厂每天的成本为，化简结果为；（2）该厂每天的利润为，化简结果为；（3）21000元 【详解】解：（1）由题意得：A零件每天的成本为：；B零件每天的成本为：， ∴该厂每天的生产成本； （2）由题意得：A零件每天的利润为：；B零件每天的利润为：， ∴该厂每天的生产利润； （3）当时，该厂每天的生产利润元． 【点睛】本题主要考查了列代数式和代数式求值，解题的关键在于能够准确根据题意列出代数式． 3．【答案】(1)他获利元； (2) 他这次买卖是赚钱了， 理由： ∵， ∴， 答：他这次买卖是赚钱了． 【详解】（1）解： 答：他获利元． （2）略 4．【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：总成本布料成本 +工人工资 固定设备损耗， 每件上衣成本：元， 每件裤子成本：（）元， 每件运动服成本：元， 件总成本：； （2）解：总利润总售价总成本， 总售价：元， 总利润： ． 5．【答案】(1)吨 (2)元 (3) 【详解】（1）解：∵装运甲种土特产的汽车有辆， ∴装运乙种土产品的汽车有辆， ∴这10辆汽车共装运土特产的数量为：吨； （2）由题意，销售完装运的这批土特产后所获得的总利润为：（元） （3）由题意，得：， 解得：． 题型三：带字母的绝对值化简 1．【答案】(1)方案二划算，便宜180元 (2) 购买A商品件，B商品件，两种方案所需费用如下： 方案一：； 方案二：； 作差比较：； 因x为正整数，， 所以， 故方案二更合算． 【详解】（1）解：两种方案所需费用如下： 方案一：（元）； 方案二： （元）， ， 方案二划算，便宜（元）． （2）略 2．【答案】(1)92，68 (2)当时，售价为元/千克；当时，售价为元/千克 (3)方案一：；方案二：；选方案二 【详解】（1）解：根据题意可得：3级虾的售价为（元/千克）； 8级虾的售价为（元/千克）， 故答案为：92，68； （2）解：根据题意可得：①当时，售价为元/千克 ②当时，售价为元/千克， 故答案为：当时，售价为元/千克；当时，售价为元/千克； （3）解：方案一的费用为：； 方案二的费用为：； 当时，方案一的费用为：元；方案二的费用为：元； ∵， ∴方案二更合算． 3．【答案】(1)； (2)，，当时，；当时，；当时， (3)方案一 【详解】（1）解：∵， ， ∴； ∴； 故答案为：； （2）解：图1长方形的周长，图2长方形的周长， ， 当时，， 当时，； 当时，， 故答案为：，； （3）解：根据题意，方案一所用钢板面积为：，方案二所用钢板面积为：， ，且， ， 从省料角度考虑，应选方案一． 4．【答案】任务1：元；任务2：差额为元，当时，两种购票方案所需费用相等；任务3：正确，， 【详解】解：任务1： 根据题意得：当时，总费用可表示为：元． 即该校购买门票所需费用为元； 任务2：选择方案二，该校爱心捐款个500元(为正整数)． ①总费用可表示为：元， 与选择方案一所需费用的差额为元， ∵两种购票方案所需费用相等， ∴， 解得：， 即当时，两种购票方案所需费用相等； 任务3：正确， 当时， ， ∵当时，无论取什么值，都存在一个正整数，使选择方案二的总费用始终比选择方案一的费用多某个固定值， ∴， ∴此时， 则， 即，． 5． 【答案】(1)； (2)小红和小明设计的这两种打包方式所用的打包带的长度分别是440厘米，460厘米 (3)小红所用的打包带的长度更短 【详解】（1）解：由题意可得：小红的方案中所用打包带的长度为厘米； 小明的方案中所用打包带的长度为厘米； （2）解：当厘米，厘米，厘米时， 小红的方案中所用打包带的长度为：厘米 小明的方案中所用打包带的长度为：厘米 答：小红和小明设计的这两种打包方式所用的打包带的长度分别是440厘米，460厘米； （3）解：小红所用的打包带的长度更短． ， ∵ ， ∴ ∴ ∴小红用的打包带的长度更短． 题型四：数字问题 1．C 2．【答案】（1），（2），72 【详解】解：（1）原式； 当时，原式； （2）由题意，得： ； ∵， ∴当最大时，差的值最大， ∴当时，差的值最大为：． 3．【答案】（1）； （2）小寻的猜想是对的，证明如下： ∵可以被9整除，均为整数． ∴能被9整除． （3）3 【详解】解：（1）这个三位数用含a，b，c的代数式表示为：， 故答案为： （2）略 （3）设■处的数字为x，其中，且为整数，则能被9整除， ∴为正整数， ∴， 即■处的数字为3． 故答案为：3． 4．【答案】（1），，543； （2）； （3）一个三位数为若能被5整除，需要满足能被5整除． 理由如下： ， 因为是5的整数倍， 所以若能被5整除，只需能被5整除； （4）9 【详解】解：（1） ∵，∴， 故答案为：，，543； （2）， 故答案为：； （3）略 （4）由题意，得a，b，c均不大于5且为整数． 当，，时，不是9的倍数 由（2）可知，， 所以改变a的值，不会影响除以9的余数， 所以可令，在题设条件下，使b尽可能大； 当，时，， 因为比215小的最小的9的倍数是207，所以不论c取何值，都不符合题意！ 当，时，时，时，，符合题意． 所以当，时，的最大值为9． 故答案为：9． 题型五：分段计费问题 1．【答案】(1)五， (2) (3)元 【详解】（1）解：由表格可知， 五月份用电量最多，实际用电量为：（度， 故答案为：五，236； （2）解：小刚家一月份用电：（度， 小刚家一月份应交纳电费：（元， 故答案为：； （3）解：由题意可得，当时， 电费为： 元． 2．【答案】(1)51 (2)；； (3)16 【详解】（1）解：由题意可知，（元）， 故答案为：； （2）解：由题意得：当时，小明应付车费元； 当时，小明应付车费元， 故答案为：；； （3）解：设两人所乘的两辆网约车的行车时间相差分钟， 则， 解得：， 即两人所乘的两辆网约车的行车时间相差分钟， 故答案为：． 题型六：图形规律问题 1． 2．． 3． 4．C． 5．【答案】(1) (2)；； (3)2100 【详解】（1）解：根据前面三个等式及图形规律求解可知：； （2）解：根据前五个等式及图形规律求解可知： 第7个等式为； ∵， ， ； ， ， … 依此类推，第个等式：； （3）解： ． 6．【答案】 21 【详解】解：（1）第1次划分后，图中有个正方形， 第2次划分后，图中有个正方形， 第3次划分后，图中有个正方形， ……， 以此类推，可知，第n次划分后，图中有个正方形， ∴第5次划分后，图中有个正方形， 故答案为：； （2）由（1）可知，第n次划分后，图中有个正方形， 故答案为：． 题型七：数字规律问题 1．C 2．C 3．． 4. 157． 5．675 6．【答案】(1)30；4；5；9； (2)n；；； (3) 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：根据题意得： ； ； ； … 由此发现，； （3） ． 7． 【答案】(1) (2) (3)解：不能，理由如下： 设框中最中间的数为x， 通过观察数字的排列规律可将一个框内的数写为 ， ∴一个框内所有数字之和为， 令，解得， ∵x为整数，故不符合题意， 故按以上方式框出九个数，其和不能为2010． 【详解】（1）解：要求用一个正方形框出九个数，则最中间的数字应在第三行和第四行且不在第一列和第七列， 设最中间的数为x， 通过观察数字的排列规律可将一个框内的数写为 ， ∴一个框内所有数字之和为， 又∵（x为整数）， ∴当时框中所有数之和最大，即框中间的数为22， 图略； （2）解：由（1）得，令，解得，即最中间的数为12． （3）略. 8．【答案】(1)， (2)①；②能，这5个数分别为，，，， 【详解】（1）解：由题意得：， ∴第2行第1列上的数为， ∴， 故答案为：，． （2）解：①由题意得：第1行的中间的数是， 第2行的中间的数是， 第3行的中间的数是， 第4行的中间的数是， 归纳类推得：在图3的数阵中，位于第行的中间的数是， 故答案为：． ②设十字框中的中间的数是，则其他四个数分别为，，，， 由题意得：， 解得， 则其他四个数分别为，，，， 答：十字框中的五数之和能等于330，这5个数分别为，，，，． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式加减的应用 题型一 整式加减的应用——图形问题 题型二 整式加减的应用——销售问题 题型三 整式加减的应用——方案问题 题型四 整式加减的应用——数字问题 题型五 整式加减的应用——分段计费问题 题型六 整式加减的应用——图形规律问题 题型七 整式加减的应用——数字规律问题 题型一：整式加减的应用——图形问题 1．（25-26七年级上·上海松江·期末）如图是第23届国际数学家大会的邮票，它的图案是一个矩形，这个矩形被分割成大小不相同的11个正方形．如果图中所有正方形的边长都是整数，且图中最大正方形与最小正方形的边长分别为x、y，则的值（   ） A．12 B．11 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式加减的应用，代数式求值，利用数形结合的思想是解题关键，设第2号正方形的边长为a，根据图形依次用代数式表示出第3、4、7、11号和第5、6、8号正方形的边长，根据第11号边长号边长号边长号边长，进而可求出，由此即可求解． 【详解】解：如图：顺次对图中每一个正方形标号， 由图可知：第1号正方形的边长为y，第10号正方形的边长为x，设第2号正方形的边长为a， ∴第3号正方形的边长为，第4号正方形的边长为， ∴第7号正方形的边长为，第11号正方形的边长为， 第5号正方形的边长为， ∴第6号正方形的边长为， ∴第8号正方形的边长为， 由第11号边长号边长号边长号边长可得： 10号边长， ∴， 故选：B． 2．（25-26七年级上·上海·期中）现有A、B、C三种不同型号的卡片若干张（如下图所示），其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为a、宽为b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，且． (1)用1张A型卡片，4张B型卡片，4张C型卡片不重叠无缝隙地拼成一个大正方形，求此时这个大正方形的边长： (2)从这三种型号的卡片中选取一些卡片，也可以不重叠无缝隙地拼成不同形状的长方形（长不等于宽）．现有1张A型卡片，16张C型卡片，那么，要能拼成一个长与宽不相等的长方形，需要多少张B型长方形卡片？请说明你的理由． 【答案】(1) (2)张或张 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，完全平方公式在几何图形中的应用： （1）根据根据已知条件做出图形求解即可； （2）根据题目要求作图求解即可； 【详解】（1）根据用1张A型卡片，4张B型卡片，4张C型卡片可以不重叠无缝隙地拼成一个大正方形，可得图形如下： 由图可知，正方形的边长为； （2）需要型长方形卡片：张或张；理由如下： 16张C型卡片可排列成的长方形，或的长方形，或的正方形 所以拼出如下三种情况： 情况一：如图所示： 需型卡片张； 情况二：如图所示： 需型卡片张； 情况三：如图所示： 此时为边长为的正方形，不符合题意； 符合条件的型卡片的张数为张或张． 3．将正方形BEFG和正方形DHMN按如图所示放入长方形ABCD中，AB＝20，BC＝26，若两个正方形的重叠部分长方形甲的周长为20，求乙的周长． 【答案】乙的周长为36 【分析】设正方形和正方形的边长分别为和，表示出甲，乙，丙的长和宽，根据甲的周长求出，然后问题可求解 【详解】解：设正方形和正方形的边长分别为和， ∵AB＝20，BC＝26， ∴甲的长和宽分别为：，；乙的长和宽为：， 甲的周长为20， ， ， 乙的周长为： 【点睛】本题以矩形的周长为背景考查了列代数式和代数式的求值，在每个字母未知时，采用整体代入是解决本题的关键． 4．（25-26七年级上·北京·期末）数学课上，老师提出一道思考题，如图，在一个长方形中放入三个正方形，从大到小正方形的边长分别为，则右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长差是多少？经过独立思考和小组讨论之后，小明代表本组汇报如下的解题思路： 可以先设重叠部分的小长方形的长与宽分别为和，再用含和的式子分别表示阴影部分的各边长，算出右上角阴影部分周长和左下角阴影部分周长后求两者差即可得到答案 (1)请你结合小明说的思路，表示一下右上角阴影部分的周长为___________，左下角阴影部分的周长为___________； (2)右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长差是___________（用含b的式子表示）． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的知识点是列代数式、整式加减的实际应用，解题关键是合理设未知数并用代数式准确地表示各边的长． （1）依题意，结合重叠部分的小长方形的长与宽分别为x和y，再用a、b、c、x和y分别表示阴影部分的各边长，根据整式的加减运算法则算出右上角阴影部分周长和左下角阴影部分周长，即可作答． （2）结合（1）的结论进行列式，求出两者差即可得到答案． 【详解】（1）解：依题意，重叠部分的小长方形的长与宽分别为x和y，如图所示： 则右上角阴影部分的周长为： ， 左下角阴影部分的周长为： ， （2）解：依题意，右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长差为：． 故答案为：． 题型二：整式加减的应用——销售问题 1．小明的爸爸再就业，做起了小商品生意，第一次进货时，他以每件元的价格购进了30件甲种小商品，每件元的价格购进了50件乙种小商品（）．回来后，根据市场行情，他将这两种小商品以每件元的价格全部售出，则在这次买卖中，张师傅赚了（  ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】本题考查整式加减的应用，用总售价减去总成本，进行计算即可． 【详解】解：元； 故选D． 2．某零件厂现生产A，B两种尺寸的零件，两种零件的成本和售价如表： 成本（元/个） 售价（元/个） A 50 80 B 70 90 该厂每天共生产A，B两种尺寸的零件800个，设每天生产A种零件x个． （1）用含x的代数式表示该厂每天的生产成本，并进行化简； （2）用含x的代数式表示该厂每天获得的利润，并进行化简； （3）当x＝500时，求该厂每天获得的利润．（利润＝售价﹣成本） 【答案】（1）该厂每天的成本为，化简结果为；（2）该厂每天的利润为，化简结果为；（3）21000元 【分析】（1）分别计算出每天A零件的成本和B零件的成本，然后两者的和即为每天的成本； （2）分别计算出每天A零件的利润和B零件的利润，然后两者的和即为每天的利润； （3）根据（2）中求得的结果代值计算即可． 【详解】解：（1）由题意得：A零件每天的成本为：；B零件每天的成本为：， ∴该厂每天的生产成本； （2）由题意得：A零件每天的利润为：；B零件每天的利润为：， ∴该厂每天的生产利润； （3）当时，该厂每天的生产利润元． 【点睛】本题主要考查了列代数式和代数式求值，解题的关键在于能够准确根据题意列出代数式． 3．李师傅下岗后，做起小生意，第一次进货，他以每件a元的价格购进了50件甲种小商品，以每件b元的价格购进了40件乙种小商品，且． (1)若李师傅将甲种商品提价，乙种商品提价全部出售，他获利多少元？（用含有a，b的式子表示结果） (2)若李师傅将两种商品都以元的价格全部出售，他这次买卖是赚钱还是亏本，请说明理由？ 【答案】(1)他获利元； (2) 他这次买卖是赚钱了， 理由： ∵， ∴， 答：他这次买卖是赚钱了． 【分析】此题主要考查了列代数式以及整式的加减运算，正确表示出获利是解题关键． （1）利用进价与利润之间的关系得出总的利润即可； （2）利用已知表示出总的出售钱数再减去总的进价，求出利润，进而得出答案． 【详解】（1）解： 答：他获利元． （2）略 4．（25-26七年级上·上海·期中）某服装厂生产一批运动服，每件运动服由上衣和裤子组成，生产过程中涉及以下成本和销售信息： 生产每件上衣的布料成本为元，生产每件裤子的布料成本为元； 生产每件上衣需要支付工人工资15元，生产每件裤子需要支付工人工资10元； 该批运动服的固定设备损耗费用为2000元，无论生产多少件都需支付； 每件运动服的售价为元．问： (1)用含a，b，n的代数式表示生产n件运动服的总成本（总成本=布料成本+工人工资+固定设备损耗）； (2)用含a，b，n的代数式表示销售n件运动服的总利润（总利润=总售价−总成本），并将结果化简； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式与代数式的化简，解题的关键是明确总成本、总售价、总利润的构成并准确进行代数式运算． 1、分析生产n件运动服的布料成本、工人工资和固定设备损耗，进而列出总成本的代数式． 2、先求出总售价，再根据总利润公式，结合总成本代数式，通过去括号、合并同类项化简得出总利润的代数式． 【详解】（1）解：总成本布料成本 +工人工资 固定设备损耗， 每件上衣成本：元， 每件裤子成本：（）元， 每件运动服成本：元， 件总成本：； （2）解：总利润总售价总成本， 总售价：元， 总利润： ． 5．今年春季，三元土特产喜获丰收，某土特产公司组织10辆汽车装运甲、乙两种土特产去外地销售，按计划10辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种土特产，且必须装满，设装运甲种土特产的汽车有辆，根据下表提供的信息，解答以下问题： 土特产种类 甲 乙 每辆汽车运载量（吨） 4 3 每吨土特产利润（元） 140 160 (1)求这10辆汽车共装运土特产的数量（用含有的式子表示）； (2)求销售完装运的这批土特产后所获得的总利润（用含有的式子表示）； (3)当销售完装运的这批土特产后所获得的总利润为5120元时，求的值． 【答案】(1)吨 (2)元 (3) 【分析】本题考查整式加减的实际应用，一元一次方程的实际应用： （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出代数式即可； （3）根据题意，列出一元一次方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵装运甲种土特产的汽车有辆， ∴装运乙种土产品的汽车有辆， ∴这10辆汽车共装运土特产的数量为：吨； （2）由题意，销售完装运的这批土特产后所获得的总利润为：（元） （3）由题意，得：， 解得：． 题型三：带字母的绝对值化简 1．（25-26七年级上·上海·期末）某商场开展春节促销活动出售A、B两种商品，活动方案如下： 方案一： A商品每件进价80元，售价100元；B商品每件进价100元，售价130元 方案二： 所购商品一律按进价加价销售 (1)某单位购买A商品20件，B商品10件，选择哪种方案划算？能便宜多少钱？ (2)某单位购买A商品件（为正整数），购买B商品的件数是A商品件数的3倍多5件，该单位选择哪种方案更合算？请说明理由． 【答案】(1)方案二划算，便宜180元 (2) 购买A商品件，B商品件，两种方案所需费用如下： 方案一：； 方案二：； 作差比较：； 因x为正整数，， 所以， 故方案二更合算． 【分析】本题考查整式加减的应用，有理数混合运算的应用： （1）分别计算出两种方案所需费用，选择费用低的方案即可； （2）用含x的代数式表示出两种方案所需费用，作差即可． 【详解】（1）解：两种方案所需费用如下： 方案一：（元）； 方案二： （元）， ， 方案二划算，便宜（元）． （2）略 2．（25-26七年级上·无锡·期中）又到吃大闸蟹的季节了，特别是阳澄湖的大闸蟹远近闻名。某水产养殖场为了控制大闸蟹的质量，制定了大闸蟹的品质标准，将养殖大闸蟹分成了10个等级，1级大闸蟹的品质最好，2级次之，以此类推，第10级品质最差，大闸蟹的销售价格制定如下：第5级售价为80元/千克，从第5级起，品质每提升1级每千克的售价将提升6元；品质每下降1级，每千克的售价将降低4元． (1)3级蟹的售价为 元/千克；8级蟹的售价为 元/千克； (2)若大闸蟹的等级为n，请用含n的代数式表示该等级蟹的售价（单位：元/千克）； (3)水产老板小峰，计划在该养殖场购进2级蟹m千克，养殖场可以送货上门，但要收200元的运费，因为小峰是养殖场的老客户，负责人给出了如下两种优惠方案： 方案一：降价，并减免全部运费；方案二：降价，但运费不减． 请用含m的代数式表示小峰分别用这两种方案购买需付的费用，并请你帮小峰计算一下若购买500千克哪种优惠方案更加合算． 【答案】(1)92，68 (2)当时，售价为元/千克；当时，售价为元/千克 (3)方案一：；方案二：；选方案二 【分析】本题主要考查列代数式并求值，理解题意、正确列出算式和代数式是解题的关键． （1）根据题意直接列式计算即可； （2）根据题意直接列代数式求解即可； （3）根据（2）中对应的代数式求出售价，分别求出两个方案所需的费用，然后选择花费少的方案即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：3级虾的售价为（元/千克）； 8级虾的售价为（元/千克）， 故答案为：92，68； （2）解：根据题意可得：①当时，售价为元/千克 ②当时，售价为元/千克， 故答案为：当时，售价为元/千克；当时，售价为元/千克； （3）解：方案一的费用为：； 方案二的费用为：； 当时，方案一的费用为：元；方案二的费用为：元； ∵， ∴方案二更合算． 3．（25-26六年级上·上海闵行·期中）阅读下面材料并解决问题： 两个数量的大小可以通过它们的差来判断，如果两个数a和b比较大小，那么，当时，有；当时，有；当时，有；反过来也对，即当时，有；当时，有；当时，有． 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小，像这样判断两数大小关系的方法叫做求差法，请你用求差的方法解决以下问题： (1)若， ，则______0，P______Q（填>，=或<）； (2)如图，图1长方形Ⅰ的周长______，图2长方形Ⅱ的周长______，请用求差法比较M、N的大小； (3)制作某产品有两种用料方案，方案一：用2块A型钢板，用6块B型钢板；方案二：用3块A型钢板，用5块B型钢板．A型钢板的面积比B型钢板的面积大．设A型钢板和B型钢板的面积分别为x和y从省料角度考虑，应选哪种方案？ 【答案】(1)； (2)，，当时，；当时，；当时， (3)方案一 【分析】本题考查比差法及应用，涉及整式的加减，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决． （1）用减即可得到答案； （2）由长方形的周长公式得，，再作差讨论比较即可； （3）方案一所用钢板面积为：，方案二所用钢板面积为：，再作差比较即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴； ∴； 故答案为：； （2）解：图1长方形的周长，图2长方形的周长， ， 当时，， 当时，； 当时，， 故答案为：，； （3）解：根据题意，方案一所用钢板面积为：，方案二所用钢板面积为：， ，且， ， 从省料角度考虑，应选方案一． 4．综合与实践 项目主题 选方案购门票 项目背景 某学校组织全体师生参观野生动物园，需一次性购买门票张（，且为正整数），并有两种购票方案可供选择（两种方案不能同时使用）． 素材1 野生动物园门票价格为60元／张． 素材2 购票方案一：“超出部分”优惠方案 当团购门票数不超过40张时，没有优惠； 当团购门票数超过40张时，超出的部分每张打九折． 素材3 购票方案二：“爱心捐款，认养小动物”优惠方案 一个团体每捐款500元，该团体所购的门票每张优惠2元，且要求捐款数额必须是500的整数倍，为确保动物园的正常运营，每张门票最多优惠20元． 问题解决 任务1 （1）如果选择方案一购票，求该校购买门票所需费用（用含的代数式表示）； 任务2 （2）如果选择方案二购票，且团体捐款数额为2000元，求其所需总费用（包括门票费和捐款数额）与选择方案一所需费用的差额，用含的代数式表示），并直接写出当为何值时，两种购票方案所需费用相等． 任务3 （3）小明通过计算发现：当购票数超过40张，且团体捐款数额为某一定值500m元（为正整数）时，无论购票数如何变化，选择方案二所需总费用与选择方案一所需费用的差额也为定值元．试判断小明的发现是否正确，如果正确，请求出、的值；如果不正确，请举一个例子说明该判断是错误的． 【答案】任务1：元；任务2：差额为元，当时，两种购票方案所需费用相等；任务3：正确，， 【分析】本题考查了整式加减的应用，解答本题的关键是明确题意，理解两种购票方案． （1）根据购票方案一求出该校购买门票的费用； （2）根据购票方案二，可求该校购买门票的费用，再求出差额即可； （3）根据题意可得当时，，再根据当时，无论取什么值，都存在一个正整数，使选择方案二的总费用始终比选择方案一的费用多某个固定值，可得到，可求出m的值，即可求解． 【详解】解：任务1： 根据题意得：当时，总费用可表示为：元． 即该校购买门票所需费用为元； 任务2：选择方案二，该校爱心捐款个500元(为正整数)． ①总费用可表示为：元， 与选择方案一所需费用的差额为元， ∵两种购票方案所需费用相等， ∴， 解得：， 即当时，两种购票方案所需费用相等； 任务3：正确， 当时， ， ∵当时，无论取什么值，都存在一个正整数，使选择方案二的总费用始终比选择方案一的费用多某个固定值， ∴， ∴此时， 则， 即，． 5．综合与实践 问题情境 劳动基地的蔬菜都成熟了，学校计划将蔬菜送给敬老院的老人，现有长为a厘米，宽为b厘米，高为c厘米的箱子若干，将蔬菜装满每个盒子后需利用打包带进行打包． 方案设计 如图，小红和小明各设计了一种打包方式（接头处的长度不计，本题所有问题只考虑打包带的长度，不考虑其他影响因素）． 问题解决 (1)用含a，b，c的式子表示这两种打包方式所用的打包带的长度：小红的方案中所用打包带的长度为________厘米；小明的方案中所用打包带的长度为________厘米． (2)当厘米，厘米，厘米时，小红和小明设计的这两种打包方式所用的打包带的长度分别是多少？ (3)当时，比较小红和小明设计的方案中，哪种所用的打包带的长度更短． 【答案】(1)； (2)小红和小明设计的这两种打包方式所用的打包带的长度分别是440厘米，460厘米 (3)小红所用的打包带的长度更短 【分析】本题考查了列代数式、求代数式的值、整式的加减的应用． （1）根据题意列出代数式即可； （2）求出当厘米，厘米，厘米时，两种打包方式用的打包带，比较即可得解； （3）求出的值，判断即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：小红的方案中所用打包带的长度为厘米； 小明的方案中所用打包带的长度为厘米； （2）解：当厘米，厘米，厘米时， 小红的方案中所用打包带的长度为：厘米 小明的方案中所用打包带的长度为：厘米 答：小红和小明设计的这两种打包方式所用的打包带的长度分别是440厘米，460厘米； （3）解：小红所用的打包带的长度更短． ， ∵ ， ∴ ∴ ∴小红用的打包带的长度更短． 题型四：数字问题 1．一个三位数，百位上的数字为，十位上的数字是百位上的数字的倍，个位上的数字比百位上的数字少，这个三位数用含有的代数式表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减，根据题意，分别用表示三位数的各个位上的数字，再按数位组合成代数式并化简即可，依据题意，正确得出十位上和个位上的数字是解题关键． 【详解】解：∵百位数字为，对应数值为，十位数字是百位的倍，即，对应数值为，个位数字比百位少，即，对应数值为， ∴这个三位数为， 故选：． 2．（1）先化简，再求值：，其中， （2）一个两位数，它的十位数字是，个位数字是，若把十位数字与个位数字对调，得到一个新的两位数，请计算原数与新数的差，并求出这个差的最大值． 【答案】（1），（2），72 【分析】（1）本题考查整式加减中的化简求值，去括号，合并同类项，化简后，代值计算即可； （2）本题考查整数加减的应用，根据题意，列出代数式进行求解即可． 【详解】解：（1）原式； 当时，原式； （2）由题意，得： ； ∵， ∴当最大时，差的值最大， ∴当时，差的值最大为：． 3．【问题提出】数学活动课上，小寻提出一个猜想：设一个三位数的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c．若可以被9整除，则这个数可以被9整除． 【试一试】135 可以被 9 整除，，可以被 9 整除；297可以被9整除，，可以被9整除； 【探索验证】 （1）这个三位数用含a，b，c的代数式表示为：__________． （2）小寻的猜想对吗？请尝试用代数式的知识证明这个猜想． 【实践应用】 （3）同学小佳练习时遇到了这样一个问题：已知四位数231■能被9整除．题目中四位数的最后一位数不清晰．她想起了小寻的猜想，写出了■处的数字，这个数字是__________． 【答案】（1）； （2）小寻的猜想是对的，证明如下： ∵可以被9整除，均为整数． ∴能被9整除． （3）3 【分析】本题主要考查了列代数式，整式的加减运算，明确题意，准确列出代数式是解题的关键． （1）根据三位数的特征列出代数式，即可求解； （2）把变形为，再由可以被9整除，即可求解； （3）设■处的数字为x，其中，且为整数，则能被9整除，可得为正整数，即可求解． 【详解】解：（1）这个三位数用含a，b，c的代数式表示为：， 故答案为： （2）略 （3）设■处的数字为x，其中，且为整数，则能被9整除， ∴为正整数， ∴， 即■处的数字为3． 故答案为：3． 4．【背景介绍】进制是一种用有限种数字或符号来表示所有数值的计数方法．不同进制在不同的领域各有应用，比如计算机存储数据使用二进制，古巴比伦人使用六十进制进行计时．现实生活中，我们最习惯使用十进制来计数．十进制每个数位上可以使用以下10个数字：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，且满足“逢十进一”的原则．因此十位上一个1表示一个10即，百位上一个1表示1个100即．例如：． 【掌握新知】类似地，六进制中可以使用以下6个数字：0，1，2，3，4，5，且满足“逢六进一”的原则．例如六进制数中的数字4表示4个1，数字0表示0个，数字3表示3个，也就是，即六进制数转化为十进制数就是112． （1）根据以上材料，请填空： （用6的正整数次幂的形式填写）．反之，所以( )6． 【模型抽象】我们知道在十进制中，一个三位数； （2）对于任意一个六进制中的三位数，如果用最高位，表示中间位，代表最低位，记这个三位数为，则______． 【问题解决】我们知道在十进制中，一个三位数若能被9整除，只需要满足其各个数位之和能被9整除．因为，其中能被9整除，所以，只需满足各个数位之和能被9整除即可； （3）类比上述结论，在六进制中，一个三位数为若能被5整除，需要满足什么条件？试写出你的猜想并说明其理由； （4）在六进制中，一个三位数为若能被9整除，试直接写出的最大值______（用十进制表示）． 【答案】（1），，543； （2）； （3）一个三位数为若能被5整除，需要满足能被5整除． 理由如下： ， 因为是5的整数倍， 所以若能被5整除，只需能被5整除； （4）9 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，等式的性质以及单位进制的转化． （1）根据题干二进制数转换为十进制数的方法计算即可； （2）根据题干二进制数转换为十进制数的方法计算即可； （3）将转化，据此求解即可； （4）由题意，得a，b，c均不大于5且为整数，分类求解即可． 【详解】解：（1） ∵，∴， 故答案为：，，543； （2）， 故答案为：； （3）略 （4）由题意，得a，b，c均不大于5且为整数． 当，，时，不是9的倍数 由（2）可知，， 所以改变a的值，不会影响除以9的余数， 所以可令，在题设条件下，使b尽可能大； 当，时，， 因为比215小的最小的9的倍数是207，所以不论c取何值，都不符合题意！ 当，时，时，时，，符合题意． 所以当，时，的最大值为9． 故答案为：9． 题型五：分段计费问题 1．为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表： 居民每月用电量 单价（元度） 不超过度的部分 超过度但不超过度的部分 超过度的部分 已知小刚家上半年的用电情况如下表（以度为标准，超出度记为正、低于度记为负） 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 根据上述数据，解答下列问题： (1)小刚家用电量最多的是 月份，实际用电量为 度 (2)求小刚家一月份应交纳的电费. (3)若小刚家七月份用电量为度（），求小刚家七月份应交纳的电费（用含的代数式表示）． 【答案】(1)五， (2) (3)元 【分析】本题主要考查正负数的实际意义、列代数式等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键： （1）根据正负数表示的意义，结合表格找到最多的加上基础量进行计算即可解答； （2）根据表格求出用电量，结合收费标准列式计算即可得到答案； （3）根据收费标准，利用前两档满额计算加上第三档的即可得到答案； 【详解】（1）解：由表格可知， 五月份用电量最多，实际用电量为：（度， 故答案为：五，236； （2）解：小刚家一月份用电：（度， 小刚家一月份应交纳电费：（元， 故答案为：； （3）解：由题意可得，当时， 电费为： 元． 2．网约车已成为人们出行的首选便捷工具，某网约车行车计费规则如下表： 项目 时长费 里程费 远途费 单价 0.5元/分钟 1.6元/千米 0.4元/千米 乘客车费由时长费、里程费、远途费三部分构成，其中时长费按行车实际时间计算；里程费按行车的实际里程计算；远途费收取标准如下：行车里程10千米以内（含10千米），不收远途费，超过10千米的，超出部分每千米收0.4元． (1)张老师乘坐该网约车，行车里程为20千米，行车时间为30分钟，需付车费__________元； (2)若小明乘坐该网约车，行车里程为a千米，行车时间为b分钟．请用含a、b的代数式表示车费，并化简：当时，小明应付车费__________元；当时，小明应付车费__________元； (3)小明和张老师都乘坐该网约车，行车里程分别是7.5千米和12千米，如果两人所付车费相同，那么两人所乘的两辆网约车的行车时间相差__________分钟． 【答案】(1)51 (2)；； (3)16 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，列代数式，一元一次方程的应用，理解题意正确列式是解题关键． （1）将时长费、里程费、远途费相加，即可求出车费； （2）根据当时，车费时长费里程费；当时，车费时长费里程费远途费，分别列代数式即可； （3）设两人所乘的两辆网约车的行车时间相差分钟，根据时间差路程差远途费列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，（元）， 故答案为：； （2）解：由题意得：当时，小明应付车费元； 当时，小明应付车费元， 故答案为：；； （3）解：设两人所乘的两辆网约车的行车时间相差分钟， 则， 解得：， 即两人所乘的两辆网约车的行车时间相差分钟， 故答案为：． 题型六：图形规律问题 1．如图，用黑白两色正方形瓷砖铺设地面，则第个图案中黑色瓷砖数为____块 【答案】 【分析】本题考查图形类变化规律，结合图形进行分析，注意前后两个图形之间的联系，找出规律是解题关键．观察图形可得白色瓷砖块数的规律为：第一个图案黑色瓷砖块数为4，以后每个图案比前一个图案多2块黑色瓷砖，即可得答案． 【详解】解：观察图形发现： 第1个图案中有黑色瓷砖块数为4，而 第2个图案中黑色瓷砖块数为6，而， 第3个图案中黑色瓷砖块数为8，而， …… 第n个图案中黑色瓷砖数为． 故答案为：． 2．将大小相等的圆点按如图规律摆放，则第个图形共有圆点______个． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，单项式乘以多项式，观察可知每个图形的最外圈有4个小圆点，中间的小圆点数是序号乘以序号加1，据此规律求解即可． 【详解】解：第1个图形有个圆点， 第2个图形有个圆点， 第3个图形有个圆点， 第4个图形有个圆点， ……， 以此类推，可知第个图形共有圆点：个， 故答案为：． 3．如图所示的几何体都是由棱长为1的正方体叠放而成．图（1）几何体为1个正方体，其表面积为6；图（2）几何体由4个正方体组成，其表面积为18；图（3）几何体由10个正方体组成，其表面积为36；……，按照这样的规律，第15个几何体的表面积为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了与图形有关的规律题型，结合图形表面积的计算是解题的关键． 结合图形，发现每一个图形的表面积得出规律计算即可； 【详解】解：结合图形，发现：（1）中个平方单位， （2）中个平方单位， （3）中个平方单位， （4）中个平方单位， 以此类推，可得第15个图形的表面积是个平方单位． 故答案为：． 4．如图，下列图形是由同样大小的圆点按一定规律排列所组成的，按此规律排列下去，在第19个图形中，圆点的个数是（   ）    A．381 B．356 C．379 D．421 【答案】C 【分析】本题主要考查图形的变化规律，根据已知图形中实心圆点的个数得出规律：当n为奇数时，第n个图形中实心圆点的个数为，据此求解可得． 【详解】解：∵第1个图形中圆点的个数， 第2个图形中圆点的个数， 第3个图形中圆点的个数， 第4个图形中圆点的个数， 第5个图形中圆点的个数， 第6个图形中圆点的个数， …… ∴第19个图形中圆点的个数为， 故选：C． 5．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的答案； ①；②；③； ④__________；⑤；… (2)参照上面的等式，请写出第⑦个等式：______________________________； 第个等式：__________； (3)根据上述的规律，计算：． 【答案】(1) (2)；； (3)2100 【分析】（1）根据前面三个等式及图形规律求解即可； （2）根据前五个等式及图形规律求解即可； （3）根据，再结合（2）中的规律求解即可． 【详解】（1）解：根据前面三个等式及图形规律求解可知：； （2）解：根据前五个等式及图形规律求解可知： 第7个等式为； ∵， ， ； ， ， … 依此类推，第个等式：； （3）解： ． 6．将正方形（如图1）作如下划分，第1次划分：分别连接正方形对边的中点得线段和，它们交于点M，此时图2中共有5个正方形；第2次划分：将图2左上角正方形再划分，得图3，则图3中共有9个正方形． （1）若把左上角的正方形依次划分下去，则第5次划分后，图中共有__________个正方形； （2）继续划分下去，第n次划分后图中共有__________个正方形． 【答案】 21 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，正确理解题意是解题的关键． （1）观察可知，每划分一次后，就比原来增加4个正方形，据此规律求解即可； （2）根据（1）即可得到答案． 【详解】解：（1）第1次划分后，图中有个正方形， 第2次划分后，图中有个正方形， 第3次划分后，图中有个正方形， ……， 以此类推，可知，第n次划分后，图中有个正方形， ∴第5次划分后，图中有个正方形， 故答案为：； （2）由（1）可知，第n次划分后，图中有个正方形， 故答案为：． 题型七：数字规律问题 1．有一组数：6，11，16，21，26，…．用代数式表示其中的第n个数应是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察数字与数字之间的规律进行推导求解即可． 【详解】解：∵第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； 第4个数：； 第5个数：； …； ∴第n个数：． 2．观察下列数据：，，，，，…根据以上数据中的规律，你认为第11个数字是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字类规律题，正确找到规律是解题的关键． 拆分数据的符号、分子、分母分别寻找规律，推导第n项的表达式后，代入计算第11个数字即可． 【详解】解：观察数列可得： 1. 符号规律：奇数项为负，偶数项为正，可用表示（n为项数）， 2. 分母规律：第n项的分母为n， 3. 分子规律：第n项的分子为（如第1项分子，第2项分子，以此类推）， 则第n项的表达式为 当时， 故选：C． 3．把整数代入得到，称为第一次操作，再将作为的值代入得到，称为第二次操作，以此类推，若，经过第次操作后得到的结果是_________． 【答案】 【分析】先观察数字，再找出数字变化规律，最后按照规律写出数字． 【详解】解：根据题意，将代入中， ， ， ， ， ， ， 观察数据可知，从第二次开始和不断循环出现， ∵， ∴经过第次操作后得到的结果是． 4．如图是一根起点为1的数轴，现有同学将它弯折，弯折后虚线上第一行的数是1，第二行的数是13，第三行的数是43，，依此规律，第五行的数是_______． 【答案】157 【分析】本题考查了数字类规律型探究，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．观察根据排列的规律得到第一行为数轴上左边的第一个数1，第二行为1右边的第6个数13，第三行为13右边的第15个数43，第四行为43右边第24个数91，…，由此规律可得出第五行的数． 【详解】解：根据排列的规律得到： 第一行为数轴上左边的第一个数1， 第二行为1向右数第个数，为第个奇数，即， 第三行为13向右数第个数，为第个奇数，即， 第四行为43向右数第个数，为第个奇数，即， 第五行为91向右数第个数，为第个奇数，即． 故答案为：157． 5．将正整数按如图方式进行有规律的排列，第2行最后一个数是4，第3行最后一个数是7，第4行最后一个数是10，按此规律，若2026第一次出现是在第行第个数，则的值是___________． 【答案】675 【分析】根据所给数的特点，找到最后一个数的规律是解题的关键．第m行最后一个数是，第m行有个数，先求出第676行的最后一个数是2026，再求2026在第676行中的位置即可． 【详解】解：由题意可知，第m行最后一个数是，第m行有个数， 当时，， ∴第676行的最后一个数是2026， ∴， ∴， ∴． 6．观察下列各式，解答问题： ； ； ； …… (1)【发现规律】填空：（     ）（     ）（     ）（     ）； (2)【总结规律】猜想填空：（     ）（     ）（     ）； (3)【应用规律】求的值． 【答案】(1)30；4；5；9； (2)n；；； (3) 【分析】（1）根据规律直接求解即可； （2）根据规律直接求解即可； （3）根据题意变形得，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：根据题意得： ； ； ； … 由此发现，； （3） ． 7．生活中处处有数学，图1是2010年1月的月历，用一个正方形框出九个数． (1)在图1中用正方形框出和最大的九个数； (2)若框出的九个数之和是108，请求出最中间的数； (3)将自然数1至2010按图2的方式排列，按以上方式框出九个数，其和能为2010吗？若能，求出其中最小的数；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)解：不能，理由如下： 设框中最中间的数为x， 通过观察数字的排列规律可将一个框内的数写为 ， ∴一个框内所有数字之和为， 令，解得， ∵x为整数，故不符合题意， 故按以上方式框出九个数，其和不能为2010． 【分析】（1）找到一个框中所有数之和的规律，判断出和最大时框的位置． （2）找到一个框中所有数之和的规律，再结合和为列出方程即可． （3）找到一个框中所有数之和的规律，再结合和为列出方程，判断解是否符合题意即可． 【详解】（1）解：要求用一个正方形框出九个数，则最中间的数字应在第三行和第四行且不在第一列和第七列， 设最中间的数为x， 通过观察数字的排列规律可将一个框内的数写为 ， ∴一个框内所有数字之和为， 又∵（x为整数）， ∴当时框中所有数之和最大，即框中间的数为22， 图略； （2）解：由（1）得，令，解得，即最中间的数为12． （3）略. 8．河图洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案．其中的“洛书”，在今天看来就是一个三阶幻方．如图1是由1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字组成的三阶幻方，其每行、每列、每条对角线上的三个数之和都为15． (1)如图2是一个未完成的三阶幻方，要使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于18，则 ， ； (2)数阵是由幻方演化出来的另一种数字图．将连续的偶数2，4，6，8，10……排列成数阵（如图3），回答以下两个问题： ①在图3的数阵中，位于第行的中间的数是 （填化简结果）； ②用十字框随机框出图3的数阵里的5个数，十字框中的五数之和能等于330吗？若能，写出这5个数；如不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；②能，这5个数分别为，，，， 【分析】本题考查了有理数加减混合运算的应用、一元一次方程的应用、数字类规律探索，正确建立方程是解题关键． （1）根据每条对角线上的三个数之和都等于18可得的值，再求出第2行第1列上的数，然后根据每行上的三个数之和都等于18即可得的值； （2）①分别写出第行的中间的数，归纳类推出一般规律即可得； ②设十字框中的中间的数是，则其他四个数分别为，，，，根据题意建立方程，解方程可得的值，由此即可得． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴第2行第1列上的数为， ∴， 故答案为：，． （2）解：①由题意得：第1行的中间的数是， 第2行的中间的数是， 第3行的中间的数是， 第4行的中间的数是， 归纳类推得：在图3的数阵中，位于第行的中间的数是， 故答案为：． ②设十字框中的中间的数是，则其他四个数分别为，，，， 由题意得：， 解得， 则其他四个数分别为，，，， 答：十字框中的五数之和能等于330，这5个数分别为，，，，． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式加减的应用 题型一 整式加减的应用——图形问题 题型二 整式加减的应用——销售问题 题型三 整式加减的应用——方案问题 题型四 整式加减的应用——数字问题 题型五 整式加减的应用——分段计费问题 题型六 整式加减的应用——图形规律问题 题型七 整式加减的应用——数字规律问题 题型一：整式加减的应用——图形问题 1．（25-26七年级上·上海松江·期末）如图是第23届国际数学家大会的邮票，它的图案是一个矩形，这个矩形被分割成大小不相同的11个正方形．如果图中所有正方形的边长都是整数，且图中最大正方形与最小正方形的边长分别为x、y，则的值（   ） A．12 B．11 C． D． 2．（25-26七年级上·上海·期中）现有A、B、C三种不同型号的卡片若干张（如下图所示），其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为a、宽为b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，且． (1)用1张A型卡片，4张B型卡片，4张C型卡片不重叠无缝隙地拼成一个大正方形，求此时这个大正方形的边长： (2)从这三种型号的卡片中选取一些卡片，也可以不重叠无缝隙地拼成不同形状的长方形（长不等于宽）．现有1张A型卡片，16张C型卡片，那么，要能拼成一个长与宽不相等的长方形，需要多少张B型长方形卡片？请说明你的理由． 3．将正方形BEFG和正方形DHMN按如图所示放入长方形ABCD中，AB＝20，BC＝26，若两个正方形的重叠部分长方形甲的周长为20，求乙的周长． 4．（25-26七年级上·北京·期末）数学课上，老师提出一道思考题，如图，在一个长方形中放入三个正方形，从大到小正方形的边长分别为，则右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长差是多少？经过独立思考和小组讨论之后，小明代表本组汇报如下的解题思路： 可以先设重叠部分的小长方形的长与宽分别为和，再用含和的式子分别表示阴影部分的各边长，算出右上角阴影部分周长和左下角阴影部分周长后求两者差即可得到答案 (1)请你结合小明说的思路，表示一下右上角阴影部分的周长为___________，左下角阴影部分的周长为___________； (2)右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长差是___________（用含b的式子表示）． 题型二：整式加减的应用——销售问题 1．小明的爸爸再就业，做起了小商品生意，第一次进货时，他以每件元的价格购进了30件甲种小商品，每件元的价格购进了50件乙种小商品（）．回来后，根据市场行情，他将这两种小商品以每件元的价格全部售出，则在这次买卖中，张师傅赚了（  ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．某零件厂现生产A，B两种尺寸的零件，两种零件的成本和售价如表： 成本（元/个） 售价（元/个） A 50 80 B 70 90 该厂每天共生产A，B两种尺寸的零件800个，设每天生产A种零件x个． （1）用含x的代数式表示该厂每天的生产成本，并进行化简； （2）用含x的代数式表示该厂每天获得的利润，并进行化简； （3）当x＝500时，求该厂每天获得的利润．（利润＝售价﹣成本） 3．李师傅下岗后，做起小生意，第一次进货，他以每件a元的价格购进了50件甲种小商品，以每件b元的价格购进了40件乙种小商品，且． (1)若李师傅将甲种商品提价，乙种商品提价全部出售，他获利多少元？（用含有a，b的式子表示结果） (2)若李师傅将两种商品都以元的价格全部出售，他这次买卖是赚钱还是亏本，请说明理由？ 4．（25-26七年级上·上海·期中）某服装厂生产一批运动服，每件运动服由上衣和裤子组成，生产过程中涉及以下成本和销售信息： 生产每件上衣的布料成本为元，生产每件裤子的布料成本为元； 生产每件上衣需要支付工人工资15元，生产每件裤子需要支付工人工资10元； 该批运动服的固定设备损耗费用为2000元，无论生产多少件都需支付； 每件运动服的售价为元．问： (1)用含a，b，n的代数式表示生产n件运动服的总成本（总成本=布料成本+工人工资+固定设备损耗）； (2)用含a，b，n的代数式表示销售n件运动服的总利润（总利润=总售价−总成本），并将结果化简； 5．今年春季，三元土特产喜获丰收，某土特产公司组织10辆汽车装运甲、乙两种土特产去外地销售，按计划10辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种土特产，且必须装满，设装运甲种土特产的汽车有辆，根据下表提供的信息，解答以下问题： 土特产种类 甲 乙 每辆汽车运载量（吨） 4 3 每吨土特产利润（元） 140 160 (1)求这10辆汽车共装运土特产的数量（用含有的式子表示）； (2)求销售完装运的这批土特产后所获得的总利润（用含有的式子表示）； (3)当销售完装运的这批土特产后所获得的总利润为5120元时，求的值． 题型三：带字母的绝对值化简 1．（25-26七年级上·上海·期末）某商场开展春节促销活动出售A、B两种商品，活动方案如下： 方案一： A商品每件进价80元，售价100元；B商品每件进价100元，售价130元 方案二： 所购商品一律按进价加价销售 (1)某单位购买A商品20件，B商品10件，选择哪种方案划算？能便宜多少钱？ (2)某单位购买A商品件（为正整数），购买B商品的件数是A商品件数的3倍多5件，该单位选择哪种方案更合算？请说明理由． 2．（25-26七年级上·无锡·期中）又到吃大闸蟹的季节了，特别是阳澄湖的大闸蟹远近闻名。某水产养殖场为了控制大闸蟹的质量，制定了大闸蟹的品质标准，将养殖大闸蟹分成了10个等级，1级大闸蟹的品质最好，2级次之，以此类推，第10级品质最差，大闸蟹的销售价格制定如下：第5级售价为80元/千克，从第5级起，品质每提升1级每千克的售价将提升6元；品质每下降1级，每千克的售价将降低4元． (1)3级蟹的售价为 元/千克；8级蟹的售价为 元/千克； (2)若大闸蟹的等级为n，请用含n的代数式表示该等级蟹的售价（单位：元/千克）； (3)水产老板小峰，计划在该养殖场购进2级蟹m千克，养殖场可以送货上门，但要收200元的运费，因为小峰是养殖场的老客户，负责人给出了如下两种优惠方案： 方案一：降价，并减免全部运费；方案二：降价，但运费不减． 请用含m的代数式表示小峰分别用这两种方案购买需付的费用，并请你帮小峰计算一下若购买500千克哪种优惠方案更加合算． 3．（25-26六年级上·上海闵行·期中）阅读下面材料并解决问题： 两个数量的大小可以通过它们的差来判断，如果两个数a和b比较大小，那么，当时，有；当时，有；当时，有；反过来也对，即当时，有；当时，有；当时，有． 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小，像这样判断两数大小关系的方法叫做求差法，请你用求差的方法解决以下问题： (1)若， ，则______0，P______Q（填>，=或<）； (2)如图，图1长方形Ⅰ的周长______，图2长方形Ⅱ的周长______，请用求差法比较M、N的大小； (3)制作某产品有两种用料方案，方案一：用2块A型钢板，用6块B型钢板；方案二：用3块A型钢板，用5块B型钢板．A型钢板的面积比B型钢板的面积大．设A型钢板和B型钢板的面积分别为x和y从省料角度考虑，应选哪种方案？ 4．综合与实践 项目主题 选方案购门票 项目背景 某学校组织全体师生参观野生动物园，需一次性购买门票张（，且为正整数），并有两种购票方案可供选择（两种方案不能同时使用）． 素材1 野生动物园门票价格为60元／张． 素材2 购票方案一：“超出部分”优惠方案 当团购门票数不超过40张时，没有优惠； 当团购门票数超过40张时，超出的部分每张打九折． 素材3 购票方案二：“爱心捐款，认养小动物”优惠方案 一个团体每捐款500元，该团体所购的门票每张优惠2元，且要求捐款数额必须是500的整数倍，为确保动物园的正常运营，每张门票最多优惠20元． 问题解决 任务1 （1）如果选择方案一购票，求该校购买门票所需费用（用含的代数式表示）； 任务2 （2）如果选择方案二购票，且团体捐款数额为2000元，求其所需总费用（包括门票费和捐款数额）与选择方案一所需费用的差额，用含的代数式表示），并直接写出当为何值时，两种购票方案所需费用相等． 任务3 （3）小明通过计算发现：当购票数超过40张，且团体捐款数额为某一定值500m元（为正整数）时，无论购票数如何变化，选择方案二所需总费用与选择方案一所需费用的差额也为定值元．试判断小明的发现是否正确，如果正确，请求出、的值；如果不正确，请举一个例子说明该判断是错误的． 5．综合与实践 问题情境 劳动基地的蔬菜都成熟了，学校计划将蔬菜送给敬老院的老人，现有长为a厘米，宽为b厘米，高为c厘米的箱子若干，将蔬菜装满每个盒子后需利用打包带进行打包． 方案设计 如图，小红和小明各设计了一种打包方式（接头处的长度不计，本题所有问题只考虑打包带的长度，不考虑其他影响因素）． 问题解决 (1)用含a，b，c的式子表示这两种打包方式所用的打包带的长度：小红的方案中所用打包带的长度为________厘米；小明的方案中所用打包带的长度为________厘米． (2)当厘米，厘米，厘米时，小红和小明设计的这两种打包方式所用的打包带的长度分别是多少？ (3)当时，比较小红和小明设计的方案中，哪种所用的打包带的长度更短． 题型四：数字问题 1．一个三位数，百位上的数字为，十位上的数字是百位上的数字的倍，个位上的数字比百位上的数字少，这个三位数用含有的代数式表示为（　　） A． B． C． D． 2．（1）先化简，再求值：，其中， （2）一个两位数，它的十位数字是，个位数字是，若把十位数字与个位数字对调，得到一个新的两位数，请计算原数与新数的差，并求出这个差的最大值． 3．【问题提出】数学活动课上，小寻提出一个猜想：设一个三位数的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c．若可以被9整除，则这个数可以被9整除． 【试一试】135 可以被 9 整除，，可以被 9 整除；297可以被9整除，，可以被9整除； 【探索验证】 （1）这个三位数用含a，b，c的代数式表示为：__________． （2）小寻的猜想对吗？请尝试用代数式的知识证明这个猜想． 【实践应用】 （3）同学小佳练习时遇到了这样一个问题：已知四位数231■能被9整除．题目中四位数的最后一位数不清晰．她想起了小寻的猜想，写出了■处的数字，这个数字是__________． 4．【背景介绍】进制是一种用有限种数字或符号来表示所有数值的计数方法．不同进制在不同的领域各有应用，比如计算机存储数据使用二进制，古巴比伦人使用六十进制进行计时．现实生活中，我们最习惯使用十进制来计数．十进制每个数位上可以使用以下10个数字：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，且满足“逢十进一”的原则．因此十位上一个1表示一个10即，百位上一个1表示1个100即．例如：． 【掌握新知】类似地，六进制中可以使用以下6个数字：0，1，2，3，4，5，且满足“逢六进一”的原则．例如六进制数中的数字4表示4个1，数字0表示0个，数字3表示3个，也就是，即六进制数转化为十进制数就是112． （1）根据以上材料，请填空： （用6的正整数次幂的形式填写）．反之，所以( )6． 【模型抽象】我们知道在十进制中，一个三位数； （2）对于任意一个六进制中的三位数，如果用最高位，表示中间位，代表最低位，记这个三位数为，则______． 【问题解决】我们知道在十进制中，一个三位数若能被9整除，只需要满足其各个数位之和能被9整除．因为，其中能被9整除，所以，只需满足各个数位之和能被9整除即可； （3）类比上述结论，在六进制中，一个三位数为若能被5整除，需要满足什么条件？试写出你的猜想并说明其理由； （4）在六进制中，一个三位数为若能被9整除，试直接写出的最大值______（用十进制表示）． 题型五：分段计费问题 1．某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表： 居民每月用电量 单价（元度） 不超过度的部分 超过度但不超过度的部分 超过度的部分 已知小刚家上半年的用电情况如下表（以度为标准，超出度记为正、低于度记为负） 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 根据上述数据，解答下列问题： (1)小刚家用电量最多的是 月份，实际用电量为 度 (2)求小刚家一月份应交纳的电费. (3)若小刚家七月份用电量为度（），求小刚家七月份应交纳的电费（用含的代数式表示）． 2．网约车已成为人们出行的首选便捷工具，某网约车行车计费规则如下表： 项目 时长费 里程费 远途费 单价 0.5元/分钟 1.6元/千米 0.4元/千米 乘客车费由时长费、里程费、远途费三部分构成，其中时长费按行车实际时间计算；里程费按行车的实际里程计算；远途费收取标准如下：行车里程10千米以内（含10千米），不收远途费，超过10千米的，超出部分每千米收0.4元． (1)张老师乘坐该网约车，行车里程为20千米，行车时间为30分钟，需付车费__________元； (2)若小明乘坐该网约车，行车里程为a千米，行车时间为b分钟．请用含a、b的代数式表示车费，并化简：当时，小明应付车费__________元；当时，小明应付车费__________元； (3)小明和张老师都乘坐该网约车，行车里程分别是7.5千米和12千米，如果两人所付车费相同，那么两人所乘的两辆网约车的行车时间相差__________分钟． 题型六：图形规律问题 1．如图，用黑白两色正方形瓷砖铺设地面，则第个图案中黑色瓷砖数为____块 2．将大小相等的圆点按如图规律摆放，则第个图形共有圆点______个． 3．如图所示的几何体都是由棱长为1的正方体叠放而成．图（1）几何体为1个正方体，其表面积为6；图（2）几何体由4个正方体组成，其表面积为18；图（3）几何体由10个正方体组成，其表面积为36；……，按照这样的规律，第15个几何体的表面积为________． 4．如图，下列图形是由同样大小的圆点按一定规律排列所组成的，按此规律排列下去，在第19个图形中，圆点的个数是（   ）    A．381 B．356 C．379 D．421 5．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的答案； ①；②；③； ④__________；⑤；… (2)参照上面的等式，请写出第⑦个等式：______________________________； 第个等式：__________； (3)根据上述的规律，计算：． 6．将正方形（如图1）作如下划分，第1次划分：分别连接正方形对边的中点得线段和，它们交于点M，此时图2中共有5个正方形；第2次划分：将图2左上角正方形再划分，得图3，则图3中共有9个正方形． （1）若把左上角的正方形依次划分下去，则第5次划分后，图中共有__________个正方形； （2）继续划分下去，第n次划分后图中共有__________个正方形． 题型七：数字规律问题 1．有一组数：6，11，16，21，26，…．用代数式表示其中的第n个数应是（   ） A． B． C． D． 2．观察下列数据：，，，，，…根据以上数据中的规律，你认为第11个数字是（   ） A． B． C． D． 3．把整数代入得到，称为第一次操作，再将作为的值代入得到，称为第二次操作，以此类推，若，经过第次操作后得到的结果是_________． 4．如图是一根起点为1的数轴，现有同学将它弯折，弯折后虚线上第一行的数是1，第二行的数是13，第三行的数是43，，依此规律，第五行的数是_______． 5．将正整数按如图方式进行有规律的排列，第2行最后一个数是4，第3行最后一个数是7，第4行最后一个数是10，按此规律，若2026第一次出现是在第行第个数，则的值是___________． 6．观察下列各式，解答问题： ； ； ； …… (1)【发现规律】填空：（     ）（     ）（     ）（     ）； (2)【总结规律】猜想填空：（     ）（     ）（     ）； (3)【应用规律】求的值． 7．生活中处处有数学，图1是2010年1月的月历，用一个正方形框出九个数． (1)在图1中用正方形框出和最大的九个数； (2)若框出的九个数之和是108，请求出最中间的数； (3)将自然数1至2010按图2的方式排列，按以上方式框出九个数，其和能为2010吗？若能，求出其中最小的数；若不能，请说明理由． 8．河图洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案．其中的“洛书”，在今天看来就是一个三阶幻方．如图1是由1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字组成的三阶幻方，其每行、每列、每条对角线上的三个数之和都为15． (1)如图2是一个未完成的三阶幻方，要使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于18，则 ， ； (2)数阵是由幻方演化出来的另一种数字图．将连续的偶数2，4，6，8，10……排列成数阵（如图3），回答以下两个问题： ①在图3的数阵中，位于第行的中间的数是 （填化简结果）； ②用十字框随机框出图3的数阵里的5个数，十字框中的五数之和能等于330吗？若能，写出这5个数；如不能，请说明理由． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $