专题01 立体几何图形的三类培优综合题型（四川成都专用，压轴题专项训练）数学新教材北师大版七年级上册

**基本信息** 以“解题通法—题型归纳—压轴挑战”为框架，系统构建立体几何空间想象、度量计算与几何性质的方法体系，通过典例变式实现能力迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1|聚焦立体图形展开折叠、表面积体积、三视图三大核心，强调空间想象能力|从空间图形认知到度量计算，再到几何性质探究，层层递进| |题型归纳|3类（含3典例+8变式）|三视图添加正方体：俯视图标记法；表面积体积：要素提取计算法；点面棱关系：性质规律归纳法|题型与方法一一对应，变式拓展考查维度| |压轴挑战|17题|综合应用空间想象、推理计算解决复杂问题，培养创新意识|整合三类基础题型，提升综合解题能力，对接中考高难度考点|

专题01 立体几何图形的三类培优综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据三视图添加正方体问题 题型二、几何体表面积与体积问题 题型三、点、面、棱之间数量关系问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 立体几何图形是初中数学图形基础，所有题型均围绕立体图形展开与折叠、几何体面积与体积问题、三视图问题展开，解题贯穿基本底线原则：是立体几何空间想象能力。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据三视图添加正方体问题 典例1 如图，是用5个大小相同的小正方体搭成的几何体． (1)请你在方格内画出从正面、左面、上面看到的几何体的形状图； (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持从上面看和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加______个相同的小正方体． 题型模版 1.特征：根据从不同方向看几何体得到的形状图，在网格中画图即可. 2.方法：在从上面看的图形中画出可添加的位置和数量，即可得解 变式1-1一个几何体是由一些大小相同的小正方体摆成的，从正面和上面看到的形状图如图所示，则组成这个几何体的小正方体最少有___________个，最多有___________个． A．5，8 B．6，8 C．5，9 D．6，9 变式1-2如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体搭成． (1)请在网格中分别画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图． (2)在这个几何体中，当去掉一个小正方体________时，剩余部分从上面看到的形状没有改变（填写图中小正方体的序号）；如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的从正面、左面看到的形状不变，那么最多可以再添加________个小正方体． 变式1-3用小立方块搭一个几何体，使它从正面和从上面看的形状图如图所示．从上面看的形状图中，小方格中的字母表示该位置小立方块的个数，试回答下列问题． (1)x，z 各表示多少？ (2)y 可能是多少？这个几何体最少由几个小立方块搭成？最多呢？ 类型二、几何体表面积与体积问题 典例2 【项目式学习】项目主题：礼品盒的探究． 项目内容：学会用数学的眼光看世界，学习小组开展了一次礼品盒的探究之旅． 探究一：图1的三个几何体是常见的礼品盒模型． （1）请分别写出每种礼品盒对应的几何体名称：①正三棱柱；②____________；③____________； 探究二：打开礼品盒顶盖后，看到里面分别装着圆柱形礼品，如图2分别是三个礼品盒拿走顶盖后从上面看到的形状图． （2）学习小组绘制了图2-1中礼品盒的表面展开图，其中能折叠成正三棱柱礼品盒的图样是_______．（请把正确的序号填在横线上） 探究三：经测量发现，每个圆柱形礼品高，底面圆的半径． （3） 现对图2-2和图2-3中礼品盒（有盖）的表面进行贴膜塑封，求两个礼品盒贴膜塑封的总面积．（结果保留，礼品盒高等于圆柱形礼品高，礼品盒的厚度和贴膜接缝处忽略不计．） 题型模版 1.特征：棱柱的侧面都是长方形，上下底面是几边形就是几棱柱. 2.方法：求出长方体的长、宽、高，圆柱体的底面半径和高，再求面积，即可求解. 变式2-1【动手操作】 在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示． （1）按照图2的方式裁剪，若原长方形卡纸长为，求出原卡纸宽的长度？ （2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是 ． 【拓展延伸】 (3) 若有盖长方体的长、宽、高分别为将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为 ． 变式2-2某班综合实践小组开展“制作长方体形纸盒”的实践活动．如图图形中，可能是无盖正方体的表面展开图的有____________；（只填序号） 【活动开展】综合实践小组利用边长为的正方形纸板，按以下两种方式制作长方体形盒子，如图，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，可制作一个无盖长方体形盒子．先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，可制作一个有盖的长方体形盒子．则制作的无盖长方体形盒子和有盖长方体形盒子的体积分别是____________，____________． 【活动探究】若有盖长方体形盒子和无盖长方体形盒子若的长、宽、高分别为，，，将它们的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则它们表面展开图的外围周长最大分别是多少？ 变式2-3问题情景：某综合实践小组开展了无盖长方体纸盒的制作实践活动． (1)下面不可能是长方体展开图的是_____．（填序号） (2)综合实践小组利用边长为12厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为4厘米的小正方形，再沿虚线折叠起来，则长方体纸盒的底面积为_____平方厘米； ②如图2，将原正方形沿着剪开，得到两个长方形，用其中一个长为12厘米，宽为8厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图3，盒子底面的四边形是正方形； 乙：如图4，盒子底面的四边形是正方形； 丙：如图5，盒子底面的四边形是长方形，． 请计算比较这三位同学所折成的无盖长方体的容积的大小． 题型三、点、面、棱之间数量关系问题 典例3 在学习完第一章《丰富的图形世界》后，小红对棱柱的内容进行了归纳与思考： (1)【棱柱的性质】 一个棱柱的命名是由底面边数决定的，而面数、顶点数、棱数都与它的底面边数有关，一个六棱柱有________个面，________个顶点，________条棱． (2)【棱柱的展开】 由于正方体的表面沿某些棱剪开可以展开成一个平面图形，发现每一次都剪开了7条棱，小红又尝试将其他棱柱的表面沿某些棱剪开展开成一个平面图形，记录如下： 剪开棱的条数 保留棱的条数 三棱柱 5 4 四棱柱 7 5 五棱柱 9 6 … … … 根据以上规律，二十棱柱要剪开________条棱． (3)【棱柱的截面】 用平面截一个正方体将其分为两个几何体，当截面是三角形时，所分出的两个几何体的顶点总个数可能是________．（填序号） ①8  ②9  ③10  ④11  ⑤12  ⑥13  ⑦14  ⑧15  ⑨16  ⑩17 题型模版 1.熟练掌握棱柱的性质是解题的关键； 2.利根据表格中的数据找到规律即可。 变式3-1综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： （1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数、面数和棱数，填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 12 30 通过填表发现：顶点数、面数和棱数之间的数量关系用式子表示为______，这就是伟大的数学家欧拉（，）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： （2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是______棱柱； （3）已知一个多面体有16个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 变式3-2将图1所示的大正方体在顶点处截去一个小正方体后，得到图2所示的几何体． (1)设原来大正方体的表面积为，图2所示的几何体表面积为，那么与的大小关系是：____；（填“>”“<”或“=”） (2)图3的实线图形是图2所示几何体表面展开图的一部分，请在图3的虚线区域将图2的展开图补全； (3)设原来大正方体的棱长之和为m，图2所示几何体的棱长之和为n，小明认为：n刚好比m多出大正方体3条棱的长度，小明的说法是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，所截去的小正方体的棱长与原大正方体的棱长之间具备怎样的数量关系时，才会正确？ 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．按如图所示的方式将一个正方体截去一个角后．剩下的几何体的面和棱的数量为（    ） A．7个，13个 B．6个，12个 C．7个，12个 D．6个，11个 2．在一仓库里堆放着若干个大小相同的正方体小货箱，仓库管理员将从三个方向看到的物体的形状图画了出来，如图所示，则这堆正方体小货箱共有（     ） A．11个 B．10个 C．9个 D．8个 3．贝贝按如图方式在大正方体的每一个面上都涂上两个绿色小正方形和两个白色小正方形，使它从各个角度看起来都是由四个绿色小正方体和四个白色小正方体搭建而成，则这个大正方体的表面展开图可以是（   ） A． B． C． D． 4．已知在中，，，．以AB边所在的直线为轴，将旋转一周，则所得几何体的表面积是（   ） A． B． C． D． 5．某正方体纸盒被切割部分后的形状如图所示，则切割后该几何体的展开图（不含凹陷部分的表面）不可能是（   ） A． B． C． D． 6．以下是由六个相同的小正方形组成的四幅不同的图案，其中可以作为一个正方体展开图的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 7．图1、图2均是正方体，图3是由一些大小相同的正方体搭成的几何体从正面看和左面看得到的形状图，小敏同学经过研究得到如下结论： ①若将图1中正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，至少需要剪开7条棱； ②用一个平面从不同方向去截图1中的正方体，得到的截面可能是三角形、四边形、五边形或六边形； ③用一个平面去截图1中的正方体得到图2，截面三角形ABC中； ④如图3，要搭成该几何体的正方体的个数最少是6． 其中结论正确的为______（填写序号）．    8．一个圆柱体的高为，底面积为，若截面是长方形，则这个长方形面积最大为___________． 9．在图中剪去一个小正方形，使余下的部分恰好能折成一个正方体，则应剪去_______（填序号）． 10．如图是一些由棱长为的小正方体木块叠放成的几何体，其中第一个几何体的表面积为，按照图中的叠放规律，第五个几何体的表面积为______． 三、解答题 11．观察下列图形，解决相关问题： (1)把左侧的平面图形绕直线MN旋转一周，得到的几何体是右图中的________（填“”或“”）； (2)根据图中的数据，计算（1）中所得几何体的体积．（结果保留） （已知：，，其中为对应几何体的高，为圆柱底面圆的半径，，为棱锥底面的面积，为棱锥的高） 12．一个几何体是由几个棱长为的小正方体搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示该位置正方体的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状； 13．如图1，将正方体的表面沿图中用粗线标记的棱剪开，展开成一个平面图形． (1)下列是该正方体表面展开图的是______（填写序号）； (2)如图2，用一个经过，，三个顶点的平面去截这个正方体，截面的形状是______．在选择的展开图中，画出截面在正方体表面上形成的截线． 14．一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，从正面、上面看到的这个几何体的形状图如图所示， (1)这个几何体至少需用多少个小正方体搭成的？至多需用多少个小正方体搭成的？ (2)并画出所有从左面看该几何体得到的形状图． 15．如图，沿正方体的两个平面和切割，将此正方体切成4块．请问含有顶点的那一块占正方体体积的几分之几？ 16．“双十一”大促销临近，淘宝上某玩具商家根据所售玩具规格的不同，向厂家订制了不同型号的包装盒，所有包装盒均为双层上盖的长方体纸箱（上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍，如图1所示）． (1)已知某种规格的长方体包装盒的长为5厘米，宽为3厘米，高为4厘米，那么制作一个该长方体纸箱需要______平方厘米的纸板； (2)该玩具商家在今年“双十一”期间推出“买一送一”的活动，现要将两个同一型号的玩具重新包装在一个更大的长方体的外包装盒内（体积是原来纸箱的2倍），已知单个玩具的长方体纸箱长为5分米，宽为3分米，高为4分米（如图所示）．现有三种形式的纸箱（图所示），请分别计算这三种形式所需外包装盒的纸板面积（包装盒上盖朝上），并比较哪一种方式所需纸板面积更少； (3)如图，已知某长方体的长为5，宽为3，高为4，图3-2是该长方体的一种表面展开图，这种表面展开图的外围周长是______厘米．若要设计一个使外围周长最大的表面展开图，则此时的外围周长是______厘米．（直接写出答案） 17．有一个由11个完全相同的小立方块搭成的几何体． (1)请画出从正面看、从左面看、从上面看的平面图形． (2)小立方体的棱长为，现要给该几何体表面涂色（不含底面），求涂上颜色部分的总面积． (3)如果在这个组合体中，再添加一个相同的正方体组成一个新组合体，从正面、左面看这个新组合体时，看到的图形与原来相同，可以有___________种添加方法，画出添加正方体后，从上面看这个组合体时看到的一种图形． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 立体几何图形的三类培优综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据三视图添加正方体问题 题型二、几何体表面积与体积问题 题型三、点、面、棱之间数量关系问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 立体几何图形是初中数学图形基础，所有题型均围绕立体图形展开与折叠、几何体面积与体积问题、三视图问题展开，解题贯穿基本底线原则：是立体几何空间想象能力。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据三视图添加正方体问题 典例1 如图，是用5个大小相同的小正方体搭成的几何体． (1)请你在方格内画出从正面、左面、上面看到的几何体的形状图； (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持从上面看和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加______个相同的小正方体． 【答案】(1)解：如图所示即为所求； ； (2)2 【详解】（1）略 （2）解：保持从上面看和从左面看到的形状图不变， 如图， 最多可以再添加2块小正方体． 故答案为：2． 题型模版 1.特征：根据从不同方向看几何体得到的形状图，在网格中画图即可. 2.方法：在从上面看的图形中画出可添加的位置和数量，即可得解 变式1-1一个几何体是由一些大小相同的小正方体摆成的，从正面和上面看到的形状图如图所示，则组成这个几何体的小正方体最少有___________个，最多有___________个． A．5，8 B．6，8 C．5，9 D．6，9 【答案】B 【分析】本题主要考查了从不同方向看几何体，根据从正面和上面看可知最底层有5块小正方体，然后再根据从正面和上面看的图分别添加小正方体求解即可． 【详解】解：根据从正面和上面看可知最底层有5块小正方体， 当最左边一列（任意一行）加1个小正方体时，如下图，则组成这个几何体的小正方体最少有6个． 1 1 1 1 情况1 1 1 1 1 情况2 1 1 1 1 情况3 当最左边一列三行各加1个小正方体时，如下图，则组成这个几何体的小正方体最多是8个． 1 1 故选：B． 变式1-2如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体搭成． (1)请在网格中分别画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图． (2)在这个几何体中，当去掉一个小正方体________时，剩余部分从上面看到的形状没有改变（填写图中小正方体的序号）；如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的从正面、左面看到的形状不变，那么最多可以再添加________个小正方体． 【答案】(1)见解析(2)①； 【详解】（1）解：如图所示 （2）解：当去掉一个小正方体①时，剩余部分从上面看到的形状没有改变． 保持这个几何体的从正面、左面看到的形状不变，可在第一层的前面第一行添加2个小正方体． 变式1-3用小立方块搭一个几何体，使它从正面和从上面看的形状图如图所示．从上面看的形状图中，小方格中的字母表示该位置小立方块的个数，试回答下列问题． (1)x，z 各表示多少？ (2)y 可能是多少？这个几何体最少由几个小立方块搭成？最多呢？ 【答案】(1) (2)y 可能是 1 或 2；最少由 11 个立方体搭成，最多由 12 个立方体搭成 【分析】（1）结合从正面看到的图形与上面看到的图形在每个位置上的个数，即可求解； （2）根据从正面看和从上面看得到的图形，相应位置的数据，求得的可能数，即可求解． 【详解】（1）解：由从正面看得到的图形，最右侧是1个，最左侧是3个， 根据从上面看得到的图形，可得，； （2）解：从正面看，中间一列最高有 2 个小立方块，由俯视图看，最后一列有 2 个小立方块， 所以中间可以是 1 个小立方块或2个小立方块，即或 ； 最少：， 最多：， 这个几何体最少由 11 个立方体搭成，最多由 12 个立方体搭成． 类型二、几何体表面积与体积问题 典例2 【项目式学习】项目主题：礼品盒的探究． 项目内容：学会用数学的眼光看世界，学习小组开展了一次礼品盒的探究之旅． 探究一：图1的三个几何体是常见的礼品盒模型． （1）请分别写出每种礼品盒对应的几何体名称：①正三棱柱；②____________；③____________； 探究二：打开礼品盒顶盖后，看到里面分别装着圆柱形礼品，如图2分别是三个礼品盒拿走顶盖后从上面看到的形状图． （2）学习小组绘制了图2-1中礼品盒的表面展开图，其中能折叠成正三棱柱礼品盒的图样是_______．（请把正确的序号填在横线上） 探究三：经测量发现，每个圆柱形礼品高，底面圆的半径． （3）现对图2-2和图2-3中礼品盒（有盖）的表面进行贴膜塑封，求两个礼品盒贴膜塑封的总面积．（结果保留，礼品盒高等于圆柱形礼品高，礼品盒的厚度和贴膜接缝处忽略不计．） 【答案】（1）②长方体；③圆柱；（2）①②④；（3） 【分析】本题主要考查了几何体和求几何体的面积，注意：棱柱的侧面都是长方形，上下底面是几边形就是几棱柱． （1）根据图形求解即可； （2）根据正三棱柱的展开图分析即可； （3）先求出长方体的长、宽、高，圆柱体的底面半径和高，再求面积，即可求解． 【详解】解：（1）每种礼品盒对应的几何体名称：②长方体；③圆柱； （2）能折叠成正三棱柱礼品盒的图样是①②④； （3）长方体的长为，宽为，高为， 长方体礼盒的面积为， 圆柱体的底面半径为，高为， 圆柱体礼盒的面积为， 两个礼品盒贴膜塑封的总面积． 题型模版 1.特征：棱柱的侧面都是长方形，上下底面是几边形就是几棱柱. 2.方法：求出长方体的长、宽、高，圆柱体的底面半径和高，再求面积，即可求解. 变式2-1【动手操作】 在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示． （1）按照图2的方式裁剪，若原长方形卡纸长为，求出原卡纸宽的长度？ （2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是 ． 【拓展延伸】 (3) 若有盖长方体的长、宽、高分别为将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为 ． 【答案】（1）该长方形卡纸宽是15cm；（2）C；（3） 【分析】本题主要考查了长方体的展开与折叠， （1）根据折叠和正方形的性质得，即可得出，则此题可解； （2）根据四个字的位置特点可得对应面上的字中间相隔一个几何图形，且字体相反，进而得出答案； （3）根据长方体的棱最短的剪的越少，展开图的外围周长越大解答即可． 【详解】解：（1）如图所示，根据折叠的性质得，且， ∴． ∵四边形是正方形，且， ∴． ∵， ∴， 即； （2）根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和“意”在对应面上，且对应面上的字中间相隔一个几何图形，且字体相反，结合选项可知，只有C符合题意； 故答案为：C； （3）如图所示，周长为， 所以长方体表面展开图的最大外围周长为92． 故答案为：92． 变式2-2某班综合实践小组开展“制作长方体形纸盒”的实践活动．如图图形中，可能是无盖正方体的表面展开图的有____________；（只填序号） 【活动开展】综合实践小组利用边长为的正方形纸板，按以下两种方式制作长方体形盒子，如图，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，可制作一个无盖长方体形盒子．先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，可制作一个有盖的长方体形盒子．则制作的无盖长方体形盒子和有盖长方体形盒子的体积分别是____________，____________． 【活动探究】若有盖长方体形盒子和无盖长方体形盒子若的长、宽、高分别为，，，将它们的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则它们表面展开图的外围周长最大分别是多少？ 【答案】； [活动开展]；； [活动探究]有盖长方体形盒子表面展开图的外围周长最大为，无盖长方体形盒子表面展开图的外围周长最大为． 【分析】本题考查长方体和正方体的表面展开图、长方体体积公式，熟练掌握长方体和正方体的表面展开图是解题的关键． 根据无盖正方体的表面展开图包括个正方形，逐一判断能否形成无盖正方体即可； [活动开展]根据制作长方体形盒子的方法，得到无盖长方体形盒子的长为、宽为，高为，有盖长方体形盒子的长为、宽为，高为，利用长方体的体积公式进行计算即可； [活动探究]根据题意得出有盖长方体形盒子和无盖长方体形盒子的表面展开图，在利用外围周长公式进行计算即可． 【详解】解：无盖正方体的表面展开图包括个正方形， 图可以折叠成一个无盖的正方体，底面是中间的正方形，四个侧面是周围的正方形， 图上方的两个正方形会重叠，无法得到无盖的正方体， 图尝试折叠，无法得到无盖正方体， 图可以折叠成一个无盖的正方体，底面是任意一个正方形，四个侧面是周围的正方形， 图可以折叠成一个无盖的正方体，底面是任意一个正方形，四个侧面是周围的正方形， 因此，可能是无盖正方体的表面展开图的有图、图、图， 故答案为：； [活动开展]解：根据题意得： 无盖长方体形盒子的长为， 宽为，高为， 则无盖长方体形盒子的体积为； 有盖长方体形盒子的长为， 宽为，高为， 则有盖长方体形盒子的体积为， 故答案为：；； [活动探究]解：有盖的长方体纸盒长、宽、高分别为，，，想要使展开图的周长最大，只需要沿着长为的棱剪开即可，如图， 则有盖长方体形盒子表面展开图的外围周长最大为， 无盖的长方体纸盒长、宽、高分别为，，，想要使展开图的周长最大，只需要沿着长为的棱剪开即可，如图， 则无盖长方体形盒子表面展开图的外围周长最大为． 变式2-3问题情景：某综合实践小组开展了无盖长方体纸盒的制作实践活动． (1)下面不可能是长方体展开图的是_____．（填序号） (2)综合实践小组利用边长为12厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为4厘米的小正方形，再沿虚线折叠起来，则长方体纸盒的底面积为_____平方厘米； ②如图2，将原正方形沿着剪开，得到两个长方形，用其中一个长为12厘米，宽为8厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图3，盒子底面的四边形是正方形； 乙：如图4，盒子底面的四边形是正方形； 丙：如图5，盒子底面的四边形是长方形，． 请计算比较这三位同学所折成的无盖长方体的容积的大小． 【答案】(1)④；(2)①平方厘米；②． 【分析】本题主要考查了长方体的展开与折叠、长方体的底面积与容积计算，熟练掌握长方体展开图的特征及长方体容积公式是解题的关键． （1）根据长方体展开图的特征，判断四个图形能否折叠成长方体，找出不能折叠成长方体的图形序号． （2）①先根据剪去的小正方形边长，求出长方体纸盒底面的边长，再计算底面积．②分别根据甲、乙、丙三种方案，确定无盖长方体的长、宽、高，再根据长方体容积公式计算容积，最后比较大小． 【详解】（1）解：根据展开图的折叠，①②③能折成长方体，④不能折成长方体， 故答案为：④； （2）解：①正方形纸板边长为厘米，剪去的小正方形边长为厘米， 底面边长厘米， 底面积平方厘米； ②甲方案：底面四边形是正方形，且， 底面边长厘米，高厘米， 立方厘米； 乙方案：∵底面四边形是正方形，且厘米， ∴底面边长厘米，高厘米， ∴立方厘米； 丙方案：，且， ， 解得厘米，厘米， 高厘米， 立方厘米， ， ． 题型三、点、面、棱之间数量关系问题 典例3 在学习完第一章《丰富的图形世界》后，小红对棱柱的内容进行了归纳与思考： (1)【棱柱的性质】 一个棱柱的命名是由底面边数决定的，而面数、顶点数、棱数都与它的底面边数有关，一个六棱柱有________个面，________个顶点，________条棱． (2)【棱柱的展开】 由于正方体的表面沿某些棱剪开可以展开成一个平面图形，发现每一次都剪开了7条棱，小红又尝试将其他棱柱的表面沿某些棱剪开展开成一个平面图形，记录如下： 剪开棱的条数 保留棱的条数 三棱柱 5 4 四棱柱 7 5 五棱柱 9 6 … … … 根据以上规律，二十棱柱要剪开________条棱． (3)【棱柱的截面】 用平面截一个正方体将其分为两个几何体，当截面是三角形时，所分出的两个几何体的顶点总个数可能是________．（填序号） ①8  ②9  ③10  ④11  ⑤12  ⑥13  ⑦14  ⑧15  ⑨16  ⑩17 【答案】(1) (2) (3)④⑤⑥⑦ 【分析】本题主要考查几何体，棱柱的性质，熟练掌握棱柱的性质是解题的关键． （1）根据棱柱的性质即可得到答案； （2）根据表格中的数据找到规律即可； （3）根据题意，当截面是三角形时，分情况分析所分出的两个几何体的顶点总个数即可． 【详解】（1）解：根据棱柱的性质可知，六棱柱有个面，个顶点，条棱， 故答案为：； （2）解：由表格可知，三棱柱剪开棱的条数为 四棱柱剪开棱的条数为 五棱柱剪开棱的条数为 棱柱剪开棱的条数为：， 把代入，得 故答案为：； （3）解：①不过顶点，所分出的两个几何体的顶点总个数为：（个）； ②过一个顶点时，所分出的两个几何体的顶点总个数为（个）； ③过两个顶点时，所分出的两个几何体的顶点总个数为（个）； ④过三个顶点时，所分出的两个几何体的顶点总个数为（个）； 综上所述，所分出的两个几何体的顶点总个数可能是④⑤⑥⑦． 故答案为：④⑤⑥⑦． 题型模版 1.熟练掌握棱柱的性质是解题的关键； 2.利根据表格中的数据找到规律即可。 变式3-1综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： （1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数、面数和棱数，填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 12 30 通过填表发现：顶点数、面数和棱数之间的数量关系用式子表示为______，这就是伟大的数学家欧拉（，）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： （2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是______棱柱； （3）已知一个多面体有16个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 【答案】（1）填表见解析，；（2）五；（3）10 【分析】本题考查了多面体与棱柱的认识，点线面体的相关概念，掌握图形中各量之间的关系是解题的关键． （1）填表，通过观察，发现棱数顶点数面数； （2）根据棱柱的定义进行解答即可； （3）由（1）得出的规律进行解答即可． 【详解】解：（1）填表如下： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 顶点数、面数和棱数之间的数量关系是， 故答案为：； （2）∵一个棱柱只有七个面，必有2个底面， ∴有个侧面， ∴这个棱柱是五棱柱， 故答案为：五； （3）由题意得：棱的总条数为（条）， 由可得， 解得：， 故该多面体的面数为10． 变式3-2将图1所示的大正方体在顶点处截去一个小正方体后，得到图2所示的几何体． (1)设原来大正方体的表面积为，图2所示的几何体表面积为，那么与的大小关系是：____；（填“>”“<”或“=”） (2)图3的实线图形是图2所示几何体表面展开图的一部分，请在图3的虚线区域将图2的展开图补全； (3)设原来大正方体的棱长之和为m，图2所示几何体的棱长之和为n，小明认为：n刚好比m多出大正方体3条棱的长度，小明的说法是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，所截去的小正方体的棱长与原大正方体的棱长之间具备怎样的数量关系时，才会正确？ 【答案】(1)= (2) 作图见详解 (3)不正确，所截的小正方体的棱长是大正方体棱长的一半 【分析】本题主要考查立体结合图形的特点，掌握正方体截取的方法，数形结合分析是解题的关键． （1）根据图示，截去部分与增加部分的面积的比较，即可求解； （2）根据立体图形与展开图的特点进行分析即可求解； （3）根据截去部分与增加部分的棱长进行比较即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 截去的面与相等，面与相等，面与面相等， ∴， 故答案为：； （2）解：根据题意，作图如下， （3）解：不正确，理由如下， 根据题意，，，， 截去了，增加了，截去了，增加了，截去了，增加了， ∴截去的长为，增加的长为， ∴所截的小正方体的棱长是大正方体棱长的一半，才会正确 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．按如图所示的方式将一个正方体截去一个角后．剩下的几何体的面和棱的数量为（    ） A．7个，13个 B．6个，12个 C．7个，12个 D．6个，11个 【答案】C 【分析】本题考查了正方体的面和棱，熟练掌握一定的空间想象能力是解题关键．按如图所示的方式将一个正方体截去一个角后，正方体增加1个面；棱减少3条，又增加3条，由此即可得． 【详解】解：正方体共有6个面，12条棱， 按如图所示的方式将一个正方体截去一个角后，正方体增加1个面；棱减少3条，又增加3条， 所以剩下的几何体的面的数量为（个）；棱的数量为（条）， 故选：C． 2．在一仓库里堆放着若干个大小相同的正方体小货箱，仓库管理员将从三个方向看到的物体的形状图画了出来，如图所示，则这堆正方体小货箱共有（     ） A．11个 B．10个 C．9个 D．8个 【答案】B 【分析】根据该几何体从三个方向看到的形状图中所提供的信息进行分析解答即可． 【详解】解：根据从上面看可知，该物体的最下面一层有7个正方体小货箱，由从正面看和从左面看的图可得：该物体第二层有2个正方体小货箱，第三层有1个正方体小货箱， ∴组成该物体的正方体小货箱有：（个）． 3．贝贝按如图方式在大正方体的每一个面上都涂上两个绿色小正方形和两个白色小正方形，使它从各个角度看起来都是由四个绿色小正方体和四个白色小正方体搭建而成，则这个大正方体的表面展开图可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方体的展开图，具备空间想象能力是解决问题的关键．根据正方体的展开图和两个绿色小正方形与两个白色小正方形的相对位置解答即可． 【详解】解：根据正方体的展开图和两个绿色小正方形与两个白色小正方形的相对位置，B选项符合题意． 故选：B． 4．已知在中，，，．以AB边所在的直线为轴，将旋转一周，则所得几何体的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆锥的计算，解题的关键是理解题意，通过面积法求斜边上的高作为公共底面半径． 几何体为两个圆锥的组合体，表面积为两个圆锥的侧面积之和． 【详解】解：设边上的高为， 在中，，，， ∴， ∵ ∴， 解得：， 旋转后，几何体为两个圆锥，底面半径均为，母线分别为和， ∴几何体的表面积是， 故选：C． 5．某正方体纸盒被切割部分后的形状如图所示，则切割后该几何体的展开图（不含凹陷部分的表面）不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别将四个选项还原成原几何体，再比较得出答案即可． 【详解】解：将图B中的位于中间的两个对角小正方形为上底面，则1为左侧面，5为前侧面，2为后侧面，3为右侧面，4为下底面，可知符合题意； 将图C中的位于中间的两个对角小正方形为上底面，则1为左侧面，5为前侧面，2为右侧面，3为下底面，4为后侧面，可知符合题意； 将图D中的位于中间的大正方形为下底面，则2为左侧面，1为上底面，4为后侧面，3为右侧面，5为前侧面，可知符合题意； 将图A中的位于中间的大正方形为下底面，则2为左侧面，1为上底面，4为后侧面，3为右侧面，5为前侧面，可知4位置不对，不能还原成原几何体，符合题意． 6．以下是由六个相同的小正方形组成的四幅不同的图案，其中可以作为一个正方体展开图的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了正方体的展开图．正方体的展开图的11种形式，利用不是正方体展开图的“一线不过四、田凹应弃之”（即不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况），据此可得答案． 【详解】解：根据正方体展开图的特点可知，只有第2个图形不能作为正方体的展开图， 其余3个图形都能作为正方体的展开图， 故选：C． 二、填空题 7．图1、图2均是正方体，图3是由一些大小相同的正方体搭成的几何体从正面看和左面看得到的形状图，小敏同学经过研究得到如下结论： ①若将图1中正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，至少需要剪开7条棱； ②用一个平面从不同方向去截图1中的正方体，得到的截面可能是三角形、四边形、五边形或六边形； ③用一个平面去截图1中的正方体得到图2，截面三角形ABC中； ④如图3，要搭成该几何体的正方体的个数最少是6． 其中结论正确的为______（填写序号）．    【答案】①②④ 【分析】此题主要考查了正方体的展开图的性质，截正方体以及简单组合体的三视图等知识． 根据正方体的棱的条数以及展开后平面之间应有棱连着可判断①；正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形可判断②③；作出相应的俯视图，标出搭成该几何体的小正方体的个数最多（少）时的数字即可判断④． 【详解】解：①若将图1中正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，需要剪开7条棱；正确，因为正方体有6个表面，12条棱，要展成一个平面图形必须5条棱连接，所以要剪开条棱．正确； ②用一个平面从不同方向去截图1中的正方体，得到的截面可能是三角形、四边形、五边形或六边形．正确； ③用一个平面去截图1中的正方体得到图2，是等边三角形，则．故③错误． ④如图3，要搭成该几何体的正方体的个数最少是6，故④正确． 故答案为：①②④． 8．一个圆柱体的高为，底面积为，若截面是长方形，则这个长方形面积最大为___________． 【答案】/平方厘米 【分析】本题主要考查了几何体的截面，圆柱体的截面为长方形时，面积最大的截面是垂直于底面且经过底面圆直径的截面，此时长方形的宽为底面直径，高为圆柱的高． 【详解】解：底面积可得底面半径， ， 解得：， 圆柱底面直径为， 截面最大面积的长方形宽为底面直径，高为圆柱高， 截面的最大面积为． 故答案为：． 9．在图中剪去一个小正方形，使余下的部分恰好能折成一个正方体，则应剪去_______（填序号）． 【答案】②或⑥或⑦ 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，熟记正方体展开图的各种情形是解题关键． 利用正方体及其表面展开图的特点解题． 【详解】解：如果减去⑥，得出“一四一型”的展开图， 如果减去⑦，得出“一四一型”的展开图，如果减去②，得出“二三一型”的展开图． 故答案为：②或⑥或⑦． 10．如图是一些由棱长为的小正方体木块叠放成的几何体，其中第一个几何体的表面积为，按照图中的叠放规律，第五个几何体的表面积为______． 【答案】 【分析】观察图形得到几何体的表面积依次增加，得到第五个几何体的表面积，进行解答，即可． 【详解】解：第一个几何体的表面积为：； 第二个几何体的表面积为：； 第三个几何体的表面积为：； ∴几何体的表面积依次增加； ∴第五个几何体的表面积为：． 三、解答题 11．观察下列图形，解决相关问题： (1)把左侧的平面图形绕直线MN旋转一周，得到的几何体是右图中的________（填“”或“”）； (2)根据图中的数据，计算（1）中所得几何体的体积．（结果保留） （已知：，，其中为对应几何体的高，为圆柱底面圆的半径，，为棱锥底面的面积，为棱锥的高） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）旋转得到的几何体是上半部分为圆锥，下半部分为圆柱的图形． （2）由题意得，得到的圆柱底面圆半径和圆锥底面圆半径均为，圆柱高为，圆锥高为，代入到圆柱和圆锥的体积公式中即可求解． 【详解】（1）解：将左侧的平面图形绕直线旋转一周得到的几何体是上半部分为圆锥，下半部分为圆柱的图形， 故答案为：． （2）解：由题意得，得到的圆柱底面圆半径和圆锥底面圆半径均为，圆柱高为，圆锥高为， ∴圆锥的体积为，圆柱的体积为， ∴这个几何体的体积为． 12．一个几何体是由几个棱长为的小正方体搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示该位置正方体的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状； 【答案】作图见解析 【分析】从上面观察几何体及小正方形中的数字，可知从正面看几何体的列数与从上面观察几何体的列数相同，且每列小正方形数目为从上面观察几何体的相应列中小正方形中的数字的最大数字；从左面看几何体的列数与从上面观察几何体的行数相同，且每列小正方形数目为从上面观察几何体的相应行中小正方形中的数字的最大数字，据此画图即可． 【详解】解：如图： 13．如图1，将正方体的表面沿图中用粗线标记的棱剪开，展开成一个平面图形． (1)下列是该正方体表面展开图的是______（填写序号）； (2)如图2，用一个经过，，三个顶点的平面去截这个正方体，截面的形状是______．在选择的展开图中，画出截面在正方体表面上形成的截线． 【答案】(1)① (2)三角形，见详解 【分析】本题考查了正方形的展开图，空间想象能力，截一个几何体，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，认真思考，运用空间想象能力，即可作答． （2）理解题意，运用空间想象能力，得出用一个经过，，三个顶点的平面去截这个正方体，截面的形状是三角形，再进行作图解答即可． 【详解】（1）解：观察图中，理解题意，则该正方体表面展开图的是 , 故答案为：①； （2）解：依题意， 如图2，用一个经过，，三个顶点的平面去截这个正方体，截面的形状是三角形． 在选择的展开图中，画出截面在正方体表面上形成的截线，如图①所示： 14．一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，从正面、上面看到的这个几何体的形状图如图所示， (1)这个几何体至少需用多少个小正方体搭成的？至多需用多少个小正方体搭成的？ (2)并画出所有从左面看该几何体得到的形状图． 【答案】(1)7；9 (2)见解析 【分析】（1）根据从正面看和从上面看的形状图可确定几何体有两层，第一层有5个小正方体，然后再根据从正面看的形状图确定第二层小正方体的摆放情况即可解答； （2）根据第（1）题的第二层的小正方体的摆放情况，确定从左面看到的形状图即可． 【详解】（1）解：根据从正面看和从上面看的形状图可知，该几何体有两层，第一层有5个小正方体；总共三列，从左到右数的第三列只在第一层有1个小正方体； ∴如图所示，这个几何体至少需要用7个小正方体搭成（从上面看）， 或或或 至多需要用9个小正方体搭成（从上面看）， （2）解：如图所示，所有从左面看该几何体得到的形状图： 15．如图，沿正方体的两个平面和切割，将此正方体切成4块．请问含有顶点的那一块占正方体体积的几分之几？ 【答案】 【分析】本题主要考查了图形的拆分的应用； 根据沿平面切割，此时含有顶点的那一块占正方体体积的，再沿平面切割，含有顶点的那一块占沿面切割后的，即可求解． 【详解】解：如图1，沿平面切割，此时含有顶点的那一块占正方体体积的， 如图2，再沿平面切割，含有顶点的那一块占沿平面切割后的， ∴含有顶点的那一块占正方体体积的， 答：含有顶点的那一块占正方体体积的． 16．“双十一”大促销临近，淘宝上某玩具商家根据所售玩具规格的不同，向厂家订制了不同型号的包装盒，所有包装盒均为双层上盖的长方体纸箱（上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍，如图1所示）． (1)已知某种规格的长方体包装盒的长为5厘米，宽为3厘米，高为4厘米，那么制作一个该长方体纸箱需要______平方厘米的纸板； (2)该玩具商家在今年“双十一”期间推出“买一送一”的活动，现要将两个同一型号的玩具重新包装在一个更大的长方体的外包装盒内（体积是原来纸箱的2倍），已知单个玩具的长方体纸箱长为5分米，宽为3分米，高为4分米（如图所示）．现有三种形式的纸箱（图所示），请分别计算这三种形式所需外包装盒的纸板面积（包装盒上盖朝上），并比较哪一种方式所需纸板面积更少； (3)如图，已知某长方体的长为5，宽为3，高为4，图3-2是该长方体的一种表面展开图，这种表面展开图的外围周长是______厘米．若要设计一个使外围周长最大的表面展开图，则此时的外围周长是______厘米．（直接写出答案） 【答案】(1)109 (2)178（平方厘米），194（平方厘米），173（平方厘米）， 按图所示的方式摆放所需的纸板面积更少 (3)50；62 【分析】本题考查了长方体的展开图，解题的关键是要发挥空间想象能力，计算出每个面的面积． （1）计算长方体的表面积再加底面面积，即可求出制作长方体纸箱的面积； （2）根据图示计算即可； （3）根据图示即可算出图的外围周长，要使展开图的外围周长最长，则需要使沿长为5的边剪开，使长为5的边尽可能多的作外围即可． 【详解】（1）解：， 故制作长方体纸箱需要109平方厘米纸板， 故答案为：109； （2）解：按图所示的方式摆放，需要（平方分米）， 按图所示的方式摆放，需要（平方分米）， 按图所示的方式摆放，需要（平方分米）， ∵， ∴按图所示的方式摆放所需的纸板面积更少； （3）解：表面展开图的外围周长：（厘米）， 如图所示，此时外围周长最大， 最大周长为：（厘米）， 故答案为：50，62． 17．有一个由11个完全相同的小立方块搭成的几何体． (1)请画出从正面看、从左面看、从上面看的平面图形． (2)小立方体的棱长为，现要给该几何体表面涂色（不含底面），求涂上颜色部分的总面积． (3)如果在这个组合体中，再添加一个相同的正方体组成一个新组合体，从正面、左面看这个新组合体时，看到的图形与原来相同，可以有___________种添加方法，画出添加正方体后，从上面看这个组合体时看到的一种图形． 【答案】(1)见解析 (2) (3)2，图见解析 【分析】本题主要考查了从不同方向看几何体，简单组合体的表面积等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识． （1）根据从不同方向看几何体画出图形即可； （2）分别求出最上层，中间层和最下面一层需要涂色的面，即可求解； （3）根据再添加一个相同的正方体组成一个新组合体，从正面、左面看这个新组合体时，看到的图形与原来相同，进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：由题意可知，几何体的最上层一共有5个面需要涂色，中间一层一共有12个面需要涂色，最下面一层一共有18个面需要涂色， ∴一共有个面需要涂色， ∴涂上颜色部分的总面积 （3）解：如图所示，一共有2种添加方法： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $