3.1 不等式的基本性质（讲义，知识点&5大题型&刷好题）高一数学苏教版必修第一册

本讲义聚焦高中数学不等式基本性质核心知识点，从梳理等式性质切入理解不等式概念，通过作差法构建实数大小比较逻辑，系统呈现对称性、传递性等性质，形成“概念-性质-方法-应用”的完整学习支架。 该资料以数学思维培养为亮点，通过作差法步骤解析强化逻辑推理，结合菜园篱笆、商品销售等实例发展数学眼光，题型分层设计兼顾课中教学与课后巩固，助力学生用数学语言精准表达现实问题，提升应用意识与实践能力。

第三章 不等式 3.1 不等式的基本性质 课标要点 1.梳理等式的性质，理解不等式的概念． 2.掌握不等式的性质，能运用不等式的性质比较两个数的大小． 3.体会“作差法”在比较大小和证明不等式中的作用． 4.感知数学知识与实际生活的密切联系，培养学生解决实际问题的能力； 学习重难点 重点：掌握不等式的性质，运用不等式的性质解决有关应用问题。 难点：作差法比较不等式大小，不等式性质的运用。 知识点 不等式的概念 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式. 自然语言 大于 小于 大于或等于 小于或等于 至多 至少 不少于 不多于 符号语言 特别提醒 1）仔细审题，注意同一个题目的单位是否一致 2）用适当的不等号连接 3）多个不等关系用不等式组表示 知识点 实数a,b大小比较 1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对. 2、作差法比大小：①；②；③ 随学随练 1．（25-26高二下·浙江·期中）已知，则下列不等式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·安徽·开学考试）已知，则下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（2026年高考数学信息必刷卷02（全国一卷））已知，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 知识点等式及不等式的性质（重点） 1．等式的基本性质 性质1.如果,那么; 性质2.如果,那么; 性质3.如果,那么; 性质4.如果,那么; 性质5.如果,那么 2．不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 特别提醒 1）若,则;若,则. 2）不等式只有加法和乘法运算,没有减法和除法运算 随学随练 1．（26-27高一上·上海浦东新·开学考试）如果，，那么下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025高二下·湖北·学业考试）若，则（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高二下·河南南阳·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 拓展 利用不等式求取值范围（重点） 活学活用 1．（25-26高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围为___________． 2．（25-26高一上·广西北海·期末）若实数，满足，，则的取值范围是________． 题型 由已知条件判断所给不等式是否正确 ▌例1 （25-26高一上·广东深圳·期末）若，且，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． ▌例2 （多选）（25-26高一上·湖南张家界·阶段检测）已知，，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．（25-26高一上·四川攀枝花·期末）已知，，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）若，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-3．（26-27高一上·全国·课堂例题）给出下列结论：①若，则；②若，则； ③若，，则；④若，，则.其中正确的结论的序号是________. 题型 由不等式的性质比较数（式）的大小 ▌例1（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，不等式：①；②；③恒成立的个数是（） A． B． C． D． ▌例2（24-25高一上·福建宁德·阶段检测）下列运用等式或不等式的性质变形中，正确的是（    ） A．如果那么 B．如果那么 C．如果那么 D．如果，那么 ▌对点练2-1（26-27高三上·福建龙岩·阶段检测）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练2-2（多选）（2026高二下·浙江温州·学业考试）已知，，则（   ） A． B． C． D． 题型用作差法或作商法比较大小（重点） 解题贴士 （1）作差核心看差值符号；作商核心看商与1的大小。 （2）作差法无正负限制，作商法必须先判断两数符号，负数作商结论反向。 （3）快速选择技巧：加减结构代数式→优先作差法；乘方、指数、乘积正数→优先作商法 ▌例1试比较下列各数的大小，并说明理由： (1)与； (2)与． ▌例2（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）（1）比较与的大小； （2）已知，试比较与的大小 ▌对点练3-1（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，且，则______.（填中最恰当的一个） ▌对点练3-2（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）（1）比较大小：与； （2）设，比较与的大小. ▌对点练3-3（25-26高一上·湖南永州·阶段检测）（1）比较下列各组中两个代数式的大小： （i）； （ii）与． 题型利用不等式求值或取值范围（重点） ▌例1（25-26高一上·陕西·阶段检测）已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． ▌例2（2026高三·全国·专题练习）已知，求的取值范围． ▌对点练4-1（多选）（25-26高一上·湖南湘西·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． ▌对点练4-2已知实数a，b满足，，则a的取值范围为______． ▌对点练4-3已知，则代数式的取值范围为_____________． 题型 用不等式表示不等关系 ▌例1（25-26高二上·吉林白城·阶段检测）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，靠墙的一边长为．试用不等式（组）表示其中的不等关系是______． 例2（24-25高一上·全国·课后作业）某商品包装上标有重量克，若用x（单位：克）表示商品的重量，则该商品的重量可用含绝对值的不等式表示为________________． ▌对点练5-1（24-25高一上·全国·课后作业）某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5 辆，B型汽车至少买6 辆，设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆，写出满足上述所有不等关系的不等式组________________. ▌对点练5-2（23-24高三上·河南洛阳·阶段检测）某杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就相应减少2000本.设提价后该杂志的单价为x元，则用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元为__________. ▌对点练5-3（26-27高一上·全国·课堂例题）某年夏天，我国遭受特大洪灾，灾区学生小李家中经济发生困难，为帮助小李解决开学费用问题，小李所在班级学生（除小李外）决定承担这笔费用．若每人承担12元人民币，则多余84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出40元以上．设该班（除小李外）共有x人，这笔开学费用共y元，则x，y应满足的不等式组为______. 基础通关 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）完成一项装修工程，请木工共需付工资每人元，请瓦工共需付工资每人元，现有工人工资预算元，设木工人，瓦工人，则工人满足的关系式是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河北沧州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025高二下·福建·学业考试）已知，则不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·广东汕头·期末）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2026高三·全国·专题练习）已知：，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（多选）（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）已知均为实数，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若， D．若，则 8．（多选）（25-26高一下·甘肃平凉·开学考试）已知实数，，，，则下列命题中错误的是（     ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 9．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知，，则的取值范围是________． 10．（25-26高一下·黑龙江佳木斯·开学考试）已知实数，满足，，则的范围是____________ 素养提升 1．（26-27高三上·北京房山·开学考试）奶茶店有甲、乙、丙、丁4名店员，星期五卖出的奶茶的杯数分别为，，，（，，，均为正整数且互不相等）．已知甲、乙卖出的杯数和与丙、丁卖出的杯数和相同，乙比甲多卖出2杯，丙比丁少卖出8杯，则，，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·北京·高考真题）为纪念红军长征胜利90周年，某校组织高一和高二两个年级的学生去甲、乙两个红色教育基地进行研学，每位学生选择其中一个基地参加．已知该校高一学生人数多于高二学生人数，若选择甲基地的学生人数多于选择乙基地的学生人数，则（     ） A．选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高一学生人数 B．选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高二学生人数 C．选择甲基地的高二学生人数不多于选择乙基地的高一学生人数 D．选择甲基地的高二学生人数不多于选择乙基地的高二学生人数 3．（2026·湖南长沙·模拟预测）甲和乙有相同的两台燃油车，甲每次加油都是加200元，乙每次都是加满油箱，若第一次加油甲乙两人都是x元/升，第二次加油都是y元/升（），两次加油后，请问谁的加油方式单价低?（     ） A．乙 B．不能确定 C．一样 D．甲 4．（25-26高三上·山东菏泽·期中）两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定_______（填第一种或者第二种）方式比较经济. 5．（25-26高一上·辽宁铁岭·阶段检测）设，，，则的大小顺序是______.（用“”连接） 迁移创新 1．（24-25高一上·北京·期中）小明和小强做一个数学游戏，规则如下：首先由小明和小强各出一个实数和，满足，然后由裁判对和分别进行两种数学运算： （1）乘法运算：； （2）“*”运算：． 若，则判定小强获胜；若，则判定小明获胜． 现有下面三个结论： ①若小明和小强都出正数，则小明不可能获胜； ②若小明和小强都出负数，则小强有可能获胜： ③若小明出负数，则小强总能出一个正数使自己获胜； 其中正确结论的序号为______． 2．为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为的新型生鲜销售市场，市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间．每间蔬菜水果类店面的面积为．月租为x万元；每间肉食水产类店面的建筑面积为，月租为0.8万元全部店面的建造面积不低于总面积的，又不能超过总面积的，市场建成后所有店面全部租出，为保证任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的，则x的最大值为__________． 3．设，，，则P与Q的大小关系是P______Q. 4．（2025高一·上海·专题练习）对于四个正数，如果，那么称是的“下位序列”. (1)对于，试问是否为的“下位序列”，请说明理由； (2)设均为正数，且是的“下位序列”，试判断：之间的大小关系，并说明理由； 5．（24-25高一上·广西来宾·阶段检测）从下列三组式子中选择一组比较大小： (1)设，，，比较，的大小； (2)设，均为正实数，，，比较，的大小； (3)设，，，比较，的大小． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 不等式 3.1 不等式的基本性质 课标要点 1.梳理等式的性质，理解不等式的概念． 2.掌握不等式的性质，能运用不等式的性质比较两个数的大小． 3.体会“作差法”在比较大小和证明不等式中的作用． 4.感知数学知识与实际生活的密切联系，培养学生解决实际问题的能力； 学习重难点 重点：掌握不等式的性质，运用不等式的性质解决有关应用问题。 难点：作差法比较不等式大小，不等式性质的运用。 知识点 不等式的概念 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式. 自然语言 大于 小于 大于或等于 小于或等于 至多 至少 不少于 不多于 符号语言 特别提醒 1）仔细审题，注意同一个题目的单位是否一致 2）用适当的不等号连接 3）多个不等关系用不等式组表示 知识点 实数a,b大小比较 1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对. 2、作差法比大小：①；②；③ 随学随练 1．（25-26高二下·浙江·期中）已知，则下列不等式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A：因为，所以；因为，所以，正数一定大于负数，即，故A错误； 选项B：因为，所以；因为，所以，正数一定大于负数，即，故B错误； 选项C：仅知道，无法确定与的大小关系， 例如：若，则；若，则，故C不一定正确； 选项D：用作差法验证：， 因为，所以，若且（成立，因为），则分母， 因此，差，即，可得，故D一定正确． 2．（25-26高三下·安徽·开学考试）已知，则下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐项分析后可得正确的选项. 【详解】对于A，因为，故，故， 故，故A成立； 对于B，因为，故，又，故，故B成立； 对于C，因为，故，又，故，故C成立； 对于D，因为，故，故，故D不成立. 3．（多选）（2026年高考数学信息必刷卷02（全国一卷））已知，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】利用不等式性质推理判断BC；举例说明判断AD. 【详解】对于A，若，，则，A错误； 对于B，由，得，B正确； 对于C，由，得，则，，C正确； 对于D，当时，满足，此时，D错误. 故选：BC 知识点等式及不等式的性质（重点） 1．等式的基本性质 性质1.如果,那么; 性质2.如果,那么; 性质3.如果,那么; 性质4.如果,那么; 性质5.如果,那么 2．不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 特别提醒 1）若,则;若,则. 2）不等式只有加法和乘法运算,没有减法和除法运算 随学随练 1．（26-27高一上·上海浦东新·开学考试）如果，，那么下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知，， 对于A：，即，故A正确； 对于B：，即，故B错误； 对于C：，已知， 当时，，此时，故C错误； 对于D：，已知， 当时，，此时，故D错误． 2．（2025高二下·湖北·学业考试）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，由于，取特殊值验证，令， 计算可得此时，不满足； 对于B，由，不等式两边同时乘，不等式方向改变， 得与对应相乘，得，则， 对于C.取上述A中特殊值验证选项C，， 此时不满足题意大小关系，排除C； 对于D，由，不等式两边同时加,不等式方向不变，得， 由，不等式两边同时加，不等式方向不变，可得， 联立两个不等式得，因此 3．（多选）（25-26高二下·河南南阳·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，则得，故A正确； 对于B，若取，满足， 此时，不满足，故B错误； 对于C，由题意得，因为， 所以，故C正确； 对于D，由题意得，因为，所以， 则，故D正确. 拓展 利用不等式求取值范围（重点） 活学活用 1．（25-26高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】利用不等式的性质求解即可. 【详解】由于， 则，所以, 即, 则的取值范围为; 故答案为： 2．（25-26高一上·广西北海·期末）若实数，满足，，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先求出的范围，然后结合不等式的性质进行计算. 【详解】由于，则； 由于，则， 两式相加，则. 故答案为： 题型 由已知条件判断所给不等式是否正确 ▌例1 （25-26高一上·广东深圳·期末）若，且，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用特值和不等式的性质可得答案. 【详解】当时，，A不正确； 因为，所以，即，B正确； 当时，满足，但是，C不正确； 当时，满足，但是，D不正确； 故选：B ▌例2 （多选）（25-26高一上·湖南张家界·阶段检测）已知，，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据不等式的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，因为， 所以， 即， 所以，即，故A正确； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，因为，即， 又因为， 所以，故C正确； 对于D，因为，， 所以，故D正确. 故选：ACD. ▌对点练1-1．（25-26高一上·四川攀枝花·期末）已知，，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质判断即可. 【详解】选项A：令，，，，则，，不满足，A错误. 选项B：因为，所以，所以，即，B错误. 选项C：因为，所以，又，所以，即，所以，C正确. 选项D：因为，所以，又，所以，D错误. 故选：C. ▌对点练1-2．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）若，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质判断A、C、D，作差判断B. 【详解】因为，所以，因为，所以，A错误； ，因为，所以，则，，B错误； 因为，所以，C错误； 因为且，所以，则，即，所以，D正确. 故选：D ▌对点练1-3．（26-27高一上·全国·课堂例题）给出下列结论：①若，则；②若，则； ③若，，则；④若，，则.其中正确的结论的序号是________. 【答案】② 【详解】对于①，由，若，则，故①错误； 对于②，由可知，故， 将原不等式两边同乘以，则得，故②正确； 对于③；若取，显然满足，，但，则③错误； 对于④，若取，显然满足，，但，故④错误. 题型 由不等式的性质比较数（式）的大小 ▌例1（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，不等式：①；②；③恒成立的个数是（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】举反例逐一判断三个不等式，已知仅给出条件，没有限定的正负性： ①：取，，满足，但，，此时，故①不恒成立； ②：取，，满足，但，，此时，故②不恒成立； ③：取，，满足，此时，，，即， 故③也不恒成立； 三个不等式都无法在的条件下保证成立，成立的个数为. ▌例2（24-25高一上·福建宁德·阶段检测）下列运用等式或不等式的性质变形中，正确的是（    ） A．如果那么 B．如果那么 C．如果那么 D．如果，那么 【答案】B 【详解】对于A，若，则等式变形不成立；A错误； 对于B，若，则，， 所以，B正确； 对于C，时，满足，但，C错误； 对于D，， 因为，所以，但的符号不确定， 当时，，当时，，当时，，D错误. ▌对点练2-1（26-27高三上·福建龙岩·阶段检测）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用作差法计算判断各个选项. 【详解】对于A，由题意，即，故A错误； 对于B，由题意，即，故B错误； 对于C，由题意，即，故C正确； 对于D，由题意，即，故D错误. ▌对点练2-2（多选）（2026高二下·浙江温州·学业考试）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】已知，，则， ，故，A正确； ，则， ， ， ，故B正确； 取，满足，， 此时，即， 故不恒成立，故C错误； ，则， ， 则，故，故D正确． 题型用作差法或作商法比较大小（重点） 解题贴士 （1）作差核心看差值符号；作商核心看商与1的大小。 （2）作差法无正负限制，作商法必须先判断两数符号，负数作商结论反向。 （3）快速选择技巧：加减结构代数式→优先作差法；乘方、指数、乘积正数→优先作商法 ▌例1试比较下列各数的大小，并说明理由： (1)与； (2)与． 【答案】(1)，理由如下： ， 由于，且 所以，即， 因此. (2)，理由如下： 因为，所以即得， 即，又， 故. 【分析】（1）两数大小即为的大小，平方后可得它们的大小关系； （2）利用作商法结合分母有理化可得它们大小关系； 【详解】（1）,理由略； （2）,理由略. 【点睛】比较含无理数的式子之间的大小关系适合用作差法或作商法. ▌例2（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）（1）比较与的大小； （2）已知，试比较与的大小 【答案】（1）（2） 【分析】（1）（2）利用作差法比较大小即可. 【详解】（1）因为， 所以 （2） ， ∵，∴，又，∴， 所以. ▌对点练3-1（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，且，则______.（填中最恰当的一个） 【答案】 【分析】利用作差法，比较大小， 即可得答案. 【详解】由，则， ， 故， 故答案为： ▌对点练3-2（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）（1）比较大小：与； （2）设，比较与的大小. 【答案】（1）. （2）. 【分析】（1）利用作差法比较大小. （2）利用作商法比较大小. 【详解】（1） ， 因为，所以， 即. （2）由，得，，， 因此， 所以. ▌对点练3-3（25-26高一上·湖南永州·阶段检测）（1）比较下列各组中两个代数式的大小： （i）； （ii）与． 【答案】（1）（i），（ii）； （2） 【分析】（1）根据题意，利用作差法，即可求解， 【详解】解：（1）（i）由， 所以； （ii）由， 所以． 题型利用不等式求值或取值范围（重点） ▌例1（25-26高一上·陕西·阶段检测）已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质求解计算即可. 【详解】，， ，， . 故选：C. ▌例2（2026高三·全国·专题练习）已知，求的取值范围． 【答案】 【分析】令，，用含和的表达式表示出和，并将其代入中，即可得解． 【详解】令，，则. 解方程组可得 所以. 因为，所以，所以. 所以的取值范围为． 故答案为： ▌对点练4-1（多选）（25-26高一上·湖南湘西·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据不等式性质计算判断A，B，特殊值法判断C，D. 【详解】因为，，则， 则，，A选项正确，B选项正确； 当时，，C选项错误； 当时，，D选项错误； 故选：AB. ▌对点练4-2已知实数a，b满足，，则a的取值范围为______． 【答案】 【分析】利用不等式的性质即可得范围. 【详解】由条件可知，， 两式相加得，即． 故答案为：. ▌对点练4-3已知，则代数式的取值范围为_____________． 【答案】 【分析】依据不等式的性质得到答案. 【详解】因为，所以. 因为，所以， 当，所以，即； 当时，； 当时，，综上，， 故答案为： . 题型 用不等式表示不等关系 ▌例1（25-26高二上·吉林白城·阶段检测）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，靠墙的一边长为．试用不等式（组）表示其中的不等关系是______． 【答案】 【分析】根据已知及矩形面积公式列不等式组即可. 【详解】因为矩形菜园靠墙的一边长为，而墙长为18 m，所以， 这时菜园的另一条边长为，因此菜园的面积， 依题意有，即，故不等关系表示为. 故答案为： 例2（24-25高一上·全国·课后作业）某商品包装上标有重量克，若用x（单位：克）表示商品的重量，则该商品的重量可用含绝对值的不等式表示为________________． 【答案】 【分析】根据绝对值含义即可得到不等式. 【详解】根据题意知该重量与500克作差的绝对值小于等于1. 故答案为：. ▌对点练5-1（24-25高一上·全国·课后作业）某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5 辆，B型汽车至少买6 辆，设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆，写出满足上述所有不等关系的不等式组________________. 【答案】 【分析】根据题意列式即可. 【详解】由题意得，即. 故答案为：. ▌对点练5-2（23-24高三上·河南洛阳·阶段检测）某杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就相应减少2000本.设提价后该杂志的单价为x元，则用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元为__________. 【答案】 【分析】根据已知条件列出不等式. 【详解】若提价后该杂志的单价为x元，则销售量为万本， 则提价后销售的总收入为万元， 所以不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以用不等式表示为： . 故答案为： ▌对点练5-3（26-27高一上·全国·课堂例题）某年夏天，我国遭受特大洪灾，灾区学生小李家中经济发生困难，为帮助小李解决开学费用问题，小李所在班级学生（除小李外）决定承担这笔费用．若每人承担12元人民币，则多余84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出40元以上．设该班（除小李外）共有x人，这笔开学费用共y元，则x，y应满足的不等式组为______. 【答案】 【详解】由该班共有人，这笔开学费用共元，根据题意得. 基础通关 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）完成一项装修工程，请木工共需付工资每人元，请瓦工共需付工资每人元，现有工人工资预算元，设木工人，瓦工人，则工人满足的关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得：请木工需付工资每人元，请瓦工需付工资每人元， 设木工人，瓦工人，可得总的工资为， 又因为现有工人工资预算元，故，化简可得. 2．（25-26高二下·河北沧州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质结合特殊值即可判断. 【详解】对于A：当时，，故A错误； 对于B：因为，所以，因为，所以，故B错误； 对于C：因为，所以，故C错误； 对于D：因为，所以，因为，所以，则，故D正确． 3．（2025高二下·福建·学业考试）已知，则不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质，结合特殊值法，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】选项A：由，得，故A正确； 选项B：由，得，故B错误； 选项C：若，满足，但，故C错误； 选项D：若，满足，但，故D错误. 4．（25-26高三上·广东汕头·期末）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据b的范围，可得的范围，根据a的范围，可得的范围，将所求变形，即可得答案. 【详解】因为，所以， 又，所以，则. 故选：C 5．（2026高三·全国·专题练习）已知：，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将各数变形为，，，再结合即可得解. 【详解】，， ， 又，， . 故选：D． 6．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由不等式的性质即可解出答案. 【详解】根据题意可得，所以. 故选：A. 7．（多选）（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）已知均为实数，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若， D．若，则 【答案】AD 【分析】利用不等式的性质，逐项验证即可求解. 【详解】由，所以，所以，故A正确； 令，所以，得，故B错误； 当时，，故C错误； 由，又，，所以，即，故D正确. 8．（多选）（25-26高一下·甘肃平凉·开学考试）已知实数，，，，则下列命题中错误的是（     ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】ABD 【分析】本题关键在于： 1.不等式的性质是有条件的，乘以或除以负数时，不等号方向要改变； 2.判断不等式命题真假时，举反例是一种非常有效的方法，尤其是在处理 “一定成立” 或 “一定不成立” 的命题时. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，不妨取，，，，满足，，但，故B错误； 对于C，若，则，所以，则，故C正确； 对于D，取，，，，此时，故D错误． 故选：． 9．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知，，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】利用不等式的性质即可求解. 【详解】，，， 的取值范围是. 故答案为： 10．（25-26高一下·黑龙江佳木斯·开学考试）已知实数，满足，，则的范围是____________ 【答案】 【分析】由待定系数可得，利用不等式的可加性结合题设条件即可求的范围. 【详解】由题意，实数a，b满足，， 令，即 可得，解得， 所以， 则 ，， 所以. 故答案为：. 素养提升 1．（26-27高三上·北京房山·开学考试）奶茶店有甲、乙、丙、丁4名店员，星期五卖出的奶茶的杯数分别为，，，（，，，均为正整数且互不相等）．已知甲、乙卖出的杯数和与丙、丁卖出的杯数和相同，乙比甲多卖出2杯，丙比丁少卖出8杯，则，，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为甲、乙卖出的杯数和与丙、丁卖出的杯数和相同，所以， 又乙比甲多卖出2杯，丙比丁少卖出8杯，即，，故，， 将，代入得，即，故， 又， 即，故，即， 因为，，所以，又，，故. 2．（2026·北京·高考真题）为纪念红军长征胜利90周年，某校组织高一和高二两个年级的学生去甲、乙两个红色教育基地进行研学，每位学生选择其中一个基地参加．已知该校高一学生人数多于高二学生人数，若选择甲基地的学生人数多于选择乙基地的学生人数，则（     ） A．选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高一学生人数 B．选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高二学生人数 C．选择甲基地的高二学生人数不多于选择乙基地的高一学生人数 D．选择甲基地的高二学生人数不多于选择乙基地的高二学生人数 【答案】B 【分析】设出高一、高二选择甲、乙基地的人数，根据题目条件建立不等关系，即可得出结论. 【详解】由题意，设高一学生选择甲基地的人数为，选择乙基地的人数为， 高二学生选择甲基地的人数为，选择乙基地的人数为， ∴高一总人数：，高二总人数：，选择甲基地的学生人数：，选择乙基地的学生人数：， ∵高一学生人数多于高二学生人数，选择甲基地的学生人数多于选择乙基地的学生人数， ∴，由不等式的性质，两侧分别相加并化简得， ∴选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高二学生人数，故B正确，A，C，D均无法判断. 3．（2026·湖南长沙·模拟预测）甲和乙有相同的两台燃油车，甲每次加油都是加200元，乙每次都是加满油箱，若第一次加油甲乙两人都是x元/升，第二次加油都是y元/升（），两次加油后，请问谁的加油方式单价低?（     ） A．乙 B．不能确定 C．一样 D．甲 【答案】D 【分析】分别计算甲、乙的平均加油单价，再比较即可. 【详解】甲两次总花费元，甲两次总加油量升， 因此甲的平均单价. 设油箱容积为升，即乙每次加油量为升，则乙两次总花费元，乙两次总加油量升， 因此乙的平均单价. . 因为，所以，因此，即. 4．（25-26高三上·山东菏泽·期中）两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定_______（填第一种或者第二种）方式比较经济. 【答案】第二种 【分析】设第一次和第二次购物时价格分别为，，若每次购，根据条件，可求出按第一种策略购买的平均价格，若按第二种策略，设每次花元钱，则可求得按第二种策略购买的平均价格，利用作差法，即可比较二者的大小，进而可求得答案. 【详解】按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为，购， 第二次购物时的价格为元，仍购， 两次购物的平均价格为； 若按第二种策略购物，第一次花元钱，能购物品， 第二次仍花元钱，能购物品， 两次购物的平均价格为， 比较两次购的平均价格：， 第一种策略的平均价格不小于第二种策略的平均价格， 因而用第二种策略比较经济. 故答案为：第二种. 5．（25-26高一上·辽宁铁岭·阶段检测）设，，，则的大小顺序是______.（用“”连接） 【答案】 【分析】计算可得、，则，即可得解. 【详解】， ， 故. 故答案为：. 迁移创新 1．（24-25高一上·北京·期中）小明和小强做一个数学游戏，规则如下：首先由小明和小强各出一个实数和，满足，然后由裁判对和分别进行两种数学运算： （1）乘法运算：； （2）“*”运算：． 若，则判定小强获胜；若，则判定小明获胜． 现有下面三个结论： ①若小明和小强都出正数，则小明不可能获胜； ②若小明和小强都出负数，则小强有可能获胜： ③若小明出负数，则小强总能出一个正数使自己获胜； 其中正确结论的序号为______． 【答案】②③ 【分析】举反例即可求解①②，根据一元二次的根，即可判断③. 【详解】对于①,若，则，此时，故小明获胜，故①错误, 对于②，若取，则，此时，故小强获胜，故②正确, 对于③，由以及可得，故，故，故，则，由于，取，因此对任意的，总能找到，使得，故③正确, 故答案为：②③ 2．为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为的新型生鲜销售市场，市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间．每间蔬菜水果类店面的面积为．月租为x万元；每间肉食水产类店面的建筑面积为，月租为0.8万元全部店面的建造面积不低于总面积的，又不能超过总面积的，市场建成后所有店面全部租出，为保证任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的，则x的最大值为__________． 【答案】1 【分析】设蔬菜水果类店面a间，则肉食水产类店面为间，根据题意建立不等式，求出a的范围，再建立费用的不等式，解不等式，即可求出x的最大值. 【详解】设蔬菜水果类店面a间，则肉食水产类店面为间，由全部店面的建造面积不低于总面积的，又不高于总面积的，得 ，解得． 又，所以a有16个取值，即共有16种建造方案，根据“任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的，，即 ． 所以，x的最大值为1． 故答案为：1 3．设，，，则P与Q的大小关系是P______Q. 【答案】 【分析】用作差的方法比较大小，对根式进行分子有理化，利用不等式的性质即可得出结果. 【详解】 ， 故答案为： 【点睛】本题考查了用作差的方法比较大小和不等式的基本性质的应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目. 4．（2025高一·上海·专题练习）对于四个正数，如果，那么称是的“下位序列”. (1)对于，试问是否为的“下位序列”，请说明理由； (2)设均为正数，且是的“下位序列”，试判断：之间的大小关系，并说明理由； 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据新定义，代入计算判断即可； （2）根据新定义得到，再利用不等式的性质，结合作差法判断即可. 【详解】（1）由于，即，不满足“下位序列”的概念，所以不是“下位序列”. （2）均为正数，由是的“下位序列”，得，即， 则，即， ，即， 所以. 5．（24-25高一上·广西来宾·阶段检测）从下列三组式子中选择一组比较大小： (1)设，，，比较，的大小； (2)设，均为正实数，，，比较，的大小； (3)设，，，比较，的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）化简可得，，再通过比较分母的大小即可得解； （2）借助作差法作差后因式分解即可得； （3）借助作差法比较即可得. 【详解】（1）， ， 由，， 故，即有； （2） ， 由，均为正实数，故，即； （3） ， 由，故，，，， 即，故. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $