第04讲 充分条件与必要条件（十大题型+思维导图+知识归纳+课后作业）（暑假预习举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册

第04讲 充分条件与必要条件（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 命题 在初中，我们已经对命题有了初步的认识.一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题.中学数学中的许多命题可以写成“若p，则q”“如果p，那么q”等形式.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论.本节主要讨论这种形式的命题.下面我们将进一步考察“若p，则q”形式的命题中p和q的关系，学习数学中的三个常用的逻辑用语——充分条件、必要条件和充要条件. 【知识点1 命题及相关概念】 1．命题及相关概念 (1)定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题. (2)命题的分类 ①真命题：判断为真的语句； ②假命题：判断为假的语句. (3)命题的形式：“若p，则q”.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论. 【注】数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有真假之分，而定理是真命题. 【题型1 命题的概念】 【例1】（24-25高一上·全国·随堂练习）下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B．同位角相等 C． D． 【答案】B 【解题思路】利用命题的判断方法，结合选项，即可得出结果. 【解答过程】因为命题是能判断真假的陈述语句，选项A，C和D不能判断真假，选项B可以判断真假， 故选：B. 【变式1-1】（25-26高一上·全国·课后作业）下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 【答案】D 【解题思路】由命题的定义判断各个选项即可. 【解答过程】由命题的定义可知，能够判断真假的陈述句是命题，所以D为命题． A，B，C不能判断真假，所以不是命题． 故选:D． 【变式1-2】（2025高一上·全国·专题练习）下列语句中，命题的个数是（　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】根据命题的概念逐一判断. 【解答过程】①③是命题；②是祈使句，不是命题；④是疑问句，不是命题. 故选：C. 【变式1-3】（24-25高一上·甘肃酒泉·期中）下列语句是命题的是（    ） A．3是偶数吗? B．三角形的内角和等于180° C．这里的景色山真美啊! D． 【答案】B 【解题思路】根据命题的定义逐个判断即可. 【解答过程】对于A：命题是陈述句不是疑问句，A错误； 对于B：这是陈述句，同时对事件作出判断，是命题，B正确； 对于C：这是感叹句，不是命题，C错误； 对于D：这是一个数学不等式，没有作出判断，所以D错误， 故选：B. 【题型2 判断命题的真假】 【例2】（24-25高一·江苏·暑假作业）下列语句为真命题的是（　　） A． B．四条边都相等的四边形为矩形 C． D．今天是星期天 【答案】C 【解题思路】先根据命题的定义判断是否是命题，然后再判断真假即可 【解答过程】对于A，因为此语句不能判断真假，所以不是命题，所以A错误， 对于B，此语句是命题，而在平面内四条边都相等的四边形是菱形，所以B错误， 对于C，是命题，且是真命题，所以C正确， 对于D，因为此语句不能判断真假，所以不是命题，所以D错误， 故选：C. 【变式2-1】（24-25高一上·江苏连云港·阶段检测）对于命题：全等三角形的周长相等，命题：周长相等的三角形全等，下列说法中正确的是（   ） A．和都是真命题 B．和都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 【答案】C 【解题思路】根据全等三角形的定义即可判断命题，对A,B,C,D进行判断即可. 【解答过程】解：对命题，全等三角形的形状和大小均相同， 故周长相等，故命题为真命题, 对命题，只要三角形三边和相等，则周长相等， 对形状和大小无要求，故周长相等的三角形不一定全等， 故命题为假命题； 对A,命题为真命题,命题为假命题，故A错； 对B，命题为真命题,命题为假命题，故B错； 对C, 命题为真命题,命题为假命题，故C对， 对D, 命题为真命题,命题为假命题,故D错. 故选：C. 【变式2-2】（25-26高一上·全国·课前预习）下列命题中，是真命题的是（   ） A．所有梯形的对角线相等 B． C．存在一个自然数小于0 D． 【答案】D 【解题思路】根据各项的描述及相关数、式、形的概念和性质判断命题的真假. 【解答过程】不是所有梯形的对角线都相等，只有等腰梯形的对角线相等，A错误； 当时，，B错误； 所有的自然数均大于或等于0，C错误； 当，时，，D正确. 故选：D. 【变式2-3】（24-25高一上·上海·单元测试）下列四个命题： ①没有一个无理数不是实数； ②空集是任何一个非空集合的真子集； ③； ④至少存在一个整数x，使得是整数． 其中是真命题的为（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②④ 【答案】A 【解题思路】根据实数的分类可判断①为真命题，根据空集的性质可判断②为真命题，根据实数的运算可判断③为真命题，通过举例可得④为真命题. 【解答过程】因为实数由无理数和有理数构成，故所有无理数都是实数，故①正确； 因为空集是任何非空集合的真子集，故②正确； 因为，故③正确； 取，则是整数，故④正确. 故选：A. 模块三 充分条件与必要条件 【知识点2 充分条件与必要条件】 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 【题型3 充分条件】 【例3】（25-26高一上·全国·课后作业）下列命题中，不是“四边形是正方形”的充分条件的有（    ） A．对角线相等的菱形 B．邻边相等的矩形 C．对角线相等的平行四边形 D．有一个角是直角的菱形 【答案】C 【解题思路】根据菱形、矩形、平行四边形的性质特征，结合充分条件的定义及正方形的性质判断命题间的关系. 【解答过程】根据正方形的判定及菱形、矩形、平行四边形的性质，知A，B，D中描述的四边形均为正方形，是“四边形是正方形”的充分条件， 对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，故C不是“四边形是正方形”的充分条件. 故选：C. 【变式3-1】（24-25高一上·全国·课后作业）两个三角形全等的充分条件是（    ） A．两个三角形的两角对应相等 B．两个三角形的两边对应成比例且夹角相等 C．两个三角形的三边对应成比例 D．两个三角形的两边对应相等且夹角相等 【答案】D 【解题思路】由全等三角形的判定定理可得结果. 【解答过程】根据全等三角形的判定定理可得， 当两个三角形的两边及其夹角对应相等时，两个三角形全等． 故选：D. 【变式3-2】（24-25高一上·四川凉山·阶段检测）若“”是“或”的充分条件，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先解出的取值，再根据充分条件确定m的取值. 【解答过程】，则， 因为“”是“或”的充分条件， 所以，解得， 故选：C. 【变式3-3】（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）下列所给的各组，中，满足的充分条件是的个数是（    ） （1）：四边形的对角线相等，：四边形是正方形； （2）：两个直角三角形全等，：两个直角三角形的斜边相等； （3）：，：； （4）：，：； （5）：同位角相等，：两条直线平行； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】根据充分条件的定义，逐一判断能否推出，即可得解. 【解答过程】对于（1），对角线相等的四边形不一定是正方形，例如长方形，所以； 对于（2），由全等三角形对应边相等，可知全等的直角三角形斜边一定相等，所以； 对于（3），时，，不是只有，所以； 对于（4），时，，不是只有，所以； 对于（5），根据平行线判定定理，同位角相等则两直线平行，所以. 因此，只有（2）和（5）满足是的充分条件，共2个. 故选：B. 【题型4 必要条件】 【例4】（25-26高一上·湖南永州·阶段检测）设，则成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】对于两个集合来说，根据充分条件是找子集，必要条件是找集合，即可得到答案. 【解答过程】若集合是集合的必要条件，则， 所以在选项中使得成立的一个必要条件只有， 故选：A. 【变式4-1】（24-25高三上·安徽合肥·阶段检测）在下列若则的命题中，是的必要条件的命题是（    ） A．若四边形的一组邻边相等，则四边形是平行四边形 B．若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等 C．若，则 D．若是无理数，则也是无理数 【答案】C 【解题思路】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【解答过程】对于A：因为不是的充分条件，则不是的必要条件，故A错误； 对于B：若一个三角形三边分别为5，6，9，另一三角形三边分别为6，6，8， 两个三角形周长相等，却不全等，则不是的必要条件，故B错误； 对于C：由可以推出，所以是的充分条件， 则是的必要条件，故C正确； 对于D：若，则，不是无理数，不是的充分条件，则不是的必要条件，故D错误； 故选：C. 【变式4-2】（24-25高一上·福建泉州·阶段检测）使不等式成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】不等式变形得出其充要条件，然后根据必要条件的定义判断． 【解答过程】 ， 因此只有B是其必要条件． 故选：B． 【变式4-3】（24-25高一上·广东揭阳·阶段检测）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关. 黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（    ） A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据逆否命题的等价性，结合充分，必要条件的定义，即可判断选项. 【解答过程】由题意“不破楼兰终不还”只可知，“返回家乡”则可推出“攻破楼兰”， 故“攻破楼兰”是“返回家乡”必要条件， 故选：A. 模块四 充要条件 【知识点3 充要条件】 1．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【注】：“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 【知识点4 充分条件与必要条件的判定】 1．充分、必要与充要条件的判定 (1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. (2)如果且，则p是q的既不充分也不必要条件. (3)如果p⇒q且，则称p是q的充分不必要条件. (4)如果且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. (5)设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}，若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若A=B，则p是q的充要条件. 2．充分条件、必要条件的两种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 3．充分条件、必要条件的应用 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. 【题型5 充分条件、必要条件及充要条件的判定】 【例5】（25-26高一上·广东·期末）已知，，，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】根据题意，分别验证充分性以及必要性，即可得到结果. 【解答过程】由推不出，比如，则充分性不成立； 当时，由于，则，所以，则必要性成立. 则p是q的必要不充分条件. 故选：B. 【变式5-1】（25-26高一上·吉林长春·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义直接判断. 【解答过程】依题意，集合真包含于集合， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式5-2】（25-26高一上·河北邢台·期末）若，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据充分性、必要性的概念求解即可. 【解答过程】若，则由可得， 所以由“”可以推出“”， 由“”不一定有“”， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式5-3】（25-26高一上·广东惠州·期末）设，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】先分别解出和的等价范围，再通过判断两个范围的包含关系来确定充分性与必要性. 【解答过程】由“”解得，由“”解得， 若，则必然有，即 ，故充分性成立， 若，取，满足，但，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 【题型6 充分条件、必要条件及充要条件的探索】 【例6】（24-25高一下·广东揭阳·期末）若，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据充分条件和必要条件的定义逐一判断即可. 【解答过程】对于A，因为，所以，即， 当时，取，则， 所以“”是“”的一个充分不必要条件，故A正确； 对于B，即，“”是“”的充要条件，故B错误； 对于C，由，取，则， 由，取，则， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D，由，取，则， 由，取，则， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D错误． 故选：A． 【变式6-1】（2025·山东聊城·模拟预测）“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】解出的范围，再根据充分不必要条件的判断即可得到答案. 【解答过程】由，得， 故“”是“”的一个充分不必要条件. 故选：B. 【变式6-2】（25-26高一上·河南·期中）不等式的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据绝对值不等式的解法，结合充分不必要条件的定义进行求解即可． 【解答过程】对于B：由得，解得，显然为充要条件，错误； 对于A：因为能推出，不能推出， 所以是不等式的充分不必要条件，正确； 对于C：因为不能推出，能推出， 所以是不等式的必要不充分条件，错误； 对于D：因为不能推出，不能推出， 所以是不等式的即不充分也不必要条件，错误. 故选：A. 【变式6-3】（24-25高一上·山东德州·阶段检测）下列不等式中，可以作为的一个充分不必要条件的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】找的真子集即可. 【解答过程】因为可以作为的一个充分不必要条件对应的集合为的真子集． 集合都不是的真子集， 只有集合是的真子集， 故选：C． 【题型7 由充分条件、必要条件求参数】 【例7】（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知“”是“”的充分不必要条件，则a的值不可能为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【解题思路】根据充分不必要条件得到两个范围的包含关系，求出参数范围判断即可. 【解答过程】因等价于， 因“”是“”的充分不必要条件， 则可得是的真子集，故有，从而a的值不可能为1. 故选：D. 【变式7-1】（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，根据题意，转化为集合是的真子集，列出不等式组，即可求解. 【解答过程】由命题， 设， 因为，可得集合不是空集， 又因为是的必要不充分条件，所以集合是的真子集， 则满足且等号不能同时成立，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 【变式7-2】（25-26高一上·全国·单元测试）已知，． (1)若，那么是的什么条件； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)必要不充分条件（必要条件也正确） (2) 【解题思路】（1）根据集合关系判断是的必要不充分条件； （2）根据是的必要不充分条件，得是的真子集， 然后根据集合关系列不等式组求解即可. 【解答过程】（1）当时，， 显然是的真子集， 所以是的必要不充分条件（注：必要条件也正确）． （2）若是的必要不充分条件， 则是的真子集， 则有或解得， 故实数的取值范围为． 【变式7-3】（24-25高一上·陕西西安·阶段检测）已知命题，命题， (1)若是的充分非必要条件，求实数的取值范围; (2)若是的必要非充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设，由题设推得是的真子集，即得不等式组，解之即得； （2）由题设推得是的真子集，即得不等式组，解之即得. 【解答过程】（1）设 由题意可知是的真子集，，即， 则或，解得，又， 故实数的取值范围是； （2）由题意可知是的真子集， 则或，解得， 故实数的取值范围是. 【题型8 根据充要条件求参数】 【例8】（25-26高一上·重庆·阶段检测）设，，且p是q成立的充要条件，则a的值是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【解题思路】先求出命题中不等式的解集，再根据p是q成立的充要条件，即p和q所表示的集合相等求出的值． 【解答过程】，解得， ， 又，， ， 故选：A． 【变式8-1】（24-25高一上·全国·课后作业）集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 【答案】B 【解题思路】由题意可得，进而可求的值. 【解答过程】因为“”是“”的充要条件，所以， 又，，所以. 故选：B. 【变式8-2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，若是的充要条件，则实数_________． 【答案】5 【解题思路】根据充要条件列出等式求解即可. 【解答过程】因为，又，是的充要条件， 所以，解得实数． 故答案为：5. 【变式8-3】（24-25高一上·重庆沙坪坝·阶段检测）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是___________． 【答案】3 【解题思路】先化简得，由充要条件可知两不等式两端相等，从而可求得m的取值. 【解答过程】由得，故， 因为“”是“”的充要条件， 所以，解得， 所以实数m的取值是3. 故答案为：3. 【题型9 充要条件的证明】 【例9】（25-26高一上·安徽·期中）“，且”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】根据充分、必要条件的定义判断. 【解答过程】若，且，则且成立， 即“，且”是“且”的充分条件； 反之，若“”，则，且或，且．而，且时，，不满足，所以，且. 所以“，且”是“且”的必要条件 因此“，且”是“且”的充要条件． 故选：C． 【变式9-1】（25-26高一上·河北·期中）关于的方程，则“”是“方程有一个正实根和一个负实根”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】由方程有一个正根和一个负根可求得的范围，进而可求得结论. 【解答过程】方程有两个不等实根，则，解得； 方程有一正实根和一负实根，则， 所以方程有一个正实根和一个负实根，则； 若，则，又，所以方程有一正实根和一负实根； 所以“”是“方程有一个正实根和一个负实根”的充要条件. 故选：C． 【变式9-2】（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）已知，是正实数，求证：成立的充要条件是. 【答案】证明见解析 【解题思路】通过因式分解得到 ，即可求证. 【解答过程】证明： ， ， 因为，是正实数， 所以 ， 得证. 【变式9-3】（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）已知，求证：的充要条件是． （参考公式：） 【答案】答案见解析 【解题思路】直接根据立方和公式因式分解即可得证. 【解答过程】 ， 而，所以， 所以时，， 综上所述，时，的充要条件是． 【题型10 充分条件、必要条件与集合交汇】 【例10】（25-26高一上·云南大理·阶段检测）若集合，集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】根据集合的包含关系进行判断. 【解答过程】因为，，所以⫋. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式10-1】（25-26高一上·河北保定·阶段检测）设集合，则B是A的真子集的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】化简集合，再利用真子集的意义，结合包含关系求出取值集合，进而判断得解. 【解答过程】依题意，， 由B是A的真子集，得或或，而， 当时，； 当时，； 当时，， 因此B是A的真子集的充要条件是， 而真包含， 所以B是A的真子集的一个必要不充分条件是. 故选：A. 【变式10-2】（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）设集合， (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】若是的充分不必要条件，则是的真子集，结合集合包含关系即可求解； 若是的必要条件，则，结合集合包含关系即可求解． 【解答过程】（1）若是的充分不必要条件，则是的真子集， ， 所以， 解得， 故实数m的取值范围为； （2）若是的必要条件，则， 当时，，即， 当时，，解得， 故实数m的取值范围为. 【变式10-3】（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）分、两种情况讨论，结合，可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围； （2）分析可知，是的真子集，分、两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【解答过程】（1）因为集合，集合，且， 当时，，即，此时，符合题意； 当时，，即， 则有或，解得或，此时. 综上所述，实数的取值范围是或. （2）因为是的必要不充分条件，则是的真子集， 当时，，即，此时是的真子集，符合题意； 当时，则，解得， 当时，为的真子集，符合题意， 当时，为的真子集，符合题意. 综上所述，实数的取值范围是. 模块五 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·重庆·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．有些菱形不是平行四边形 B．平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线 C．所有素数都是奇数 D．每个四边形的内角和都是 【答案】D 【解题思路】一一判断各命题的真假即可. 【解答过程】对于A：所有菱形都是平行四边形，故A错误； 对于B：在同一平面内垂直于同一条直线的两直线平行，故B错误； 对于C：是素数，但是偶数，故C错误； 对于D：每个四边形的内角和都是，故D正确. 故选：D. 2．（25-26高一上·浙江衢州·期末）已知a是实数，那么“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】由不等式，求得或，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【解答过程】由不等式，可得或， 当时，成立，即充分性成立； 反之：当时，不一定成立，即必要性不成立， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 3．（25-26高一上·安徽合肥·期中）在平面内，下列是“四边形是平行四边形”的必要条件的是（   ） A．四边形是矩形 B．四边形的对角线互相平分 C．四边形四条边相等 D．四边形的对角线垂直 【答案】B 【解题思路】由必要条件的概念逐个判断即可. 【解答过程】对于A：四边形是矩形是四边形是平行四边形的充分条件不必要条件，错误； 对于C：四边形四条边相等即为菱形，是四边形是平行四边形的充分条件不必要条件，错误； 对于D:由“四边形是平行四边形”得不到四边形的对角线垂直，故四边形的对角线垂直不是“四边形是平行四边形”的必要条件，错误； 对于B：若四边形是平行四边形，则四边形的对角线互相平分，即“四边形的对角线互相平分”是“四边形是平行四边形”的必要条件. 故选：B． 4．（25-26高一上·重庆·期末）：为空集，：、至少一个是空集，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】直接判断和的真假，即可确定是的何种条件. 【解答过程】首先，判断对的推出关系：若、至少一个是空集，则必为空集，即； 若为空集，未必有、至少一个是空集(如)，即. 所以：是的必要不充分条件. 故选：B. 5．（25-26高一上·湖南长沙·期末）下列是的必要不充分条件的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据各项条件间的推出关系，结合充分、必要条件定义即可得答案. 【解答过程】对于A，由不等式的性质知，是的充要条件，所以A错误； 对于B，因为，且，所以是的必要不充分条件，所以B正确； 对于C，显然，但当时，，所以是的充分不必要条件，所以C错误； 对于D，若，则，所以，所以，反之，所以是的充分不必要条件，所以D错误． 故选：B. 6．（25-26高一上·广西北海·期末）“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据充分不必要条件的定义判断即可. 【解答过程】A选项，时，一定推出， 反之若时，例如，无法推出， 故是的充分不必要条件，A选项正确； B选项，显然是的充要条件，B选项不正确； C选项，若，取，则不满足，充分性不成立，C选项错误； D选项，若，取，类似C的分析可知充分性不成立，D选项错误. 故选：A. 7．（2025高一上·江苏·专题练习）若是的充分不必要条件，则实数的值不可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据是的充分不必要条件可得是的真子集，求得a的范围，可得答案. 【解答过程】由题意可知是的充分不必要条件， 则是的真子集，故， 故a的值可取，不可以是. 故选：A. 8．（2026·山东枣庄·一模）已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】根据必要不充分条件的判定方法进行判断. 【解答过程】充分性：因为，但，所以“”不是“”的充分条件； 必要性：因为，，所以 “”是“”的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 二、多选题 9．（25-26高一上·甘肃甘南·阶段检测）下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的有（    ） A．若，则 B．若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似 C．若，则 D．若，则， 【答案】BCD 【解题思路】根据必要条件定义依次判断即可. 【解答过程】对于A，由，不能推出，所以不是必要条件，故A不符合题意； 对于B，由两个三角形相似，能推出这两个三角形的三边对应成比例， 所以是的必要条件，故B符合题意； 对于C，由，则，能推出， 所以是必要条件，故C符合题意； 对于D，由，，能推出， 所以是的必要条件，故D符合题意. 故选：BCD. 10．（24-25高一上·贵州遵义·期末）“”的一个充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解题思路】根据题意结合包含关系分析充分、必要，进而逐项分析判断. 【解答过程】因为集合和均是集合的真子集， 可知和均是的充分不必要条件，故BD正确； 又因为集合是集合的真子集， 可知是的必要不充分条件，故A错误； 且集合与集合之间不存在包含关系， 所以是的既不充分也不必要条件，故C错误； 故选：BD. 11．（25-26高一上·福建福州·期中）下列说法正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“为无理数”是“都为无理数”的必要不充分条件 C．是的充分不必要条件 D．设，则“”是“”的充要条件 【答案】CD 【解题思路】由充分条件、必要条件的定义逐项判断可得. 【解答过程】对于A，令，则，所以充分性不成立， 若，则一定有，所以必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，故A错误； 对于B，令，则为无理数，但为有理数，故充分性不成立， 令，则，所以必要性不成立， 综上，“为无理数”是“都为无理数”的既不充分也不必要条件，故B错误； 对于C，因为，所以，充分性成立， 当时，比如，但， 故不一定推出，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D，由，可得， 解得，故“”是“”的充要条件，故D正确. 故选：CD. 三、填空题 12．（25-26高一上·上海松江·期中）若，，且是的充分条件，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解题思路】根据充分条件的定义进行求解即可. 【解答过程】因为是的充分条件， 所以对应的集合是对应的集合的子集， 所以. 故答案为：. 13．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知命题：方程有实数根，命题：；那么是的________条件.（充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件） 【答案】必要不充分 【解题思路】由命题得或，进而根据充分条件与必要条件的概念判断即可. 【解答过程】解：因为命题：方程有实数根， 所以，，即或， 因为命题：， 所以是的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 14．（25-26高一上·江西·阶段检测）若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是________． 【答案】 【解题思路】由题意可得出集合的包含关系，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【解答过程】因为“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高一上·云南大理·阶段检测）已知，． (1)若，那么是的什么条件； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)是的必要不充分条件 (2) 【解题思路】（1）利用充分条件、必要条件的定义判断即可； （2）根据题意得集合包含关系，进一步列不等式即可求解参数范围. 【解答过程】（1）若，则，而， 又因为，且不能推出， 所以是的必要不充分条件； （2）， 若是的充分不必要条件， 则是的真子集， 所以，且等号不同时成立，解得， 所以的取值范围是. 16．（2025高一上·上海·专题练习）已知，证明：“”是“”的充要条件. 【答案】证明见解析 【解题思路】分别证明充分性和必要性即可. 【解答过程】先证充分性： 由得，则，因此； 再证必要性： 由，得，由，得， 因此，则 所以“是“”的充要条件. 17．（25-26高一上·黑龙江绥化·阶段检测）设全集，集合，． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求的取值范围（最终答案用集合的形式表示）． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）利用补集的运算求出，利用交集的运算求出； （2）由“”是“”的必要条件，得到，利用子集的定义求解即可. 【解答过程】（1）当时，集合， 又因为全集，所以， 因为集合，所以. （2）因为“”是“”的必要条件，所以． 又因为集合，，所以． 即的取值范围为． 18．（25-26高一上·全国·阶段检测）已知集合，集合． (1)若且，求实数的取值范围； (2)设，若的充分不必要条件是，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意，若，求得；若时，求得，得到当时，所以或，进而求得实数的取值范围； （2）根据题意，转化为，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【解答过程】（1）由集合， 因为，可得，解得， 若，可得，解得，则当，可得或， 又因为且，可得，所以实数的取值范围为. （2）解：因为成立的充分不必要条件是成立， 又因为，所以是的真子集， 因为， 所以或， ①当，即时，此时，则，满足题意； ②当时，则满足或， 解得或 综上，实数的取值范围为. 19．（25-26高一上·重庆铜梁·阶段检测）已知集合，非空集合. (1)若是的充分条件，求实数m的取值范围； (2)是否存在实数m，使得是的必要不充分条件，若存在，求出m取值范围，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用集合包含关系得到两个不等式：左端点满足，右端点满足，再结合集合非空条件，联立解得的范围. （2）由得两个不等式：且，结合解得，然后检查在此范围内是否成立. 【解答过程】（1）由题意，是的充分条件，所以， 即且，且， 解得且，取交集得， 故实数的取值范围为. （2）若是的必要不充分条件，则且， 由得 结合，解得， 此时的右端点，所以，即成立， 因此存在实数，其取值范围为. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 充分条件与必要条件（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 命题 在初中，我们已经对命题有了初步的认识.一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题.中学数学中的许多命题可以写成“若p，则q”“如果p，那么q”等形式.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论.本节主要讨论这种形式的命题.下面我们将进一步考察“若p，则q”形式的命题中p和q的关系，学习数学中的三个常用的逻辑用语——充分条件、必要条件和充要条件. 【知识点1 命题及相关概念】 1．命题及相关概念 (1)定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题. (2)命题的分类 ①真命题：判断为真的语句； ②假命题：判断为假的语句. (3)命题的形式：“若p，则q”.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论. 【注】数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有真假之分，而定理是真命题. 【题型1 命题的概念】 【例1】（24-25高一上·全国·随堂练习）下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B．同位角相等 C． D． 【变式1-1】（25-26高一上·全国·课后作业）下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 【变式1-2】（2025高一上·全国·专题练习）下列语句中，命题的个数是（　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-3】（24-25高一上·甘肃酒泉·期中）下列语句是命题的是（    ） A．3是偶数吗? B．三角形的内角和等于180° C．这里的景色山真美啊! D． 【题型2 判断命题的真假】 【例2】（24-25高一·江苏·暑假作业）下列语句为真命题的是（　　） A． B．四条边都相等的四边形为矩形 C． D．今天是星期天 【变式2-1】（24-25高一上·江苏连云港·阶段检测）对于命题：全等三角形的周长相等，命题：周长相等的三角形全等，下列说法中正确的是（   ） A．和都是真命题 B．和都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 【变式2-2】（25-26高一上·全国·课前预习）下列命题中，是真命题的是（   ） A．所有梯形的对角线相等 B． C．存在一个自然数小于0 D． 【变式2-3】（24-25高一上·上海·单元测试）下列四个命题： ①没有一个无理数不是实数； ②空集是任何一个非空集合的真子集； ③； ④至少存在一个整数x，使得是整数． 其中是真命题的为（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②④ 模块三 充分条件与必要条件 【知识点2 充分条件与必要条件】 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 【题型3 充分条件】 【例3】（25-26高一上·全国·课后作业）下列命题中，不是“四边形是正方形”的充分条件的有（    ） A．对角线相等的菱形 B．邻边相等的矩形 C．对角线相等的平行四边形 D．有一个角是直角的菱形 【变式3-1】（24-25高一上·全国·课后作业）两个三角形全等的充分条件是（    ） A．两个三角形的两角对应相等 B．两个三角形的两边对应成比例且夹角相等 C．两个三角形的三边对应成比例 D．两个三角形的两边对应相等且夹角相等 【变式3-2】（24-25高一上·四川凉山·阶段检测）若“”是“或”的充分条件，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）下列所给的各组，中，满足的充分条件是的个数是（    ） （1）：四边形的对角线相等，：四边形是正方形； （2）：两个直角三角形全等，：两个直角三角形的斜边相等； （3）：，：； （4）：，：； （5）：同位角相等，：两条直线平行； A．1 B．2 C．3 D．4 【题型4 必要条件】 【例4】（25-26高一上·湖南永州·阶段检测）设，则成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高三上·安徽合肥·阶段检测）在下列若则的命题中，是的必要条件的命题是（    ） A．若四边形的一组邻边相等，则四边形是平行四边形 B．若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等 C．若，则 D．若是无理数，则也是无理数 【变式4-2】（24-25高一上·福建泉州·阶段检测）使不等式成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高一上·广东揭阳·阶段检测）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关. 黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（    ） A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 模块四 充要条件 【知识点3 充要条件】 1．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【注】：“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 【知识点4 充分条件与必要条件的判定】 1．充分、必要与充要条件的判定 (1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. (2)如果且，则p是q的既不充分也不必要条件. (3)如果p⇒q且，则称p是q的充分不必要条件. (4)如果且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. (5)设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}，若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若A=B，则p是q的充要条件. 2．充分条件、必要条件的两种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 3．充分条件、必要条件的应用 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. 【题型5 充分条件、必要条件及充要条件的判定】 【例5】（25-26高一上·广东·期末）已知，，，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-1】（25-26高一上·吉林长春·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-2】（25-26高一上·河北邢台·期末）若，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-3】（25-26高一上·广东惠州·期末）设，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型6 充分条件、必要条件及充要条件的探索】 【例6】（24-25高一下·广东揭阳·期末）若，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·山东聊城·模拟预测）“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一上·河南·期中）不等式的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高一上·山东德州·阶段检测）下列不等式中，可以作为的一个充分不必要条件的是（ ） A． B． C． D． 【题型7 由充分条件、必要条件求参数】 【例7】（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知“”是“”的充分不必要条件，则a的值不可能为（   ） A． B． C．0 D．1 【变式7-1】（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高一上·全国·单元测试）已知，． (1)若，那么是的什么条件； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【变式7-3】（24-25高一上·陕西西安·阶段检测）已知命题，命题， (1)若是的充分非必要条件，求实数的取值范围; (2)若是的必要非充分条件，求实数的取值范围. 【题型8 根据充要条件求参数】 【例8】（25-26高一上·重庆·阶段检测）设，，且p是q成立的充要条件，则a的值是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【变式8-1】（24-25高一上·全国·课后作业）集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 【变式8-2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，若是的充要条件，则实数_________． 【变式8-3】（24-25高一上·重庆沙坪坝·阶段检测）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是___________． 【题型9 充要条件的证明】 【例9】（25-26高一上·安徽·期中）“，且”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式9-1】（25-26高一上·河北·期中）关于的方程，则“”是“方程有一个正实根和一个负实根”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式9-2】（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）已知，是正实数，求证：成立的充要条件是. 【变式9-3】（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）已知，求证：的充要条件是． （参考公式：） 【题型10 充分条件、必要条件与集合交汇】 【例10】（25-26高一上·云南大理·阶段检测）若集合，集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 【变式10-1】（25-26高一上·河北保定·阶段检测）设集合，则B是A的真子集的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 【变式10-2】（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）设集合， (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． 【变式10-3】（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 模块五 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·重庆·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．有些菱形不是平行四边形 B．平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线 C．所有素数都是奇数 D．每个四边形的内角和都是 2．（25-26高一上·浙江衢州·期末）已知a是实数，那么“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一上·安徽合肥·期中）在平面内，下列是“四边形是平行四边形”的必要条件的是（   ） A．四边形是矩形 B．四边形的对角线互相平分 C．四边形四条边相等 D．四边形的对角线垂直 4．（25-26高一上·重庆·期末）：为空集，：、至少一个是空集，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高一上·湖南长沙·期末）下列是的必要不充分条件的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·广西北海·期末）“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 7．（2025高一上·江苏·专题练习）若是的充分不必要条件，则实数的值不可以是（　　） A． B． C． D． 8．（2026·山东枣庄·一模）已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 9．（25-26高一上·甘肃甘南·阶段检测）下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的有（    ） A．若，则 B．若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似 C．若，则 D．若，则， 10．（24-25高一上·贵州遵义·期末）“”的一个充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·福建福州·期中）下列说法正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“为无理数”是“都为无理数”的必要不充分条件 C．是的充分不必要条件 D．设，则“”是“”的充要条件 三、填空题 12．（25-26高一上·上海松江·期中）若，，且是的充分条件，则实数的取值范围是__________. 13．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知命题：方程有实数根，命题：；那么是的________条件.（充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件） 14．（25-26高一上·江西·阶段检测）若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是________． 四、解答题 15．（25-26高一上·云南大理·阶段检测）已知，． (1)若，那么是的什么条件； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16．（2025高一上·上海·专题练习）已知，证明：“”是“”的充要条件. 17．（25-26高一上·黑龙江绥化·阶段检测）设全集，集合，． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求的取值范围（最终答案用集合的形式表示）． 18．（25-26高一上·全国·阶段检测）已知集合，集合． (1)若且，求实数的取值范围； (2)设，若的充分不必要条件是，求实数的取值范围． 19．（25-26高一上·重庆铜梁·阶段检测）已知集合，非空集合. (1)若是的充分条件，求实数m的取值范围； (2)是否存在实数m，使得是的必要不充分条件，若存在，求出m取值范围，若不存在，说明理由. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $