4.2 线段、射线、直线 题型专练-2026-2027学年湘教版数学七年级上册

**基本信息** 以题型为单元，典例引领+分层变式，覆盖线段、射线、直线核心概念及应用，梯度从概念辨析到综合问题解决，培养几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|直线/射线/线段定义、表示方法|典例聚焦概念辨析（如直线定义正误判断），举一反三1-2题强化符号规范（如直线表示写法）| |技能应用|位置关系、中点计算、条数统计|通过交点个数分类讨论（如三条直线交点情况）、中点动态计算（如点C在线段延长线）培养运算能力| |综合拓展|实际应用、几何语言互化|结合单循环问题（如火车票种数）、最短路径（如工厂货站选址）发展模型意识与空间观念|

湘教版（2024）七年级上册 4.2 线段、射线、直线 题型专练 【题型1】直线的定义及表示方法 【典例】下列关于直线的说法，正确的是（　　） A.一根拉直的细绳就是直线 B.课本的四边都是直线 C.直线是向两边无限延伸的 D.直线有两个端点 【举一反三1】下列写法正确的是（　　） A.直线AB、CD交于点m B.直线a、b交于点m C.直线a、b交于点M D.直线ab、cd交于点M 【举一反三2】如图，水平的直线可以表示为           ，也可以表示为            ；竖直的直线可以表示为            ，也可以表示为            ． 【举一反三3】如图，直线AB也可以说成直线BA，即用两个字母表示的直线与字母的　　无关． 【题型2】点与直线位置关系及直线与直线交点 【典例】列说法正确的是（　　） ①直线L，M相交于点N ②直线a，b相交于点M ③直线ab，cd相交于点M ④直线a，b相交于点m ⑤直线AB，CD相交于点M． A.①② B.②③ C.④⑤ D.②⑤ 【举一反三1】三条互不重合的直线的交点个数可能是（　　） A.0，1，3 B.0，2，3 C.0，1，2，3 D.0，1，2 【举一反三2】平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为m个，最多为n个，则m+n等于（　　） A.12 B.16 C.20 D.以上都不对 【举一反三3】如图，棋盘上有黑、白两色棋子若干，若直线l经过3枚颜色相同的棋子，则这样的直线共有　   　条． 【举一反三4】画出下列语句表达的图形： （1）点A在直线a上，点B在直线a外； （2）直线a、b、c相交于点M． 【举一反三5】如图，已知三点A、B、Q，请画直线AB，并描述点Q和直线AB的位置关系. 【题型3】两点确定一条直线 【典例】在下列现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【举一反三1】在下列现象中，体现了基本事实“两点确定一条直线”的有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【举一反三2】平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n个点最多可确定28条直线，则n的值是（　　） A.6 B.7 C.8 D.9 【举一反三3】如图，将甲，乙两把尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校订是直的，那么乙尺　       　(填是或者不是)直的，判断依据是　          　． 【举一反三4】平面内有四个点A，B，C，D，过其中每两个点画直线可以画出直线的条数为           ． 【举一反三5】阅读下列材料并填空： （1）探究：平面上有n个点（n≥2）且任意3个点不在同一条直线上，经过每两点画一条直线，一共能画多少条直线？ 我们知道，两点确定一条直线．平面上有2个点时，可以画＝1条直线，平面内有3个点时，一共可以画＝3条直线，平面上有4个点时，一共可以画＝6条直线，平面内有5个点时，一共可以画　   　条直线，…平面内有n个点时，一共可以画　     　条直线． （2）运用：某足球比赛中有22个球队进行单循环比赛（每两队之间必须比赛一场），一共要进行多少场比赛？ 【举一反三6】如图1，经过平面上的两个点可以画一条直线，如图2，图3，经过平面上三个点中任意两个点画直线，一共可以画一条或三条直线．那么经过平面上四个点中任意两个点画直线，一共可以画几条直线？请画图说明． 【题型4】射线的定义及表示方法 【典例】B、C、D为射线AM上的点，则共有射线（　　） A.6条 B.5条 C.4条 D.1条 【举一反三1】如图所示，A、B、C是同一直线上的三点，下面说法正确的是（　　） A.射线AB与射线BA是同一条射线 B.射线AB与射线BC是同一条射线 C.射线AB与射线AC是同一条射线 D.射线BA与射线BC是同一条射线 【举一反三2】如图：图中射线有            条． 【举一反三3】如图，反向延长射线OA得射线            ． 【题型5】射线与直线综合 【典例】下列说法正确的是（　　） A.直线AB＝2 cm B.射线AB＝3 cm C.直线AB与直线BA是同一条直线 D.射线AB与射线BA是同一条射线 【举一反三1】如图，有下列结论： ①以点C为端点的射线共有4条； ②射线BD和射线DB是同一条射线； ③直线BC和直线BD是同一条直线； ④射线AB，AC，AD的端点相同. 其中正确的结论是（　　） A.②④ B.③④ C.②③ D.①③ 【举一反三2】如图，A、B、C三点在同一直线上． 用上述字母表示的不同射线共有            条． 【举一反三3】如图，平面内有公共端点的六条射线：OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字：1，2，3，4，5，6，7，…．根据规律将射线OD上的第n个数字（从O向D数）用含正整数n的式子表示为            ． 【举一反三4】如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图． （1）作直线AB，射线BC； （2）连接AC，BD交于点O； （3）反向延长DA． 【题型6】线段条数 【典例】如图，图中以B为一个端点的线段共有（　　） A.2条 B.3条 C.4条 D.5条 【举一反三1】如图，把一条绳子折成3折，用剪刀从中剪断，得到（　　）条绳子. A.3 B.4 C.5 D.6 【举一反三2】下面图形中共有线段（　　）条． A.7 B.8 C.9 D.10 【举一反三3】如图，点A，B，C，D，E在线段MN上，则图中共有 　   　条线段． 【举一反三4】如图，点C，D，E都在线段AB上，以图中的A，B，C，D，E为端点的线段共有　      　条． 【举一反三5】如图所示，线段AB上的点数与线段的总数有如下关系：如果线段AB上有3个点时，线段总数共有3条，如果AB上有4个点时，线段总数共有6条，如果线段AB上有5个点时，线段总数共有10条，…． （1）当线段AB上有6个点时，线段总数共有多少条？ （2）当线段AB上有n个点时，线段总数共有多少条？（用含n的式子表示） （3）当n=100时，线段总数共有多少条？ 【题型7】单循环双循环问题 【典例】如图所示，由泰山始发终点至青岛的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：泰山—济南—淄博—潍坊—青岛，那么要为这次列车制作的单程火车票（　　）种． A.5 B.10 C.15 D.20 【举一反三1】如图，AE是一段高铁行驶路线图，图中5个点表示5个车站，在这段路线上往返行车，需印制（　　）种车票． A.25 B.20 C.16 D.10 【举一反三2】一条直线上立有10根距离相等的标杆，一名学生匀速地从第1杆向第10杆行走，当他走到第6杆时用了6.5 s，则当他走到第10杆时所用时间是______． 【举一反三3】如图，已知线段AD上有两个定点B，C． （1）图中共有　　　　条线段． （2）若在线段CD上增加一点，则增加了　　　　条线段． （3）现有一列往返于A，B两地的火车，中途停靠4个站．问：①有　　　　种票价；②要准备_______种车票． 【题型8】直线、射线、线段的区别与联系 【典例】下列说法中正确的是（　　） A.射线AB和射线BA是同一条射线 B.延长线段AB和延长线段BA的含义是相同的 C.延长直线AB D.经过两点可以画一条直线，并且只能画一条直线 【举一反三1】下列线型中，可以用直尺度量的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】根据语句“点C不在直线AB上，直线AB与射线BC交于点B．”画出的图形是____________. ①；②；③. 【举一反三3】如图所示，共有直线      条，射线      条，线段     条． 【举一反三4】如图，已知线段AB，点C在线段AB上，点P在线段AB外． (1)根据要求画出图形：画直线PA，画射线PB，连接PC； (2)写出(1)画出的图中所有的线段． 【题型9】几何语言与几何图形的互化 【典例】如图，下列表述不正确的是（　　） A.直线AC和直线BC相交于点C B.点D在直线AB外 C.线段BD和射线AC都是直线CD的一部分 D.直线BD不经过点A 【举一反三1】如图，下列说法正确的是（　　） A.图中共有5条线段 B.直线AB与直线AC是指同一条直线 C.射线AB与射线BA是指同一条射线 D.点O在直线AC上 【举一反三2】下列语句表示的图形是（只填序号）. ①三条直线两两相交，交点分别为A、B、C．_________． ②已知点A、B、C，画直线AB、射线AC，连接BC．_________． ③以线段AB上一点C为端点画射线._________． 【举一反三3】如图，平面上有四个点A、B、C、D，根据下列语句画图． （1）画直线AB、CD交于E点； （2）画线段AC、BD交于点F； （3）连接E、F交BC于点G； （4）连接AD，并将其反向延长； （5）作射线BC； （6）取一点P，使P在直线AB上又在直线CD上． 【题型10】线段的和与差 【典例】平面上有A、B、C三点，已知AB＝8 cm，BC＝5 cm，则AC的长是(　　) A.13 cm B.3 cm C.13 cm或3 cm D.不能确定 【举一反三1】已知在同一直线上有A，B，C三个点，且AB＝3，BC＝2，则AC的长为(　　) A.5 B. C.5或1 D.或1 【举一反三2】能断定A，B，C三点在一条直线上的是(　　) A.AB＝2，BC＝3，AC＝4 B.AB＝6，BC＝6，AC＝6 C.AB＝8，BC＝6，AC＝2 D.AB＝12，BC＝13，AC＝15 【举一反三3】画直线l，并在直线l上截取线段AB＝5 cm，再在直线l上截取线段BC＝2 cm，则线段AC的长是__________． 【举一反三4】已知B、C在线段AD上． (1)如图，图中共有__________条线段，AD＝__________+__________﹣__________； (2)如图，若AB：BD＝2：5．AC：CD＝4：1．且BC＝18，求AD的长度． 【题型11】线段中点的有关计算 【典例】如果点B在线段AC上，那么下列表达式中：①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝2AB；④AB＋BC＝AC，能表示B是AC中点的有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【举一反三1】已知点C是线段AB的三等分点，点D是线段AC的中点．若线段BA的长度为12 cm，则线段AD的长度为(　　) A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.2 cm或4 cm 【举一反三2】如图，小林利用圆规在线段CE上截取线段CD，使CD＝AB.若点D恰好为CE的中点，则下列结论中错误的是(　　) A.CD＝DE B.AB＝DE C.CE＝CD D.CE＝2AB 【举一反三3】如图，已知线段AB＝5，BC＝2，M是AC的中点，则线段AM的长度为　             　． 【举一反三4】点C是线段AB的中点，AB＝6 cm，如果点D是直线AB上一点，且BD＝1 cm，那么CD＝　     cm． 【举一反三5】如图，点C在线段AB上，AC＝10 cm，BC＝8 cm，点M，N分别是AC，BC的中点． (1)线段MN的长是　  　cm； (2)若点C为线段AB上任意一点，满足AC+BC＝a cm，其他条件不变，MN的长度为　   　cm． (3)若点C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC＝b cm，点M，N分别为AC，BC的中点，那么MN的长度为多少？并说明理由． 【举一反三6】如图所示，点C在线段AB的延长线上，且BC＝2AB，D是AC的中点． (1)图中共有　  　条线段； (2)若AB＝2 cm，求BD的长． 【题型12】线段的基本性质及应用 【典例】如图所示，直线MN表示一条铁路，铁路两旁各有一点A和B，表示两个工厂．要在铁路上建一货站P，使它到两厂距离之和最短，这个货站P应建在AB与MN的交点处，这种做法用几何知识解释应是(　　) A.两点之间，线段最短 B.射线只有一个端点 C.两直线相交只有一个交点 D.两点确定一条直线 【举一反三1】如图，下列说法不正确的是(　　) A.直线m，n相交于点P B.直线m不经过点Q C.PA＋PB＜QA＋QB D.直线m上共有三个点 【举一反三2】下列生活、生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②筑路公司修建一条隧道缩短了甲、乙两地的路程；③建筑工人在砌墙时，时常在两个墙角分别立一根标志杆，在两根标志杆之间拉一根绳子；④从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设．其中能用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的现象有　       　． 【举一反三3】已知线段AB＝6 cm，在同一平面内讨论下列问题： (1)是否存在一点C，使B，C和A，C之间的距离相等？在什么情况下，C才是线段AB的中点？ (2)是否存在一点C，使它到A，B两点的距离之和最小？若存在，点C的位置在哪里？最小距离是多少？ (3)当点C到A，B两点之间的距离之和大于6 cm时，点C的位置在什么地方？试举例说明． (4)由(2)，(3)，你能得出一个什么结论？ 【举一反三4】如图，在四边形ABCD内找一点O，使它到四边形四个顶点的距离的和(OA+OB+OC+OD)最小，并说出理由． 【题型13】两点间的距离 【典例】如图，一条流水生产线上L1、L2、L3、L4、L5处各有一名工人在工作，现要在流水生产线上设置一个零件供应站P，使五人到供应站P的距离总和最小，这个供应站设置的位置是(　　) A.L2处 B.L3处 C.L4处 D.生产线上任何地方都一样 【举一反三1】如果线段AB＝5 cm，BC＝3 cm，那么A，C两点间的距离是(　　) A.8 cm B.2 cm C.4 cm D.不能确定 【举一反三2】如图，工作流程线上A、B、C、D处各有一名工人，且AB=BC=CD=1，现在工作流程线上安放一个工具箱，使4个人到工具箱的距离之和为最短，则工具箱安放的位置(　　) A.只能是A或D处 B.线段BC的任意一点处 C.只能是线段BC的中点E处 D.线段AB或CD内的任意一点处 【举一反三3】一点将一长为28 cm的线段分成5：2的两段，该分点与原线段中点间的距离为_________ cm． 【举一反三4】若点B在直线AC上，AB=12，BC=7，则A，C两点的距离是           ． 【举一反三5】已知：如图，B、C是线段AD上两点，且AB：BC：CD=2：4：3，M是AD的中点，CD=6 cm，求线段MC的长． 湘教版（2024）七年级上册 4.2 线段、射线、直线 题型专练（参考答案） 【题型1】直线的定义及表示方法 【典例】下列关于直线的说法，正确的是（　　） A.一根拉直的细绳就是直线 B.课本的四边都是直线 C.直线是向两边无限延伸的 D.直线有两个端点 【答案】C 【解析】A.一根拉直的细绳是线段，不是直线，故本选项错误； B.课本的四边都是线段，不是直线，故本选项错误； C.直线是向两边无限延伸的，说法正确，故本选项正确； D.直线没有端点，故本选项错误； 故选：C． 【举一反三1】下列写法正确的是（　　） A.直线AB、CD交于点m B.直线a、b交于点m C.直线a、b交于点M D.直线ab、cd交于点M 【答案】C 【解析】A．直线AB、CD交于点M，故原说法错误； B．直线a、b交于点M，故原说法错误； C．直线a、b交于点M，说法正确； D．直线AB、CD交于点M，故原说法错误； 故选：C． 【举一反三2】如图，水平的直线可以表示为           ，也可以表示为            ；竖直的直线可以表示为            ，也可以表示为            ． 【答案】直线AO；直线m；直线BO；直线n 【举一反三3】如图，直线AB也可以说成直线BA，即用两个字母表示的直线与字母的　　无关． 【答案】顺序 【解析】直线AB也说成直线BA，用两个字母表示的直线与字母的顺序无关． 故答案为：顺序． 【题型2】点与直线位置关系及直线与直线交点 【典例】列说法正确的是（　　） ①直线L，M相交于点N ②直线a，b相交于点M ③直线ab，cd相交于点M ④直线a，b相交于点m ⑤直线AB，CD相交于点M． A.①② B.②③ C.④⑤ D.②⑤ 【答案】D 【解析】①直线不能用一个大写字母表示，故错误；②正确；③直线能用两个大写字母表示，用一个小写字母表示，故错误；④点只能用一个大写字母表示，不能用小写字母表示，故错误；⑤正确．故选D． 【举一反三1】三条互不重合的直线的交点个数可能是（　　） A.0，1，3 B.0，2，3 C.0，1，2，3 D.0，1，2 【答案】C 【解析】分四种情况：（1）三条直线平行，有0个交点，（2）三条直线相交于同一点，有1个交点，（3）一条直线截两条平行线有2个交点，（4）三条直线两两相交有3个交点．如图所示： 故选C． 【举一反三2】平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为m个，最多为n个，则m+n等于（　　） A.12 B.16 C.20 D.以上都不对 【答案】B 【解析】根据题意可得：6条直线相交于一点时交点最少，此时交点为1个，即m=1，任意两直线相交都产生一个交点时交点最多， ∵任意三条直线不过同一点， ∴此时交点为：6×（6-1）÷2=15，即n=15， 则m+n=16．故选B． 【举一反三3】如图，棋盘上有黑、白两色棋子若干，若直线l经过3枚颜色相同的棋子，则这样的直线共有　   　条． 【答案】3 【解析】如图所示： 则所有三颗颜色相同的棋并且在同一直线上的直线共有3条， 故答案为：3． 【举一反三4】画出下列语句表达的图形： （1）点A在直线a上，点B在直线a外； （2）直线a、b、c相交于点M． 【答案】解 （1）如图： （2）如图： 【举一反三5】如图，已知三点A、B、Q，请画直线AB，并描述点Q和直线AB的位置关系. 【答案】解 如图： 点Q和直线AB的位置关系：点Q不在直线AB上. 【题型3】两点确定一条直线 【典例】在下列现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】A 【解析】可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有木匠弹墨线、打靶瞄准、拉绳插秧； “弯曲公路改值”，可以用“两点之间线段最短”来解释，不能用基本事实“两点确定一条直线”来解释． ∴这些现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有1个． 故选：A． 【举一反三1】在下列现象中，体现了基本事实“两点确定一条直线”的有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】第一、二、三幅图中的生活、生产现象可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释，第四幅图中利用的是“两点之间，线段最短”的知识． 故选：C． 【举一反三2】平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n个点最多可确定28条直线，则n的值是（　　） A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】C 【解析】两点确定一条直线；不同三点最多可确定3条直线；不同4点最多可确定（1+2+3）条直线，不同5点最多可确定（1+2+3+4）条直线， 因为1+2+3+4+5+6+7＝28， 所以平面上不同的8个点最多可确定28条直线． 故选：C． 【举一反三3】如图，将甲，乙两把尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校订是直的，那么乙尺　       　(填是或者不是)直的，判断依据是　          　． 【答案】不是；两点确定一条直线 【解析】∵甲尺是直的，两尺拼在一起两端重合， ∴甲尺经校订是直的，那么乙尺就一定不是直的， 判断依据是：两点确定一条直线． 故答案为：不是，两点确定一条直线． 【举一反三4】平面内有四个点A，B，C，D，过其中每两个点画直线可以画出直线的条数为           ． 【答案】1条、4条或6条 【解析】(1)如果4个点，点A、B、C、D在同一直线上，那么只能确定一条直线，如图： (2)如果4个点中有3个点(不妨设点A、B、C)在同一直线上，而第4个点，点D不在此直线上，那么可以确定4条直线，如图： (3)如果4个点中，任何3个点都不在同一直线上，那么点A分别和点B、C、D确定3条直线，点B分别与点C、D确定2条直线，最后点C、D确定一条直线，这样共确定6条直线，如图： 综上所述，过其中2个点可以画1条、4条或6条直线．故答案为：1条、4条或6条． 【举一反三5】阅读下列材料并填空： （1）探究：平面上有n个点（n≥2）且任意3个点不在同一条直线上，经过每两点画一条直线，一共能画多少条直线？ 我们知道，两点确定一条直线．平面上有2个点时，可以画＝1条直线，平面内有3个点时，一共可以画＝3条直线，平面上有4个点时，一共可以画＝6条直线，平面内有5个点时，一共可以画　   　条直线，…平面内有n个点时，一共可以画　     　条直线． （2）运用：某足球比赛中有22个球队进行单循环比赛（每两队之间必须比赛一场），一共要进行多少场比赛？ 【答案】解 （1）平面内有5个点时，一共可以画条直线， 平面内有n个点时，一共可以画条直线； （2）某足球比赛中有22个球队进行单循环比赛（每两队之间必须比赛一场），一共要进行场比赛， 故答案为：10；． 【举一反三6】如图1，经过平面上的两个点可以画一条直线，如图2，图3，经过平面上三个点中任意两个点画直线，一共可以画一条或三条直线．那么经过平面上四个点中任意两个点画直线，一共可以画几条直线？请画图说明． 【答案】解 分三种情况讨论： ①如图1，当四点在同一直线上时，可以画1条直线； ②如图2，当只有三点在同一直线上时，可以画4条直线； ③如图3，当任意三个点都不在同一直线上，可以画6条直线； 综上所述，过同一平面内四个点中的任意两个点，可以画1条、4条或6条直线． 【题型4】射线的定义及表示方法 【典例】B、C、D为射线AM上的点，则共有射线（　　） A.6条 B.5条 C.4条 D.1条 【答案】C 【解析】如图， 图中有射线AM、射线BM、射线CM、射线DM．故选C． 【举一反三1】如图所示，A、B、C是同一直线上的三点，下面说法正确的是（　　） A.射线AB与射线BA是同一条射线 B.射线AB与射线BC是同一条射线 C.射线AB与射线AC是同一条射线 D.射线BA与射线BC是同一条射线 【答案】C 【解析】A.由图形可知，射线AB与射线BA不是同一条射线，故A选项不符合题意； B.由图形可知，射线BA与射线BC不是同一条射线，故B选项不符合题意； C.由图形可知，射线AB与射线AC是同一条射线，故C选项符合题意； D.由图形可知，直线BA与直线BC不是同一条直线，故D选项不符合题意． 故选：C． 【举一反三2】如图：图中射线有            条． 【答案】7 【解析】以C为端点的有1条，以B为端点的有1条，以A为端点的有1条，以O为端点时有2条，以P为端点的有1条，以E为端点的有1条，射线共有7条，故答案为：7． 【举一反三3】如图，反向延长射线OA得射线            ． 【答案】OE 【题型5】射线与直线综合 【典例】下列说法正确的是（　　） A.直线AB＝2 cm B.射线AB＝3 cm C.直线AB与直线BA是同一条直线 D.射线AB与射线BA是同一条射线 【答案】C 【解析】A.直线无限长，选项说法错误，不符合题意； B.射线无限长，选项说法错误，不符合题意； C.直线AB与直线BC是同一条直线，选项说法正确，符合题意； D.射线AB与射线BA不是同一条射线，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【举一反三1】如图，有下列结论： ①以点C为端点的射线共有4条； ②射线BD和射线DB是同一条射线； ③直线BC和直线BD是同一条直线； ④射线AB，AC，AD的端点相同. 其中正确的结论是（　　） A.②④ B.③④ C.②③ D.①③ 【答案】B 【解析】①以点C为端点的射线共有3条，错误； ②射线BD和射线DB不是同一条射线，错误； ③直线BC和直线BD是同一条直线，正确； ④射线AB，AC，AD的端点相同，正确， 故选：B． 【举一反三2】如图，A、B、C三点在同一直线上． 用上述字母表示的不同射线共有            条． 【答案】4 【解析】射线AC、射线BC、射线BA、射线CA，故共是4条． 【举一反三3】如图，平面内有公共端点的六条射线：OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字：1，2，3，4，5，6，7，…．根据规律将射线OD上的第n个数字（从O向D数）用含正整数n的式子表示为            ． 【答案】6n-2 【解析】射线OD上的第1个数字为4，第2个为旋转一周后，是第10个，第3个，再旋转一周，转过了6个数字；…由此发现规律：每两个数字之差为6，那么射线OD上的第n个数字表示为6n-2． 【举一反三4】如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图． （1）作直线AB，射线BC； （2）连接AC，BD交于点O； （3）反向延长DA． 【答案】解 如图所示： 【题型6】线段条数 【典例】如图，图中以B为一个端点的线段共有（　　） A.2条 B.3条 C.4条 D.5条 【答案】B 【解析】以B为端点的线段有AB、CB、DB，共三条， 故选：B． 【举一反三1】如图，把一条绳子折成3折，用剪刀从中剪断，得到（　　）条绳子. A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【解析】由图可知，剪断公共可以得到4条绳子．故选B． 【举一反三2】下面图形中共有线段（　　）条． A.7 B.8 C.9 D.10 【答案】D 【解析】图中线段有：AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10条， 故选：D． 【举一反三3】如图，点A，B，C，D，E在线段MN上，则图中共有 　   　条线段． 【答案】21 【解析】可以根据公式计算，＝21． 故答案为：21． 【举一反三4】如图，点C，D，E都在线段AB上，以图中的A，B，C，D，E为端点的线段共有　      　条． 【答案】10 【解析】图中的线段有：线段AB，线段AC，线段AD，线段AE，线段BC，线段BD，线段BE，线段CD，线段CE，线段DE，线段共10条． 故答案为：10． 【举一反三5】如图所示，线段AB上的点数与线段的总数有如下关系：如果线段AB上有3个点时，线段总数共有3条，如果AB上有4个点时，线段总数共有6条，如果线段AB上有5个点时，线段总数共有10条，…． （1）当线段AB上有6个点时，线段总数共有多少条？ （2）当线段AB上有n个点时，线段总数共有多少条？（用含n的式子表示） （3）当n=100时，线段总数共有多少条？ 【答案】解 （1）AB上有3个点时，线段总数共有3=3×条；AB上有4个点时，线段总数共有6=4×条；AB上有5个点时，线段总数共有10=条；…AB上有n个点时，线段总数共有：，故当线段AB上有6个点时，线段总数共有6×=15条； （2）当线段AB上有n个点时，线段总数共有：； （3）当n=100时，线段总数共有100×=4950条． 【题型7】单循环双循环问题 【典例】如图所示，由泰山始发终点至青岛的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：泰山—济南—淄博—潍坊—青岛，那么要为这次列车制作的单程火车票（　　）种． A.5 B.10 C.15 D.20 【答案】B 【解析】＝10（种）， ∴要为这次列车制作的单程火车票10种． 故选：B． 【举一反三1】如图，AE是一段高铁行驶路线图，图中5个点表示5个车站，在这段路线上往返行车，需印制（　　）种车票． A.25 B.20 C.16 D.10 【答案】B 【解析】图中线段有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10条，单程要10种车票，往返就是20种，即5×（5﹣1）＝20， 故选：B． 【举一反三2】一条直线上立有10根距离相等的标杆，一名学生匀速地从第1杆向第10杆行走，当他走到第6杆时用了6.5 s，则当他走到第10杆时所用时间是______． 【答案】11.7 s 【解析】从第1根标杆到第6根标杆有5个间隔，所以，每个间隔行进6.5÷5=1.3 s，从第1根标杆到第10根标杆共有9个间隔，所以，行进9个间隔共用1.3×9=11.7 s．故答案为：11.7 s． 【举一反三3】如图，已知线段AD上有两个定点B，C． （1）图中共有　　　　条线段． （2）若在线段CD上增加一点，则增加了　　　　条线段． （3）现有一列往返于A，B两地的火车，中途停靠4个站．问：①有　　　　种票价；②要准备_______种车票． 【答案】解 （1）图中有6条线段，线段AB、AC、AD、BC、BD、CD． 故答案为：6； （2）增加一个点后共有10条线段， 所以会增加4条线段． 故答案为：4； （3）当直线m上有2个点时，线段的总条数为1， 直线m上有3个点时，线段的总条数为1+2＝3， 直线m上有4个点时，线段的总条数为1+2+3＝6， … 由此得出当直线m上有n个点时，线段的总条数为1+2+3+…+（n﹣1）＝， ①现有一列往返于A，B两地的火车，中途停靠4个站， 所以直线上共有6个点，共有线段＝15（条）， 所以共有15种票价． 故答案为：15； ②因车票需要考虑方向性，故需要准备车票的种类是票价的2倍， 所以15×2＝30（种）， 所以共有30种票价． 故答案为：30. 【题型8】直线、射线、线段的区别与联系 【典例】下列说法中正确的是（　　） A.射线AB和射线BA是同一条射线 B.延长线段AB和延长线段BA的含义是相同的 C.延长直线AB D.经过两点可以画一条直线，并且只能画一条直线 【答案】D 【解析】A.射线用两个大写字母表示时，端点字母写在第一个位置，所以射线AB和射线BA不是同一条射线，此选项错误； B.延长线段AB是按照从A到B的方向延长的，而延长线段BA是按照从B到A的方向延长的，意义不相同，故此选项错误； C.直线本身就是无限长的，不需要延长，故此选项错误； D.根据直线的公理可知：两点确定一条直线，故此选项正确．故选D． 【举一反三1】下列线型中，可以用直尺度量的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】直线和射线都是无限长的，无法度量长度；只有线段是有限长的，可以度量长度．故选C． 【举一反三2】根据语句“点C不在直线AB上，直线AB与射线BC交于点B．”画出的图形是____________. ①；②；③. 【答案】② 【解析】“点C不在直线AB上，直线AB与射线BC交于点B．”画出的图形是： 故选：②． 【举一反三3】如图所示，共有直线      条，射线      条，线段     条． 【答案】2；7；6 【解析】线段有：线段AB、线段AD、线段BD、线段BC、线段AC、线段CD；射线有：射线DB、射线AB、射线BC、射线CB、射线AC、射线CA、射线DC；直线有：直线BC、直线AC．即共有6条线段，共有7条射线，共有2条直线．故答案为：2；7；6． 【举一反三4】如图，已知线段AB，点C在线段AB上，点P在线段AB外． (1)根据要求画出图形：画直线PA，画射线PB，连接PC； (2)写出(1)画出的图中所有的线段． 【答案】解　(1)如图． (2)图中的所有线段为PA，PC，PB，AC，AB，CB. 【题型9】几何语言与几何图形的互化 【典例】如图，下列表述不正确的是（　　） A.直线AC和直线BC相交于点C B.点D在直线AB外 C.线段BD和射线AC都是直线CD的一部分 D.直线BD不经过点A 【答案】C 【解析】A.直线AC和直线BC相交于点C，此选项正确，故不符合题意； B.点D在直线AB外，此选项正确，故不符合题意； C.线段BD是直线CD的一部分，射线AC不是直线CD的一部分，此选项错误，故符合题意； D.直线BD不经过点A，此选项正确，故不符合题意， 故选：C． 【举一反三1】如图，下列说法正确的是（　　） A.图中共有5条线段 B.直线AB与直线AC是指同一条直线 C.射线AB与射线BA是指同一条射线 D.点O在直线AC上 【答案】B 【解析】图中有线段AB、AC、BC、AO、OB、OC，共6条故A错误；直线表示方法是用直线上两个点表示，没有先后顺序，故B正确；射线表示方法是端点字母在前，故C错误；根据点与直线关系可得D错误． 【举一反三2】下列语句表示的图形是（只填序号）. ①三条直线两两相交，交点分别为A、B、C．_________． ②已知点A、B、C，画直线AB、射线AC，连接BC．_________． ③以线段AB上一点C为端点画射线._________． 【答案】①(2)    ②(1)    ③(3) 【解析】①三条直线两两相交，交点分别为A、B、C，图形(2)符合；②已知点A、B、C，画直线AB、射线AC，连接BC，图形(1)符合；③以线段AB上一点C为端点画射线，图形(3)符合．故答案为：(2)，(1)，(3)． 【举一反三3】如图，平面上有四个点A、B、C、D，根据下列语句画图． （1）画直线AB、CD交于E点； （2）画线段AC、BD交于点F； （3）连接E、F交BC于点G； （4）连接AD，并将其反向延长； （5）作射线BC； （6）取一点P，使P在直线AB上又在直线CD上． 【答案】解 如图所示． 【题型10】线段的和与差 【典例】平面上有A、B、C三点，已知AB＝8 cm，BC＝5 cm，则AC的长是(　　) A.13 cm B.3 cm C.13 cm或3 cm D.不能确定 【答案】D 【解析】①三点在一条直线上时， AC＝AB+BC＝8+5＝13(cm)或AC＝AB﹣BC＝8﹣5＝3(cm)； ②三点不在一条直线上时， 由三角形三边的关系可知：AB﹣AC＜BC＜AB+AC， 即3＜BC＜13． 综合以上可知只要答案D符合要求． 故选：D． 【举一反三1】已知在同一直线上有A，B，C三个点，且AB＝3，BC＝2，则AC的长为(　　) A.5 B. C.5或1 D.或1 【答案】C 【解析】如图1， AC＝AB﹣BC＝3﹣2＝1； 如图2， AC＝AB+BC＝3+2＝5， 所以AC的长为5或1． 故选：C． 【举一反三2】能断定A，B，C三点在一条直线上的是(　　) A.AB＝2，BC＝3，AC＝4 B.AB＝6，BC＝6，AC＝6 C.AB＝8，BC＝6，AC＝2 D.AB＝12，BC＝13，AC＝15 【答案】C 【解析】A项，因为2＋3≠4，所以A，B，C三点不在一条直线上，错误； B项，因为6＋6≠6，所以A，B，C三点不在一条直线上，错误； C项，因为6＋2＝8，所以A，B，C三点在一条直线上，正确； D项，因为12＋13≠15，所以A，B，C三点不在一条直线上，错误． 【举一反三3】画直线l，并在直线l上截取线段AB＝5 cm，再在直线l上截取线段BC＝2 cm，则线段AC的长是__________． 【答案】3 cm或7 cm 【解析】在直线l上截取线段AB＝5 cm，再在直线l上截取线段BC＝2 cm， 所以点C在点B左侧时，线段AC的长是AB﹣BC＝5﹣2＝3 cm， 当点C在点B右侧时，线段AC的长是AB+BC＝5+2＝7 cm． 所以线段AC的长是3 cm或7 cm． 故答案为：3 cm或7 cm． 【举一反三4】已知B、C在线段AD上． (1)如图，图中共有__________条线段，AD＝__________+__________﹣__________； (2)如图，若AB：BD＝2：5．AC：CD＝4：1．且BC＝18，求AD的长度． 【答案】解 (1)图中线段有：AB，AC，AD，BC，BD，CD共6条； AD＝AC+BD﹣BC． 故答案为：6；AC，BD，BC(答案不唯一)． (2)设AD＝x， 因为AB：BD＝2：5，AC：CD＝4：1， 所以AB=ADx，AC=ADx． 因为AC﹣AB＝BC，BC＝18， 所以x-x=18， 解得x＝35， 所以AD＝35． 【题型11】线段中点的有关计算 【典例】如果点B在线段AC上，那么下列表达式中：①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝2AB；④AB＋BC＝AC，能表示B是AC中点的有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】AB＝AC，AB＝BC，AC＝2AB能说明点B是AC中点，而AB＋BC＝AC不能说明． 【举一反三1】已知点C是线段AB的三等分点，点D是线段AC的中点．若线段BA的长度为12 cm，则线段AD的长度为(　　) A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.2 cm或4 cm 【答案】D 【解析】①如图1， 因为C是线段AB的三等分点，AB＝12 cm， 所以AC＝AB＝×12＝4(cm)， 因为D是线段AC的中点， 所以AD＝AC＝×4＝2(cm)； ②如图2， 因为C是线段AB的三等分点，AB＝12 cm， 所以AC＝AB＝×12＝8(cm)， 因为D是线段AC的中点， 所以AD＝AC＝×8＝4(cm)． 【举一反三2】如图，小林利用圆规在线段CE上截取线段CD，使CD＝AB.若点D恰好为CE的中点，则下列结论中错误的是(　　) A.CD＝DE B.AB＝DE C.CE＝CD D.CE＝2AB 【答案】C 【解析】因为点D恰好为CE的中点， 所以CD＝DE， 因为CD＝AB，所以AB＝DE＝CE，即CE＝2AB＝2CD， 故A，B，D选项正确，C选项错误． 【举一反三3】如图，已知线段AB＝5，BC＝2，M是AC的中点，则线段AM的长度为　             　． 【答案】1.5或3.5 【解析】分为两种情况： ①当C在线段AB上时，AC＝AB﹣BC＝5﹣2＝3， ∵M是AC的中点， ∴AM＝AC＝1.5， ②当C在线段AB的延长线上时，AC＝AB+BC＝5+2＝7， ∵M是AC的中点， ∴AM＝AC＝3.5， ∴AM的长度为1.5或3.5． 故答案为：1.5或3.5． 【举一反三4】点C是线段AB的中点，AB＝6 cm，如果点D是直线AB上一点，且BD＝1 cm，那么CD＝　     cm． 【答案】2或4 【解析】∵点C是线段AB的中点，AB＝6 cm， ∴BC＝AB＝×6＝3 cm， ∵BD＝1 cm， ∴当D在B的右侧时，CD＝3+1＝4 cm， 当D在B的左侧时，CD＝3﹣1＝2 cm， 故答案为：2或4． 【举一反三5】如图，点C在线段AB上，AC＝10 cm，BC＝8 cm，点M，N分别是AC，BC的中点． (1)线段MN的长是　  　cm； (2)若点C为线段AB上任意一点，满足AC+BC＝a cm，其他条件不变，MN的长度为　   　cm． (3)若点C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC＝b cm，点M，N分别为AC，BC的中点，那么MN的长度为多少？并说明理由． 【答案】解 (1)∵点M、N分别是AC、BC的中点， ∴CM＝AC＝5 cm，CN＝BC＝4 cm， ∴MN＝CM+CN＝5+4＝9 cm． 故答案为：9； (2)MN＝a cm， 理由如下： 同(1)可得CM＝AC，CN＝BC， ∴MN＝CM+CN＝AC+BC＝(AC+BC)＝a(cm)． 故答案为：a； (3)MN＝b cm， 如图所示： 根据题意得：AC﹣CB＝b， AM＝MC＝AC，CN＝BN＝CB， ∴NM＝BM+BN＝(MC﹣BC)+BC＝(AC﹣BC)+BC＝AC+(﹣BC+BC)＝AC﹣BC＝(AC﹣BC)＝b(cm)， 即MN的长度为多少b cm． 【举一反三6】如图所示，点C在线段AB的延长线上，且BC＝2AB，D是AC的中点． (1)图中共有　  　条线段； (2)若AB＝2 cm，求BD的长． 【答案】解 (1)图形的线段有：线段AB、线段AD、线段AC、线段BD、线段BC和线段DC，共6条． 故答案为：6； (2)因为AB＝2 cm，BC＝2AB， 所以BC＝4 cm． 所以AC＝AB+BC＝6 cm． 因为D是AC的中点， 所以AD＝AC＝3 cm． 所以BD＝AD﹣AB＝1 cm． 【题型12】线段的基本性质及应用 【典例】如图所示，直线MN表示一条铁路，铁路两旁各有一点A和B，表示两个工厂．要在铁路上建一货站P，使它到两厂距离之和最短，这个货站P应建在AB与MN的交点处，这种做法用几何知识解释应是(　　) A.两点之间，线段最短 B.射线只有一个端点 C.两直线相交只有一个交点 D.两点确定一条直线 【答案】A 【解析】要在铁路上建一货站P，使它到两厂距离之和最短，这个货站P应建在AB与MN的交点处， 这种做法用几何知识解释应是：两点之间，线段最短． 故选：A． 【举一反三1】如图，下列说法不正确的是(　　) A.直线m，n相交于点P B.直线m不经过点Q C.PA＋PB＜QA＋QB D.直线m上共有三个点 【答案】D 【解析】由图可知A，B，C均正确；D项，直线m上有无数个点，本选项说法错误． 【举一反三2】下列生活、生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②筑路公司修建一条隧道缩短了甲、乙两地的路程；③建筑工人在砌墙时，时常在两个墙角分别立一根标志杆，在两根标志杆之间拉一根绳子；④从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设．其中能用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的现象有　       　． 【答案】②④ 【解析】①用两个钉子就可以把木条固定在墙上，利用的是“两点确定一条直线”，故①不合题意； ②筑路公司修建一条隧道缩短了甲、乙两地的路程，可用“两点之间线段最短”来解释，故②符合题意； ③建筑工人在砌墙时，时常在两个墙角分别立一根标志杆，在两根标志杆之间拉一根绳子，利用的是“两点确定一条直线”，故③不合题意； ④从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设，可用“两点之间线段最短”来解释，故符合④题意； 故答案为：②④． 【举一反三3】已知线段AB＝6 cm，在同一平面内讨论下列问题： (1)是否存在一点C，使B，C和A，C之间的距离相等？在什么情况下，C才是线段AB的中点？ (2)是否存在一点C，使它到A，B两点的距离之和最小？若存在，点C的位置在哪里？最小距离是多少？ (3)当点C到A，B两点之间的距离之和大于6 cm时，点C的位置在什么地方？试举例说明． (4)由(2)，(3)，你能得出一个什么结论？ 【答案】解　(1)存在，当点C在线段AB上时，C才是线段AB的中点． (2)存在，当点C在线段AB上时，距离最短，最短距离为6 cm. (3)当点C在线段AB外时，点C到A，B两点之间的距离之和大于6 cm.例如点A，B，C为三角形的三个顶点． (4)点C到A，B两点之间的距离之和一定不小于6 cm. 【举一反三4】如图，在四边形ABCD内找一点O，使它到四边形四个顶点的距离的和(OA+OB+OC+OD)最小，并说出理由． 【答案】解 要使OA+OB+OC+OD最小，则点O是线段AC、BD的交点． 理由如下：如果存在不同于点O的交点P，连接PA、PB、PC、PD，那么PA+PC＞AC， 即PA+PC＞OA+OC， 同理，PB+PD＞OB+OD， ∴PA+PB+PC+PD＞OA+OB+OC+OD， 即点O是线段AC、BD的交点时，OA+OB+OC+OD之和最小． 【题型13】两点间的距离 【典例】如图，一条流水生产线上L1、L2、L3、L4、L5处各有一名工人在工作，现要在流水生产线上设置一个零件供应站P，使五人到供应站P的距离总和最小，这个供应站设置的位置是(　　) A.L2处 B.L3处 C.L4处 D.生产线上任何地方都一样 【答案】B 【解析】在5名工人的情况下，设在L3处为最佳，这时总距离为L1 L5+ L2 L4，理由是：如果不设于L3处，而设于x处，则总距离应为L1 L5+ L2 L4+ L3x＞L1 L5+ L2 L4，即在L3处5个工人到供应站距离的和最小．故选B． 【举一反三1】如果线段AB＝5 cm，BC＝3 cm，那么A，C两点间的距离是(　　) A.8 cm B.2 cm C.4 cm D.不能确定 【答案】D 【解析】A，B，C三点可能在一条直线上，点C也可能在直线AB外，所以A，C两点的距离不能确定． 【举一反三2】如图，工作流程线上A、B、C、D处各有一名工人，且AB=BC=CD=1，现在工作流程线上安放一个工具箱，使4个人到工具箱的距离之和为最短，则工具箱安放的位置(　　) A.只能是A或D处 B.线段BC的任意一点处 C.只能是线段BC的中点E处 D.线段AB或CD内的任意一点处 【答案】B 【解析】要想取到工具花费的时间最少，即到拿到工具的距离最短，据图可知，位置在A与B之间，拿到工具的距离和＞AD+BC；在B与C之间，拿到工具的距离和=AD+BC；在C与D之间，拿到工具的距离和＞AD+BC．则工具箱的安放位置在B与C之间，取工具所花费的总时间最少．故选B． 【举一反三3】一点将一长为28 cm的线段分成5：2的两段，该分点与原线段中点间的距离为_________ cm． 【答案】6 【解析】如图，AB=28 cm，AC：BC=5：2，点D为AB的中点， 设AC=5x，则BC=2x， ∵AC+BC=AB， ∴5x+2x=28，解得x=4， ∴AC=5x=20， ∵点D为AB的中点， ∴AD=12​AB=14， ∴CD=AC-AD=20-14=6(cm)，即该分点与原线段中点间的距离为6 cm． 故答案为6． 【举一反三4】若点B在直线AC上，AB=12，BC=7，则A，C两点的距离是           ． 【答案】5或19 【解析】因为不确定C点是在AB之间还是AB延长线上，所以两种可能：当C点在AB之间，则AC两点间的距离是12-7=5；当C点在AB延长线上，则A、C两点间的距离是12+7=19． 【举一反三5】已知：如图，B、C是线段AD上两点，且AB：BC：CD=2：4：3，M是AD的中点，CD=6 cm，求线段MC的长． 【答案】解 由AB：BC：CD=2：4：3， 设AB=2x cm，BC=4x cm，CD=3x cm， 则CD=3x=6，解得x=2． 因此，AD=AB+BC+CD=2x+4x+3x=18(cm)． 因为点M是AD的中点， 所以DM=AD= ×18=9(cm)，MC=DM-CD=9-6=3(cm)． 学科网（北京）股份有限公司 $