第一章特殊平行四边形巩固训练2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 本练习通过基础概念辨析、中档性质应用、综合动态探究三层设计，系统覆盖特殊平行四边形性质与判定，实现从单一知识点到多情境综合应用的巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|菱形、矩形、正方形的基本性质与判定|选择题1-3直接考查性质辨析，填空题11-13聚焦简单计算，夯实概念理解| |中档应用|性质与图形计算结合|选择题4-7涉及矩形面积、菱形高计算，解答题17-19通过证明题强化判定推理，培养运算能力| |综合提升|动态几何与多知识点综合|选择题8-10、填空题14-16含折叠、动点问题，解答题21结合探究性问题，发展空间观念与创新意识|

第一章特殊平行四边形巩固训练2026-2027学年 北师大版九年级上册 一、选择题 1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是() A.对角相等 B.对边相等 C.对角线互相垂直 D.对角线相等 【答案】C 2.如图，在矩形ABCD中，AC,BD相交于点O,若△AOB的面积为4，则矩形ABCD的面积 为( D 0 B C A.4 B.8 C.12 D.16 【答案】D 3.如图，在Rt△ABC中、点D是AB的中点，连接CD.若CD=2,则AB的长是() A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 4.如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上一点，且AC=EC,连接AE,则 ∠DAE的度数是() C A.30° B.20° C.22.5 D.15° 【答案】C 5.如图，菱形ABCD的对角线ACBD交于点O,∠CBD=30°，过点O作OE⊥BC于点E, 若CE=2,则OE的长为() D A.2 B.4 c.25 D.45 【答案】c 6.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,对角线AC与BD相交于点O,DE⊥AC,垂足为E,AE- 3CE,则D的长为() A E B A.6cm B.3V2 cm C.12cm D.3V3cm 【答案】C 7.如图，将一块边长为12Cm正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的E点，使DE=5, 折痕为PQ,则PQ的长为( A.12 B.13 c.5V2 D.53 【答案】B 8.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E,使DE=AD,连接EB,FC,DB,添加一 个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是() B A A.AB=BE B.CE⊥DE C.∠ADB-90° D.BE⊥DC 【答案】D. 9.如图，正方形ABCD的边长为6，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕 为GH,若BB:EC=2:1,则线段CH的长是（) E 8 A.2 B. C.3 D.3.5 【答案】B 10.如图，在菱形ABCD中，AC=2,∠ABC=60°，对角线ACBD相交于点Q,点尽 F分别在边AB、AD上，点尽F同时以相同的速度分别从点B向点A和从点A向点D运动， EF与AC交于点G,则在这个运动过程中，下列说法正确的个数是( F G ①菱形的面积是25；②△CEF始终为等边三角形：③线段EF长的最小值为V5:④点G 所走过的路径长为1. A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】A 二、填空题 11.如图，菱形ABCD中，过顶点C作CE⊥BC交对角线BD于点E,若∠A=130°，则∠BEC A E B 【答案】65 12.如图，在矩形ABCD中，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E,交BC于点F, AB=4,ED=3,则△AOE的面积为一· E B 【答案】5 13.如图，菱形ABCD的周长为16，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的 垂线段PE、PF,若PE+PF=3,则菱形ABCD的面积为 AF D E 【答案】12 14.如图，P是Rt△ABC的斜边AC(不与点A、C重合)上一动点，分别作PML AB于点M, PNL BC于点N,O是MW的中点，若AB-5,BC-12,当点P在AC上运动时，BO的最小 值是一 A M B 30 【答案】13 15.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为2,0，点 E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处.若点F的坐标为O,8,则点E 的坐标为 B 【答案】(- ,17) 2 16.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O,以点O为顶点的正方形OEGF的两边OE, OF分别交正方形ABCD的两边AB,BC于点M,N,记△AOM的面积为S1: △CON的面积为S2,若正方形的边长AB=6,S1=6,则S2的大小为 D S O M E B N C G 【答案】3 三、解答题 17.如图，在菱形ABCD中，延长BC到点E,连接ED并延长，交BA的延长线于点F. ∠ADF=∠CDE.求证：AF=CE. B E 【答案】见解析 【详解】证明：在菱形ABCD中，AD=CD,∠BAD=∠BCD, ∴.∠DAF=∠DCE, :∠ADF=∠CDE, .△ADF=△CDE ASA, ∴.AF=CE 18.如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DF⊥BC于点F,点E在边AD上，AE-CR,连接 BB.求证：四边形BFDE是矩形. 【答案】证明见解析. 【解答】证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC,AD=BC, .ED=AD-AB,BF=BC-CF,AB=CF, .ED=BF, ∴.四边形BDE是平行四边形， 又，DF⊥BC, ∴.∠DFB=90°， ,∴.平行四边形BDE是矩形. 19.如图，四边形ABCD是正方形，△BCE是等边三角形，连接AE,DE. B (1)求证：AE=DE: (2)求∠AED的度数. 【答案】(1)证明：四边形ABCD是正方形， ∴.AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°， ,'△BCE是等边三角形， .BE=CE,∠EBC=∠ECB=60°， ∴.∠ABC-∠EBC=∠BCD-∠ECB, ∴.∠ABE=∠DCE, 在△ABE和△DCE中， AB=DC ∠ABE=∠DCE BE=CE ∴.△ABE≌△DCESAS, ∴.AE=DE; (2)解：，四边形ABCD是正方形， ∴.AB=DC,∠ABC=90°， ,△BCE是等边三角形， ∴.BE=BC,∠EBC=∠BEC=60°， ,∴，AB=BE,∠ABE=90°-60°=30°， ÷∠BAE=∠BEA=180°-，ABE=75, 2 同理可得∠CED=75°， ,∠AED=360°-∠BEA-∠BEC-∠CED=150. 20.如图，~ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且∠OBC-∠OCB. (1)求证：四边形ABCD为矩形； (2)过B作BELAO于E,∠CBB-3∠ABB,BE=2,求AE的长. B 【答案】(1)略(2)2√2-2. 【解答】(1)证明：∠OBC=∠0CB, ∴.0B=0C, ,四边形ABCD是平行四边形， 1 1 .OC-OA-2AC,OB-OD-2 BD, .AC=BD, ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.四边形ABCD是矩形： (2),四边形ABCD是矩形， ∠ABC=90°， ,∠CBE=3∠ABB, 1 ∴.∠ABE=4×90°=22.5°， 在B上取一点H,使得HAB,易证AB弘，设AB=EB=x,则AHH√2x, D H ,BB=2, 4√2=2， e2W2-2: 21.如图1，在菱形ABCD中，E是AC上一点，CE>AE,连接DE,过点B作 BF∥DE交AC于点R B B (图1) (图2) (图3) (1)求证：AE=CF: (②)如图2，连接BE,DF,求证：四边形DEBF是菱形： (3)如图3，在(2)的条件下，延长DE交AB于点G,连接FG,CE=CD ①探究FG与DF的数量关系，并说明理由； ②若AE=2EF,且FG=3,求菱形ABCD的边长. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①FG=DF,理由见解析；②3V3 【详解】(1)证明：，四边形ABCD是菱形， .AD∥BC,DA=BC, ∴，∠DAE=∠BCF, BF∥DE, .∠DEC=∠BFA, ∴.180°-∠DEC=180°-∠BFA, ∴.∠DEA=∠BFC, .△DAE≌aBFC(AAS). .AE=CF (2)解：连接BD交AC于点O, ,△DAE≌△BFC, .DE=BF, DE∥BF, ∴，四边形DEBF是平行四边形， :四边形ABCD是菱形， .AC⊥BD ∴.平行四边形DEBF是菱形： (3)解：①FG=DF,理由如下： .CE=CD, ∴.∠CDE=∠CED, AB∥CD, ,LCDE=∠AGE. 又，∠CED=∠AEG ,∠AEG=∠AGE, .AE=AG, DE∥BF, ∴.∠AFB=∠AEG,∠ABF=∠AGE, ∴.∠AFB=∠ABF, .AF =AB, .AF-AE AB-AG. ∴.EF=GB, 又FB=BF, .AGBF≌aEFB(SAS), ∴.FG=EB, :四边形DEBF是菱形， ∴.FG=EB=DF: ②连接BD交AC于点O,则D0⊥AC,OA=OC, B 设EF=a,则AE=2a, ,四边形DEBF是菱形， :.F0=E0=20, 1 ..AO+OF =OC+OE, 5 CE=AF-CD=AE+FE=3a CO-04=AE+OE-24. 由勾股定理得OD2=DF2-F02=DC2-C02, 9-60j=咖-3j 解得a=5或a=-5(舍去)， .CD=3a=33, ∴.菱形ABCD的边长为3V3 第一章特殊平行四边形巩固训练2026-2027学年 北师大版九年级上册 一、选择题 1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　） A．对角相等 B．对边相等 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 2．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为4，则矩形ABCD的面积为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 3.如图，在Rt△ABC中、点D是AB的中点，连接CD．若CD＝2，则AB的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4.如图，四边形是一个正方形，是延长线上一点，且，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5.如图，菱形的对角线交于点O，，过点O作于点E，若，则的长为（   ） A．2 B．4 C． D． 6.如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AC，垂足为E，AE＝3CE，则BD的长为（　　） A．6cm B． C．12cm D． 7.如图，将一块边长为正方形纸片的顶点折叠至边上的点，使，折痕为，则的长为（   ） A．12 B．13 C． D． 8.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（　　） A．AB＝BE B．CE⊥DE C．∠ADB＝90° D．BE⊥DC 9．如图，正方形ABCD的边长为6，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（　　） A． B． C．3 D．3.5 10．如图，在菱形中，，，对角线相交于点O，点E、F分别在边上，点E、F同时以相同的速度分别从点B向点A和从点A向点D运动，与交于点G，则在这个运动过程中，下列说法正确的个数是（    ） ①菱形的面积是；②始终为等边三角形；③线段长的最小值为；④点G所走过的路径长为1． A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 11．如图，菱形ABCD中，过顶点C作CE⊥BC交对角线BD于点E，若∠A＝130°，则∠BEC＝ °． 12．如图，在矩形中，过对角线交点作交于点，交于点，，，则的面积为 ． 13.如图，菱形的周长为16，是对角线上一点，分别作点到直线、的垂线段、，若，则菱形的面积为 ． 14．如图，P是Rt△ABC的斜边AC（不与点A、C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，O是MN的中点，若AB＝5，BC＝12，当点P在AC上运动时，BO的最小值是 　　． 15．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上，将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则点的坐标为 ． 16.如图，正方形的对角线相交于点，以点为顶点的正方形的两边，分别交正方形的两边，于点，，记的面积为，的面积为，若正方形的边长，，则的大小为 ． 三、解答题 17.如图，在菱形中，延长到点，连接并延长，交的延长线于点．．求证：． 18.如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DF⊥BC于点F，点E在边AD上，AE＝CF，连接BE．求证：四边形BFDE是矩形． 19.如图，四边形是正方形，是等边三角形，连接． (1)求证：； (2)求的度数． 20.如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且∠OBC＝∠OCB． （1）求证：四边形ABCD为矩形； （2）过B作BE⊥AO于E，∠CBE＝3∠ABE，BE＝2，求AE的长． 21．如图1， 在菱形中，E是上一点，，连接，过点B作交于点F． (1)求证：； (2)如图2，连接，求证：四边形是菱形； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点G，连接，． ①探究与的数量关系，并说明理由； ②若，且，求菱形的边长． 学科网（北京）股份有限公司 $