第二十八章 旋转（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学“旋转”单元强化卷，涵盖选择（10题30分）、填空（6题18分）、解答（8题72分），注重基础巩固与能力提升，适配单元复习，强化空间观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|中心对称判定（第2题）、旋转角度计算（第6题）|结合几何图形考查空间观念，如第5题辨识轴对称与中心对称图形，体现几何直观| |填空题|6/18|坐标对称（第12题）、规律探究（第13题）|设置动态变换情境，如第13题通过多次中心对称考查坐标规律，培养推理意识| |解答题|8/72|图形变换作图（第18题）、函数与旋转综合（第22题）|综合题层次分明，如第24题以抛物线对称点构造四边形，融合模型意识与创新应用，契合真题命题趋势|

第二十八章 旋转（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．点与点关于原点对称，则a，b的值分别为（ ） A．，6 B．1， C．， D．1，6 【答案】B 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标性质，利用“关于原点对称的两个点，横纵坐标均互为相反数”的性质即可计算出和的值． 【详解】解：∵点与点关于原点对称，且关于原点对称的点横纵坐标均互为相反数， ∴，， 即，． 2．如图，已知和关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，解题的关键是掌握中心对称的性质． 根据中心对称的性质进行求解即可． 【详解】解：∵和关于点O成中心对称， ∴， ∴， 故选项A，C正确， 根据对顶角相等得， 故选项B正确． 故选：D． 3．下列各组图形中，两个三角形成中心对称的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中心对称，解题的关键是掌握中心对称的定义． 把一个图形绕着某个点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，由此即可判断． 【详解】解：A、两个三角形成中心对称，符合题意； B、两个三角形不成中心对称，不符合题意； C、两个三角形不成中心对称，不符合题意； D、两个三角形不成中心对称，不符合题意； 故选：A． 4．如图，若与关于某个点对称，则这个点是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题主要考查了关于点对称的图形的特点，关于一个点对称的两个图形的对应点连线交于一点，据此求解即可． 【详解】解：∵关于某点对称的两个图形的对应点连线交于一点， ∴若与关于某个点对称，则这个点是点， 故选：A． 5．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项，五角星是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B选项，太极图不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； C选项，奥运五环是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D选项，该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意． 6．如图是一个旋转一定角度能与原图重合的图形，则它的最小旋转角度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：旋转对称图形的最小旋转角度计算公式为：最小旋转角度全等重复单元的数量， 观察该花朵图案，共有个完全相同的花瓣单元均匀环绕中心分布，因此最小旋转角度为：， 即图形绕中心旋转后即可与原图完全重合，是满足条件的最小角度． 7．同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的．如图是看到的万花筒的一个图案，图中所有小三角形均是相同的等边三角形，其中的四边形可以看成是把四边形以为中心（ ） A．顺时针旋转得到 B．顺时针旋转得到 C．逆时针旋转得到 D．逆时针旋转得到 【答案】D 【详解】解：图中的小三角形都是等边三角形，内角均为，则， 四边形可以看成是把四边形以为中心逆时针旋转得到． 8．如图，菱形中，对角线、相交于点，与关于点成中心对称．若，则的长度为（ ） A．12 B．15 C．12.5 D．15.5 【答案】C 【分析】根据菱形的性质，得到 对称性得到，，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵菱形中，对角线、相交于点，， ∴， ∵与关于点成中心对称， ∴，，三点共线， ∴， 在中，． 9．如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的长为（ ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、中心对称、勾股定理等知识点，熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质是解题的关键． 根据等边三角形的性质得，，，再根据中心对称的性质，得，，，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵等边三角形中，O为的中点，， ∴，，， ， ∵与关于点B中心对称， ∴，，， ∴， ∴． 故选D． 10．如图，函数G的图象是由的图象和它关于成中心对称的图象组成．下列说法：①函数G的图象关于轴对称；②当时，函数G随的增大而增大；③直线与G图象有三个交点，则；④已知不重合的两点，在函数G的图象上，且，，若当时，函数G的最大值和最小值均为定值．则的取值范围为．其中正确的命题有（ ） A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．②③ 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，中心对称的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 求出图象的顶点坐标为，图象的顶点坐标为，即知①错误； 同时，当时，由图形可知，函数G随的增大而增大，故②正确； 直线和直线与函数G的图象都只有两个交点，且在两直线之间与这两直线平行的直线均与函数G的图象有三个交点，故可知③正确； 分别求出直线和直线与函数G的图象的交点坐标（除两个顶点外），再分别讨论，；，；这三种情况下，函数G的最大值和最小值是否为定值即可． 【详解】解：， 图象的顶点坐标为， 图象和图象关于成中心对称， 图象的顶点坐标为，函数关系式为， 函数G的图象不是关于轴对称， 故①错误； 同时，当时，由图形可知，函数G随的增大而增大， 故②正确； 图象的顶点坐标为，图象的顶点坐标为， 直线和直线与函数G的图象都只有两个交点，且在两直线之间与这两直线平行的直线均与函数G的图象有三个交点， ， 故③正确； ，， ，关于对称， 当时，， 当时，， 当时，函数G的最大值和最小值均为定值， 结合图形可知，当，时，函数G的最大值和最小值不为定值，不符合题意； 当，时，函数G的最大值和最小值不为定值，不符合题意； ，此时，函数G的最大值和最小值均为定值， 故④正确； 故正确的命题有②③④． 故选：B． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．如图，已知与成中心对称，则对称中心是点________． 【答案】 【分析】根据中心对称的性质：对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分，故连接和，交点即为对称中心． 【详解】解：如图所示： 故对称中心是点P． 12．已知点与点关于原点对称，则______． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征，求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：点与点关于原点对称， 根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，可得 ，， 则． 13．在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是 ___________． 【答案】 【分析】此题主要考查了坐标与图形变化--旋转问题，解题的关键是推出点的横坐标、纵坐标规律．首先根据是边长为的等边三角形，可得的坐标为，的坐标为；然后根据中心对称的性质，分别求出点、、的坐标各是多少；最后总结出的坐标的规律，即可求出的坐标． 【详解】解： 是边长为的等边三角形， 的坐标为，的坐标为， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， …， ，，，，…， 的横坐标是，当为奇数时，的纵坐标是，当为偶数时，的纵坐标是， 的顶点的坐标是， 故答案为 14．某数学小组利用计算机中的画图软件，把图1中的基本图形旋转一定角度若干次后，得到图2的图案，该数学小组设定的旋转角的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】找出图1中的基本图形旋转，旋转若干次后，得到图2的图案，即可求解． 【详解】解：将图1中的基本图形旋转，旋转若干次后，得到图2的图案，该数学小组设定的旋转角为． 15．若二次函数与的图象关于坐标原点中心对称，则的值为________． 【答案】 【分析】根据中心对称的性质，关于原点中心对称的两个点，横纵坐标都互为相反数，先求出原二次函数的顶点坐标，得到对称后二次函数的顶点坐标，结合的顶点式即可求出的值，进而计算． 【详解】解：先对配方得， 因此的顶点坐标为. 因为两个函数图象关于原点中心对称， 所以的顶点坐标为， 又因为的顶点坐标为， 因此可得，， 所以． 16．如图，点在反比例函数的图象上，点与点关于原点对称，过点作轴，交反比例函数于点．连接，若的面积为7，则的值为______． 【答案】 【分析】因为点与点关于原点对称，且的面积为7，所以的面积为，由反比例函数的几何意义可知，的面积为1，则的面积为，结合反比例图象所在象限可求解题目． 【详解】解：连接， ∵点与点关于原点对称，的面积为7， ∴， ∴的面积为， ∵点在反比例函数的图象上，轴， ∴的面积为， ∴的面积为， ∵在反比例函数上 ∴， ∵反比例函数在第二象限， ∴． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）认真观察下面4个图中阴影部分构成的图案． (1)这四个图案所具有的两个共同特征： 特征1：________________________________________； 特征2：________________________________________． (2)请在下图中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写的上述特征． 【答案】(1)都是轴对称图形；都是中心对称图形 (2) 根据轴对称，中心对称的特点，设计如下： ． 【分析】（1）根据轴对称，旋转的性质求解即可． （2）根据轴对称，旋转的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 这四个图案所具有的两个共同特征： 特征1：都是轴对称图形； 特征2：都是中心对称图形． （2）略 18．（8分）如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，的顶点都在格点上． (1)画出关于直线对称的； (2)画出向下平移4个单位长度得到的； (3)画出关于点中心对称得到的． 【答案】(1)如图所示： (2)如图所示： (3)如图所示： 【分析】（1）根据轴对称的性质，画出即可； （2）根据平移规则，画出即可； （3）根据中心对称的性质，画出即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 19．（8分）如图1，七巧板是我国传统的智力玩具，它由7块板组成，可以拼出各种图案．已知，． (1)在图1中，与编号④的正方形面积相等的图形有 ；（填写编号） (2)图2是由七巧板拼成的“火箭”图案，思考并解决以下问题： ①请在图2中，分割七巧板，并标上相应的编号； ②该图案的周长为 （用含，的代数式表示） 【答案】(1)⑥⑦ (2)①如图所示： ② 【分析】本题考查了七巧板、多项式的加减，关键是根据图案用代数式表示相关的量； （1）根据七巧板各部分边长关系来确定与正方形面积相等的图形即可； （2）①依据七巧板各部分的形状特点拼接即可；②将图案各边用代数式表示之后相加即可． 【详解】（1）解：①、②的面积为：； ③、⑤的面积为：； ④、⑥的面积为：；⑦的面积为：； 故答案为：⑥⑦； （2）①略 ②周长为：， 故答案为：． 20．（8分）观察图案． (1)请说说由图案（）到图案（）的变化过程； (2)请利用图案（）再设计一个图案． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】此题主要考查了轴对称图形的应用，熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键． （）找出基本图形（）与图形（）之间的关系，再找出图形（）与图案（）之间的关系即可得出答案； （）根据基本图形（），利用旋转的性质即可得出所设计的图案（答案不唯一）. 【详解】（1）解：过基本图形（）的点构造水平直线，如图形（）所示； 作基本图形关于直线的对称图形，如图形（）所示： 在图形（）中，作直线，以为对称轴作图形（）关于直线的对称图形，如图形（）所示； 在图形（）中，作直线，以为对称轴作图形（）关于直线的对称图形，如图形（） 所示； 所以图形（）就是所求的图案； （2）解：如图所示即为利用基本图形（）所设计的图案（答案不唯一）． 21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，且点的坐标为． (1)与关于原点成中心对称，请画出； (2)是的边上一点，将平移后，点的对应点是，请画出平移后的； (3)若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据关于原点中心对称的坐标变换规则求出各顶点的对称点，描点连线画出三角形； （2）根据题意得出平移规则：左移、下移，将各顶点按规则平移后连线即可； （3）取一组对应点​、，用中点坐标公式算出中点，该点即为两三角形的对称中心． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，连接，交于点， 则点为和的中心对称点， 点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为，即， 和的中心对称点为． 22．（10分）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧）． (1)若点的坐标为， ①求此时二次函数的解析式； ②当时，函数值的取值范围是，求的值； (2)将该二次函数图象关于中心对称，得到一个新的函数图象，经过的顶点，过点作垂直于轴的直线，与、分别交于、（、不重合），且点H不与点B重合，若长度随的增大而增大，结合函数图象，求的值和的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)；或或． 【分析】（1）①将二次函数配方得出对称轴为直线，再结合点的坐标可得，将点代入二次函数，求出的值，即可得到解析式；②由①可知，二次函数图象的开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，再结合函数值的取值范围，即可求解； （2）先得到的顶点坐标，设图象上任意一点，则点关于中心对称的点在图象上，再结合经过的顶点，求出的值，从而得到和的解析式，用含的式子表示出和，再结合图象求解即可． 【详解】（1）解：①， 二次函数的对称轴为直线， 图象与轴交于、两点，点在点的左侧，且， ， 将点代入二次函数可得， ， ， 解得：，（舍）， ； ②由①可知，， 二次函数图象的开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， 当时，是最大值；当时，是最小值， 函数值的取值范围是， ， 整理得 解得：，， ， ； （2）解：， 顶点坐标为， 二次函数图象关于中心对称得到新的函数图象， 设图象上任意一点， 点关于中心对称的点在图象上， ， ， 经过的顶点， ， 整理得：， 解得：，（舍）， 的解析式为， 的解析式为， 令，则，解得：，， 点在点的左侧， ， 过点作垂直于轴的直线、与、分别交于、（、不重合）， ，，， ， 联立，解得：，， 如图所示，当直线在点和抛物线与轴左侧的交点之间时，,当时最大， 若长度随的增大而增大，结合函数图象可知，的取值范围为或或． 23．（10分）如图，在中，，，，于点，点为射线上一动点，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，连结、、． (1)_________；_________； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)当四边形为轴对称图形时，求的值； (4)当时，直接写出的值． 【答案】(1)， (2)证明：点和关于点对称，点C和E关于点P对称， ，； 四边形是平行四边形． (3)或 (4)或 【分析】（1）根据勾股定理求得，根据已知得出，进而根据余弦的定义，即可求解； （2）根据对称的性质可得，，进而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证； （3）分情况讨论：①当四边形为矩形时，②当四边形是菱形时，分别画出图形，解直角三角形，即可求解； （4）当在的左侧时，如图，过点作于点，交于点，过点作交于点，则四边形是矩形，得，即点到的距离，根据对称性可得到的距离相等，则，证明，得出，得出，证明得出，进而根据，即可求解；当在的右侧时，同理可得，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴ ∵ ∴ ∴； （2）略 （3）解：分两种情况讨论， ①当四边形为矩形时，则 ∴在上， 如图，过点作 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ②当四边形是菱形时，则， ∴重合， ∵ ∴ 综上所述，四边形为轴对称图形时，或 （4）解：当在的左侧时，如图，过点作于点，交于点，过点作交于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，即点到的距离， ∵关于点对称，点在射线上， ∴到的距离相等， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴ ∴， 又∵ ∴ ∴，即点是的中点，， ∵， ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴ ∴ ∴ 当在的右侧时，如图 同理可得 综上所述，的长为：或 24．（10分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线的顶点坐标为，与y轴的交点坐标为，点A、B是该抛物线上的两点，横坐标分别为m、，已知点，作点A关于点E的对称点C，作点B关于点E的对称点D，构造四边形． (1)求该抛物线所对应的函数表达式． (2)设抛物线在A、B两点之间的部分（含A、B两点）为图象G，若图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为3，求m的值． (3)当时，若抛物线在四边形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大，求m的取值范围． (4)当四边形是矩形时，直接写出m的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 (4)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）根据A、B两点与抛物线对称轴的相对位置进行分类讨论，确定图象G的最高点与最低点的纵坐标，再结合题意列出方程，求出m的值即可； （3）由题意得，，，，，再结合图象找到3个临界位置：点在抛物线上、当点共线、当直线过抛物线的顶点，分别求出对应的值，即可求出m的取值范围； （4）根据矩形的性质得到，根据中心对称的性质得到，，则，再利用勾股定理列出方程，求出m的值即可． 【详解】（1）解：代入和到，得， 解得， ∴抛物线所对应的函数表达式为； （2）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线对称轴为直线， ∵点A、B是该抛物线上的两点，横坐标分别为m、， ∴，． ①当A、B两点均在对称轴左侧，且A点在B点左侧， ， 解得， ∵抛物线在A、B两点之间的图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为3， 又∵二次函数开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴， 解得，符合题意； ②当A、B两点均在对称轴左侧，且A点在B点右侧， ， 解得， ∵抛物线在A、B两点之间的图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为3， 又∵二次函数开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴， 解得，符合题意； ③当A、B两点均在对称轴右侧， ， 该不等式组无解，故此情况不存在； ④当A点位于对称轴左侧，B点位于对称轴右侧， ， 解得， 此时A点到对称轴的距离为，B点到对称轴的距离为， ∵， ∴A点为图象G的最高点， ∵抛物线的顶点坐标为，且为图象G的最低点， ∴， ∴，不符合题意，舍去； ⑤当A点位于对称轴右侧，B点位于对称轴左侧， ， 解得， 此时A点到对称轴的距离为，B点到对称轴的距离为， ∵， ∴B点为图象G的最高点， ∵抛物线的顶点坐标为，且为图象G的最低点， ∴， ∴，不符合题意，舍去； 综上所述，m的值为或． （3）解：∵，，点C为点A关于点E的对称点， ∴， 同理可得，，， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 当点在抛物线上时，则， 解得，（舍去）； 当点共线时， 代入，得， 解得，（舍去）； 当直线过抛物线的顶点时， 代入，得， 解得，（舍去）； ∵当时，抛物线在四边形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大， ∴m的取值范围为或； （4）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点A关于点E的对称点C，点B关于点E的对称点D， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， 整理得：， 解得，，（此时A、B重合，舍去）， ∴m的值为或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数最值问题、中心对称的性质、求一次函数解析式、矩形的性质、勾股定理，运用数形结合和分类讨论的思想是解题的关键．本题属于函数综合题，综合要求较高，同时涉及较大的计算量，适合有能力解决压轴题的学生． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第二十八章 旋转（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1.B 2.D 3.A 4.A 5.D 6.C 7.D 8.C 9.D 10.B 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.) 11.P 12.-2 13.4049,3 14.B 15.-3 16.-5 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(1)都是轴对称图形；都是中心对称图形 (2)根据轴对称，中心对称的特点，设计如下： 1/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：根据题意，得 这四个图案所具有的两个共同特征： 特征1：都是轴对称图形； 特征2：都是中心对称图形， （2)略 18.(1)△ABC1如图所示： B 2△A,B,C,如图所示： B B ℃2 (3)△A,B,C如图所示： B 19.(1)⑥⑦ (2)①如图所示： 2/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (⑦ ① ② ②8x+6y 【详解】(1)解：①、②的面积为： 1×2x2=2x: ③、⑤的面积为： 12 ①、⑧的面积为：X,@的面积为：}×2x×X=X, 故答案为：⑥⑦： (2)①略 ②周长为：2y+3×2x+2y+2y+x+x=8x+6y, 故答案为：8x+6y. 20.(1)见解析： (2)见解析. 【详解】(1)解：①过基本图形(1)的点A构造水平直线l,如图形(1)所示： ②作基本图形关于直线的对称图形，如图形(2)所示： ③在图形(2)中，作直线CD,以CD为对称轴作图形(2)关于直线CD的对称图形，如图形(3) 所示： ④在图形(3)中，作直线EF,以EF为对称轴作图形(3)关于直线EF的对称图形，如图形(4) 所示； 3/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1) (2) (3) 4) 所以图形(4)就是所求的图案： (2)解：如图所示即为利用基本图形(1)所设计的图案（答案不唯一）. P(a,b C 21.(1) 4/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P(a.b (2) 3-1,-2 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：如图，连接A1A2,C1C2交于点M, b 则点M为△A1B1C1和△A2B2C2的中心对称点， .点A的坐标为-3,4， ∴.点A1的坐标为3，-4，点A2的坐标为-5,0， :点M的坐标为3,5，-4+0即-1，-2r 2,2 ∴.△A1B1C1和△A2B2C2的中心对称点为-1，-2. 22.(1)①y=-x+2x+3:②n=4 2)m=/2:h</2或h>32或22≤h<2+V2 5/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：①：y=-X2+2mx+4-m2=-x-m+4 ∴.二次函数的对称轴为直线x=m, ,图象G1与x轴交于A、B两点，点A在点B的左侧，且B3,0, .∴.m<3, 将点B3,0代入二次函数可得y=-3+2m×3+4-m2=0, .m2-6m+5=0, ∴.m-1川m-5=0, 解得：m1=1,m2=5(舍)， .y=-x2+2x+3; ②由①可知， y=-x-12+41 ∴.二次函数图象G1的开口向下，对称轴为直线x=1, 当2≤x≤n时，y随x的增大而减小， :当x=2时，y=-2-1P+4=3是最大值：当x=n时，y=-n-1P+4是最小值， .函数值y的取值范围是-n-1≤y≤3， ∴.-n-1=-n-12+4 整理得n2-3n-4=0 解得：n1=4,n2=-1, .n≥2， .∴.n=4: (2)解：：y=-X+2mx+4-m2=-x-m+4 .顶点坐标为m,4, ,:二次函数图象G1关于C2m,0川m>0中心对称得到新的函数图象G2, 设图象G2上任意一点x,y, ∴.点x,y关于C2m,0m>0中心对称的点4m-x,-y在图象G1上， ∴.-y=-4m-x-m+4 6/15 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .y=3m-x2-4 :G2经过G1的顶点m,4, .4=3m-m2-4' 整理得：4m2=8, 解得：m,=2m,=-2（合)， G,的解析式为y=-x-2+4=-X2+22x+2 G,的解析式为y=32-x-4=x-32-4=x-62x+14 令y=0则-x-2+4=0解得：X=2+2x=-2+2 .点A在点B的左侧， .B2+V2,0 过点Hh,0作垂直于x轴的直线l、1与G1、G2分别交于P、Q(P、Q不重合)， ∴.BH=2+2-h'Ph,-h2+2V2h+2'Qh,h2-62h+14 .PQ=-h2+2V2h+2-h2-6V2h+14=-2h2+8V2h-12 联立y=-x+22x+2,解得：X,=2:x=32 y=x2-6V2x+14 如图所示，当直线x=h在点B和抛物线G,与x轴左侧的交点之间时，PQ=-2+82h-12当 h=-82=22时PQ最大， -4 7/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若PQ长度随BH的增大而增大，结合函数图象可知，h的取值范围为h<V2或h>32或 22≤h<2+V2 G B OH G 23.(1)V6, 6 3 (2)证明：，点B和D关于点P对称，点C和E关于点P对称， ∴PC=PE,PB=PD; ∴.四边形BCDE是平行四边形. 3V2 3BP=2或4 432-86或382+86 4 【详解】(1)解：在△ABC中，∠ABC=90°，BC=V3,AC=3, AB-AC-BC-3-3-6 .BH⊥AC .∠HBC=90°-∠ACB=∠A AB 6 ∴.cos∠HBC=COs∠A= AC 3 (2)略 8/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：分两种情况讨论， ①当四边形BCDE为矩形时，则∠CBE=∠ABC=90° E在AB上 如图，过点P作PF⊥BC .PF‖AB ..BF-EP=1 FC PC c9 .cOs∠HBC= 6 BF 3 BP x332 BP=2 6 ②当四边形BCDE是菱形时，则CE⊥BD, H,P重合， E D H (P) .cos∠HBC= 6 BP 3 BC BP=3x6-2 3 32 综上所述，四边形BCDE为轴对称图形时， BP=V2或 9/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (4)解：当E在AB的左侧时，如图，过点E作EG⊥AC于点G,交AB于点M,过点B作BQ交EG 于点Q, 1M B ∴.GE‖BH,∠BQG=∠QGH=∠GHB=90° ∴.四边形BQGH是矩形， ∴.GH=BQ,GH即点E到BH的距离， ,E,C关于P点对称，点P在射线BH上， ∴.E,C到BH的距离相等， ∴.GH=HC, .∠HBC=∠A sin∠HBC=sin∠A=BC=3 AC3 HC-BCsim HBC-3-1.BH=BCx cos HRC-3x ∴.AG=AC-2HC=3-2=1, ..AG=GH ..AG=QB, 又，∠AGM=∠BQM=90°，∠AMG=∠BMQ ∴.△AMG≌△BMQAAS ∴.MB=AM,即点M是AB的中点，QM=MG, :∠AEB=90, M-AM-1AR-5 QM=MG=号BH=2 EQ=EM-QM-6-82 2 ,四边形BCDE是平行四边形， 10115 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .EB=CD. 又，∠EQB=∠DHC=90°，QB=HC ∴.Rt△EQB≌Rt△DHC HL DH-EQ-6- 2 am-0am-Dm7-6:2斗32,6 当E在AB的右侧时，如图 G M O.s H B 同理可得DH=EQ=6+2 B即号a0-n1+DHi2+62 3V2+V6 综上所述，BP的长为： 3V2-V63V2+V6 4 24.(1)y=x2-4x-1 喘端 B5-m<3+成3+97@m347西 4 4 43+4五或3-亚 4 4+2b+c=-5 【详解】(1)解：代入2，-5和0，-1到y=X2+bx+c,得C=-1 解2-1 .抛物线所对应的函数表达式为y=x2-4x-1: (2)解：·抛物线的顶点坐标为2，-5， 11/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.抛物线对称轴为直线X=2, ,点A、B是该抛物线上的两点，横坐标分别为、 3 -m, 产Am,m2-4m-1B号-m,m+m-9 4 ①当A、B两点均在对称轴左侧，且A点在B点左侧， 3 m< -m 2 2 -m<2 1 3 解得2m< ,抛物线在A、B两点之间的图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为3， 又：二次函数y=x2-4x-1开口向上， ∴.当x≤2时，y随x的增大而减小， m2-4m-1- m2+m- 19=3 4 3 解得m= 符合题意： 20 ②当A、B两点均在对称轴左侧，且A点在B点右侧， 3 2 -m<m m<2 解得 <m<2, 4 ,抛物线在A、B两点之间的图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为3， 又，二次函数y=x2-4x-1开口向上， .当X≤2时，y随x的增大而减小， m2+m- 19 -m2-4m-1=3' 4 解得m= 201 符合题意： 12115 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ③当A、B两点均在对称轴右侧， 3 2 -m22 m≥2 该不等式组无解，故此情况不存在： ④当A点位于对称轴左侧，B点位于对称轴右侧， m<2 3 2 -m>2 解得m<- 2 比时4点到对称轴的距离为2-m,B点到对称轴的距离为号一m一2=-1 -m, 2 2-m>- 2m, ∴A点为图象G的最高点， 抛物线的顶点坐标为2，-5引，且为图象G的最低点， m2-4m-1--5=3 “m=2±3，不符合题意，舍去： ⑤当A点位于对称轴右侧，B点位于对称轴左侧， m>2 3 2 -m<2 解得m>2, 此时A点到对称轴的距离为m-2B点到对称轴的距离为2-号-m=m+ 1 ,m-2<m+ .B点为图象G的最高点， ,抛物线的顶点坐标为2，-5引，且为图象G的最低点， m2+m- 19 --5=3 4 13/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m=-号±3，不符合题意，合去： 327 综上所述，m的值为20或201 (3)解：“E2,0?Am,m-4m-1点C为点1关于点B的对称点， c4-m,-m2+4m+1/ 同理可得，B3-m,m2+m-19Dξ+m,-m2-m+9 21 4 4 设直线CD的解析式为y=k心+n, k4-m+n=-m2+4m+1 则5+m+n=-m-m+19 k 4 k=-5 解得 2 n=-m+2m+ ÷直线CD的解析式为y=-三， >x一22+n+ZZ 2 当点D在抛物线上时，则-m2-m+19ξtm-4ξ+m-1 12 42 解得m95-分m,-5-号（合去)： 当点C,D,E共线时， 代入E2,0,得-号×2-m+m+11三0. 角晖4n=3+1O5，m,=3一Z05 4 (舍去)； 当直线CD过抛物线的顶点时， 代入2，-5认得多2-m+ m+11=-5, 14/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得m,= 3+V185 3-V185 ,m3= 4 4 (舍去)： ,当m>1时，抛物线在四边形ABCD内部的点的纵坐标y随x的增大而增大， m的取伯随国为5-}m<3+0西3+05<ms3491晒 或 4 4 4 (4)解：：四边形ABCD是矩形， ∴.AC=BD ,点A关于点E的对称点C,点B关于点E的对称点D, AE-AC.BE-BD, .'.AE=BE, 2.m-4mmm'm 4 m-2r-4m-1f-是-m-2m+m9野 4 整理得： 2m2-3m- 19 m-- =0 解得m,=3+V47 4m,37m手 .3 (此时A、B重合，舍去)， 4 4 ∴m的值为3+47或3-47 -或 4 4 15/15 第二十八章 旋转（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．点与点关于原点对称，则a，b的值分别为（ ） A．，6 B．1， C．， D．1，6 2．如图，已知和关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 3．下列各组图形中，两个三角形成中心对称的是（ ） A． B． C． D． 4．如图，若与关于某个点对称，则这个点是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 5．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 6．如图是一个旋转一定角度能与原图重合的图形，则它的最小旋转角度数为（ ） A． B． C． D． 7．同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的．如图是看到的万花筒的一个图案，图中所有小三角形均是相同的等边三角形，其中的四边形可以看成是把四边形以为中心（ ） A．顺时针旋转得到 B．顺时针旋转得到 C．逆时针旋转得到 D．逆时针旋转得到 8．如图，菱形中，对角线、相交于点，与关于点成中心对称．若，则的长度为（ ） A．12 B．15 C．12.5 D．15.5 9．如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的长为（ ） A． B． C．4 D． 10．如图，函数G的图象是由的图象和它关于成中心对称的图象组成．下列说法：①函数G的图象关于轴对称；②当时，函数G随的增大而增大；③直线与G图象有三个交点，则；④已知不重合的两点，在函数G的图象上，且，，若当时，函数G的最大值和最小值均为定值．则的取值范围为．其中正确的命题有（ ） A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．②③ 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．如图，已知与成中心对称，则对称中心是点________． 12．已知点与点关于原点对称，则______． 13．在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是 ___________． 14．某数学小组利用计算机中的画图软件，把图1中的基本图形旋转一定角度若干次后，得到图2的图案，该数学小组设定的旋转角的度数为（ ） A． B． C． D． 15．若二次函数与的图象关于坐标原点中心对称，则的值为________． 16．如图，点在反比例函数的图象上，点与点关于原点对称，过点作轴，交反比例函数于点．连接，若的面积为7，则的值为______． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）认真观察下面4个图中阴影部分构成的图案． (1)这四个图案所具有的两个共同特征： 特征1：________________________________________； 特征2：________________________________________． (2)请在下图中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写的上述特征． 18．（8分）如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，的顶点都在格点上． (1)画出关于直线对称的； (2)画出向下平移4个单位长度得到的； (3)画出关于点中心对称得到的． 19．（8分）如图1，七巧板是我国传统的智力玩具，它由7块板组成，可以拼出各种图案．已知，． (1)在图1中，与编号④的正方形面积相等的图形有 ；（填写编号） (2)图2是由七巧板拼成的“火箭”图案，思考并解决以下问题： ①请在图2中，分割七巧板，并标上相应的编号； ②该图案的周长为 （用含，的代数式表示） 20．（8分）观察图案． (1)请说说由图案（）到图案（）的变化过程； (2)请利用图案（）再设计一个图案． 21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，且点的坐标为． (1)与关于原点成中心对称，请画出； (2)是的边上一点，将平移后，点的对应点是，请画出平移后的； (3)若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为 ． 22．（10分）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧）． (1)若点的坐标为， ①求此时二次函数的解析式； ②当时，函数值的取值范围是，求的值； (2)将该二次函数图象关于中心对称，得到一个新的函数图象，经过的顶点，过点作垂直于轴的直线，与、分别交于、（、不重合），且点H不与点B重合，若长度随的增大而增大，结合函数图象，求的值和的取值范围． 23．（10分）如图，在中，，，，于点，点为射线上一动点，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，连结、、． (1)_________；_________； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)当四边形为轴对称图形时，求的值； (4)当时，直接写出的值． 24．（10分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线的顶点坐标为，与y轴的交点坐标为，点A、B是该抛物线上的两点，横坐标分别为m、，已知点，作点A关于点E的对称点C，作点B关于点E的对称点D，构造四边形． (1)求该抛物线所对应的函数表达式． (2)设抛物线在A、B两点之间的部分（含A、B两点）为图象G，若图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为3，求m的值． (3)当时，若抛物线在四边形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大，求m的取值范围． (4)当四边形是矩形时，直接写出m的值． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $