第3章整式及其加减典例精讲与强化训练-2026-2027学年北师大版数学七年级上册

**基本信息** 以整式加减为核心，通过典例精讲与强化训练，系统整合概念辨析、运算技巧与“整体思想”，突出从代数运算到实际应用的逻辑链条，培养抽象能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |典例精讲|3题（含整体思想应用）|整体代入法、化简求值四步法、方案比较策略|整式概念→加减运算→实际问题→思想方法| |强化训练|20题（选择/填空/解答）|分类讨论（促销方案）、规律探究（数字排列）、符号化简规则|概念辨析→运算应用→综合思想迁移|

第3章整式及其加减典例精讲与强化训练 典例精讲 1．先化简，再求值：，其中，． 2．某文具厂生产一种笔记本和笔，笔记本每本定价20元，笔每支定价4元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一个笔记本送一支笔；方案二：笔记本和笔都按定价的%付款． 现某客户要到该文具厂购买笔记本30本，笔支． (1)若该客户按方案一购买， ①当时，需付款____________元； ②当时，若该客户按方案一购买，需付款____________元．（用含的代数式表示） (2)若该客户按方案二购买，需付款____________元．（用含的代数式表示） (3)若时， ①该客户应选择以上两种方案中的哪一种方案较省钱，请计算说明； ②该客户想用支付宝支付笔记本和笔的钱，但他支付宝上只剩元，则该客户是否可买下所需物品？请说明理由． 3．【阅读材料】：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，如把某个多项式看成一个整体进行合理变形，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛， 例：化简． 解：原式 参照本题阅读材料的做法进行解答： (1)若把看成一个整体，合并的结果是 ； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 强化训练 一、单选题 1．下列式子中，是单项式的是(　　) A． B． C． D． 2．在生活中我们会遇到打折销售的问题，若某商品原价元，降价后的售价为（   ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 4．下列算式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（   ） A．的系数为 B．是一个二次三项式 C．次数是6 D．一次项的系数为3 6．若，则与的和是（   ） A．8 B．0 C．4 D． 7．若一个多项式减去等于，则这个多项式是（   ） A． B． C． D． 8．正整数按如图的规律排列，则2026位于（   ） A．第45行，第1列 B．第1行，第46列 C．第46行，第1列 D．第2行，第46列 二、填空题 9．单项式的系数是______． 10．多项式是关于x，y的四次二项式，则k的值为_________． 11．在横线上填入正确的整式使等式成立：_______． 12．已知与互为相反数，则式子的值为___________． 13．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则______． 14．如图是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为，则第2022次输出的结果为______． 三、解答题 15．化简： 16．先化简，再求值：，其中，． 17．已知互为相反数且不为互为倒数，是绝对值为2的负有理数，求的值． 18．一位同学做一道题：“已知两个多项式，，计算?他误将“”看成“”，求得的结果为，已知 ． (1)求； (2)当 时，求的值． 19．某超市在中秋期间进行优惠促销活动，规定一次性购物优惠方案：根据优惠方案解决下列问题： 消费金额 少于200元 高于200元但低于400元 400元或超过400元 优惠办法 不予优惠 九折优惠 其中400元部分给予九折优惠，超过400元部分给予八折优惠 (1)王老师一次性购物300元，她实际付款__________元； (2)王老师在该超市一次性购物元，她实际付款多少元？（用含的代数式表示） (3)如果王老师两次购物货款合计800元，第一次购物的货款为元，用含的代数式表示王老师两次购物实际付款多少元？ 20．阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，化简的结果是_____． (2)已知，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 典例精讲解析 1．，. 【详解】解： 当，时， 原式 2．(1)①，② (2) (3) 解：①选择方案一所需费用为：元， 选择方案二所需费用为：元， 所以应选择方案一较省钱； ②可以，理由：选择方案一购买个笔记本可送支笔，需费用元，再选择方案二购买支笔，需费用为元，共需元．因为，所以该客户可以买下所需物品． 【分析】（1）根据第一种方案买一个笔记本送一支笔列出代数式，前支笔不需要另外付款，超过支的部分需要付款即可； （2）直接根据笔记本和笔都按定价的付款列出代数式即可； （3）①分别计算出两种方案所需费用，比较即可；②结合两种方案即可得出结论． 【详解】（1）①当时，元； ②当时，元； （2）解：元． （3）①略 ②略 3．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用合并同类项法则计算即可； （2）把代数式变形后整体代入即可； （3）把代数式去括号并利用加法交换律和结合律变形，再把已知条件整体代入计算即可． 【详解】（1）解： （2）解：∵， ∴ （3）∵，，， ∴ 强化训练解析 1．A 【详解】解：是单项式，，，不是单项式 2．C 【分析】用原价减去降价金额得到最终售价即可． 【详解】解：降价后的售价为（元）． 3．D 【分析】本题考查整式的加减运算，需先去括号，再合并同类项得到结果． 【详解】解：原式 ． 故选：D． 4．D 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. 故该选项正确，符合题意； 5．B 【分析】单项式的系数是指单项式中的数字因数；单项式的次数是所有字母的指数和． 【详解】解：的系数为，故A选项错误； 多项式中最高次项是（次数为2），且包含3个单项式项，因此它是二次三项式，故B选项正确； 的次数为，故C选项错误； 的一次项是，其系数为，故D选项错误． 6．A 【分析】本题考查了整式的加减、整式的代入求值，掌握“整体思想”的应用是解题的关键，先将所求的两个式子相加并化简，再通过已知等式变形得到的值，最后整体代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵ 要求与的和， ∴． ∵ ， ∴． 将代入，得 ， ∴与的和为8． 故选：A． 7．A 【分析】本题主要考查了整式的加减运算以及多项式减法中各部分的关系，熟练掌握被减数减数差列式以及去括号、合并同类项的法则是解题的关键．根据被减数减数差列式，再通过整式的加减运算合并同类项得到结果，对应选项即可． 【详解】解： ， ∴该多项式为， 故选：A． 8．B 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，由所给的数字得出规律是解答的关键． 观察图形得到第n（n为奇数）列第一行的数为，然后求出第45列第一行的数为2025，进而求解即可 【详解】解：由图形可得，第1列第1行的数为； 第3列第1行的数为； 第5列第1行的数为； ∴第n（n为奇数）列第一行的数为； ∵ ∴第45列第一行的数为2025 由图形可得，在的右侧一列， ∴2026位于第1行，第46列． 故选：B． 9． 【分析】根据单项式系数的定义，找出单项式中的数字因数即可，注意是常数，不是字母． 【详解】解：在单项式中，是常数，不属于字母，因此该单项式的数字因数为． 10．2 【分析】本题考查多项式的次数与项数的定义，利用多项式定义求参数的值，掌握多项式的相关定义是解题关键，根据四次二项式的定义，得到最高次项的次数为，且项的系数为，据此列方程求解即可． 【详解】解：多项式是关于，的四次二项式， 最高次项的次数为，可得： ， 解得，即或， 又多项式为二项式， 项的系数为，可得： ， 解得， 验证得符合四次二项式的要求． 11． 【分析】根据整式加减法则列出算式，计算即可． 【详解】解： ， 故在横线上可填． 12．10 【分析】先根据相反数的定义得出，再结合非负数的性质计算得出，，代入所求代数式计算即可得出结果． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴ ． 13． 【分析】由数轴上点的位置可得，从而得到，由绝对值代数意义去绝对值，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解：如图得， ∴ ． 14． 【分析】当时，输出；当时，输出；当时，输出；当时，输出；当时，输出；当时，输出；当时，输出；确定循环节，计算即可． 【详解】解：当时，输出； 当时，输出； 当时，输出； 当时，输出； 当时，输出； 当时，输出； 当时，输出； 所以循环节为6， 因为， 所以第2022次输出的结果为． 15． 【分析】先去掉原式中的括号，再合并同类项即可得到化简结果． 【详解】解： ． 16．， 【分析】先去括号，然后合并同类项，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 17． 【分析】首先根据相反数、倒数、绝对值的定义可知，，，且，进而得到，然后代入求值即可． 【详解】解：∵互为相反数且不为，互为倒数，是绝对值为2的负有理数， ∴，，，且， ∴， ∴． 18．(1) (2)18 【分析】（1）先根据题意计算即可； （2）根据题意列式，再去括号合并化简，将代入计算即可. 【详解】（1）解：根据题意得 ； （2）解： ， 当时，原式 . 19．(1)270 (2) (3) 【分析】本题考查了列代数式，分析题意并列出代数式是解题关键． （1）300元处于中间档次，按九折计算即可； （2）处于第三档，根据对应的优惠办法列代数式计算； （3）分析出第二次购物的货款不超过400元，第一次购物的钱数高于400元，再分两段求出二次购物的钱数，再相加即可． 【详解】（1）解：由题得，， ∴她实际付款270元； 故答案为：270； （2）解：由题得，， ∴她实际付款元； （3）解：∵第一次购物的货款为元， ∴第二次购物的货款为元，，享受9折优惠， ∴王老师两次购物实际付款元． 20．(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减，解决问题的关键是运用整体思想；给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算． （1）把看成一个整体，运用合并同类项法则进行计算即可； （2）把变形，得到，再根据整体代入法进行计算即可． 【详解】（1）解：把看成一个整体， 则 ； 故答案为：； （2）解：∵， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $