第03讲 空间向量基本定理（八大题型+思维导图+知识归纳+课后提升练）（秋季讲义）高二数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦空间向量基本定理这一核心知识点，构建“概念辨析—基底表示—正交分解—综合应用”的学习支架，系统梳理基底定义、向量表示步骤及正交分解原理，衔接平行共线共面证明、夹角距离计算等应用。 资料以“数学思维”和“数学语言”为特色，通过例题与变式分层训练（如正方体、平行六面体模型题），培养逻辑推理与运算能力，助力学生用向量语言表达空间关系。课中辅助教师高效授课，课后提升练覆盖多样题型，帮助学生查漏补缺。

第03讲 空间向量基本定理 【人教A版】 模块二 空间向量基本定理 【知识点1 空间向量基本定理】 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．用基底表示向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有，不能含有其他形式的向量． 【题型1 空间向量基底概念及辨析】 【例1】（25-26高二上·湖南永州·期中）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】D 【解题思路】利用空间向量基底的概念逐项判断即可. 【解答过程】因为是空间的一个基底， 对于A选项，因为，则、、共面，A不符合要求； 对于B选项，因为，则、、共面，B不符合要求； 对于C选项，设， 因为是空间的一个基底，所以，解得，， 即，即、、共面，C不符合要求； 对于D选项，设， 因为是空间的一个基底，所以，该方程组无解， 故、、不共面，所以、、能作为空间向量的一个基底，D符合要求. 故选：D. 【变式1-1】（25-26高二上·浙江温州·期末）已知为空间中的一组基底，则下列几组向量中也可以作为基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据空间向量基本定理判断各选项中的每组向量是否共面可得结论. 【解答过程】对于A，因为，所以是共面向量， 故不能作为空间中的一组基底，故A不符合题意； 对于B，因为，所以是共面向量， 故不能作为空间中的一组基底，故B不符合题意； 对于C，若共面， 则存在实数，使得， 因为为空间中的一组基底，所以，无解， 所以不共面， 所以能作为空间中的一组基底，故C符合题意； 对于D，因为， 所以是共面向量， 所以不能作为空间中的一组基底，故D不符合题意. 故选：C. 【变式1-2】（25-26高二上·广西南宁·阶段检测）若构成空间的一个基底，则下列选项中的向量也可以作为基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据空间向量共面的判定定理，结合基底的性质（不共面），对每个选项逐一分析向量是否共面，即可得出结果. 【解答过程】选项A，若共面， 则存在实数使得，即， 因为不共面，所以，解得，所以为共面向量， 所以不能作为基底，故A错误； 选项B，若共面， 则存在实数使得， 因为不共面，所以，解得， 所以存在实数使得， 即共面，所以不能作为基底，故B错误； 选项C，若共面， 则存在实数使得，即， 因为不共面，所以，解得，所以共面， 所以不能作为基底，故C错误； 选项D，若共面， 则存在实数使得，即， 因为不共面，所以，方程组无解，所以不为共面向量， 所以能作为基底，故D正确. 故选：D. 【变式1-3】（25-26高二上·上海青浦·阶段检测）在平行六面体中，设．下列选项中，可以作为空间中的一组基的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据空间的基底概念和空间向量共面定理即可逐一判断各选项. 【解答过程】在平行六面体中，为不共面向量. A，因中的可以表示为的和，即三个向量共面，不能作为基底，不合题意； B，对于，因，即为共面向量，不合题意； C，对于，因，即为共面向量，不合题意； D，假设为共面向量， 则存在唯一的，满足， 则，该方程显然无解，故假设不成立，即可以作为空间中的一组基，符合题意. 故选：D. 【题型2 用空间基底表示向量】 【例2】（25-26高二上·福建三明·期末）如图，空间四边形中，是的中点，点在上，且满足，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定的几何体及空间向量的基底，利用空间向量的线性运算求解判断. 【解答过程】在空间四边形中，是的中点，， 则. 故选：B. 【变式2-1】（25-26高二上·广东·期末）如图，在四面体中，．设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用空间向量基本定理直接求解即可. 【解答过程】由题知， . 故选：D. 【变式2-2】（25-26高二上·湖北孝感·期末）在平行六面体中，是的中点，为平面内一点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据已知条件和空间向量基本定理求出，进而求得结果. 【解答过程】由图可知，，而， 若，所以， 因为，所以， 代入得， ， 因为为平面内一点，所以，解得. 所以. 故选：C. 【变式2-3】（25-26高二上·四川成都·期末）如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】运用共线向量的线性表示法，结合线段的比例关系确定点的位置向量，然后利用向量加法的线性运算，通过逐步表示从已知点出发的路径向量，最终将所求向量用已知基底表示. 【解答过程】因为是中点，在线段上，满足，在线段上，满足， 所以，， 于是， 已知，所以，于是：， 所以. 故选：A. 【题型3 空间向量基本定理及其应用】 【例3】（25-26高二上·河北唐山·期末）在正方体中，为棱的中点，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】用、、表示向量、、，利用空间向量基本定理可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出的值. 【解答过程】如下图所示： 因为为的中点，所以， 又因为，，且， 即 ， 显然、、不共面，所以，解得，故. 故选：C. 【变式3-1】（25-26高二上·河南开封·期中）已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设，利用向量的减法运算和空间向量基本定理即可求出. 【解答过程】因点在平面内，则使得， 则， 即， 因是平面外一点，则不共面， 则由以及空间向量基本定理可知， ，得. 故选：B. 【变式3-2】（25-26高二上·河南郑州·期中）如图，在直三棱柱中，，分别为的中点. (1)若，求的值； (2)求. 【答案】(1)0 (2) 【解题思路】（1）根据向量的运算法则，化简得到，结合，即可求解； （2）可得，结合数量积运算求解即可.. 【解答过程】（1）由向量的线性运算法则可得 ， 又因为，则， 所以. （2）由题意可知：， 又因为， 所以. 【变式3-3】（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）已知是平行六面体，、分别为棱和的中点． (1)化简，并在图中标出化简结果 (2)设是底面的中心，是侧面对角线上靠近的四等分点，设，试求的值． 【答案】(1) . (2) 【解题思路】（1）由空间向量的运算，代入计算，即可得到结果； （2）由题意可得，，且，代入计算，即可得到结果. 【解答过程】（1） 取的中点，则， . （2）因为是底面的中心，则， 因为是侧面对角线上靠近的四等分点， 所以， 则， 又，则， 所以. 模块三 空间向量的正交分解 【知识点2 空间向量的正交分解】 1．单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． 2．向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 【题型4 空间向量的正交分解】 【例4】（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）向量是空间的一个单位正交基底，向量在基底，，下的坐标为，则在基底的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设，根据空间向量基本定理即可建立关于，，的方程，解方程即得，，． 【解答过程】设； 由题意可知， ，解得； 在基底下的坐标为． 故选：A． 【变式4-1】（25-26高二上·河北·期中）已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先得到两两垂直，再根据其长度得到空间的一个单位正交基底. 【解答过程】因为平面，平面， 所以，． 因为,即两两垂直， 又，，， 所以空间的一个单位正交基底可以为． 故选：B. 【变式4-2】（25-26高二上·河南洛阳·阶段检测）已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设，根据空间向量基本定理建立关于的方程，解之即可得解. 【解答过程】解：设 ， 所以，解得， 所以向量在基底下的坐标为. 故选：A. 【变式4-3】（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）已知是空间的一组单位正交基底，若向量在基底下用有序实数组表示为，则与向量同向的单位向量在基底下用有序实数组表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出与向量同向的单位向量的有序实数组，设与向量同向的单位向量在基底下有序实数组表示为，根据 ，可得，从而求出答案. 【解答过程】因为向量在基底下用有序实数组表示为， 所以与向量同向的单位向量的有序实数组表示为， 设与向量同向的单位向量在基底下有序实数组表示为， 所以， 又因为， 所以，解得， 则与向量同向的单位向量在基底下用有序实数组表示为. 故选：C. 模块四 用空间向量基本定理解决相关问题 【知识点3 空间向量基本定理的应用】 1．证明平行、共线、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 2．求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 3．求距离(长度)问题 ． 4．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路： (1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； (2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； (3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得． 【注】：用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量. (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立. 【题型5 证明平行、共线、共面问题】 【例5】（25-26高二上·四川泸州·阶段检测）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【解题思路】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得； （2）借助向量共线定理证明 即可得． 【解答过程】（1）因为，则， 所以， 又因为，则， 所以 ； （2）证明：因为 ， ， 所以， 所以与共线， 因为这两个向量有公共点， 所以、、三点共线． 【变式5-1】（25-26高二上·山西·开学考试）已知是空间的一个基底，且，，，. (1)求证：，，，四点共面； (2)能否作为空间的一个基底?若能，试用这一基底表示；若不能，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)不能作为基底，理由见解析 【解题思路】（1）根据向量的线性(加减)关系判断是否成立，即可证结论； （2）判断是否成立即可. 【解答过程】（1）证明：由，， 而，则， 所以，，，四点共面； （2）不能作为基底，理由： 若共面，则，即， 所以，则，可得， 所以，故不能作为基底. 【变式5-2】（25-26高二·全国·课后作业）如图，在平行六面体中，，． (1)求证：、、三点共线； (2)若点是平行四边形的中心，求证：、、三点共线． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据空间向量的加减运算，选定基底表示出向量，根据向量间的倍数关系可证明结论； （2）根据空间向量的加减运算，选定基底表示出向量，根据向量间的倍数关系可证明结论； 【解答过程】（1）证明：由题意，，， 故 , , 故，由于有公共点A， 故A、、三点共线； （2）证明：由题意，点是平行四边形的中心， 故 ， ， 故，因为有公共点D， 故、、三点共线． 【变式5-3】（25-26高二上·河南许昌·阶段检测）已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点（如图所示），并且，，，，．求证： (1)A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面； (2)； (3)三点共线． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据空间向量的基本定理即可得证； （2）由，结合空间向量的减法和数乘运算可推出，从而得证； （3）由，结合（2）中结论与即可得证. 【解答过程】证明：（1）由，， 知A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面； （2）由，，， 得 ， 所以； （3）由（2）知， 所以 ， 所以， 即，又与有一个公共点，所以三点共线． 【题型6 几何中的求夹角、证明垂直问题】 【例6】（25-26高二上·浙江台州·期末）如图，在直三棱柱中，，，. (1)用表示； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】(1) (2). 【解题思路】（1）利用空间向量基本定理得到； （2）两边平方，求出，得到，并求出，，利用异面直线向量夹角余弦公式求出答案. 【解答过程】（1）， 故 ； （2）由（1）知，，两边平方得 ， 因为三棱柱为直三棱柱，， 所以，故， ， 所以， 故. 因为，故， 设直线与直线所成角为， ， 所以， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 【变式6-1】（25-26高一下·吉林长春·期末）如图，在平行六面体中，，，，． (1)以为基底向量，表示向量，； (2)求证：； (3)求的长． 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3) 【解题思路】（1）依托空间向量加减法法则，用线性表示； （2）将两向量数量积展开，结合边长与夹角算出点积为，证明向量垂直； （3）对平方展开，代入模长与数量积求出模长平方，开方得到线段长度． 【解答过程】（1）， ； （2）证明：因为，，，， 所以，， 由（1）得 ， 所以，即； （3）由（1）得， 所以 ， 所以，即的长为． 【变式6-2】（2026高二·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点，若，，， (1)用,,表示和； (2)求． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）根据空间向量线性运算法则，结合图形计算可得； （2）首先根据数量积的定义求出，，，再根据数量积的运算律求出及，最后根据夹角公式计算可得. 【解答过程】（1）连接，如图： 因为，，， 在，根据向量减法法则可得：， 因为底面是平行四边形， 故， 因为∥且， 所以， 又为线段中点， 所以， 在中，， 故平行四边形中，； （2）因为顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是， 故，，， 所以 ，故， 所以， 所以. 【变式6-3】（25-26高二下·江苏常州·阶段检测）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.    (1)求证：共面； (2)当为何值时，； (3)若，且，求的长. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【解题思路】（1）利用向量证明，然后可证； （2）以为基底表示出，然后根据求解可得； （3）利用基底表示出，然后平方转化为数量积求解即可. 【解答过程】（1）证明：在平行六面体中，连接， 因为， 所以， ， 所以，即且， 所以四边形为平行四边形，即共面. （2）当时，，理由如下， 设，且与、与、与的夹角均为， 因为底面为菱形，所以， ， ，                     若，则， 即， 即， 解得或舍去， 所以时，； （3）， ， ， ， 所以，所以的长为. 【题型7 几何中的求距离(长度)问题】 【例7】（25-26高二上·山东·阶段检测）如图，空间四边形中，，，，且任意两个之间的夹角均为，，，则（    ）    A． B． C． D．2 【答案】A 【解题思路】利用基底法表示出，再根据向量模的计算公式和向量数量积的运算律即可得到答案. 【解答过程】由题意得 ， 而， ， ， 则 . 故选：A. 【变式7-1】（25-26高二上·海南·期中）如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，底面底面，且是正方形的中心，若，则（    ） A．2 B． C．5 D． 【答案】A 【解题思路】设，用基底表示出，再由数量积的运算律化简可求出，即可得出答案. 【解答过程】因为底面是边长为1的正方形，底面 底面ABCD， 所以，，，设， 因为， ， ，解得：， 故. 故选：A. 【变式7-2】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图，D是正四面体的棱的中点，点E在线段上，点P在线段上，且，，设向量，，. (1)用向量，，表示和； (2)若正四面体的棱长为4，求线段DP的长度. 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）根据题意可以得到向量之间的线性关系，利用空间向量的基本定理及线性运算进行求解； （2）根据空间向量的模的性质及空间向量数量积的运算律求解即可. 【解答过程】（1）因为 D是正四面体的棱的中点，， 所以， 所以 ， 所以 （2）由正四面体的棱长为4，可知，且两两夹角为. 由（1）知 . 【变式7-3】（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）如图，在平行六面体中，点，分别在棱，上，且，. (1)若，求的值. (2)若，且，，求的长. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用空间向量基本定理即可求解； （2）利用空间向量基本定理结合向量的数量积即可求解. 【解答过程】（1）因为 ，又， 所以， 所以； （2）因为， ， 所以，. 【题型8 空间向量基本定理与其他知识综合】 【例8】（25-26高二上·浙江衢州·期中）已知正四面体的棱长为1，动点在平面上运动，且满足，则的值为（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】C 【解题思路】由四点共面推得，再以为基底进行向量运算可得. 【解答过程】动点在平面上运动，且不共线， 则存在实数，使. 即， 所以. 又， 不共面， 由空间向量基本定理可知，故， 解得.即. 因为四面体正四面体，且棱长为. 所以，. 所以 . 故选：C. 【变式8-1】（25-26高二上·江西·阶段检测）中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“刍童”的几何体，该几何体是上下两个底面平行，且均为矩形的六面体.现有一“刍童”，如图所示.，，，，，与的交点为，则的最大值为（    ） A． B．18 C． D．21 【答案】C 【解题思路】设，从而，然后由为基底，表示向量，再利用向量数量积的运算律求解. 【解答过程】解：设，则， 由题意得，. 所以， ， ， ， 当时，取得最大值，且最大值为. 故选：C. 【变式8-2】（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，，，为与的交点．设，，． (1)用，，表示，并求的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2)2 【解题思路】（1）先根据平行六面体的性质找到向量之间的关系，用表示出，再通过向量模的计算公式求出的值； （2）先求出，再根据向量数量积的运算规则求出的值. 【解答过程】（1）因为平行六面体中，为与的交点， 所以是中点，也是中点， 又因为，且平行六面体中，， 那么， 因为，， 所以， ， 因为，所以，又，， 所以， ，所以. （2）因为， 所以 . 【变式8-3】（25-26高二上·重庆·阶段检测）如图，在四面体中，平面，平面，为的中点，． (1)设，，，用表示； (2)若. （i）求； （ii）求． 【答案】(1)； (2)（i）；（ii） 【解题思路】（1）连接，利用空间向量的线性运算，准确化简、运算，即可求解； （2）根据题意，利用空间向量的模长公式和向量的数量积的运算公式，准确计算，即可求解（i）和（ii）. 【解答过程】（1）如图所示， 连接，可得， 因为为的中点，， 所以， 所以 . （2）因为平面，平面，且平面，平面， 所以，所以， （i）. （ii）因为， 所以 ， 又因为， 所以， 所以. 模块五 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·福建莆田·期末）在正方体中，若，，，E为线段上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由空间向量基本定理，结合向量加法和数乘的几何运算求解. 【解答过程】， 故选：B. 2．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）在正四面体中，为中点，在上．且为中点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用空间向量基本定理进行求解即可. 【解答过程】因为为中点， 所以 . 故选：A. 3．（25-26高二上·山东临沂·期末）在四面体中，为线段靠近的三等分点，为的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用空间向量的基本定理可求出、、的值，即可得出的值. 【解答过程】如下图所示： 因为为的中点，所以，由题意可知， 所以， 在三棱锥中，、、不共面，且， 所以，，故. 故选：A. 4．（25-26高二上·河南商丘·阶段检测）设是空间的一组基底，向量，若，，，且是空间的另一组基底，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设，根据列出方程组即可求解． 【解答过程】设， 则 ， 又，则，解得，，， 所以． 故选：A． 5．（25-26高二上·宁夏银川·期末）在平行六面体中，为与的交点，若以为基底，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先判断点的位置，再利用空间向量基本定理即可求解. 【解答过程】在平行六面体中，底面为平行四边形，所以为和的中点， 所以 ， 故选：A. 6．（25-26高二上·浙江·期末）已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，利用空间向量的共面定理，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【解答过程】对于A，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以A不符合题意； 对于B，设存在实数，使得，可得， 所以，解得，所以共面，不能作为空间基底，所以B符合题意； 对于C，向量，不存在实数使得， 所以不共面，可以作为空间基底，所以C不符合题意； 对于D，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以D不符合题意. 故选：B. 7．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，过点的平面分别与棱、、交于点、、，若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设，连接，由空间向量的线性运算得出，，结合空间向量的基本定理可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出答案. 【解答过程】设，连接， 则． 因为，即，故， 因为、、、四点共面，且、不共线，存在、，使得， 所以， 由空间向量的基本定理可得，解得，所以. 故选：A. 8．（25-26高二上·江苏无锡·期中）在平行六面体中，，为的中点，则其中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据向量的线性运算判断A；根据A的结果计算数量积可判断B；利用基底表示，再代入向量数量积运算求模可判断C；根据几何图形可判断D. 【解答过程】对于A， ，故A正确； 对于B，因为， 所以 ，故B正确；    对于C， ，故C错误； 对于D，， 所以平行六面体六个面全等，所以， 即为正三角形，故，故D正确. 故选：C. 二、多选题 9．（25-26高二上·陕西汉中·期末）设是空间的一组基底，则下列结论正确的是（   ） A．基底中的向量可以为任意向量 B．空间中任一向量，存在唯一有序实数组，使 C．向量可以共面 D．也可以构成空间的一组基底 【答案】BD 【解题思路】根据条件可得向量不共面，即可判断A和C的正误；对B，结合条件，根据空间向量基本定理，即可判断正误；对D，根据条件可得不共面，即可求解. 【解答过程】对于A，因为是空间的一组基底，所以向量不共面，故A错误， 对于B，因为向量不共面，由空间向量基本定理可知，空间中任一向量， 存在唯一有序实数组，使，所以B正确， 对于C，因为是空间的一组基底，所以向量不共面，故C错误， 对于D，假设向量共面，则存在唯一实数，使， 即，所以，无解，所以不共面，故D正确， 故选：BD. 10．（26-27高二上·河北保定·开学考试）如图所示，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，设设，，，则下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解题思路】利用空间向量基本定理和向量的加减法逐一计算即可判断． 【解答过程】由向量的平行四边形法则，得，故A错误； 由向量的平行四边形法则和三角形法则， 得 ，故B正确； 因为点在线段上，且，所以， 所以，故C错误； ，故D正确． 故选：BD. 11．（25-26高二上·广西柳州·期中）如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且 ，设，下列选项正确的是（   ） A． B．长为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D． 【答案】ABD 【解题思路】以为一组基底，对于A：根据空间向量的线性运算求解即可；对于B：根据，利用数量积的运算即可求解；对于C：先求，利用向量的夹角公式即可判断；对于D：先求，再利用数量积的运算求得即可判断. 【解答过程】由题意可知：，，， 对于选项A：因为，故A正确； 对于选项B：因为， 即，所以长为，故B正确； 对于选项C：因为，且， 可得 可得， 所以异面直线与所成角的余弦值为，故C错误； 对于选项D：因为， 且， 则， 所以，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 12．（25-26高二上·河北邢台·期末）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，过点的平面分别与棱，，交于点，，，若，以为空间的一个基底，则___________.    【答案】 【解题思路】设，由空间向量的线性运算得出，，结合空间向量的基本定理可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出答案. 【解答过程】设，则． 因为A，E，F，G四点共面，且不共线， 所以. 由，解得，所以. 故答案为：. 13．（25-26高二上·山东青岛·期末）是空间的一个单位正交基底，向量，若向量用空间的另一个基底表示为，则___________． 【答案】 【解题思路】利用空间向量的基本定理可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得解. 【解答过程】因为，且， 由于是空间的一个单位正交基底，所以，解得， 因此. 故答案为：. 14．（25-26高二上·河南信阳·期末）如图，在三棱锥中，点G为的重心，点M在上，且，过点M任意作一个平面分别交线段，，于点D，E，F，若，，，则的值为__________． 【答案】4 【解题思路】以为空间一组基底，结合四点共面，用两种方法表示出，由空间向量的基本定理求得的值. 【解答过程】连接并延长，交于点，以为空间一组基底， 由于是的重心，点M在上，且， 所以 ①， 连接，因为四点共面，所以存在实数，使得， 即，②， 由①②以及空间向量的基本定理可知：，，所以. 故答案为：4. 四、解答题 15．（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，，求： (1)试用表示，再求的长度； (2)求直线与直线所成角的余弦值． 【答案】(1)，； (2). 【解题思路】（1）根据几何体是平行六面体，可用基底表示，将其平方后，计算空间向量的数量积，即可得解； （2）先将与均用基底表示，再应用向量夹角公式，即可得解. 【解答过程】（1）由于几何体是平行六面体，则， ， 所以； （2）设直线与直线所成角为，则， ， 又因为， 所以， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 16．（25-26高二上·安徽·期中）如图，在平行六面体中，，是棱的中点，记，，.    (1)用、、表示向量； (2)若，，点满足，且，求. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用空间向量的基本定理可将用向量、、表示； （2）由题意得出结合空间向量数量积的运算性质得出关于的值，再利用空间向量数量积的运算性质可求得的值. 【解答过程】（1）由题意可得 . （2） ， 因为，所以，解得， 所以， 故. 17．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，四棱柱的各个面都是平行四边形，，分别在和上，且，. (1)求证：，，，四点共面； (2)已知，求的值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解题思路】（1）根据空间向量基本定理即可证明. （2）把作为一组基底，结合向量的线性运算即可求解. 【解答过程】（1）证明：因为 . 又，，有公共点，所以，，，四点共面. （2）因为 . 所以，，.所以. 18．（25-26高二上·四川绵阳·阶段检测）如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． (1)用为基底表示向量，并求的长； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）先求出，两边平方得到，求出的长； （2），平方，进而求出，，利用空间向量夹角公式得到. 【解答过程】（1）记，，， 则，， ∴，， ， ∴，即的长为； （2），故， 故， 由（1）知，， 故 ， ∴． 19．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，， . (1)以，，为基底向量，表示向量、； (2)求证：； (3)求的长. 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3) 【解题思路】（1）结合图形利用空间向量的线性运算求解； （2）利用空间向量的数量积证明； （3）利用空间向量的数量积的运算律计算即得. 【解答过程】（1）在中，根据空间向量的减法运算可得， ； （2）证明：因，，，， 则，， 由（1）得 ， 所以，即； （3）由（1）知， 所以 ， 所以. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 空间向量基本定理 【人教A版】 模块二 空间向量基本定理 【知识点1 空间向量基本定理】 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．用基底表示向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有，不能含有其他形式的向量． 【题型1 空间向量基底概念及辨析】 【例1】（25-26高二上·湖南永州·期中）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【变式1-1】（25-26高二上·浙江温州·期末）已知为空间中的一组基底，则下列几组向量中也可以作为基底的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·广西南宁·阶段检测）若构成空间的一个基底，则下列选项中的向量也可以作为基底的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二上·上海青浦·阶段检测）在平行六面体中，设．下列选项中，可以作为空间中的一组基的是（　　） A． B． C． D． 【题型2 用空间基底表示向量】 【例2】（25-26高二上·福建三明·期末）如图，空间四边形中，是的中点，点在上，且满足，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·广东·期末）如图，在四面体中，．设，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·湖北孝感·期末）在平行六面体中，是的中点，为平面内一点，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高二上·四川成都·期末）如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，则（   ） A． B． C． D． 【题型3 空间向量基本定理及其应用】 【例3】（25-26高二上·河北唐山·期末）在正方体中，为棱的中点，，则（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·河南开封·期中）已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·河南郑州·期中）如图，在直三棱柱中，，分别为的中点. (1)若，求的值； (2)求. 【变式3-3】（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）已知是平行六面体，、分别为棱和的中点． (1)化简，并在图中标出化简结果 (2)设是底面的中心，是侧面对角线上靠近的四等分点，设，试求的值． 模块三 空间向量的正交分解 【知识点2 空间向量的正交分解】 1．单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． 2．向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 【题型4 空间向量的正交分解】 【例4】（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）向量是空间的一个单位正交基底，向量在基底，，下的坐标为，则在基底的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高二上·河北·期中）已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·河南洛阳·阶段检测）已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）已知是空间的一组单位正交基底，若向量在基底下用有序实数组表示为，则与向量同向的单位向量在基底下用有序实数组表示为（    ） A． B． C． D． 模块四 用空间向量基本定理解决相关问题 【知识点3 空间向量基本定理的应用】 1．证明平行、共线、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 2．求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 3．求距离(长度)问题 ． 4．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路： (1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； (2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； (3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得． 【注】：用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量. (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立. 【题型5 证明平行、共线、共面问题】 【例5】（25-26高二上·四川泸州·阶段检测）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【变式5-1】（25-26高二上·山西·开学考试）已知是空间的一个基底，且，，，. (1)求证：，，，四点共面； (2)能否作为空间的一个基底?若能，试用这一基底表示；若不能，请说明理由. 【变式5-2】（25-26高二·全国·课后作业）如图，在平行六面体中，，． (1)求证：、、三点共线； (2)若点是平行四边形的中心，求证：、、三点共线． 【变式5-3】（25-26高二上·河南许昌·阶段检测）已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点（如图所示），并且，，，，．求证： (1)A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面； (2)； (3)三点共线． 【题型6 几何中的求夹角、证明垂直问题】 【例6】（25-26高二上·浙江台州·期末）如图，在直三棱柱中，，，. (1)用表示； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【变式6-1】（25-26高一下·吉林长春·期末）如图，在平行六面体中，，，，． (1)以为基底向量，表示向量，； (2)求证：； (3)求的长． 【变式6-2】（2026高二·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点，若，，， (1)用,,表示和； (2)求． 【变式6-3】（25-26高二下·江苏常州·阶段检测）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.    (1)求证：共面； (2)当为何值时，； (3)若，且，求的长. 【题型7 几何中的求距离(长度)问题】 【例7】（25-26高二上·山东·阶段检测）如图，空间四边形中，，，，且任意两个之间的夹角均为，，，则（    ）    A． B． C． D．2 【变式7-1】（25-26高二上·海南·期中）如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，底面底面，且是正方形的中心，若，则（    ） A．2 B． C．5 D． 【变式7-2】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图，D是正四面体的棱的中点，点E在线段上，点P在线段上，且，，设向量，，. (1)用向量，，表示和； (2)若正四面体的棱长为4，求线段DP的长度. 【变式7-3】（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）如图，在平行六面体中，点，分别在棱，上，且，. (1)若，求的值. (2)若，且，，求的长. 【题型8 空间向量基本定理与其他知识综合】 【例8】（25-26高二上·浙江衢州·期中）已知正四面体的棱长为1，动点在平面上运动，且满足，则的值为（    ） A． B． C．0 D．2 【变式8-1】（25-26高二上·江西·阶段检测）中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“刍童”的几何体，该几何体是上下两个底面平行，且均为矩形的六面体.现有一“刍童”，如图所示.，，，，，与的交点为，则的最大值为（    ） A． B．18 C． D．21 【变式8-2】（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，，，为与的交点．设，，． (1)用，，表示，并求的值； (2)求的值． 【变式8-3】（25-26高二上·重庆·阶段检测）如图，在四面体中，平面，平面，为的中点，． (1)设，，，用表示； (2)若. （i）求； （ii）求． 模块五 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·福建莆田·期末）在正方体中，若，，，E为线段上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）在正四面体中，为中点，在上．且为中点，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·山东临沂·期末）在四面体中，为线段靠近的三等分点，为的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·河南商丘·阶段检测）设是空间的一组基底，向量，若，，，且是空间的另一组基底，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·宁夏银川·期末）在平行六面体中，为与的交点，若以为基底，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·浙江·期末）已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，过点的平面分别与棱、、交于点、、，若，，则（　　） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·江苏无锡·期中）在平行六面体中，，为的中点，则其中错误的是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·陕西汉中·期末）设是空间的一组基底，则下列结论正确的是（   ） A．基底中的向量可以为任意向量 B．空间中任一向量，存在唯一有序实数组，使 C．向量可以共面 D．也可以构成空间的一组基底 10．（26-27高二上·河北保定·开学考试）如图所示，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，设设，，，则下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·广西柳州·期中）如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且 ，设，下列选项正确的是（   ） A． B．长为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D． 三、填空题 12．（25-26高二上·河北邢台·期末）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，过点的平面分别与棱，，交于点，，，若，以为空间的一个基底，则___________.    13．（25-26高二上·山东青岛·期末）是空间的一个单位正交基底，向量，若向量用空间的另一个基底表示为，则___________． 14．（25-26高二上·河南信阳·期末）如图，在三棱锥中，点G为的重心，点M在上，且，过点M任意作一个平面分别交线段，，于点D，E，F，若，，，则的值为__________． 四、解答题 15．（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，，求： (1)试用表示，再求的长度； (2)求直线与直线所成角的余弦值． 16．（25-26高二上·安徽·期中）如图，在平行六面体中，，是棱的中点，记，，.    (1)用、、表示向量； (2)若，，点满足，且，求. 17．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，四棱柱的各个面都是平行四边形，，分别在和上，且，. (1)求证：，，，四点共面； (2)已知，求的值. 18．（25-26高二上·四川绵阳·阶段检测）如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． (1)用为基底表示向量，并求的长； (2)求的值． 19．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，， . (1)以，，为基底向量，表示向量、； (2)求证：； (3)求的长. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $