2.1有理数的加法与减法 课件 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦有理数的加法和减法运算，通过生活实例思考题（如原始人砍树、渔夫捕鱼等）导入，从小学加法自然过渡到有理数运算，搭建前后知识衔接的学习支架。 其亮点在于以情境化问题驱动，结合数轴、相反数等方法推导运算规则，体现数学眼光（观察现实数量关系）和数学思维（推理运算逻辑）。实例如家庭收支、企业债务分析，帮助学生发展运算能力与应用意识，教师可借助丰富素材提升教学效率。

第一章 有理数 第二章 有理数的运算 2.1有理数的加法和减法 主讲人： 日期： 2.1有理数的加减法 2.1.1有理数的加法 2.1.2有理数的减法 思考1 ： 小学加法 0+1= 10+20= 1+5= +1= = = 12+21= 101+100.1= 9.9+= 2+91= 15+9= 54+37= 600+157= 0+0= 10+0= 100+0= 2+= 0.64+15.84= 0+10.65= 9.43+4.68= 8+6.317= 1 1 3 33 93 201.1 24 100 16.48 2.4 10 19.8 0 757 91 6 30 10.65 14.11 思考2 ： 一个原始人，第一天砍了10棵树，第二天砍了8棵树，第三天砍了6棵树，问一共砍了几棵树？ 10+8+6=24（棵） 思考3 ： 一个渔夫，第一天捕了50斤鱼，第二天捕了60斤鱼，第三天捕了55斤鱼，问一共捕了多少斤鱼？ 50+60+55=165（斤） 思考4 ： 一个汽车工厂，第一季度生产汽车20万辆，第二季度生产汽车30万辆，第三季度生产汽车35万辆，第四季度生产汽车42万辆，全年一共生产多少辆汽车？ 20+30+35+42=127（万辆） 思考5 ： 一个出口企业，第一季度出口额1000万，第二季度出口额1200万，第三季度出口额1500万，第四季度出口额1300万，全年出口总额多少？ 1000+1200+1500+1300=5000（万） 思考6 ： 一个上市公司，2021年亏损2亿，2022年亏损5亿，2023年亏损0.8亿，2024年亏损1.2亿，2025年亏损0.5亿，最近五年一共亏损多少？ 2+5+0.8+1.2+0.5=9.5（亿） 以上这些思考题，告诉我们： 正数之间的加法运算，和小学学过的加法运算是一致的，数字相加。 正数加正数的结果还是正数。 2.1.1 有理数的加法 思考7 ： 植树造林工程队，在沙漠种植了一批树苗，因气候恶劣，一年后发现，有6589棵苗未成活，第二年后，又死去1542棵，两年时间一共有多少树苗未存活？ 6589+1542=8131（棵） 思考8 ： 如果将树苗的死去用负数表示，第一年的数据变成-6589，第二年的数据变成-1542，两年一共损失多少树苗？ -6589+（-1542）=-8131（棵） 思考9 ： 一个留学生在国外读书，银行卡里有一定数额的生活费，一个月大概开支明细，吃饭6000元，住宿4000元，娱乐1000元，购物1200元，交通200元，通讯150元，旅行900元，一个月开支一共多少元？ 6000+4000+1000+1200+200+150+900=13450（元） 思考10 ： 将开支用负数来表达，吃饭-6000元，住宿-4000元，娱乐-1000元，购物-1200元，交通-200元，通讯-150元，旅行-900元，一个月开支一共多少元？ -6000+（-4000）+（-1000）+（-1200）+（-200）+（-150）+（-900）=-13450（元） 思考11 ： 冒险游戏中，主角在第一个关卡被怪物袭击造成的伤害35点，第二个关卡伤害为40点，第三个关卡伤害为70点，三关一共被造成伤害多少点？ 35+40+70=145（点） 思考12 ： 如果把伤害用负数表示，第一关伤爱为-35点，第二关为-40点，第三关伤害为-70点，三关一共被造成伤害多少点？ -35+（-40）+（-70）=-145（点） 思考13 ： 某国家，第一季度贸易逆差为10亿美金，第二季逆差为15亿美金，第三季度逆差为20亿美金，第四季逆差为18亿美金，全年逆差总额为多少？ 10+15+20+18=63（亿） 思考14 ： 将逆差用负数表达（单位为亿），四个季度分别为-10，-15，-20，-18，全年逆差总额为多少？ -10+（-15）+（-20）+（-18）=-63（亿） 思考15 ： 经济下滑时期，家庭会面临失业和收入下降的风险，支出可能大于收入，支出减去收入等于负债，第一个月负债1500元，第二个月负债800元，第三个月负债1100元，三个月总负债多少元？ 1500+800+1100=3400（元） 思考16 ： 收入大于支出，收入减去支出一定大于0，结果用正数表示，钞票有剩余；支出大于收入，支出减去收入一定大于0，结果用负数表示，家庭产生负债。第一个月负债-1500元，第二个月负债-800元，第三个月负债-1100元，三个月总负债多少元？ -1500+（-800）+（-1100）=-3400（元） 以上这些思考题，告诉我们： 负数加负数，结果依然是负数，只是数字部分相加。 a和b是正数，-a+(-b)=-(a+b) 2.1.1 有理数的加法 思考17 ： -2+（-1）= -50+（-20）= -2+(-)= -3+(-2)= -77+(-44)= -300+(-98.9)= -184+(-91)= -98+(-74)= -60+(-157)= -10+0= -12+(-)= -20.64+(-15.84)= -2+(-10.65)= -8.3+(-6.317)= -3 - -5 -121 -275 -398.9 -172 -36.48 -12.4 -10 -217 -70 -12.65 同号的几个数相加，结果的符号保持不变，数字部分相加。 更抽象一点表达：同号数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和。 a和b是正数，那么a + b =|a|+|b| a和b是负数，那么a + b=-(|a|+|b|). 2.1.1 有理数的加法 思考18 ： 家庭是社会系统里最基本的经济单元，经济这个英语单词源自家庭。月工资收入：12000元；饮食：3000元；娱乐：800元；医疗：300元；服装：1000元；旅游：500元元。月底收支情况？ 12000-3000-800-300-1000-500=6400（元） 思考19 ： 我们规定：收入用正数表示，支出用负数表示，重新看这道题。 月工资收入：12000元；饮食：-3000元；娱乐：-800元；医疗：-300元；服装：-1000元；旅游：-500元元。月底收支情况？ 12000+(-3000)+(-800)+(-300)+(-1000)+(-500) =9000+3000+(-3000)+(-800)+(-300)+(-1000)+(-500) =9000+(-800)+(-300)+(-1000)+(-500) =8200+(-300)+(-1000)+(-500) =7900+(-1000)+(-500) =6900+(-500)=6400 思考20 ：构造相反数，实现计算。 100+(-90)= 83+(-54)= 2+(-)= (-12)+24= 87+(-87)= 1000+(-99)= 121+(-31)= 98+(-41)= 81+(-9)= 10+(-9)= 15+(-5)= 65+(-15)= 67+(-58)= 36+(-18)= 18+(-9)= 17+(-8)= 23+(-7)= 55+(-6)= 10 16 18 10 57 50 72 901 0 90 1 9 9 49 1 29 12 9 a , b,都是正数，a大于b, 借助相反数手段，那么a+(-b)=a – b + b+(-b)=a-b+0=a-b。 9+（-6）=9-6+6+(-6)=9-6=3 ，这里 a = 9, b = 6 按照教材的说法，a是正数，b是负数，如果|a|大于|b|，那么，a + b= |a|-|b|。 例：9+（-6）=|9|-|-6|=9-6=3 思考21 ：按照教材上的规则计算。 110+(-90)= 87+(-54)= 3+(-)= (-12)+44= 87+(-87)= 1000+(-89)= 121+(-36)= 98+(-44)= 81+(-13)= 12+(-9)= 15+(-6)= 65+(-25)= 67+(-57)= 36+(-14)= 18+(-12)= 17+(-5)= 23+(-16)= 55+(-29)= 20 7 22 9 54 40 68 911 0 85 3 10 12 26 2 33 32 6 思考22 ： 如果54代表一个公司的现金，-68代表公司目前应该支付的钱， 公司面临哪些问题？ 54+（-68）结果是负数还是正数？ 相反数构造：54+（-68）=54+（-54）+(-14)=0+(-14)=-14 公司明显面临资金短缺，现有资金不足，可见54+（-68）一定是负数。 思考23 ：利用相反数规则计算。 10+(-90)= 33+(-54)= 2+(-3)= (-32)+24= 87+(-87)= 100+(-199)= 121+(-131)= 8+(-41)= 8+(-9)= 10+(-29)= 15+(-35)= 65+(-95)= 67+(-78)= 6+(-18)= 18+(-99)= 17+(-88)= 23+(-37)= 55+(-66)= -80 -14 -12 -20 -33 -30 -1 -99 0 -10 -19 -11 -71 -11 -1 -21 -8 -81 a , b,都是正数，a小于b, 那么a+(-b)=a+(-a)+(-(b-a))=-(b-a) 9+（-16）=9+(-9)+(-7)=-7 ，这里 a = 9, b = 16 按照教材的说法，a是正数，b是负数，如果|a|<|b|，那么，a + b=-( |b|-|a|)。 例：9+（-16）=-(|-16|-|9|)=-(16-9)=-7 。 思考24 ：利用教材上的规则。 10+(-80)= 33+(-44)= 2+(-4)= (-33)+24= 87+(-89)= 100+(-399)= 121+(-161)= 8+(-16)= 8+(-18)= 10+(-11)= 15+(-55)= 65+(-75)= 67+(-77)= 6+(-19)= 18+(-88)= 17+(-98)= 23+(-64)= 55+(-97)= -70 -41 -13 -40 -8 -10 -10 -299 -2 -40 -1 -10 -81 -42 -2 -11 -9 -70 有理数加法规则总结 同号相加，符号不变，绝对值相加。 例：8+9=17， -8+（-9）=-17。 异号相加，符号与绝对值大的数保持一致，大绝对值减去小绝对值。 9+（-7）=+（|9|-|-7|）=2； -9+7=-（|-9|-|7|）=-2 2.1.2有理数的减法 大正数减小正数 小正数减大正数 正数减负数 负数减正数 小负数减大负数 大负数减小负数 3-1= 87-74= 85-46= 12-9= 986-69= 36-19= 65-45= 98-42= 25-16= 98-45= 78-54= 75-61= 54-35= 27-6= 65-41= 2 3 20 53 19 21 24 24 14 56 9 17 917 39 13 大正数减小正数 大正数减小正数：按照小学的减法计算 小正数减大正数 1-3等于多少呢？ 1比3小，1-3一定一个负数，同时1-3的意思就是1比3少多少，自然是少2，用-2来表达。我们也知道3-1=2，代表3比1多2，用2来表示。抛开符号不谈，数字部分都是2. 从数轴角度来看，1-3，可以理解为从1向左移动3个单位距离，分两步，先移动1个单位长度，来到0点，再移动2个单位长度，来到-2个这点。 从距离来看，1-3可看作从3到1的距离，但方向为负，所以记作-2. 3-10= 87-94= 85-96= 12-20= 26-69= 36-59= 65-85= 38-42= 25-76= 29-45= 26-54= 31-61= 5-35= 27-86= 27-41= -7 -8 -20 -16 -30 -59 -14 -28 -30 -4 -51 -23 -43 -9 -7 思考25 ： 小正数减大正数 我们发现一个规律，a, b都是正数，a<b, 那么a-b=-(b-a) 4-9=-(9-4)=-5 100-200=-(200-100)=-100 7-15=-(15-7)=-8 54-65=-(65-54)=-11 -6=-(6-)=-5 正数减负数 10-（-6）的计算思路 思路1：10比-6大，所以，10-（-6）一定大于0，然后，10比0多10, 0比-6多6，所以10比-6多16，进一步可知10-（-6）=16. 思路2：通过数轴，从-6到10画一条线，数一数发现，有16个单位长度。 思路3：10+（-6）意味着给10加上一个负向移动，移动6个单位长度，那么，-（-6）意味着减少向负向移动6个单位长度，结果就变成了增加六个单位的向右移动，10-（-6）变成10+6. 得出一个规律：减去一个负数，等于加上这个负数的相反数。 a和b是正数，a-(-b)=a + b; 等价于：a是正数，b是负数，a-b=a+(-b) 负数与债务 负数，在企业财务中会有大量的应用，负数对于企业来说通常代表债务，也就是企业欠别人的钱。债务给我们的感觉通常是不好事，我们每个人也不希望自己有太多债务。所以信用卡要少用，你每消费一次，你就无形中背上了债务。但是很多企业都离不开债务，尤其银行业有大量的债务，这些债务来自吸纳的公众存款。 如果一个企业银行账户有1000万，但是债务为200万，记作-200万，意味着这1000万中，属于企业的现金为800万。突然有一天债权人说那200万不用还了，意味着减去债务200万，会发生如下： 800-（-200）=800+200=1000（万） 天下没有免费的午餐，不要奢望谁给你买单 3-(-10)= 87-(-94)= 85-(-96)= 12-(-20)= 26-(-69)= 36-(-59)= 65-(-85)= 38-(-42)= 25-(-76)= 29-(-45)= 26-(-54）= 31-(-61)= 5-(-35)= 27-(-86)= 27-(-41)= 13 32 150 74 40 113 68 80 92 80 101 95 95 181 181 思考26 ： 负数减正数 -3-1计算思路 思路1：-3比1小，-3-1的结果一定是负数，-3比1小多少呢？-3比0小3个单位长度，0比1小1个单位长度，那么-3比1小4个单位长度，所以-3-1=-4. 思路2：从数轴角度来看，-3-1，可以理解为从-3向左移动1个单位距离，很明显来到-4这个点。 思路3：从距离来看，-3-1，看作从1到-3的距离，距离为4，方向为负，记作-4. 负数减正数 负数减正数，结果依然是负数，数字部分等于数字之和。 如果a和b是正数，-a-b=-(a + b). 进一步阐述，a是负数，b是正数，那么，a-b=-(|a|+|b|) -3-10= -87-94= -85-96= -12-20= -26-69= -36-59= -65-85= -38-42= -25-76= -29-45= -26-54= -31-61= -5-35= -27-86= -27-41= -13 -32 -150 -74 -40 -113 -68 -80 -92 -80 -101 -95 -95 -181 -181 思考27 ： 小负数减大负数 -3-(-1)计算思路 思路1：-3比-1小，前者减后者的结果一定是负数，-3比-1小多少呢？很明显小2，所以结果是-2. 思路2：从数轴角度来看，-3-(-1)，可以理解为在-3基础上，减去一个向左的1个单位运动，实质等于加上一个向右的1个单位运动，自然来到-2. 思路3：从距离来看，-3-(-1)，看作从-1到-3的距离，距离为2，方向为负，记作-2. 小负数减大负数 结果为负，数值部分等于大绝对值减去小绝对值。 a和b 为正数，a大于b, 那么-a-(-b)=-(a-b). 进一步，如果a和b为负数，a<b，那么a-b=-(|a|-|b|) -13-(-10)= -87-(-84)= -85-(-76)= -12-(-2)= -26-(-19)= -36-(-9)= -65-(-55)= -38-(-22）= -25-(-6)= -29-(-25)= -26-(-4)= -31-(-1)= -5-(-4)= -27-(-19)= -27-(-13)= -3 -10 -10 -4 -1 -8 -14 -22 -30 -16 -19 -27 -7 -9 -3 思考28 ： 大负数减小负数 -3-(-6)计算思路 思路1：-3比-6大，前者减后者一定是正数，-3比-6大多少呢？很明显是3。 思路2：从数轴角度来看，-3-(-6)，可以理解为在-3基础上，减去一个向左的6个单位运动，实质等于加上一个向右的6个单位运动，自然来到3. 思路3：从距离来看，-3-(-6)，看作从-6到-3的距离，距离为3，方向为正，记作3. 大负数减小负数 结果为正，等于小负数的绝对值减去大负数的绝对值。 a和b 为正数，a小于b, 那么-a-(-b)=b-a 进一步，如果a和b为负数，a>b，那么a-b=|b|-|a| -13-(-15)= -87-(-88)= -85-(-96)= -12-(-32)= -26-(-29)= -36-(-69)= -65-(-95)= -38-(-52）= -25-(-36)= -29-(-35)= -26-(-64)= -31-(-59)= -5-(-14)= -27-(-89)= -27-(-73)= 2 20 30 6 9 62 46 38 28 14 11 33 3 11 1 思考29 ： 有理数减法规则 大正数-小正数 a>b>0 a-b=a-b 小正数-大正数 b>a>0 a-b=-(b-a) 正数-负数 a>0, b<0 a-b=a+|b| 负数-正数 a<0, b>0 a-b=-(|a|+|b|) 小负数-大负数 a<b<0 a-b=-(|a|-|b|) 大负数-小负数 b<a<0 a-b=|b|-|a| 同号的大减小，结果符号都是正号，数值是大绝对值-小绝对值。 同号的小减大，结果符号都是负号，数值是大绝对值-小绝对值。 正数减负数，结果符号为正，数值部分是绝对值之和。 负数减正数，结果符号为负，数值部分是绝对值之和。 减法转化为加法 根据我们之前基于数轴讲述的移动情景，向左移动m个单位，当于向右移动-m个单位，例如：向左移动3个单位，记作-3，等价于向右移动+（-3）个单位，向左移动-4个单位，记作-（-4），等价于向右移动4个单位，记作=+4. 于是便有了：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 a-b=a+(-b) a-(-b)=a + b 主要处理：负数减另一个数，或者一个数减负数，以及混合运算中去括号。 -9-1=-9+（-1）=-10，9-（-5）=9+5=14， -10-（-1）=-10+1=-9 -3-(-15)= 0-8= 5-96= 1.2-(-3.2)= -3-2= 6-9= 4-(-9)= -8-(-52）= 0-(-36)= 0-1.2= -2.6-6.4= 3.1-(-5.3)= --= -2-9= -27-(-27)= 12 4.4 13 -1.2 - -11 0 -9 8.4 44 36 -3 -5 -91 -8 练习1 ： 3-(-3)= 8-8= 0-9= 0-(-3.2)= 12-65= -0.6-(+9)= -4.3-(-7.1)= +12= 29 9+ =6 -9+ = 9 2.6+ = 0 -3.1+ =-10 )= - 6 3.2 2.8 18 -2.6 -6.9 17 -3 -9.6 -53 -9 0 练习2 ： 80后上初一的时候，更侧重计算，例如： 8+9=17 这是小学学的，无可厚非。 19-3=16 也是小学学过的。 2-3=-1， 这简直是当初不成文的规定。 9+（-4） 直接变为9-4=5，压根就没考虑为什么。 12-（-9）直接变成12+9=21，就这么做，没有为啥。 3+（-9） 还是变成3-9=-6。 -3+5 直接变成5-3=2，能简单处理就不复杂处理。 -3+1 变成1-3=-2 -12-8=-20， 也不知道老师当时如何教的。 -12-（-2） 变成-12+2，进一步变成2-12=-10 -12-（-20） 变成-12+20，再变成20-12=8. 加减混合运算 9+（-5）-13-（-7）+21 =9+（-5）+（-13）+（-（-7））+21 =4+（-13）+7+21 =-9+28 =19 加减混合运算 9+（-5）-13-（-7）+21 =9+（-5）+（-13）+7+21 =4+（-13）+7+21 =-9+28 =19 加减混合运算 9+（-5）-13-（-7）+21 =9-5-13+7+21 =4-13+7+21 =-9+28 =19 练习3： （-9）+10+3+（-3） =1+0 =1 练习4： （-6）-10+23+（-83） =-16+23+（-83） =7+（-83） =-76 从规则到简化规则 通常我们看到混合运算，会把所有减法调整成加法，借助有理数加法规则去处理。 9-3+4-（-8）-32 =9+（-3）+4+8+（-32） =6+12+（-32） =18+（-32） =-14 9-3+4-（-8）-32 =9-3+4+8-32 =6+12-32 =18-32 =-14 去掉括号，减少多个正负号叠加，把计算规则放在心里面，为了书写简单服务。 练习5： （-6）-10+23+（-83） =-6-10+23-83 =-16+23-83 =7-83 =-76 -6-10=-16 不管你用什么方法计算，都在内心完成。 7-83=-76也是同样的处理方式。 总之，从一开始，就去掉了各个数的括号，让数与数之间只有一个符号，要么是正，要么是负。 练习6： 12-（-18）+（-7）-10 =12+18-7-10 =30-7-10 =23-10 =13 =12+18-7-10 =30-17 =13 -7-10=-17 先一步计算，应用了结合率，不用一步一步从左向右计算，当然开始的时候，你可以慢一点。 练习7： 4.8-（-9.8）-7.6+（-10） =4.8+9.8-7.6-10 =14.6-17.6 =-3 练习8： （-）+|0-6|+|-5|+(-8) =-+6+5-8 =--8 +6+5 =-9+12 =3 练习9： 某食品店一星期中各天的盈亏情况如下（记盈余为正）： 433元， -20.5元， -35元， 300元， -80元， 600元， 900元。 食品店这一星期总的盈亏情况？ 433-20.5-35+300-80+600+900 =433+1720-55.5 =2153-55.5 =2097.5 $