2.2.3 直线的一般式方程专项训练-福建省厦门外国语学校2023-2024学年高二上学期数学练习

厦门外国语学校2025届高二数学练习18: 直线的一般式 班级： 姓名： 座号： 一、单选题 1．直线过定点（ ） A． B． C． D． 2．已知直线经过点，其倾斜角与直线的倾斜角互补，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 3．若点和都在直线上，则点和l的关系是（ ） A．P和Q都在l上 B．P和Q都不在l上 C．P在l上，Q不在l上 D．P不在l上，Q在l上 4．直线，的方程分别为，，它们在坐标系中的位置如图所示，则（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．已知直线在轴与轴上的截距相等，则实数的值是（ ） A．1 B． C．或1 D．2或1 6．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(1，0)，B(0，2)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为（ ） A．4x＋2y＋3＝0 B．2x－4y＋3＝0 C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋3＝0 7．“”是“直线与直线相互垂直”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值（ ） A． B． C．6 D．3 二、多选题 9．如果，，那么直线经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．三条直线，，构成三角形，则的值不能为（ ） A． B． C． D．－2 11．下列说法正确的是（ ） A．直线必过定点（2，1） B．直线在轴上的截距为－2 C．直线的倾斜角为120° D．若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 12．已知直线，动直线，则下列结论错误的是 A．不存在，使得的倾斜角为90° B．对任意的，与都有公共点 C．对任意的，与都不重合 D．对任意的，与都不垂直 三、填空题 13．已知两点，，则线段的垂直平分线方程为__________． 14．已知线段PQ两端点的坐标分别为P(－1，1)和Q(2，2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是________． 15．若点在直线上，其中m，n均大于0，则的最小值为______. 16．点在动直线上的投影为点M，若点，那么的最小值为________. 四、解答题 17．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程. （1）斜率是，且经过点； （2）斜率为4，在轴上的截距为－2； （3）经过，两点； （4）在轴、轴上的截距分别是－3，－1. 18．在中，边上的高所在的直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，若点的坐标为. （1）求点的坐标. （2）求直线的方程. 19．已知直线： （1）求证：不论为任何实数，直线恒过一定点，并求出定点坐标； （2）过点作一条直线，使夹在两坐标轴之间的线段被点平分，求直线的方程. 20．设直线l的方程为（） （1）求证：不论a为何值，直线l必过一定点； （2）若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点，，当面积为12时，求的周长； （3）已知a为整数且直线l在两坐标轴上的截距也均为整数，求此时直线l的方程 厦门外国语学校2025届高二数学练习18: 直线的一般式答案 1．C【详解】直线方程可化为，由，解得， 因此，直线过定点. 2．A【详解】因为直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，直线的斜率为， 所以直线的斜率为，又直线过点，所以直线的方程为，即． 3．A【详解】因为点和都在直线上，所以， 易知且，则，则，化简得， 所以点在直线l上，因为，所以在直线l上. 4．C【详解】由题图，可知直线的斜率大于0，其在轴上的截距小于0，所以，即； 直线的斜率大于0，其在轴上的截距大于0，所以，即. 又直线的斜率大于直线的斜率，即，所以. 5．D解：由题意知，令得，令得，所以直线在轴与轴上的截距分别为，，由，得或． 6．B【详解】因为AC＝BC，所以欧拉线为AB的中垂线，又A(1，0)，B(0，2)，故AB的中点为，kAB＝－2，故AB的中垂线方程为y－1＝，即2x－4y＋3＝0. 7．A【详解】因为直线与直线相互垂直，所以， 所以.所以时，直线与直线相互垂直，所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分条件；当直线与直线相互垂直时，不一定成立，所以“”是“直线与直线相互垂直”的非必要条件. 所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分非必要条件. 8．C【详解】直线可整理为，故恒过定点，即为A的坐标； 直线整理为，故恒过定点，即为B坐标； 又两条直线垂直，故可得，即 整理得解得，当且仅当时取得最大值. 9．ACD【详解】因为，故，故直线的斜截式方程为：，因为，，故，故直线经过第一象限、第三象限、第四象限， 10．AC【详解】直线与都经过原点，而无论为何值，直线总不经过原点， 因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线与另两条直线不平行，所以． 11．ACD【详解】，所以点在直线上，A正确；对，令，得，直线在轴上截距为2，B错误；直线的斜率为，倾斜角为，C正确； 设直线方程为，沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后得，即它就是， 所以，所以，D正确． 12．AC【详解】逐一考查所给的选项：A.存在，使得的方程为，其倾斜角为90°，故选项不正确．B直线过定点，直线过定点，故B是正确的．C.当时，直线的方程为，即，与都重合，选项C错误；D.两直线垂直，则：，方程无解，故对任意的，与都不垂直，选项D正确． 13．【详解】因为，的中点坐标为，即； 又，所以线段的垂直平分线所在直线的斜率为， 因此所求直线方程为，即.故答案为：. 14．【详解】由x＋my＋m＝0得，x＋m（y＋1）＝0，所以直线l：x＋my＋m＝0恒过点A(0，－1)，如下图所示，kAP＝＝－2，kAQ＝＝，则－≥(m＜0)或－≤－2(m＞0)，所以－≤m≤且m≠0．当m＝0时，直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，所以实数m的取值范围是－≤m≤． 15．【详解】点A在直线上，则，当且仅当时，即时，等号成立，即的最小值为8. 16．【详解】因为直线过定点，且，所以的轨迹是以为直径的圆，且圆心为，半径，所以， 17．（1）；（2）；（3）；（4）. 解：（1）由点斜式方程，可知所求直线的方程为，化为一般式方程为. （2）由斜截式方程，可知所求直线的方程为，化为一般式方程为. （3）由两点式方程，可知所求直线的方程为，化为一般式方程为. （4）由截距式方程，可知所求直线的方程为，化为一般式方程为. 18．（1）；（2）. 【详解】（1）联立，解得，可得. （2）∵边上的高所在的直线的方程为，∴，即， ∴直线的方程为，整理得. 19．（1）证明见解析，定点坐标为；（2）直线. 【详解】（1）直线： 即为， 由可得，故直线过定点且定点坐标为. （2）由题设可得直线的横截距和纵截距均存在且不为零，设直线，则该直线与轴交点的坐标为，与轴交点的坐标为，故即，故直线. 20．（1）证明见解析；（2）；（3），，，，. 【详解】（1）直线l的方程为（），整理可得：， 当时不论a为何值，，即，，可证当不论a为何值，直线恒过定点； （2）时，，即，因为时，直线与x轴无交点，所以，令时，，即，，因为这两个点分别在x轴正半轴，y轴正半轴， 所以，且，所以，所以，当且仅当，即时，面积最小，此时，，所以这时周长为； （3）因为直线l在两坐标轴上的截距均为整数，即，都是整数，而，所以，，0，2，又当，直线过原点也符合题意， 所以直线方程分别为：，，，，． 学科网（北京）股份有限公司 $