专题06 菱形、矩形、正方形中旋转问题的三类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形旋转问题，以解题通法为统领，分菱形、矩形、正方形三类题型提炼方法，通过典例与变式夯实基础，压轴挑战突破思维，构建“性质-方法-应用”系统训练，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1通法总结|旋转全等、手拉手模型、设参方程|旋转性质→共性解法→易错提醒| |菱形旋转问题|1典例+3变式|对称性质+坐标变换+全等|菱形性质→旋转坐标/线段计算| |矩形旋转问题|1典例+3变式|全等三角形+勾股定理+方程|矩形性质→旋转顶点位置/面积| |正方形旋转问题|1典例+3变式|全等+对角线性质+分类讨论|正方形性质→旋转动态综合问题| |压轴挑战|9题（选择3+填空3+解答3）|综合应用+多解探究|三类题型融合→中考压轴突破|

专题06 菱形、矩形、正方形中旋转问题的三类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、菱形中的旋转问题 题型二、矩形中的旋转问题 题型三、正方形中的旋转问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - **题型特征**：将特殊平行四边形绕某顶点旋转一定角度，探究对应边角关系、求线段长或面积，常与全等、相似、勾股定理结合。 - **解题方法**：利用旋转前后图形全等，找对应边、对应角相等；旋转角等于对应点与旋转中心连线夹角；常构造“手拉手”全等或相似；设参列方程用勾股或三角函数求解。 - **易错提醒**：混淆旋转角与图形内角；找错对应点导致边角对应关系错误；旋转后点落在特殊位置（如边上或延长线）时忽略分类讨论；未考虑旋转方向（顺时针/逆时针）对图形位置的影响。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、菱形中的旋转问题 典例1 （2025·宁夏银川·一模）雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶体．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点的坐标为，点在第一象限，，将菱形绕原点沿顺时针方向旋转5次，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点重合），则旋转第四次得到的点的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，坐标与图形变化-旋转，含30度角的直角三角形的性质；如图，旋转第四次得到菱形，过作轴于，连接交于，由菱形的性质推出，，，由含30度角的直角三角形的性质求出，，，，求出，即可得到的坐标． 【详解】解：如图，旋转第四次得到菱形， 过作轴于，连接交于， 四边形是菱形， ，，， 的坐标是， ， ， ， ， ， ， ， ， 的坐标是． 故答案为：． 题型模版 1.特征：菱形绕某点旋转一定角度，求旋转后对应点坐标或角度，常结合对称性。 2.方法：利用旋转前后对应边相等、对应角相等，结合菱形边角关系及全等三角形，列方程或坐标变换求解。 变式1-1（2025·四川绵阳·二模）如图，已知菱形的边长为8，，将菱形绕点按逆时针方向旋转得到菱形，、分别交直线于、，若是的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，锐角三角函数和勾股定理以及等腰三角形，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．根据菱形的性质，利用勾股定理求出相关线段的长度，再利用等腰三角形的性质求出的长度． 【详解】解：过点作于， 四边形是菱形， ， ， ， ，解得， 是直角三角形， ， ，是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 变式1-2（25-26八年级下·江苏镇江·期末）如图，菱形的对角线，交于点，菱形的顶点与点重合，，，连接，取其中点，连接，将菱形绕点旋转一周，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】过点作于点，根据菱形的性质可证是等边三角形，根据等腰三角形的三线合一定理可证为的中位线，根据三角形的中位线定理可知，利用勾股定理可以求出，根据三角形三边关系可得当点、、三点共线时，取最小值，最小值为． 【详解】解：如下图所示，过点作于点， 四边形是菱形， ， 又， 是等边三角形， ， 点是的中点， 又点是的中点， 为的中位线， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， 当点、、三点共线时，取最小值， 最小值为． 变式1-3（25-26八年级下·广西南宁·期末）综合与实践 【问题情境】市政公园休闲区搭建两组菱形镂空景观钢架，两套钢架共用顶部固定支点，大型钢架为菱形，小型钢架为菱形，设计图纸规定两个菱形顶角，、是钢架支撑杆．施工时小型钢架锁死固定不动，大型钢架可绕支点自由旋转调整摆放角度，工程人员需要测算钢架支撑杆长度解决施工用料问题． 【操作发现】 (1)如图，调整大型钢架，使得大型钢架边与小型钢架边重合．请直接写出钢架支撑杆与之间的数量关系． 【探究验证】 (2)按图方式摆放钢架，此时大型钢架的顶点落在小型钢架的侧边上，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【拓广探究】 (3)现场实测：图摆放状态下，，大型钢架边长为米． ①求小型菱形钢架的边长． ②旋转调整大型钢架菱形，当、、三点落在同一条直线上时，需增加一条钢架支撑杆，请直接写出的长度． 【答案】(1) (2)解：仍然成立，理由如下： ∵四边形和均为菱形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ∵， ∴， ∴； (3)①米；②6米或米 【分析】（1）证明，即可解答； （2）证明，即可解答； （3）①过点E作于点H，则，根据直角三角形的性质以及等腰三角形的性质，可得，，再由，米，即可求解； ②连接，过点B作于点M，则，根据菱形以及直角三角形的性质可得，然后分两种情况：当点G在线段上时， 当点G在线段的延长线上时，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形和均为菱形， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）解：①如图，过点E作于点H，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，米， ∴， ∴米， 即菱形的边长为米； ②如图，连接，过点B作于点M，则， 在菱形中，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由①得：菱形的边长为米， ∴， 当点G在线段上时，如图， ∵A，B，F三点在同一条直线上， ∴， ∴， ∴A，G，C三点也在同一条直线上， ∴； 当点G在线段的延长线上时，连接，如图， ∵四边形为菱形， ∴， ∵A，B，F三点在同一条直线上， ∴， ∴A，G，C三点也在同一条直线上， ∴； 综上所述，的长为6米或米． 类型二、矩形中的旋转问题 典例2 （2025·重庆·模拟预测）如图，将矩形绕点旋转，得到矩形，恰好经过点，连接，若，则的度数为______ 【答案】12 【分析】根据矩形和旋转的性质，得到，等边对等角求出的度数，再利用角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵将矩形绕点旋转，得到矩形，， ∴， ∴， ∴． 题型模版 1.特征：矩形绕某点旋转一定角度，求旋转后顶点位置或重叠面积，常结合全等。 2.方法：利用旋转前后对应边角相等，结合矩形对边平行且相等，构造全等三角形或勾股定理列方程求解。 变式2-1（25-26八年级下·江苏南通·期末）如图，在矩形中，，．将矩形绕点逆时针旋转至矩形，点落在对角线上． （1）旋转角的度数为______； （2）连接，则的长度为_______． 【答案】 【分析】（1）如图，取的中点O，连接，首先利用勾股定理求出，然后由斜边中线的性质得到，推出点和点O重合，证明三角形是等边三角形，即可得到旋转角的度数为； （2）如图，过点作交于点F，，交于点，由旋转得，，证明四边形是矩形，，得到，，然后多次利用勾股定理求解． 【详解】解：（1）如图，取的中点O，连接 ∵四边形是矩形 ∴， ∴ ∵点O是的中点 ∴ 由旋转得，，点落在对角线上 ∴点和点O重合， ∴ ∴三角形是等边三角形 ∴ ∴旋转角的度数为； （2）如图，过点作交于点F，交于点 ∵ ∴ 由旋转得，， ∴ ∵四边形是矩形 ∴ ∵ ∴ ∴四边形是矩形， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴． 变式2-2（24-25九年级上·辽宁大连·期末）数学兴趣小组活动中，老师要求学生探究如下问题： 如图，将矩形绕点A按逆时针方向旋转得到矩形，当点E落在上时停止旋转，交于点． (1)连接，请判断和是否在同一条直线上，并说明理由． (2)求证：． 【答案】(1) 和是在同一条直线上，理由如下： 四边形是矩形， ，， ， 矩形是由矩形旋转得到的， ，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 即：， ， ， 和是在同一条直线上； (2) 证明：由（1）得：，， ， ， ． 【分析】（1）由矩形的性质可得，，由直角三角形的两个锐角互余可得，由旋转的性质可得，，，进而可得， 由等边对等角可得，进而可得，利用可证得，于是可得，即，进而可得，然后由即可得出结论； （2）由（1）得，，由等角对等边可得，进而可得，于是结论得证． 【详解】（1）略 （2）略 变式2-3（25-26八年级下·江苏泰州·期中）数学综合实践课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动. 如图1，矩形和矩形重合，，.矩形保持不动，将矩形绕点A逆时针方向旋转. (1)如图2，小红将矩形的顶点旋转至边上，求的长； (2)如图3，小红继续旋转矩形，发现：当点落在的延长线上时，、、在同一条直线上，你认为小红的发现正确吗?请说明理由； (3)在（2）的条件下，如图4，连接交于点，延长交的延长线于点，求的长． 【答案】(1) (2) 解：正确，理由如下： 如图，连接、， 根据题意可得， ， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， ， 所以、、在同一条直线上； (3) 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，作出正确的辅助线是解题的关键． （1）利用勾股定理求得的长度，即可解答； （2）连接、，证明四边形是平行四边形，即可解答； （3）利用平行四边形的性质得到，，在通过勾股定理列方程解得的长，即可解答． 【详解】（1）解：四边形为矩形，矩形和矩形重合， ，， , （2）略 （3）解：根据（2）中可得四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 设， 、D、C在同一条直线上， ， 在中，利用勾股定理得， ， 可得方程，解得， ∴． 题型三、正方形中的旋转问题 典例3 （2026·广东广州·二模）如图，正方形和正方形边长分别为和，正方形绕点旋转． （1）________； （2）用和的代数式表示：________． 【答案】 / / 【分析】（1）根据正方形的性质可证，，，利用可证，根据全等三角形的性质可证； （2）根据可知，可证，根据勾股定理可知，根据，，可得． 【详解】（1）解：四边形和四边形是正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：如下图所示，连接，，设与交于点M ， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， ． 题型模版 1.特征：正方形绕中心或某点旋转，求旋转后顶点坐标或重叠面积，常结合全等与对称。 2.方法：利用旋转前后对应边角相等，结合正方形四边相等、对角线垂直，构造全等三角形或坐标变换求解。 变式3-1（24-25七年级下·山东聊城·期末）如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，给出如下四个结论：①；②正方形绕点O旋转时，四边形面积随的长度变化而变化；③周长的最小值为；④其中所有正确结论的代号是______． 【答案】①③ 【分析】①由四边形和是正方形可知，易证得≌，则可得为等腰直角三角形；②由①易证得，则可得出结论；③，而的最小值为，故可得结论③正确；④由和，即可得结论． 【详解】解：①四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ；故①正确； ②由①得≌ ， 故②错误； ③由①可知， 周长， 为定值，则最小时的周长最小， 当时最小，的周长最小， 此时， 的周长最小值= 故③正确， ④在中，，，， ， 又 ，故④错误． 故答案为①③． 变式3-2（25-26八年级下·福建泉州·期末）已知四边形是边长为5的正方形，将矩形绕点旋转． (1)如图1，若． ①直接写出旋转过程中线段的最大值； ②连接、，若、交于点，求的度数； (2)如图2，若，，在旋转过程中，是否存在以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①8；②； (2)存在，的长为或4． 【分析】（1）①根据已知条件，由两点之间线段最短，可以得到线段的最大值 ②由已知条件，证明，推得再利用三角形内角和，求出； （2）分类讨论当矩形旋转到不同位置时构成平行四边形的情况，分别求出线段的长． 【详解】（1）①解：由已知，，， ， 当时，的最大值为8； ②解：∵四边形为正方形， ，， ∵四边形为矩形， ， ． 在和中， ， ， ， ， ， 又，， ； （2）解：①当矩形旋转至如图时，四边形为平行四边形， 此时，点与点重合， ； ②当矩形旋转至如图时，四边形为平行四边形此时，点、、三点共线， ； ③当矩形旋转至如图时，四边形为平行四边形， 此时， 又，， ， ， 又， ， 即点、、在同一条直线上． 在中，，由勾股定理得： ． 综上所述，的长为或4． 变式3-3（25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测）如图1，已知正方形和正方形，点在边上，点在线段的延长线上．将正方形绕点按逆时针方向旋转，连接与直线交于点，如图2所示． (1)如图2，求证：； (2)请在下列①、②中任选一问进行证明． ①在旋转过程中，的度数不变； ②过点作于点于点，在旋转过程中，与之间的数量关系不变． 【答案】(1) 证明：∵在正方形和正方形中，， ，即， ； (2) 选①证明：设与交于点 ， ， 在和中， ∵， ， 在旋转过程中，的度数不变 选②证明：如图， ， ，， ， ， 在旋转过程中，与之间的数量关系不变． 【分析】（1）由正方形的性质得，进而可证，然后根据可证； （2）选①由对顶角相等得，由全等三角形的性质得，然后利用三角形内角和定理可证； 选②由得，，然后根据三角形面积公式可证结论成立． 【详解】（1）略 （2）略 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（2025·江西赣州·一模）如图，坐标平面内有一个矩形，点A位于原点，点B、D在坐标轴上，点C的坐标为，现固定B点并将此矩形按顺时针方向旋转，若旋转后C点的坐标为，则旋转后D点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的性质、矩形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 先根据旋转后点的坐标为，得出点落在轴上，再根据旋转的不变性和矩形的性质得到，即可得到点的坐标为． 【详解】解：如图，记旋转后的矩形为， ∵旋转后点的坐标为， ∴点落在轴上， ∵，四边形是矩形， ∴，， ∵旋转， ∴，， ∴点的坐标为， 即旋转后点坐标为 故选：D． 2．（2025·河南南阳·模拟预测）如图，在中，，边在x轴上，顶点B的坐标为，以为边向的外侧作正方形，将组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第98次旋转结束时，点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作轴于，过点作轴于点，根据四边形是正方形以及等腰直角三角形的性质可得，将组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转，每旋转8次回到最初位置，从而得到第98次旋转结束时，相当于将顺时针旋转了，作轴于，通过证明，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于点， ，在中，，边在x轴上，顶点B的坐标为 ， ∴， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 将组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转， 每旋转次回到最初位置， ， 第98次旋转结束时，相当于将顺时针旋转了，如图所示， ， 则，， 作轴于，则， ，， ， ， ，， ， 第98次旋转结束时，点的坐标为， 故选：A． 3．（2026·河南鹤壁·一模）鹤壁市市花为迎春花，某文创工作室以迎春花花瓣为原型设计了菱形图案．如图所示，在平面直角坐标系中，初始菱形花瓣图案的顶点的坐标为，点在第一象限，．将菱形绕原点顺时针方向旋转，每次旋转，第一次旋转得到菱形花瓣．若持续旋转，第2026次旋转后，顶点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，首先确定，结合菱形的性质以及旋转的性质，确定旋转第四次时，点落在x轴的负半轴上；连接，过点作轴于点E，易得，，结合含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得，的长度，结合点在第三象限即可确定其坐标；根据图像变化规律可知第2026次旋转后，顶点的坐标与点的坐标相同，即可获得答案． 【详解】解：连接，如下图， ∵点的坐标为， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 由旋转得， ∴， ∵点B在y轴上， ∴点在x轴上， ∴旋转第四次时，点落在x轴的负半轴上， 连接，过点作轴于点E，如图，则， 由旋转可知，，， ∴， ∴， ∵点在第三象限， ∴， 又∵， ∴第2026次旋转后，顶点的坐标与点的坐标相同， ∴． 二、填空题 4．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在菱形中，，将该菱形绕点在平面内顺时针方向旋转得到菱形，与交于点，且，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、三角形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 连接，作于点，利用菱形的性质和旋转的性质求出，，利用直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质，结合 进行求解即可． 【详解】解：连接，作于点，则， ∴，，， ∴， 将菱形绕点顺时针旋转得到菱形， ∴，，， ，，， ， ∴，， 点在上，， ∴，， ， ∴ ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 旋转后的图形与原图形重叠部分的面积是， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）共顶点的正方形绕着正方形旋转，其中，．在旋转一周的过程中，当、、三点恰好在同一条直线上时，此时________． 【答案】7或17 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三线合一定理，直角三角形的性质，由正方形的性质可得，则由勾股定理可得；再分点E在上方和点E在下方，两种情况画出示意图，讨论求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴； 如图所示，当点E在上方时，过点A作于T， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点E在下方时，过点A作于T， 同理可得， ∴； 综上所述，的长为7或17； 故答案为：7或17． 6．（2026·江西景德镇·二模）矩形中，对角线，将绕点旋转一定的角度后，点的对应点恰好为一边的中点，则________． 【答案】2或或 【分析】根据矩形的性质得到是直角三角形，结合旋转的性质得到对应线段相等，分情况讨论中点的不同位置，利用勾股定理计算求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵将绕点旋转一定的角度后，点的对应点恰好为一边的中点， ∴当点的对应点为斜边的中点时，如图，则此时， ∴当点的对应点为直角边的中点时，此时， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， 当点的对应点为边的中点时，记此时的对应点为，则，， 由勾股定理可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去） 综上所述，或或． 三、解答题 7．（2026·江苏泰州·三模）综合与实践： 已知菱形的边长为2，，将该菱形绕顶点按顺时针方向在平面内旋转至菱形． (1)若旋转后与垂直如图1，则旋转角为______； (2)将旋转至与重合时，请求出旋转后的图形与原图形重叠部分的面积；（请在图2中构图） (3)菱形在旋转过程中如图3，连接，，，为等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1)330 (2) (3)或或或 【分析】（1）先根据菱形性质及已知角度，确定相关角的度数并设交点，再由旋转后垂直关系，利用四边形内角和求出，从而得； （2）先作辅助线，依据菱形性质求相关线段长与三角形面积，再利用旋转性质推出角度与边长关系，算出另一三角形面积，进而得重叠部分面积； （3）根据题图分情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，， ∴，， 设交点与交点为， ∵旋转后与垂直， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图： 连接、交于点，延长至点，连接，与交于点， ∵四边形是菱形， ∴平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形，四边形由四边形旋转得到， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ， ． （3）解：本题分多种情况讨论： ①当，如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴，是等腰三角形， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ②当，如图，延长至点， 当在左侧；连接、，设与交于， 在中， ∵ 四边形是菱形， ∴为、中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ； 当在右侧，连接、，设与交于， 根据上一情况可得：，，， ∴， ∴； ③当时，如图， 由①可知是等边三角形， ∵ 四边形由四边形旋转得到， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴四边形是菱形， ∴，交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 综上，或或或． 8．（25-26八年级下·福建泉州·期末）【问题情境】同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 【操作发现】 (1)如图1，正方形和正方形，连接，．线段与线段之间的数量关系是___________；直线与直线的夹角度数为___________；（注：两条直线的夹角是指两条直线相交所形成的小于等于的角） (2)如图2，当正方形绕点旋转时，线段与线段之间的数量关系是___________；直线与直线的夹角度数为___________． 【深入探究】 (3)如图3，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想线段与的数量关系及直线与的夹角度数，并说明理由． 【迁移探究】 (4)如图3，在（3）的条件下，，在菱形绕点旋转过程中，求线段的最小值． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，，理由如下： ， ， ， 四边形和四边形为菱形， ，， 在和中， （）， ，， 如图，延长交的延长线于点，交于点， ，，， ， 直线与的夹角度数为； (4) 【分析】（1）利用正方形的边、角相等证得，进而得出，结合三角形内角和推出两线段夹角； （2）将旋转前后的角同减公共角得到一组等角，然后根据证得全等三角形，得到，再结合对顶角相等、三角形内角和求出夹角； （3）将，同减公共角推出，根据证得，进而得到，再利用三角形内角和、对顶角相等求出夹角； （4）在以为圆心、为半径的圆上，求出菱形对角线长，用圆外一点到圆最短距离得最小值． 【详解】（1）解：∵四边形和四边形为正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∴直线与直线的夹角度数为． （2）解：∵四边形和四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，延长交于点，交于点， ∵，且， ∴， ∴， 即直线与直线的夹角度数为． （3）略 （4）解：如图，以点为圆心，长为半径作圆，连接，交于， 根据题意可知，点在以为圆心、为半径的圆上运动，当点在上时，线段取得最小值， 四边形是菱形，， ，，， ， ， ， ， ， ， 线段的最小值为． 9．（24-25九年级上·山西太原·阶段检测）综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师让每个组准备了一张矩形纸片．如图1，把矩形绕点逆时针旋转得到矩形纸片，点，，的对应点为，，，设旋转角为．操作中，同学们提出了如下问题，请你解答：操作探究： （1）“奋进小组”提出问题：如图2，当矩形纸片旋转到点落在上时，延长交于点． ①求证：四边形是正方形； ②连接，取的中点，连接、，若，，则线段的长为_______． 数学思考： （2）“团结小组”提出问题：如图3，连接，当矩形纸片旋转到点在的延长线上时，延长，交于点，交于点，求证：； 深入探究： （3）“善思小组”提出问题：若，．在矩形纸片旋转过程中，连接线段和，当时，直接写出的长． 【答案】 （1）①证明：∵四边形、是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 由旋转的性质可得， ∴四边形是正方形； ②； （2）证明：如图，连接， ∵四边形、是矩形， ∴，，，， ∴，， 由旋转的性质可得，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）的长为或 【分析】（1）①由矩形的性质可得，，，从而得出，推出四边形是矩形，由旋转的性质可得，即可得证；②连接，证明，得出，，证明为等腰直角三角形，由直角三角形斜边上的中线的性质得出，再由勾股定理求出即可得解； （2）连接，由矩形的性质可得，，，，由平行线的性质可得，由旋转的性质可得，，证明，得出，从而得到，由等角对等边对出，结合，即可得证； （3）由旋转的性质可得，点在以为圆心，为半径的圆上，由，得出点在的垂直平分线上，再两种情况：当在的上方时，令的垂直平分线交于，交于，则；当在的下方时，令的垂直平分线交于，交于，则；分别利用矩形的判定与性质、勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）①略 ②解：如图，连接， ∵四边形、是矩形， ∴，，，，，， 由旋转的性质可得，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴为等腰直角三角形， ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）由旋转的性质可得，点在以为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴点在的垂直平分线上， 如图，当在的上方时，令的垂直平分线交于，交于，则， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴，，，     ∴四边形为矩形， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴； 如图，当在的下方时，令的垂直平分线交于，交于，则， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴，，，     ∴四边形为矩形， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06菱形、矩形、正方形中旋转问题的三类综合题型 目 录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、 菱形中的旋转问题 题型二、矩形中的旋转问题 题型三、正方形中的旋转问题 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 夙解题通法 明晰核心解法，助力能力迁移 *题型特征*：将特殊平行四边形绕某顶点旋转一定角度，探究对应边角关系、求线段长或面积，常与 全等、相似、勾股定理结合。 ~*解题方法**：利用旋转前后图形全等，找对应边、对应角相等；旋转角等于对应点与旋转中心连线夹 角：常构造“手拉手”全等或相似：设参列方程用勾股或三角函数求解。 。*易错提醒*：混淆旋转角与图形内角；找错对应点导致边角对应关系错误；旋转后点落在特殊位置 (如边上或延长线)时忽略分类讨论；未考虑旋转方向（顺时针逆时针)对图形位置的影响。 夙题型归纳一精讲典型题法，奔尖解题根基 题型一、菱形中的旋转问题 典例1(2025宁夏银川一模)雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是 种美丽的结晶体.美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐 标系，绘制菱形01BC,且顶点B的坐标为0，)，点A在第一象限，∠A0C=60°，将菱形01BC绕原点 1/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 沿顺时针方向旋转5次，每次旋转 60° ，旋转第一次得到四边形 ABG(点S与点4重合)，则旅转第 B 四次得到的点“的坐标是 y本 A(C) 0 A 题型模版 1特征：菱形绕某点旋转一定角度，求旋转后对应点坐标或角度，常结合对称性。 2方法：利用旋转前后对应边相等、对应角相等，结合菱形边角关系及全等三角形，列方程或坐标变换求 解。 变式11(225四川绵阳二模)如图，已知麦形BCD的边长为8，sn∠CD 4,将菱形ABCD绕点A 按逆时针方向旋转得到菱形AEFG,AE、AG分别交直线BC于M、V,若B是CM的中点，则BN的长 为() AV B.8-2V万 c.4v7-8 D.3V7-6 变式1-2(25-26八年级下江苏镇江·期末)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,菱形AB'CD 的顶点与点O重合，D=2AD=4,∠DAB=∠DAB=60°，连接AD',取其中点M,连接B'M,将 菱形A'B'CD'绕点A旋转一周，则BM的最小值为 2/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A） 变式1-3(25-26八年级下广西南宁期末)综合与实践 【问题情境】市政公园休闲区搭建两组菱形镂空景观钢架，两套钢架共用项部固定支点A,大型钢架为菱 形ABCD,小型钢架为菱形AEFG,设计图纸规定两个菱形顶角∠BAD=∠EAG,BE、DG是钢架支撑杆】 施工时小型钢架AEFG锁死固定不动，大型钢架ABCD可绕支点A自由旋转调整摆放角度，工程人员需要 测算钢架支撑杆长度解决施工用料问题， 图1 图2 【操作发现】 (I)如图1，调整大型钢架，使得大型钢架边AD与小型钢架边AE重合.请直接写出钢架支撑杆BE与DG 之间的数量关系 【探究验证】 (2)按图2方式摆放钢架，此时大型钢架的顶点D落在小型钢架的侧边EF上，请问(1)中的结论是否仍然 成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由. 【拓广探究】 3)现场实测：图1摆放状态下∠ABE=45°，∠BAD=60°，大型钢架边长AB为6米. ①求小型菱形钢架AEFG的边长， ②旋转调整大型钢架菱形ABCD,当A、B、F三点落在同一条直线上时，需增加一条钢架支撑杆CG, 请直接写出CG的长度. 3/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型二、矩形中的旋转问题 典例2：(2025重庆模拟预测)如图，将矩形OABC绕点O旋转，得到矩形OA'B'C,AB恰好经过点C, 连接CC,若∠AOA=24°，则∠CC'B的度数为· A B B 题型模版 1特征：矩形绕某点旋转一定角度，求旋转后顶点位置或重叠面积，常结合全等。 2方法：利用旋转前后对应边角相等，结合矩形对边平行且相等，构造全等三角形或勾股定理列方程求解。 变式21(25-26八年级下江苏南通期末)如图，在矩形MBCD中，MB=1,BC=V5 ABCD. 将矩形 D绕 点A逆时针旋转至矩形AB'CD',点B'落在对角线BD上. D (1)旋转角的度数为°； (2)连接CD',则CD'的长度为 变式2-2(24-25九年级上·辽宁大连期末)数学兴趣小组活动中，老师要求学生探究如下问题： 如图，将矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转得到矩形AGFE,当点E落在BD上时停止旋转，EF交AB 于点H. 4/11 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G B (I)连接BF,请判断BC和BF是否在同一条直线上，并说明理由， (2)求证：AH=FH. 变式2-3(25-26八年级下江苏泰州期中)数学综合实践课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活 动 如图1，矩形ABCD和矩形AB'CD重合，AB=5,AD=3.矩形ABCD保持不动，将矩形AB'C'D绕点A 逆时针方向旋转 B' D(D) C(C） B(B) 图1 图2 图3 图4 (1)如图2，小红将矩形的顶点B旋转至CD边上，求CB的长： (2)如图3，小红继续旋转矩形AB'CD,发现：当点B'落在BD的延长线上时，C'、D、C在同一条直线 上，你认为小红的发现正确吗？请说明理由： (3)在(2)的条件下，如图4，连接BC交AD于点E,延长CB交AD的延长线于点F,求EF的长. 题型三、正方形中的旋转问题 典例3(2026广东广州二模)如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，,正方形CEFG绕 点C旋转. 5/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D G (1)∠CBE=∠ (2)用a和b的代数式表示：DE2+BG2=」 题型模版 1特征：正方形绕中心或某点旋转，求旋转后顶点坐标或重叠面积，常结合全等与对称。 2方法：利用旋转前后对应边角相等，结合正方形四边相等、对角线垂直，构造全等三角形或坐标变换求 解。 变式3-1(2425七年级下山东聊城期末)如图，正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又是正方形 ABCO 的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，给出如下四个结论：O∠0F=45°， ；②正方形 4BCO绕点O旋转时，四边形OEBF面积随EF的长度变化而变化：③△BEF周长的最小值为1+v2)OA, ④AE2+CF2=20B2.其中所有正确结论的代号是 A B C 变式3-2(25-26八年级下·福建泉州期末)已知四边形ABCD是边长为5的正方形，将矩形CEFG绕点C 旋转. 6/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 备用图 (1)如图1，若CE=CG=3 ①直接写出旋转过程中线段DE的最大值： ②连接BG、DE,若BG、DE交于点H,求∠BHD的度数； (②)如图2，若CE=3,CG=4,在旋转过程中，是否存在以C、E、D、G四点为顶点的四边形是平行四 边形，若存在，求出线段DE的长，若不存在，请说明理由 变式3-3(25-26九年级下河北邯郸阶段检测)如图1，已知正方形ABCD和正方形AEFG,点B在边AG 上，点D在线段BA的延长线上.将正方形1BCD绕点4按逆时针方向旋转a(0<a<90) 连接 DG,BE,DG BE 0 与直线交于点，如图2所示 B 图1 图2 (1)如图2，求证：△ADG2△ABE: (2)请在下列①、②中任选一问进行证明. ①在旋转过程中，∠G0E的度数不变： ②过点A作AM⊥DG于点M,AN⊥BE于点N,在旋转过程中，AM与AN之间的数量关系不变. ◆◆ ◆◆ 7/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上 一、单选题 1.(2025江西赣州一模)如图，坐标平面内有一个矩形ABCD,点A位于原点，点B、D在坐标轴上， 2,1) 3,0) 点C的坐标为 现固定B点并将此矩形按顺时针方向旋转，若旋转后C点的坐标为 ,则旋转后 D点的坐标为() 4 (2,3) B.(2,2) c.(3,3) D.(32) 2.(2025河南南阳模拟预测)如图，在RtAOAB中，OB=AB,边OA在x轴上，顶点B的坐标为 ,1) 以AB为边向△OAB的外侧作正方形ABCD,将组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转45°，则第98次 旋转结束时，点D的坐标为() B A.(-3) B.（-1,3) c.(3-) D.(1,3) 3.(2026河南鹤壁·一模)鹤壁市市花为迎春花，某文创工作室以迎春花花瓣为原型设计了菱形图案.如 图所示，在平面直角坐标系中，初始菱形花瓣图案的顶点8的坐标为Q,4利)， ,点4在第一象限， ∠40C=60°.将菱形O1BC绕原点顺时针方向旋转，每次旋转60°，第一次旋转得到菱形花瓣 OABC 8/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若持续旋转，第2026次旋转后，顶 B,的坐标是（） y B A(C) B A A.（25,-2 B.(0,-4) c.（-2,-25 D.(23,-2) 二、填空题 4.(2025·陕西西安·模拟预测)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，将该菱形绕点A在平面内顺时针 方向旋转30°得到菱形AEFG,EF与CD交于点M,且DM=1,则旋转后的图形与原图形重叠部分的面 积是 5.(24-25八年级下·浙江宁波·期中)共顶点的正方形AEFG绕着正方形ABCD旋转，其中AB=13, AE=5V2 G= 在旋转一周的过程中，当B、E、G三点恰好在同一条直线上时，此时 D 6,(2026江西景德镇二模)矩形4BCD 中，对角线 C=25,将4B绕点旋转定的角度后，点°的 对应点恰好为△ACD一边的中点，则AB= 9/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 7.(2026江苏泰州三模)综合与实践： 己知菱形ABCD的边长为2，∠A=60° ，将该菱形绕顶点A按顺时针方向在平面内旋转 °(0°≤a<360°) 至 菱形AB'CD 8 图1 图2 图3 备用图 (I)若旋转后B'C'与CD垂直如图1，则旋转角α为°； (2)将AD旋转至与AC重合时，请求出旋转后的图形与原图形重叠部分的面积；（请在图2中构图） (3)菱形ABCD在旋转过程中如图3，连接BB',B'D',BD',△BB'D为等腰三角形时，请直接写出BB的 长 8.(25-26八年级下·福建泉州期末)【问题情境】同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究 活动， 图 图2 图3 备用图 【操作发现】 (I)如图1，正方形ABCD和正方形AEFG,连接DG,BE.线段DG与线段BE之间的数量关系是 ； 直线DG与直线BE的夹角度数为 一；（注：两条直线的夹角是指两条直线相交所 形成的小于等于90°的角) (2)如图2，当正方形AEFG绕点A旋转时，线段DG与线段BE之间的数量关系是 ;直线DG 与直线BE的夹角度数为. 【深入探究】 3)如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为菱形，且AB=2AE,∠DAB=∠GAE=60°，猜想线段 DG与BE的数量关系及直线DG与BE的夹角度数，并说明理由. 10/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【迁移探究】 (4)如图3，在(3)的条件下，AB=4,在菱形AEFG绕点A旋转过程中，求线段CE的最小值.」 9.(24-25九年级上山西太原·阶段检测)综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师让每个组准备了一张矩形纸片ABCD.如图1，把矩形ABCD绕点 A逆时针旋转得到矩形纸片AB'CD',点B,C,D的对应点为B,C,D',设旋转角为 a(0°<a<360) 操作中，同学们提出了如下问题，请你解答：操作探究： C D D R H 图1 图2 图3 备用图 (1)“奋进小组”提出问题：如图2，当矩形纸片AB'CD'旋转到点B落在AD上时，延长CB交BC于 点E, ①求证：四边形ABEB是正方形： ②连接CC',取CC'的中点M,连接AM、AC,若CD=3,AD=4,则线段AM的长为， 数学思考： (2)“团结小组”提出问题：如图3，连接AC,当矩形纸片AB'CD'旋转到点C在AD的延长线上时， 延长CB,交BC于点F,交AC于点P,求证：B'F=CD; 深入探究： (③》“转思小组”提出问。者B=6,D=55.在短形纸片4BC 旋转过程中，连接线段BD和 CD',当BD'=CD'时，直接写出BD'的长 11/11