精品解析：四川省广安加德学校2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

广安加德学校高2023级高三10月月考试题 数 学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得. 2. 设集合，，若，则（ ）． A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 3. 设，是实数，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【详解】本题采用特殊值法：当时，，但，故是不充分条件；当时，，但，故是不必要条件.所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选D. 考点：1.充分条件、必要条件；2.不等式的性质. 4. 已知角的终边与单位圆的交于点，则(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：首先求出点的坐标，再利用三角函数的定义得出的值，进而由同角三角函数基本关系式求出结果即可． 详解：∵点在单位圆上，， 则由三角函数的定义可得则 点睛：此题考查了三角函数的定义以及同角三角函数基本关系式的应用，求出的值是解题的关键． 5. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得， 则有，所以. 6. 已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（ ） A. 3 B. 18 C. 52 D. 54 【答案】D 【解析】 【详解】解：已知为等比数列，，① 则，② 当时，，即，③ ， 可得，代入③可得， 则，所以，D正确. 7. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性可得，根据幂函数在上为增函数，可得，根据指数函数的单调性可得，由此可得答案. 【详解】， ,, 因为在上为增函数，且， 所以， 又，即， 综上所述：. 故选：A 8. 设奇函数的定义域为，且满足：（1）；（2）当时，，则下列说法不正确的是（ ） A. 的图象存在对称轴 B. C. 当时， D. 方程有四个实数根 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出对称轴判断A；确定函数的周期并求出函数值判断B；结合周期性求出指定区间上的解析式判断C；将方程根的个数转化为直线与函数图象的交点个数求解判断D. 【详解】对于A，由，得直线是的图象对称轴，A正确； 对于B，由函数是奇函数，得，则4是函数的一个周期， 而当时，，因此，B正确； 对于C，当时，，则， 因此当时，，，C正确； 对于D，方程，于是方程的实根个数 即为函数的图象与直线的交点个数， 由是奇函数，得当时，，当时，， 则，又函数的一个周期为4， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线， 观察图象知，函数的图象与直线有五个交点， 即方程有五个实数根，D错误. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 已知，下列关于的说法正确的是（ ） A. 的值域为 B. 的定义域为 C. 函数是偶函数 D. 任意一个非零有理数，对任意恒成立 【答案】BCD 【解析】 【详解】因为函数，所以的定义域为，值域为， 故选项B正确，选项A不正确； 若自变量是有理数，则也是有理数，，所以， 若自变量是无理数，则也是无理数，，所以， 所以是偶函数，选项C正确； 对于任意一个非零有理数，若是有理数，则是有理数；若是无理数，则是无理数， 根据函数的解析式，任取一个不为零的有理数T，都有对任意恒成立，故选项D正确. 10. 如图是函数的部分图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】由图知函数的最小正周期，所以. 当时，， 由图知是函数的下降零点， 所以，所以. 所以； 当时，， 由图知是函数的上升零点，所以， 所以.所以. 综上所述，或者. 11. 已知方程有两个不同的根，，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】首先 等式变形，并构造函数，利用导数判断函数的单调性，以及结合零点存在性定理，求的取值范围，判断AB；首先构造函数，利用导数判断函数的单调性，并假设，利用函数的单调性，比较自变量的大小，即可判断C;变形不等式得到 ，再结合C的判断，即可判断D. 【详解】A，B选项：方程等价于方程， 构造函数，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则，因此只需满足，即． 当时， ，， 由以上可知，当时，分别在，上各有一个零点，（零点存在定理的应用） 则方程有两个不同的根，，因此选项A正确，选项B错误； C选项：构造函数，则， 因此在上单调递减，易知，假设,则，即成立， 又，则，因此，即，因此选项C正确； D选项：由即，得，不一定成立，故选项D错误． 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】分和，利用分段函数求解. 【详解】当时，由－x，解得x， 当时，由2x－1，解得x， 综上不等式的解为x或x. 所以. 故答案为： 13. 已知，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题设条件可得，可得，利用基本不等式即可求解. 【详解】∵ ∴且 ∴，当且仅当，即时取等号. ∴的最小值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. 14. 已知实数满足，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】所给的两个等式都无法直接求出和，故考虑同构，其中这个式子已经很简单了，所以将朝变形，即可构造函数，利用函数的单调性即可求解. 【详解】令，则，代入可得， 设，则，所以和都是的零点， 又 ，所以在上单调递增，从而，故 ， 所以，因为，所以. 四、解答题：本题共6小题，共77分.第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物(单位：只)试验，得到如下列联表： 药物 疾病 合计 未患病 患病 未服用 100 80 服用 150 70 220 合计 250 400 （1）求； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为药物A对预防疾病B有效? 附：. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）， （2）认为药物A对预防疾病B有效 【解析】 【分析】（1）根据列联表计算即可； （2）根据公式计算，然后根据临界值表分析判断即可. 【小问1详解】 ，. 【小问2详解】 零假设：药物A对预防疾病B无效. 根据列联表中的数据可得. 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为药物A对预防疾病B有效. 16. 已知等差数列的公差大于0，且，，，分别是等比数列的前三项． 求数列的通项公式； 记数列的前n项和，若，求n的取值范围． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（I）设等差数列的公差为，根据题设条件列出方程组，求得，即可求解数列的通项公式； （II）由（I），求得等比数列的公比为3，首项为3，进而利用等比数列的前n项和公式，求得，即可求解，得到答案. 【详解】解：（I）设等差数列的公差为（）, 由，得， 又∵，，是等比数列的前三项， ∴， 即，化简得， 联立解得，. ∴. （II）∵，，是等比数列的前三项， ∴等比数列的公比为3，首项为3. ∴等比数列的前项和. 由，得，化简得， 解得，. 【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,根据通项公式和求和公式，列出方程组,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；二是利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法. 17. 已知的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求角； （2）若是的角平分线，，的面积为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，结合三角恒等变换求解角度即可. （2）利用三角形的面积公式和余弦定理列出方程，求解即可. 【小问1详解】 由及正弦定理得，， 所以，因为， 所以，又，所以 【小问2详解】 由，得， 又， 所以， 由余弦定理得 所以. 18. 已知函数，将函数的图象向右平移个单位，再向下平移2个单位，得到函数的图象． 求的解析式； 求在上的单调递减区间及值域． 【答案】（1）（2）递减区间为.值域为 【解析】 【分析】（I）利用三角恒等变换的公式，化简得，进而利用图象的变换，即可求解的解析式； （II）由（I）得，可得，利用三角函数的图象与性质，即可得到函数的单调区间和值域. 【详解】解：（I） , , , ， 由题意得， 化简得. （II）由，可得. 当即时，函数单调递减. ∴在上单调递减区间为. ∵在上单调递增，在上单调递减， ∴. 又， ∴， 即在上的值域为. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于忽视函数的定义域导致错解，试题难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等. 19. 设a，b为实数，且，函数 （1）求函数的单调区间； （2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围； （3）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足. (注：是自然对数的底数) 【答案】(1)时，的单调递增区间为,无减区间； 时，函数的单调减区间为，单调增区间为. (2)； (3)证明：[方法一]【最优解】： 有2个不同零点，则，故函数的零点一定为正数. 由(2)可知有2个不同零点，记较大者为，较小者为， ， 注意到函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故，又由知， ， 要证，只需， 且关于的函数在上单调递增， 所以只需证， 只需证， 只需证， ，只需证在时为正， 由于，故函数单调递增， 又，故在时为正， 从而题中的不等式得证. [方法二]：分析+放缩法 有2个不同零点，不妨设，由得（其中）． 且． 要证，只需证，即证，只需证． 又，所以，即． 所以只需证．而，所以， 又，所以只需证． 所以，原命题得证． [方法三]： 若且，则满足且，由（Ⅱ）知有两个零点且． 又，故进一步有． 由可得且，从而．． 因为， 所以， 故只需证． 又因为在区间内单调递增，故只需证，即，注意时有，故不等式成立． 【解析】 【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性； (2)将原问题进行等价转化，然后构造新函数，利用导函数研究函数的性质并进行放缩即可确定实数a的取值范围； (3)方法一：结合(2)的结论将原问题进行等价变形，然后利用分析法即可证得题中的结论成立. 【详解】(1)， ①若，则，所以在上单调递增； ②若， 当时，单调递减， 当时，单调递增. 综上可得，时，的单调递增区间为,无减区间； 时，函数的单调减区间为，单调增区间为. (2)有2个不同零点有2个不同解有2个不同的解， 令，则， 记， 记， 又，所以时，时，， 则在单调递减，单调递增，， . 即实数的取值范围是. (3)略 【整体点评】本题第二、三问均涉及利用导数研究函数零点问题，其中第三问难度更大，涉及到三种不同的处理方法， 方法一：直接分析零点，将要证明的不等式消元，代换为关于的函数，再利用零点反代法，换为关于的不等式，移项作差构造函数，利用导数分析范围. 方法二：通过分析放缩，找到使得结论成立的充分条件，方法比较冒险！ 方法三：利用两次零点反代法，将不等式化简，再利用函数的单调性，转化为与0比较大小，代入函数放缩得到结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广安加德学校高2023级高三10月月考试题 数 学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，，若，则（ ）． A. 2 B. 1 C. D. 3. 设，是实数，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知角的终边与单位圆的交于点，则(　　) A. B. C. D. 5. 设，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（ ） A. 3 B. 18 C. 52 D. 54 7. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 设奇函数的定义域为，且满足：（1）；（2）当时，，则下列说法不正确的是（ ） A. 的图象存在对称轴 B. C. 当时， D. 方程有四个实数根 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 已知，下列关于的说法正确的是（ ） A. 的值域为 B. 的定义域为 C. 函数是偶函数 D. 任意一个非零有理数，对任意恒成立 10. 如图是函数的部分图象，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知方程有两个不同的根，，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则不等式的解集是________． 13. 已知，则的最小值是_______． 14. 已知实数满足，，则___________. 四、解答题：本题共6小题，共77分.第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物(单位：只)试验，得到如下列联表： 药物 疾病 合计 未患病 患病 未服用 100 80 服用 150 70 220 合计 250 400 （1）求； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为药物A对预防疾病B有效? 附：. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 已知等差数列的公差大于0，且，，，分别是等比数列的前三项． 求数列的通项公式； 记数列的前n项和，若，求n的取值范围． 17. 已知的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求角； （2）若是的角平分线，，的面积为，求的值. 18. 已知函数，将函数的图象向右平移个单位，再向下平移2个单位，得到函数的图象． 求的解析式； 求在上的单调递减区间及值域． 19. 设a，b为实数，且，函数 （1）求函数的单调区间； （2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围； （3）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足. (注：是自然对数的底数) 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $