第二章一元二次函数、方程和不等式单元试卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学人教A版一元二次函数、方程和不等式单元卷，题型全面，覆盖核心知识点，注重基础巩固与能力提升，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|不等式性质、实际应用、解集求解、基本不等式|结合装修工资预算情境，考查数学语言表达现实世界| |多选题|3题|不等式性质辨析、基本不等式应用|通过多选项设计，培养推理意识与批判性思维| |填空题|3题|大小比较、基本不等式求最值|简洁考查抽象能力与运算能力| |解答题|5题|证明、取值范围、函数最值（含基本不等式）|分层设计（如19题三问），发展逻辑推理与创新意识|

高中数学人教A版一元二次函数、方程和不等式 一、单选题 1．下列变形错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 2．完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元.现有工人工资预算2 000元，设请木工人，瓦工人，则工人数需满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 3．如果，，那么下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 4．不等式的解集是(　　) A． B． C． D． 5．若正实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．已知，则在下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 7．若，且，则下列不等式中，恒成立的是（    ） A． B． C． D． 8．已知，且，则的最小值（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知实数，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 10．下列结论中正确的有（    ） A．若，则 B．若，且，同号，则 C．若，则 D．若，则 11．下列命题正确的有(　　) A．若，则 B．若，则 C．对任意实数，都有 D．若，则 三、填空题 12．若，则与的大小关系为________.与1的大小关系为________　. 13．已知正数，满足，则的最小值是______. 14．已知，，则的最小值为________． 四、解答题 15．已知，求证：. 16．已知， (1)求的取值范围； (2)比较两个代数式的大小：与． 17．（1）比较和的大小. （2）已知，都是正数，求证：. 18． 已知，试比较的大小. 19．（1）若，求函数的最小值，并求此时的值； （2）设，求函数的最大值； （3）已知，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版一元二次函数、方程和不等式 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A A D B B D AC BC 题号 11 答案 AD 1．D 【详解】A.根据等式的性质，可知如果，那么，正确，不符合题意； B.根据等式性质，可得如果，那么，正确，不符合题意； C.根据等式性质，可知如果，那么，正确，不符合题意； D.根据不等式的性质，如果，那么，所以，故此选项错误，符合题意. 2．D 【详解】依题意，可知，其中， 化简得 3．A 【详解】已知，， 对于A：，即，故A正确； 对于B：，即，故B错误； 对于C：，已知， 当时，，此时，故C错误； 对于D：，已知， 当时，，此时，故D错误． 4．A 【分析】根据可得不等式的解集. 【详解】∵， ∴原不等式的解集为. 5．D 【详解】因为，且，， 所以, 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为. 6．B 【详解】对于A，令，可得，故A错误， 对于B，由题意得，而，得到， 则，得到，而， 可得，由二次根式性质得， 得到成立，故B正确， 对于C，令，可得，故C错误， 对于D，令，可得，故D错误. 7．B 【详解】对于A，当时，不成立，故A错误， 对于B，，由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立，故B正确， 对于C，当时，不成立，故C错误， 对于D，当时，不成立，故D错误. 8．D 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】且，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，的最小值为. 9．AC 【详解】选项A，因为，所以. 选项B，若，，满足，但不满足. 选项C，因为，所以，则，所以. 选项D，若，，不满足. 10．BC 【详解】对A，若异号，，，，故A错误； 对B，若同号，，，， 当且仅当，即时等号成立，故B正确； 对C，因为，则，故C正确， 对D，若，，则，故D错误. 11．AD 【分析】利用不等式的性质，结合作差比较法与取反例逐一判断选项即得. 【详解】对于A，由两边同除以，即得，即，故A正确； 对于B，当时，若取满足条件，但，故B错误； 对于C，因，当时，有，即，故C错误； 对于D，由可得，将不等式两边同除以，可得，故D正确. 12． ≤ <1 【详解】，当且仅当 时等号成立， 所以 ，所以 13． 【详解】由题意知，， 所以，当且仅当时，等号成立. 故的最小值是. 14．/ 【详解】由，，得，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 15．证明：因为，所以， 所以. 【详解】略 16．(1) (2) 【详解】（1），， ， ； （2）， ． 17． （1） （2）∵，由均值不等式得，. 由不等式的性质，得，当且仅当且时，等号成立，即证. 【分析】（1）利用作差法比较大小即可； （2）根据基本不等式及不等式性质证明即可. 【详解】（1）， 所以 （2）略 18． 【详解】因为， 所以. 19．（1）最小值4，此时；（2）；（3） 【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可． （2）通过变形构造和定的情形，结合基本不等式求解即可． （3）通过变形构造积定的情形，结合基本不等式求解即可． 【详解】（1）因为，所以，当且仅当，即时等号成立. 所以函数在时取得最小值4. （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 因为，所以函数的最大值为. （3）因为，所以. 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为. 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $