5.3一元一次方程的应用 题型分类解答题专题训练2026-2027学年北师大版数学七年级上册

**基本信息** 按日历、工程、古代问题三大情境分类，通过基础表示、综合应用到拓展探究的三阶分层，构建一元一次方程应用的完整巩固路径，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解层|日历数规律、工程基本量、古代问题直接翻译|T形框数的代数式表示（数学眼光）| |综合应用层|多量关系、实际限制条件、复杂等量关系|工程配套问题（运算能力与推理意识）| |拓展探究层|跨情境迁移、问题提出与解决|古代问题自主提问（模型意识与应用意识）|

5.3一元一次方程的应用 题型分类解答题专题训练 一、日历问题 1．下方左图是年1月的月历，用如图所示的“T”字形框在月历中任意框出4个数（框中的数没有空白），如右图，设“T”字形框中的4个数分别为a、b、c、d．      (1)若，则________；若，则________； (2)在移动“T”字形框的过程中，小明说被框中的4个数之和可能为，你认为他的说法对吗？请说明理由． 2．如图，表中给出的是某月的月历，选取“凹”形框中的五个数（如阴影部分所示）．若将“凹”形框上下左右移动，按同样的方式框住另外的五个数． (1)若“凹”形框框住的上行的两个数之和比下行的三个数之和小，求“凹”形框框住的五个数； (2)“凹”形框框住的五个数的和能否为？若能，求出其中的最小数；若不能，说明理由． 3．如图1是2025年11月的月历，数学老师在数学活动课上开展月历中的数学活动． (1)用图2框出图1中的7个数，设中间的数为x，则这7个数的和为________（用含x的式子表示）； (2)若这7个数的和为126，则这7个数中最大的数是多少； (3)这7个数的和是否有可能是168？若有可能，求出这7个数；若不可能，请说明理由． 4．如图1是2025年11月份的月历，用形如X形框覆盖月历中的日期数，每次同时覆盖5个数． (1)图1中X形框覆盖的5个数的和能等于50吗？若能，求出这五个数中最小的数；若不能，请说明理由； (2)图2是2025年12月份的月历，用同样的X形框能覆盖的五个数的和的最大值是多少？ 5．下图给出某月的日历表，“X”型框中有5个数，设这5个数中间的数为． (1)用含的代数式表示其余4个数为_____、_____、_____和_____； (2)用“X”型框任意框5个数．对于这5个数的和，小明的计算结果有，，，60，小华说有结果是错误的．请通过计算，说明小明的计算结果中哪些是错误的？ (3)若“X”型框中5个数的和不小于110，试求可能取的值． 6．如图，这是一张2026年1月的月历表．在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4个数（如2，3，9，10）． (1)若圈出的4个数中最小的数为x，则最大的数为________．（用含x的代数式表示） (2)在小组活动中，小丽通过计算，得到框出的4个数之和为45．小颖认为小丽一定算错了．小颖的说法正确吗？说明理由． (3)若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数． 二、工程问题 7．某车间生产一批螺钉和螺母，由一个人操作机器做需要200h完成． 现计划由一部分人先做4h，然后增加5人与他们一起做6h，完成这项工作． 假设这些人的工作效率相同． (1)求具体应先安排多少人工作？ (2)在增加人一起工作后，若每人每天使用机器可以生产个螺钉或个螺母，个螺钉需要配个螺母成为一个完整的产品，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ 8．一项工程，若由甲队单独做需要10天完成，若由乙队单独做需要20天完成． (1)若甲乙两队先一起施工5天，然后余下的工程由乙队单独完成，则乙队还需要几天能够完成任务？ (2)在（1）的条件下，若付给两个工程队的报酬按完成工作量的比例来分配，已知这项工程的总报酬为12万元，求甲队和乙队各得报酬多少万元？ 9．修一条路，甲、乙两队合作12天可以完成．如果甲队单独做8天后，再由乙队单独做3天，这时甲、乙两队共同完成了全部工程的．如果这条路由乙队单独修，那么乙队多少天可以修完这条路？ 10．某工厂需要生产一批设备，每套设备由一个部件和3个部件组装而成；若工厂每人每天只能生产同一种部件，每人每天平均生产部件的个数比部件的个数少6个，且每天6个工人生产部件的数量与5个工人生产部件的数量相同． (1)工厂每人每天平均生产部件和部件各多少个？ (2)现共有21名工人，应如何分配工人才能使每天的生产的部件和部件配套？ 11．为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运6趟可完成，需支付运费2400元．已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车少100元． (1)求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？ (2)若单独租用一台车，租用哪台车合算？ 12．工厂加工某种零件，经测试，单独加工完成这种零件，甲车床需用x小时，乙车床需用小时，丙车床需用小时． (1)单独加工完成这种零件，若甲车床所用的时间是丙车床的 ，求乙车床单独加工完成这种零件所需的时间； (2)加工这种零件，乙车床的工作效率与丙车床的工作效率能否相同？请说明理由． 三、古代问题 13．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是；有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，求此人第一和第六这两天共走的路程． 14．我国古代对于利用方程解决实际问题早有研究，《九章算术》中提到这么一道“以绳测井”的题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这道题大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份去测，那么绳子会多出四尺；如果将绳子折成四等份去测，那么绳子会多出一尺．绳长和井深各多少尺？ 15．古希腊数学家丢番图的墓碑上记载着：他生命的是幸福的童年；再度过了生命的，他两颊长起了细细的胡须；又度过了一生的，他结婚了；5年后，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他全部年龄的一半；儿子去世后，他在极度痛苦中度过了4年，与世长辞了． (1)求丢番图去世时的年龄； (2)尝试提出其他问题并列方程解决． 16．《孙子算经》中记载了这样一道题：“今有百鹿进城，每家取一鹿，不尽，又三家合取一鹿，恰尽”．问：有多少户人家？大意为：有100头鹿，首先每户分一头鹿，发现还有剩余，将剩下的鹿给每3户分一头，恰好分完，问共有多少户人家？ 17．今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十．问：家数、牛价各几何？（选自《九章算术》） 题目大意：几家人合伙买牛，若每7家合伙出190钱，则差330钱；若每9家合伙出270钱，则多了30钱．家数、牛价各是多少？ 18．《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘：三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子，问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)， (2) 小明的说法错误， 理由：设b代表的数为m， 则 ， 解得， 此时，，，， 但是其位置不符合 “T”字形框， 故小明的说法是错的． 【分析】本题考查规律探索，列代数式，一元一次方程的应用，掌握月历中数的排列规律，利用规律表示数并建立方程是解决问题的关键． （1）根据月历中上下相邻数差7、左右相邻数差1的规律，用表示；再用同一字母表示a、b、c、d，结合和为列方程求解； （2）设未知数表示4个数的和，列方程判断解是否符合月历的数的范围． 【详解】（1）解：月历中，上下相邻数差7，左右相邻数差1， 若，则，故， 设，则，，， 由， 解得， 故． 答案：，； （2）略 2．(1)“凹”形框框住的五个数分别为13，15，20，21，22 (2) “凹”形框框住的五个数的和不能为，理由如下： 假设“凹”形框框住的五个数的和能为， 由（1）得 解得，不是正整数，不符合题意， 故“凹”形框框住的五个数的和不能为． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，涉及列代数式、整式的加减、找规律，正确表示“凹”形框中每个数据是解题的关键． （1）设“凹”形框左上角的数为x，根据“凹”形框数据规律用x表示出各数，根据题意列方程求解即可； （2）用（1）中的规律，让5个数的和等于67，然后解方程，看x是否正整数，再结合日历结构即可得出结论． 【详解】（1）解：设“凹”形框左上角的数为x，则右上角的数为，下行从左到右依次为，，， 根据题意，得， 解得，符合实际， 则“凹”形框框住的五个数分别为13，15，20，21，22； （2）解：略． 3．(1) (2)26 (3) 不可能，理由如下： 假设和为168， 则， 解得， 所以这7个数为： 而2025年11月只有30天， ∴不可能有32这个数字， 故这7个数的和不可能是168． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，整式的加减运算，列代数式，解题的关键是掌握日历中圈出来的7个数之间的关系． （1）根据日历可得，则另外6个数依次为，然后再相加化简即可； （2）结合（1）求出的值，再代入最大的数即可； （3）假设和为168，求出，即可得到这7个数，再根据日历的实际天数判断即可． 【详解】（1）解：∵中间的数为x， ∴根据日历可得，则另外6个数依次为， ∴这7个数的和为： ， 故答案为：； （2）解：由题意得，， 解得， ∴最大的数为； （3）解：略． 4．(1)能，这五个数中最小的数为 (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算的应用，一元一次方程与日历问题，掌握日历中的规律是解题的关键． （1）设中间的数为，则其它个数为、、、，列方程即可求解； （2）设中间的数为，则其它个数为、、、，当时，即可求解． 【详解】（1）解：能； 设中间的数为，则其它个数为、、、，由题意得 ， 解得， ， 这五个数中最小的数为； （2）解：设中间的数为，则其它个数为、、、， 2025年12月份最大的一天是号， ， 解得， ； 故用同样的X形框能覆盖的五个数的和的最大值是． 5．(1)、、、 (2)当计算结果是40时，中间数为8，左上角的数字在1的左侧，实际框住的只有4个数字（，，，），不符合题意；当计算结果是50时，，而10在日历中最后一列，不符合题意 (3)可能取的值为22和23 【分析】（1）结合图形，找出数字规律即可解答； （2）由题意建立方程求解x，再根据x的位置判断即可； （3）根据题意列不等式求解，再根据5个数中间的数不能是最后一列和最后一行的数，判断即可． 【详解】（1）解：用含的代数式表示其余4个数为、、和， （2）解：框住的5个数的和为， 当计算结果是40时，则， 解得， 中间数为8，左上角的数字在1的左侧，实际框住的只有4个数字（,,,），不符合题意； 当计算结果是45时，则， 解得，符合题意； 当计算结果是50时，则， 解得， 由图可知10在日历中最后一列，不符合题意； 当计算结果是60时，则， 解得，符合题意； （3）解：根据题意得：， 解得， 因为5个数中间的数不能是最后一列和最后一行的数， 所以可能取的值为22和23． 6．(1) (2) 小颖的说法正确，理由如下： 设圈出的4个数中最小的数为m，则其他三个数分别为， ∵框出的4个数之和为45， ∴， 解得：， 根据题意得：m为整数， ∴不符合题意， ∴小丽一定算错了，小颖的说法正确． (3)7 【分析】（1）根据月历表的特点列式即可； （2）设圈出的4个数中最小的数为m，则其他三个数分别为，根据题意列出方程，解方程即可得到答案； （3）设圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为，根据题意可得方程，解方程即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意得，圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为； （2）略 （3）解：设圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得或（舍去）， ∴这4个数中最小的数为7． 7．(1)人 (2)安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找出等量关系． （1）设应先安排人工作，根据题意得，即可求解； （2）设应安排名工人生产螺钉，名工人生产螺母，根据题意得，即可求解； 【详解】（1）解：设应先安排人工作， 根据题意得，， 解得：， 应先安排人工作； （2）设应安排名工人生产螺钉，名工人生产螺母， 根据题意得，， 解得：， ， 应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母． 8．(1)乙队还需要5天能够完成任务 (2)甲队的报酬为6万元，乙队的报酬为6万元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，掌握工程问题的数量关系是解题的关键． （1）设甲乙两队同时施工5天后，余下的工程乙队还需要x天能够完成任务，根据题意列方程求解即可； （2）根据题意分别算出甲乙两队工作量，由此即可求解． 【详解】（1）解：设甲乙两队同时施工5天后，余下的工程乙队还需要x天能够完成任务． 根据题意，列得方程． 解得． 答：乙队还需要5天能够完成任务． （2）解：甲队的工作量为，乙队的工作量为，（万元）， 答：甲队的报酬为6万元，乙队的报酬为6万元． 9．20天 【分析】本题主要考查了分数的四则混合运算的应用，单位“1”的应用，甲、乙两队合作12天可以完成这条路，把工作总量看作单位“1”，设甲队的工作效率为x，乙队的工作效率为，根据工作量工作效率工作时间，甲队单独做8天完成的工作量为，乙队单独做3天的工作量为，根据等量关系：“甲队单独做8天完成的工作量＋乙队单独做3天的工作量为”列方程求出甲队的工作效率，再用减去甲队的工作效率求出乙队的工作效率，再用总工作量除以乙队的工作效率． 【详解】解：甲、乙两队合作的工作效率为： 设甲队的工作效率为x，乙队的工作效率为． （天） 答：乙队20天可以修完这条路． 10．(1)工厂每人每天平均生产部件30个，部件36个 (2)每天应分配6名工人生产部件，分配15名工人生产部件，可使每天的生产的部件和部件配套 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键； （1）设工厂每人每天平均生产B部件x个，则每人每天平均生产A部件个，根据每天6个工人生产A部件的数量与5个工人生产B部件的数量相同，即可列出方程，解方程即可； （2）设每天应分配y名工人生产部件，名工人生产部件，可使每天的生产的部件和部件配套，根据B部件的数量=A部件数量的3倍，即可列出方程，解方程即可得. 【详解】（1）解：设工厂每人每天平均生产B部件x个，则每人每天平均生产A部件个， 根据题意可得：， 解得：， 则， 答：工厂每人每天平均生产部件30个，部件36个. （2）解：设每天应分配y名工人生产部件，名工人生产部件，可使每天的生产的部件和部件配套， 根据题意可得：， 解得：， 则， 答：每天应分配6名工人生产部件，15名工人生产部件时，可使每天的生产的部件和部件配套. 11．(1)甲车单独运完需9趟，乙车单独运完需18趟； (2)租用甲车合算 【分析】本题主要考查分式方程，一元一次方程的解实际问题，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设甲车单独运完此堆垃圾需运趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运趟，根据题意列分式方程求解即可； （2）设甲车每一趟的运费是元，由题意得列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲车单独运完此堆垃圾需运趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运趟，根据题意得出： 解得：， 经检验得出：是原方程的解， ∴， 答：甲车单独运完需9趟，乙车单独运完需18趟； （2）解：设甲车每一趟的运费是元，由题意得：， 解得：， 则乙车每一趟的费用是：（元）， 单独租用甲车总费用是：（元）， 单独租用乙车总费用是：（元）， ， ∴单独租用一台车，租用甲车合算． 12．(1)15小时 (2) 不相同， 理由：∵乙车床的工作效率与丙车床的工作效率相同，由题意得， ∴， ∴， ∴． 经检验，x＝1不是原方程的解， ∴ 原方程无解． 答：乙车床的工作效率与丙车床的工作效率不能相同． 【分析】（1）若甲车床需要x小时，丙车床需用小时，根据甲车床所用的时间是丙车床的，即可列出方程求解． （2）假设乙车床的工作效率与丙车床的工作效率相同列出方程，证明它无解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， 解得． ∴ (小时)． 答：乙车床单独加工完成这种零件所需的时间是15小时． （2）略 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，分式方程的应用，理解题意，确定相等关系列方程是解本题的关键． 13．198里 【分析】设第六天走的路程为x里，则第五天走的路程为里，依次往前推，第一天走的路程为里，根据每天的路程加起来为378里，列方程即可解答． 【详解】解：设第六天走的路程为x里，则第五天走的路程为里， 依此往前推，第一天走的路程为里， 依题意，得：， 解得：， ，（里）， 答：此人第一和第六这两天共走了198里． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确地用未知数表示每一天走的路程是解题的关键． 14．绳子长为36尺，井深8尺 【分析】设井深为x尺，则根据“将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺”即可列出方程求解. 【详解】设绳子长尺， 依题意得，解得， 所以． 答：绳子长为36尺，井深8尺． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键在弄清题意，找到等量关系并列出方程． 15．(1) 丢番图去世时的年龄为岁 (2) 丢番图结婚时的年龄是多少？岁 【分析】设丢番图的年龄为x岁，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设他去世时的年龄为x，根据题意，得 解得． 答：丟番图去世时的年龄是84岁． （2）解：提出问题：丢番图结婚时的年龄是多少？ 设丢番图结婚时的年龄是y， 则， 解得， 答丟番图结婚时的年龄是33岁． 16．共有75户人家 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键．设共有x户人家，根据“有100头鹿，首先每户分一头鹿，发现还有剩余，将剩下的鹿给每3户分一头，恰好分完”，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设共有户人家， ， 解得， 答：共有75户人家． 17．家数为126，牛价为3750钱． 【分析】设牛价为x钱，根据每7家合伙出190钱，则差330钱可知家数为，根据每9家合伙出270钱，则多了30钱可知家数为，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设牛价为x钱， 由题意得，， 解得， ∴， 答：家数为126，牛价为3750钱． 18．客人共有30位，盘子共有13个． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设共有x位客人，根据盘子的数量为定值，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设共有x位客人． 依题意，得，解得， 所以． 答：客人共有30位，盘子共有13个． 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