专题02 实数及其运算（七大压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型归纳+压轴挑战”构建实数运算专项体系，聚焦四大核心考点与两条底线原则，通过题型模版实现方法迁移与逻辑递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心框架|提炼实数分类、无理数特征等四大核心，明确双重非负性等底线原则|从概念本质到运算准则，构建基础逻辑| |七大题型|7类题型+例变式|每题型含特征分析与方法（如夹逼法、平方比较法）|从识别到应用（程序/实际/规律），层层递进| |压轴挑战|15道综合题|融合调日法、新定义等高阶方法|综合运用核心知识，提升推理与创新意识|

专题02 实数及其运算 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、无理数的识别 题型二、实数的大小比较 题型三、实数的整数与小数部分的计算 题型四、程序设计与实数运算 题型五、新定义下的实数运算 题型六、实数运算的实际应用 题型七、与实数运算相关的规律题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 实数相关题型是初中实数板块核心考点，所有题型均围绕实数分类、无理数特征、实数运算法则、实数估值四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是无理数为无限不循环小数，有限小数、无限循环小数均属于有理数，二是实数运算全程遵循算术平方根双重非负性 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、无理数的识别 题型模版 1.特征：题目给出一组数字，包含整数、分数、有限小数、无限循环小数、开方开不尽的数、含π的式子等，要求从中筛选、判断无理数，或区分有理数与无理数。 2.方法：先逐个化简数字，有限小数、无限循环小数、整数、分数均为有理数；无限不循环小数是无理数，重点区分开方能开尽与开不尽的根式，化简后再判定，避免被表面形式误导。 【例1】在，，，，，，，中，无理数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解：，， 在，，，，，，，中，无理数有，共个． 【例2】下列说法正确的是（    ） A．是分数 B．是分数 C．无限小数都是无理数 D．带根号的数都是无理数 【答案】B 【详解】解：∵有理数包括整数和分数，无理数是无限不循环小数， 对选项A：中是无理数，因此是无理数，不是分数，A错误； 对选项B：，因此，是分数，B正确； 对选项C：无限循环小数和有限小数是有理数，因此无限小数不都是无理数，C错误； 对选项D：例如是有理数，因此带根号的数不都是无理数，D错误． 【变式1-1】下列各数：，，，，，，，，（两个8之间1的个数逐次多1）其中无理数有（     ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：，， ，，，，是有理数； ，，，（两个8之间1的个数逐次多1）是无理数，共个． 【变式1-2】在 中，其中无理数的个数共有（     ） A．44个 B．45个 C．1979个 D．1980个 【答案】D 【详解】解：被开方数从到，总个数为 个， ∵ ，， ∴ 不超过的正完全平方数为，共个， 其中，不在本题范围内，因此有理数共有（个）， ∴ 无理数个数为 （个）． 【变式1-3】在实数，，，，0.101001中，比1大的无理数为______． 【答案】 【详解】解：是分数，属于有理数，不符合要求； 是开方开不尽的数，属于无理数，，满足条件； 属于无理数，由得，不满足条件； ，是整数，属于有理数，不符合要求； 是有限小数，属于有理数，不符合要求； 因此，比大的无理数为． 题型二、实数的大小比较 题型模版 1.特征：给出多个实数，包含带根号无理数、负数、分数、π等，要求从小到大或从大到小排序，或是比较两个实数的大小并填写不等号。 2.方法：正数大于0，负数小于0，正数大于负数；同负实数先比较绝对值，绝对值大的数值更小；含根号实数统一平方/立方去掉根号再比较，也可借助估算数值辅助对比。 【例3】比较大小：____________（“>”“<”或“=”） 【答案】< 【详解】解：∵，， 且，， 又∵， ∴， ∴． 【例4】比较大小：________．（填写“”或“”） 【答案】 【详解】， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2-1】比较大小：_____(填，， 【答案】 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 【变式2-2】比较大小：______（填“”或“”或“<”） 【答案】< 【分析】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据负数小于正数，可得． 【变式2-3】已知，，，d是2的算术平方根． (1)求a，b，c，d的值； (2)将a，b，c，d的值按照从小到大的顺序用“<”连接． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】 【详解】（1）解：，，， ∵d是2的算术平方根， ∴； （2）解：∵，，，， ∴， 即． 题型三、实数的整数与小数部分的计算 题型模版 1.特征：给出开方开不尽的无理数，要求拆分出整数部分与小数部分，再代入代数式完成化简、求值计算。 2.方法：使用夹逼法找到相邻完全平方/立方数，确定无理数的整数部分；用原实数减去整数部分得到小数部分，小数部分必须大于0且小于1，代入代数式后再化简运算。 【例5】实数的整数部分是（     ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴的整数部分是． 【例6】阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于，所以的整数部分为，将减去其整数部分，所得的差就是其小数部分，根据以上的内容，解答下面的问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)的整数部分是________，小数部分是________； (3)若设整数部分是，小数部分是，求的值． 【答案】(1)2； (2)； (3) 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴的整数部分是2，小数部分是； （2）解：∵， ∴，即， ∴的整数部分是，小数部分是； （3）解：∵， ∴，即， ∴，即， ∵整数部分是，小数部分是， ∴，， ∴． 【变式3-1】已知的小数部分是a，的小数部分是b，求． 【答案】 【详解】解：∵ ∴， ∴，， ∵的小数部分是a，的小数部分是b， ∴，， ∴， ∴． 【变式3-2】我们把不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有．如：，，；，，，则的值是_______． 【答案】 【详解】解： ∴ ∴ 根据的定义，不超过的最大整数为 ． 【变式3-3】先阅读下面的文字，然后解答问题．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 如果，其中x是整数，且，那么，． 请解答下列问题： (1)如果，其中a是整数，且，那么______，______； (2)已知，其中m是整数，且，求的值． 【答案】(1)4； (2) 【分析】 【详解】（1）解： ，其中是整数，且， 又 ∴， ，． （2）∵，其中是整数，且， ，， ． 题型四、程序设计与实数运算 题型模版 1.特征：给出流程图、运算程序框图，规定实数输入后分步运算规则，输入指定实数，按照程序步骤计算最终输出结果。 2.方法：严格按照框图先后顺序分步计算，先执行括号内、开方运算，再做乘除、最后加减；若出现循环运算，每次输出结果代入下一轮输入，全程分步记录数值防止跳步出错。 【例7】如图是一个数值转换器的原理图，当输入的值为81时，输出的值是（     ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】解：输入81，则， 是有理数， 重新输入，则， 是有理数， 重新输入，取算术平方根得，是无理数， 输出． 【例8】根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：输入， 第一次计算结果为， ， 需将重新代入计算， 同理，第二次计算结果为， 由此规律可知，每次计算后的被开方数增加2， 当计算结果为时，，仍不满足结果， 需将再次代入计算， 下一次计算结果为， ， 输出结果为． 【变式4-1】有一个数值转换器，原理如图，当输入的时，输出的y等于________． 【答案】 【详解】解：当时，则，16是有理数， 当时，则，4是有理数， 当时，则，2是有理数， 当时，得，是无理数，输出， 即． 【变式4-2】根据如图所示的计算程序，若开始输入x的值为，则输出的结果为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴， 把代入得， ∴输出的结果为3． 【变式4-3】如图是一个数值转换器（） (1)当输入的x为时，输出的y值是______； (2)若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为______； (3)若输出的y是，求x的负整数值． 【答案】(1)； (2) (3)或． 【分析】 【详解】（1）解：当时，，，，是无理数， ∴ 当输入的为时，输出的值是； 故答案为：； （2）∵算术平方根是它本身的数为，而且为有理数， ∴当或时，始终输不出y值， ∴或或 （3）若第1次运算是， ∴， ∴， 解得或， ∵ 为负整数， ∴ 输入的值为； 若第2次运算是， ∴，， ∴， 解得或， ∵ 为负整数， ∴ 输入的值为， ∴， ∴的负整数值均为或． 题型五、新定义下的实数运算 题型模版 1.特征：题干自定义全新运算符号、运算规则，结合平方根、绝对值、实数四则运算，给出式子要求代入数值计算，或求解未知数。 2.方法：读懂文字定义，把新式子转化为常规实数运算式，严格遵循题目给定的运算先后逻辑，不可套用原有运算定律随意变形，计算结束后代回定义核对结果。 【例9】设，是实数，定义“★”的一种运算：，则下列结论：①；②；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：由题意： ①，故正确； ②，故错误； ③， ， 则，故错误； ④， ， 则，故正确； ∴有2个正确的． 故选B． 【例10】任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为． (1)无理数的“麓外区间”是_____； (2)若，求的“麓外区间”． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）∵， ∴， 即：无理数的“麓外区间”是； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的“麓外区间”为． 【变式5-1】对于实数a、b，定义的含义为：当时，；当时，．例如：．已知，且和为两个连续正整数，则的立方根为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴，， ∵a和b为两个连续正整数，，， ∴即，， ∴， ∴， 则的立方根为的1， 故选：B． 【变式5-2】新定义：如果，则规定，例如：，所以． (1)填空：_______；_________； (2)若，，，试说明． 【答案】(1)3；4 (2)见解析 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式5-3】新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的相邻值为．同理规定无理数的相邻值为．例如：因为，所以的相邻值为的相邻值为．请回答下列问题： (1)的相邻值为__________；的相邻值为__________； (2)若实数x，y满足关系式：，求的相邻值． 【答案】(1)； (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴的相邻值为； ∵， ∴的相邻值为， ∴的相邻值为； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的相邻值为； 题型六、实数运算的实际应用 题型模版 1.特征：结合生活场景出题，如面积、边长、距离、用料估算等，通过实际问题列出含根式、实数混合运算的式子，求解实际数值。 2.方法：先梳理题干等量关系，根据题意列出实数运算算式，规范完成开方、四则混合计算；涉及长度、数量等实际量，结果需取符合现实意义的正数，按需近似取值。 【例11】哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为 的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2) 能；理由如下： 设长方形的长为米，宽为米， 依题意得 ， 解得或， ， ， 长方形的长为米，宽为米， 长方形的周长为， ， ， 能够完成新阵法． 【分析】 【详解】（1）解： “混天绫”围成一个面积为 的正方形， 正方形的边长为， “混天绫”的总长度． 答：“混天绫”的总长度． （2）略 【例12】某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了如图所示的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4． (1)A类正方形的边长是___________； (2)分别求出一个A类正方形和一个B类正方形的周长； (3)求长方形邀请函的长和宽． 【答案】(1) (2)A类正方形的周长是：；B类正方形的周长为 (3)长方形的长为，宽为 【分析】 【详解】（1）解：∵A类正方形的面积为2， ∴A类正方形的边长是， 故答案为：； （2）解：∵A类正方形的边长是， ∴A类正方形的周长是：， ∵B类正方形的面积是4， ∴B类正方形的边长是， ∴B类正方形的周长为； （3）解：长方形的长为，宽为． 【变式6-1】如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要____个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 【答案】13 【详解】解：瓶子中大圆柱的容积为， 瓶子中小圆柱容积， 杯子的容积为， 则所需杯子个数为， 则一共需要13个这样的杯子. 【变式6-2】陕北剪纸是国家非物质文化遗产，是扎根黄土高原、流传千年的经典民间传统艺术．它历史悠久，多在春节、婚嫁等民俗活动中用作窗花、喜花装饰．风格粗犷古朴、造型简练夸张、大红喜庆，题材涵盖花鸟瑞兽、民俗生活、吉祥纹样，承载着陕北人民对美好生活的祝愿，是黄土地独有的文化瑰宝．现有一张长方形红色宣纸，长、宽之比为，宣纸面积为． (1)求宣纸的周长； (2)剪纸匠人想利用这张宣纸裁出一张面积为的完整圆形纸胚来创作花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 【答案】(1) (2)能够裁出来，理由如下： 设圆形纸胚的半径为， 由题意得：， 解得：， ∵圆形纸胚的直径为，宣纸的宽为，且， ∴， ∴能够裁出来 【分析】 【详解】（1）解：设这张宣纸的长为，宽为，由题意得： ， 解得：（负根舍去）， ∴这张宣纸的长为，宽为， ∴这张宣纸的周长为； 答：宣纸的周长为 （2）略 【变式6-3】团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【答案】(1)， (2)圆的周长较小 【分析】 【详解】（1）解：设圆形扇的半径为，正方形的边长为， 由题意得，，， ，， 故答案为：，； （2）解：圆形扇的周长为：， 正方形扇的周长为：，， ∴圆的周长较小． 题型七、与实数运算相关的规律题 题型模版 1.特征：给出一组含根式、实数运算的等式、数列，观察数字、根号内数字的变化规律，求解指定项的值，或写出第n个通用代数式。 2.方法：拆分观察等式左右两边、被开方数、运算结果的变化规律，分别记录变量的增减关系，用含n的式子总结通用规律，选取两组序号代入验证规律是否成立。 【例13】如图，将1、、三个数按图中方式排列，若规定表示第排第列的数，则 （1）________， （2）与表示的两个数的积是________． 【答案】 【分析】 【详解】解：（1）由题意得，第n排有n个数，且按照1、、的顺序，每3个数为一个循环排列， ， ， ∴； （2）， ， ， ∴，， ∴与表示的两个数的积是． 【例14】下列各个图形中，“·”的个数是a，“○”的个数用b表示，如：当时，，；当时，，；当时，，；……根据图形的变化规律，当时，的值为_________． 【答案】 【详解】解：当时，，， 当时，，， 当时，，， …．． ∴，， 当时．，， ∴． 【变式7-1】观察式子：，， ，…，由此得到的规律，请你用含n（n是大于等于1的正整数）的式子表示出来_____． 【答案】 【详解】解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …， 以此类推，第n个等式：． 【变式7-2】对于完全平方数，其算术平方根能够直接算出，如；而非完全平方数的算术平方根无法直接笔算得出，借助计算器是可行的求解途径，如．除此之外，我们还能依托数字间存在的内在规律与关联，推导求出对应算术平方根．请你观察下表： … 0.2 2 20 200 … … 0.4472 1.414 4.472 ？ … 利用这一规律，计算________． 【答案】14.14 【详解】解：观察表格数据可得： 当被开方数扩大为原来的倍时，其算术平方根扩大为原来的倍． ，， ． 【变式7-3】观察下列等式： 第个等式：；第个等式：；第个等式：；第个等式：________；… 按照上述规律，完成下列问题： (1)补全第个等式：________，写出第个等式：___________________； (2)写出第个等式，并证明． 【答案】(1)； (2)（为正整数）， 证明：， ∴． 【分析】 【详解】（1）解：由前几个等式的规律可得第个等式是，第个等式是， 验证结论：，， 故答案为：；； （2）解：（为正整数）， 证明略． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．若整数x满足，则x的值是（     ） A．8 B．10 C．9 D．11 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴． ∴． ∵，且，， ∴． ∴． 结合两个取值范围，可得． ∴满足条件的整数x的值为10． 2．南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”是一种用程序化寻求精确分数来表示数值的算法．其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中a，b，c，d为正整数），则是x的更为精确的近似值．现已知，则使用三次“调日法”可得到的一个更为精确的近似分数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵． ∴第一次使用“调日法”得． ∵． ∴此时． 第二次使用“调日法”得． ∵． ∴此时． 第三次使用“调日法”得． ∴使用三次“调日法”得到的近似分数为， 故选：C． 3．公元3世纪，我国古代数学家就能利用近似公式得到无理数的近似值，例如：化为，再由近似公式得到，若利用此公式计算的近似值时，取正整数，且取尽可能大的正整数，则___________． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴中，，． ∴． 4．已知表示不超过的最大整数，若，，，，则_______． 【答案】0 【详解】解：，， ． ， ， 根据不超过的最大整数定义可得． 又，， ． ， ， 不等式两边同乘得， 根据不超过的最大整数定义可得， 则． 5．对一个实数按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数”到“判断结果是否大于190？”为一次操作，如果操作恰好进行一次就停止，那么的取值范围是_____． 【答案】 【详解】解：由题意得，第一次操作的结果为：， ∵操作恰好进行一次就停止， ∴， 解得：． 6．用表示最接近的整数（为正整数），例如： ，，，，，…， ，，，，，…， 那么________． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ，， ，， ，，， ，，，， ，，，， ，，，， ，，， ． 7．已知的平方根是，的立方根为2，的整数部分为． (1)求、、的值； (2)求的算术平方根与的小数部分的差． 【答案】(1)，， (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵的平方根是， ∴， 解得； ∵的立方根是， ∴， 解得； ∵， ∴整数部分； （2）解：，算术平方根为4， 小数部分：， 差值：． 8．广东剪纸有着区别于其他地域剪纸的独特气质，兼具细腻灵动的技法与浓郁的岭南特色，为学习剪纸艺术，王芳要把一张面积为，长、宽比为的长方形彩纸剪成如图形状． (1)请帮王芳求出长方形彩纸的长和宽； (2)王芳想从中裁出面积为的完整圆形纸胚，她能够裁出来吗？试说明理由．（取3） 【答案】(1)长方形彩纸的长为，宽为； (2)解：能够裁出来，理由如下： 设圆形纸胚的半径为，由题意得：，解得：， ∵圆形纸胚的直径为，长方形彩纸的宽为，且， ∴， ∴能够裁出来. 【分析】 【详解】（1）解：设长方形彩纸的长为，宽为，由题意得： ， 解得：（负根舍去）， ∴长方形彩纸的长为，宽为； （2）略 9．有理数与无理数之间的运算有着某种规律性，例如：若和是有理数，，则，．已知和是有理数． (1)若，试求出的立方根； (2)若，其中，是的平方根，求的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵，m和n是有理数， ∴，， 解得，， ∴， ∴的立方根为； （2）解：∵， ∴， ∴ ∴， ∵m和n是有理数， ∴， 解得， ∵m，n是x的平方根， ∴． 10．在学习《实数》内容时，我们估算带有根号的无理数的近似值时，经常使用“逐步逼近”的方法来实现．“逐步逼近”是数学思维方法的一种重要形式，例如：估算的近似值时，利用“逐步逼近”的方法可以得出．请你回答下列问题： (1)介于连续的两个整数a和b之间，且，那么 ， ； (2)的整数部分是 ，小数部分是 ； (3)已知的整数部分为x，的小数部分为y，求的值． 【答案】(1)2；3 (2)3； (3) 【分析】 【详解】（1）解：， ，即， ，； （2）解：， ，即， 的整数部分是，小数部分是； （3）解：， ，即， 的整数部分， ，即， 的整数部分为，小数部分， ． 11．如图，木工从一个大正方形木板上裁去面积分别为和的两个小正方形木料． (1)求剩余木料（阴影部分）的面积； (2)如果木工想从剩余的木料中裁出长为，宽为的长方形木条，最多可以裁出______块这样的木条（参考数据：）． 【答案】(1)； (2)8 【分析】 【详解】（1）解：设面积分别为和的两个小正方形木料的边长分别为x，y， 根据题意，得，， ，，，负的都舍去， 故阴影部分的面积为． （2）解：根据题意，得，， 由， 故一个长方形木料最多可以裁出4块这样的木条， 故一共最多可以裁出8块这样的木条． 12．符号称为二阶行列式，规定它的运算法则为．例如：，请根据以上阅读材料完成下列 (1)若二阶行列式，求x的值； (2)若二阶行列式的运算结果是关于x的多项式，且该多项式不含x的一次项，求a的值； (3)若二阶行列式，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2023 【分析】 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ， ∵二阶行列式的运算结果是关于x的多项式，且该多项式不含x的一次项， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 13．已知代数式（n为正整数）． (1)当时，_____（填得数），是_____（填“有理数”或“无理数”）；当时，_____（填得数），是_____（填“有理数”或“无理数”）； (2)可能是偶数吗？为什么？可能是奇数吗？为什么？ 【答案】(1)，无理数，，无理数 (2) 解：不可能是偶数，也不可能是奇数， 理由：假设是偶数，则是偶数， 即是偶数①， ∵n是正整数， ∴是偶数， ∵3是奇数， ∴是奇数②， ∴①和②矛盾， ∴不是偶数， 当时，，此时，不是奇数， 当时，假设是奇数，不妨设（且k为整数）， ∴， 整理得， ∵为偶数且1为奇数， ∴为奇数， ∵是偶数， ∴不成立， ∴不是奇数， 综上所述，不可能是偶数，也不可能是奇数． 【分析】 【详解】（1）解：当时，， ∵5不是完全平方数， ∴是无理数， 当时，， ∵7不是完全平方数， ∴是无理数， 故答案为：，无理数，，无理数． （2）略 14．同学们，本学期我们认识了无理数，数系从有理数扩充到实数，有理数的所有运算律对实数都适用．任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而0与无理数的积为0．由此可得，如果，其中，为有理数，为无理数，那么且． 运用上述知识，解决下列问题： (1)若，其中，为有理数，则_________，_________； (2)如果，其中，为有理数，求的立方根． 【答案】(1)，2 (2)2． 【分析】 【详解】（1）解：由题意可得： 解得：． 故答案为： （2）解：， ， ． ，为有理数， ，， 解得，， ， 的立方根为2． 【点睛】本题考查了实数的运算，立方根，解二元一次方程组，解决本题的关键是掌握相应的运算法则． 15．对于分式，，若，则，当分子是1，分母为正数时，分母变小，分式的值变大，分母变大，分式的值变小．利用这个结论，完成下列问题． (1)比较下列式子的大小关系： ①________（）； ②________； ③________1． (2)求证：． (3)已知三个正整数，，满足，，求，，． 【答案】(1)①  ②③ (2)证明：，且， ； ； (3)，，或，，； 【分析】 【详解】（1）①解：，； ②解：， ； ③解：分母最大为19，最小为10， ． （2）略 （3）解：， ， ， ， ， 根据题意，得，，是三个正整数， 或； 当时，则， ， ， 或或， 当时，，不成立，舍去； 当时，，不成立，舍去； 当时，， ， 解得；满足且都是正整数； 当时，则， 故， ， 或， 当时，，不成立，舍去； 当时，， ， ， 解得；满足且都是正整数； 故，，或，，； 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 实数及其运算 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、无理数的识别 题型二、实数的大小比较 题型三、实数的整数与小数部分的计算 题型四、程序设计与实数运算 题型五、新定义下的实数运算 题型六、实数运算的实际应用 题型七、与实数运算相关的规律题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 实数相关题型是初中实数板块核心考点，所有题型均围绕实数分类、无理数特征、实数运算法则、实数估值四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是无理数为无限不循环小数，有限小数、无限循环小数均属于有理数，二是实数运算全程遵循算术平方根双重非负性 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、无理数的识别 题型模版 1.特征：题目给出一组数字，包含整数、分数、有限小数、无限循环小数、开方开不尽的数、含π的式子等，要求从中筛选、判断无理数，或区分有理数与无理数。 2.方法：先逐个化简数字，有限小数、无限循环小数、整数、分数均为有理数；无限不循环小数是无理数，重点区分开方能开尽与开不尽的根式，化简后再判定，避免被表面形式误导。 【例1】在，，，，，，，中，无理数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【例2】下列说法正确的是（    ） A．是分数 B．是分数 C．无限小数都是无理数 D．带根号的数都是无理数 【变式1-1】下列各数：，，，，，，，，（两个8之间1的个数逐次多1）其中无理数有（     ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-2】在 中，其中无理数的个数共有（     ） A．44个 B．45个 C．1979个 D．1980个 【变式1-3】在实数，，，，0.101001中，比1大的无理数为______． 题型二、实数的大小比较 题型模版 1.特征：给出多个实数，包含带根号无理数、负数、分数、π等，要求从小到大或从大到小排序，或是比较两个实数的大小并填写不等号。 2.方法：正数大于0，负数小于0，正数大于负数；同负实数先比较绝对值，绝对值大的数值更小；含根号实数统一平方/立方去掉根号再比较，也可借助估算数值辅助对比。 【例3】比较大小：____________（“>”“<”或“=”） 【例4】比较大小：________．（填写“”或“”） 【变式2-1】比较大小：_____(填，， 【变式2-2】比较大小：______（填“”或“”或“<”） 【变式2-3】已知，，，d是2的算术平方根． (1)求a，b，c，d的值； (2)将a，b，c，d的值按照从小到大的顺序用“<”连接． 题型三、实数的整数与小数部分的计算 题型模版 1.特征：给出开方开不尽的无理数，要求拆分出整数部分与小数部分，再代入代数式完成化简、求值计算。 2.方法：使用夹逼法找到相邻完全平方/立方数，确定无理数的整数部分；用原实数减去整数部分得到小数部分，小数部分必须大于0且小于1，代入代数式后再化简运算。 【例5】实数的整数部分是（     ） A．7 B．6 C．5 D．4 【例6】阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于，所以的整数部分为，将减去其整数部分，所得的差就是其小数部分，根据以上的内容，解答下面的问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)的整数部分是________，小数部分是________； (3)若设整数部分是，小数部分是，求的值． 【变式3-1】已知的小数部分是a，的小数部分是b，求． 【变式3-2】我们把不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有．如：，，；，，，则的值是_______． 【变式3-3】先阅读下面的文字，然后解答问题．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 如果，其中x是整数，且，那么，． 请解答下列问题： (1)如果，其中a是整数，且，那么______，______； (2)已知，其中m是整数，且，求的值． 题型四、程序设计与实数运算 题型模版 1.特征：给出流程图、运算程序框图，规定实数输入后分步运算规则，输入指定实数，按照程序步骤计算最终输出结果。 2.方法：严格按照框图先后顺序分步计算，先执行括号内、开方运算，再做乘除、最后加减；若出现循环运算，每次输出结果代入下一轮输入，全程分步记录数值防止跳步出错。 【例7】如图是一个数值转换器的原理图，当输入的值为81时，输出的值是（     ） A．2 B．3 C． D． 【例8】根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．6 B． C． D． 【变式4-1】有一个数值转换器，原理如图，当输入的时，输出的y等于________． 【变式4-2】根据如图所示的计算程序，若开始输入x的值为，则输出的结果为（   ） A． B． C．1 D．3 【变式4-3】如图是一个数值转换器（） (1)当输入的x为时，输出的y值是______； (2)若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为______； (3)若输出的y是，求x的负整数值． 题型五、新定义下的实数运算 题型模版 1.特征：题干自定义全新运算符号、运算规则，结合平方根、绝对值、实数四则运算，给出式子要求代入数值计算，或求解未知数。 2.方法：读懂文字定义，把新式子转化为常规实数运算式，严格遵循题目给定的运算先后逻辑，不可套用原有运算定律随意变形，计算结束后代回定义核对结果。 【例9】设，是实数，定义“★”的一种运算：，则下列结论：①；②；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例10】任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为． (1)无理数的“麓外区间”是_____； (2)若，求的“麓外区间”． 【变式5-1】对于实数a、b，定义的含义为：当时，；当时，．例如：．已知，且和为两个连续正整数，则的立方根为（   ） A． B．1 C． D．2 【变式5-2】新定义：如果，则规定，例如：，所以． (1)填空：_______；_________； (2)若，，，试说明． 【变式5-3】新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的相邻值为．同理规定无理数的相邻值为．例如：因为，所以的相邻值为的相邻值为．请回答下列问题： (1)的相邻值为__________；的相邻值为__________； (2)若实数x，y满足关系式：，求的相邻值． 题型六、实数运算的实际应用 题型模版 1.特征：结合生活场景出题，如面积、边长、距离、用料估算等，通过实际问题列出含根式、实数混合运算的式子，求解实际数值。 2.方法：先梳理题干等量关系，根据题意列出实数运算算式，规范完成开方、四则混合计算；涉及长度、数量等实际量，结果需取符合现实意义的正数，按需近似取值。 【例11】哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为 的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【例12】某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了如图所示的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4． (1)A类正方形的边长是___________； (2)分别求出一个A类正方形和一个B类正方形的周长； (3)求长方形邀请函的长和宽． 【变式6-1】如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要____个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 【变式6-2】陕北剪纸是国家非物质文化遗产，是扎根黄土高原、流传千年的经典民间传统艺术．它历史悠久，多在春节、婚嫁等民俗活动中用作窗花、喜花装饰．风格粗犷古朴、造型简练夸张、大红喜庆，题材涵盖花鸟瑞兽、民俗生活、吉祥纹样，承载着陕北人民对美好生活的祝愿，是黄土地独有的文化瑰宝．现有一张长方形红色宣纸，长、宽之比为，宣纸面积为． (1)求宣纸的周长； (2)剪纸匠人想利用这张宣纸裁出一张面积为的完整圆形纸胚来创作花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 【变式6-3】团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 题型七、与实数运算相关的规律题 题型模版 1.特征：给出一组含根式、实数运算的等式、数列，观察数字、根号内数字的变化规律，求解指定项的值，或写出第n个通用代数式。 2.方法：拆分观察等式左右两边、被开方数、运算结果的变化规律，分别记录变量的增减关系，用含n的式子总结通用规律，选取两组序号代入验证规律是否成立。 【例13】如图，将1、、三个数按图中方式排列，若规定表示第排第列的数，则 （1）________， （2）与表示的两个数的积是________． 【例14】下列各个图形中，“·”的个数是a，“○”的个数用b表示，如：当时，，；当时，，；当时，，；……根据图形的变化规律，当时，的值为_________． 【变式7-1】观察式子：，， ，…，由此得到的规律，请你用含n（n是大于等于1的正整数）的式子表示出来_____． 【变式7-2】对于完全平方数，其算术平方根能够直接算出，如；而非完全平方数的算术平方根无法直接笔算得出，借助计算器是可行的求解途径，如．除此之外，我们还能依托数字间存在的内在规律与关联，推导求出对应算术平方根．请你观察下表： … 0.2 2 20 200 … … 0.4472 1.414 4.472 ？ … 利用这一规律，计算________． 【变式7-3】观察下列等式： 第个等式：；第个等式：；第个等式：；第个等式：________；… 按照上述规律，完成下列问题： (1)补全第个等式：________，写出第个等式：___________________； (2)写出第个等式，并证明． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．若整数x满足，则x的值是（     ） A．8 B．10 C．9 D．11 2．南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”是一种用程序化寻求精确分数来表示数值的算法．其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中a，b，c，d为正整数），则是x的更为精确的近似值．现已知，则使用三次“调日法”可得到的一个更为精确的近似分数为（   ） A． B． C． D． 3．公元3世纪，我国古代数学家就能利用近似公式得到无理数的近似值，例如：化为，再由近似公式得到，若利用此公式计算的近似值时，取正整数，且取尽可能大的正整数，则___________． 4．已知表示不超过的最大整数，若，，，，则_______． 5．对一个实数按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数”到“判断结果是否大于190？”为一次操作，如果操作恰好进行一次就停止，那么的取值范围是_____． 6．用表示最接近的整数（为正整数），例如： ，，，，，…， ，，，，，…， 那么________． 7．已知的平方根是，的立方根为2，的整数部分为． (1)求、、的值； (2)求的算术平方根与的小数部分的差． 8．广东剪纸有着区别于其他地域剪纸的独特气质，兼具细腻灵动的技法与浓郁的岭南特色，为学习剪纸艺术，王芳要把一张面积为，长、宽比为的长方形彩纸剪成如图形状． (1)请帮王芳求出长方形彩纸的长和宽； (2)王芳想从中裁出面积为的完整圆形纸胚，她能够裁出来吗？试说明理由．（取3） 9．有理数与无理数之间的运算有着某种规律性，例如：若和是有理数，，则，．已知和是有理数． (1)若，试求出的立方根； (2)若，其中，是的平方根，求的值． 10．在学习《实数》内容时，我们估算带有根号的无理数的近似值时，经常使用“逐步逼近”的方法来实现．“逐步逼近”是数学思维方法的一种重要形式，例如：估算的近似值时，利用“逐步逼近”的方法可以得出．请你回答下列问题： (1)介于连续的两个整数a和b之间，且，那么 ， ； (2)的整数部分是 ，小数部分是 ； (3)已知的整数部分为x，的小数部分为y，求的值． 11．如图，木工从一个大正方形木板上裁去面积分别为和的两个小正方形木料． (1)求剩余木料（阴影部分）的面积； (2)如果木工想从剩余的木料中裁出长为，宽为的长方形木条，最多可以裁出______块这样的木条（参考数据：）． 12．符号称为二阶行列式，规定它的运算法则为．例如：，请根据以上阅读材料完成下列 (1)若二阶行列式，求x的值； (2)若二阶行列式的运算结果是关于x的多项式，且该多项式不含x的一次项，求a的值； (3)若二阶行列式，求的值． 13．已知代数式（n为正整数）． (1)当时，_____（填得数），是_____（填“有理数”或“无理数”）；当时，_____（填得数），是_____（填“有理数”或“无理数”）； (2)可能是偶数吗？为什么？可能是奇数吗？为什么？ 14．同学们，本学期我们认识了无理数，数系从有理数扩充到实数，有理数的所有运算律对实数都适用．任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而0与无理数的积为0．由此可得，如果，其中，为有理数，为无理数，那么且． 运用上述知识，解决下列问题： (1)若，其中，为有理数，则_________，_________； (2)如果，其中，为有理数，求的立方根． 15．对于分式，，若，则，当分子是1，分母为正数时，分母变小，分式的值变大，分母变大，分式的值变小．利用这个结论，完成下列问题． (1)比较下列式子的大小关系： ①________（）； ②________； ③________1． (2)求证：． (3)已知三个正整数，，满足，，求，，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $