20.3 二次根式的加减（第2课时：二次根式的加减乘除混合运算） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

**基本信息** 同步练，初中数学，二次根式的加减乘除混合运算，新授课。分层设计清晰，从基础运算到综合实践梯度合理，注重运算能力与应用意识培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A基础达标|二次根式混合运算的概念、规则及简单应用|单选辨析运算规则（如取值范围判断），填空强化基础运算，解答题含纠错任务（培养推理意识）| |B能力提升|运算的综合应用及几何情境运用|结合正方形面积求边长（几何直观），已知条件求代数式值（推理能力）| |C综合与实践|新定义“对偶式”的理解与创新应用|通过构造对偶式解决问题（创新意识），体现数学语言表达现实规律|

20.3 二次根式的加减（第2课时：二次根式的加减乘除混合运算） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册 【A基础达标】 一、单选题 1．下列关于二次根式的计算或取值范围，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．的计算结果是（     ） A． B． C． D． 3．面积分别为8和2的两个正方形按如图所示的方式放置，则的长为（     ） A． B． C． D． 4．如图，这是一个程序框图．若输入x的值为12，则输出y的值为（   ） A． B． C． D． 5．下列各数中，与互为倒数的是（   ） A． B．2 C．5 D． 6．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 7．计算：_____________． 8．计算：=_____． 三、解答题 9．下面是小明同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的任务：               第一步                        第二步                      第三步 (1)任务一：第_______________步开始出现错误，错误原因是_______________； (2)任务二：请写出正确的计算过程； (3)任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就二次根式运算时还需注意的事项给其他同学提一条建议． 10．化简计算． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 11．某居民小区为贯彻关于生态文明建设系列重要讲话精神，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的理念．小区内有一块形状为矩形的绿地，矩形绿地的长为，宽为，现要在矩形绿地中修建一个矩形花坛（即图中阴影部分），矩形花坛的长为，宽为． (1)矩形的周长是多少？ (2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元/的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 【B能力提升】 一、单选题 1．已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．如图，四边形是正方形，点在上，若，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 3．__________ 4．宽与长的比是（约为）的矩形叫作黄金矩形，若一个黄金矩形的长为，则该黄金矩形的宽为________． 三、解答题 5．已知边长分别为的两个正方形的面积分别为． (1)求的值； (2)用一根长为的铁丝，能否围成这两个正方形？ 【C综合与实践】 1．定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，可以有效地去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知求的值，可以这样解答： 因为， 所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)对偶式与之间的关系是 ； A．互为相反数      B．互为倒数      C．绝对值相等 (2)已知：，则 ； (3)已知，求x的值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 20.3 二次根式的加减（第2课时：二次根式的加减乘除混合运算） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册 【A基础达标】 一、单选题 1．下列关于二次根式的计算或取值范围，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对选项A，，A错误； 对选项B，与不是同类二次根式，无法直接合并，，B错误； 对选项C，，计算结果正确，C正确； 对选项D，，D错误． 2．的计算结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照先算除法，以及化简二次根式，再合并同类二次根式，即可得到结果． 【详解】解： ． 3．面积分别为8和2的两个正方形按如图所示的方式放置，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出两个正方形的边长，然后对运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，由题意得，， ∴， ∴点共线， ∴， ∴． 4．如图，这是一个程序框图．若输入x的值为12，则输出y的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依据运算程序列出算式，按顺序进行计算即可． 【详解】解：由题意，得 ． 5．下列各数中，与互为倒数的是（   ） A． B．2 C．5 D． 【答案】A 【分析】根据倒数定义得到所求表达式，再利用平方差公式化简即可得到结果． 【详解】解：乘积为的两个数互为倒数， 设的倒数为， ， 对表达式分母有理化，将分子分母同乘， 得 ． 6．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：，故A错误； 选项B：，故B错误； 选项C：，故C错误； 选项D：，故D正确． 二、填空题 7．计算：_____________． 【答案】5 【详解】解： ． 8．计算：=_____． 【答案】6 【详解】解：． 三、解答题 9．下面是小明同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的任务：               第一步                        第二步                      第三步 (1)任务一：第_______________步开始出现错误，错误原因是_______________； (2)任务二：请写出正确的计算过程； (3)任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就二次根式运算时还需注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】(1)一，去括号没有变号 (2)解： ； (3)二次根式运算时要化到最简形式（答案不唯一） 【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则的解答过程，即可判断出错的地方以及出错原因； （2）根据二次根式的性质和运算法则即可求出正确答案； （3）根据二次根式的性质合理建议即可． 【详解】（1）解：小明同学在计算去括号的时候忽略了括号前是负号， 去括号时应该变号， 第一步出错，出错的原因是去括号没有变号． （2）略 （3）解：最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，因此建议二次根式运算的结果要化成最简二次根式． 10．化简计算． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）先把各项二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先把分子中的二次根式化简并合并、运用二次根式乘法法则计算乘法项，再相减即可； （3）先利用乘法分配律展开，再化简根式后合并同类二次根式即可； （4）先分别用乘方运算法则、平方差公式化简前后两段式子，再相减即可； （5）先把各项二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （6）先按二次根式乘除法则计算前一个式子，并把后一个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 11．某居民小区为贯彻关于生态文明建设系列重要讲话精神，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的理念．小区内有一块形状为矩形的绿地，矩形绿地的长为，宽为，现要在矩形绿地中修建一个矩形花坛（即图中阴影部分），矩形花坛的长为，宽为． (1)矩形的周长是多少？ (2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元/的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 【答案】(1) (2)660元 【分析】（1）因为矩形周长公式为，所以先将和代入公式化为最简二次根式，再计算即可． （2）首先需要计算矩形的面积，利用矩形面积公式，代入长和宽化简后计算．因为花坛的长和宽符合平方差公式的形式，所以利用平方差公式计算面积更简便．因为通道面积等于大矩形面积减去花坛面积，所以先求出通道面积，再乘以每平方米地砖的造价，即可得到总花费． 【详解】（1）解：， 即矩形的周长是．                 （2）解：由题意，知（元）． 答：购买地砖需要花费660元． 【B能力提升】 一、单选题 1．已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对所求分式通分变形，再计算与的值，代入化简后的式子即可求值，利用平方差公式简化计算过程. 【详解】解：先对通分变形，得： ， ， ， 将代入， 得： 2．如图，四边形是正方形，点在上，若，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，由正方形的性质可知，，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 在中，，即， 在中，， 故选：A ． 二、填空题 3．__________ 【答案】 【分析】将原式拆分变形，利用积的乘方逆运算和平方差公式化简计算即可． 【详解】解：原式 ． 4．宽与长的比是（约为）的矩形叫作黄金矩形，若一个黄金矩形的长为，则该黄金矩形的宽为________． 【答案】2 【分析】根据黄金矩形宽与长的比值，已知长，利用比例关系计算宽即可． 【详解】解：设该黄金矩形的宽为． ∵黄金矩形宽与长的比为，长为， ∴可得． 变形得． 三、解答题 5．已知边长分别为的两个正方形的面积分别为． (1)求的值； (2)用一根长为的铁丝，能否围成这两个正方形？ 【答案】(1) (2)不能围成这两个正方形 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的加减，无理数的估算． （1）先求出，的代数式，再相加即可； （2）求出这两个正方形的总周长，进而判断即可． 【详解】（1）解：∵边长分别是的两个正方形的面积分别为，， ∴，， ∴ ； （2）解：两个正方形的周长分别为 和 ， 总周长为， ∵，，， ∴ ∴不能围成这两个正方形． 【C综合与实践】 1．定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，可以有效地去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知求的值，可以这样解答： 因为， 所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)对偶式与之间的关系是 ； A．互为相反数      B．互为倒数      C．绝对值相等 (2)已知：，则 ； (3)已知，求x的值． 【答案】(1)B (2)2 (3) 【分析】（1）根据倒数的性质，互为倒数的两数相乘得1，即可判断； （2）将两式相乘，得到积的值，再利用已知式子的值，求解即可； （3）同（2），构造对偶式，再相乘求出积，从而得到的值，再相消求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴和互为倒数； （2）解：∵， 又， ∴； （3）解：， ， ， ∴， 得，，即， 两边平方得，， 解得， 经检验，是原方程的解． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $