辽宁大连市辽东十一所重点高中联合教研体2027届高三摸底测试数学试卷

绝密★启用前 辽东十一所重点高中联合教研体2027届高三摸底测试 数学试卷 本试卷共19题，全卷满分150分.考试用时120分钟 注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码 粘贴在答题卡上的指定位置. 2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿 纸和答题卡的非答题区域均无效. 3填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答 题卡上的非答题区域均无效. 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交， 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1.若z=3+4i,则z-2z=（) (▲) A.4V5 B.5V5 C.10 D.8v2 2.在一次唱歌比赛中，共有5位评委给某选手打分（分数不全相同），与原始分数相比，去掉一个最高分和一个 最低分之后，一定发生改变的是 (▲) A.平均数 B.众数 C.中位数 D.方差 3.甲、乙、丙、丁四名教师带领学生参加校园植树活动，教师随机分成三组，每组至少一人，则甲、乙不在一 组的概率为 (▲) 83 4 C.S 6 D11 .2 4.在三棱锥A-BCD中，AC⊥平面BCD,BD 1 CD,若AB=3,BD=1,CD=√2，则该三棱锥的体积为 (▲) 5 5 A. B. 2 3 D. 4 6 √3cos10°-cos80° 5.求值： c0s25°cos65 A.1 B.2 C.4 D.8 6.如果曲线m3x-2y+2=√x2+y2表示双曲线，则实数m的取值范围是 数学试卷·第1页（共4页） *得 (悟) D.(0,) 7已知点Q是椭圆E: 年+y2=1上的动点，点P满足QP=(cosa,cosB),其中cos2a+cos2B=1.记点P 的轨迹形成的区域为Q,则Q边界上的点到直线1：√5x+y-8=0的距离的最大值为 (▲) 形码 A.4+V3 2 B.5-3 2 c.5+3 2 D.6+3 2 草稿 8定义在R上的西数网装起：++f心)=4o,份)0，则/4到的值为 (▲) 和答 A.47 B.-47 C.49 D.-49 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题日要求。全部 选对得6分，部分选对得2分，选错得0分. 9.设α，b为不共线的非零向量，下列选项描述正确的是 (▲) a A a.b a 个 同 B. =1 C. D a∥i 10.在正项等比数列{a,}中，公比为q,已知aa,a,=4,a4a5a6=12,a14+2443=324,下列说法正确的是（▲） A.g2=3 B.a3=4 C.a4a6=25 D.n=12 11.已知实数a,b,c满足a+b+c=0且a2+b2+c2=1,则下列结论正确的有 (▲) 1 A.ab+bctac= B.a的取值范围为 66 3’3 Ce的最大值为y6 8 D.a3+b3+c3的取值范围为 6-1√6+1 66 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知函数fx)=2”-4x,则曲线y=fx)在点(2，f2》处的切线方程是▲一 数学试卷·第2页（共4页） 13.已知函数f)=in<1在0，牙上单调递。增且/)的图像关于2r,0)对称则u=上一 14,在体积为1的三棱锥A-BCD侧棱AB,AC,AD上分别取点E,F,G,使AE:EB=AF:FC=AG:GD=2:1, 记O为三平面BCG,CDE,DBF的交点，则三棱锥O-BCD的体积等于▲一 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且(2a-c)cosB=bcosC. (1)求角B的大小 (2)若b=7,a+c=13且a>c,求a,c的值. 16.(15分) 如图，三棱柱ABC-A,B,C,中，侧面BB,CC是边长为2的菱形，其对角线的交点为O,且AB=AC,AB⊥B,C. (I)求证：AO1平面BB,CC; (2)设∠B,BC=60°，若直线AB与平面BBCC所成的角为45°，求平面AB,C与平面BCB所成角的正弦值 17.(15分) 大连麦凯乐商场的某潮玩店推出一款“球鞋盲盒”，店内共有nn∈N,n≥3款不同设计的限量版球鞋，每款球 鞋恰好有左脚和右脚各1只（全店共n双，2n只鞋）.盲盒包装完全相同，每购买一个盲盒可随机开出1只球鞋. 规定：若开出的球鞋中包含同一款的左脚和右脚，则可配对成为“一双”完整的球鞋。 (1)若该店共有=4款不同的球鞋。小明购买了3个盲盒（开出3只鞋），求小明未能配对成功任何一双球鞋 的概率； (2)若该店仍有=4款不同的球鞋.小强购买了4个盲盒（开出4只鞋）.设小强配对成功的球鞋双数为X, 数学试卷·第3页（共4页） 求随机变量X的分布列以及数学期望E(X): :GD=2:1, (3)随着盲盒爆火，店长扩大了规模，店内现共有n=50款不同的球鞋，超级VIP客户老李一口气购买了2m 个育盒1≤m≤50且m∈N）.设老李配对成功的球鞋双数为y,若老李希望自己配对成功的球鞋双数的数学期 望不低于10双，求他至少要购买多少个盲盒？（但知E(X+Y)=E(x)+EY》 18.(17分) 已知函数f(x)=e-asinx-bcos(a,beR). (1)若a=1,b=1,求曲线y=f(x)在点(0，f0》处的切线方程； (2)若a+b=1且1<a<2,证明：f(x)在区间(0，n)内有且仅有一个极小值点： BC. (3)是否存在实数a,b,使得对任意x≥0，恒有fx)≥0？若存在，求出a+b的最大值，若不存在，请说明 理由。 好 19.(17分) 已知抛物线C:x2=6y的焦点为F,准线为l. (1)设过定点T0,t)且斜率为k的动直线l与C交于不同的两点A,B.已知在l上存在唯一点Q,使得 QA1QB,求出实数t的值，并求出Q的坐标（用含有k的代数式表示）： (2)过定直线y=6上的一点N做三条直线，这三条直线分别与C相交于不同的三个点D,E,F,且这三条直 线分别垂直于C在这三点处的切线， 球 ①证明：△DEF的重心G为一个定点，并求出该点的坐标； ②证明：△DEF的外接圆必过原点O0,0)· 鞋 （注：若一元三次方程Ax+Bx2+Cx+D=0(A≠0)的三个实数根分别为，x2,x,则 为+名+为=8 A 数学试卷·第4页（共4页） 辽东十一所重点高中联合教研体2027届高三摸底考试 参考答案 选择题： 题号 10 11 答案 B AC BD ABC 填空题： 12.y=(4lm2-4)x-8ln2+4 13.分 14.号 解答题： 15.(13分) 解： (1) 在△ABC中，由正弦定理=品=C, 可将原等式(2a一c)cosB=bcosC转化为： (2sin A-sinC)cos B=sin Bcos 展开并移项整理得： 2sin A cos B=sin Bcos C+sin Ccos B 2sin Acos B=sin(B+C) .4分 因为在△ABC中，A+B+C=T,所以sin(B+C)=sinA。 又因为A∈(0，x),所以sinA卡0。 代入上式得2 sin Acos B=sinA,解得cosB=号 5分 因为B∈(0，π)， 所以B=号。 .6分 (2) 由(1)可知B=芳。 根据余弦定理b2=a2+c2-2acc0sB, 将b=7,B=三代入得： 49=a2十C2a08分 又因为已知a+c=13,将其两边平方得： (a+c2=a2+c2+2ac=169 10分 两式相减（即用a2+c2+2ac=169减去a2+c2-ac=49)可得： -1- 3ac=120→ac=40 11分 联立方程组厂0+c=13 ac=40￥ 得仁化 …12分 因为已知a>c, 所以a=8,c=5。 16.(15分) 13分 (1)证明： 因为侧面BB1CC是菱形，所以其对角线互相垂直且平分， 即B1C⊥BC1,且O为BC1的中点. 又因为已知AB⊥B1C,且ABn BC1=B,AB,BC1C平面ABC1, (2分) 所以B1C⊥平面ABC1.… 因为AOC平面ABC1,所以B1C⊥AO. …(4分) 在△ABC1中，因为AB=AC,且O为BC1的中点， (5分） 所以AO⊥BC1. 因为B1C∩BC1=O,B1C,BCC平面BB1C1C, (6分) 所以AO⊥平面BB1C1C. (2)解： …(7分） 由(1)可知AO⊥平面BB1C1C,O为垂足， 因为A1B1‖AB,所以直线A1B1与平面BB1C1C所成的角等于直线AB与平面BB1C1C所成的角 因为BO是AB在平面BB1C1C上的射影， 所以∠ABO即为直线AB与平面BB1C1C所成的角，故∠AB0=45°.…(9分) 在菱形BB1C1C中，因为∠B1BC=60°且边长为2， 所以△B1BC为等边三角形，可得B1C=2,OC=1. 在Rt△OBC中，OB=VBC2-OC=V22-12=V. 在Rt△AOB中，因为∠AB0=45°，所以A0=OB=V3.… (10分) 以0为坐标原点，分别以OC,Od,0A的方向为c轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系0-、 则00,0,0)，B(V3,0,0),C(0,1,0）,A(0,0,V3). ,（11分) 可得Bd=(-V3,1,0),BA=(-V3,0,V3)… （12分】 设平面ABC的法向量为元=(x,出，2列， 则元，BG=-Vx+y=0 (元.BA=-V3x+V3z=0 令x=1,得y=V5,之=1，故元=(1，√月，1)… 9,（13分） 易知平面B1C1B(即平面BB1C1C)的-个法向量为元=(0,0,1). -2 设平面ABC与平面B1C1B的夹角为0， 设Y 则cos0=im 1 三三444，（14 /12+3)2+12×1 (14分) 若第 从而sin0=V1-cos20=V1-}=29 老李 对于 由于三棱柱中平面A1B1C1‖平面ABC, 98 所以平面A1B1C1与平面B1CB所成角的正弦值为25 (15分) 因此 17.（15分) P( () 将红 该店共有n=4款不同的球鞋，即全店共4双8只鞋。 P( 小明购买了3个盲盒，即从中随机抽出3只鞋，所有的抽取方法总数为C3=56种。…(1分) 小明未能配对成功任何一双球鞋，意味着抽出的3只鞋分属3款不同的设计。 的 分步考虑： 首先，从4款设计中选出3款，方法数为C: E 其次，对于选出的每一款，都可以是左脚或右脚（每款2种选择），方法数为23。…(2分) 令 故未能配对成功的方法总数为C×23=4×8=32种。…(3分) 2 设小明未能配对成功任何一双球鞋"为事件A,则： P(A)=器=A 答：小明未能配对成功任何一双球鞋的概率为号。…(4分)】 (2) 小强开出4只鞋，从8只鞋中任取4只，方法总数为Cg=70。 随机变量X(配对成功的球鞋双数)的可能取值为0,1,2。… (5分) ·当X=0时，4只鞋分属4敌不同设计：PX=0)=笔=兽=贵 。当X=1时，恰有1款配对成功2只)，另2只分展其余3款中的2款：P(X=1)-CxC2=片=器 C ·当X=2时，恰有2款配对成功：P(X=2)=等=音=品 (注：求出以上三个概率中的任意两个即可得1分》… (6分)】 随机变量X的分布列为： X 0 2 p 器 品 男事agn4年年年年房en非车：0车e年Fa卡e4卡0非0生4导0年1用0非0：年中：：4 …(7分） 其数学期望为： E(X)=0X嘉十1X装+2X希=器=号. (9分) (3) 此时店内共有n=50款不同的球鞋，总计100只鞋。老李购买了2m个盲盒。 3- 设Y(=1,2,.,50): 若第i款球鞋配对成功，则Y=1;若未成功，则广=0。 老李配对成功的总双数Y=十Y2十…+y0。…(10分) 对于特定的第i款球鞋，配对成功意味着在抽出的2m只鞋中，包含了这一款的左脚和右脚(2只)，其余2m一2只鞋从剩下的 98只中任意抽取。 因此其概率为 P(Yi=1)=xC- .（11分) C100 将组合数展开化简： P(X=1）=m2=22m-》 Tam)(100-2m 100×99 由于X只取0和1，故E(Y)=P(Y=1)=mm- 9900 0…(12分） 由题目提示E(X+Y)=E(X)+E(Y),可知期望具有线性性质，故： E(1)=50×E(Y)=50×2m2m-业=m2m- 9900 99 …(13分） 令EY)≥10，即m2m-1≥10，解得： 99 2m2-m≥990… (14分) 由于m为正整数， 当m=22时，2m2-m=22×43=946<990; 当m=23时，2m2-m=23×45=1035>990。 故满足条件的最小正整数m=23。 此时，老李购买的盲盒数量为2m=46个。……(15分) 18.(17分) (1) 当a=1,b=1时，f(x)=er-sinx-cosx. 故f0)=e0-sin0-cos0=1-0-1=0, 即切点坐标为(0,0).… …(1分）》 对f(x)求导得： f(E）=e-C0S化十SinZ.(2分） 所以切线的斜率k=f'(0)=e0一c0s0十sin0=1一1十0=0.…(3分) 故切线方程为y-0=0·(x一0)，即y=0. 答：曲线到=f(x)在点(0，f(0)》处的切线方程为y=0.… (4分) (2) 因为a+b=1,所以b=1-a. 代入解析式得f(x)=e-asinx一(1-a)cos. 对f(x)求导，得其导函数： f'(x)=e2-ac0sx+(1-a）sinZ… (5分) -4 设g(a）=f'(x),则其二阶导数： g/(2x）=e2+asinz十(1-a）c0s.(6分） 下面将区间(0，T)分为(0，]和（竞，）两部分来论证g(x)的符号： ①当x∈(0，]时： 因为x>0,所以e>1. 因为1<a<2,所以a>0且1-a<0. 由于x∈(0,5]，有simx>0且cosx≥0. 所以asin x>0. 对于余弦项，因为cosx≤1且1一a<0,所以(1-a)cosx≥(1-a)×1=1-a. g'(x)=e*+asina +(1-a)cos>1+0+(1-a)=2-a. 因为Q<2,所以2-Q>0,即g(x）>0.…(7分） ②当x∈（受，）时 因为x>受，所以e>ei>1. 由于x在第二象限，sinx>0且cosx<0. 所以asinx>0. 因为1-a<0且cosx<0,所以(1-a)cosx>0. 此时g(x)中的三项e,asin x,(1-a)cosx均严格大于0， 从而g(x)>0. 综合①②可知，对于任意x∈(0，π)，均有g(x)>0恒成立， 这说明f'(x)在区间(0，T)上单调递增.… (8分) 又因为f'(0)=e0-acos0+(1-a)sin0=1-a<0(由a>1得到)， 且f'(T）=e-ac0sT十(1-a）sinπ=er十a>0.(9分】 根据零点存在性定理，由于∫'(2)在(0，π)上连续且单调递增， 故存在唯-的x0∈(0，π)，使得∫'(x0)=0. 当x∈(0，xo)时，f'(x)<0,f(x)在(0，xo)上单调递减； 当x∈(ao,π)时，f'(x)>0,f(x)在(xo,π）)上单调递增. 所以f(x)在区间(0，T)内有且仅有一个极小值点x0.证明完毕.…(10分) (3) 存在 若对任意x≥0，恒有f(x)≥0成立， 则当取特殊值父=牙>0时，必然有f(牙)之0..（11分) 即f()=ei-asin牙-bcos景=e子-号a-要b≥0. 化简得：妥(a+)≤e子， 从而解得a十b≤√2e子. (12分) 5- 下面构造参数证明当Q+b=√2于时，恒有f)≥0成立，从而说明该最大值是可以取到的. 取a=V2e子，b=0,显然此时满足a十b=V2et.…(13分) 此时f(ax)=e'-V2 et sin z. 则f'(r)=e-V2ecos,f"()=e2+V2 e sin.…（14分) 当x∈[0，时，sinx≥0且e>0,故f"(x)>0,f'(x)在0，上单调递增 注意到f'()=e普-V2e导×=0， 所以当x∈0，吾)时，f'(ax)<0,f(x)单调递减； 当x∈（符，时，f'(x)>0,f(x)单调递增。 因此，在区间0，上，f(x)的最小值为f()=e子-V2c子si牙=0. 所以当x∈0，时，有f(x)之f升牙)=0.…。 当x∈(r,+oo)时，由于sinx≤l且er>e, …（16分） 有f(x)≥er-V2e景>er-V2e. 因为π>3，且√2<e.5,e<e0.8,故V2e<el3<e3<e 所以当x>π时，f(x)>er-e1.3>0. 综上所述，当a=V2e号，b=0时，对任意x≥0，恒有f(x)≥0. 存在满足条件的实数a,b,且Q十b的最大值为√2e子.…《17分) 19.(17分) (1) 抛物线C:x2=6y的准线l的方程为=一号.…。 ,(1分)》 设动直线1的方程为y=kx+t.设A(21,1）,B(x2,2), 联立方程组： ∫y=kx+t x2=6则 消去y得：x2-6kc-6t=0, 由△=36k2+24t>0得3k2+2t>0. 根据韦达定理：x1十x2=6k,x12=一6t.…(2分) 设准线l上的点Q的坐标为(x0,一号)】 因为QA1QB,所以QA.QB=0. 即(1-0)(x2-2x0）+(1+号)2+是)=0..(3分) 展开得：x1x2-x0(c1+x2)+x6+12+是(1十2)+是=0. 因为欢=号·普===只， 且1十=k(x1十2）+2t=6k2+2t.… …(4分） 将上述结果代入向量内积表达式得： -6t-6kx0+x号+t2+号(6k2+2t)+号=0 -6- 整理得：x子-6kx0+9k2+t2-3t+号=0， 配方得：(0-3K)2十（化-号）2=0.(5分》 因为x0,太，t均为实数，所以上式成立当且仅当： ∫x0-3k=0 t-是=0 解得t=号，且x0=3k (此时△=32+3>0恒成立，符合题意) 故实数t的值为号，Q的坐标为(3k,一多)… (6分） (2)①证明及解： 设直线y=6上的定点N坐标为(n,6). 设抛物线C上任意-点P(0,0),其中0=号(c0≠0. 由y=若求导得y=青 故抛物线在点P处的切线斜率为号，从而法线的斜率为一头.…(7分) 过点P的法线方程为y一要=一头口-0)。 因为该法线过定点N(n,6),代入得： 6-号=-n-0) 两边同乘6x0并整理得：-18x0-18m=0.… …(8分） 由题意，该方程对应三个不同的实数点D,E,F,故上述关于x0的三次方程有三个不同的实数根，设分别为x1,x2,工3， 根据一元三次方程根与系数的关系得： Z]十D2tT3=0.…(9分） x1x2+x2x3+D3x1=-18. 设△DEF的重心G的坐标为(cG,G),则： xG=++=0. 3 6=g地=4早±星-拉.0分 3 18 因为x+x号+x号=(x1+E2+x3)2-2(x1x2+x23+x3x1)=02-2×（-18)=36. 所以G=普=2， 故△DEF的重心G为定点，其坐标为(0,2).…(11分) (2)②证明 设过D,E,F三点的外接圆方程为x2十y十Q心十y十C=0.… (12分) 联立外接圆与抛物线方程： ∫x2+y2+ax+by+c=0 x2=6y 将x2=6y代入圆的方程，消去x2的一次项（即x2本身，不改变y): 6y+y2+ax+by+c=0=2+(b+6)y+ax+c=0. -7- 再将划=若代入上式得： 需+(b+6)若+ax+c=0 两边同乘36整理得一元四次方程： x1+6(b+6）)x2+360.x+36C=0.…(14分）】 因为点D,E,F既在抛物线上又在圆上，故1，x2,x3必定是该-元四次方程的三个实数根。 设该方程的第四个实数根为x4: 根据一元四次方程根与系数的关系（韦达定理），由于3的系数为0，则四根之和： 21+x2+X3十T4=0..(15分） 由第①问已知x1十x2+x3=0, 所以解得x4=0.… (16分 既然x4=0是该四次方程的一个根，代入四次方程可得36C=0,解得c=0. 当c=0时，外接圆的方程化为x2+y2+ax+by=0. 显然，坐标(0,0)满足该圆的方程。 故△DEF的外接圆必过原点O(0,0)。证明完毕。…。 …（17分) -8-