25.2.2-25.2.3 公式法与因式分解法 同步练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 以公式法与因式分解法为核心，通过基础巩固、综合应用、探究创新三层设计，覆盖从概念理解到实际应用的知识路径，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|判别式计算、公式法/因式分解法解方程|直接应用概念，如选择1-5判断根的情况，解答17用配方法和公式法解方程| |综合|方程与几何结合、参数范围、解题方法辨析|跨知识点应用，如选择4直角三角形边长，解答20换元法解方程并判断三角形形状| |提升|新定义运算、几何剪拼、方程探究|创新情境与探究，如填空16倒方程性质判断，解答24“换位方程”的公共根探究|

25.2.2-25.2.3《公式法与因式分解法》同步练习 一、选择题 1．一元二次方程根的情况为（       ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 2．关于x的一元二次方程中，根的判别式的值为（     ） A．8 B．12 C． D． 3．已知是方程的解，则的值是（     ） A． B． C．或3 D．或1 4．已知直角三角形有两条边长分别是方程的两个根，则该直角三角形的斜边长是（     ） A．10 B． C．10或8 D．10或 5．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 6．已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A．0或4 B．－4 C．4 D．0 7．对于一元二次方程，根据求根公式为（其中），可以推导两根之差的绝对值的表达式．若有两个实数根，．则能够满足的m的值为（   ） A． B．1 C． D．2 8．若关于的一元二次方程的解也是（）的解，则与满足的数量关系为（     ） A． B． C． D． 9．关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 10．对于一元二次方程，给出下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若是一元二次方程的根，则； ④存在实数，使得． 其中正确的是（     ） A．只有①③ B．只有①② C．只有①③④ D．①②③④ 二、填空题。 11．不解方程，判断一元二次方程的根的情况是________． 12．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 13．解方程，如果设，那么得到关于的整式方程是______． 14．方程的正根介于正整数与之间，则________． 15．对于实数，现定义一种运算“”如下：若，则实数的值为___________． 16．定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中正确的有_____（填正确的序号）． 三、解答题． 17．解方程 (1)；（配方法） (2)；（公式法） 18．已知关于的一元二次方程，其中为实数． (1)求证：一元二次方程有实数根； (2)设一元二次方程的一个实数根为．若，求的取值范围． 19．小明与小颖两位同学解方程的过程如图： 小明： 两边同除以， 得， 解得． 小颖： 移项，得， 提取公因式，得． 或． 解得． (1)他们的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程； (2)请结合上述解题过程归纳总结：形如的一元二次方程的一般解法． 20．解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，． (1)请你利用这种方法解方程：； (2)已知三条边的长度分别为，，，若满足，且，请判断的形状，并说明理由． 21．关于的代数式，若存在实数，使得，则称为这个代数式的等根值． (1)代数式的等根值为____________； (2)已知关于的代数式． ①求证：无论取何值，此代数式总有两个不相等的等根值； ②已知是此代数式的一个等根值，求的值和这个代数式的另一个等根值． 22．已知关于的方程 其中． (1)利用判别式判断该方程的根的情况； (2)C是线段上一点， ，的长是该方程的一个根， 且． ①求证； ②确定点在线段上的位置，并说明理由． 23．【动手实践】如图，将一个等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，通过变换，将块图形进行拼接，恰能拼成一个既不重叠、又不留空隙的正方形或长方形（含拼接线）． 【观察发现】 (1)正方形的边长为________，长方形的长为________；（用含，的代数式表示） 【探索应用】 (2)若，求的值； (3)在的条件下，直接写出等腰三角形纸片的面积． 24．定义：方程（）与方程互为“换位方程”．如一元二次方程的“换位方程”是．已知关于的一元二次方程①：，其中． (1)写出方程①的“换位方程”； (2)求证：当时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； (3)若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根，求这个公共根及的值． 参考答案 一、选择题 1．C 解：∵在一元二次方程中，，，， ∴这个方程根的判别式， ∴这个方程有两个不相等的实数根． 2．C 解：在方程中，，，， 故． 3．C 解：将代入得． 整理得． 因式分解得． ∴或， ∴或． 4．C 解：， 因式分解得， 解得， 即直角三角形的两条边长为6和8， ∵直角三角形中斜边是最长边， ∴分两种情况讨论： ①当6和8均为直角边时，斜边长为； ②当8为斜边，6为直角边时，斜边长即为8； 综上，该直角三角形的斜边长为10或8． 5．B 解：∵该方程是一元二次方程， ∴， ∵ 方程有实数根， ∴，即， 解得； 综上，且． 6．A 解：∵是一元二次方程的一个根， ∴将代入原方程得：， 整理化简得， 解得或． ∵原方程是一元二次方程， ∴二次项系数，即 ∵和都满足条件， ∴的值为或． 7．A 解：对于一元二次方程，由求根公式，得 ， ∵方程有两个实数根，． ． 由，得 解得， ，符合条件． 8．B 解：对于方程， ， 对于方程， 变形得 ， 直接开方得 ， 整理得 ， 两个方程的解相同， ， 即． 9．C 解：∵ 原方程可变形为， 由平方差公式因式分解得 ， ∴ 方程的两个根为和， ∵ ，， ∴ ，，代入关系式得 ， 展开整理得 ， 因此的值为． 10．C 解：①方程有两个不相等的实根， ， ， 则方程的判别式， 方程必有两个不相等的实根，故①正确； ②是方程的一个根，则， ， 若，等式仍然成立，但不一定成立，故②不正确； ③若是一元二次方程的根， 则由求根公式得或， 或， ，故③正确； ④存在实数，使得， 整理得，即， 因为，只需取即可满足， 例如取，，就有，故④正确． 二、填空题。 11．有两个不相等的实数根 解：∵一元二次方程 ∴ ∴ ∴方程有两个不相等的实数根． 12． 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式，即， 解得． 13． 解：设，则，， 原方程可化为， 两边同时乘以得， 整理得， 得到关于的整式方程是． 14．2 解：， ∴ ， ∴方程的正根为， ， ， ，则． 15．3 解：根据新定义，分两种情况讨论：当时，， 令， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵ 本情况要求， ∴ 舍去，保留； 当时，， 令， 整理得， 解得， ∵ 本情况要求， ∴舍去 综上，实数的值为． 16．①②③ 解：结论①，原方程 的倒方程为 ， 将 代入得 ， 解得 ， 故①正确； 结论②，当 时， 判别式 ， 两个方程均有两个不相等的实数根， 故②正确； 结论③， 原方程无解， ， 即 ， 倒方程判别式 ， 倒方程无解， 故③正确； 结论④， 举反例说明，当 时，原方程为， 若要其有两个不相等的实数根，则其判别式：， 即， 原方程 的倒方程为 ，，， 倒方程为，是一元一次方程， 只有一个根， 故④错误． 故答案为①②③． 三、解答题 17．（1）解：， 移项得：， 配方得：，即， 开方得：， ∴，； （2）解：，即， ∴，，， ∴， ∴， 即，． 18．(1)证明：∵， ∴一元二次方程有实数根． （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴， 解得． 19．（1）解：小明错误的原因是未考虑的情况，直接除以导致漏解，小颖错误的原因是提取公因式去括号时符号出错， 正确的解答过程：整理得：， ∴，即， ∴， 或， ． （2）解：先移项将其整理为的形式，再用提公因式法将等号左边进行因式分解，进而得到两个一元一次方程，分别解之，从而求得一元二次方程的解． 20．（1）解：设， 则原方程可变为：， 解得：，， 当即时，解得：； 当即时，解得：； ∴原方程的解为：，； (2)是直角三角形；理由如下： 是的三边， ， ， 设， 则原方程可化为， 解得：，（舍去）， 得． 又， ． ． 是直角三角形． 21．（1）由题可得， 整理得， ， 解得，； （2）①令整理得： 因为 即， 所以有两个不相等的根， 即代数式总有两个不相等的等根值； ②由题意得 解得： 将代入 得 即： 解得：， 所以，该代数式的另一个等根值为2． 22．（1）解：， ∴该方程有两个不相等的实数根． (2)①证明：∵的长是该方程的一个根， ∴．即．① ∵， ∴．② ①+②，得． ∴． ②解：在线段靠近的三等分点处，即． ∵， ∴． ∴． 23．（1）解：由题图可得，拼成的正方形的边长为，长方形的长为， 故答案为：，； （2）解：剪成的四块图形中梯形的高为，三角形较长直角边的长为， 由剪拼后图形的面积不变，得， 当时，， 整理得， 解得或（舍去）， （3）解：∵，， ∴等腰三角形纸片的面积． 24．（1）解：在方程中，，， ∴方程①的“换位方程”为． (2)当时，对于方程①及其“换位方程”均有 ， ∴方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根． （3）解：∵方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根， ∴，， ， ∴， 当时，方程①与其“换位方程”相同，不符合题意， ∴ 解得：或， 当时，代入方程①得，， 解得：； 当时，代入方程①得，， 解得：． 学科网（北京）股份有限公司 $