3.2 基本不等式（讲义，知识点&11大题型&刷好题）高一数学苏教版必修第一册

本讲义以基本不等式为核心知识点，系统梳理从定理探索证明（含几何与算术平均数关系）、“一正二定三相等”条件，到求最值方法（和定积最大、积定和最小），再到拓展应用（不等式链、三个正数不等式、恒成立问题）的学习支架。 该资料特色在于题型分类系统（11类题型含解题贴士与分层练习），结合水产养殖网箱造价等实际问题案例培养应用意识，通过易错点强调和逻辑推理训练提升数学思维，课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺。

第三章 不等式 3.2 基本不等式 课标要点 1.探索基本不等式以及它的证明过程；体会证明不等式的基本方法； 2.理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件； 3.会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三相等。 4.会用基本不等式解决实际问题 学习重难点 重点：基本不等式的探索过程和证明；运用基本不等式求函数的最值； 难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧.基本不等式的实际应用 知识点 基本不等式（重点） 基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算术平均数． ，有（当且仅当时，取“”号） 特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立. 特别提醒 1）一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱 教材延伸 ①基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） ②三个正数的基本不等式 如果，，，那么（当且仅当时，取“”号） 随学随练 1．（25-26高二下·河北张家口·期末）已知，则的最小值为（     ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】由题意得，，等号成立时， 故的最小值为 2．（25-26高一下·青海海东·期末）已知，则的最小值为________． 【答案】 【详解】因为，所以，当且仅当即时取等号. 3．（25-26高二下·陕西汉中·期末）已知，则的最小值为______________. 【答案】1 【分析】应用基本不等式计算求解. 【详解】已知，则， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为1. 知识点利用基本不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值； 随学随练 1．（26-27高一上·山西运城·开学考试）已知，且，则的最大值为________． 【答案】 【分析】根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，且，可得，且， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 2．（25-26高一上·福建莆田·期末）设、为正数，且，则的最大值为______． 【答案】/ 【分析】结合已知条件，利用基本不等式求积的最大值． 【详解】， ，当且仅当时取等号. ， ，即，解得， 当时，取等号，故的最大值为． 3．（25-26高二下·河南信阳·期末）已知实数，，且，则的最小值是__________． 【答案】 【详解】由题意得：， 当时，即时，等号成立. 拓展 基本不等式的恒成立问题（重点） 活学活用 1．（25-26高一上·湖南·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为，，且，则， 所以 ， 当且仅当时，即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 2．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知，，且，若恒成立，则实数的最大值为_____. 【答案】 【分析】由已知不等式变形得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，即可得出实数的最大值. 【详解】因为，，且，由， 可得， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以的最小值为，则，故实数的最大值为. 故答案为：. 题型对基本不等式的理解 解题贴士 ,, 一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱 ▌例1 （25-26高二下·海南·期末）下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即，无解，等号不成立． 故选. ▌例2 （25-26高一上·江苏南京·阶段检测）下列说法中正确的是（   ） A．的最小值为4 B．的最小值为2 C．的最小值为2 D．的最小值为1 【答案】D 【分析】根据基本不等式满足的前提条件即可求解AB，根据基本不等式即可求解CD. 【详解】对于A,当时，，故A错误， 对于B,当时，，，则，故B错误， 对于C, ,由于，而对勾函数在单调递增，故，当且仅当时取到等号，故C错误， 对于D, ，当且仅当时取到等号，故D正确， 故选：D ▌对点练1-1．（24-25高一上·全国·课后作业）下列结论正确的是（    ） A．若，且，则 B．当时， C．当时，的最小值为2 D．当时， 【答案】B 【分析】利用基本不等式的条件、取等号的条件逐项判断. 【详解】对于A，当时，显然不成立，A错误； 对于B，当时，，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，当时，，当且仅当时取等号，而，不能取到等号，C错误； 对于D，取，，D错误. 故选：B ▌对点练1-2．下列不等式中等号可以取到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式使用条件逐一检验取等条件即可得答案. 【详解】解：对于A，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故A不符合； 对于B，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故B不符合； 对于C，因为，所以，当且仅当，即时取等号，故C符合； 对于D，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故D不符合. 故选：C. ▌对点练1-3．（多选）（23-24高一上·福建莆田·阶段检测）下列判断正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，当时，，A错； 对于B选项，当时，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立，B对； 对于C选项，因为，则， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，C对； 对于D选项，因为，则，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 但，故等号不成立，所以，，D对. 故选：BCD. 题型 利用基本不等式比较大小 解题贴士 利用基本不等式时特别注意验证是否能取到“=” ▌例1（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，，， 所以， 即，当且仅当时等号成立． 故选：A. ▌例2若，，，则，，2ab，中最大的一个是______． 【答案】/ 【分析】确定，，，得到答案. 【详解】，，，则，，， 综上所述：最大的一个是. 故答案为： ▌对点练2-1已知P＝a2＋(a≠0)，Q＝b2－4b＋7(1＜b≤3)．则P、Q的大小关系为（    ） A．P＞Q B．P＜Q C．P≥Q D．P≤Q 【答案】C 【分析】由基本不等式可得，通过配方结合可得即可选得答案. 【详解】，当且仅当时等号成立， ，当时等号成立， 所以. 故选：C ▌对点练2-2若且，则，，，中的最大值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式和作差比较法，准确运算，即可求解. 【详解】由题意，实数且，可得，， 又由， 因为，可得，所以， 所以，所以最大值为. 故选：C. ▌对点练2-3已知a>1，b>1，记M＝，N＝，则M与N的大小关系为（    ） A．M>N B．M＝N C．M<N D．不确定 【答案】A 【分析】利用基本不等式可得答案. 【详解】因为，所以 ，当且仅当取等号， 而， 故选：A． 题型利用基本不等式证明不等关系 解题贴士 (1)注意基本不等式成立的条件； (2)多次使用基本不等式，要注意等号能否成立； (3)对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成基本不等式模型，再使用 ▌例1（25-26高一上·宁夏石嘴山·阶段检测）选用恰当的证明方法证明下列不等式． (1)已知，求证：； (2)已知，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由题设，应用基本不等式证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证明. 【详解】（1）由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以； （2） ， 因为，所以，所以， 所以，即. ▌例2（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）选用恰当的证明方法，证明下列不等式． (1)已知，且，求证：； (2)已知，求证：． 【答案】(1)证明： 由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以； (2)证明： ， 因为，所以，所以， 所以，即. 【分析】（1）由题设，应用基本不等式证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【详解】（1）略； （2）略. ▌对点练3-1（25-26高一上·河北保定·期中）已知证明： (1) (2) 【答案】(1) 因为，所以，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立． 故，当且仅当时，等号成立． (2) 因为，所以． ， 当且仅当时，等号成立． 【分析】（1）式子和直接利用基本不等式求解； （2）将整理为，利用基本不等式求解； 【详解】（1）略 （2）略 ▌对点练3-2（25-26高一上·山西朔州·阶段检测）已知，求证： (1)若，则； (2)若，且，则． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据给定条件，利用不等式的性质推理得证. （2）根据给定条件，利用基本不等式证得，再利用对勾函数单调性推理得证. 【详解】（1）由，得；由，得， 所以. （2）由，且，得，当且仅当时取等号， 而， 令，函数在上单调递减，则当时，， 因此，当且仅当时取等号， 所以. ▌对点练3-3（23-24高一上·四川成都·期中）已知． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明： 因为， 所以； (2)证明： 因为， 所以 ， 当且仅当，即，时等号成立． 【分析】（1）应用作差法证明不等式； （2）应用已知条件，常值代换根据基本不等式证明. 【详解】（1）略； （2）略． 题型利用基本不等式求积的最大值 （重点） 解题贴士 已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值； ▌例1（2026·天津河西·一模）已知，，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】由基本不等式得到，即， 当且仅当，即时，等号成立. 的最大值为 ▌例2求函数的最大值. 【答案】 【分析】根据已知条件结合基本不等式求解即可得结果. 【详解】因为，， 所以, 当且仅当，即时，. 故函数的最大值为. 故答案为： ▌对点练4-1（2026·甘肃陇南·一模）已知实数，，则的最大值是（   ） A．2 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据题意，利用基本不等式，代入计算，即可求解. 【详解】因为且，则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：C. ▌对点练4-2（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合基本不等式运算求解即可. 【详解】因为，则， 可得，即， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值为. 故选：C ▌对点练4-3（2025高三上·福建厦门·专题练习）已知，则的最大值为__________. 【答案】 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由于，故， ， 当且仅当，即时取到等号，故的最大值为， 故答案为： 题型 利用基本不等式求和的最小值（重点） 解题贴士 已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值； ▌例1（25-26高一下·贵州毕节·阶段检测）函数的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【详解】当时，，， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为3. ▌例2（25-26高二上·湖南永州·阶段检测）已知则的最小值为（   ） A． B．0 C．4 D． 【答案】B 【详解】当时，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为0. ▌对点练5-1（2026高一·全国·专题练习）若，则函数的最小值为_____. 【答案】10 【详解】若，则， 所以函数， 当且仅当，即时等号成立， 故函数的最小值为. ▌对点练5-2（2026·上海崇明·二模）若，，且，则的最小值为________． 【答案】 【详解】由基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. ▌对点练5-3（25-26高一上·河南·期末）已知，则的最大值为______. 【答案】 【分析】直接由基本不等式即可求解 【详解】， 当且仅当时，等号成立． 即的最大值为， 故答案为： 题型 利用基本不等式求二次与二次（一次）商式的最值（重点） 解题贴士 1、形如，可以通过换元分离降幂，转化为对勾型 2、形如，可以通过换元分离降幂，转化为对勾型 ▌例1（25-26高一下·山西长治·期末）若，则的最大值是______． 【答案】 【分析】将转化为，利用基本不等式求解. 【详解】令， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，因为，所以时，等号成立. ▌例2若存在，使成立，则的取值范围是___________. 【答案】 【分析】依题意，再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意存在，使成立，即存在，使得，即，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以，即的最大值为，所以，即； 故答案为： ▌对点练6-1（24-25高二下·广西南宁·期末）若，则函数的最小值为______． 【答案】1 【详解】因为，则， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为1 故答案为：1. ▌对点练6-2（23-24高一上·全国·单元测试）函数的最小值为_________． 【答案】 【分析】将函数化为，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可. 【详解】由，又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以原函数的最小值为. 故答案为： 题型 “1”的妙用（重点） 解题贴士 若已知条件中的“１”（常量可化为“１”）与目标函数之间具有某种关系（尤其是整式与分式相乘模型），则实施“１”代换，配凑和或积为常数 ①已知正数满足，求的最小值。 ②已知正数满足求的最小值。 ▌例1（2026·湖南株洲·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 【答案】D 【分析】采用“1”的代换构造基本不等式适用形式，求解目标式的最小值. 【详解】 ， 当且仅当，即，结合解得当且仅当，时取等号， 因此的最小值为9. ▌例2（24-25高一上·贵州遵义·期末）已知实数，，满足，则的最小值是（   ） A． B．4 C． D．3 【答案】A 【分析】根据题意利用乘“1”法结合基本不等式运算求解即可. 【详解】因为实数，，满足， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故选：A. ▌对点练7-1（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知，则的最小值为（    ） A．5 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据“1”的变换，转化为，展开后利用基本不等式即可求解. 【详解】，且， 则， 当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C ▌对点练7-2（25-26高一上·甘肃定西·期末）已知，则的最小值为（   ） A．44 B．46 C．48 D．50 【答案】D 【分析】巧用“1”结合基本不等式求解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当时，等号成立， 故选：D. ▌对点练7-3（25-26高一下·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）已知均为正数，满足，当取最小值时，的值为______． 【答案】/ 【详解】由正数满足，得， 当且仅当时取等号，由，得， 所以当取最小值时，的值为. 题型 消元法（重点） ▌例1（26-27高二上·广东梅州·开学考试），，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得到，又，，则， 所以， 当且仅当，即时取等号. ▌例2（25-26高一上·江苏·期末）已知正实数满足，则的最小值为__________. 【答案】/ 【分析】由题设求得，从而将所求式化成，再根据基本不等式求解即可. 【详解】由题意，为正实数，且，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为. 故答案为：. ▌对点练8-1（25-26高二下·福建三明·期中）已知正数a，b，且，满足，则（     ） A．a的取值范围是 B．的最小值为2 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】D 【分析】由得，利用基本不等式逐项验证即可求解. 【详解】由，所以，即， 又，所以，所以，即的取值范围为，故A错误； 由在单调递增，所以，所以无最小值，故B错误； 由， 当时，即时，等号成立，所以的最小值为，故C错误； 由，当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. ▌对点练8-2（25-26高一上·新疆巴州·期末）若正数满足，则的最小值是___________. 【答案】4 【分析】由得，代入后利用基本不等式即可求解. 【详解】因为正数满足，所以，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是4. 故答案为：4. ▌对点练8-3（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知正实数，满足，则的最大值为________． 【答案】 【分析】由已知变形可得，代入，利用基本不等式求最大值即可. 【详解】因为，由可得，又，所以， 所以， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以，即的最大值为， 故答案为： 题型 换元法（含双换元法）（难点） ▌例1（25-26高一上·广西南宁·期末）已知，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式，结合已知条件，通过换元法转化为一元二次不等式求解的取值范围. 【详解】已知，得：， 设（），则，不等式变为：， 整理得： ， 因为，所以，不等式等价于，解得， 因为，所以. 故选：C. ▌例2（25-26高三上·山东·阶段检测）若，，，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】令，利用点到直线的距离公式可求的最小值. 【详解】令，由，可得， 原点到直线的距离为， 所以， 联立，可得， 所以当，时，取最小值，最小值为. 故选：D. ▌对点练9-1已知，满足，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】变形给定等式，换元，用表示，再代入，利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，令，则， 解得，则， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，故B正确. 故选：B. ▌对点练9-2（2026高一·全国·专题练习）已知实数，满足，则的最大值为_____. 【答案】 【分析】令，把方程化为，根据方程有解，利用，求得，进而求得的最大值. 【详解】令，则， 方程可化为， 整理得，则满足， 解得，所以，即， 所以的最大值为. ▌对点练9-3（25-26高三上·天津·阶段检测）已知，，，则的最小值为________. 【答案】 【分析】运用换元法与基本不等式中“1”的妙用，即可得解. 【详解】令，则， 则可转化为，求最小值即求的最小值. ， 当且仅当，即，即时，等号成立， 因此的最小值为. 故答案为：. 题型 基本不等式中的恒成立问题（重点） ▌例1（25-26高一上·安徽合肥·期末）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，将恒成立转化为，得到的一元二次不等式求解. 【详解】正实数、满足， ， 当且仅当时，即，即时，等号成立， 的最小值为 ， 恒成立，， ，，，实数的取值范围是. 故选：C. ▌例2（25-26高一上·广东深圳·期末）若满足且恒成立，则的取值范围是____________. 【答案】 【分析】先结合题意得到，再利用基本不等式得到，进而求出的最小值为，最后得到，求解参数范围即可. 【详解】因为， 且由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 所以， 即，得到，解得， 故的最小值为，要使恒成立， 即成立，解得.   故答案为：. ▌对点练10-1（25-26高一上·浙江杭州·期中）若正实数，满足，不等式恒成立，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据基本不等式”1”的代换，可得的最小值，根据题意，结合一元二次不等式的解法，即可得答案. 【详解】由，得，即， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，则，解得， 则的取值范围是. ▌对点练10-2（25-26高一上·浙江杭州·期中）若正数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据 “乘1法”可求 的最小值，进而求解即可. 【详解】由得，且 ， 故， 当且仅当即时等号成立. 故问题转化为，即， 解得，故实数m的取值范围为. ▌对点练10-3（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数的范围是____________. 【答案】 【分析】根据题意可得，利用乘“1”法结合基本不等式可得，再根据恒成立问题分析求解. 【详解】因为正实数x，y满足，即， 则 当且仅当，即时，等号成立， 若恒成立，则， 所以实数的范围是. 故答案为：. 题型 基本不等式在实际问题中的应用（重点） ▌例1（26-27高一上·全国·课堂例题）某水产养殖场拟造一个平面图为矩形且面积为160平方米的水产养殖网箱，为了避免混养，箱中要安装一些筛网，如平面图所示．如果网箱四周网衣(图中实线部分)建造单价为每米112元，筛网(图中虚线部分)的建造单价为每米96元，网箱底面建造单价为每平方米100元，网衣及筛网的厚度忽略不计．把建造网箱的总造价y(元)表示为网箱的长x(如图所示，单位为米)的函数，并求出最低造价． 【答案】y＝320×＋16 000，最小值为26 240元 【分析】设网箱长为米，则宽为米，分别表示网衣、筛网、底面的造价，得到总造价关于的函数，再利用基本不等式求最小值. 【详解】设网箱长为米，则宽为米. 网衣（实线）造价：；筛网（虚线，3条平行于宽、1条平行于长）造价：；底面造价：. 所以. 由基本不等式，，当且仅当，即时取等号. 所以，即当时，最低造价为元. ▌例2（25-26高三上·安徽淮北·期中）某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1.5米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计9600元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为（）米，原有墙体足够长. (1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为（）元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求的取值范围. 【答案】(1)10米 (2) 【分析】（1）由题意建立甲工程队报价与左面墙的长度间的函数关系，再根据基本不等式求得最低报价及对应的左面墙的长度； （2）利用（1）的结论，列出不等式，分离参数，并根据基本不等式求得的取值范围. 【详解】（1）设甲工程队的总报价为元， 依题意，左、右两面墙的长度均为（）米， 则长方体前面新建墙体的长度为米， 所以， 即， 当且仅当，即时，等号成立. 故当左面墙的长度为10米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为19200元. （2）由题意可知，， 即对任意的恒成立， 所以，可得，即. ， 当且仅当，即时，取最小值36. 所以，即的取值范围是. ▌对点练11-1（25-26高一上·广东广州·期末）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月库存货物费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成正比，比例系数为1.5，每月土地占地费（单位：万元）与x之间的函数关系为，为常数；若在距离车站5km处建造仓库，则两项费用之和为11.5万元. (1)要使两项费用之和最小，应该把仓库建在距离车站多少千米处? (2)要使两项费用之和不超过13.5万元，仓库到车站的距离应该在什么范围内? 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，进而根据题意建立方程关系得，此时可建立函数关系，再结合基本不等式求解最值即可得答案； （2）根据题意解即可得答案. 【详解】（1）解：因为每月库存货物费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成正比，比例系数为1.5， 所以，当时， 因为每月土地占地费（单位：万元）与x之间的函数关系为，为常数 所以当时，， 因为在距离车站5km处建造仓库，则两项费用之和为11.5万元，、 所以，解得， 所以两项费用之和为， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，两项费用之和最小，为. 所以两项费用之和最小，应该把仓库建在距离车站千米处 （2）解：由（1）得两项费用之和为， 要使两项费用之和不超过13.5万元，即， 整理得，解得， 所以仓库到车站的距离应该在范围内. ▌对点练11-2（25-26高一上·广东·期末）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上追加投入万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加的利润（单位:万元）与之间的函数关系式. (2)若要追加的总成本不超过3万元，求的取值范围. (3)当为多少时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？ 【答案】(1)； (2)的取值范围为； (3)当为5万元时，该公司在本季度增加的利润最大,最大万元. 【分析】（1）由题意知，增加的利润增加的产量售价追加投入投入的其他成本；（2）由题意知，追加的总成本追加投入投入的其他成本，列出不等式求解即可；（3）将函数解析式进行化简，利用换元法再结合基本不等式求解. 【详解】（1）由题知， 又，解得， 所以. （2）由题知追加的总成本， 整理得，解得， 又，所以的取值范围为. （3）由知，令，则， 代入函数解析式得， 当且仅当时，等号成立， 此时，. 故当为5万元时，该公司在本季度增加的利润最大，最大万元. ▌对点练11-3（25-26高一上·上海静安·阶段检测）甲乙两地的高速公路全长166千米，汽车从甲地进入该高速公路后匀速行驶到乙地，车速（千米/时）．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分为，固定部分为220元． (1)若每小时的运输成本不高于420元，汽车的速度应该控制在什么范围？ (2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本约为多少元？（结果保留整数） 【答案】(1)（千米/时）； (2)当时，最小运输成本为696元． 【分析】（1）根据题意列出不等式，根据一元二次不等式的解法，求出结果即可. （2）根据题意，列出函数，根据基本不等式，求出最小值即可. 【详解】（1）由题意得汽车每小时的运输成本为（元）， 每小时的运输成本不高于420元，所以，解得， 可得，即（千米/时）， 所以，此时汽车的速度应该控制在（千米/时）； （2）因为汽车从甲地进入该高速公路后匀速行驶到乙地，车速（千米/时）， 所以汽车的行驶时间为（小时）， 所以全程运输成本，， 由基本不等式可得，当且仅当时，即时取等号， 即当速度为（千米/时），最小运输成本为696元． 基础通关 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式，结合特殊值法判断即可. 【详解】对于A，因为，，所以，当且仅当时等号成立. 所以，当时，，A错误. 对于B，如，，，此时不成立，B错误. 对于C，因为，，所以，当且仅当时等号成立. 又，所以，C正确. 对于D，如，，，此时不成立，D错误. 2．（24-25高二下·福建福州·期末）若，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若，，则，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为12. 3．（2026·甘肃酒泉·二模）已知，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接由条件和基本不等式可得最小值. 【详解】因为，所以，且， 所以， 当且仅当且时等号成立，由得（舍去）， 代入，解得， 所以当时，的最小值为. 4．（2026·河南洛阳·模拟预测）设，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D．3 【答案】C 【分析】先化简，再利用基本不等式求最值，并验证等号成立的条件. 【详解】， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 5．（2026·河北张家口·一模）已知实数，，且满足，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】利用基本不等式将等式变形化简，解不等式即可得出结果. 【详解】由可得， 因为实数，，所以， 因此可得，即， 解得或（舍）， 当且仅当时，即时，等号成立, 所以的最小值为6. 6．（25-26高一上·江苏徐州·期末）若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式求出，即，即可得到答案. 【详解】因为，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 故的最大值为. 故选：C. 7．（多选）（2026·辽宁锦州·模拟预测）魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用图1给出了勾股定理的证明．设每个直角三角形的两条直角边长分别为和如图2．由刘徽构造的图形可以得到许多重要结论，则下列推理正确的是（   ） A．由正方形面积大于8个朱色图形面积得 B．由正方形面积大于4个朱色图形面积得 C．由三角形面积大于黄色图形面积得 D．由正方形面积的2倍大于正方形面积得 【答案】ABD 【详解】对于A，由正方形的面积为，8个朱色图形的面积为，显然，故A正确； 对于B，由图得正方形的面积为，4个朱色图形的面积为，由图可知，故B正确； 对于C，由三角形面积大于黄色图形面积得，所以，故C错误； 对于D，由正方形面积的2倍大于正方形面积得，故D正确. 8．（多选）（25-26高一上·河南信阳·期中）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用二次函数，函数单调性和基本不等式求最小值，就可作出判断. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，因为在上单调递增，所以，故B错误； 对于C，当时，，当且仅当取到等号，故C正确； 对于D，，当且仅当取到等号，故D正确； 故选：ACD. 9．（25-26高二下·陕西商洛·阶段检测）函数的最小值为______． 【答案】9 【详解】因为，所以，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值为． 10．（2026·内蒙古赤峰·一模）正数m，n满足，则的最小值为________． 【答案】2 【详解】因，则，当且仅当时取等号. 则 即，解得，（舍去） 当且仅当时等号成立，故的最小值为2. 素养提升 1．（湖南湘潭市2027届高三第一次模拟考试数学试题）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C． D． 【答案】D 【详解】已知，，整理，得， 则，，， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最小值为. 2．（25-26高二下·安徽蚌埠·期末）已知正数x，y满足．若不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过均值不等式求解出范围后通过恒成立条件求解范围. 【详解】因为，所以. 所以对于，可以看作， 因为，当且仅当时成立，所以， 解得. 3．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知关于 的不等式的解集为，其中 ，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知：是方程的两根，且， 则，可得，， 则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 4．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于函数进行变形得，再利用基本不等式求最值即可． 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以的最大值为． 5．（25-26高二下·天津·期末）已知，，且，则的最小值为__________． 【答案】/ 【分析】将原式子化简后，再利用基本不等式求最小值. 【详解】因为，，，所以， ， . 所以， . 所以 当且仅当即时，等号成立. 所以的最小值为. 6．（2025高一上·安徽·竞赛）某企业原有200名科技人员，年人均工资a万元（）．现加大对某芯片研发力度，该企业把原有200名科技人员调整成技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且）．调整后，研发人员的年人均工资比调整前增加了，技术人员的年人均工资为万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员年总工资的1.5倍，求调整后的技术人员最少有多少人？ (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件： ①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资； ②技术人员的年人均工资始终不低于调整前200名科技人员的年人均工资． 请问是否存在这样的实数m？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1)50 (2)存在， 【分析】（1）根据题意得到不等式，求出答案； （2）由两个条件得到不等式，结合基本不等式求出答案 【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均工资为万元， 则，（），化简得， 解得， 因为且，所以， 所以调整后的技术人员的人数最少为50人； （2）假设存在实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件， 由条件①得，整理得； 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以， 由条件②得，解得； 又因为，所以． 所以． 迁移创新 1．（25-26高三下·山东聊城·阶段检测）对任意正实数、，记．当取得最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由不等式的基本性质得出，利用基本不等式求出的最大值，可得出的最大值，利用等号成立的条件可得出、的值，即可得出的值. 【详解】因为、都为正实数，且，故， 由题意可得，， 由不等式的性质可得， ，故，可得， 当且仅当时，即当时， 此时且时，取最大值， 此时. 2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）记表示实数a，b中的较大的数，已知x，y，z均为正数，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】本题分两种情况讨论，当和时的两种情况，然后根据基本不等式的性质求出最小值. 【详解】设， 当时，， 因为均为正数，所以 ， 当且仅当，，时，等式成立； 当时，， 当且仅当，，时，等式成立. 综上可知，t的最小值为. 故选：C. 3．（2026·安徽·模拟预测）若，，则的最大值是____.(其中表示中的较小值) 【答案】/ 【分析】利用不等式，结合基本不等式求解． 【详解】因 ≤， 当时，， 的最大值是． 4．（26-27高一上·辽宁沈阳·开学考试）笛卡尔是法国伟大的数学家之一，他对现代数学的发展作出过重要的贡献，由于他的几何坐标系的公式化而被后人认为是“解析几何之父”．高一某同学在网上查阅资料时，无意间发现“笛卡尔积”是一个很有趣的问题． 设，是任意两个非空集合，则称集合为“与的笛卡尔积”，如果集合中元素的个数记为，则集合的元素个数即为． (1)若，，求与； (2)若，，为质数，且对任意质数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）由新定义即可直接求解； （2）通过定义确定，或，，再分两类情况讨论即可. 【详解】（1）因为，且， 所以， ； （2），，且为质数， ，或，， 当，时， 则由新定义可知：，， ， 当且仅当，即时取等号， 又为质数，，所以等号不成立； 所以此时． 当，时， 则由新定义可知：，， ， 当且仅当，即时取等号； 综上可知. 5．（24-25高一上·福建宁德·阶段检测）问题：正数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数满足求的最小值； (2)若正实数满足，且，试比较和的大小，并说明理由； (3)利用（2）的结论，求代数式的最大值，并求出使得最大的的值． 【答案】(1) (2)，理由如下： ， 当且仅当，即时，等号成立，所以. (3)的最大值为，此时． 【分析】（1）已知正实数满足核心思路是等式两边同除以构造“和为定值”的齐次式，再采用乘1法，将乘以该定值，分式展开，利用基本不等式求最小值，关键是构造可使用均值不等式的乘积结构. （2）已知，采用乘1法，将与条件式相乘展开，拆分后用均值不等式放缩，通过等号成立条件对比和的大小关系，核心是借用题干示范的乘1构造法完成放缩证明. （3）先根据根式定义域求出的范围，换元令，，转化为已知求的最大值，直接套用第（2）问结论，用乘1法结合均值不等式求解，实现结论迁移应用. 【详解】（1）因为，所以． 所以． 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为． （2）略. （3）由得， 令，则， 令，由（2）知，， 所以，即， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，此时． 【点睛】方法归纳： 1.核心通用方法：乘1法，已知分式和为定值时，将所求代数式乘以该定值，展开后配凑均值不等式； 2.题型迁移技巧：多问递进题型，后一问可直接套用前一问推导的不等式结论，减少重复推导； 3.含双根式最值：先换元消去根号，转化为二次分式约束条件，再使用乘1法. 易错归纳： 1.均值不等式使用前提：变量必须为正数，解题前先判定定义域； 2.等号成立条件必须检验，忽略取等条件会出现取不到最值的错误； 3.乘1代换时，分式拆分容易出现系数计算错误，需核对展开后的交叉项； 4.根式问题遗漏定义域限制，导致参数范围出错. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 不等式 3.2 基本不等式 课标要点 1.探索基本不等式以及它的证明过程；体会证明不等式的基本方法； 2.理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件； 3.会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三相等。 4.会用基本不等式解决实际问题 学习重难点 重点：基本不等式的探索过程和证明；运用基本不等式求函数的最值； 难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧.基本不等式的实际应用 知识点 基本不等式（重点） 基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算术平均数． ，有（当且仅当时，取“”号） 特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立. 特别提醒 1）一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱 教材延伸 ①基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） ②三个正数的基本不等式 如果，，，那么（当且仅当时，取“”号） 随学随练 1．（25-26高二下·河北张家口·期末）已知，则的最小值为（     ） A．3 B． C．2 D． 2．（25-26高一下·青海海东·期末）已知，则的最小值为________． 3．（25-26高二下·陕西汉中·期末）已知，则的最小值为______________. 知识点利用基本不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值； 随学随练 1．（26-27高一上·山西运城·开学考试）已知，且，则的最大值为________． 2．（25-26高一上·福建莆田·期末）设、为正数，且，则的最大值为______． 3．（25-26高二下·河南信阳·期末）已知实数，，且，则的最小值是__________． 拓展 基本不等式的恒成立问题（重点） 活学活用 1．（25-26高一上·湖南·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_____. 2．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知，，且，若恒成立，则实数的最大值为_____. 题型对基本不等式的理解 解题贴士 ,, 一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱 ▌例1 （25-26高二下·海南·期末）下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． ▌例2 （25-26高一上·江苏南京·阶段检测）下列说法中正确的是（   ） A．的最小值为4 B．的最小值为2 C．的最小值为2 D．的最小值为1 ▌对点练1-1．（24-25高一上·全国·课后作业）下列结论正确的是（    ） A．若，且，则 B．当时， C．当时，的最小值为2 D．当时， ▌对点练1-2．下列不等式中等号可以取到的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-3．（多选）（23-24高一上·福建莆田·阶段检测）下列判断正确的有（    ） A． B． C． D． 题型 利用基本不等式比较大小 解题贴士 利用基本不等式时特别注意验证是否能取到“=” ▌例1（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． ▌例2若，，，则，，2ab，中最大的一个是______． ▌对点练2-1已知P＝a2＋(a≠0)，Q＝b2－4b＋7(1＜b≤3)．则P、Q的大小关系为（    ） A．P＞Q B．P＜Q C．P≥Q D．P≤Q ▌对点练2-2若且，则，，，中的最大值的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练2-3已知a>1，b>1，记M＝，N＝，则M与N的大小关系为（    ） A．M>N B．M＝N C．M<N D．不确定 题型利用基本不等式证明不等关系 解题贴士 (1)注意基本不等式成立的条件； (2)多次使用基本不等式，要注意等号能否成立； (3)对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成基本不等式模型，再使用 ▌例1（25-26高一上·宁夏石嘴山·阶段检测）选用恰当的证明方法证明下列不等式． (1)已知，求证：； (2)已知，求证：． ▌例2（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）选用恰当的证明方法，证明下列不等式． (1)已知，且，求证：； (2)已知，求证：． ▌对点练3-1（25-26高一上·河北保定·期中）已知证明： (1) (2) ▌对点练3-2（25-26高一上·山西朔州·阶段检测）已知，求证： (1)若，则； (2)若，且，则． ▌对点练3-3（23-24高一上·四川成都·期中）已知． (1)求证：； (2)若，求证：． 题型利用基本不等式求积的最大值 （重点） 解题贴士 已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值； ▌例1（2026·天津河西·一模）已知，，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． ▌例2求函数的最大值. ▌对点练4-1（2026·甘肃陇南·一模）已知实数，，则的最大值是（   ） A．2 B．6 C．8 D．16 ▌对点练4-2（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． ▌对点练4-3（2025高三上·福建厦门·专题练习）已知，则的最大值为__________. 题型 利用基本不等式求和的最小值（重点） 解题贴士 已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值； ▌例1（25-26高一下·贵州毕节·阶段检测）函数的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． ▌例2（25-26高二上·湖南永州·阶段检测）已知则的最小值为（   ） A． B．0 C．4 D． ▌对点练5-1（2026高一·全国·专题练习）若，则函数的最小值为_____. ▌对点练5-2（2026·上海崇明·二模）若，，且，则的最小值为________． ▌对点练5-3（25-26高一上·河南·期末）已知，则的最大值为______. 题型 利用基本不等式求二次与二次（一次）商式的最值（重点） 解题贴士 1、形如，可以通过换元分离降幂，转化为对勾型 2、形如，可以通过换元分离降幂，转化为对勾型 ▌例1（25-26高一下·山西长治·期末）若，则的最大值是______． ▌例2若存在，使成立，则的取值范围是___________. ▌对点练6-1（24-25高二下·广西南宁·期末）若，则函数的最小值为______． ▌对点练6-2（23-24高一上·全国·单元测试）函数的最小值为_________． 题型 “1”的妙用（重点） 解题贴士 若已知条件中的“１”（常量可化为“１”）与目标函数之间具有某种关系（尤其是整式与分式相乘模型），则实施“１”代换，配凑和或积为常数 ①已知正数满足，求的最小值。 ②已知正数满足求的最小值。 ▌例1（2026·湖南株洲·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 ▌例2（24-25高一上·贵州遵义·期末）已知实数，，满足，则的最小值是（   ） A． B．4 C． D．3 ▌对点练7-1（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知，则的最小值为（    ） A．5 B．8 C．9 D．10 ▌对点练7-2（25-26高一上·甘肃定西·期末）已知，则的最小值为（   ） A．44 B．46 C．48 D．50 ▌对点练7-3（25-26高一下·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）已知均为正数，满足，当取最小值时，的值为______． 题型 消元法（重点） ▌例1（26-27高二上·广东梅州·开学考试），，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高一上·江苏·期末）已知正实数满足，则的最小值为__________. ▌对点练8-1（25-26高二下·福建三明·期中）已知正数a，b，且，满足，则（     ） A．a的取值范围是 B．的最小值为2 C．的最大值为 D．的最小值为 ▌对点练8-2（25-26高一上·新疆巴州·期末）若正数满足，则的最小值是___________. ▌对点练8-3（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知正实数，满足，则的最大值为________． 题型 换元法（含双换元法）（难点） ▌例1（25-26高一上·广西南宁·期末）已知，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高三上·山东·阶段检测）若，，，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． ▌对点练9-1已知，满足，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D． ▌对点练9-2（2026高一·全国·专题练习）已知实数，满足，则的最大值为_____. ▌对点练9-3（25-26高三上·天津·阶段检测）已知，，，则的最小值为________. 题型 基本不等式中的恒成立问题（重点） ▌例1（25-26高一上·安徽合肥·期末）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高一上·广东深圳·期末）若满足且恒成立，则的取值范围是____________. ▌对点练10-1（25-26高一上·浙江杭州·期中）若正实数，满足，不等式恒成立，则的取值范围是__________． ▌对点练10-2（25-26高一上·浙江杭州·期中）若正数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是_________． ▌对点练10-3（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数的范围是____________. 题型 基本不等式在实际问题中的应用（重点） ▌例1（26-27高一上·全国·课堂例题）某水产养殖场拟造一个平面图为矩形且面积为160平方米的水产养殖网箱，为了避免混养，箱中要安装一些筛网，如平面图所示．如果网箱四周网衣(图中实线部分)建造单价为每米112元，筛网(图中虚线部分)的建造单价为每米96元，网箱底面建造单价为每平方米100元，网衣及筛网的厚度忽略不计．把建造网箱的总造价y(元)表示为网箱的长x(如图所示，单位为米)的函数，并求出最低造价． ▌例2（25-26高三上·安徽淮北·期中）某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1.5米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计9600元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为（）米，原有墙体足够长. (1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为（）元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求的取值范围. ▌对点练11-1（25-26高一上·广东广州·期末）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月库存货物费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成正比，比例系数为1.5，每月土地占地费（单位：万元）与x之间的函数关系为，为常数；若在距离车站5km处建造仓库，则两项费用之和为11.5万元. (1)要使两项费用之和最小，应该把仓库建在距离车站多少千米处? (2)要使两项费用之和不超过13.5万元，仓库到车站的距离应该在什么范围内? ▌对点练11-2（25-26高一上·广东·期末）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上追加投入万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加的利润（单位:万元）与之间的函数关系式. (2)若要追加的总成本不超过3万元，求的取值范围. (3)当为多少时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？ ▌对点练11-3（25-26高一上·上海静安·阶段检测）甲乙两地的高速公路全长166千米，汽车从甲地进入该高速公路后匀速行驶到乙地，车速（千米/时）．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分为，固定部分为220元． (1)若每小时的运输成本不高于420元，汽车的速度应该控制在什么范围？ (2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本约为多少元？（结果保留整数） 基础通关 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·福建福州·期末）若，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 3．（2026·甘肃酒泉·二模）已知，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·河南洛阳·模拟预测）设，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D．3 5．（2026·河北张家口·一模）已知实数，，且满足，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 6．（25-26高一上·江苏徐州·期末）若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（2026·辽宁锦州·模拟预测）魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用图1给出了勾股定理的证明．设每个直角三角形的两条直角边长分别为和如图2．由刘徽构造的图形可以得到许多重要结论，则下列推理正确的是（   ） A．由正方形面积大于8个朱色图形面积得 B．由正方形面积大于4个朱色图形面积得 C．由三角形面积大于黄色图形面积得 D．由正方形面积的2倍大于正方形面积得 8．（多选）（25-26高一上·河南信阳·期中）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二下·陕西商洛·阶段检测）函数的最小值为______． 10．（2026·内蒙古赤峰·一模）正数m，n满足，则的最小值为________． 素养提升 1．（湖南湘潭市2027届高三第一次模拟考试数学试题）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C． D． 2．（25-26高二下·安徽蚌埠·期末）已知正数x，y满足．若不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知关于 的不等式的解集为，其中 ，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·天津·期末）已知，，且，则的最小值为__________． 6．（2025高一上·安徽·竞赛）某企业原有200名科技人员，年人均工资a万元（）．现加大对某芯片研发力度，该企业把原有200名科技人员调整成技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且）．调整后，研发人员的年人均工资比调整前增加了，技术人员的年人均工资为万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员年总工资的1.5倍，求调整后的技术人员最少有多少人？ (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件： ①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资； ②技术人员的年人均工资始终不低于调整前200名科技人员的年人均工资． 请问是否存在这样的实数m？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由． 迁移创新 1．（25-26高三下·山东聊城·阶段检测）对任意正实数、，记．当取得最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）记表示实数a，b中的较大的数，已知x，y，z均为正数，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D．6 3．（2026·安徽·模拟预测）若，，则的最大值是____.(其中表示中的较小值) 4．（26-27高一上·辽宁沈阳·开学考试）笛卡尔是法国伟大的数学家之一，他对现代数学的发展作出过重要的贡献，由于他的几何坐标系的公式化而被后人认为是“解析几何之父”．高一某同学在网上查阅资料时，无意间发现“笛卡尔积”是一个很有趣的问题． 设，是任意两个非空集合，则称集合为“与的笛卡尔积”，如果集合中元素的个数记为，则集合的元素个数即为． (1)若，，求与； (2)若，，为质数，且对任意质数恒成立，求实数的取值范围． 5．（24-25高一上·福建宁德·阶段检测）问题：正数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数满足求的最小值； (2)若正实数满足，且，试比较和的大小，并说明理由； (3)利用（2）的结论，求代数式的最大值，并求出使得最大的的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $