山西晋城市部分学校2026-2027学年高三上学期9月学情调研数学试题

高三年级学情调研 数学 参考答案 1．A 2．B 3．C 4．D 5．D 6．C 7．B 8．D 9．BD 10．BD 11．ABD 12． 13．2 14．5，7 15．解：（1）以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 不妨设，则，，，，，． （4分） 记直线与所成的角为，则． （6分） （2）记为与公垂线段的方向向量， 则即可取， （9分） 而， （10分） 记直线与间的距离为，则． （13分） 16．解：（1）设比例系数为，则，，，． 由概率之和为1，得， （2分） 解得， （3分） 故， （4分） ， （5分） ， （6分） ． （7分） （2）的所有可能取值为1，2，4，8，16，给定后，两台候选节点被随机分配的概率均为．（8分） ， （9分） ， （10分） ， （11分） ， （12分） ． （13分） 故． （15分） 17．解：（1）由已知，得， 当时，，，…，， （1分） 所以当时，，故． （4分） 上式对也成立，所以． （5分） （2）证明：（ⅰ）由（1），知，故， （6分） 故， （8分） 从而，即． （10分） （ii）设．由（2）（ⅰ），知， 所以在上单调递减． （13分） 因此，即，故得，故得． （15分） 18．解：（1）由余弦定理，得， 所以． （4分） （2）证明：设旋转角为，令． 由题意，知，． 由于点在射线上，点在射线上，旋转时射线与同时转过同一个角， 所以． （7分） 由余弦定理，得， （8分） ． （9分） 因此，所以旋转过程中，为定值12． （10分） （3）由（2）得，所以，从而． 因为，所以． （13分） 又，则单调递增，故时，其取最小值， 当时，其取最大值， 所以的最大值为3，最小值为1． （17分） 19．解：（1）由题意得直线的方程为，椭圆的右顶点、上顶点到直线的距离相等，且，故，得． （2分） 设椭圆的半焦距为，则，故． （4分） （2）证明：（ⅰ）由（1）知，故椭圆的方程为． 设，由O，A，P不共线，得．设两条中点轨迹的一个公共点为，过的相应弦的两个端点为，． 因为为弦的中点且两端点均在椭圆上，故，，，，联立得． 又A，T及弦的两个端点共线，故存在实数，使，，从而，即．① 同理，由为过的弦的中点，得．② ①②两式相减，得，代入，得．（7分） 当时，由得，即该公共点与原点重合，且x，y均唯一确定，故两条轨迹除原点外至多有一个公共点， 又A，P均在椭圆内部，直线与椭圆相交所得弦的中点同时属于这两条中点轨迹，且O，A，P不共线，所以该中点不与原点重合． 因此，两条中点轨迹除原点外有且仅有一个公共点，且该点在直线上． （9分） （ii）记过A，B，P的弦的中点轨迹两两除原点外的公共点分别为C，H，K，其中为过A，B的弦的中点轨迹的交点，为过A，P的弦的中点轨迹的交点，为过B，P的弦的中点轨迹的交点，由题设，点不在直线，，上，故． 由（2）（ⅰ）知，过A，B，P的弦的中点的轨迹方程分别为：；：，：． （11分） 对点C，，两式相减，得，又由（2）（ⅰ）知，而的方程为，故． 由（2）（ⅰ）知，设，，两式相减，得，代入点的坐标，得． （12分） 同理，，设，，两式相减，得，代入点的坐标，得． （13分） 由于C，H，K共线，则有， 代入H，K的坐标并整理，得． 由，得，代入，并通分整理，得， 又，故，因此点的轨迹方程为． （15分） 反之，设点满足该方程且不与O，A，B重合，则．若或，由轨迹方程可得点与O，A，B中的一点重合． 若，则，从而，仍得点与或重合，均与所取点矛盾，因此， 又由轨迹方程得，可令，，，则，从而不大于2． 由，有，故点在椭圆内．此时上述各步均可逆，故三个非原点公共点共线． 若其中两个点重合，则该点同时属于过A，B，P的三条弦的中点轨迹，从而点也满足，则得，矛盾，故三个公共点互不相同． 综上，点的轨迹方程为，其中去掉点O，A，B． （17分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 秘密★启用前 高三年级学情调研 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设，，，则 A． B． C． D． 2．底面半径与高均为1的圆锥的侧面积为 A． B． C． D． 3．设集合，，则 A． B． C． D． 4．已知复数与满足，，则 A．1 B．2 C．4 D．8 5．某商场统计了一段时间内的销售情况，得到如下频率分布直方图． 由图估计该商场月销售额的方差为 A．165 B．155 C．150 D．145 6．若函数的最大值为，则实数的值为 A．0 B．1 C．2 D．3 7．已知圆：，：，：，：，则直线与这四个圆的公共点个数的最大值为 A．5 B．6 C．7 D．8 8．记集合，点，，样本空间，从中随机取一个点，定义随机变量如下：对任意内的点，，则的数学期望为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设函数，则 A．有且仅有2个零点 B．有且仅有1个极值点 C．不等式恒成立 D．在区间上单调递减 10．已知平面向量，满足，且．设实数，，，则 A． B． C．，的夹角为钝角 D．的最大值为2 11．某厂在直线导轨上等距加工一列安装孔，测距模块与各孔中心共线，各孔均位于模块同侧，并按到模块的距离由小到大编号，且孔数足够多．三点倍率标定时，需依次选择三个孔，使它们到模块的距离构成递增的等比数列．现场配有边长为、对角线长为的正方形检具（检具用于检测单个零件，如冲压件，塑料件的型面、轮廓、孔位等）．则 A．后两个标定孔的中心距大于前两个标定孔的中心距 B．第1孔到模块的距离为、孔距为时，可选第1，3，7孔 C．第1孔到模块的距离为、孔距为时，可以完成标定 D．若有两个孔到模块的距离分别为L，D，则该孔列无法完成标定 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若，，则的取值范围是___________． 13．抛物线的焦点也是双曲线的一个焦点，则实数的值为___________． 14．设为单位圆上在第一象限内的一点，其纵坐标为．记单位圆与轴正半轴的交点为，将劣弧七等分，以从起（不包括点）逆时针第六个分点为一个顶点，作单位圆的内接正十四边形，且该正十四边形存在两个纵坐标相同的顶点．则的可能取值的个数为___________，其14个顶点纵坐标的不同值的个数最少为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 如图，在正方体中，为棱的中点． （1）求直线与所成角的余弦值； （2）当时，求异面直线与间的距离． 16．（15分） 某云计算平台为任务提供两台候选节点，其可用算力分别为和，其中，且取各值的概率与成正比．平台从两台候选节点中等可能地随机选择其中一台，并显示其算力． （1）求取各值的概率； （2）求的数学期望． 17．（15分） 已知，数列的首项为0，．（提示：） （1）求的通项公式． （2）记，设函数．证明： （ⅰ）当时，； （ⅱ）． 18．（17分） 在中，，，．点P，Q分别在线段与上，且，．将绕点旋转得到，其中点P，Q旋转后落到的点分别为M，N． （1）求的长度； （2）证明：旋转过程中，为定值； （3）求旋转过程中，的最大值与最小值． 19．（17分） 在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，且椭圆E：的右顶点与上顶点到直线的距离相等． （1）求的离心率． （2）若为内一点，且，，三点不共线． （ⅰ）证明：过点的椭圆的弦的中点所形成的轨迹与过点的椭圆的弦的中点所形成的轨迹除外有且仅有一个公共点，且该点在直线上； （ⅱ）若分别过，，的椭圆的弦的中点所形成的轨迹两两相交于及另一个点，且除外所得的三个点互不相同且共线，求点的轨迹方程． 学科网（北京）股份有限公司 $