专题4.2 对数重难点题型专训（1个知识点+5大题型+1大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（苏教版2019必修第一册）

专题4.2 对数重难点题型专训 （1个知识点+5大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 对数的概念判断与求值 题型二 指数式与对数式的互化 题型三 对数的运算 题型四 对数的运算性质的应用 题型五 运用换底公式化简计算 拓展训练一 对数的概念及运算 知识点一：对数 对数的概念 1.一般地,如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,那么数b称为以a为底N的对数,记作logaN=b,其中a叫作对数的底数,N叫作真数.  名师点睛 “log”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算. 对数的基本性质 1.负数和零没有对数. 2.对于任意的a>0,且a≠1,都有loga1=0,logaa=1,loga =-1. 3.对数恒等式 =N. 名师点睛 1.loga1=0,logaa=1(a>0,且a≠1)可简述为“1的对数等于0,底的对数等于1”. 2.对数恒等式的特点:(1)指数中含有对数形式;(2)同底,即幂底数和对数的底数相同;(3)其值为对数的真数. 对数的运算性质 1.如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R). 拓展：logamMn＝logaM(n∈R，m≠0). 换底公式 对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1). 特别地：(1)logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1). (2)logab·logbc·logca＝1(a＞0，b＞0，c＞0，且a，b，c≠1)． 【即时训练】 1．（24-25高三上·江苏南通·阶段测试）声强级（单位：dB）由公式：给出，其中I为声强（单位：）.若某音源的声强由变为，其声强级由10.1提高到30.1，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课前预习）设，若，则的值为 ． 【经典例题一 对数的概念判断与求值】 【例1】（2024高一·上海·专题练习）在对数式中，实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·全国·课前预习）求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 1．（23-24高一上·重庆·期中）已知，则的充分不必要条件是 A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高一下·山西大同·阶段练习）下列说法等式正确的有（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 3．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若，则 . 4．（23-24高一·全国·课后作业）比较下列各组数值的大小： （1）和；（2）． 【经典例题二 指数式与对数式的互化】 【例1】（24-25高三上·福建宁德·期中）某一物质在特殊环境下的温度变化满足：（为时间，单位为为特殊环境温度，为该物质在特殊环境下的初始温度，为该物质在特殊环境下冷却后的温度），假设一开始该物质初始温度为100℃，特殊环境温度是20℃，则经过15min，该物质的温度最接近（参考数据：）（   ） A．54℃ B．52℃ C．50℃ D．48℃ 【例2】（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 1．（23-24高三上·天津河西·期末）已知，若，，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（多选题）（23-24高一·全国·课后作业）下列指数式与对数式互化正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知且，若，则 ． 4．（23-24高一·全国·课后作业）（1） （2） 【经典例题三 对数的运算】 【例1】（24-25高一上·重庆长寿·期末）若与互为相反数，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）化简： (1)； (2)； (3)； 1．（24-25高一上·江苏常州·期末）形如的数称为费马数，记为，是一个位数，则的值为（参考数据：）（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 2．（多选题）（24-25高一上·云南昆明·期中），，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）对于方程组，其中，则方程组的解为 . 4．（23-24高一上·浙江金华·期末）计算下列各式的值： (1)； (2)． 【经典例题四 对数的运算性质的应用】 【例1】（24-25高三上·浙江·阶段练习）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量（单位：尔格）与地震里氏震级之间的关系为：，若第一次地震释放出的能量是第二次的1000倍，则第一次地震的里氏震级比第二次高（   ） A．4级 B．3级 C．2级 D．1级 【例2】（24-25高一下·山西大同·阶段练习）化简下列各式： (1)； (2). 1．（24-25高一上·安徽合肥·期末）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据间的关系为已知五分记录法的评判范围为，设，五分记录法中，最大值对应的小数记录法数据为，最小值对应的小数记录法数据为，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高一上·河南郑州·期末）下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．若且，则 3．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知表中的对数值有且只有两个是错误的： x 1.5 3 5 6 7 8 9 14 27 请你指出这两个错误是 ， ．（答案写成如的形式） 4．（24-25高一上·福建泉州·期末）（1）计算：； （2）计算：； （3）已知，求的值. 【经典例题五 运用换底公式化简计算】 【例1】（2025高二下·湖南郴州·学业考试）（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 1．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知，则等于（    ） A．4 B．6 C．9 D．25 2．（多选题）（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）设，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江苏常州·期中） . 4．（24-25高一上·全国·单元测试）求解下列问题： (1)在①，②中任选一个求值； (2)已知，，试用a，b表示． 【拓展训练一 对数的概念及运算】 【例1】（24-25高一上·全国·课后作业）设，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）（1）化简. （2）已知，，求的值. 1．（24-25高一下·四川南充·阶段练习）春天正值蝌蚪成长期，研究蝌蚪的科学家发现当蝌蚪成年变成青蛙后的游速（单位：）可以表示为，其中表示青蛙的耗氧量的单位数．当一只青蛙以的速度游动时，它的耗氧量比静止时多出的单位数为（    ） A．2600 B．2700 C．2800 D．2900 2．（多选题）（23-24高一上·陕西西安·期中）下列等式不成立的有（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）计算 . 4．（23-24高一上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）. 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一·全国·课后作业）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（2025·江西·模拟预测）若，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 4．（24-25高三上·海南·阶段练习）（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 6．（多选题）（23-24高一上·江苏连云港·期中）在下列选项中，不正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 7．（多选题）（23-24高一上·全国·课后作业）有以下四个结论：①；②；③若，则；④．其中正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 8．（多选题）（24-25高一上·江苏徐州·期末）下列命题正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 9．（多选题）（24-25高一上·全国·课后作业）若实数a，b满足，则下列关系正确的有（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（23-24高一上·广东梅州·期末）设，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·辽宁丹东·阶段练习）若且，则 ，；则 ． 12．（23-24高一·全国·课后作业）已知x，y为正数，若，则 . 13．（24-25高一上·天津·阶段练习），则用和表示的结果为 14．（2024·江苏淮安·模拟预测）已知，则的值为 . 15．（24-25高一上·上海·期中）若 (且)，则等于 16．（23-24高一下·四川成都·阶段测试）计算 （1）. （2）. 17．（23-24高一·全国·课后作业）(1)设,,求; (2)若,求; (3)若,,求. 18．（2025高二·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)已知，试用表示． 19．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）； （2）； （3）已知，求的值． 20．（24-25高一上·河北保定·阶段练习）求值： (1)已知，求的值. (2). 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2 对数重难点题型专训 （1个知识点+5大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 对数的概念判断与求值 题型二 指数式与对数式的互化 题型三 对数的运算 题型四 对数的运算性质的应用 题型五 运用换底公式化简计算 拓展训练一 对数的概念及运算 知识点一：对数 对数的概念 1.一般地,如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,那么数b称为以a为底N的对数,记作logaN=b,其中a叫作对数的底数,N叫作真数.  名师点睛 “log”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算. 对数的基本性质 1.负数和零没有对数. 2.对于任意的a>0,且a≠1,都有loga1=0,logaa=1,loga =-1. 3.对数恒等式 =N. 名师点睛 1.loga1=0,logaa=1(a>0,且a≠1)可简述为“1的对数等于0,底的对数等于1”. 2.对数恒等式的特点:(1)指数中含有对数形式;(2)同底,即幂底数和对数的底数相同;(3)其值为对数的真数. 对数的运算性质 1.如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R). 拓展：logamMn＝logaM(n∈R，m≠0). 换底公式 对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1). 特别地：(1)logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1). (2)logab·logbc·logca＝1(a＞0，b＞0，c＞0，且a，b，c≠1)． 【即时训练】 1．（24-25高三上·江苏南通·阶段测试）声强级（单位：dB）由公式：给出，其中I为声强（单位：）.若某音源的声强由变为，其声强级由10.1提高到30.1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知结合声强级10.1提高到30.1，可得，利用对数运算即可求得答案. 【详解】声强级由10.1提高到30.1，可知，， 故， 即，故，则，即， 故选：C 2．（24-25高一上·全国·课前预习）设，若，则的值为 ． 【答案】5 【分析】根据对数的运算性质可求，，从而可求的值. 【详解】， 而，故，即，解得. 故答案为：5. 【经典例题一 对数的概念判断与求值】 【例1】（2024高一·上海·专题练习）在对数式中，实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的概念，底数大于且不等于，真数大于0，列不等式组即可求解． 【详解】要使对数式有意义，需满足， 解得或， 所以实数的取值范围是． 故选：D. 【例2】（24-25高一上·全国·课前预习）求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)27 (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）将对数化为指数，结合指数运算求解； （3）（4）根据对数的定义逐步去对数，进而可得结果. 【详解】（1）因为，所以. （2）因为，可得， 又因为且，得． （3）因为，得， 则，所以． （4）因为，可得， 则，所以． 1．（23-24高一上·重庆·期中）已知，则的充分不必要条件是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合对数式比大小及充分条件，对四个选项一一判断，即可得结论. 【详解】对于A、C选项，因为m、n与1的大小不定，所以不能判断a、b的正负，排除A、C选项； 又B中，当时，,,所以成立，反之，当时，不一定有，还可以m、n都大于1，所以是的充分不必要条件， 所以B可以，则D不成立，故选B. 【点睛】本题考查了对数式比大小及充分条件的判断，考查了对数函数的值域问题，属于中档题. 2．（多选题）（24-25高一下·山西大同·阶段练习）下列说法等式正确的有（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】根据对数的定义和运算逐项分析求解. 【详解】对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：若，则，故C错误； 对于选项D：若，则，故D错误. 故选：AB. 3．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若，则 . 【答案】 【分析】由对数的概念运算求解即可. 【详解】由对数运算的定义，有 ∵， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 4．（23-24高一·全国·课后作业）比较下列各组数值的大小： （1）和；（2）． 【答案】（1）  （2） 【分析】⑴根据，，可得答案 ⑵化简得，然后进行比较 【详解】（1） ， （2） 【经典例题二 指数式与对数式的互化】 【例1】（24-25高三上·福建宁德·期中）某一物质在特殊环境下的温度变化满足：（为时间，单位为为特殊环境温度，为该物质在特殊环境下的初始温度，为该物质在特殊环境下冷却后的温度），假设一开始该物质初始温度为100℃，特殊环境温度是20℃，则经过15min，该物质的温度最接近（参考数据：）（   ） A．54℃ B．52℃ C．50℃ D．48℃ 【答案】C 【分析】由题意得到，进而求解即可. 【详解】由初始温度为100℃，特殊环境温度是20℃，时间15min代入题中式子得： ，即，即. 故选：C. 【例2】（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)1000. 【分析】根据指数式和对数式的互化解答（1）（2）；根据对数的性质解答（3）（4）. 【详解】（1）∵，∴，即，∴，解得． （2）∵，∴，∴． （3）∵，∴，∴． （4）∵，∴，∴． 1．（23-24高三上·天津河西·期末）已知，若，，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】设并由条件求出的范围，代入化简后求出的值，得到与的关系式代入化简后列出方程，求出的值，进而求解. 【详解】设，由可得：，代入，可得：，即，解得：或（舍去）. 所以，即，又因为，所以，则， 解得：，，所以， 故选：. 2．（多选题）（23-24高一·全国·课后作业）下列指数式与对数式互化正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】ACD 【分析】根据指数式、对数式的概念进行相互转化. 【详解】对于选项A，指数式化为对数式为，故A正确； 对于选项B，指数式化为对数式为，故B错误； 对于选项C，指数式化为对数式为，故C正确； 对于选项D，指数式化为对数式为，故D正确. 故选：ACD. 3．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知且，若，则 ． 【答案】/ 【分析】根据对数式和指数式的互化，结合指数幂的运算，即可求得答案. 【详解】由已知且，， 得，则， 故， 故答案为： 4．（23-24高一·全国·课后作业）（1） （2） 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用换元法，设，，转化为一元二次方程解出，即解出；（2）等式两边同时除以，然后利用换元法，令，，转化为一元二次方程解出，即解出. 【详解】（1）设，， 原方程等价于，即，解得或（舍去） 故，解得. 即方程的解为. （2）∵，∴， 令，，则方程等价于，解得或（舍去） 即，解得， 即方程的解为. 【点睛】本题主要考查了利用换元法解指数形式的方程，将方程转化为一元二次方程是解题的关键，属于中档题. 【经典例题三 对数的运算】 【例1】（24-25高一上·重庆长寿·期末）若与互为相反数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到，再利用对数运算法则求解. 【详解】解：因为与互为相反数， 所以，即，， 所以， 故选：C 【例2】（2025高三·全国·专题练习）化简： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)125 (2) (3) 【分析】（1）（2）利用对数的运算性质可解即可. （3）利用指数幂的运算法则和对数的运算性质求解即可. 【详解】（1）； （2）原式； （3） . 1．（24-25高一上·江苏常州·期末）形如的数称为费马数，记为，是一个位数，则的值为（参考数据：）（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】B 【分析】,设,两边取常用对数估算的位数即可. 【详解】，设，则两边取常用对数得 . ， 故的位数是20， 故选：B． 2．（多选题）（24-25高一上·云南昆明·期中），，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据对数运算计算得，根据指数运算化简得，，逐项判断即可解答. 【详解】，故，， 所以，，，，故AC错误，BD正确. 故选：BD 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）对于方程组，其中，则方程组的解为 . 【答案】或 【分析】设，，则原不等式等价于，消去可得关于的方程，解方程即可. 【详解】由题意，设，则， 因为，所以， 所以方程组等价于 即，所以，所以， 解得或 当时，，此时； 当时，，此时. 故答案为：或 4．（23-24高一上·浙江金华·期末）计算下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2)4 【分析】（1）根据对数的运算法则可得答案； （2）由指数幂的运算法则及平方和，立方差等公式计算可得答案. 【详解】（1）结合题意可得： ; （2）结合题意可得： . 【经典例题四 对数的运算性质的应用】 【例1】（24-25高三上·浙江·阶段练习）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量（单位：尔格）与地震里氏震级之间的关系为：，若第一次地震释放出的能量是第二次的1000倍，则第一次地震的里氏震级比第二次高（   ） A．4级 B．3级 C．2级 D．1级 【答案】C 【分析】根据定义即可求解. 【详解】设第一次和第二次地震的能量分别为，里氏震级分别为， 由题意得与， ，所以. 故选：C. 【例2】（24-25高一下·山西大同·阶段练习）化简下列各式： (1)； (2). 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）根据对数的运算分析求解； （2）根据指数幂运算分析求解. 【详解】（1）原式. （2）根据分数指数幂的定义，得 ，，， 原式. 1．（24-25高一上·安徽合肥·期末）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据间的关系为已知五分记录法的评判范围为，设，五分记录法中，最大值对应的小数记录法数据为，最小值对应的小数记录法数据为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知结合对数运算性质即可求解． 【详解】由题意，五分记录法的评判范围为， 令，则，得， 令，则，得， 五分记录法中最大值对应的小数记录法数据为最小值对应的小数记录法数据的倍数为: ， 设，则， 则． 故选：D． 2．（多选题）（24-25高一上·河南郑州·期末）下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．若且，则 【答案】ABD 【分析】根据指数幂的运算可判断AB的正误，根据对数的运算性质可判断C的正误，根据指对数的转化可判断D的正误. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，，故，故D正确； 故选：ABD. 3．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知表中的对数值有且只有两个是错误的： x 1.5 3 5 6 7 8 9 14 27 请你指出这两个错误是 ， ．（答案写成如的形式） 【答案】 【分析】根据，讨论与的对错情况，分析是否满足表中的对数值有且只有两个是错误的条件，从而可得结论. 【详解】，， 若错，则都错，与表中的数值有且只有两个错误矛盾， 所以一定正确，则都正确； ，又， 若错，则都错，与表中的数值有且只有两个错误矛盾， 所以一定正确，可得，则都对， ，故是错的， ，故是错的， 表中的值有且只有两个是错误的，则一定正确， 则. 故答案为：；. 4．（24-25高一上·福建泉州·期末）（1）计算：； （2）计算：； （3）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3）8 【分析】（1）利用对数的运算性质求解即可. （2）（3）利用指数和对数的运算性质求解即可. 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）由，可得 所以 【经典例题五 运用换底公式化简计算】 【例1】（2025高二下·湖南郴州·学业考试）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换底公式可得出所求代数式的值. 【详解】. 故选：C. 【例2】（24-25高一上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)11 【分析】（1）利用对数的运算法制与换底公式即可得答案. （2）利用对数的运算法制与换底公式即可得答案. 【详解】（1）原式 ． （2）原式 . 1．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知，则等于（    ） A．4 B．6 C．9 D．25 【答案】D 【分析】根据题意，由条件，以及指数与对数的转换关系，可求出，，由换底公式可得，从而计算的值. 【详解】因为，所以，， 所以， 所以 . 故选：D. 2．（多选题）（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】直接利用对数的运算性质化简即可得答案． 【详解】解：∵a＝log0.20.3，b＝log20.3<0， ∴, ， ， ∵，， ∴ab＜a+b＜0． 故选BCD 【点睛】本题考查了对数值大小的比较，考查了对数的运算性质，考查了计算能力，是中档题． 3．（23-24高一上·江苏常州·期中） . 【答案】 【分析】根据对数的运算性质和换底公式求解即可 【详解】 . 故答案为：3 4．（24-25高一上·全国·单元测试）求解下列问题： (1)在①，②中任选一个求值； (2)已知，，试用a，b表示． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据对数的运算性质求解即可； （2）结合换底公式及对数的运算性质求解即可. 【详解】（1）选①，原式 ． 选②，原式 ． （2）因为， 所以． 【拓展训练一 对数的概念及运算】 【例1】（24-25高一上·全国·课后作业）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的值，再进行比较即可. 【详解】， 所以. 故选：C. 【例2】（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）（1）化简. （2）已知，，求的值. 【答案】（1）0；（2）. 【分析】（1）应用指对数的运算性质化简求值即可； （2）由指数幂的运算性质分别求出、，即可得. 【详解】（1）； （2）由，则，故， 又，故. 1．（24-25高一下·四川南充·阶段练习）春天正值蝌蚪成长期，研究蝌蚪的科学家发现当蝌蚪成年变成青蛙后的游速（单位：）可以表示为，其中表示青蛙的耗氧量的单位数．当一只青蛙以的速度游动时，它的耗氧量比静止时多出的单位数为（    ） A．2600 B．2700 C．2800 D．2900 【答案】A 【分析】分别将和代入，利用对数的运算法则，求出对应的值，作差即可得到答案. 【详解】静止时，即时，， 时，， 所以， 故选：A. 2．（多选题）（23-24高一上·陕西西安·期中）下列等式不成立的有（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据对数的运算性质逐项检验即可. 【详解】对于A，因为1的对数为0，故选项A正确； 对于B，底数的对数为1，所以，故选项B正确； 对于C，因为，故选项C错误； 对于D，因为，故选项D错误， 综上：等式不成立的是， 故选：. 3．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）计算 . 【答案】4 【分析】由对数的运算化简可得结果. 【详解】 . 故答案为：4. 4．（23-24高一上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）对代数式提公因式、合并同类项，并利用对数的运算性质可得出结果； （2）利用对数的运算性质计算出分子和分母，由此可计算出分式的值； （3）利用对数的运算性质以及完全平方公式可得出代数式的值. 【详解】（1）； （2）； （3）. 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数真数和底数的性质进行求解即可. 【详解】因为对数式的底数为大于零不等于1的实数，真数为正实数， 所以有， 故选：C 2．（23-24高一·全国·课后作业）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解析】根据指数式与对数式互化公式直接得到答案. 【详解】由可得 ,C不正确 故选：C 【点睛】本题考查指数式与对数式互化公式：且.属于基础题. 3．（2025·江西·模拟预测）若，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】利用换底公式得，令，即得解出即可. 【详解】由有，令， 则， 所以， 故选：C. 4．（24-25高三上·海南·阶段练习）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数运算法则和换底公式直接求解即可. 【详解】. 故选：C. 5．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数的换底公式及对数的运算性质即可求出结果. 【详解】， ，. 故选：D. 6．（多选题）（23-24高一上·江苏连云港·期中）在下列选项中，不正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据指数幂的运算性质，及指数式与对数式的互化进行计算即可. 【详解】，故A正确； ，故B错误； 若，则，故C错误； 若，则，故D错误. 故选：BCD. 7．（多选题）（23-24高一上·全国·课后作业）有以下四个结论：①；②；③若，则；④．其中正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】AB 【分析】利用对数的恒等式与对数式与指数式的互化可判断出各等式的正误. 【详解】因为 ，，，所以①②均正确；③中若，则 ，故③错误；④中，而没有意义，故④错误. 故选AB. 【点睛】本题考查对数式正误的判断，解题时要熟悉对数恒等式的应用，同时也要掌握对数式与指数式的互化，考查计算能力，属于基础题. 8．（多选题）（24-25高一上·江苏徐州·期末）下列命题正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】AD 【分析】AB由指数运算性质可判断选项正误； CD由对数运算性质可判断选项正误. 【详解】对于A，由指数运算性质可得：，故A正确； 对于B，由指数运算性质可得：，故B错误； 对于C，由题，故C错误； 对于D，，则.故D正确. 故选：AD 9．（多选题）（24-25高一上·全国·课后作业）若实数a，b满足，则下列关系正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】将指数化为对数可得，，利用换底公式结合对数运算性质逐项分析判断. 【详解】因为，则，， 可得. 对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项CD：，故C，D不正确． 故选：AB. 10．（多选题）（23-24高一上·广东梅州·期末）设，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据对数的运算性质及换底公式逐一判断各选项即可． 【详解】已知，， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误， 故选：AC． 11．（23-24高一上·辽宁丹东·阶段练习）若且，则 ，；则 ． 【答案】 100 【分析】化指数式为对数式，代入2求得m值; 由5lgx＝25得lgx＝2，从而求得x值； 【详解】2， ∴， ∴m2＝10，m（m＞0）． 由5lgx＝25，得lgx＝2，∴x＝100； 故答案为：100；． 【点睛】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题． 12．（23-24高一·全国·课后作业）已知x，y为正数，若，则 . 【答案】 【分析】法一：设，用表示出，即可由换底公式求出的值； 法二：对两边取对数，结合对数的运算性质以及换底公式即可得出的值． 【详解】解法一：设，则，，． 解法二：，则，，． 故答案为． 【点睛】本题主要考查换底公式的应用，涉及到指数式与对数式的互化以及对数的运算法则的应用． 13．（24-25高一上·天津·阶段练习），则用和表示的结果为 【答案】 【分析】根据给定条件，利用指数式与对数式互化关系、对数的换底公式及对数运算法则求解. 【详解】由，得，而， 所以. 故答案为： 14．（2024·江苏淮安·模拟预测）已知，则的值为 . 【答案】或 【分析】对这两个式子两边同时取对数，结合对数运算性质化简，再联立由完全平方公式即可求解. 【详解】，则①， 则②， ①+②得：， 或. 故答案为：或 15．（24-25高一上·上海·期中）若 (且)，则等于 【答案】/0.2 【分析】将题中所给的指数式换成对数式，根据对数运算法则可得. 【详解】由得 所以，所以，所以loga. 故答案为：. 16．（23-24高一下·四川成都·阶段测试）计算 （1）. （2）. 【答案】（1）3a；（2）. 【分析】（1）根据指数幂的运算法则化简求值； （2）根据对数的运算法则进行求解. 【详解】（1）； （2） 【点睛】此题考查指数对数运算的综合应用，关键在于熟练掌握指数幂的运算法则和对数的运算法则. 17．（23-24高一·全国·课后作业）(1)设,,求; (2)若,求; (3)若,,求. 【答案】(1)18 (2)(3) 【解析】（1）将对数式化为指数式，结合指数运算，化简求得所求表达式的值. （2）将对数式化为指数式，结合指数运算，化简求得所求表达式的值. （3）将指数式化为对数式，结合对数运算，化简求得所求表达式的值. 【详解】(1)由,,得,,. (2)由,得,即,. (3)由,,得,,. 【点睛】本小题主要考查指数、对数运算，考查运算求解能力，属于基础题. 18．（2025高二·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)已知，试用表示． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）、（2）利用对数法则计算出答案即可； （3）利用指数式化为对数式、换底公式进行化简即可. 【详解】（1） . （2） . （3）由，得， 由，得， 所以 ． 19．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）； （2）； （3）已知，求的值． 【答案】（1）3；（2）16；（3） 【分析】（1）根据对数的运算性质，化简求值，即可求解. （2）根据指数幂的运算以及对数的运算性质，化简求值，即可求解. （3）根据对数的运算性质，化简求值，即可求解. 【详解】（1）原式 ． （2）由于，， ， 因此原式． （3）由条件． 由，得， 所以，化简得 所以， 得或（舍去），从而可得． 20．（24-25高一上·河北保定·阶段练习）求值： (1)已知，求的值. (2). 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）根据可得，利用可得的值，进而得到结果. （2）利用对数的运算性质和指数运算可得结果. 【详解】（1）∵，∴，即， ∴， ∴， ∴原式. （2） . 学科网（北京）股份有限公司 $