2.2.1直线的点斜式方程专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦直线点斜式方程的概念应用与综合拓展，通过分层题型构建从基础到复杂的知识逻辑链，培养数学推理与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|4题|过点求方程、倾斜角转化|点斜式概念→直接应用| |性质应用|5题|平行垂直、截距关系|斜率性质→方程转化| |综合几何|5题|三角形重心、角平分线|几何性质→代数表达| |实际应用|2题|面积最值、条件探究|模型观念→优化求解|

2.2.1直线的点斜式方程 （题型专练）答案版 1．（2026高一·全国·专题练习）已知直线：和直线：，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知直线垂直求参数、直线的斜截式方程及辨析 【分析】由题干中的垂直关系得出两直线斜率之积为即可求解. 【详解】已知直线： ，其斜率为，直线：，其斜率为， 因为，所以，解得． 2．（2026高一·全国·专题练习）过点且倾斜角为的直线方程为___________． 【答案】 【知识点】直线的倾斜角、直线的点斜式方程及辨析 【详解】由于过的直线倾斜角为，即该直线垂直于轴， 所以其方程为． 3．（2026高三·全国·专题练习）第一象限内有一动点，在过点且方向向量的直线l上运动，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、对数的运算、直线的点斜式方程及辨析 【详解】，得， ， ，等号当且仅当时成立，此时，满足定义域条件， 所以的最大值为3. 4．（第06讲直线的方程01（暑假预习讲义）新高二数学人教B版）直线经过点，平行于轴，写出直线的方程. 【答案】 【知识点】直线的点斜式方程及辨析 【详解】因为直线m经过点，平行于x轴，所以直线的方程为. 5．（25-26高一下·上海·阶段检测）过点且在轴的截距相等的直线方程是_________ 【答案】或 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线截距式方程及辨析 【分析】根据题意，分直线过原点和不过原点，两种情况分类讨论，即可求解. 【详解】当所求直线过原点时，此时直线的斜率为，直线的方程为； 当所求直线不过原点时，设直线的方程为， 把点代入上式，可得，解得，所以直线的方程为， 综上可得，直线的方程或. 6．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直线的点斜式方程及辨析 【分析】借助两角和的正切公式可得该直线斜率，再利用直线方程的点斜式求解即可得. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 由直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线， 故直线的倾斜角为， 故直线的斜率为， 又在直线上，故直线过点， 即直线的方程为，化简得. 7．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知的三个顶点分别为，是的重心． (1)试求点的坐标； (2)试求的值； (3)试求以为顶点构成的平行四边形的两条对角线所在的直线方程． 【答案】(1)； (2)； (3) ①对角线（为第四个顶点） 所在直线方程为. 的方程为. ②对角线（为第四个顶点） 所在直线方程为. 的方程为. ③对角线（为第四个顶点） 所在直线方程为. 的方程为. 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析 【分析】（1）根据重心坐标与三角形顶点坐标的关系计算即可. （2）根据斜率公式计算即可. （3）以为顶点可构成三个不同的平行四边形，求这三个平行四边形的所有对角线所在的直线方程. 【详解】（1）因为的三个顶点分别为，是的重心 所以重心坐标为，即. （2）因为的三个顶点分别为， 所以. 所以. （3）以为顶点的平行四边形有三种情况，对应三组对角线： ①对角线（为第四个顶点） 因为，所以所在直线方程为，即. 的坐标为，所以， 所以直线的方程为，即. ②对角线（为第四个顶点） 因为，所以所在直线方程为，即. 的坐标为，所以， 所以直线的方程为，即. ③对角线（为第四个顶点） 因为，所以所在直线方程为，即. 的坐标为，所以， 所以直线的方程为，即. 8．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知点，为坐标原点，试求解以下两个小题． (1)求过点且与直线垂直的直线方程； (2)求过点作直线分别交轴、轴的正半轴于、两点，若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】直线综合、直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】（1）由直线垂直求解过点直线的斜率，再由点斜式方程求解即可. （2）由直线分别与轴、轴的正半轴交于、两点，可得直线斜率存在，设直线，令，分别求解、两点，再根据求解直线斜率，根据三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）已知直线的斜率，垂直直线斜率为，所以，所以， 所以过点的直线方程为，即. （2）由题意可得，直线斜率存在，所以设直线：，所以当时，，所以， 当时，，，因为直线分别交轴、轴的正半轴于、两点， 所以，，又因为， 所以，且，即，所以，即， 解得，所以，， 所以，所以的面积为. 9．（25-26高二上·河北·阶段检测）已知直线，直线过点. (1)若，求直线的方程； (2)若直线与轴和直线围成的三角形的面积为4，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【知识点】已知直线垂直求参数、直线的点斜式方程及辨析 【分析】（1）根据两直线垂直可求出直线的斜率，进而可求出直线的方程. （2）讨论直线的斜率存在和不存在两种情况，结合三角形面积求出直线的方程. 【详解】（1）设直线的斜率为，直线的斜率为.因为，所以 由题意可知，所以 又因为直线过点，所以直线的方程为，即. （2）设直线与轴交点为，直线与轴交点为，则 ①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时，， 的面积，符合题意； ②若直线的斜率存在，设直线的斜率为，，则直线的方程为 令，则，即点坐标为， 的面积，解得， 则直线的方程为 综上，直线的方程为或. 10．（2026高二·全国·专题练习）已知直线过点，求直线的方程． 【答案】或 【知识点】直线的点斜式方程及辨析 【分析】分斜率存在和不存在两种情况，得到直线方程 【详解】当，即时，，直线的方程为； 当，即时，则直线的斜率， 直线的方程为. 综上，直线的方程为或. 11．（25-26高二上·上海·期中）已知直线的方程为： (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； (2)若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围； 【答案】(1)或 (2) 【知识点】直线的斜截式方程及辨析、直线图象的辨析 【分析】（1）讨论直线经过坐标原点和不过坐标原点的情况，根据截距相等可构造方程求得结果； （2）讨论直线斜率为和斜率不为的情况，根据直线不过第二象限可构造不等式组求得结果. 【详解】（1）若直线经过坐标原点，则，解得：； 若直线不经过坐标原点，即时， 则直线在两坐标轴的截距分别为和，且，解得：； 综上所述：或. （2）当直线斜率为时，，即时，直线方程为，不经过第二象限，符合题意； 当直线斜率不为时，若直线不经过第二象限，则，解得：； 综上所述：的取值范围为. 12．（2026高三下·全国·专题练习）直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，求面积的最小值和周长的最小值． 【答案】8， 【知识点】基本不等式求和的最小值、直线与坐标轴围成图形的面积问题 【详解】已知， 令，解得，则， 令，解得，则，则： , 由于，令，则， 根据基本不等式：，当且仅当时等号成立， 即，. ， 其中，， 则， 当且仅当时等号成立，即，. 13．（2026·江西宜春·一模）已知直线的斜率为，，直线在两坐标轴上的截距相等，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、直线的斜截式方程及辨析、直线截距式方程及辨析 【详解】分析充分性： 已知，设直线的方程为：， 当时，，在轴上的截距为， 当时，，在轴上的截距为， 所以直线在两坐标轴上的截距相等，即充分性成立； 分析必要性： 已知直线在两坐标轴上的截距相等，分两种情况： （1）截距不为0时，设两截距均为，则直线方程为，即，此时斜率； （2）截距为0时，直线过原点，此时斜率不一定为. 所以必要性不成立. 14．（2026高一·全国·专题练习）已知的三个顶点是，，. (1)求边上的中线所在直线的斜截式方程； (2)求边上的高所在直线的斜截式方程； (3)求边的垂直平分线的斜截式方程 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、直线的斜截式方程及辨析 【分析】（1）先求出的中点坐标，进而得到所求直线斜率，根据点斜式得到方程，再转化为斜截式即可； （2）先求出直线的斜率，进而得到高的斜率，根据点斜式得到方程，再转化为斜截式即可； （3）根据（1）的中点坐标及（2）的斜率得到方程即可． 【详解】（1）由题意得的中点坐标， 所以， 所以上的中线方程为，整理得斜截式方程为. （2）所在直线的斜率为， 所以上的高所在直线的斜率， 又上的高过点， 则上的高所在直线的方程为，整理得斜截式方程为. （3）由（2）得，与垂直的直线斜率为， 由（1）得的中点坐标， 所以的垂直平分线的方程为，整理得斜截式方程为. 15．（25-26高二上·河北雄安·期末）（多选）过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】分“截距为”和“截距不为”两种情况，分别设直线方程，再代入点求出对应方程. 【详解】若两截距都为，则该直线过原点，其方程为，即； 若截距不为，不妨设其在横轴上的截距为，则在纵轴上的截距为， 此方程为，代入得，解得，整理得． 16．（25-26高二上·广东惠州·期末）已知直线的一个方向向量为且过点，则直线的方程为______. 【答案】 【知识点】根据直线的方向向量求直线方程 【分析】根据方向向量求出斜率，然后由点斜式写出直线方程，化为一般式即可. 【详解】因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率， 又因为直线过点， 所以直线的方程为，整理得， 故答案为： 17．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）直角三角形的斜边在轴上，其中点在点的左侧，直角顶点的坐标是. (1)设直线的斜率为，试求点和点的坐标（用表示）； (2)试求直角三角形的面积的最小值及面积取到最小值时的点坐标. 【答案】(1)， (2)16， 【知识点】基本不等式求和的最小值、已知直线垂直求参数、直线的点斜式方程及辨析 【分析】（1）根据斜率和经过的点坐标求出直线的方程，进而可求出坐标；然后根据垂直关系求出直线的方程，进而可求出坐标. （2）先列出三角形面积的表达式，然后根据基本不等式的性质求出最小值即可. 【详解】（1）因为直线的斜率为，直角顶点的坐标是. 所以直线的方程为，即. 令，则，所以. 因为，所以直线的斜率为，那么直线的方程为. 令，则，所以. （2）由（1）知，， 所以直角三角形的面积为. 由图可知，所以根据基本不等式的性质得， 当且仅当，即时，等号成立，此时直角三角形的面积取最小值为， 此时点的坐标为. 18．（2025高二上·山西长治·专题练习）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为求直线的方程为__________用斜截式表示 【答案】 【知识点】已知两点求斜率、已知直线垂直求参数、直线的点斜式方程及辨析 【分析】设出点坐标，求出的坐标，把点的坐标代入直线方程为，把点的坐标代入，联立求出的坐标，然后求解的坐标，然后可得直线的方程． 【详解】设，则， 把的坐标代入直线方程为，把点的坐标代入， 可得：，解得，故点， 又边上的高所在直线方程为，,， 则直线为，即． 联立，可得，故直线斜率为， 则直线的方程为：，即． 故答案为：． 19．（25-26高二上·湖北·阶段检测）已知的三个顶点分别是，，，则角平分线所在的直线方程为_____. 【答案】 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、根据直线的方向向量求直线方程 【分析】利用向量的坐标表示先求出与和同方向的单位向量，然后由向量的加法可得角平分线所在的直线的方向向量，再利用方向向量和直线的点斜式方程计算可得. 【详解】由题意知：，， 故与同方向的单位向量为：， 与同方向的单位向量为：， 故角平分线所在的直线的方向向量为：， 设角平分线所在的直线的斜率为， 又直线的方向向量可以表示为，，直线又过， 故角平分线所在的直线方程为：，即. 故答案为：. 20．（25-26高三·全国·一轮复习）直线经过原点，且经过直线与直线的交点，则直线l的方程为________________． 【答案】 【知识点】直线的点斜式方程及辨析 【分析】联立直线求解交点坐标,从而可得直线的斜率，即可得直线方程. 【详解】联立,解得：, 所以, 则直线的方程为:，即 故答案为： 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.1直线的点斜式方程 （题型专练）原卷版 1．（2026高一·全国·专题练习）已知直线：和直线：，若，则（ ） A． B． C． D． 2．（2026高一·全国·专题练习）过点且倾斜角为的直线方程为___________． 3．（2026高三·全国·专题练习）第一象限内有一动点，在过点且方向向量的直线l上运动，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 4．（第06讲直线的方程01（暑假预习讲义）新高二数学人教B版）直线经过点，平行于轴，写出直线的方程. 5．（25-26高一下·上海·阶段检测）过点且在轴的截距相等的直线方程是_________ 6．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知的三个顶点分别为，是的重心． (1)试求点的坐标； (2)试求的值； (3)试求以为顶点构成的平行四边形的两条对角线所在的直线方程． 8．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知点，为坐标原点，试求解以下两个小题． (1)求过点且与直线垂直的直线方程； (2)求过点作直线分别交轴、轴的正半轴于、两点，若，求的面积． 9．（25-26高二上·河北·阶段检测）已知直线，直线过点. (1)若，求直线的方程； (2)若直线与轴和直线围成的三角形的面积为4，求直线的方程. 10．（2026高二·全国·专题练习）已知直线过点，求直线的方程． 11．（25-26高二上·上海·期中）已知直线的方程为： (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； (2)若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围； 12．（2026高三下·全国·专题练习）直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，求面积的最小值和周长的最小值． 13．（2026·江西宜春·一模）已知直线的斜率为，，直线在两坐标轴上的截距相等，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．（2026高一·全国·专题练习）已知的三个顶点是，，. (1)求边上的中线所在直线的斜截式方程； (2)求边上的高所在直线的斜截式方程； (3)求边的垂直平分线的斜截式方程 15．（25-26高二上·河北雄安·期末）（多选）过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高二上·广东惠州·期末）已知直线的一个方向向量为且过点，则直线的方程为______. 17．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）直角三角形的斜边在轴上，其中点在点的左侧，直角顶点的坐标是. (1)设直线的斜率为，试求点和点的坐标（用表示）； (2)试求直角三角形的面积的最小值及面积取到最小值时的点坐标. 18．（2025高二上·山西长治·专题练习）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为求直线的方程为__________用斜截式表示 19．（25-26高二上·湖北·阶段检测）已知的三个顶点分别是，，，则角平分线所在的直线方程为_____. 20．（25-26高三·全国·一轮复习）直线经过原点，且经过直线与直线的交点，则直线l的方程为________________． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $