专题07 三角形（5年汇编）（陕西专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 陕西中考三角形专题5年真题1年模拟汇编，覆盖全等判定、等腰/直角三角形性质及勾股定理应用，结合考情分析命题规律，注重几何综合能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|3-6分/题|全等判定（SSS/SAS）、等腰三角形三线合一、直角三角形斜边中线、勾股数应用|真题结合旋转/折叠模型，如2026年等边三角形旋转证全等；模拟题融入网格/矩形情境，如2026年矩形中菱形面积计算| |解答题|6-8分/题|全等与四边形综合、勾股定理实际应用、探究性问题|真题嵌入几何大题步骤，如2025年正方形中全等证明；模拟题设问题链，如2026年“问题提出-类比探究-拓展延伸”三阶设计|

专题07 三角形 5年真题1年模拟 考点分类 陕西考情（2022-2026） 命题规律 考点01三角形全等的判定 必考，选择填空 3 分，解答大题高频出现；常和四边形、圆综合，分值 68 分。 全等是几何大题核心工具；重点掌握 SSS、SAS、ASA、AAS；禁止使用 SSA 证全等；常结合旋转、折叠模型；一般不单独考简单证明，多嵌入综合大题作为解题步骤。 考点02 等腰三角形的性质和判定 高频考点，5 年 4 考；填空选择 3 分，也常融入几何解答题。 核心：等边对等角、三线合一；考查等腰、等边三角形性质；经常结合分类讨论（边、角不确定时分情况）；常与全等、勾股定理综合；“三线合一” 是高频解题突破口。 考点03 直角三角形 每年均有涉及，36 分；选择填空，也会在几何大题中作为条件。 重点：直角三角形两锐角互余、斜边中线等于斜边一半；30° 角直角三角形边角关系；常与勾股定理、三角函数结合；多作为综合题的条件，很少单独命题。 考点04 用勾股定理解三角形 高频必考，36 分；填空选择题，也广泛用于几何计算大题。 核心用于求线段长度；常考勾股数；会用勾股定理逆定理判定直角三角形；常结合折叠、网格、实际几何模型；注意区分斜边与直角边，是几何计算最重要工具。 考点01 三角形全等的判定 1．（2026·陕西·中考真题）如图，为等边三角形，点在的延长线上，，．求证：． 【答案】证明：∵为等边三角形， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴． 【分析】根据等边三角形的性质以及平行线的性质可得，，，再由，结合即可证明． 【详解】略 2．（2025·陕西·中考真题）如图，在正方形中，点，分别在边，上，且．求证：． 【答案】 证明：四边形是正方形， ． ， ， ， ，即． 【分析】本题考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质，运用全等转化思想．解题关键是利用正方形的边和角的性质证明三角形全等，进而通过线段的和差关系推导结论；易错点是对正方形性质理解不全面，或全等三角形的对应关系判断错误． 先根据正方形性质得出，，结合已知，证明，得到．再由正方形中，通过，推出． 【详解】略 3．（2024·陕西·中考真题）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，和的顶点都在格点上．求证：． 【答案】 证明：如图，每个小正方形的边长均为1， 在和中， ∵，， ∴， 同理可得：，， 在和中， ∴≌， ∴． 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据网格图中，每个小正方形的边长为1，得到两个三角形的每条边长，从而得到两三角形对应边相等，得到两三角形全等，即可得到结果． 【详解】略 4．（2025·陕西·中考真题）如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先根据平行得到，再证明即可． 【详解】略 5．（2023·陕西·中考真题）如图，在中，，作，且使，作，交的延长线于点E．求证：． 【答案】 证明：∵于点C， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵于点E， ∴， ∴． 在和中， ， ． ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据余角的性质证得，然后根据即可证得，据全等三角形的对应边相等，即可证得． 【详解】略. 6．（2023·陕西·中考真题）如图，在中，，．过点作，垂足为，延长至点．使．在边上截取，连接．求证：．    【答案】 证明：在 中，，， ． ． ． ， ． 在和中， ， ∴． ． 【分析】利用三角形内角和定理得的度数，再根据全等三角形的判定与性质可得结论． 【详解】略 【点睛】此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． 7．（2022·陕西·中考真题）如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD=AB，DE∥AB，∠DCE=∠A．求证：DE=BC． 【答案】 证明：∵DE∥AB， ∴∠EDC=∠B． 又∵CD=AB，∠DCE=∠A， ∴△CDE≌△ABC(ASA)． ∴DE=BC． 【分析】利用角边角证明△CDE≌△ABC，即可证明DE=BC． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键． 考点02 等腰三角形的性质和判定 8．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，点在边上，．若，则的周长为（    ） A．8 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了三角形周长的计算，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质等知识点．掌握这些是解题的关键． 根据可得：，从而得到，则三角形的周长可转化为，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故选：C． 9．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，．将绕点O顺时针旋转，得到，与相交于点D，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判断和性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质可得，，，证明为等腰直角三角形，根据勾股定理得出，最后求出结果即可． 【详解】解：将绕点O顺时针旋转，得到， ，，， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，负值舍去． 故选：B． 考点03 直角三角形 10．（2026·陕西·中考真题）如图，在中，，，．的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形两锐角互余得到，则，根据题意可得，，解直角三角形即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴； ∵的垂直平分线交于点，交于点， ∴，， ∴． 11．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】该题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，根据等边对等角得出，再结合根据三角形内角和定理求出，最后根据余角的性质求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中与互余的角是，共有4个， 故选：C． 考点04 用勾股定理解三角形 12．（2026·陕西·中考真题）如图，正方形和正方形，点在的延长线上．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正方形的边长为，则，利用正方形性质求出、的长及，在中利用正切定义求解． 【详解】解：连接，如图： 设， ∵四边形和是正方形，， ∴，，， ∴，， ∵、分别是正方形、的对角线， ∴，， ∴， ∴在中，． 13．（2025·陕西·中考真题）如图，在矩形中，，延长至点，延长至点，连接，．若四边形为菱形，则这个菱形的面积为（    ） A．9 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了菱形的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质、矩形的性质是关键．根据菱形的性质得到，由矩形的性质得到，，，设，则在中，则利用勾股定理求出，即．得到，根据菱形的面积求出答案即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，，， 设，则在中， ∴ ∵， 即， ∴， 即． ∴， ∴菱形的面积为， 故选：C 14．（2025·陕西·中考真题）如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（    ） A．10 B．8 C．5 D．4 【答案】C 【分析】该题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键． 根据四边形为正方形，得出，，勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，即可求出的面积． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∵为的中点， ， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ， ∴，即， ∴， ∴的面积． 故选：C． 15．（2024·陕西·中考真题）问题提出 （1）如图①，在中，，，垂足为．若，，则的长为______； 问题解决 （2）如图②所示，某工厂剩余一块型板材，其中，，．为了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆型部件．你认为可以吗？若可以，请在图中确定可裁出的最大圆型部件的圆心的位置，并求出的半径；若不可以，请说明理由． 【答案】（1） （2）可以， ∵三角形内最大的圆是三角形的内切圆， ∴所求圆的圆心是的内心， 作和的平分线交于点，则点就是裁出的最大圆型部件的圆心的位置， 的半径为． 【分析】（1）首先根据勾股定理求出的长度，然后利用等面积法求解即可； （2）根据三角形内最大的圆是三角形的内切圆可求出点的位置；作和的平分线交于点，则点就是裁出的最大圆型部件的圆心的位置，过点作于，于，于，连接，过点作于，设，的半径为，则，利用勾股定理解得，易得，再求得，然后根据求得的值，即可获得答案． 【详解】解：（1）∵在中，，，， ∴， ∵， ∴，即， 解得． 故答案为：； （2）设，的半径为， ∵，，， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵点为的内心 ∴， 又∵， ∴， 即， 解得， 即的半径为． 【点睛】此题主要考查了三角形的内切圆和三角形的内心、勾股定理，理解三角形的内切圆是三角形内最大的圆，灵活运用勾股定理及三角形的面积公式法进行计算是解题的关键． 16．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为________． 【答案】60 【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理：过点作，，根据等边对等角结合平行线的性质，推出，进而得到，得到，进而得到四边形的面积等于，设，勾股定理求出的长，再利用面积公式求出的面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 过点作，， 则：， ∵，且， ∴， ∴四边形的面积， ∵， ∴， 设，则：， 由勾股定理，得：， ∴， 解：， ∴， ∴， ∴四边形的面积为60． 故答案为：60． 17．（2023·陕西·中考真题）如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若．则线段的长为___．    【答案】 【分析】由题意知是等腰直角三角形，作点关于的对称点，则在直线上，连接，，．即，，，所以此时、、三点共线且，点在的中点处，，可求出． 【详解】解：， 是等腰直角三角形， 作点关于的对称点，则在直线上，连接，如图：   ． ，即， 此时、、三点共线且，点在的中点处， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质和等腰直角三角形的性质，作出适当的辅助线是解题关键． 18．（2022·陕西·中考真题）如图，是的高，若，，则边的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解直角求出AD，再在直角中应用勾股定理即可求出AB． 【详解】解：∵， ∴， ∵直角中，， ∴， ∴直角中，由勾股定理可得，． 故选D． 【点睛】本题考查利用锐角函数解直角三角形和勾股定理，难度较小，熟练掌握三角函数的意义是解题的关键． 一、单选题 1．（2026·陕西安康·一模）如图，在中，，为边的中点，，．则的长为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】先利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵为斜边的中点， ∴． 2．（2026·陕西榆林·一模）如图，在中，，，，是边上的中线，则的长是（    ） A． B． C． D．17 【答案】A 【分析】首先根据勾股定理求出，然后利用直角三角形斜边中线的性质求解． 【详解】解：∵，，， ∴ ∵是边上的中线， ∴． 3．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在中，，，是的高线．若，则的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，再由直角三角形的性质可得，最后由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵是的高线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（2026·陕西渭南·一模）如图，直线，与交于点F，连接．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质和三角形的外角的性质，进行求解即可； 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的一个外角，， ∴． 5．（2026·陕西渭南·一模）如图，在中，，点D是的中点，连接．若，，则的长为（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】先根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求出，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，为斜边的中点，， ∴， ∵， ∴． 6．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在中，于点，若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】先利用勾股定理求出，再根据进行求解． 【详解】解：∵， ∴， 由勾股定理得， ∴． 7．（2026·陕西渭南·二模）如图，在中，，，平分交于点D，若的面积为7，则的长为（     ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】过点D作于点E，首先利用三角形面积求出，然后利用角平分线的性质求解即可． 【详解】解：过点D作于点E， ∵，的面积为7， ∴， ∴， ∴， ∵，平分，， ∴． 8．（2026·陕西安康·二模）如图，在中，是边上的中线，是边上的高．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵是边上的高，， ∴， ∴． 9．（2026·陕西榆林·二模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为，的顶点均在格点上，点、分别是、的中点，连接，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 、分别是、的中点， 为的中位线， ， 又， ． 10．（2026·陕西延安·一模）如图，在中，点D，E分别是边，的中点，于点D．若，，则的长度为（     ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出，利用勾股定理求出的长，进而得到的长，最后根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：是的中点，， （线段垂直平分线的性质）， ，是的中点， ， 在中，，， ， ， ，分别是边，的中点， 是的中位线， ． 11．（2026·陕西渭南·一模）如图，在中，，的平分线交边于点D．若的面积为15，则的面积为（    ） A．9 B．6 C．5 D．5.5 【答案】B 【详解】解：过点作于点，于点， 平分，，， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ． 12．（2026·陕西榆林·一模）如图，在四边形中，，，点E是对角线的中点，点F，G分别是，边的中点，连接，，．若，则线段的长度为（   ） A．5 B． C． D．3 【答案】B 【分析】因为E、F、G分别是、、的中点，所以可利用三角形中位线定理，分别求出和的长度．因为，可利用勾股定理求出的长度． 【详解】∵是中点，是中点， ∴ ， 又∵是中点， ∴ ， ∵， ∴ ． 13．（2026·陕西渭南·二模）如图，在中，边上的点D在的垂直平分线上，连接，E是的中点，连接，若，，，则的长为（    ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】D 【分析】先由垂直平分得出，求出的长；再由在的垂直平分线上得出，结合为中点求出的长，最后由求解即可． 【详解】解：∵是的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点，， ∴， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴． 14．（2026·陕西渭南·二模）如图，在中，，于点，是斜边的中线，若，，则的面积为（     ） A．10 B．16 C．18 D．20 【答案】D 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质即可得到结论． 【详解】解：∵，是斜边的中线， ∴， ∵于点D， ∴的面积． 15．（2026·陕西咸阳·二模）如图，在中，，，是的平分线，过A作交的延长线于点E．若，则的长为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】由角平分线的定义得出，由含30度直角三角形的性质得出，然后根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，是的平分线， ∴， ∴， ∴． 16．（2026·陕西咸阳·二模）如图，在中，，为的中线，点E在上，连接，，则图中的等腰三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的定义，结合斜边上的中线等于斜边的一半，进行判断即可. 【详解】解：在中，，为的中线， ∴， ∴均为等腰三角形， 又∵， ∴也是等腰三角形， 故共有3个等腰三角形. 二、填空题 17．（2026·陕西榆林·一模）如图，在矩形中，，，点E是边的中点，点F在边上，且，与相交于点N，M是的中点，连接，则的长为________． 【答案】 【分析】先证明，求得．再利用直角三角形的性质结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，． ∵点E是边的中点， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵M是的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴的长为． 18．（2026·陕西渭南·一模）如图，在中，，，点D、E分别在、上，且，连接，点P、Q分别是、的中点，连接，则的长为________． 【答案】3 【分析】连接，并延长至点H，使得，连接，．证明，得到，，因此，，从而是等边三角形，得到，再根据三角形中位线的性质即可求解． 【详解】解∶连接，并延长至点H，使得，连接，． ∵点Q是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵点P、Q分别是、的中点， ∴． 三、解答题 19．（2026·陕西渭南·二模）如图，延长的边至点E，点D在下方，连接、、、、，，求证：． 【答案】见解析 【分析】由等角对等边可得，再利用证明，然后利用全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 20．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，于点D，E为边上一点，连接交于点F，且，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】证明，即可证明． 【详解】略 21．（2026·陕西渭南·二模）如图，在中，，点在边上，，过点作，连接，． 求证：． 【答案】详见解析 【分析】根据平行线的性质得到，证明，即可得到． 【详解】证明：， 在和中，， ． 22．（2026·陕西榆林·二模）与的位置如图所示，点在边上，，，．求证：． 【答案】证明：∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【分析】根据等角的补角相等得出，利用证明，即可得出结论． 【详解】证明：略 23．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在和中，，点A、D、B、E在一条直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴； ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴． 【分析】由平行线的性质得到，再证明，则可证明，进而可证明． 【详解】略 24．（2026·陕西西安·一模）如图，在与中，，，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴． 【分析】先证明，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】略 25．（2026·陕西延安·一模）如图，与相交于点，与相交于点，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】先证明，再利用证明即可证明结论成立． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴． 26．（2026·陕西榆林·一模）如图，在和中，点在上，交于点，，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】通过平行线的性质结合已知等量代换证明，进而证明，即可得证． 【详解】证明：， ， ， ， 在和中， ， ． 27．（2026·陕西渭南·一模）如图，是的中线，的平分线交于点，延长至点，连接，．求证：． 【答案】 证明：是的平分线， ， 又， ， 是的中线， ， 在和中， ， ， ． 【分析】根据以及角平分线的定义得到，再由是的中线得到，最后证明即可得出结论． 【详解】略 28．（2026·陕西延安·一模）解答： (1)【初步探究】 如图1，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，，则的度数为________； (2)【类比探究】 如图2，在正方形中，点E在边上，点F在边上，连接，已知，，，求正方形的边长； (3)【拓展延伸】 如图3，在四边形中，，与互余，，为对角线，且满足，将绕点C顺时针旋转到，连接，若，，求的长． 【答案】(1) (2)正方形的边长为6 (3) 【分析】（1）根据旋转的性质易得为等边三角形，结合等边三角形的性质求解即可； （2）将绕点顺时针旋转得到，证明，设正方形边长为，则，，结合勾股定理即可解题； （3）证明，最后用勾股定理即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质得：，， 为等边三角形， ； （2）解：如图，将绕点顺时针旋转得到， 由旋转的性质可得，，，， ， ∴，，三点共线． ， ． ，， ． ． ， ． 设正方形的边长为，则，， 在中，，即， 解得，（负值舍去）． ∴正方形的边长为6； （3）解：由旋转的性质可得，，，， ， 又，， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴． 29．（2026·陕西西安·一模）在“综合与实践”数学活动课上，小秦同学的课题为已知，为内部一点，将三角尺顶点与点重合，三角尺两条边所在直线分别与交于点，与交于点．通过转动三角尺探究如下问题： 问题提出 (1)当时， Ⅰ．如图①，连接，当为的平分线时，与的数量关系为______． Ⅱ．如图②，连接，当时，与的数量关系为______． 问题探究 (2)如图③，连接，，若 ，且当与所成的锐角夹角为时，求四边形的面积． 问题解决 (3)如图④，该同学先将点固定，使得，连接，并测得，将三角尺的角顶点与点重合，绕顶点旋转三角尺，再连接，分析的面积变化，请你根据该同学的操作方式探究的面积是否存在最小值？若存在，求出的最小面积；若不存在，说明理由． 【答案】(1)①；② (2) (3)存在最小值，的最小面积为 【分析】（1）①作、，证四边形为矩形得，由同角的余角相等得 ，结合角平分线性质得，用证 ，即可得；②同①得 ，证 得，利用三角函数以表示、，求出，即可得 ； （2）作、 ，由与夹角得 ，将四边形面积拆为与面积和，代入计算即可； （3）作、，证四边形为矩形得，求为定值，将绕点顺时针旋转，并按放大，使与重合，得到，则，且在上，通过底高推导证明，将问题转化为求“定角、定高”的的最小面积，用定角定高模型作外接圆求最小值，得出面积最小值，即为最小面积． 【详解】（1）解：①如图，过点作于，于， ∴ ， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴； ②如图，过作于，于， ∴ ， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∵， ∴ ， 在中， ， 在中， ， ∴， ∴ ； （2）解：如图，过点作于，过点作 于，设与交于点， 由题意得 ， 在中， ， 在 中， ， ∴， ； （3）解：存在最小值，的最小面积为； 如图，过点作于，于，过点作于， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴ ， 在中，， ∴， ∴， 将绕点顺时针旋转，并按放大，使与重合，得到，则，， ∴，， 过点作于点， 在中，， ∴， ∴， ∴求的最小值等价于求的最小值， 作 的外接圆，半径为，连接 、、，过作 于， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边的高， ∴ ， ∵点、均在直线同侧， ∴ （当且仅当在上时取等号）， ∵， ∴，解得 ， 即， 此时， ∴的最小值为． 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题07三角形 5年真题1年模拟 中考品题透析园 考点分类 陕西考情(2022-2026) 命题规律 必考，选择填空3 全等是几何大题核心工具；重点掌握SSS、 考点01三角形全 分，解答大题高频出现： SAS、ASA、AAS;禁止使用SSA证全等；常结合旋 等的判定 常和四边形、圆综合，分 转、折叠模型；一般不单独考简单证明，多嵌入综合 值6-8分。 大题作为解题步骤。 核心：等边对等角、三线合一；考查等腰、等边 考点02等腰三角 高频考点，5年4 三角形性质；经常结合分类讨论（边、角不确定时分 考；填空选择3分，也 形的性质和判定 情况)；常与全等、勾股定理综合；“三线合一”是 常融入几何解答题。 高频解题突破口。 考点03直角三角 每年均有涉及，3-6 重点：直角三角形两锐角互余、斜边中线等于斜 边一半；30°角直角三角形边角关系；常与勾股定理 分；选择填空，也会在几 形 三角函数结合；多作为综合题的条件，很少单独命 何大题中作为条件。 题。 核心用于求线段长度；常考勾股数：会用勾股定 考点04用勾股定 高频必考，3-6分； 填空选择题，也广泛用于 理逆定理判定直角三角形；常结合折叠、网格、实际 理解三角形 几何模型：注意区分斜边与直角边，是几何计算最重 几何计算大题。 要工具。 五年真题分类园 考点01三角形全等的判定 1.(2026陕西中考真题)如图，△ABC为等边三角形，点D在AC的延长线上，CE‖AB,CE=AD 求证：△ABD≌△CBE. 1/14 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 2.(2025陕西·中考真题)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，且 ∠BAE=∠DAF.求证：CE=CF. D F E B 3.(2024陕西·中考真题)如图，在6×7的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DFE的顶 点都在格点上.求证：∠ABC=∠DFE, 4.(2025陕西中考真题)如图，点D是△ABC的边BC延长线上一点，BD=AB,DE‖AB, DE=BC.求证：BE=AC, D C B 5.(2023陕西中考真题)如图，在△ABC中，∠B=90°，作CD⊥AC,且使CD=AC,作 DE⊥BC,交BC的延长线于点E.求证：CE=AB. A D B E 2/14 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.(2023陕西·中考真题)如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=20°.过点A作AE⊥BC,垂足为E, 延长EA至点D.使AD=AC.在边AC上截取AF=AB,连接DF.求证：DF=CB, D 7.（2022陕西·中考真题)如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD=AB,DE∥AB,∠DCE=∠A.求证： DE-BC. E B D -品 考点02等腰三角形的性质和判定 8. (2025陕西，中考真题)如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=2∠C.若AB=5,BC=6, 则△ABD的周长为() A.8 B.10 C.11 D.12 9.(2024陕西·中考真题)如图，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=6.将△AOB绕点O顺时 针旋转450，得到△A0B°AB与OB相交于点D,则0D的长为（） 3/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B B A.2V2 B.3V2 c.23 D.3V3 考点03直角三角形 10.(2026陕西·中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=6.BC的垂直平分 线交BC于点D,交AC于点E,则DE的长为() E D A.2 B.3 c.23 D.43 11.(2025·陕西中考真题)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，CD为AB边上的中线， DE⊥AC,则图中与∠A互余的角共有() E A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 考点04用勾股定理解三角形 12.(2026陕西中考真题)如图，正方形ABCD和正方形CEFG,点E在BC的延长线上.若CE=2BC, 则tan∠AFC的值为() G B 4/14 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.2 B D.25 5 13.(2025陕西中考真题)如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=2,延长CB至点E,延长AD至点F, 连接AE,CF.若四边形AECF为菱形，则这个菱形的面积为() 39 B.8 p. 1 A.9 14.(2025陕西·中考真题)如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB的中点，点F在AD上， EF⊥EC,则△CEF的面积为() A D B A.10 B.8 C.5 D.4 15.(2024陕西.中考真题)问题提出 (1)如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC,垂足为D.若AB=15,AC=8,则AD的长为 问题解决 (2)如图②所示，某工厂剩余一块△ABC型板材，其中AB=100cm,BC=160cm,AC=140cm.为 了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆型部件.你认为可以吗？若可以，请在图 中确定可裁出的最大圆型部件的圆心O的位置，并求出⊙O的半径；若不可以，请说明理由. D 图① 图② 备用图 16.(2024陕西·中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC,E是边AB上一点，连接CE,在BC右侧作 5/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BF‖AC,且BF=AE,连接CF.若AC=13,BC=10,则四边形EBFC的面积为 C 17.(2023·陕西·中考真题)如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4.点E在边AD上，且ED=3,M、 N分别是边AB、BC上的动点，且BM=BN,P是线段CE上的动点，连接PM,PN.若PM+PN=4. 则线段PC的长为一· M 18.(2022陕西·中考真题)如图，AD是△ABC的高，若BD=2CD=6,tan∠C=2,则边AB的长为 () 0 A.3V2 B.3V/5 c.3V7 D.6V2 一年模拟练测园 一、单选题 1.(2026陕西安康一模)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为边AB的中点，BC=6,AC=8. 则CD的长为() B A.5 B.6 C.8 D.10 6/14 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.(2026陕西榆林.一模)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=15,BC=8,BD是AC边上的 中线，则BD的长是() D 17 4. 15 B. D.17 3.(2026陕西咸阳一模)如图，在△ABC中，∠B=40°，∠BAC=80°，AD是△ABC的高线.若 AC=4,则AD的长为() D 53 A.2 B. c.23 D.3+2 3 4.(2026陕西渭南一模)如图，直线ABCD,CE与AB交于点F,连接AE.若∠A=64°， ∠ECD=115°，则∠E的度数为() D A.43° B.48° c.51° D.56 5.(2026陕西渭南一模)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC的中点，连接BD.若AB=6, BD=5,则BC的长为() D 7/14 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.5 B.6 C.8 D.10 6.(2026陕西咸阳一模)如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,若AB=BC=17,AD=8,则CD的 长为() A.2 B.3 C.4 D.5 7.(2026陕西渭南二模)如图，在△ABC中，∠A=90°，BC=7,BD平分∠ABC交AC于点D,若 △BCD的面积为7，则AD的长为() D A.1 3 C.2 D.3 8.(2026陕西安康二模)如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，AE是边BC上的高.若BC=4, SAACD=3'则AE的长为() D B A.3 B.4 C.5 D.6 9.(2026陕西榆林·二模)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABE的顶点均在格点 上，点C、D分别是AB、AE的中点，连接CD,则CD的长为() 8/14 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E V13 V10 A. 2 B. 2 心号 D.V10 10.(2026陕西延安.一模)如图，在△ABC中，点D,E分别是边AB,AC的中点，CD⊥AB于点 D.若AB=12,CD=8,则DE的长度为() A D E B A.4 B.5 C.6 D.10 D2026陕西凋南一模)如图，在ΛABC中，BC多AB.乙ABC的平分线BD交AC边于点D,者 △ABC的面积为15，则△ABD的面积为() A.9 B.6 C.5 D.5.5 12.(2026陕西榆林.一模)如图，在四边形ABCD中，AD=10,BC=8,点E是对角线AC的中点，点 F,G分别是AB,CD边的中点，连接EF,EG,GF.若∠FEG=90°，则线段GF的长度为() A E A.5 B.V41 c.31 D.3 13.(2026·陕西渭南·二模)如图，在△ABC中，BC边上的点D在AB的垂直平分线上，连接AD,E是 9/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AD的中点，连接CE,若CE⊥AD,AC=10,DE=6,则BC的长为() A.16 B.18 C.20 D.22 14.(2026陕西渭南·二模)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D,AE是斜边BC的 中线，若AD=4,AE=5,则△ABC的面积为() A.10 B.16 C.18 D.20 15.(2026陕西咸阳·二模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分 线，过A作AE⊥BD交BD的延长线于点E.若AB=6,则BE的长为() A.3 B.4 c.3/3 D.4V3 16.(2026陕西咸阳·二模)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD为△ABC的中线，点E在AC 上，连接DE,DE=CE,则图中的等腰三角形有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 17.(2026陕西榆林.一模)如图，在矩形ABCD中，AB=9,AD=6,点E是AD边的中点，点F在AB 10/14 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 边上，且BF=2,BE与CF相交于点N,M是CE的中点，连接MN,则MN的长为 F M 18.(2026陕西渭南一模)如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AC>AB>6,点D、E分别在AB、 AC上，且BD=CE=6,连接DE,点P、Q分别是DE、BC的中点，连接PQ,则PQ的长为 三、解答题 19.(2026陕西渭南·二模)如图，延长△ABC的边BC至点E,点D在BE下方，连接CD、AD、ED、 BC=DE、∠CAD=∠CDA,∠ACB=∠CDE,求证：AB=CE. D 20.(2026陕西西安.一模)如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,E为AC边上一点，连接BE交AD于 点F,且BF=AC,DF=DC.求证：AD=BD D 21.(2026陕西渭南·二模)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点D在AC边上，AB=AD,过点D作 DE‖AB,连接AE,BC=AE. 11/14 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E 求证：∠C=∠E. 22.(2026陕西榆林·二模)△ABC与△ADE的位置如图所示，点C在AD边上，AB=AE, ∠BAC=∠E,∠D+∠BCD=180°.求证：AC=DE. D C 23.(2026陕西咸阳一模)如图，在△ABC和△乙中，∠E=90°，点A、D、B、E在一条直线上， BC‖EF,AD=BE,AC=DF.求证：BC=EF. D B 24.(2026陕西西安.一模)如图，在△ABC与△ADE中，AC=AE,∠CAD=∠EAB,∠C=∠E, 求证：∠B=∠D B C 25.(2026陕西延安一模)如图，AD与BE相交于点F,BD与CE相交于点G,∠D=∠E, ∠CBD=∠ABE,BA=BC,求证：BD=BE. 12/14 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 26.(2026陕西榆林.一模)如图，在△ABC和△就中，点B在DF上，DE交BC于点G,BC‖EF, ∠ABC=∠DGB,AB=DE,∠C=∠F.求证：AC=DF B 27.(2026陕西渭南一模)如图，AD是△ABC的中线，∠ACB的平分线CF交AD于点F,延长AD至 点E,连接BE,∠ACB=2∠DBE.求证：BE=CF. 28.（2026陕西延安·一模)解答： B E 6 D 图1 图2 图3 (1)【初步探究】 如图1，将△ABC绕点A顺时针旋转60°，得到△ADE,连接CE,DB,则∠ACE的度数为 (2)【类比探究】 如图2，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，连接EF,已知∠EAF=45°，BE=2, DF=3,求正方形ABCD的边长： 3)【拓展延伸】 如图3，在四边形ABCD中，CD=CB,∠BAD与∠BCD互余，AC,BD为对角线，且满足CD= AC 3 13/14 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 将△CDA绕点C顺时针旋转到△CBE,连接AE,若AD=3,AB=4,求BD的长. 29.(2026陕西西安·一模)在“综合与实践”数学活动课上，小秦同学的课题为已知∠AOB=90°，C 为∠AOB内部一点，将三角尺顶点与点C重合，三角尺两条边所在直线分别与OA交于点E,与OB交于 点F,通过转动三角尺探究如下问题： 图① 图② 图③ 图④ 问题提出 (1)当∠ECF=90时， I.如图①，连接OC,当OC为∠AOB的平分线时，CE与CF的数量关系为 IⅡ.如图②，连接OC,当∠COB=60°时，CE与CF的数量关系为 问题探究 (2)如图③，连接OC,EF,若OC=EF=8,且当OC与EF所成的锐角夹角为60°时，求四边形OECF 的面积 问题解决 (3)如图④，该同学先将点C固定，使得∠C0B=60°，连接OC,并测得OC=12cm,将三角尺的60°角 顶点与点C重合，绕顶点C旋转三角尺，再连接EF,分析△CEF的面积变化，请你根据该同学的操作方 式探究△CEF的面积是否存在最小值？若存在，求出△CEF的最小面积：若不存在，说明理由 14/14函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题07三角形 5年真题1年模拟：答案版 五年真题分类园 考点01三角形全等的判定 1.证明：：△ABC为等边三角形， .BA=BC,∠A=∠ABC=60 .CE AB ∴.∠BCE=∠ABC=60° ∴.∠BCE=∠A .CE=AD .△ABD≌△CBE SAS. 2. 证明：.四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC=DC=AD,∠B=∠D. .∠BAE=∠DAF, ∴.△ABE≌△ADF ASA, .'BE=DF. ∴.BC-BE=DC-DF,即CE=CF 3. 证明：如图，每个小正方形的边长均为1， 在Rt△BCE和Rt△DGF中， 116 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BC-BE+CE-4+1-17 DF-DG+GF2-1+4-17 .BC=DF, 同理可得： DE=AC=V32+1=10'EF=AB=V12+2=5' 在△ABC和△EFD中， AC=ED AB=EF BC=FD △ABC≌△EFD SSS, .∠ABC=∠DFE. 4. 证明：，DE‖AB, ∴.∠BDE=∠ABC, .BD=AB,DE=BC, △BDE≌△ABC SAS, ∴BE=AC. 5. 证明：，DC⊥AC于点C, ∴.∠ACB+∠DCE=90° .∠ABC=90°， .∠ACB+∠A=90°， .∠A=∠DCE, DE⊥BC于点E, .∠E=90°， ∠B=∠E 在△ABC和△CED中， ∠B=∠E ∠A=∠DCE, AC=CD ∴.△ABC≌△CED AAS. ..AB=CE. 216 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6. 证明：在△ABC中，∠B=50°，∠C=20°， ∴.∠CAB=180°-∠B-C=110°. .AE⊥BC. ∴.∠AEC=90° .∴.∠DAF=∠AEC+∠C=110°， .∴.∠DAF=∠CAB 在△DAF和△CAB中， 6, .△DAF=△CABSAS. ∴DF=CB 7. 证明：.DE∥AB, ∴∠EDC=∠B. 又，CD=AB,∠DCE=∠A, ∴.△CDE≌△ABC(ASA). ∴DE=BC 考点02等腰三角形的性质和判定 8.C 9.B 考点03直角三角形 10.C 11.c 考点04用勾股定理解三角形 12.B 13.C 14.C 316 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5罗 (2)可以， ,三角形内最大的圆是三角形的内切圆， ∴.所求圆的圆心是△ABC的内心， 作∠ABC和∠ACB的平分线BE,CF交于点O,则点O就是裁出的最大圆型部件的圆心O的位置， ⊙0 203cm MH 的半径为 16.60 17.2V2 18.D 一年模拟练测园 1.A 2.A 3.C 4.C 5.C 6.A 7.C 8.A 9.B 10.B 11.B 12.B 13.D 14.D 15.C 4/6 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 16.C 1. 3V10 2 18.3 19.见解析 20. 证明：，AD⊥BC, ∠ADC=∠ADB=90°， 在Rt△BDF和Rt△ADC中， BF=AC DF=DC .Rt△BDF≌Rt△ADC HL, ..AD=BD 21.详见解析 22.证明：：∠D+∠BCD=180°，∠ACB+∠BCD=180°， ∠ACB=∠D, 在△ABC和△EAD中， ∠ACB=∠D ∠BAC=∠E AB=AE .△ABC≌△EAD AAS, ..AC=DE 23. 证明：BC‖EF,∠E=90°， .∠ABC=∠E=90°： ..AD=BE, .AD+BD=BE+BD,AB=DE, 又.AC=DF, :.Rt△ABC≌Rt△HL, ∴BC=EF」 24.证明：，∠CAD=∠EAB, 516 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠CAD+∠BAD=∠EAB+∠BAD,即∠CAB=∠EAD, 在△ABC和△ADE中， ∠CAB=∠EAD AC=AE ∠C=∠E .△ABC≌△ADE ASA, ∠B=∠D 25.见解析 26.见解析 27. 证明：.CF是∠ACB的平分线， ∴.∠ACB=2∠DCF, 又.·∠ACB=2∠DBE, ∴.∠DBE=∠DCF, .AD是△ABC的中线， .'BD=CD 在△DBE和△DCF中， ∠DBE=∠DCF BD=CD BDE=∠CDF ∴.△DBE≌△DCF ASA, ∴.BE=CF 28.1)60° (2)正方形ABCD的边长为6 6)BD=-10 29.1)①CE=CF;②CF=V3CE (2)16V3cm2 3)存在最小值，△CEF的最小面积为216-108V3cm2 616