第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦一元二次函数、方程和不等式单元核心知识，通过基础题（如解不等式）、能力题（基本不等式求最值）及实际应用题（成本利润、篱笆问题）的梯度设计，培养数学思维的推理能力与数学语言的模型意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|解不等式、比较大小、基本不等式|基础巩固，覆盖本章核心技能| |多选题|3|集合元素、基本不等式应用、解集判断|辨析性强，考查数学思维严谨性| |填空题|3|基本不等式求最值|强化运算能力，突出知识内化| |解答题|5|方程根的分布、实际应用（成本/面积）、不等式参数求解|多问设计（如第16题三问），结合生活情境，体现数学应用意识与模型观念|

高中数学人教A版必修一第二章一元二次函数、方程和不等式 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A A C D A B ABD ABC 题号 11 答案 AC 1．A 【详解】因为，所以， 由一元二次不等式解得，所以解集为. 2．C 【分析】根据不等式的性质求解即可. 【详解】选项A：不等式两边同时加，不等号方向不变，可得，该不等式一定成立，A不符合要求； 选项B：不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，可得，该不等式一定成立，B不符合要求； 选项C：不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，可得，因此一定不成立，C符合要求； 选项D：对，不等式两边同时减，可得，与已知条件一致，该不等式一定成立，D不符合要求． 3．A 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】当时，，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为3． 4．A 【详解】因为，整理可得，解得或， 所以不等式的解集为. 5．C 【分析】由关系，结合基本不等式求结论. 【详解】，， ， 当且仅当时，即时等号成立， 因此函数最小值为. 6．D 【分析】先表示出，再化简，利用基本不等式可求最小值． 【详解】， ， ， ， ，， 当且仅当即时等号成立， 的最小值为． 7．A 【详解】因为，故， 又因为，，因此有， 因此，当且仅当时等号成立， 设，所以，解得或， 由和，解得， 因此当时，的最小值为6. 8．B 【详解】因为，，，所以， 当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为25. 9．ABD 【详解】集合有两个不同元素，对应一元二次方程有两个不相等实数根， 即解得. ABD选项取值均满足不等式，C选项不满足. 10．ABC 【分析】结合已知条件，利用基本不等式及其变形逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，由基本不等式，代入得，即， 当且仅当时等号成立，所以最大值为，故A正确； 对于B，，由基本不等式， 故，当且仅当时等号成立， 所以最小值为，故B正确； 对于C，，由选项A知， 故，即， 当且仅当时等号成立，所以最大值为，故C正确； 对于D，，由选项A知，故， 则， 即最小值为，不是，故D错误. 11．AC 【详解】选项 A：二次项系数，判别式， 故 解集为，A 正确； 选项 B：二次项系数，判别式， 不等式等价于 ，不等式的解集为， B 错误； 选项 C：二次项系数，判别式， 解集为，C 正确； 选项 D：二次项系数，判别式， 恒大于 0，不等式无解，D 错误. 12． 【详解】因为，所以，当且仅当即时取等号. 13． 【详解】∵ 正实数满足,∴ . ∴ . ∵ ，由基本不等式得， 当且仅当，即时等号成立. 将代入，解得，符合为正实数的约束条件. ∴ 的最小值为. 14． 【分析】通过凑出均值不等式的前提条件后求解. 【详解】因为，所以. ， 当且仅当时等号成立. 15．(1) (2) 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，可得，进一步求解即可； （2）根据，结合k为正整数，再进一步求解即可． 【详解】（1）∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ ，解得， ∴的取值范围为； （2）∵，是原方程的两个实数根，，且k为正整数， ∴，∴方程为，∴． 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据基本不等式，结合因式分解法进行求解即可； （2）对已知等式进行变形，结合基本不等式进行求解即可； （3）利用换元法，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）因为，为正实数， 所以由，当且仅当时取等号， 因为，为正实数， 所以由 因此当时，有最大值； （2）， 因为，为正实数， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，有最小值； （3）设，即， 所以， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以当时，有最小值. 17．(1) (2) 【详解】（1）由题可知平均成本； 要使平均成本不超过售价50元则有； ∵，所以两边同乘以得； 化简得，解得； ∵， ∴至少生产2件产品. （2）∵利润=售价×数量-成本,所以利润， 即， 要使利润不低于100元，则有； 解得不等式的解集为， ∴至少需要生产件产品. 18．(1)长为，宽为时，所用篱笆总长最小． (2)菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． (3)． 【分析】（1）明确，在此条件下求的最小值，并明确等号成立的条件即可. （2）明确，在此条件下，求的最大值，并明确等号成立的条件即可. （3）结合，求的最小值. 【详解】（1）由题意得，，所用篱笆总长为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小． （2）由题意得，，菜园面积为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． （3）由题意得，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是． 19．(1)， (2)当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或. 【分析】（1）利用一元二次不等式解集与对应方程根的关系，结合韦达定理求参数； （2）代入参数后因式分解，分类讨论两根大小求解含参一元二次不等式. 【详解】（1）由题意知， 和是方程 的两个实根， 由韦达定理得，，解得. （2）将代入不等式得，即. 方程的两根为， . 当时，解集为或； 当时，不等式为，解集为； 当时，解集为或. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版必修一第二章一元二次函数、方程和不等式 一、单选题 1．不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 2．若，则下列不等式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则 的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．函数的最小值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．6 6．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．已知，，且，则的最小值为（   ） A．6 B．4 C． D．2 8．若，，，则的最小值为（   ） A．26 B．25 C．19 D．13 二、多选题 9．若集合中仅有两个不同元素，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 10．（多选）设正实数，满足，则下列说法正确的是（   ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 11．下列不等式解集为的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知，则的最小值为________． 13．已知正实数，满足，则的最小值为__________. 14．已知，则的最小值为________． 四、解答题 15．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)设，是原方程的两个实数根．若k为正整数，求的值． 16．已知，为正实数，且， (1)求的最大值. (2)求的最小值； (3)求的最小值. 17．某工厂生产一种产品，其成本函数为（元），其中为产品数量（单位：件）.若每件产品的售价为元，求： (1)工厂至少生产多少件产品时，才能使平均成本不超过售价？ (2)若工厂希望利润不低于元，那么至少需要生产多少件产品？ 18．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． (1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ (3)若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 19．已知不等式 的解集为. (1)求，的值； (2)解不等式 . 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $