2.2.1～2.2.2 直线的点斜式方程与直线的两点式方程专项训练【6大考点】-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.2.1~2.2.2 直线的点斜式方程与直线的两点式方程 6大考点汇总 考点01 直线的点斜式方程及辨析 考点02 直线的斜截式方程及辨析 考点03 直线两点式方程及辨析 考点04 直线截距式方程及辨析 考点05 直线图象的辨析 考点06 直线与坐标轴围成图形的面积问题 题型专练 考点01 直线的点斜式方程及辨析 1．（25-26高二上·全国·专题训练）直线经过点，斜率是，写出直线的点斜式方程. 【答案】 【详解】由直线l经过点，斜率是，可得其点斜式为. 2．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出直线的斜率，再利用点斜式即可求出. 【详解】直线的斜率为， 又直线过点，，即. 故选：C. 3．（25-26高二上·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，点、，则线段的垂直平分线方程为________． 【答案】 【分析】求出线段的中点坐标，并求出直线的斜率，可得出线段的垂直平分线所在直线的斜率，结合点斜式方程可得出所求直线的方程. 【详解】由题意可知线段的中点为，， 故线段的垂直平分线所在直线的斜率为， 因此线段的垂直平分线方程为，即. 故答案为：. 4．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)求直线的方程； (2)求边上的高所在直线的方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先求出直线的斜率，再由点斜式即可求解； （2）先由垂直关系求出所求直线斜率，再由点斜式即可求解. 【详解】（1）由题可得直线的斜率为， 所以由点斜式得直线的方程为即； （2）由题可得边上的高所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线的方程为，即. 考点02 直线的斜截式方程及辨析 5．（25-26高二上·天津滨海新区·期中）直线的倾斜角30°，过点，则直线的斜截式方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线倾斜角得斜率，利用过点可得直线的斜截式方程. 【详解】∵直线的倾斜角30°，∴直线的斜率， ∵直线过点，∴直线的斜截式方程为. 故选：A. 6．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）直线的方向向量，直线过点 (1)若直线与直线平行，求出直线的斜截式方程，并求出直线的倾斜角的值 (2)若直线与直线垂直，求出直线的斜截式方程，并写出直线在轴上的截距. 【答案】(1)直线的斜截式方程为，倾斜角， (2)所以直线的斜截式方程为，在轴上的截距为. 【分析】（1）由直线的方向向量求直线的斜率，根据平行直线的斜率关系求直线的斜率，利用点斜式求直线的点斜式方程，化为斜截式，2由倾斜角与斜率关系求该直线的倾斜角； （2）根据垂直直线的斜率关系求直线的斜率，利用点斜式求直线的点斜式方程，化为斜截式，再确定直线在轴上的截距. 【详解】（1）因为直线的方向向量， 所以直线的斜率存在，设直线的斜率为，则， 若直线与直线平行，则直线的斜率存在， 设直线的斜率为，则， 又直线过点， 所以直线的方程为， 化为斜截式可得， 因为直线的斜率，所以，又， 所以， 所以直线的斜截式方程为，倾斜角， （2）若直线与直线垂直， 由（1）可得直线的斜率存在，且，又， 所以， 所以直线的方程为， 化为斜截式可得， 所以直线的斜截式方程为，在轴上的截距为. 7．（25-26高二上·全国·专题训练）根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为，在y轴上的截距是； (3)倾斜角为，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】倾斜角求出斜率，进而由点斜式写出直线的斜截式方程. 【详解】（1）由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为. （2）由于倾斜角，则斜率， 由斜截式可得所求直线方程为 （3）由于直线的倾斜角为，则其斜率. 由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3， 则直线在y轴上的截距或， 故所求直线方程为或. 8．（25-26高二上·全国·专题训练）根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)写出斜率为，在y轴上截距为的直线的斜截式方程； (2)求过点，斜率为的直线的斜截式方程； (3)已知直线方程为，求直线的斜率，在y轴上的截距，以及与y轴交点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)斜率，在y轴上的截距1，直线与y轴交点的坐标为． 【分析】（1）利用斜截式方程直接写出方程即可. （2）利用直线的点斜式写出方程，再化成斜截式. （3）化方程为斜截式，再求出斜率、纵截距及与y轴交点的坐标. 【详解】（1）直线的斜率，纵截距， 所以该直线的斜截式方程为. （2）过点，斜率为的直线的点斜式方程为， 所以该直线的斜截式方程为. （3）直线方程化为， 所以该直线的斜率为，在y轴上的截距为1，直线与y轴交点的坐标为． 考点03 直线两点式方程及辨析 9．（25-26高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）过点和点的直线的两点式方程是____________． 【答案】 【分析】直接由直线方程的两点式得出答案 【详解】由题意，不和坐标轴垂直，符合两点式方程的使用条件， 当直线经过时，两点式方程为：， 于是直线的两点式方程为：. 故答案为： 10．（25-26高二上·甘肃金昌·阶段检测）已知直线l经过点，，则下列不在直线l上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知的两点求出直线l的方程，将点的坐标代入直线方程即可求解. 【详解】由直线的两点式方程，得直线l的方程为，即， 将各个选项中的坐标代入直线方程， 可知点，，都在直线l上，点不在直线l上． 故选：D． 11．（25-26高二·全国·课堂例题）已知直线l经过点，求直线l的方程，并求直线l的截距． 【答案】，直线l在轴上的截距为，直线l在轴上的截距为. 【分析】利用直线的两点式方程及直线的斜截式方程，结合截距的定义即可求解. 【详解】因为A，B两点的横坐标不相等，而且纵坐标也不相等，所以直线的两点式方程为，整理得． 所以直线l的方程为， 所以直线l在轴上的截距为， 令，则，解得， 所以直线l在轴上的截距为. 12．（25-26高二·全国·随堂练习）求过下列两点的直线的两点式方程： (1)，； (2)，． 【答案】(1)； (2). 【分析】由直线两点式方程的定义即可得解. 【详解】（1）因为直线过点，， 所以该直线的两点式方程为； （2）因为直线过点，， 所以该直线的两点式方程为 考点04 直线截距式方程及辨析 13．（25-26高二上·新疆塔城·阶段检测）求下列直线的方程： (1)的倾斜角是，在轴上的截距是； (2)在轴、轴上的截距分别是、4； (3)直线经过点、. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由点斜式计算即可； （2）由斜截式计算即可； （3）由两点式计算即可. 【详解】（1）因为在轴上的截距是，所以经过点. 又因为的斜率， 所以由点斜式可得的方程是：. （2）因为在轴上的截距为4，则可设的方程为（是常数）， 又因为经过点，所以，解得. 所以的方程是. （3）直接把点A、的坐标代入直线的两点式方程，得， 即. 14．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）根据下列条件，求直线的一般方程： (1)过点，斜率是直线的斜率的； (2)经过点，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍； 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）由点斜式得直线方程并整理； （2）根据截距是否为0分类讨论求解. 【详解】（1）由题意所求直线斜率为，所以直线方程为，即； （2）直线截距为0时设直线方程为，过点，则，，直线方程为,即， 直线截距不为0时，设直线方程为，过点，则，解得，直线方程为，即， 所以所求直线方程为或. 15．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）经过点，且在轴和轴上截距相等的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】分别讨论截距为0和不为0两种情况，设出直线方程，将点代入求解即可. 【详解】当直线在轴和轴上截距都为0时，设直线方程为，将点代入解得， 此时直线方程为， 当直线在轴和轴上截距相等且不为0时，设直线方程为，将点代入解得， 此时直线方程为， 所以满足题意的直线方程为或， 故选：B 16．（25-26高二上·广东·期中）（1）已知点，，求线段垂直平分线的斜截式方程； （2）已知倾斜角为的直线经过点，求的截距式方程. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）先求得中点的坐标，再求得线段垂直平分线的斜率，进而得到线段垂直平分线的斜截式方程； （2）先设出的截距式方程，列出关于的方程组，解之即可求得的截距式方程. 【详解】（1）由题意可得，， 所以线段的中点为，， 所以直线的垂直平分线的斜率为， 则线段垂直平分线的方程为， 故斜截式方程为. （2）设直线的截距式方程为， 则   ①，  ②. 由①②解得，，， 故直线的截距式方程为. 考点05 直线图象的辨析 17．（25-26高二上·上海·期中）已知直线的方程为： (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； (2)若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围； 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）讨论直线经过坐标原点和不过坐标原点的情况，根据截距相等可构造方程求得结果； （2）讨论直线斜率为和斜率不为的情况，根据直线不过第二象限可构造不等式组求得结果. 【详解】（1）若直线经过坐标原点，则，解得：； 若直线不经过坐标原点，即时， 则直线在两坐标轴的截距分别为和，且，解得：； 综上所述：或. （2）当直线斜率为时，，即时，直线方程为，不经过第二象限，符合题意； 当直线斜率不为时，若直线不经过第二象限，则，解得：； 综上所述：的取值范围为. 18．（25-26高二·全国·课后作业）已知，，则下列直线的方程不可能是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线斜率与轴上的截距的关系判断选项即可得解. 【详解】， 直线的方程在轴上的截距不小于2，且当时，轴上的截距为2， 故D正确，当时，, 故B不正确，当时，或，由图象知AC正确. 故选：B 19．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）直线可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线斜率的正负值与定点即可判断结果． 【详解】因为，所以A C错； 当时，，故B对； 故选：B 20．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）两直线与的图象可能是图中的哪一个（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据两直线斜率符号相同可得出合适的选项. 【详解】直线的斜率为，直线的斜率为， 所以，直线与直线斜率的符号相同，故只有B选项合乎题意. 故选：B. 【点睛】本题考查了直线图象的识别，一般从斜率和截距来进行分析，属于基础题. 考点06 直线与坐标轴围成图形的面积问题 21．（25-26高二上·全国·专题训练）已知为坐标原点，过点的直线分别与轴的正半轴交于两点，则当的面积取得最小值时，直线的纵截距为（ ） A．4 B．7 C．8 D．14 【答案】D 【分析】设直线，根据已知有，再应用基本不等式求得，即可得面积最小值，确定等号成立条件即可得. 【详解】设直线，其中， 因为直线过点， 所以， 而，解得， 当且仅当，即时等号成立， 故，此时直线的纵截距为14. 22．（25-26高二上·全国·专题训练）已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别为交于A、B两点，O为坐标原点，则面积的最小值为__________，此时的直线方程为__________． 【答案】 4 【分析】由题可知直线l斜率必存在，则设其方程为，求出其横截距和纵截距，表示出△OAB的面积，求其最小值即可. 【详解】由题可知直线AB斜率为负，故设直线AB的方程为， 令x＝0，则y＝1－2k；令y＝0，则x＝2－， ∴ ，当且仅当，即时取等号. 故当时，有最小值4． 此时，直线方程为即． 故答案为：4；. 23．（25-26高二上·山东泰安·期中）已知过点的直线与轴，轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，当的面积最小时，直线的方程为______． 【答案】 【解析】由题意可知，直线的斜率存在且不为零，可设直线的方程为，求出点、的坐标，结合已知条件可求得的取值范围，并求出的面积关于的表达式，利用基本不等式可求得面积的最小值及其对应的值 ，由此可求得直线的方程. 【详解】由题意可知，直线的斜率存在且不为零， 可设直线的方程为，即. 在直线的方程中，令，可得；令，可得. 即点、，由题意可得，解得， 的面积为， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，直线的方程为，即. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点： （1）将三角形的面积利用加以表示； （2）在求解最值时，可充分利用基本不等式、导数、函数的单调性等知识来求解. 24．（25-26高二上·湖北黄石·阶段检测）已知过定点作直线与两坐标轴围成的三角形面积为，这样的直线有（    ）条 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线的方程为，求出直线与两坐标轴的交点坐标，由已知条件可得出关于的方程，判断出方程根的个数，即可得解. 【详解】由题意可知，直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，即. 在直线的方程中，令，可得；令，可得. 所以，直线交轴于点，交轴于点. 由题意可得，即. ①当时，可得，即，； ②当时，可得，即，. 综上所述，符合条件的直线有条. 故选：B. 【点睛】本题考查直线与坐标轴围成的三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题. 25．（25-26高二下·江苏南京·期中）直线中，．若l与坐标轴围成的三角形的面积不小于10，则这样的直线的条数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．16 【答案】B 【解析】根据题意求出三角形的面积，找到满足的条件，列举即可解出． 【详解】因为，所以直线l与坐标轴围成的三角形的面积为，于是，若时，没有这样的满足条件；若时，；若时，；若时，，所以这样的直线的条数为7． 故选：B． 【点睛】本题主要考查直线的截距式方程的应用，属于基础题． 26．（25-26高二上·湖南·阶段检测）已知直线l过点，与x轴正半轴交于点A､与y轴正半轴交于点B. （1）求面积最小时直线l的方程（其中O为坐标原点）； （2）求的最小值及取得最小值时l的直线方程. 【答案】（1）( 或)；（2）最小值24；直线方程（或）. 【分析】（1）用待定系数法设出直线的截距式方程，可求出取得最小值时的方程； （2）用待定系数法设出直线的点斜式方程，并用基本不等式可求得的最小值及此时的直线方程. 【详解】解：（1）设l的方程为，由直线过点知，即，由基本不等式得，即，当且仅当时等号成立， 又知，所以时等号成立， 此时l直线的方程为， 即面积最小时直线l的方程为. （2）易知直线l的斜率存在，所以可设直线l的方程为，所以得，，所以，得，等号成立时有k，得， 此时直线的方程为，即. 故的最小值是24，取最小值时直线l的方程是. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.1~2.2.2 直线的点斜式方程与直线的两点式方程 6大考点汇总 考点01 直线的点斜式方程及辨析 考点02 直线的斜截式方程及辨析 考点03 直线两点式方程及辨析 考点04 直线截距式方程及辨析 考点05 直线图象的辨析 考点06 直线与坐标轴围成图形的面积问题 题型专练 考点01 直线的点斜式方程及辨析 1．（25-26高二上·全国·专题训练）直线经过点，斜率是，写出直线的点斜式方程. 2．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，点、，则线段的垂直平分线方程为________． 4．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)求直线的方程； (2)求边上的高所在直线的方程． 考点02 直线的斜截式方程及辨析 5．（25-26高二上·天津滨海新区·期中）直线的倾斜角30°，过点，则直线的斜截式方程为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）直线的方向向量，直线过点 (1)若直线与直线平行，求出直线的斜截式方程，并求出直线的倾斜角的值 (2)若直线与直线垂直，求出直线的斜截式方程，并写出直线在轴上的截距. 7．（25-26高二上·全国·专题训练）根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为，在y轴上的截距是； (3)倾斜角为，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 8．（25-26高二上·全国·专题训练）根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)写出斜率为，在y轴上截距为的直线的斜截式方程； (2)求过点，斜率为的直线的斜截式方程； (3)已知直线方程为，求直线的斜率，在y轴上的截距，以及与y轴交点的坐标． 考点03 直线两点式方程及辨析 9．（25-26高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）过点和点的直线的两点式方程是____________． 10．（25-26高二上·甘肃金昌·阶段检测）已知直线l经过点，，则下列不在直线l上的点是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二·全国·课堂例题）已知直线l经过点，求直线l的方程，并求直线l的截距． 12．（25-26高二·全国·随堂练习）求过下列两点的直线的两点式方程： (1)，； (2)，． 考点04 直线截距式方程及辨析 13．（25-26高二上·新疆塔城·阶段检测）求下列直线的方程： (1)的倾斜角是，在轴上的截距是； (2)在轴、轴上的截距分别是、4； (3)直线经过点、. 14．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）根据下列条件，求直线的一般方程： (1)过点，斜率是直线的斜率的； (2)经过点，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍； 15．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）经过点，且在轴和轴上截距相等的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 16．（25-26高二上·广东·期中）（1）已知点，，求线段垂直平分线的斜截式方程； （2）已知倾斜角为的直线经过点，求的截距式方程. 考点05 直线图象的辨析 17．（25-26高二上·上海·期中）已知直线的方程为： (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； (2)若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围； 18．（25-26高二·全国·课后作业）已知，，则下列直线的方程不可能是的是（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）直线可能是（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）两直线与的图象可能是图中的哪一个（    ） A． B． C． D． 考点06 直线与坐标轴围成图形的面积问题 21．（25-26高二上·全国·专题训练）已知为坐标原点，过点的直线分别与轴的正半轴交于两点，则当的面积取得最小值时，直线的纵截距为（ ） A．4 B．7 C．8 D．14 22．（25-26高二上·全国·专题训练）已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别为交于A、B两点，O为坐标原点，则面积的最小值为__________，此时的直线方程为__________． 23．（25-26高二上·山东泰安·期中）已知过点的直线与轴，轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，当的面积最小时，直线的方程为______． 24．（25-26高二上·湖北黄石·阶段检测）已知过定点作直线与两坐标轴围成的三角形面积为，这样的直线有（    ）条 A． B． C． D． 25．（25-26高二下·江苏南京·期中）直线中，．若l与坐标轴围成的三角形的面积不小于10，则这样的直线的条数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．16 26．（25-26高二上·湖南·阶段检测）已知直线l过点，与x轴正半轴交于点A､与y轴正半轴交于点B. （1）求面积最小时直线l的方程（其中O为坐标原点）； （2）求的最小值及取得最小值时l的直线方程. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $