辽宁省鞍山市部分普通高中2026-2027学年高三上学期9月一模学情调研数学试题

2026-2027学年度上学期高三9月一模学情调研 数学试题 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前务必将自已的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题 纸规定的地方。 3.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试 卷纸上答题一律无效 4.考试结束后，只需上交答题卡和答题纸， 第I卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的， 1.(1+5i)i的虚部为( A.-1 B.1 C.-i D.i 2.已知集合A=xVx-1≤，B={x2x<3},则AUB=( ) B.（-0,2] D.[1,2] 3. 已知向量a,5满足a=(cos0,sin0),=l,且a与6的夹角为60°，则a+26为() A.7 B.√21 C.√7 D.21 4.已知双曲线等茶=>0b>0的一条渐近线斜率为2，且焦距为25，则该双曲线方程为 ) 4 .号5 5.已知圆台下底面的半径为上底面半径的2倍，高为2，母线长为√5，则这个圆台的体积为 ( A. C. 6.将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其 中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有() A.54种 B.36种 C.27种 D.18种 试卷第1页，共4页 7.已知cs(a-)-}sinasin则eos(2a+2)=(） B.4 c.2 D.为 8.已知函数y=f(x)的定义域为R,且对于任意实数x,y,都有f(x+y)=f(x)+f(y),若函 数g(s)++f四在定义域内的最大值为M,最小值为m,则M+m=() x2+16 A.0 B.2 C.1 D.4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9已知实数a,b,c满足a>b>c>0,则下列不等式正确的有（) a台8 B.atezab c a b a C.bacb>cab D.ab-ba>c 10.已知数列{a}是首项为1，公差为2的等差数列，数列{b}满足bn=2,下列说法中正确 的有() A.a=2n-1 B.{bn}是公比为4的等比数列 C.数列{a2n}是首项为2，公差为4的等差数列 D.bbn24=b2k对任意正整数n,k均成立 11.已知圆C:x2+y2-10x+13=0,抛物线W:y2=4x的焦点为F,P为W上一点，则下列 结论正确的有() A.存在点P,使△PFC为等边三角形 B.若Q为C上一点，则PQ的最小值为1 C.若PC=4,则直线PF与圆C相切 D.若以PF为直径的圆与圆C外切，则|PF=12-6V3 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若实数a+1,√6a,3成等比数列且a>0,则a的值为 13.已知动点P(x,)满足5V(x-1)+(y-1)2=3x+4y-7,则动点P的轨迹是 (从“直线，圆，椭圆，双曲线，抛物线”中选一个作答) 试卷第2页，共4页 1og2x,0<x<2, 14.己知函数f(x)= 2+x≥2 3 若关于x的方程∫(x)-m=0有三个不同的实根x,5,飞， 且<<名，则)+希的取值范国是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤， 15.(13分)在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 b-cb-a sin A+sin B sinC c=2. (1)求角A的大小： (2)求b的取值范围. 16.（15分)如图，已知四边形ABCD是直角梯形，AD‖BC,∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD, SA=AB=BC=2AD,E是CS的中点. (1)证明：DE⊥SB, (2)求直线AB与平面SCD所成角的正弦值. 17.(15分)2026年大学毕业生预计约1270万人，同比增加48万人，就业压力剧增。甲、 乙两名大学生去一家大型国有企业应聘，需通过笔试和面试两个环节才可以顺利签约。已知 规则如下：笔试环节共有A、B、C三道题，回答正确两道及以上方可通过笔试，甲、乙两名 大学生只有一次机会，已知甲答对A、B、C三道题的概率分别是影、吉京乙答对A、B、C 三道题的概率均为，笔试通过后才可以参加面试。面试要回答D、E两道题，全部答对方可 通过面试环节，已知甲、乙两名同学面试环节回答D、E两个问题正确的概率均为（假设每 个环节的每个问题回答正确与否是相互独立的)。 (1)求甲同学此次应聘顺利签约的概率； (2)设经过此次应聘，甲、乙两名同学最终签约的总人数为X,求X的分布列和期望。 试卷第3页，共4页 817分》在牛同直狗坐标系0中，已知精同C号+若-0>06>0复销的两个顶点 与右焦点的连线构成等边三角形，二=4 3 Q (1)求椭圆C的标准方程； (2)直线：y=kc+m(k>0,m≠0)与椭圆C交于P,Q两点，设直线OP,OQ的斜率分别为 k,k2.已知k=kk2: ①求k的值： ②当△OPQ的面积最大时，求直线PQ的方程. 19.(17分)已知函数f(x)=xe-a(e2x-1),a∈R. (1)当a=0时，求曲线f(x)在点(0，f(0)处的切线方程： (2)若f(x)存在两个极值点m,n,且m<n. (i)求实数a的取值范围： (ii)已知函数f(x)有三个零点，分别记为x,x2,x,证明：f(m+n)>f(x+x2+x) 试卷第4页，共4页2026-2027学年度下学期高三9月一模学情调研 数学学科答案及评分细则 一、单选题：1-5 BBCBC 6-8 DDB 二、多选题：9.ABC10.ABD 11.ACD 三、填空题：12.113.直线 14. 四、解答题 15.(本题满分13分) 解：(1)由 b-c =b-a sin 4+sin B sin C 和正弦定理，可得b-S-b-a a+b c )2分 去分母得b2-a2=bC-c2,即b2+c2-a2=bC4分 由余弦定理，可得osA+C-a=C云又AE0,π列，所以1=…6分 2bc 2bc 2 （2)由正弦定，可得6-csim8_2simk-+012sin(+0 3 sinC sin C sin C 3(3 (cosC+sin C) 3cosC+sinC3 10分 sin C sin C tan C 0<C< 因为三角形为锐角三角形，所以 2 6 2 .11分 0< 2ππ6下C< 3 2 则amc>5,则0<5 <3,故b∈(1,4) ….13分 3 tanC 扣分点：1.正弦定理边角互化错误，0分。 2交叉相乘、移项整理等式出错，扣2分； 3.余弦定理公式写错，扣2分： 4.cosA算对，角度算错，扣1分； 5.未写A∈(0，π)角度范围，扣1分： 6.只有答案无推导过程，只给2分结果分。 7.不会内角和替换，扣2分 8两角差正弦展开错误，扣2分 第1页共8页 9漏掉锐角约束，角度范围错误，扣1分 10.正切单调性分析错误，范围算错扣2分 11.区间开闭写错，扣1分 12.只写最终答案，无推导，最多给2分结果分 13.过程正确，答案抄写笔误扣1分 通用阅卷说明 1.其他解法，逻辑严谨，结果正确同等给分： 2.思路正确，仅计算笔误，扣1-2分： 3.关键步骤跳步，缺少推导，扣除该步骤对应分值： 4.总分合计：6+7=13分。 16.(本题满分15分) 解：(1)以A为原点，AD,AB,AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间 直角坐标系，… .1分 不妨设AD=a,则SA=AB=BC=2a,2分 则A0,0,0）),B(0,2a,0）,C(2a,2a,0),D(a,0,0),S(0,0,2a),E(a,a,a)4分 DE=(0,a,a）,SB=(0,2a,-2ad）,5分 则DE.SB=2a2-2a2=0,. 6分 所以DE⊥SB. 7分 (2)在平面SCD中，DC=(a,2a,0),SC=(2a,2a,-2a),AB=(0,2a,0）.8分 nDC=0 设平面SCD的法向量为=(x,y,z),则 n.SC=0 ).10分 [ax+2y=0 即 (2ax+2ay-20z=0' 所以 22，令y,则2三l,x=2,所以万=(2,1,012分 cos AB,n= AB.n-2a√6 AB2ax√66 …13分 故直线B与平面SCD所成角的正弦值为答l5分 扣分细则 1.赋值a=1计算，坐标、向量全部正确，同等得分；法向量取非零倍数不扣分。 2.坐标写错1-2个扣1-2分，扣完本小问分值为止。 第2页共8页 3.公式概念错误：混淆线面角扣2分。 4.思路正确，单纯计算笔误扣1-2分。 5.只写最终答案无推导，第(2)小问最多得2分。 6.几何法证明，逻辑严谨结果正确，同等给分：逻辑断裂按步骤酌情扣分。 17.(本题满分15分) 解：(1)甲答对2题概率：子口+1+1-品++品品子2分 甲答对3题概率：方写∵4=……… 3分 六甲笔试通过概率P:=+-名 4分 面试通过概率P2=(P=子.甲签约概率P=P×P2=乙×= 7 17 24 496 5分 (2)(10分)乙笔试：每题正确概率子，需答对至少2题， P2=C护+护=3×+后月 …7分 乙面试通过概率手·乙签约概率Pz= n8分 记X为签约人数，则 PX=0=1-61-)=2×=聪 968768 9分 PX=2)=2x 1 96 8768.10分 PX=1=1- 623713823 768 =768128 11分 分布列为： 0 1 2 623 23 P 768 128 768 13分 期望E)=0×0+1×品 +2×7和18+7+7 7 2314-138,14-152-19 =768 96 .15分 扣分细则 第3页共8页 1.分类不全，漏掉其中1种答对2题情形，扣2分：漏掉2种，本小问最多2分。 2.每处概率计算错误扣1分；思路对，单纯计算笔误扣1分。 3.忘记乘面试概率，直接输出笔试概率，扣3分。 4.只写答案，无任何分类计算过程，最多给2分结果分。 5.列式正确，最后结果分数未约分，扣1分。 6.没有表格，只罗列三组概率，扣1分：分布列概率之和不为1，扣1分。 7.期望公式写错扣1分；使用可加性直接求期望，不写分布列不能得分，必须写出分布列。 8.思路全部正确，单纯计算笔误扣1-2分。 9.只写分布列、期望答案，无推导过程，本小问最多给2分。 通用阅卷总规则 1.独立事件、互斥事件逻辑错误，对应步骤直接0分： 2.跳步：关键分类、关键公式缺失，扣除该步骤对应分值。 18.（本题满分17分) 解：(1)设椭圆的焦距为2c,则c2=a2-b2 因为短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，所以C=√3b.…2分 =4y5,所以a=2,b=1,… 3 3分 所以椭圆C的标准方程为。+广-1 4分 4 y=kx+m, (2)①设P(x,),(x,2),联立x2 +y2=1, (4 消去y得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,… 5分 △=64k2m2-44k2+1)(4m2-4)>0,化简得m2<4k2+1, -8km 所以名+五=4k2+7' 4m2-4 -4k2+1 )7分 又0P的斜率k=-上，00的斜率k,=立 X 所以k2=kk2=业=+mc,+m_x5+m(x+x)+m2 ,化简得 X X2 Xx2 XX2 第4页共8页 km(x+x2)+m2=0, …… 9分 -8km 所以km 4k2+1 +m2=0.又因为m≠0，即4k2=1,又k>0,所以k= 11分 ②由@得女=方直线PQ的方程为y号x+m,且+名=-2m,=2m-2, m2<2 12分 又m≠0，所以0<m<√2.所以 Po-V:)+1 2Vx+)P-4x=5.V2-m2,13分 点O到直线PQ的距离d V+ 14分 所以Sa00=P0d=V52-m.后m=Vm22-m西≤4名m的=1，…15分 2 当且仅当m2=2-m2,即m=士|时，16分 △OP的面积最大，所以，直线P的方程为y=。x士117分 2 扣分细则 1.几何条件翻译错误，扣1-2分： 2.公式列式正确，单纯计算错误扣1分： 3.只写最终椭圆方程，无推导过程，本小问最多1分。 4.弦长公式、点到直线距离公式写错，对应步骤扣1分： 5.基本不等式没有写取等条件，扣1分： 6.只算出m=1,漏掉m=-1,漏写一条直线扣1分： 7.①中k算错，但②后续列式、方法逻辑正确，可给1分： 8只写最终直线方程，无推导，本小问最多1分： 通用评卷总规则 1.关键等式、关键公式跳步缺失，扣除该步骤对应分值； 2.严格按采分点给分，部分对部分给，不全不得该点全分。 19.(本题满分17分) 解：(1)当a=0时，f(x)=xe,则f'(x)=(x+l)e, 所以f'(0)=1,又f(0)=0, 第5页共8页 故函数f(x)在点(0，f(O)处切线方程为y=x. ..4分 【小间2详解】(i)因为f'(x)=e(1+x-2ae),e>0恒成立，令(x)=1+x-2ae,·由题 知f(x)存在两个极值点m,n,等价于(x)=1+x-2ae*存在两个变号零点m,n.5分 因为2'(x)=1-2ae,则当a≤0时，2'(x)>0,2(x)单调递增，此时(x)最多一个零点，不 合题意； 6分 当a>0时，令(x)=0,得x=n1, '2a 当xea,na)时，>0，在区间oha 上单调递增， 当xe如石+时，水0，A在区间（石+树上单调道减 题得以=A如加2石>0，解得0<a< 8分 当0<a<.时，因为2(-1)=-2ae'<0,2(0)=1-2a>0,由零点存在性原理及函数的单调 性知当x(。加时，存在啡一me(ha)使得=0，令H=e-e(>0。 则H'(x)=e-e,当x∈(0，)时，H'(x)<0,当xe(1,+o)时，H'(x)>0,·即 H(x)=e-x(x>0)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，+o)上单调递增， 所以H(x)≥H()=0,即e≥ex,当且仅当x=1时取等号，·则e2≥ex,所以当x>0时， c'er >x2, 4 则当x>0时，(x)=1+x-2ae*<1+x-2ax2,所以 +1++力2a1+a=2<0,出些点存在性原型及的数的单调性知，当 云树片，在壁-岩+动 使得(x)=0, 综上所述，实数a的取值范围为0<a< 10分 第6页共8页 (i)由(2)知f(x)在区间(-o,m)上单调递减，在区间(m,n)上单调递增，在区间(n,+∞)上 单调递减，且-1<m<0<n,又f(0)=0,不妨设x<x2<x,显然x2=0, 又f()=xe-a(e24-)=0,且f(-x)=-xe4-ae24-)= xe-a(e-)-0,则 e25 -x=x,即x+x=0,所以x++x=0,则要证f(m+n)>f(x+x2+x)=f(0)=0,只 需证f(m+n)>0. ..12分 因为2(x)=1+x-2ae*存在两个变号零点m,n,所以{ 1+m-2ae"=0 1+n-2ae"=0 得到2a=1+m_1+n em e” 令p-1女.则p)=p.又p:是 所以p()1在(-∞，0)上单调递增，在(0，+m)上单调递减，且有-1<m<0<m,…14分 构造函数F(x)=p(x)-p(-x),x∈(-l,0), 因为F'(x)=p'(x)+p'(-x)=x(e-e)>0,所以F(x)在(-l,0)上单调递增， 又F(0)=0,所以F(m)=p(m)p(-m)<0,即p(m)<p(-m), 所以p(n)=p(m)<p(-m), 又因为-m>0,1>0,且p()-1在(@+m)上单调适减 则n>-m>0>m,所以0<m+n<n, 又因为.f(x)在(m,n)上单调递增，所以f(m+n)>f(0)=0, 故f(m+n)>f(x+x2+x). 17分 扣分细则 1.导数求错扣1分： 2.切点纵坐标算错扣1分： 3.只写最后切线方程，无求导计算过程，本小问最多1分： 4.没有对参数a分类讨论，直接求单调性，扣2分： 5.极大值条件列式正确，但计算出错扣1分： 6.只写答案，没有单调性、零点分析，本小问最多1分： 7.没有阐述f(x)在(m,n)的单调性，直接下结论，扣2分： 8.跳步严重，关键逻辑缺失，扣除对应采分点分值： 第7页共8页 9.只写结论，无任何推导，本小问0分。 通用评卷总规则 1.分类讨论缺失情况，扣除该部分对应采分； 2.关键等式、关键构造函数不能直接跳过，跳步扣除该步骤分值： 3.部分对部分给，达不到该采分点完整逻辑，不给该点满分。 4.此题步骤过多，可酌情更改细化分数。 5.(i)问可参变分离更简单 第8页共8页