专题05 代数式及其化简求值的四类培优综合题型（四川成都专用，压轴题专项训练）数学新教材北师大版七年级上册

**基本信息** 以“整体思想”为核心，通过解题通法引领、四类题型分层突破、压轴挑战深化的三阶体系，系统构建代数式化简求值的方法框架与知识逻辑，培养抽象能力、运算能力及推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心方法|整体思想统领化简求值，明确基本底线原则|代数式定义→化简求值→整体代换的概念生成链| |题型归纳|4类（1典例+3变式）|定义应用、字母代入、整体代换、规律探究四法分层|从基础定义到程序框图，形成“概念-运算-应用”递进逻辑| |压轴挑战|12题（选择6+填空4+解答2）|综合运用整体代换与规律探究解决复杂问题|衔接中考高频考点，实现从基础到压轴的能力迁移|

专题05 代数式及其化简求值的四类培优综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据代数式定义求值 题型二、根据字母的值求代数式的值 题型三、根据代数式的值求代数式的值 题型四、程序框图与代数式求值 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 代数式及其化简求值是七年级上学期数学重难点，所有题型均围绕化简求值展开，其中压轴题还涉及到整体代换思想，解题贯穿基本底线原则：整体思想。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据代数式定义求值 典例1 若多项式是关于的二次二项式，则________． 题型模版 1.特征：代数式定义. 2.方法：利用其定义的相关知识是解答即可． 变式1-1若多项式 是关于x的三次多项式，则多项式的值为______． 变式1-2若多项式是一个关于的五次三项式，则的值为______． 变式1-3多项式是关于、的六次三项式，则取值为_____． 类型二、根据字母的值求代数式的值 典例2三个有理数，，之积是负数，其和是正数，当时，则________． 题型模版 1.特征：代数式求值. 2.方法：整体思想化简求值. 变式2-1已知 ，那么代数式的是（　　） A． B．0 C．3 D．9 变式2-2已知，且，求的值． 变式2-3求值： (1)已知，，且，求的值； (2)已知对于任意的x都成立，求的值． 题型三、根据代数式的值求代数式的值 典例3 若，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 题型模版 1.特征：代数式求值. 2.方法：整体思想化简求值. 变式3-1已知，则（    ） A．1 B．－1 C．2 D．0 变式3-2已知，则__________． 变式3-3已知， ，则式子的值是______． 题型四、程序框图与代数式求值 典例4 有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入的值是12，可发现第1次输出的结果是6，第2次输出的结果是3，依次继续下去……第2025次输出的结果是_____． 题型模版 1.特征：代数式规律探究问题求值. 2.方法：找准规律是解决问题的关键. 变式4-1如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为4，则第2025次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 变式4-2根据如图所示的流程图计算，若，则的值为___． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．已知，则的值为（     ） A．1 B． C． D． 2．已知时，代数式的值为17，则时，代数式的值为（    ） A． B． C． D．14 3．若，则（　　） A．41 B．25 C．80 D．82 4．若，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 5．如图是一个程序框图，当输入任意值后，会发现输出的结果值是一个固定值，则多项式的值为（   ） A． B． C． D． 6．设，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．若实数同时满足，则的值为_____． 8．已知当时，代数式的值是，当时，代数式的值等于________． 9．编制了如下一个运算程序：按上述法则继续运算，并不断重复这个运算程序m次，直到运算的结果第一次为1时，终止此程序，我们就称m是自然数n的熵．例如自然数时，则这样经过3次运算后结果第一次为1，则称8的熵．若输入自然数，则自然数3的熵_________；若一个自然数n的熵，则满足条件的所有可能的自然数n的取值之和为_________； 10．已知，则的值为__________． 三、解答题 11．已知，，且，，求的值． 12．已知多项式是关于x，y的四次三项式，求m的值；当、时，求此多项式的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 代数式及其化简求值的四类培优综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据代数式定义求值 题型二、根据字母的值求代数式的值 题型三、根据代数式的值求代数式的值 题型四、程序框图与代数式求值 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 代数式及其化简求值是七年级上学期数学重难点，所有题型均围绕化简求值展开，其中压轴题还涉及到整体代换思想，解题贯穿基本底线原则：整体思想。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据代数式定义求值 典例1 若多项式是关于的二次二项式，则________． 【答案】 【分析】根据二次二项式的定义，最高次数为，且多项式只含两项，据此确定和的值，再计算即可． 【详解】解：∵多项式是关于的二次二项式． ∴多项式的最高次数为，可得． ∵多项式为二项式，即总共只有个非零项，最高次项系数，常数项． ∴一次项的系数为，即， 解得． ∴． 题型模版 1.特征：代数式定义. 2.方法：利用其定义的相关知识是解答即可． 变式1-1若多项式 是关于x的三次多项式，则多项式的值为______． 【答案】3或5 【分析】本题考查多项式次数及系数，已知字母的值求代数式的值等．由题意得分两种情况讨论，当时和时，使得多项式是三次多项式求出的值，代入中即可得到本题答案． 【详解】解：∵多项式 是关于x的三次多项式， 当时，即，此时时满足式子为三次多项式，即， ∴， 当时，即，此时时满足式子为三次多项式，即， ∴， 故答案为：3或5． 变式1-2若多项式是一个关于的五次三项式，则的值为______． 【答案】2或3 【分析】本题考查多项式的次数与项数，掌握多项式的次数与项数的定义是解题的关键． 根据五次三项式的定义，分别分析多项式各项的次数，确定关于的方程和不等式，进而求解的值． 【详解】解：分以下两种情况讨论： ①，解得，当时，，不符合题意， 将代入多项式中： 第一项：，次数为5； 第二项：，次数为2； 第三项：，次数为3． 故符合题意； ②，解得． 此时，符合题意． 综上所述，的值为2或3． 故答案为：2或3 变式1-3多项式是关于、的六次三项式，则取值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的相关概念，根据多项式的次数和项数的定义，第一项的次数为，应等于6，且系数不为零． 【详解】解：多项式是关于 ， 的六次三项式，因此最高次项的次数为 6，且共有三项， 第一项 的次数为， 令，得， 所以或， 当时，第一项系数，多项式变为，只有两项，不符合三项式要求， 故， 故答案为：． 类型二、根据字母的值求代数式的值 典例2三个有理数，，之积是负数，其和是正数，当时，则________． 【答案】 【详解】解：三个有理数、、之积是负数，其和是正数， 、、中有1个负数． ． 将代入得：． 题型模版 1.特征：代数式求值. 2.方法：整体思想化简求值. 变式2-1已知 ，那么代数式的是（　　） A． B．0 C．3 D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值．熟练掌握整体代入法求代数式的值是解决问题的关键． 根据已知条件推出式子与的值，代入计算即得． 【详解】解：∵， ∴， 即，， ∴． 故选：D． 变式2-2已知，且，求的值． 【答案】 【分析】先根据绝对值的意义求得a、b值，再代值求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴a、b同号，则，或，， ∴或， 故的值为． 变式2-3求值： (1)已知，，且，求的值； (2)已知对于任意的x都成立，求的值． 【答案】(1)7或19 (2) 【分析】（1）首先化简绝对值得到，，然后根据分两种情况讨论，分别代入求解即可； （2）将代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵ ∴当，时，； 当，时，； 综上所述，的值为7或19； （2）解：∵对于任意的x都成立 ∴当时，， ∴． 题型三、根据代数式的值求代数式的值 典例3 若，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查代数式化简求值，熟练掌握提公因式法则是解题的关键，通过提取公因式，将所求表达式转化为已知条件的形式，直接代入求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 又 ∵ ， ∴ ， 故选：A． 题型模版 1.特征：代数式求值. 2.方法：整体思想化简求值. 变式3-1已知，则（    ） A．1 B．－1 C．2 D．0 【答案】B 【分析】将代入，计算即可得到结果． 【详解】将代入得： ， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查代数式求值，应用特殊值代入求解是解题的关键． 变式3-2已知，则__________． 【答案】27 【分析】本题可利用已知条件将所求代数式中的高次项逐步降次，通过代入、化简，最终转化为含的形式，再代入计算求解． 【详解】解：已知，则，，， 对所求代数式进行变形化简： ． 变式3-3已知， ，则式子的值是______． 【答案】 【分析】将第一个等式两边都乘以2，第二个等式两边都乘以，然后相加，即可得到目标表达式． 本题考查了已知等式求代数式的值，熟练掌握变形是解题的关键． 【详解】解：由，乘以2得． 由 ， 乘以得 ． 将两式相加：，即 ． 故答案为：． 题型四、程序框图与代数式求值 典例4 有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入的值是12，可发现第1次输出的结果是6，第2次输出的结果是3，依次继续下去……第2025次输出的结果是_____． 【答案】8 【分析】根据程序计算解答即可． 本题考查了程序式计算，熟练掌握程序式计算是解题的关键． 【详解】解：∵，是偶数， ∴，是偶数， ∴，是奇数， ∴，是偶数 ∴，是偶数， ∴，是偶数， ∴，是奇数， ∴，是偶数， ∴，是奇数， ∴，是偶数， ∴，是偶数， 根据题意，得每6次输出的结果循环一次， 又，与的数字一致， ∴2025次输出结果为8， 故答案为：8． 题型模版 1.特征：代数式规律探究问题求值. 2.方法：找准规律是解决问题的关键. 变式4-1如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为4，则第2025次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查规律探究，根据程序逐次运算，找准规律是解决问题的关键．按照题中运算程序逐次运算，找准规律为每6个循环，由，结合规律求解即可得到答案． 【详解】解：第一次：，为偶数，则； 第二次：，为偶数，则； 第三次：，为奇数，则； 第四次：，为偶数，则； 第五次：，为偶数，则； 第六次：，为奇数，则； 第七次：，为偶数，则； 第八次：，为奇数，则； 第九次：，为偶数，则； 第十次：，为偶数，则； 第十一次：，为偶数，则； 第十二次：，为奇数，则； 第十三次：，为偶数，则； 第十四次：，为奇数，则； 综上所述，程序运算满足规律是：每6个循环， ， 则第2025次输出的结果是， 故选：B． 变式4-2根据如图所示的流程图计算，若，则的值为___． 【答案】4 【分析】本题主要考查了规律探索，代数式求值，解题的关键是根据题意找出规律． 先求出，，，，得出规律，然后再求出结果即可． 【详解】解：由题知， 因为， 所以，，，，……， 由此可见，这列数从开始按，，4循环． 因为， 所以． 故答案为：4． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．已知，则的值为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】令，代入等式后等式右边恰好等于所求代数式，计算左边即可得到结果． 【详解】解：令，代入等式， ∴左边， 右边， ∴ ， 故选：B． 2．已知时，代数式的值为17，则时，代数式的值为（    ） A． B． C． D．14 【答案】A 【分析】利用已知条件求出的值，然后代入时的表达式计算． 本题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】∵当时，， 即， ∴. 当时，， ∵， ∴原式 故选：A． 3．若，则（　　） A．41 B．25 C．80 D．82 【答案】A 【分析】本题考查代数式求值，通过代入特定值和到等式两边，得到关于系数的方程，联立求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，即①； 当时，，即②； ，得， ∴； 故选A． 4．若，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查代数式化简求值，熟练掌握提公因式法则是解题的关键，通过提取公因式，将所求表达式转化为已知条件的形式，直接代入求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 又 ∵ ， ∴ ， 故选：A． 5．如图是一个程序框图，当输入任意值后，会发现输出的结果值是一个固定值，则多项式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查整式的加减运算以及代数式的值与未知数取值无关的条件．解题关键在于理解“输出结果为固定值”这一条件的含义，即化简后的式子中的系数为，从而建立关于的等式．首先根据程序框图列出关于的代数式，即先计算，然后对得到的式子进行化简，得到一个关于的一次多项式形式（、为常数）．由于输出的结果值是一个固定值，意味着化简后式子中的系数，由此求出的值．最后将的值代入多项式，求出该多项式的值即可． 【详解】解： ∵输出的结果值是一个固定值 ∴ 当时，原式 故选C． 6．设，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求代数式的值，将代入等式得，将代入等式得，即可得解．解题的关键是理解等式成立的意义． 【详解】解：∵， 将代入， 得：， ∴， 将代入， 得：， ∴， ∴的值为． 故选：C． 二、填空题 7．若实数同时满足，则的值为_____． 【答案】1 【分析】根据已知等式推出 ，可得，由此化简第二个等式得到，代入第一个等式后分和讨论，求出与的值，再代入计算结果． 【详解】解： 实数，同时满足 ， ， ， ， 解得， ，，即，整理得， 将代入 ，得 ， 整理得 ， 当时， ，舍去该情况， 当时， ，解得， 将代入，得 ， ． 8．已知当时，代数式的值是，当时，代数式的值等于________． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，根据题意当 时，，所以 ，当时，代入可得，再把代入即可求解，熟练掌握整体代入求代数式的值的方法是解题的关键． 【详解】解：当 时，， 所以， 当时， ， 故答案为：． 9．编制了如下一个运算程序：按上述法则继续运算，并不断重复这个运算程序m次，直到运算的结果第一次为1时，终止此程序，我们就称m是自然数n的熵．例如自然数时，则这样经过3次运算后结果第一次为1，则称8的熵．若输入自然数，则自然数3的熵_________；若一个自然数n的熵，则满足条件的所有可能的自然数n的取值之和为_________； 【答案】 7 1572 【分析】本题考查程序流程图与有理数的计算，根据程序流程图代值计算，求出时的熵，根据n为自然数，得到最后结果为1时，一定是，进而推出熵时，输入的所有可能的自然数，再求和即可． 【详解】解：当时， 第一次运算：， 第二次运算：， 第三次运算：， 第四次运算：， 第五次运算， 第六次运算， 第七次运算， 故自然数3的熵； 当时： 第十次运算时输入为：， 第九次运算时输入为：， 第八次运算时输入为：， 第七次运算时输入为：， 第六次运算时输入为：，或， 第五次运算时输入为：或， 第四次运算时输入为：或或或， 第三次运算时输入为：或或或， 第二次运算时输入为：或或或或或， 第一次运算时输入为：或或或或或， ∴当时，满足题意， ∴； 故答案为：7，1572． 10．已知，则的值为__________． 【答案】8 【分析】本题考查了多项式的乘法以及代数式求值． 根据已知得出，，整体代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，即， ∴ ， 故答案为：8． 三、解答题 11．已知，，且，，求的值． 【答案】 【分析】先根据绝对值的意义，结合已知求得x、y值，再代值求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 12．已知多项式是关于x，y的四次三项式，求m的值；当、时，求此多项式的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了多项式、代数式求值等知识点，熟练多项式的相关定义是解题的关键． 由多项式的定义列式可求得，即代数式为；然后将、代入计算即可． 【详解】解：∵多项式是关于x，y四次三项式 ∴，，解得：， ∴多项式为 当，时， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $