专题08 三角形（5年汇编）（吉林专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 吉林中考三角形专题5年真题1年模拟汇编，覆盖6大核心考点，题型全面且贴合考情，注重基础与综合能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空/解答|3-7分|三角形角、全等判定、等腰/直角三角形、勾股定理|真题与模拟结合，几何综合（如全等与四边形）、动手操作（尺规作图）、分类讨论（等腰三角形）|

专题08 三角形 5年真题1年模拟 考点分类 吉林考情（2022-2026） 命题规律 考点01与三角形有关的角 选择、填空高频；考查内角和、外角性质，分值 23 分。 基础小题为主，利用内角和、外角做角度计算；经常作为综合题的条件，较少单独大题。 考点02 三角形全等的判定 高频，选择填空、解答证明题均有；分值 47 分。 几何证明核心考点，SSS、SAS、ASA、AAS 为主；多以解答证明题型出现，也会融入四边形、圆综合题；注意 SSA 不能判定全等。 考点03 线段垂直平分线 选择、填空为主；考查性质与判定，分值 3 分。 利用垂直平分线得到线段相等；常结合等腰三角形出题；多为条件，很少单独大题。 考点04 等腰三角形 高频考点，小题、解答都出现；考查等边对等角、三线合一，分值 36 分。 核心是三线合一；注意边、角分类讨论，容易漏解；常和全等、直角三角形结合考查。 考点05 直角三角形 高频，各类题型均涉及；考查直角三角形性质、斜边中线，分值 36 分。 重点：斜边中线等于斜边一半、30° 角直角三角形性质；常与勾股定理结合，是几何综合基础工具。 考点06 勾股定理及其逆定理 必考，全题型覆盖；求边长、判断直角三角形，分值 37 分。 求线段长度核心工具；逆定理用来判定直角三角形；在折叠、几何综合、实际问题中高频使用。 考点01 与三角形有关的角 1．（2026·吉林·中考真题）如图，是的内接三角形，是的直径，点为边上不与点，重合的任意一点，连接．若，则的度数可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直径所对的圆周角为直角，求出，根据，求出，得出，再进行判断即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵点为边上不与点，重合的任意一点， ∴， ∵ ∴四个选项中只有A选项符合题意． 2．（2025·吉林·中考真题）如图，正五边形的边的延长线交于点F，则的大小为________度． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，三角形内角和定理，多边形外角和为360度，据此可求出的度数，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：五边形是正五边形， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2025·吉林·中考真题）如图，在中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等角对等边，三角形内角和定理，大角对等边，作与已知角相等的角的尺规作图，由作图方法可得，则由三角形内角和定理和等边对等角得到，，由大角对大边得到，再由可得． 【详解】解：由作图方法可得，故A结论正确，不符合题意； ∴，，故B、C结论都正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴，故D结论错误，符合题意； 故选：D． 4．（2023·吉林长春·中考真题）如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为__________度．    【答案】 【分析】根据题意求得正五边形的每一个内角为，根据折叠的性质求得在中，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵正五边形的每一个内角为， 将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为， 则， ∵将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为， ∴，， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正多边形的内角和的应用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 考点02 三角形全等的判定 5．（2026·吉林·中考真题）如图，在正方形中，点、分别在边、上，且，连接、．求证：． 【答案】证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ∴． 【分析】根据正方形的性质，结合 “”证明全等即可． 【详解】略 6．（2025·吉林长春·中考真题）如图，在中，，，点为边的中点，点为边上一动点，连接．将线段绕点顺时针旋转得到线段． (1)线段的长为 ； (2)当时，求的长； (3)当点在边上时，求证：； (4)当点到的距离是点到距离的2倍时，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)证明：∵旋转， ∴， 如图，∵，， ∴， ∵，， ∴； (4)的长为或. 【分析】（1）利用勾股定理计算即可； （2）如图，求解，，证明，结合，可得，再进一步求解即可； （3）证明，结合，，从而可得结论； （4）如图，当在的左边时，结合题意可得：，，，过作于，过作于，可得，结合（1）可得：，证明，可得，再进一步解得即可；如图，当在的右边时，过作于，过作于，同法可得答案. 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴； （2）解：如图，在中，，，点为边的中点， ∴，， ∵， ∴，而， ∴， ∴； （3）略 （4）解：如图，当在的左边时，结合题意可得：，，， 过作于，过作于， ∴四边形为矩形， ∴， 结合（1）可得：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当在的右边时，过作于，过作于， 同理：， 四边形四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， 同理可得：，， ∴； 综上：的长为或. 7．（2025·吉林·中考真题）如图，在矩形中，点E，F在边上，连接，． (1)求证：． (2)当，时，求的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据矩形得到，再结合已知条件由即可证明全等； （2）根据全等三角形得到，再由勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴． 8．（2023·吉林长春·中考真题）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（    ） A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C．两条直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例 D．两点之间线段最短 【答案】A 【分析】根据题意易证，根据证明方法即可求解． 【详解】解：O为、的中点， ，， （对顶角相等）， 在与中， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的证明，正确使用全等三角形的证明方法是解题的关键． 9．（2023·吉林·中考真题）如图，点C在线段上，在和中，． 求证：．    【答案】 证明：在和中， ∴ ∴． 【分析】直接利用证明，再根据全等三角形的性质即可证明． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 10．（2022·吉林·中考真题）如图，，．求证：． 【答案】 证明：在和中， ， ， ． 【分析】先利用三角形全等的判定定理（定理）证出，再根据全等三角形的性质即可得． 【详解】略 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． 考点03 线段垂直平分线 11．（2023·吉林长春·中考真题）如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据作图可得，进而逐项分析判断即可求解． 【详解】解：根据作图可得，故A，C正确； ∴在的垂直平分线上， ∴，故D选项正确， 而不一定成立，故B选项错误， 故选：B． 【点睛】本题考查了作角平分线，垂直平分线的判定，熟练掌握基本作图是解题的关键． 12．（2022·吉林长春·中考真题）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，根据垂直平分线的性质和角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质进行判断即可． 【详解】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线， ， ， ， 综上，正确的是A、C、D选项， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂直平分线和角平分线的作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 考点04 等腰三角形 13．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在中，，．点是边上的一点（点不与点、重合），作射线，在射线上取点，使，以为边作正方形，使点和点在直线同侧． (1)当点是边的中点时，求的长； (2)当时，点到直线的距离为________； (3)连结，当时，求正方形的边长； (4)若点到直线的距离是点到直线距离的3倍，则的长为________．（写出一个即可） 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】本题考查等腰三角形性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握面积法是解题的关键；（1）根据等腰三角形三线合一性质，利用勾股定理即可求解；（2）利用面积法三角形面积相等即可；（3）设，则，，过点作于 ，根据，建立方程；即可求解；（4）第一种情况，，在异侧时，设，，则，证明，得到，即可求解；第二种情况，当，在同侧，设，则，，，求得，解方程即可求解； 【详解】（1）解：根据题意可知： ， 为等腰三角形，故点是边的中点时，； 在中，； （2）根据题意作，如图所示； 当时，则， 设点到直线的距离为， ， 解得：； （3）如图，当时，点落在上， 设，则，， 过点作于 则， ， ， 解得： 故， 所以正方形的边长为； （4）如图，，在异侧时； 设，，则 三边的比值为， ， ， 当，在同侧 设，则，， 三边比为， 三边比为， 设，则，， 解得： 综上所述：的长为或 14．（2023·吉林长春·中考真题）将两个完全相同的含有角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A，E，B，D依次在同一直线上，连结、．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，当四边形是菱形时．的长为__________． 【答案】(1) 证明：由题意可知， ，， ， 四边形地平行四边形； (2) 【分析】（1）由题意可知易得，即，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明； （2）如图，在中，由角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余易得，；由菱形得对角线平分对角得，再由三角形外角和易证即可得，最后由求解即可． 【详解】（1）略 （2）如图，在中，，，， ，， 四边形是菱形， 平分， ， ， ， ， ， ， 故答案为：．    【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的性质，角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余，三角形外角及等角对等边；解题的关键是熟练掌握相关知识综合求解． 15．（2023·吉林·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．    【答案】 如图所示，    【分析】根据勾股定理可得，结合题意与网格的特点分别作图即可求解． 【详解】解：如图①，，则是等腰三角形，且是锐角三角形， 如图②，，，则，则是等腰直角三角形， 如图③，，则是等腰三角形，且是钝角三角形， 【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，等腰三角形的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 考点05 直角三角形 16．（2024·吉林长春·中考真题）【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】 小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】 如图②，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）的大小为 度，线段长度的最小值为________． 【方法应用】 某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，是等腰三角形，四边形是矩形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为多少米． 【答案】问题解决：（1）证明：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线， 四边形是平行四边形， ； （2）30，； 方法应用：线段长度的最小值为米 【分析】（1）过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，根据平行四边形性质证明结论即可； （2）先证明，根据垂线段最短求出最小值； （3）过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接，求出，进而得，利用垂线段最短求出即可． 【详解】问题解决：（1）略； （2）在等边中，， ； 当时，最小，此时最小， 在中， ， 线段长度的最小值为； 方法应用：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 当时，最小，此时最小， 作于点R， 在中， ， 在中， ， 线段长度的最小值为米． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质，垂线段最短及矩形性质，熟练掌握相关性质是解题关键． 17．（2023·吉林·中考真题）如图，在中，．点，分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为点．若点刚好落在边上，，则的长为__________．    【答案】 【分析】根据折叠的性质以及含30度角的直角三角形的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵将沿折叠，点的对应点为点．点刚好落在边上，在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 考点06 勾股定理及其逆定理 18．（2026·吉林·中考真题）如图①，在矩形中，点为边上一点，连接．将沿折叠得到．点为上一点，连接，． (1)如图②，当直线经过点时，在不添加辅助线的前提下，请你增加一个条件，使是等边三角形，不需要说明理由． (2)如图③，当于点时，判断四边形的形状，并说明理由． (3)在（2）的条件下，延长交矩形的边于点．若，，当时，直接写出的长． 【答案】(1)添加条件：； (2)解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可得， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形． (3)或 【分析】（1）由折叠可得，，当时，可得到，即可得出是等边三角形； （2）连接．由矩形的性质得到，由折叠得到，，，根据等角的余角相等得到，从而有，再证明，可得四边形是平行四边形，结合得出是菱形； （3）设，根据勾股定理构造方程，求得，设，在中根据勾股定理构造方程，求得，由即可解答． 【详解】（1）解：由折叠可得，， 当时，， ∴， ∴是等边三角形． （2）略 （3）解：①如图， 设，则， ∵由翻折有， ∴， ∵在中，， ∴，解得， ∴， ∴． 设，则， ∵， ∴， ∴在中，， 即， 解得， ∴， ∴． ②如图， 设，则， ∵由翻折有， ∴， ∵在中，， ∴，解得， ∴， ∴． 设，则， ∵， ∴， ∴在中，；在中，， ， 即， ， 解得， ∴， ∴． 19．（2025·吉林长春·中考真题）如图，在边长为4的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上．连接，作于点，交于点．给出下面四个结论： ①； ②； ③当时，； ④点与点之间的距离的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号有_______． 【答案】①②④ 【分析】根据正方形的性质可得，结合，可得，故①符合题意；证明，可得，故②符合题意；当时，，可得，，可得，故③不符合题意；如图，取的中点，连接，可得在以为圆心，为直径的圆上，当共线时，最小，再进一步可判断④. 【详解】解：∵正方形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故①符合题意； ∵，， ∴， ∴，故②符合题意； 当时，， ∴，， ∴，故③不符合题意； 如图，取的中点，连接， ∵， ∴在以为圆心，为直径的圆上， 当共线时，最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点与点之间的距离的最小值为．故④符合题意； 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，点到圆上各点距离的最小值的含义，本题难度较大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 20．（2025·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上． (1)在图①中，是面积最大的等腰三角形； (2)在图②中，是面积最大的直角三角形； (3)在图③中，是面积最大的等腰直角三角形． 【答案】(1)如图所示，即为所求； (2)如图所示，即为所求； (3)如图所示，即为所求． 【分析】本题主要考查了格点作图，勾股定理及其逆定理，网格中求三角形面积，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据面积最大，且为等腰三角形，顶点均在格点上； （2）根据面积最大，且为直角三角形，顶点均在格点上； （3）作个腰长为的等腰直角三角形，顺次连接A、B、C，则即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 21．（2024·吉林·中考真题）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键． 设的长度为x尺，则，在中，由勾股定理即可建立方程． 【详解】解：设的长度为x尺，则， ∵， 由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 22．（2023·吉林长春·中考真题）如图①．在矩形．，点在边上，且．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动，作，交边或边于点，连续．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒．（）    (1)当点和点重合时，线段的长为__________； (2)当点和点重合时，求； (3)当点在边上运动时，的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由； (4)作点关于直线的对称点，连接、，当四边形和矩形重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 解：如图所示，过点作于点，    ∵，， ∴， 则四边形是矩形， ∴ 又∵ ∴， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形； (4)或或 【分析】（1）证明四边形是矩形，进而在中，勾股定理即可求解． （2）证明，得出； （3）过点作于点，证明得出，即可得出结论 （4）分三种情况讨论，①如图所示，当点在上时，②当点在上时，当重合时符合题意，此时如图，③当点在上，当重合时，此时与点重合，则是正方形，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，连接，      ∵四边形是矩形 ∴ ∵， ∴四边形是矩形， 当点和点重合时， ∴， 在中，， 故答案为：． （2）如图所示，    ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）略 （4）①如图所示，当点在上时，    ∵， 在中，， 则， ∵，则，， 在中，， ∴ 解得： 当时，点在矩形内部，符合题意， ∴符合题意， ②当点在上时，当重合时符合题意，此时如图，    则， ， 在中， ， 解得：， ③当点在上，当重合时，此时与点重合，则是正方形，此时    综上所述，或或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，勾股定理，求正切，轴对称的性质，分类讨论，分别画出图形，数形结合是解题的关键． 23．（2023·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，点C在格点上．    (1)在图①中，的面积为； (2)在图②中，的面积为5 (3)在图③中，是面积为的钝角三角形． 【答案】(1)如图所示，即为所求：（答案不唯一） (2)如图所示，即为所求：（答案不唯一） (3)如图所示，即为所求：      【分析】（1）以为底，设边上的高为，依题意得，解得，即点在上方且到距离为个单位的线段上的格点即可； （2）由网格可知，，以为底，设边上的高为，依题意得，解得，将绕或旋转，过线段的另一个端点作的平行线，与网格格点的交点即为点； （3）作，过点作，交于格点，连接A、B、C即可． 【详解】（1）解：如图所示， 以为底，设边上的高为， 依题意得： 解得： 即点在上方且到距离为个单位的线段上的格点即可， 答案不唯一； （2）由网格可知， 以为底，设边上的高为， 依题意得： 解得： 将绕或旋转，过线段的另一个端点作的平行线，与网格格点的交点即为点， 答案不唯一， （3）如图所示， 作，过点作，交于格点， 由网格可知， ，， ∴是直角三角形，且 ∵ ∴． 【点睛】本题考查了网格作图，勾股定理求线段长度，与三角形的高的有关计算；解题的关键是熟练利用网格作平行线或垂直． 24．（2022·吉林长春·中考真题）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在上，点B的对应点为点E，折痕为；再沿过点F的直线折叠，使点C落在上，点C的对应点为点H，折痕为；然后连结，沿所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想． 【问题解决】 (1)小亮对上面的猜想进行了证明，下面是部分证明过程： 证明：四边形是矩形， ∴． 由折叠可知，，． ∴． ∴． 请你补全余下的证明过程． 【结论应用】 (2)的度数为________度，的值为_________； (3)在图①的条件下，点P在线段上，且，点Q在线段上，连结、，如图②，设，则的最小值为_________．（用含a的代数式表示） 【答案】(1)证明：四边形是矩形， ∴． 由折叠可知，，． ∴． ∴． 由折叠得，， ∴ ∴ 又AD=AF，AG=AG ∴ (2)22.5°， (3) 【分析】（1）根据折叠的性质可得AD=AF，，由HL可证明结论； （2）根据折叠的性质可得 证明是等腰直角三角形，可求出GF的长，从而可得结论 ； （3）根据题意可知点F与点D关于AG对称，连接PD，则PD为PQ+FQ的最小值，过点P作PR⊥AD，求出PR=AR=，求出DR，根据勾腰定理可得结论． 【详解】（1）略 （2）由折叠得，∠ 又∠ ∴∠ 由得，∠ ∠ 又∠ ∴∠ ∴∠ ∴ 设则 ∴ ∴ ∴ （3）如图，连接 ∵ ∴AG是FD的垂直平分线，即点F与点D关于AG轴对称， 连接PD交AG于点Q，则PQ+FQ的最小值为PD的长； 过点P作交AD于点R， ∵∠ ∴∠ ∴ 又 ∴ ∴ 在中， ∴ ∴的最小值为 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，最短路径问题，矩形的性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键． 25．（2022·吉林长春·中考真题）如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．      (1)网格中的形状是________； (2)在图①中确定一点D，连结、，使与全等： (3)在图②中的边上确定一点E，连结，使： (4)在图③中的边上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结，使，且相似比为1：2． 【答案】(1)直角三角形 (2) 点D即为所求作，使与全等： (3) 如图所示，点E即为所作，且使： (4) 如图，点P，Q即为所求，使得，且相似比为1：2． 【分析】（1）运用勾股定理分别计算出AB，AC，BC的长，再运用勾股定理逆定理进行判断即可得到结论； （2）作出点A关于BC的对称点D，连接BD，CD即可得出与全等： （3）过点A作AE⊥BC于点E，则可知： （4）作出以AB为斜边的等腰直角三角形，作出斜边上的高，交AB于点P，交BC于点Q，则点P，Q即为所求． 【详解】（1）∵ ∴, ∴是直角三角形， 故答案为：直角三角形； （2）略 （3）略 （4）略 【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，相似三角形的判定，熟练掌握相关定理是解答本题的关键． 26．（2022·吉林·中考真题）如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先利用勾股定理可得，再根据“点在内且点在外”可得，由此即可得出答案． 【详解】解：在中，，，， ， 点在内且点在外， ，即， 观察四个选项可知，只有选项C符合， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理、点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键． 一、填空题 1．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在中，点、、分别是、、的中点，若的面积为，则的面积为________． 【答案】8 【详解】解：点、、分别是、、的中点， 、、， 是的中线， ， ， ． 2．（2026·吉林白山·二模）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．正方形A，B，C，D的面积分别是3，6，2，4，则正方形G的面积是______． 【答案】15 【分析】根据图形结构，利用勾股定理可知，正方形的面积等于正方形，面积之和与正方形，面积之和的总和，由此即可求解． 【详解】解：设正方形，下方相邻的正方形面积为，正方形，下方相邻的正方形面积为， 根据勾股定理，直角三角形两直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积， ，， 正方形的面积． 3．（2026·吉林松原·三模）如图，在矩形中，，点在上，连接、，若，则的长为_________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质可得，，根据勾股定理可得，则可得，再根据勾股定理可得． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 4．（2026·吉林·二模）如图，点为正方形内一点，，将绕点 按顺时针方向旋转 得到，延长交于点，连接．下列结论：①；②；③四边形 是正方形；④若，则 ，其中正确的结论是____________．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】由旋转的性质得到，则可导角证明，根据现有条件无法证明，则无法证明，判断①错误；设交于K，由及旋转的性质可得，即可得，从而判断②正确；由旋转的性质可得， ，，由正方形的判定可证四边形 是正方形，可判断③正确；过点D作于H，由等腰三角形的性质可得，，由“ ”可得，可得，由旋转的性质可得 ，从而可得 ，判断④正确． 【详解】解：∵将绕点B按顺时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 根据现有条件无法证明， ∴无法证明，故①错误； 设交于K，如图： ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵将绕点B按顺时针方向旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵将绕点B按顺时针方向旋转得到， ∴， ，， 又∵， ∴四边形 是矩形， 又∵ ， ∴四边形 是正方形，故③正确； 如图，过点D作于点H， ∵，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴ ， ， ∴， ∴， 又∵ ，， ∴， ∴， ∵将绕点B按顺时针方向旋转得到， ∴ ， ∵四边形 是正方形， ∴， ∴， ∴ ，故④正确； ∴正确的有②③④． 5．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，四边形为菱形，，交的延长线于点E，交于点F，且．则下列结论正确的有_____． ①；②；③；④． 【答案】 ①②③ 【分析】由四边形为菱形，可得，可证可判定①；由，可得，由四边形为菱形，可得，利用等角之差，可判定②；连接交于O，四边形为菱形，可得，可证，可证，可判定③；根据为的中位线，易证，可得，由．可得，可求可判定④． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴在和中， ， ∴，故①正确； ∵ ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴，故②正确； 连接交于O， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即，故④不正确． 综上，正确的有①②③． 6．（2026·吉林长春·三模）如图，在中，，于点，于点，，相交于，延长交的延长线于点．下列结论：①；②；③线段与互相平分；④；⑤．其中正确的结论有________（填序号）． 【答案】①②⑤ 【分析】证明为等腰直角三角形再结合勾股定理即可判断①；利用平行四边形对角相等，直角三角形两个锐角互余以及同角或等角的余角相等即可判断②；连接，通过判断四边形是否为平行四边形即可判断③；根据和所满足的条件来判断④；利用平行四边形对边相等，以及等腰直角三角形的性质即可判断⑤． 【详解】解：∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴，故②正确； 如图，连接， 根据题目条件无法得出四边形是平行四边形，无法推出线段与互相平分，故③错误； 和仅满足两个角对应相等，没有对应边相等的条件，故无法证明二者全等，故④错误； ∵四边形是平行四边形， ∴， 又，， ∴，故⑤正确； 综上，正确的有①②⑤． 二、解答题 7．（2026·吉林松原·模拟预测）实物展示台是多媒体教室不可或缺的教学设备之一，一台普通的实物展示台包括三个部分：摄像头、光源和台面．图①是一个实物展示台，图②是其侧面抽象示意图．立柱，且立柱垂直水平桌面，C为摄像头，可绕点B旋转，当与水平桌面平行时，投影线，摄像头的广角，求拍摄区域的宽度（参考数据：，，）． 【答案】拍摄区域的宽度约为 【分析】作于点F，由题意易得，然后根据等腰三角形的性质可得，，进而根据三角函数可进行求解． 【详解】解：作于点F， ∵， ∴． ∵，， ∴，， ∵， ∴， ． 答：拍摄区域的宽度约为． 8．（2026·吉林·模拟预测）图①、图②均是的网格，每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点． 的顶点都在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图①中，作格点E，连接、，使； (2)在图②中，作格点E，连接、，使． 【答案】(1)如图所示，点为所求点， ； (2)如图所示，点为所求点， ； 【分析】（1）由网格图像得到，再根据得到，所以，根据网格的特点画出点； （2）先找出与相等的角，再利用相似求得的长度，确定点的位置． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 根据网格的特点可知为两个网格的对角线， ∴作相邻两个网格的对角线， 即点为所求点； （2）解：如图图所示， ， 由网格可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又， ∴，． 9．（2026·吉林·模拟预测）已知：如图，平分，．求证：． 【答案】证明：∵平分， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴． 【分析】根据角平分线的定义得到，证明即可得到结论． 【详解】略 10．（2026·吉林长春·模拟预测）问题提出： 如图1，在四边形中，，E，F分别为，的中点．求证：． 问题探究： (1)小明同学进行了如下的推理：连结并延长，交的延长线于点G． ，，． 又为的中点，． ． 证明过程缺失 请你帮助小明补全上述证明过程 应用： (2)如图2，，点E在线段上且．若，，则线段的长为________． 拓展： (3)如图3，在四边形中，，点F在线段上，且，连结、．若，，与之间的距离为3，则的面积为________． 【答案】(1)证明：，， 点E是的中点，， 为的中位线， ， ， ． (2) (3) 【分析】（1）连结并延长，交的延长线于点G，构造，得到，，再根据中位线定理进行等量代换，得出结论； （2）类比（1）中辅助线的做法，连结并延长，交的延长线于点M，利用，得到和，再根据相似三角形的性质得到的长； （3）延长，交的延长线于点M，过点F作，延长交的延长线于点G，根据得到，再根据相似三角形的性质：对应边之比等于对应高之比，得到和，作差得到的面积． 【详解】（1）略 （2）解：连结并延长，交的延长线于点M， ， ，, ， ， ， ， 即，， ， ，， ， ， ， ； （3）解：延长，交的延长线于点M，过点F作，延长交的延长线于点G， ， ， ， ， , ，, ， ， ， ， 即，， 与之间的距离为3， ， 即， ，， ，， ， 与之间的距离为3， ， ， ． 11．（2026·吉林·二模）综合与实践课上，同学们探究矩形纸片的折叠问题． 如图①，已知矩形纸片，点在边上（不与，重合），点在边上（不与，重合）．将矩形纸片沿直线折叠，使顶点落在点处，点在长方形内部． 【图形感知】 (1)图①中，____________（填“”“”或“”）； 【作图探究】 (2)在图①中边上确定一点（不与，重合），使得纸片沿着折叠后，点的对应点刚好落在射线上，请用无刻度直尺和圆规作出该点（不写作法，保留作图痕迹），并求出的度数． 【计算探究】 (3)如图②，矩形中，，，点是边的中点，将矩形沿折叠，使顶点落在点处，点是矩形边上的动点，将矩形沿折叠，使顶点落在点处，当落在的内部时，直接写出长度的取值范围． 【答案】(1) (2)如图所示，点即为所求； ； (3) 【分析】（1）根据折叠的性质即可求解； （2）以点为圆心，以适当的长为半径画弧交于点，交于点，分别以为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点，过点作射线交于点，则点为所求； （3）根据情况一：当点在线段上时，且点和点重合时，点开始落在的内部，至情况二：点在线段上，且点在线段上时为止，为所求的点落在的内部的线段的取值范围，据此求得这两种情况下的的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图①所示，由折叠性质可得：； （2）解：由尺规作图可知：， 纸片沿折叠，点的对应点刚好落在射线上， ，， ， ，即； （3）解：如图，情况一，当点在上时，且点和点重合时，此时，， ，，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，解得：， ， 如图，情况二，当点在上，且点在线段上时，此时，，，过点作交于点， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 又，， ， ， 的最小值为，最大值为， 落在的内部， ． 12．（2026·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．仅用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中画格点C，使； (2)在图②中画格点D，使； (3)在图③中画格点E，使． 【答案】(1)解：如图所示为所求： (2)解：如图所示为所求： (3)解：如图所示为所求： 【分析】（1）利用水平网格线与竖直网格线互相垂直即可作图； （2）取格点，使得，，连接，易证是等腰直角三角形，即可作出； （3）利用网格线的特征，取格点，使得，连接，利用邻补角的定义即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 13．（2026·吉林白山·二模）如图，在中，，，于点，，过点作，交于点，，交于点．动点从点出发以的速度向终点运动，过点作，交于点，交于点．设点的运动时间为，与四边形重叠部分的面积为． (1) ______， ______； (2)当点与点重合时，求的值； (3)求关于的函数解析式，并写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由题意可得，根据三角函数可求出，，证明四边形是矩形，得到，即可求解； （2）当点与点重合时，，由，，得到，求出，即可求解； （3）过点作于点，过点作于点，则可得，，由图知题目分三种情况讨论：当时，当时，当时，即可求解． 【详解】（1）解： ，， ， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 故答案为：，； （2）解：由（1）知，， 当点与点重合时，， ，， ，， ， ； （3）解：过点作于点，过点作于点，如图1， ，，， ，， ，， ，，， 当时，如图1， 则， ， ， ， ， ； 当时，如图2， 则， ， ， ； 当时，如图3， ， ， ， ， ， ， ； 综上，． 14．（2026·吉林长春·二模）图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点，点、均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图①中作一个面积为的等腰，点在格点上． (2)在图②中作一个面积为的直角，点在格点上． (3)在图③中作一个面积为的钝角，点在格点上． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意作一个底边为4，高为1，以为腰的等腰三角形，即可求解； （2）根据勾股定理求得，作，且为直角，即可确定点的位置，即可求解； （3）作一个以为底，高为的钝角三角形，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，取格点，则，作直线找到格点，连接，则为所求钝角三角形， 15．（2026·吉林松原·模拟预测）如图，在中，，，，D为的中点，动点P从点B出发，沿以每秒5个单位长度的速度向终点C运动，连接，以、为邻边构造，设点P的运动时间为t（）（）． (1)用含t的代数式表示的长； (2)当点F落在边上时，求t的值； (3)设与重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）根据题意得到，； （2）根据题意得，证明，得到点是的中点，据此列式计算即可求解； （3）分两种情况讨论，作于点，求得，利用平行四边形或梯形的面积公式列式计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； （2）解：如图， ∵D为的中点，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点F落在边上， ∴， ∴， ∴点是的中点， ∴， ∴； （3）解：当点F落在内或在上，即时， 作于点，如图， ∵， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴； 当点F落在外，即时， 作于点，如图， 同理， 记与交于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 综上，． 16．（2026·吉林·模拟预测）如图①，在中，，，．点在边上（点不与、重合），连接，过点作的垂线交于点，交于点． (1)求证：； (2)如图②，当点是中点时． ①用圆规和无刻度的直尺，在图②中作出线段、，与交于点； ②求线段的长； (3)当线段被分成的两部分时，直接写出线段的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)①如图，、即为所求； ②1 (3)或 【分析】 （1）根据同角的余角相等进行证明即可； （2）①连接，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点M，分别以点C、M为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点N，连接，交于点D，交于点F； ②根据勾股定理求出，根据直角三角形的性质求出，根据等积法求出，证明，得出，即可求出结果； （3）分两种情况：当时，当时，分别画出图形进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据解析（1）可得：， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时，如图所示： 设，则， ∵， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； 当时，如图所示： 设，则， ∵， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； 综上，的长为或． 17．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在中，，，，点在边上，，点在边上，过点作的垂线交射线于点，连接、． (1)求边的长 (2)当时，求的长； (3)当点在边上，且和相似时，求的长； (4)当被边分成两部分，且这两部分重新拼接后能拼成一个新三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)15 (2)5 (3)或 (4)或或 【分析】（1）勾股定理进行求解即可； （2）根据，求出的长，进而求出的长即可； （3）分和两种情况进行讨论求解即可； （4）分，和，三种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：当时，则， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （3）解：当和相似时，分两种情况， ①时，则， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴； ②当时，则， ∴， ∴， 同理：； （4）解：当被边分成两部分，且这两部分重新拼接后能拼成一个新三角形时，设交于点，分三种情况： ①，如图，拼接时，重合，即可得到一个新的三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②，如图，拼接时，重合，即可得到一个新的三角形， 设，则， 在中，， 在中，， ∴，解得， ∴； ③，如图，拼接时，重合，即可得到一个新的三角形， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或或. 18．（2026·吉林长春·模拟预测）已知二次函数的图象经过点．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在直线上，其横坐标为．过点P作轴，垂足为H，交抛物线于点Q．连结，，以，为邻边作平行四边形．设与x轴交于点． (1)求该二次函数的解析式及对称轴； (2)当，且四边形是矩形时， ①求点的坐标； ②的值为_________； (3)当平行四边形的面积是面积的12倍时，直接写出的值． 【答案】(1)该二次函数的解析式为，对称轴为直线 (2)①；② (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可得抛物线的解析式，进而可得其对称轴； （2）①先求出点的坐标，则可得，，，再利用勾股定理建立方程，解方程即可； ②得出，根据相似三角形的性质求解即可； （3）先求出点的坐标，再求出直线的解析式，进而可得点的坐标，然后分别求出平行四边形的面积、的面积，建立方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴该二次函数的解析式为， 将二次函数化成顶点式为， ∴该二次函数的对称轴为直线． （2）解：①由题意可知，点的坐标为，点的坐标为， ∴， ， ， ∵四边形是矩形， ∴， ∴在中，，即， 整理得：， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴点的坐标为． ②由题意，画出图形如下： 由上已得：，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． （3）解：由题意，画出图形如下：连接， 当时，点均在轴上，以，为邻边不能作平行四边形，不符合题意， ∴， 设点的坐标为， ∵四边形为平行四边形， ∴对角线互相平分， ∵，， ∴，解得， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入得：，解得， ∴， 又∵，，轴， ∴，， ∴，，， ∴平行四边形的面积为， 的面积为， ∵平行四边形的面积是的面积的12倍， ∴，即， 令，则， 整理得：①或②， 解方程①得：或， 方程②的根的判别式为，没有实数根， ∴③或④， 解方程③得：或，经检验，都是所列方程的解， 方程④的根的判别式为，没有实数根， 综上，的值为或． 19．（2026·吉林长春·三模）如图①，在中，，，，动点和分别从点和点同时出发，点沿方向以每秒的速度运动，点沿的路线以每秒的速度运动，设点的运动时间为，连接，在的右侧（下方）以为斜边构造等腰直角三角形． (1)的长为________； (2)当点和点重合时，求的长； (3)①在图②中尺规作图，作的平分线且与边相交于点（保留作图痕迹，不写作图过程）； ②当点在的平分线上时，求的值； (4)当点在内部时（不包括的顶点），直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①作图见解析；② (4) 【分析】（1）利用勾股定理运算即可； （2）由题意可得，，再由，结合等腰三角形的性质列式运算即可； （3）①根据角平分线的作法直接作图即可； ②过点作于点，于点，证明和，由全等的性质证明，用含的式子表达和，再代入运算即可； （4）利用相似三角形的比值关系，求出点在上和点在上时的值，即可得到点在内部时，的取值范围． 【详解】（1）∵， ，， ∴在中，； （2）解：当点和点重合时，如图所示： ∵为等腰直角三角形， ∴， 由题意得：，， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）①由题意作图可得： ②当点在射线上时，过点作于点，于点，如图所示： ∵为的平分线，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意得：，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴点在射线上时，的值为． （4）解：当点在上时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（3）可得：， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当点在上时，如图所示： 由题意得：， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：； ∴当点在内部时，的取值范围为：． 20．（2026·吉林长春·模拟预测）【问题背景】 如图1，在中，，点在边上，． (1)【特例探究】 如图2，当时，将绕点顺时针旋转得到，连接．求证：． (2)【特例求解】 在（1）的条件下，直接写出的长． (3)【类比迁移】 如图 3，当时，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用边角边即可证明； （2）证明，可得，再结合勾股定理解答即可； （3）把绕点A顺时针旋转得，连接，根据题意可得为等边三角形，证明，可得，作交于的延长线于点G，可得，再由直角三角形的性质可得，从而得到，在中，利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：由旋转的性质得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴； （2）解：由旋转的性质得：， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：把绕点A顺时针旋转得，连接， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 作交于的延长线于点G， ∵把绕点A顺时针旋转得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，． 21．（2026·吉林延边·二模）在一次数学活动中，某学习小组探究如下：作线段，取其中点，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点、点旋转后的对应点分别为点、点），如图①，设旋转角度为，且，． (1)当时，求点旋转到点所经过的路径长度（结果保留）； (2)小组同学又进行了如下探究：如图②，连接，取中点，连接、交于点，在旋转过程中，小组同学猜想出如下三个结论：①且线段与线段互相平分；②；③．正确的结论是______（填序号）；选择一个正确结论说明理由； (3)小组同学又进行如下操作：如图③，连接，取中点，连接，若线段与线段关于直线成轴对称，连接、，直接写出当四边形为正方形时的值． 【答案】(1)； (2)①②，证明见解析； (3)或． 【分析】（1）利用旋转的性质，得到点是以点为圆心，长为半径的圆弧，利用弧长公式求解； （2）根据旋转的性质得到是等腰三角形，再利用三角形的中位线性质与等腰三角形“三线合一”证得最终结果； （3）根据三角形的中位线的性质与“在直角三角形中，角所对的边是斜边的一半”得到对应的线段相等，最后通过等量代换解得答案． 【详解】（1）解：∵点旋转到点， ∴点是以点为圆心，长为半径的圆弧， ∵，点是线段的中点， ∴， 又， ∴点旋转到点所经过的路径长度为； （2）解：正确的为①②，证明如下： ①∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∵点为的中点， ∴是线段的垂直平分线，， 由题意知，分别是线段的中点， ∴， ∴是线段的垂直平分线，， 即，与互相平分； ②∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∵点为的中点， ∴是线段的垂直平分线，， 由题意知，分别是线段的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴； （3）解：当或时，四边形是正方形，理由如下： 由题意知：， ∵分别是的中点， ∴， ∵与关于对称， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ①如图1所示：当时 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴矩形是正方形； ， ②当时，如图2所示：延长交于点， ， ∵， ∴， 在中，， ∴，则， ∵， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 22．（2026·吉林长春·模拟预测）如图1，在矩形中，，．点在射线上运动（点不与点重合），点在射线上运动，且始终满足，连结，交对角线于点． (1)________； (2)证明：； (3)如图2，点是的平分线上一点，且在点运动过程中，始终保持于点，以点为圆心，长为半径作，连接． ①的最小值为________，此时，与直线的位置关系为________； ②当与线段（包括点和点）有公共点时，直接写出线段的取值范围． 【答案】(1) (2)证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (3)①，相切；② 【分析】（1）根据矩形的性质和勾股定理即可得到． （2）通过证明，得到对应线段成比例，继而得证结论． （3）①根据当时，的值最小，过点作分别交于点，交于点，延长交于点，通过证明四边形、是矩形，得到，，通过证明，得到，根据等腰直角三角形的性质得到，继而得到，根据勾股定理得到，继而得到，，从而得到与相切； ②连接，在上取点，作于点，以为半径作圆，使在左侧与相切，首先证明三点共线，与的切点即为点，设的半径为，通过证明，得到对应线段成比例，进而解得，即，同理在的延长线上取点，作于点，以为半径作圆，使在右侧与相切，设的半径为，同理解得，即，即可得出线段的取值范围. 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴在中，； 故答案为：； （2）略； （3）解：①∵点是的平分线上一点，， ∴， ∴，， ∴如图，当时，的值最小，过点作分别交于点，交于点，延长交于点， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵由（1），（2）可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵于点，是的半径， ∴是的切线， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴与相切； 故答案为：，相切； ②如图，连接，在①图中，在上取点，作于点，以为半径作圆，使在左侧与相切， 由①可得，，，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴此时与线段的公共点即为与的切点， 设的半径为， ∵， ∴， ∴， ∴，即，解得：， ∴， 如图，在的延长线上取点，作于点，以为半径作圆，使在右侧与相切， ∵， ∴此时与线段的公共点即为与的切点， 设的半径为， ∵， ∴， ∴， ∴，即，解得：， ∴， 综上所述，线段的取值范围为． 23．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在中，，，，点从点出发，以每秒个单位的速度向终点运动，连接，点是的中点，以为边作正方形，使点和点在直线同侧． (1)________．（用含的代数式表示） (2)当时，求的值； (3)当点落在上时，求的值； (4)当点到直线的距离与点到直线的距离相等时，的值为________． 【答案】(1) (2)2 (3)4 (4)2或5 【分析】（1）根据即可解答； （2）当时，易得，再利用勾股定理求解即可； （3）过B作于H，过Q作于E，过N作于F，即，，易证可得，；再证明可得，，进而得到即可确定时间t； （4）分点N在上方和下方两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵点从点出发，以每秒个单位的速度向终点运动， ∴， ∴； （2）解：如图：当时， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）可得，即， ∵， ∴，即， 解得：或， ∵点从点出发，以每秒个单位的速度向终点运动，， ∴， ∴． （3）解：如图：过B作于H，过Q作于E，过N作于F，即，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（2）可得：，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ，解得：， ∴， ∴， ∵点从点出发，以每秒个单位的速度向终点运动， ∴． （4）解：如图，当点N在上方时，过作于J，过作于K，则；连接，设交于G， ∵点到直线的距离与点到直线的距离相等， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴，即，点N和点G重合， 由（2）当时，， ∴当时，点到直线的距离与点到直线的距离相等； 如图：当点N在边下方时，分别过点Q、P、N作的垂线，垂足分别为F、G、L，与交于点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， ∵点从点出发，以每秒个单位的速度向终点运动， ∴． 综上，当点到直线的距离与点到直线的距离相等时，的值为2或5． 24．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在中，，，于点，点从点出发，沿着射线运动，速度为，点从同时出发，沿、向终点运动，速度为，设它们运动的时间为，当点到达点时，点也停止运动． (1)用含的代数式表示的长； (2)求为何值时，和相似； (3)设的面积为，求与的函数关系式． 【答案】(1)当时，；当时， (2)或 (3) 【分析】（1）分当时，当时，根据题意分别解答即可． （2）根据等腰三角形的性质和勾股定理求出，，由题意知，当时，在线段上，，在上，．当时，在延长线上，，在上，．再分①若，②若，分别求解即可． （3）过点作于点，如图③，分当时，，如图④，当时，，求解即可． 【详解】（1）解：当时，；当时，． （2）解：，，于点， ，． 由题意知， 当时，在线段上，，在上，． 当时，在延长线上，，在上，． ①若，如图①， 则， ， 解得． ②若，如图②， 则， ， 解得． 综上所述，或时，和相似． （3）解：过点作于点，如图③， 当时，，即点与点重合，不存在； 当时，， ， ， ； 如图④，当时，， ， ， ． 综上所述，． 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题08三角形 5年真题1年模拟 中考品题透析园 考点分类 吉林考情(2022-2026) 命题规律 考点01与三角形 选择、填空高频；考 基础小题为主，利用内角和、外角做角度计算： 查内角和、外角性质，分 有关的角 经常作为综合题的条件，较少单独大题。 值2-3分。 考点02三角形全 高频，选择填空、解 几何证明核心考点，SSS、SAS、ASA、AAS为 主；多以解答证明题型出现，也会融入四边形、圆综 等的判定 答证明题均有；分值47 分。 合题；注意SSA不能判定全等。 考点03线段垂直 选择、填空为主；考 查性质与判定，分值3 利用垂直平分线得到线段相等；常结合等腰三角 平分线 形出题；多为条件，很少单独大题。 分。 高频考点，小题、解 考点04等腰三角 答都出现；考查等边对等 核心是三线合一；注意边、角分类讨论，容易漏 形 角、三线合二，分值3-6 解：常和全等、直角三角形结合考查。 分。 高频，各类题型均涉 考点05直角三角 及：考查直角三角形性 重点：斜边中线等于斜边一半、30°角直角三角形 形 质、斜边中线，分值3-6 性质；常与勾股定理结合，是几何综合基础工具。 分。 考点06勾股定理 必考，全题型覆盖； 求线段长度核心工具；逆定理用来判定直角三角 求边长、判断直角三角 及其逆定理 形，分值3-7分。 形；在折叠、几何综合、实际问题中高频使用。 五年真题分类园 考点01与三角形有关的角 (2026吉林.中考真题)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，点P为边AC上不与 1/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点A,C重合的任意一点，连接BP.若∠BAC=60°，则∠ABP的度数可能为() B A.20° B.35o C.45° D.60° 2.(2025吉林.中考真题)如图，正五边形ABCDE的边AB，,DC的延长线交于点F,则∠F的大小为 度 B 3.(2025吉林.中考真题)如图，在△ABC中，∠B=45°，∠A>∠ACB>∠B.尺规作图操作如下： (1)以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边BA,BC于点M,N:(2)以点C为圆心，BN长为 半径画弧，交边CB于点N:再以点N为圆心，MN长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三 角形内部的点M:(3)过点M画射线CM交边AB于点D.下列结论错误的为() M NN A.∠B=∠DCBB.∠BDC=90° C.DB=DC D.AD+DC=BC 4.（2023吉林长春.中考真题)如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM, 展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B,折痕为AF,则∠AFB的大小 为 度 2/21 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A ⊙ E B M 考点02三角形全等的判定 5.(2026吉林.中考真题)如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，且AE=BF,连接 DE、AF.求证：△DAE≌△ABF. 6.(2025吉林长春.中考真题)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4,点D为边AC的中点， 点E为边AB上一动点，连接DE.将线段DE绕点E顺时针旋转45°得到线段EF D B (I)线段AB的长为_； (2)当EF‖AC时，求AE的长： 3)当点F在边BC上时，求证：△ADE≌△BEF: (4)当点E到BC的距离是点F到BC距离的2倍时，直接写出AE的长， 7.(2025吉林中考真题)如图，在矩形ABCD中，点E,F在边BC上，连接AE,DF, ∠BAE=∠CDF」 3/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D I)求证：△ABE≌△DCF」 (2)当AB=12,DF=13时，求BE的长. 8.(2023吉林长春.中考真题)如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA、 BB的中点，只要量出AB的长度，就可以道该零件内径AB的长度.依据的数学基本事实是() A A.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等B.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C.两条直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例D.两点之间线段最短 9.(2023吉林中考真题)如图，点C在线段BD上，在△ABC和△DEC中， ∠A=∠D,AB=DE,∠B=∠E. 求证：AC=DC 10.(2022吉林.中考真题)如图，AB=AC,∠BAD=∠CAD.求证：BD=CD D B 4/21 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点03线段垂直平分线 11. (2023·吉林长春.中考真题)如图，用直尺和圆规作∠MAN的角平分线，根据作图痕迹，下列结论 不一定正确的是() M D A.AD=AE B.AD=DF C.DF=EF D.AF⊥DE 12.(2022·吉林长春.中考真题)如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是 () D F米 B C A.AF=BF B.AF=AC C.∠DBF+∠DFB=90° D.∠BAF=∠EBC 考点04等腰三角形 13.(2024吉林长春.中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6.点D是边BC上的一点（点 D不与点B、C重合)，作射线AD,在射线AD上取点P,使AP=BD,以AP为边作正方形APMN,使 点M和点C在直线AD同侧， P D 5/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)当点D是边BC的中点时，求AD的长； (②)当BD=4时，点D到直线AC的距离为 3)连结PN,当PN⊥AC时，求正方形APMN的边长： 4)若点N到直线AC的距离是点M到直线AC距离的3倍，则CD的长为 (写出一个即可) 14.(2023·吉林长春.中考真题)将两个完全相同的含有30°角的直角三角板在同一平面内按如图所示位 置摆放.点A,E,B,D依次在同一直线上，连结AF、CD B ()求证：四边形AFDC是平行四边形： (2)已知BC=6Cm,当四边形AFDC是菱形时.AD的长为 cm. 15.(2023吉林.中考真题)图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点， 线段AB的端点均在格点上.在图①、图②、图③中以AB为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角 形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上， 6 B 图① 图② 图③ 考点05直角三角形 16.(2024吉林长春.中考真题) 【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边△ABC中，AB=3,点M、N分别在边 AC、BC上，且AM=CN,试探究线段MN长度的最小值. 【问题分析】 小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而 解决上述几何问题 【问题解决】 如图②，过点C、M分别作MN、BC的平行线，并交于点P,作射线AP.在【问题呈现】的条件下，完 6/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 成下列问题： B 钢丝绳 图① 图② 图③ 图④ (1)证明：AM=MP: (2)∠CAP的大小为_度，线段MN长度的最小值为 【方法应用】 某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③.小明收集了该房屋的相关数据，并画出了 示意图，如图④，△ABC是等腰三角形，四边形BCDE是矩形，AB=AC=CD=2米，∠ACB=30°. MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在AC上，点N在DE上.在调整钢丝绳端点位置时， 其长度也随之改变，但需始终保持AM=DN.钢丝绳MN长度的最小值为多少米. 17.(2023吉林.中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC<AC.点D,E分别在边AB, BC上，连接DE,将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B,若点B刚好落在边AC上， ∠CBE=30°，CE=3,则BC的长为 B 考点06勾股定理及其逆定理 18. (2026·吉林.中考真题)如图①，在矩形ABCD中，点E为边AB上一点，连接CE.将△BCE沿CE 折叠得到△FCE.点G为CE上一点，连接FG,BG. D E B B 图① 图② 图③ (备用图) 7/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)如图②，当直线BG经过点F时，在不添加辅助线的前提下，请你增加一个条件，使△BCF是等边三角 形，不需要说明理由， (②)如图③，当BG⊥CF于点H时，判断四边形EBGF的形状，并说明理由. (3)在(2)的条件下，延长CF交矩形ABCD的边于点P.若AB=4,BC=3,当PA=PF时，直接写出 BG的长 19.(2025·吉林长春.中考真题)如图，在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.点 E在线段OA上.连接BE,作CF⊥BE于点F,交OB于点P.给出下面四个结论： ①∠OCP=∠OBE: ②OE=OP； ③当CE=CB时，BP=EF； ④点A与点F之间的距离的最小值为2V5-2. 上述结论中，正确结论的序号有 D E 20.(2025·吉林长春.中考真题)图①、图②、图③均是4×3的网格，其中每个小方格都是边长相等的正 方形，其顶点称为格点.只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作△ABC,使△ABC的顶 点均在格点上. 图① 图② 图③ (1)在图①中，△ABC是面积最大的等腰三角形： (②)在图②中，△ABC是面积最大的直角三角形： (3)在图③中，△ABC是面积最大的等腰直角三角形. 21.(2024·吉林.中考真题)图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度， 其示意图如图②，其中AB=AB,AB⊥BC于点C,BC=0.5尺，BC=2尺.设AC的长度为x尺，可 列方程为 8/21 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0诗文：波平如镜一湖面，半尺高 处生红莲，亭亭多姿湖中立，突 遭狂风吹一边。离开原处二尺 远，花贴湖面象睡莲。 图① 图② 22.(2023·吉林长春.中考真题)如图①.在矩形ABCD.AB=3,AD=5,点E在边BC上，且BE=2. 动点P从点E出发，沿折线EB-BA-AD以每秒1个单位长度的速度运动，作∠PEQ=90°，EQ交边 AD或边DC于点Q,连续PQ.当点Q与点C重合时，点P停止运动.设点P的运动时间为t秒.(t>0) AP BP E B 图① 图② (1)当点P和点B重合时，线段PQ的长为 (②)当点Q和点D重合时，求tan∠PQE: 3)当点P在边AD上运动时，△PQE的形状始终是等腰直角三角形.如图②.请说明理由： 4)作点E关于直线PQ的对称点F,连接PF、QF,当四边形EPFQ和矩形ABCD重叠部分图形为轴对称 四边形时，直接写出t的取值范围. 23.(2023·吉林长春.中考真题)图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为 1,每个小正方形的顶点称为格点.点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列 要求作△ABC,点C在格点上. B B B 图① 图② 图③ Q)在图O中，△ABC的面积为2 (2)在图②中，△ABC的面积为5 9/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ③)在图③中，△AC是面积为的钝角三角形. 24.(2022吉林长春.中考真题)【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①， 矩形ABCD为它的示意图.他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中AD=V2AB.他先将 A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上，点B的对应点为点E,折痕为AF;再沿过点F的直线折 叠，使点C落在EF上，点C的对应点为点H,折痕为FG:然后连结AG,沿AG所在的直线再次折叠， 发现点D与点F重合，进而猜想△ADG≌△AFG. E D Q H G H B F 图① 图② 【问题解决】 (I)小亮对上面△ADG≌△AFG的猜想进行了证明，下面是部分证明过程： 证明：四边形ABCD是矩形， ∴.∠BAD=∠B=∠C=∠D=90° 由折叠可知，∠BAF=号∠BAD=45°，∠BFA=∠EA. ∴.∠EFA=∠BFA=45°」 ∴.AF=2AB=AD 请你补全余下的证明过程. 【结论应用】 (2)∠DAG的度数为 度， A示的值为 F 在图①的条件下，点P在线段AF上，且AP=AB,点Q在线段AG上，连结FQ、PQ,如图②， AB=a,则FQ+PQ的最小值为 (用含a的代数式表示) 25.(2022·吉林长春.中考真题)如图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为 1,其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图， 保留作图痕迹. 10121 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B B B 图① 图② 图③ (1)网格中△ABC的形状是 (2)在图①中确定一点D,连结DB、DC,使△DBC与△ABC全等： 3)在图②中△ABC的边BC上确定一点E,连结AE,使△ABE一△CBA: (4)在图③中△ABC的边AB上确定一点P,在边BC上确定一点Q,连结PQ,使△PBQ一△ABC,且相 似比为1：2. 26.(2022吉林.中考真题)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5,BC=4.以点A为圆心，r为 半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是() A.2 B.3 C.4 D.5 一年模拟练测园 一、填空题 1.(2026吉林长春·模拟预测)如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，若 △乙的面积为1，则△ABC的面积为 B D 2.(2026吉林白山·二模)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是 11/21 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 直角三角形.正方形A,B,C,D的面积分别是3,6,2,4，则正方形G的面积是 B 3.(2026吉林松原·三模)如图，在矩形ABCD中AB=2VS,AD=6,点E在AD上，连接BE、CE, 若BE=6,则CE的长为 4.(2026吉林二模)如图，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB=90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针 方向旋转90°得到△CBG,延长AE交CG于点F,连接DE.下列结论：①∠AED=∠CBG:② AF⊥CG;③四边形BEFG是正方形：④若DA=DE,则CF=FG,其中正确的结论是 (填序号) 5.(2026吉林长春模拟预测)如图，四边形ABCD为菱形，BF‖AC,DF交AC的延长线于点E,交 BF于点F,且CE:AC=1:2.则下列结论正确的有 ①△ABE≌△ADE;②∠CBE=∠CDF;③DE=FE;④S△BcE:S四边形ABD=1:9, 12/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y ◇ ABCD ,四边形 为菱形， .DO=BO,OE⊥BD, .BD=2OD, BF‖AE, ∴.∠DOE=∠DBF,∠DEO=∠F, .△DOE一△DBF, %限 .DF=2DE. .DF=EF+DE=2DE, .EF=DE,故③正确： .DO=OB,DE=EF, .OE为△DBF的中位线， ..BF=20E, .△DOE一△DBF, .S△DoE= SADBF .SADBF=4SADOE .CE:AC=1:2. ..AC=2CE, ..AO=OC=CE, .SABOA=SABOC=S△BCE=S△ADO, ∴.SADOE=2 SABCE, 13/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.(2026吉林长春.三模)如图，在口ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于点E,BF⊥CD于点F, DE,BF相交于H,延长BF交AD的延长线于点G.下列结论：①BD=V2BE;②∠A=∠BHE;③ 线段BG与CD互相平分：④△BCF≌△DCE;⑤DE+EC=AD.其中正确的结论有」 (填序 号). D 二、解答题 7.(2026吉林松原·模拟预测)实物展示台是多媒体教室不可或缺的教学设备之一，一台普通的实物展示 台包括三个部分：摄像头、光源和台面.图①是一个实物展示台，图②是其侧面抽象示意图.立柱 AB=35Cm,且立柱AB垂直水平桌面，C为摄像头，BC可绕点B旋转，当CB与水平桌面AD平行时， 投影线CE=CD,摄像头的广角∠DCE=34°，求拍摄区域的宽度DE(参考数据：sin17°≈0.29， cos17°≈0.96，tan17°≈0.31). A 图① 图② 8.(2026吉林·模拟预测)图①、图②均是7×3的网格，每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为 格点.△ABC的顶点都在格点上.只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图。 图① 图② (1)在图①中，作格点E,连接AE、BE,使∠ABC+∠AEB=180°： (②)在图②中，作格点E,连接AE、BE,使∠ABC-∠AEB=90】 9.(2026吉林·模拟预测)已知：如图，AD平分∠BAC,∠B=∠C.求证：BD=CD 14/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10.(2026吉林长春·模拟预测)问题提出： 如图1，在四边形ABCD中，AD‖BC,B,F分别为AB,CD的中点.求证：EF=AD+BC. B 图1 图2 图3 问题探究： (I)小明同学进行了如下的推理：连结AF并延长，交BC的延长线于点G. .'AD‖BC,∴.∠D=∠FCG,∠DAF=∠G」 又.F为CD的中点，∴.DF=CF ∴.△ADF≌△GCFAAS. 证明过程缺失 请你帮助小明补全上述证明过程 应用： (2)如图2，AD‖EF‖BC,点E在线段AB上且3AE=2BE.若AD=2,BC=3,则线段EF的长为 拓展： 3)如图3，在四边形ABCD中，AD‖BC,点F在线段CD上，且CF=3DF,连结AF、BF.若BC=3, AD=1,AD与BC之间的距离为3，则△ABF的面积为 11.（2026吉林·二模)综合与实践课上，同学们探究矩形纸片的折叠问题， 如图①，已知矩形纸片ABCD,点M在边AB上（不与A,B重合），点N在边BC上（不与B,C重合）， 将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使顶点B落在点B处，点B在长方形内部. 15/21 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C M B M B 图① 图② 【图形感知】 (I)图①中，∠BMN ∠BMN(填“>”“=”或“<”)； 【作图探究】 (2)在图①中边AD上确定一点G(不与A,D重合)，使得纸片沿着MG折叠后，点A的对应点A刚好落 在射线MB上，请用无刻度直尺和圆规作出该点G(不写作法，保留作图痕迹)，并求出∠GMN的度数. 【计算探究】 3)如图②，矩形ABCD中，AB=4,BC=3,点M是边AB的中点，将矩形ABCD沿CM折叠，使顶点B 落在点B处，点F是矩形ABCD边上的动点，将矩形ABCD沿FM折叠，使A顶点落在点A处，当A落在 △CMB的内部时，直接写出CF长度的取值范围. 12.(2026吉林长春.模拟预测)图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格 点，点A、B均在格点上.仅用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹. 图① 图② 图③ 1)在图①中画格点C,使∠ACB=90°： (2)在图②中画格点D,使∠ADB=45°： 3)在图③中画格点E,使∠AEB=135° 13.(2026吉林白山二模)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AD⊥BC于点D, AD=4cm,过点D作DE‖AC,交AB于点E,DF‖AB,交AC于点F.动点P从点A出发以1cm/s的 速度向终点D运动，过点P作MN‖BC,交AB于点M,交AC于点N.设点P的运动时间为xs, △AMN与四边形AEDF重叠部分的面积为ylcm2 16/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A M B D D 备用图 ()AE= -cm’AF= cm: (2)当点M与点E重合时，求X的值： (3)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围。 14.（2026吉林长春.二模)图①、图②、图③均是5×5的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形， 其顶点称为格点，点A、B均在格点上.只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图 图① 图② 图③ (1)在图①中作一个面积为2的等腰△ABC,点C在格点上. (2)在图②中作一个面积为5的直角△ABD,点D在格点上. 3)在图③中作一个面积为2.5的钝角△ABE,点E在格点上. 15.(2026吉林松原模拟预)如图，在△ABC巾，BC=1,AB=5,an∠ABC-手D为AB的中 点，动点P从点B出发，沿BC以每秒5个单位长度的速度向终点C运动，连接PD,以AD、DP为邻边 构造口ADPF,设点P的运动时间为t(s)(t>0) 备用图 (I)用含t的代数式表示PC的长： (2)当点F落在边AC上时，求t的值： 17/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B)设口ADPF与△ABC重叠部分的面积为S,求S关于t的函数关系式 16.(2026吉林·模拟预测)如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2,BC=4.点D在边BC上 (点D不与B、C重合)，连接AD,过点C作AD的垂线交AB于点E,交AD于点F D B B 图① 图② (I)求证：∠DCF=∠CAD: (②)如图②，当点E是AB中点时. ①用圆规和无刻度的直尺，在图②中作出线段CE、AD,CE与AD交于点F: ②求线段CD的长 (3)当线段AD被CE分成2：3的两部分时，直接写出线段CD的长. 17.(2026吉林长春.模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=9,BC=12,点P在边 BC上，PC=4,点M在边AB上，过点M作AB的垂线交射线AC于点N,连接PM、PN. C B (I)求边AB的长 (2)当PM⊥BC时，求AM的长： 3)当点N在边AC上，且△PCN和△ABC相似时，求AN的长； 4)当△PMN被边BC分成两部分，且这两部分重新拼接后能拼成一个新三角形时，直接写出AM的长. 18.(2026·吉林长春·模拟预测)已知二次函数y=x2-bx-4的图象经过点3,2.在平面直角坐标系中， 点O为坐标原点，点P在直线y=-2上，其横坐标为m.过点P作PH⊥x轴，垂足为H,交抛物线于点 Q.连结OP,OQ,以OP,OQ为邻边作平行四边形OPMQ.设PM与x轴交于点C. (1)求该二次函数的解析式及对称轴： (2)当m>0,且四边形OPMQ是矩形时， ①求点Q的坐标： 18/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 需恤为 3)当平行四边形OPMQ的面积是△CPH面积的12倍时，直接写出m的值. 19.(2026吉林长春·三模)如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm,BC=6cm,动点P和Q 分别从点A和点C同时出发，点P沿AC方向以每秒1Cm的速度运动，点Q沿C→B→A的路线以每秒 2cm的速度运动，设点P的运动时间为ts,连接PQ,在PQ的右侧（下方）以PQ为斜边构造等腰直角三 角形PQD B B D P 图① 图② )AB的长为 cm (2)当点D和点C重合时，求AP的长： 3)①在图②中尺规作图，作∠BAC的平分线且与BC边相交于点E(保留作图痕迹，不写作图过程)： ②当点D在∠BAC的平分线AE上时，求t的值： 4)当点D在△ABC内部时（不包括△ABC的顶点），直接写出t的取值范围. 20.(2026·吉林长春·模拟预测)【问题背景】 如图1，在△ABC中，AB=AC,点D,E在边BC上，BD=1,CE=2,∠BAC=2∠DAE. B D E 图1 图2 图3 1)【特例探究】 如图2，当∠BAC=90°时，将△ACE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF,连接DF.求证： △ADE≌△ADF. (2)【特例求解】 在(1)的条件下，直接写出DE的长. 19121 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)【类比迁移】 如图3，当∠BAC=60°时，直接写出DE的长. 21.(2026吉林延边·二模)在一次数学活动中，某学习小组探究如下：作线段AB,取其中点E,将线段 AB绕点A逆时针旋转得到线段AC（点B、点E旋转后的对应点分别为点C、点F),如图①，设旋转角度 为a,且0<a<180°，AB=6, B E B 图① 图② 图③ (1)当Q=60°时，求点E旋转到点F所经过的路径长度（结果保留π）： (2)小组同学又进行了如下探究：如图②，连接BC,取BC中点G,连接AG、EF交于点O,在旋转过程中， 小组同学猜想出如下三个结论：①AG⊥EF且线段AG与线段EF互相平分；②AG+EF2=36;③ AG·EF=18.正确的结论是 (填序号)；选择一个正确结论说明理由： 3)小组同学又进行如下操作：如图③，连接BC,取BC中点G,连接FG,若线段FG与线段FG关于直 线AB成轴对称，连接FF、GG,直接写出当四边形FFGG为正方形时a的值. 22.(2026吉林长春·模拟预测)如图1，在矩形ABCD中，AB=12,AD=4.点P在射线DC上运动 (点P不与点D重合)，点Q在射线BA上运动，且始终满足BQ=3DP,连结PQ,交对角线BD于点N. D D C 图1 图2 )BD= (2)证明：BN=3ND: (3)如图2，点O是∠ADC的平分线DK上一点，且在点P运动过程中，始终保持OP⊥CD于点P,以点O 为圆心，OP长为半径作⊙O,连接ON ①ON的最小值为 ,此时，⊙O与直线AB的位置关系为 ②当⊙O与线段AN(包括点A和点N)有公共点时，直接写出线段DP的取值范围. 20/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 23.(2026吉林长春模拟预测)如图，在△ABC中，AC=8V2,BC=12,∠C=45°，点P从点A出 发，以每秒2个单位的速度向终点C运动，连接BP,点Q是BP的中点，以PQ为边作正方形PQMN,使 点M和点C在直线PQ同侧. y 0pC= (用含，的代数式表示) (2)当BP⊥AC时，求t的值： 3)当点N落在BC上时，求t的值； (4)当点N到直线BC的距离与点Q到直线BC的距离相等时，t的值为 24.(2026·吉林长春.模拟预测)如图，在△ABC中，AB=AC=4V5cm,BC=16cm,AD⊥BC于 点D,点E从B点出发，沿着射线BC运动，速度为4Cm/s,点F从C同时出发，沿CA、AB向终点B运动， 速度为5cms,设它们运动的时间为ts),当F点到达B点时，E点也停止运动. B E D B 0 备用图 (1)用含t的代数式表示CE的长： (2)求t为何值时，△EFC和△ACD相似： 3)设△EFC的面积为S,求S与t的函数关系式. 21/21函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题08三角形 5年真题1年模拟答案版 五年真题分类园 考点01与三角形有关的角 1.A 2.36 3.D 4.45 考点02三角形全等的判定 5.证明：，四边形ABCD是正方形， .AD=AB,∠DAE=∠ABF=90°， 在△DAE和△ABF中， AD=BA ∠DAE=∠ABF AE=BF ∴.△DAE≌△ABF SAS. 6.(1)4V2 (2)RV2 3)证明：，旋转， .DE=EF,∠=45°， 如图，：∠迴+∠BEF=∠DEB=∠A+∠ADE,∠g=∠A=45°， .∠BEF=ADE, 1/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 &F D .∠A=∠B=45°，DE=FE, .△ADE≌△BEF: ④AE的长为42-4或4迈-号 7.(1) 证明：，四边形ABCD是矩形， .AB=CD,∠B=∠C=90°， .∠BAE=∠CDF, .△ABE≌△DCF ASA: (2)5 8.A 9. 证明：在△ABC和△DEC中， ∠A=∠D AB=DE ∠B=∠E ∴.△ABC≌△DEC|ASA ∴.AC=DC 10. 证明：在△ABD和△ACD中， AB=AC BAD=∠CAD, AD=AD ∴.△ABD=△ACD(SAS), ∴BD=CD 考点03线段垂直平分线 11.B 2/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12.B 考点04等腰三角形 13.(1)4 @唱 ④25或25 6实9 14.(1) 证明：由题意可知△ACB≌△DFE, .AC=DF,∠CAB=∠FDE=30°， ∴.ACDF, .四边形AFDC地平行四边形； (2)18 15. 如图所示， B B 、 图① 图② 图③ 考点05直角三角形 16.问题解决：(1)证明：过点C、M分别作MN、BC的平行线，并交于点P,作射线AP, MNCP B N 图② 四边形 是平行四边形， .∴.NC=MP,MN=PC 3/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AM=NC ∴.AM=MP; (2)30,2 方法应用：线段MN长度的最小值为V6米 17.9 考点06勾股定理及其逆定理 18.(1)添加条件：∠BCE=30°： (②)解：四边形EBGF是菱形，理由如下： ,四边形ABCD是矩形 .∠ABC=90°， 由折叠可得△CEF≌△CEB, ∴.∠CFE=∠CBE=90°，∠ECF=∠ECB,EB=EF, .BH⊥CF ∴.∠CHB=∠FHB=90°， .∠CGH+∠ECF=90°， ,∠CEB+∠BCE=180°-∠ABC=90°， ∴.∠CGH=∠CEB. ,∠BGE=∠CGH, .∠BGE=∠BEG, ..BG=BE. .BE=FE, ..BG=EF ,∠CHB=∠CFE=90°， .BH‖EF, “.四边形EBGF是平行四边形， ..EB=EF, ∴.口EBGF是菱形 o架0 4/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 19.①②④ 20.1)如图所示，△ABC即为所求： 图① (2)如图所示，△ABC即为所求； 图② 3)如图所示，△ABC即为所求. B 图③ 21.X2+22=x+0.5 22.1)V13 e号 3) 解：如图所示，过点P作PH⊥BC于点H, AP D 23 BH 图② 5/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠PEQ=90°，∠PHE=∠ECQ=90, .∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°， 则四边形ABHP是矩形， .PH=AB =3 又：EC=BC-BE=5-2=3 .'PH=EC, .∴△PHE≌ECQ ∴.PE=QE ∴.△PQE是等腰直角三角形： 0e235-名-7 2 23.1)如图所示， 即为所求：（答案不唯一） A B (2)如图所示，即为所求：（答案不唯一） B 3)如图所示，即为所求： B 图③ 6/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 24.1)证明：四边形ABCD是矩形， .∠BAD=∠B=∠C=∠D=90° 由折桑可知，∠BAF=克∠BAD=45、∠B1=∠E1。 :.∠EFA=∠BFA=45°. ..AF=2AB=AD 由折叠得，∠CFG=∠GFH=45°， ∴·∠AFG=∠AFE+∠GFE=45°+45°=90° ∴.∠AFG=∠D=90° 又AD=AF,AG=AG .∴·△ADG≌△AFG 222.5,2-1 25.1)直角三角形 (2) 点D即为所求作，使△DBC与△ABC全等： D 3) 如图所示，点E即为所作，且使△ABE一△CBA: E 7/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (4) 如图，点P,Q即为所求，使得△PBQ一△ABC,且相似比为1：2. p B o. 26.C 一年模拟练测园 1.8 2.15 3.2V6 4.②③④ 5. ①②③ 6.①②⑤ 7.拍摄区域的宽度DE约为21.7cm 8.(1)如图所示，点E为所求点， B (2)如图所示，点E为所求点， B 8/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9.证明：，AD平分∠BAC, .∠BAD=∠CAD, .在△ABD和△ACD中， ∠BAD=∠CAD ∠B=∠C AD-AD .△ABD≌△ACD AAS, ..BD=CD 10.1)i证明：∴.AF=FG,AD=CG, 点E是AB的中点，∴.AE=EB, ∴.EF为△ABG的中位线， r-号8c ..EF=BC+CG), 2 .'.EF=(AD+BC). 唱 o号 11.(1)= (2)如图所示，点G即为所求： D G、H B' P N∠GMN=90° E M 8)R/13<CF<13 3 12.(1)解：如图所示为所求： 9/13 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B (2)解：如图所示为所求： B (3)解：如图所示为所求： B 13.1)2,23 (2)x=1 23x0≤x≤1 3 3)y= 2832x-11<x≤3 23 x2-8x+103<x≤4 4 14.(1) 图1 10/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B (2) 图2 B 3) 图3 15.1)PC=11-5t 2)t=11 10 00<t0 (3)S= +15dts号 16.1)证明：CE⊥AD, ∴.∠AFC=90°， .∠CAD+∠ACF=90°， ,∠ACB=90°， .∠ACF+∠DCF=90°， ∴.∠DCF=∠CAD: (2)①如图，CE、AD即为所求： 11/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 F M D B 水 ②1 626或6 3 17.(1)15 (2)5 6)AM=18或AM=1马 5 ④AM=3或AM=135或AM=11 5 17 18.Q)该二次函数的解析式为y=X2-X-4,对称轴为直线x= 2 @0Q14,8:②4 6)1+833或1-33 2 2 19.1)10 3 16 3)①作图见解析：② ④32<t<80 9 11 20.1)见解析 (2)DE=只/5 (3)DE=7 21.(1)m: (2)①②，证明见解析； 6)30或150 12113 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 22.1)4V10 (2)证明：，四边形ABCD是矩形， .CD‖AB ∴.△DPN一△BQN, ..BQ=3DP, 器贺 ..BN=3DN: 602相切：②4-2V2<DP≤4+22 23.1)8V2-V2t (2)2 3)4 (4)2或5 24.Q)当0≤t≤4时，CE=16-4t;当4<t≤8时，CE=4t-16 e器号 8)s= -2t2+8t(0≤t<4) -2t2+24t-64(4<t≤8) 13113