专题03 绝对值化简的四类培优综合题型（四川成都专用，压轴题专项训练）数学新教材北师大版七年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型归纳+压轴挑战”构建绝对值化简专项体系，通过数形结合主线串联四类核心题型，实现方法迁移与思维进阶。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1|数形结合为底线原则，贯穿绝对值化简与几何意义|从绝对值概念出发，构建“概念-解法-应用”逻辑链| |题型归纳|4类（每类含典例+3变式）|数轴化简用数轴定位，非负性化简用分类讨论，几何意义用距离公式，整数解问题用非负性分类|按“基础应用-综合拓展”递进，覆盖数轴、非负性等核心知识点| |压轴挑战|8题|综合运用数形结合与分类讨论，突破动点变速等复杂问题|衔接中考高频考点，提升知识综合应用与创新意识|

专题03 绝对值化简的四类培优综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用数轴化简绝对值 题型二、利用非负性化简绝对值 题型三、利用几何意义化简绝对值 题型四、绝对值中整数解问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 绝对值化简问题是七年级上学期数学重难点，所有题型均围绕绝对值化简、绝对值几何意义展开，其中压轴题还涉及到动点变速与往返运动问题，解题贯穿基本底线原则：数形结合。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用数轴化简绝对值问题 典例1 若有理数在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：利用数轴化简绝对值. 2.方法：利用绝对值和数轴的相关知识是解答即可． 变式1-1已知有理数，，在数轴上的位置如图，且，化简： ____． 变式1-2 (1) 有理数a，b，c在数轴上的位置如图， 化简：； (2) 两个非零有理数a，b满足=2a－3b，求的值． 变式1-3有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：． 类型二、利用非负性化简绝对值问题 典例2使成立的条件是（    ）． A． 为任意数 B． C． D． 题型模版 1.特征：利用非负性化简绝对值. 2.方法：分类讨论，搞清楚字母正负是关键. 变式2-1若，则______． 变式2-2已知化简：=__________． 变式2-3分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，则_____；当时，则______；当时，则______． (2)若，求的值． (3)若，且，请分析的正负性，并求出的值． 题型三、利用几何意义化简绝对值 典例3 如图，数轴上有，，三个点，，，对应的数分别是，，，且满足． （1）则______，______，______． 【阅读材料】在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记为（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为． 【初步运用】 （2）若式子，则______；若式子，则______． 【延伸探究】 （3） 若式子取最小值时，最小值是______；当式子取最小值时，则______． 题型模版 1.利用几何意义化简绝对值问题； 2.根据两点间的距离公式即可求解。 变式3-1若在数轴上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则，两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题： (1)与3的距离是_________； (2)式子的最小值是多少？ (3)应用：某一直线沿街有2014户居民（相邻两户居民间隔相同）：，，，，，，某餐饮公司想为这2014户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在_________，才能使这2014户居民到点的距离总和最小． 变式3-2的最小值为______ 变式3-3已知整数x满足，则所有满足条件的整数x的和是________． 题型四、绝对值整数解问题 典例4 已知，，均为整数，且满足，则的值为（    ） A．1 B．0 C．2 D．3 题型模版 1.绝对值整数解问题； 2.根据非负性分类讨论即可求解。 变式4-1已知a，b，c均为正整数，且，则的值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 变式4-2设x、y、z为整数且满足，则代数式的值为____________ 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知，，均为整数，且满足，则的值为______． 2．的最小值是________ 3．当x满足条件________时，取得最大值，最大值为________； 当x满足条件________时，取得最小值，最小值为________． 4．有理数表示的点在数轴上的位置如图所示，若，则化简的结果为___________． 5．已知，则值为_______． 6．若，，是整数，且，则的值为_____． 7．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间距离表示为．回答下列问题： (1)若x表示一个有理数，则的最小值为______；当取最小值时，x的值为______； (2)已知，则的最大值为______． 8．已知有理数、、在数轴上的位置如图所示，且 （1）求和 的值 （2）化简： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 绝对值化简的四类培优综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用数轴化简绝对值 题型二、利用非负性化简绝对值 题型三、利用几何意义化简绝对值 题型四、绝对值中整数解问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 绝对值化简问题是七年级上学期数学重难点，所有题型均围绕绝对值化简、绝对值几何意义展开，其中压轴题还涉及到动点变速与往返运动问题，解题贯穿基本底线原则：数形结合。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用数轴化简绝对值问题 典例1 若有理数在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴的意义以及有理数的加减运算、绝对值的性质．通过数轴确定，的符号以及和的绝对值大小关系是解题的关键． 先根据数轴得出，且，再结合有理数加减规则，绝对值的性质，逐一判断每个选项即可． 【详解】解：观察数轴上点的位置，在0左侧，所以， 在0右侧，所以，且， 选项A：，负数减正数结果为负，即，故该选项错误； 选项B：为正数，是负数，正数大于负数，即，故该选项错误； 选项C：，负数的绝对值更大，和为负，即，故该选项正确； 选项D：，因为为负，则其绝对值是它的相反数，则，而是正数正数，和左边不相等，故该选项错误； 故选C． 题型模版 1.特征：利用数轴化简绝对值. 2.方法：利用绝对值和数轴的相关知识是解答即可． 变式1-1已知有理数，，在数轴上的位置如图，且，化简： ____． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减、数轴、绝对值，明确整式的加减的计算方法，利用绝对值和数轴的相关知识是解答本题的关键． 根据数轴和，可以判断，，的正负和大小，可得到，，，，从而可以化简题目中所求的式子的值． 【详解】解：由数轴可知，，，， 且， ∴，，，， ∴ ， ， ， ， 故答案为：． 变式1-2 (1) 有理数a，b，c在数轴上的位置如图， 化简：； (2) 两个非零有理数a，b满足=2a－3b，求的值． 【答案】（1）；（2）-5或10. 【分析】(1)根据题图，计算各个绝对值的值，然后根据绝对值得非负性，化简计算即可； (2)化简=2a－3b，然后代入求值即可. 【详解】解：（1）由题目可知：，，， ∴ （2）∵两个非零有理数a，b满足=2a－3b， 当时，=2a－3b 可化为： ∴ ∴ 当时，=2a－3b 可化为：. ∴ ∴ 故的值为：-5或10. 【点睛】此题考查了数轴，以及绝对值，正确判断出绝对值里边式子的正负是解本题的关键． 变式1-3有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了数轴以及绝对值的化简，熟练掌握绝对值化简法则是解题关键； 根据数轴得出，将绝对值化简即可. 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∵， ∴， ， ， . 类型二、利用非负性化简绝对值问题 典例2使成立的条件是（    ）． A．为任意数 B． C． D． 【答案】D 【分析】分，，三种情况，结合绝对值的意义化简绝对值，看等号是否恒成立，从而得出答案． 本题主要考查了含绝对值符号的等式．解决问题的关键是熟练掌握绝对值的化简，分类讨论． 【详解】当时， ，， 等式化为：， 成立； 当时， ，， 等式化为：， 解得：， 不符合题意； 当时， ，， 等式化为：， 矛盾． 故使成立的条件是：． 故选：D． 题型模版 1.特征：利用非负性化简绝对值. 2.方法：分类讨论，搞清楚字母正负是关键. 变式2-1若，则______． 【答案】0或4 【分析】根据有理数的乘法运算法则判断出x、y、z三个数有两个负数或没有负数，然后根据绝对值的性质分别进行化简计算即可得解． 【详解】解：∵xyz＞0， ∴x、y、z三个数有两个负数或没有负数， 则=-1-1+1+1=0或原式=1+1+1+1=4． 故答案为：0或4． 【点睛】本题考查了绝对值的性质，有理数的乘法，熟记运算法则并判断出负数的个数是解题的关键． 变式2-2已知化简：=__________． 【答案】-a-3b-c 【分析】先确定a、b、c的正负，然后再去绝对值，最后化简求值即可. 【详解】解：∵ ∴a≤0，b＜0，c≥0 ∴a+2b＜0，c-a＞0，-b-a＞0 ∴=-（a+2b）-（c-a）+（-b-a）=-a-2b-c+a-b-a=-a-3b-c 故答案为-a-3b-c. 【点睛】本题考查了绝对值的相关知识，牢记非负数得绝对值是它本身，负数的绝对值为其相反数，是解答本题的关键. 变式2-3分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，则_____；当时，则______；当时，则______． (2)若，求的值． (3)若，且，请分析的正负性，并求出的值． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的除法法则，运用分类讨论的思想解答是解题的关键． （1）根据题意化简可得前两问，根据讨论的正负即可解答； （2）由已知可得，，，，，三个有理数有两个正数一个负数，进而仿照题例解答即可求解； （3）得到，可得的正负性，根据题意可得，根据，，的正负即可解答． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，可得异号， 当，时，， 当，时，， 所以当时，， 故答案为：；；； （2）解：， ，，， ， ， ，，三个有理数有两个正数一个负数， 假设， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， 原式． 题型三、利用几何意义化简绝对值 典例3 如图，数轴上有，，三个点，，，对应的数分别是，，，且满足． （1）则______，______，______． 【阅读材料】在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记为（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为． 【初步运用】 （2）若式子，则______；若式子，则______． 【延伸探究】 （3）若式子取最小值时，最小值是______；当式子取最小值时，则______． 【答案】（1），，；（2）或，；（3），； 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值的非负性以及偶次方的非负性，解题的关键是：（1）利用绝对值及偶次方的非负性，求出，，的值；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）利用绝对值及偶次方的非负性，即可得出，，的值； （2）【初步运用】解方程及，即可求出结论； （3）【延伸探究】利用“奇点偶段”，即可找出的最小值以及当式子取最小值时的值； 【详解】解：（1）∵， ∴，，， ∴，， 故答案为：，，； （２）【初步运用】：， 即或， 解得： 或 ， 即或（不符合题意，舍去），解得：． 故答案为：或，； （3）【延伸探究】：根据题意得：若式子取最小值时，最小值是； 当式子取最小值时， 故答案为：，； 题型模版 1.利用几何意义化简绝对值问题； 2.根据两点间的距离公式即可求解。 变式3-1若在数轴上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则，两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题： (1)与3的距离是_________； (2)式子的最小值是多少？ (3)应用：某一直线沿街有2014户居民（相邻两户居民间隔相同）：，，，，，，某餐饮公司想为这2014户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在_________，才能使这2014户居民到点的距离总和最小． 【答案】(1)5；(2)5；(3)到之间（包括，两点） 【详解】（1）解：， 故答案为：5． （2）解：∵的几何意义是数轴上表示有理数x的点到及到3的距离之和， 数轴如下， ∴当时，式子取得最小值，最小值为． （3）解：当有两户居民，时，可知，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这2户居民到点P的距离总和最小． 当有四户居民，，，时，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这4户居民到点P的距离总和最小． 那么由题意可知，2014户居民，，，，，中， 点P选在到之间（包括，两点），才能使这2014户居民到点P的距离总和最小． 故答案为：到之间（包括，两点）． 变式3-2的最小值为______ 【答案】15 【分析】本题考查绝对值及数轴上点的距离，题目难度较大，解题关键理解绝对值的几何意义．数轴上有奇数个点，到这些点距离之和最小的点即是正中间那个点，据此求解即可． 【详解】解：可以看成数轴上一个表示的点到1个、个、3个、4个、5个的距离之和，共个点， ∵数轴上有奇数个点，到这些点距离之和最小的点即是正中间那个点，15个点正中间的是第8个点， ∴当时，有最小值， 最小值， 故答案为：． 变式3-3已知整数x满足，则所有满足条件的整数x的和是________． 【答案】 【分析】根据绝对值的几何意义，得到当时，，进而求出符合题意的所有整数，求和即可. 【详解】解：由题意，当，即时，， ∴符合题意的所有整数为， 故. 题型四、绝对值整数解问题 典例4 已知，，均为整数，且满足，则的值为（    ） A．1 B．0 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的性质．由绝对值的性质及整数条件，可知和中一个为，另一个为，从而推导出的值． 【详解】，且，，均为整数， 和均为非负整数，且和为， 可能情况为： ①且，则， ； ②且，则， ． 综上，． 故选：A． 题型模版 1.绝对值整数解问题； 2.根据非负性分类讨论即可求解。 变式4-1已知a，b，c均为正整数，且，则的值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值分非负性，化简绝对值，由条件且均为正整数，可知可能为0或1，对应为3或2，分两种情况讨论，计算的值，结果均为6 【详解】解：，且为正整数， ≥ 0，， 可能为0或1， 当时， ，且， 或， ，，， ； 当，则， ，且， 为正整数， ， ，但为正整数，故， ，，， ， 综上，， 故选：C 变式4-2设x、y、z为整数且满足，则代数式的值为____________ 【答案】2 【分析】由整数满足：，得出一个为0，一个为1，从而分情况求解后代值求解即可得到答案，将题中条件转化为解方程问题是解决问题的关键． 【详解】整数满足：， 一个为0，一个为1， ①当，即，则， 则， ； ②当，即， 则，则， ； 综上，代数式的值为2． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知，，均为整数，且满足，则的值为______． 【答案】 【分析】由绝对值的性质及整数条件，可知和中一个为，另一个为，从而得出的值． 【详解】解：∵，且，，均为整数， ∴和均为非负整数，且和为， ∴可能情况为：且，则， ∴； 且， 则， ∴， 综上，． 2．的最小值是________ 【答案】 【分析】表示a的点到表示b的点的距离，根据绝对值的几何意义把问题转化为求x到1，2，3，，2009，2010的距离之和，而当x表示的点处在最中间两个数1005，1006对应的点之间时，距离之和最小，再根据绝对值的化简求解即可． 【详解】表示x到1，2，3， ，2009，2010的距离之和， 当时，距离之和最小， ． 【点睛】对于求的最小值题型，其中，当为奇数时，时取得最小值；当为偶数时，时取得最小值． 3．当x满足条件________时，取得最大值，最大值为________； 当x满足条件________时，取得最小值，最小值为________． 【答案】 / 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，掌握是数轴上表示的点与表示的点之间的距离是解题关键．根据绝对值的几何意义，利用分类思想，分情况讨论即可． 【详解】解：当时， ，则时，有最大值； 当时， 为定值； 当时， 为定值； 故当时，有最大值，且最大值为2； 当时， ，则时，有最小值； 当时， ； 当时， ； 故当时，取有最小值，且最小值为； 故答案为：，；，． 4．有理数表示的点在数轴上的位置如图所示，若，则化简的结果为___________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了根据数轴判断式子的正负，化简绝对值，先根据数轴以及已知条件得出，，，，再化简绝对值，最后再进行整式的加减运算即可． 【详解】解：∵， ∴ ，，，， ∴ ， 故答案为：． 5．已知，则值为_______． 【答案】或3 【分析】此题考查了绝对值，以及有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据已知等式得到，确定出，，中负因式有0个或2个，原式利用绝对值的代数意义化简即可得到结果． 【详解】解：由，得到，，，中有0个或2个负数， 当2个都为负数时，原式； 当0个为负数时，原式．或3 故答案为：或3 6．若，，是整数，且，则的值为_____． 【答案】或/或 【分析】本题考查了绝对值，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性，以及采用分类讨论的思想．根据绝对值的非负性以及题意，①当时，；②当时，；③当时，，分类讨论计算即可． 【详解】解：∵，，是整数 ∴，是整数 ∵且， ∴①当时， ∴， 当，， ∴，， ∴； 当，， ∴，， ∴； ②当时， ，， 当，， ，， ； 当，， ，， ； ③当时，， ∴，， 当，， ∴，， ∴； 当，， ∴，， ∴ 当，， ∴，， ∴； 当，， ∴，， ∴； 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 7．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间距离表示为．回答下列问题： (1)若x表示一个有理数，则的最小值为______；当取最小值时，x的值为______； (2)已知，则的最大值为______． 【答案】(1)1，2(2)9 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键： （1）根据绝对值的几何意义，得到当时，的值最小为数轴上数表示的点到数2025表示的点的距离，当时，取得最小值； （2）根据绝对值的几何意义得到时，的值最小为3，时，的值最小为3，时，的值最小为4，根据，得到的最大值为，的最小值为时，的值最大，进行求解即可． 【详解】（1）解：表示数轴上表示数的点到数表示的点以及到数2025表示的点的距离和， ∴当时，的值最小为； 同理，当时，取得最小值为； 故答案为：1，2； （2）∵当时，的值最小为， 时，的值最小为， 时，的值最小为， 又∵， ∴，，， ∴当时，的值最大为． 8．已知有理数、、在数轴上的位置如图所示，且 （1）求和 的值 （2）化简： 【答案】（1）；；（2）． 【分析】（1）根据且a、b位于原点两侧，得到a、b互为相反数，然后进行求解即可； （2）先分别判定绝对值内的数的大小，再去绝对值，再合并同类项即可求解． 【详解】（1）∵且a、b位于原点两侧 ∴a、b互为相反数 ∴， （2）如图可得：c＜b＜0＜a且 ∴a＞0，a=-b即a+b=0，c-a＜0，c-b＜0，-2b＞0 因此 = = = 【点睛】本题考查了根据数轴取绝对值进行计算的问题，其中根据去掉绝对值是解答本题的关键. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $