25.3实际问题与一元二次方程 同步作业 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 分层清晰，梯度合理，覆盖一元二次方程实际应用全场景，从几何图形到增长率、握手问题，基础巩固与能力提升并重，培养数学眼光、思维与语言。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关|单一实际问题（矩形面积、增长率）|选择填空为主，直接列方程，巩固建模基础| |能力提升|综合情境问题（带门矩形、运动问题）|解答题为主，含分类讨论，发展推理能力| |拓展延伸|复杂探究问题（多变量条纹、利润优化）|开放探究题，结合实际决策，培养应用意识|

第25章 一元二次方程 25.3实际问题与一元二次方程(一) 基础过关 1.若直角三角形的三边长是三个连续偶数，则这个直角三角形的面积是 ( ) A.12 B.24 C.30 D.40 2.(2025·辽宁)中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何.”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步?设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方程为( ) A. x(60-x)=864 B. x(x-60)=864 C. x(60+x)=864 D.2[x+(x+60)]=864 3.(2025·丰台区期末)造纸术、印刷术、指南针和火药是中国古代四大发明.这些发明对人类文明发展产生了深远的影响.某校科技节活动中，计划在如图所示的长 100cm，宽40cm的展板上展出介绍四大发明的海报，每幅海报面积均为640cm²，若展板外沿与海报之间、相邻海报之间均贴有宽度为 xcm的彩色纸带，求彩色纸带的宽度. 4.(2025·如皋期末)如图，利用一面墙(墙的长度不限)，用20m长的篱笆围成一个矩形场地ABCD. (1)若矩形场地的面积为 48m²，求AB的长； (2)该矩形场地的面积能否为60m²?若能，求出AB的长；若不能，请说明理由. 能力提升 5.(2025·抚顺模拟)如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m.停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520m².求车道的宽度(单位：m).设停车场内车道的宽度为 xm，根据题意所列方程为( ) A.(40-2x)(22-x)=520 B.(40-x)(22-x)=520 C.(40-x)(22-2x)=520 D.(40-x)(22+x)=520 6.(2025·庐江期末)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，其中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短.横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出.问户高、广、斜各几何?译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短.横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等.请问门高、宽、对角线长分别是多少尺?若设门对角线长为x尺，则可以列出关于x的方程是 ( ) A. B. C. D. 7.(2025·宜兴期末)如图，小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长5.5m)的矩形鸭舍，其面积为15 m²，在鸭舍侧面中间位置留一个1m 宽的门(由其他材料制成)，则BC的长为 ( ) A.5m 或6m B.2.5m 或3m C.5m D.3m 8.如图,在矩形ABCD中,AB=10cm,AD=8cm,点 P 从点A 出发沿AB 以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点B 出发沿BC 以1cm/s的速度向点C运动，点 P 到达终点后，P，Q两点同时停止运动，则 s时，△BPQ的面积是6 cm². 9.(2025·淮安期末)如图是一张长20cm，宽12cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为x cm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖纸盒. (1)这个无盖纸盒的长为 cm，宽为 cm；(用含x的式子表示) (2)若要制成一个底面积是180cm² 的无盖长方体纸盒，求x的值. 拓展延伸 10.(2025·淮安区一模)如图，一块长5米，宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹(图中阴影部分)，已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的 (1)求配色条纹的宽度； (2)如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价. 实际问题与一元二次方程(二) 基础过关 1.某省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势.某公司工业机器人5月产值达到2500万元，7月产值增至9100万元.设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为( ) 2.学校“自然之美”研究小组在野外考察时发现了一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上又长出了x个小分支，现在一个主干上的主干、枝干、小分支数量之和为73，根据题意，下列方程正确的是( ) 3.(2025·通州区模拟)近年来，我国大力推行药品集中带量采购制度，很多常用药的价格显著下降.某种药品经过两次降价，每盒的价格由原来的160元降至40元，设该药品平均每次降价的百分率为x，则根据题意可列出方程 . 4.(2025·泸州)某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元. (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率； (2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品. 能力提升 5.(2025·滨城区期末)有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列结论不正确的是( ) A.第一轮后共有(x+1)个人患了流感 B.第二轮后又增加x(x+1)个人患流感 C.依题意可以列方程1+x+x(1+x)=121 D.按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有1000人患流感 6.(2025·凉山州)某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是( ) B.560+560(1+x)+560(1+2x)=1860 7.某放射性元素经过2天后，质量衰变为原来的 ，设这种放射性元素质量的日平均减少率为x，则可列出方程为 . 8.在人群密集的场所，信息传播很快，某居民小区有3人同时得知一则喜讯，经过两轮传播后，使得这则喜讯在共有864人的居民小区中的知晓率达到50%，那么每轮传播中平均一人传播了多少人? 9.(2025·淮阴区期末)市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”.某商店统计了某品牌头盔的销售量，4月份售出150个，6月份售出216个. (1)求该品牌头盔月销售量的月平均增长率； (2)此种品牌头盔每个进货价为30元，调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元? 拓展延伸 10.某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1辆汽车，则该辆汽车的进价为27万元，每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆；月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10辆以内(含10辆)，每辆返利0.5万元，销售量在10辆以上，每辆返利1万元. (1)若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为 万元； (2)如果汽车的售价为28万元/辆，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少辆汽车?(盈利=销售利润+返利) 实际问题与一元二次方程 (三) 基础过关 1.(2025·哈尔滨模拟)一个小组共有x人，端午节互送荷包，若全组共送72个，下面所列方程正确的是( ) B. x(x-1)=72 2.(2025·启东期末)一次排球邀请赛中，每个队之间都要比一场，赛程计划安排9天，每天安排4场比赛.设比赛组织者应邀请x个队参赛，则可列一元二次方程为 .(用一般式表示) 3.若两个连续正奇数的积是143，则这两个正奇数的和是 . 4.一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手.有人统计一共握了66次手，求参加这次会议的人数. 能力提升 5.(2025·贵州期末)在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，若一共碰杯55次，则参加酒会的人数为( ) A.9 B.10 C.11 D.12 6.(2025·金湾区期末)参加足球联赛的每两个队之间都进行两次比赛，共要比赛72场，共有 个队参加比赛. 7.(2025·崇明区期中)如果一个多边形共有9条对角线，那么这个多边形是 边形. 8.如图是某月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的数(如6,7,8,13,14,15,20,21,22).若圈出的9个数中,最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为 . 9.整体思想在解决数学问题中有重要作用. (1)为将0.13表示成分数的形式，可设.x=0.13,得100x=13.13,将13.13拆分为13+x,解出x，即得0.13的分数形式为x，求出x； (2)现有一个无限连分数它的每一个分母都与原数完全一样，求出此数的值. 10.阅读理解阅读下列内容，并答题：我们知道，计算n边形对角线条数的公式为 如果一个n边形共有20条对角线，那么可以得到方程 整理，得 解得n=8或n=-5. ∵n为大于或等于3的整数， ∴n=-5不符合题意，舍去. ∴n=8，即多边形是八边形. 根据以上内容，解答下列问题： (1)若一个多边形共有9条对角线，求这个多边形的边数； (2)小明说：“我求得一个多边形共有10条对角线.”你认为小明的说法正确吗?为什么? 拓展延伸 11.(2025·雨花区期末)综合与实践 【主题】三角点阵前n行的点数计算. 【素材】如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第n行有n个点，如果要用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，容易发现，前n行的点数和是 这就是说，三角点阵中前n行的点数和是 【实践探索】请你根据上述材料解答下列问题： (3) 若三角点阵中前n行的点数和是55，求出n的值. 【拓展探索】 (2)如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2，4，6，…，2n，请探究出前n行的点数和满足的规律. (3)在(2)的条件下，这个三角点阵中前n行的点数和能是120吗?如果能，求出n的值；如果不能，请说明理由. 实际问题与一元二次方程(一) 1. B 2. A 3.解:由题意,得(100-5x)(40-2x)=640×4,解得 (不符合题意，舍去). 答：彩色纸袋的宽度为4 cm. 4.解:(1)设AB=xm,则BC=(20-2x)m,根据题意,得x(20-2x)=48,整理，得 解得x₁=4,x₂=6.答:AB的长为4m或6m. (2)该矩形场地的面积不能为60m²， 理由：假设该矩形场地的面积能为60 m²，设AB= ym,则BC=(20-2y)m,根据题意，得y(20-2y)=60,整理，得 ∵△=(-10)²-4×1×30=-20<0,∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即该矩形场地的面积不能为60 m². 5. B 6. A 7. C 8.2或3 9.(1)(20-2x) (12-2x) (2)解:根据题意,得(20-2x)(12-2x)=180,整理，得 解得 (不合题意，舍去). 答：x的值为1. 10.解：(1)设配色条纹的宽度为x米.根据题意，得 解得 (不合题意，舍去) 答：配色条纹的宽度为米. (2)配色条纹造价为 (元),其余部分造价为 (元),则地毯的总造价为850+1575=2425(元). 答：地毯的总造价是2425 元. 实际问题与一元二次方程(二) 1. A 2. C 4.解：(1)设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，根据题意，得 解得 (不符合题意，舍去).答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%. (2)设购进y件甲种商品，则购进(100-y)件乙种商品，根据题意，得 (125-25×2)y+80(100-y)≤7800,解得y≥40. 答：最少购进40件甲种商品. 5. D 6. C 8.解：设每轮传播中平均一人传播了x人.根据题意，得3+3x+(3x+3)x=864×50%, 解得 (不符合题意，舍去). 答：每轮传播中平均一人传播了11人. 9.解：(1)设该品牌头盔月销售量的月平均增长率为x，根据题意，得 解得 (不符合题意，舍去). 答：该品牌头盔月销售量的月平均增长率为20%. (2)设该品牌头盔的销售价应定为y元，则该品牌头盔每个的销售利润为(y-30)元， 月均销售量为600-10(y-40)=(1000-10y)个, 根据题意,得(y-30)(1000-10y)=10000, 整理，得 解得 又∵要尽可能让顾客得到实惠，∴y=50. 答：该品牌头盔的销售价应定为50元. 10.(1)26.8 (2)解：设需要售出x辆汽车.由题意可知，每辆汽车的销售利润为28-[27-0.1(x-1)]=(0.1x+0.9)万元. 当0<x≤10时,根据题意,得:x(0.1x+0.9)+0.5x=12,整理，得 解得 (不符合题意，舍去)， 当x>10时，根据题意，得x(0.1x+0.9)+x=12,整理，得 解得 (不符合题意，舍去)， (不符合题意，舍去). 答：需要售出6辆汽车. 实际问题与一元二次方程(三) 1. B 3.24 4.解：设参加这次会议的有x人. 根据题意，得 (不符合题意，舍去). 答：参加这次会议的有12人. 5. C 6.9 7.六 8.144 9.解:(1)设x=0.13, 则100x=13.13=13+0.13,∴100x=13+x, 移项，得99x=13,解得 (2)设 ∵每一个分母都与原数完全一样，∴ 整理，得 即 由此可得 ∵y>0,∴y的值为 10.解：(1)设这个多边形的边数为 n.根据题意，得 即 解得n=6或n=-3. ∵n为大于或等于3的整数， ∴n=-3不符合题意，舍去， ∴n=6，即这个多边形的边数为6. (2)小明的说法不正确.理由如下： 假设小明的说法正确.设这个多边形的边数为n，则 即 解得 ∵n为大于或等于3的整数， ∴符合方程 的正整数n不存在， ∴多边形的对角线不可能有10条. 11.解：(1)由题意若三角点阵中前n行的点数和是55，得 即 ∴(n+11)(n-10)=0, (舍去), ∴n的值为10. (2)前n行所有点数的和为2+4+6+…+2(n-2)+2(n-1)+2n=2[1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+n]= (3)不能,假设能为120,则n(n+1)=120, 即 学科网（北京）股份有限公司 $