1.4 基本不等式 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以“概念-性质-应用”为逻辑主线，系统整合基本不等式的条件判断、最值求解、实际应用及对勾函数综合，突出“积定和最小、和定积最大”核心方法，强化数学思维与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础知识梳理|核心结论|条件判断、算术几何平均数关系|概念生成：从成立条件到核心原理| |题型一（理解）|10题（含多选、证明）|不等式恒成立判断、代数式变形|原理推导：深化对基本不等式本质的理解| |题型二（求最值）|30题（含参数范围、计算）|配凑法、常数代换、参数分离|应用拓展：掌握“积定和最小、和定积最大”的灵活运用| |题型三（实际应用）|12题（情境问题）|建模转化、实际抽象|数学应用：培养用数学语言表达现实问题的能力| |题型四（对勾函数）|20题（性质应用）|单调性分析、最值求解|综合提升：结合函数性质拓展解题维度|

1.4 基本不等式 基础知识梳理 1.基本不等式: （1）基本不等式成立的条件：   （2）等号成立的条件:当且仅当  时,等号成立. （3）  叫做正数的算术平均数,  叫做正数的几何平均数.基本不等式表明:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2.利用基本不等式求最值 已知都是正数, （1）如果积等于定值那么当时,和有最小值  （简记为积定和最小）. （2）如果和等于定值那么当时,积有最大值  （简记为和定积最大）. 3.几个重要的不等式 题型一 基本不等式的理解 1．若，且，则下列不等式中，恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，当时，不成立，故A错误， 对于B，，由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立，故B正确， 对于C，当时，不成立，故C错误， 对于D，当时，不成立，故D错误. 2．已知正实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用“1”的代换和基本不等式判断即可． 【详解】由a，b为正实数且. 根据基本不等式，当且仅当时等号成立，故A正确； ，当且仅当时等号成立，故B错误； ，当且仅当时等号成立，故C错误； 根据算术平均值小于等于平方平均值不等式，得， 当且仅当时等号成立，即，故D错误. 3．若，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，而不一定成立，例如，故A不正确； 因为 ， 若，则，而不一定小于2，比如，故B不正确； 因为，若，则，故C正确； 因为，若， 不一定大于1，例如，故D不正确． 4．(多选)下列结论中正确的有（    ） A．若，则 B．若，且，同号，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【详解】对A，若异号，，，，故A错误； 对B，若同号，，，， 当且仅当，即时等号成立，故B正确； 对C，因为，则，故C正确， 对D，若，，则，故D错误. 5．（多选）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 【详解】对于A， ， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，， 当且仅当时，等号成立，故C不正确； 对于D，因为， 所以，当且仅当时，等号成立，故D正确. 6．(多选)已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】已知， 分子相同为1，正数分母越大，分数越小，，故A错误； ，已知， 则，故，即，故B正确； 指数函数，当时，函数单调递增，由得； 当时，函数单调递减，由得， 故无法确定大小关系，故C错误； ，已知， 由均值不等式得， 当且仅当时等号成立，故D正确． 7．(多选)已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，因为，所以，即， 所以，所以，当且仅当时取等号，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，因为， 故C正确； 对于D，由，得，所以，所以， 所以， 当且仅当时取等号，故D正确. 8．已知且为正数，求证：. 【答案】， ， ，当且仅当，即时取等号， 但，因此不能取等号， . 9．设均为正数，且，求证：. 【答案】由题设均为正数，， 又， 当且仅当时等号成立， 所以，得证. 10．（1）已知，，证明：； （2）已知，，且，求的最小值. 【答案】（1）略 （2） 【分析】（1）结合基本不等式证明即可. （2）根据基本不等式及求解即可. 【详解】（1）证明：因为，，所以，当且仅当时，等号成立. 从而，当且仅当时，等号成立. （2）因为，，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 题型二 基本不等式求最值 1．已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C． D． 【答案】D 【详解】已知，，整理，得， 则，，， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最小值为. 2．已知 ，且 ，则的最小值为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【详解】因为，所以， . 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值为. 3．若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式结合指数函数的单调性推导的取值范围. 【详解】因为，， 所以 ， 已知，因此 ，两边同除以得， 则 ， 即， 由于指数函数在上单调递增，因此， 等号成立当且仅当，此时，满足条件， 因此的取值范围是. 4．，，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得到，又，，则， 所以， 当且仅当，即时取等号. 5．对任意正实数x、y，记（比如），则m的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题干所给的定义利用基本不等式探究两个式子的大小关系，根据基本不等式等号成立的条件判断最大值即可． 【详解】因为x、y为正实数，则，当且仅当时，等号成立； 则； 由可知，，且， 则，可解得； 当且仅当且；得到，解得，； 故当，时，取最大值． 6．已知点在线段上（不含端点），是直线外一点，且，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点在线段上的位置关系得到系数约束，变形后利用基本不等式求最小值． 【详解】因点在线段上（不含端点），，得， 则， 因此 ， 当且仅当，即，且时，等号成立， 即当时，取得最小值为. 7．已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 【答案】A 【分析】不等式可化为，利用基本不等式求出的最小值，即可得到m的最大值. 【详解】因为不等式恒成立，，， 所以恒成立， 设，则 当且仅当时等号成立， 所以，所以，所以m的最大值为5. 8．已知正数x，y满足．若不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过均值不等式求解出范围后通过恒成立条件求解范围. 【详解】因为，所以. 所以对于，可以看作， 因为，当且仅当时成立，所以， 解得. 9．已知不等式对于任意的恒成立，则正实数的最大值为（    ） A．10 B．9 C． D． 【答案】B 【分析】化简，，结合基本不等式求其最小值，结合条件求的范围可得结论. 【详解】令， 展开可得，即，其中， 因为，，由基本不等式可得 当且仅当，即时等号成立， 所以， 当且仅当时等号成立， 由不等式对于任意的恒成立，可得， 所以正实数的最大值为. 10．若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值， 将恒成立转化为，得到的一元二次不等式求解. 【详解】正实数、满足， ， 当且仅当时，即，即时，等号成立， 的最小值为 ， 恒成立，， ，，，实数的取值范围是. 故选：C. 11．(多选)已知正数，满足，则下列选项正确的是（     ） A．的最小值是4 B．的最小值是1 C．的最小值是1 D．的最大值是 【答案】AD 【分析】利用基本不等式和二次函数的图象与性质，逐一分析选项，即可得出答案． 【详解】由题知，，. 对于选项A，， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是，故A正确； 对于B，，当且仅当时等号成立， 所以的最大值是，故B错误； 对于C，由，得，即， 所以， 所以当时，取得最小值是，故C错误； 对于D，由C知，，， 所以， 所以当时，取得最大值是，故D正确. 12．(多选)设正实数，，满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C． D． 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式依次判断选项即可. 【详解】由题设且， 对于A，，当且仅当时取等号，A对； 对于B，，则，故，当且仅当时取等号，B对； 对于C，，由于， 所以，当且仅当时取等号，C不正确； 对于D，因为， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以，当且仅当时取等号，故D正确 13．(多选)下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．已知正数，满足，则的取值范围为 C．已知，，且，则的最小值为 D．若正数，，满足，则有 【答案】ACD 【分析】选项A，根据不等式的性质进行判断，选项C根据基本不等式进行判断，选项D利用柯西不等式判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，， 两边同时除以，得，故A正确， 对于B，由，及均为正数，得， 所以，故B错误， 对于C，由，得， 由，可得，又，所以 ， 当且仅当，时等号成立，故C正确， 对于D，由题意得，得， 由柯西不等式可得 ， 当时等号成立，故D正确. 14．(多选)若正实数，满足，则（   ） A． B．有序数对有4个 C．的最大值为 D．的最小值为24 【答案】ABD 【分析】A选项，利用，即可；B选项，利用及即可写出全部有序数对；C选项，利用即可计算的最小值；D选项利用即可计算的最小值. 【详解】由正实数，满足，得. 对于选项A，由，得，则，所以，所以，故A正确； 对于选项B，由得，因为，所以是的正约数.因为的正约数为，所以的值对应为.所以有序数对为共4个，故B正确； 对于选项C，，当且仅当即时等号成立，故C错误； 对于选项D，因为，当且仅当即时等号成立，所以，得，故D正确. 15．已知，且，则的最大值为________． 【答案】 【分析】根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，且，可得，且， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 16．已知正实数，满足，则的最小值为________． 【答案】6 【详解】正实数，满足，有， 可得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 17．已知，，且，则的最小值为______. 【答案】 【分析】利用基本不等式求和的最小值. 【详解】因为，所以，所以. 又， 当且仅当即，时取“”. 所以 ，即的最小值为11. 18．已知，则的最大值是__________. 【答案】 【分析】通过双曲线参数换元将所求表达式转化为关于正弦函数的二次函数，结合二次函数单调性与定义域求解最大值. 【详解】已知双曲线方程，设参数满足，， 其中，此时. 将代入所求表达式，得到 ， 由同角三角函数基本关系 ， 代入得 ，令， ， 则表达式转化为二次函数 . 该二次函数开口向下，对称轴为， 对称轴在定义域内，故最大值在处取得， 得到 ，即所求最大值为. 19．已知，且，若恒成立，则实数的范围是______． 【答案】 【分析】先由基本不等式“1”的妙用求出，进而得到不等式，求出答案 【详解】，且， 故， 当且仅当，即，时成立， 要使原式恒成立只需， ，解得 20．若正实数，满足，不等式恒成立，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据基本不等式”1”的代换，可得的最小值，根据题意，结合一元二次不等式的解法，即可得答案. 【详解】由，得，即， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，则，解得， 则的取值范围是. 21．若正数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据 “乘1法”可求 的最小值，进而求解即可. 【详解】由得，且 ， 故， 当且仅当即时等号成立. 故问题转化为，即， 解得，故实数m的取值范围为. 22．若满足且恒成立，则的取值范围是____________. 【答案】 【分析】先结合题意得到，再利用基本不等式得到，进而求出的最小值为，最后得到，求解参数范围即可. 【详解】因为， 且由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 所以， 即，得到，解得， 故的最小值为，要使恒成立， 即成立，解得.   故答案为：. 23．已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数的范围是____________. 【答案】 【分析】根据题意可得，利用乘“1”法结合基本不等式可得，再根据恒成立问题分析求解. 【详解】因为正实数x，y满足，即， 则 当且仅当，即时，等号成立， 若恒成立，则， 所以实数的范围是. 故答案为：. 24．已知，证明：. 【答案】略 【分析】结合“”的妙用，利用基本不等式直接证明. 【详解】， ， 当且仅当，即，时，等号成立， . 25．已知.求证：. 【答案】因为,所以,当且仅当时取等号,解得； 于是得, 所以成立. 26．已知正数，满足，求的最大值． 【答案】 【分析】利用条件恒等变形换元，结合基本不等式锁定换元变量范围，再借助二次函数单调性求最值，注意定义域优先. 【详解】，且， ，即． 代入所求代数式： 令，原式． 由基本不等式： ， ，当且仅当时取等． 二次函数，开口向下，对称轴 ，在上单调递增， 故当时取得最大值． 此时，解得：，． 代入： 的最大值为． 27．回答下列问题 (1)若，求的最小值 (2)已知，且，若恒成立，求的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）变形代数式，应用基本不等式求最值，验证等号成立的条件； （2）首先换元，利用的代换结合基本不等式求最值，然后求解恒成立问题. 【详解】（1）因为，， ， 当且仅当，得时等号成立， 故最小值为. （2）令，， ，所以， ，， 即，可得， ， 当且仅当，即时等号成立， 此时，的最小值为， 若恒成立，则， 即的取值范围为. 28．已知，都是正实数，解决下列问题： (1)若，求的最小值； (2)若，求的最小值． 【答案】(1). (2). 【分析】（1）将化为，利用基本不等式即可求得答案； （2）利用，将化为，展开后利用基本不等式即可求得答案． 【详解】（1）由题意，知， 所以 ， （当且仅当 ，即取等号）， 故的最小值为5. （2）因为都是正实数，， 所以 ， 当且仅当 ，即时取等号， 故的最小值为18； 29．已知是二次函数，且满足． (1)求的解析式； (2)当时，求的最大值； 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）设，，求出未知系数；（2）利用换元法和基本不等式求解. 【详解】（1）设，，， 因为，故， 所以， 故，解得， 故二次函数为； （2）当时，， 令， 故， 由基本不等式得，当且仅当，即，时，等号成立， 故．  即最大值为1 30．已知函数， (1)若关于的不等式的解集为，求不等式的解集； (2)当时，对任意满足，且恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由条件可得是方程的两个根， 结合韦达定理即可求得，再解不等式即可. （2） 条件不等式恒成立可转化为， 利用基本不等式求的最小值，再解不等式即可. 【详解】（1）∵不等式的解集是， 是方程的两个根， 由韦达定理得：即， 所以不等式可化为， 化简得， 所以 故不等式的解集为； （2）恒成立，即恒成立， 当且仅当，即时等号成立， 解得， 则实数的范围是：. 题型三 基本不等式的实际应用 1．如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为______m.    【答案】 【分析】设，，根据十字形地域的面积，得出的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时的长. 【详解】设，，则，所以， 所以 ， ，即，解得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，该休闲场所的总造价最小，最小值为元. 故答案为：. 2．某水产养殖场拟造一个平面图为矩形且面积为160平方米的水产养殖网箱，为了避免混养，箱中要安装一些筛网，如平面图所示．如果网箱四周网衣(图中实线部分)建造单价为每米112元，筛网(图中虚线部分)的建造单价为每米96元，网箱底面建造单价为每平方米100元，网衣及筛网的厚度忽略不计．把建造网箱的总造价y(元)表示为网箱的长x(如图所示，单位为米)的函数，并求出最低造价． 【答案】y＝320×＋16 000，最小值为26 240元 【分析】设网箱长为米，则宽为米，分别表示网衣、筛网、底面的造价，得到总造价关于的函数，再利用基本不等式求最小值. 【详解】设网箱长为 米，则宽为米. 网衣（实线）造价：；筛网（虚线，3条平行于宽、1条平行于长）造价：；底面造价：. 所以 . 由基本不等式，，当且仅当，即时取等号. 所以，即当时，最低造价为元. 3．某夏令营在区域内活动，三个内角满足． (1)求的最小值； (2)夏令营活动组织者要求在点集合，设小明从点出发准时到达点的概率为，小红从点出发准时到达点的概率为，两人是否准时到达点互不影响，已知两人中有且仅有一人准时到达点的概率为0.52，至少有一人准时到达点的概率为0.76，求的值． 【答案】(1) (2)0.2 【分析】（1）先设三边，利用正弦定理把角条件转成边的关系，再代入余弦定理表示出 ，最后用基本不等式求最小值。 （2）按独立事件的概率公式列方程组，先求出 和 ，再由,求出 . 【详解】（1）设的内角的对边分别为 由，根据正弦定理，得，即， 由余弦定理，得， 因为，所以， 当，即时，上式等号成立， 此时，，于是，， 因此，的最小值为． （2）设事件“小明准时到达A点”，事件“小红准时到达A点”，则，． 由题意，即， 化简，得①, ，即， 化简，得②,由①②，得， 所以．故的值为0.2． 4．某种植园种植某菌类的年固定成本为3万元，每产出x吨该菌类需另外投入成本万元，该菌类可以每吨6万元的价格全部售完，设种植园种植该菌类年利润（利润=销售额-成本）为万元，当种植园产出该菌类2吨时，年利润为1万元. (1)求年利润（单位：万元）关于年产量x（单位：吨）的函数关系式； (2)年利润是否有最大值？最大值是多少？此时产量是多少？ 【答案】(1) (2)年利润有最大值，最大值是，此时产量是吨. 【分析】（1）根据“年利润=年销售收入- 固定成本-另外投入成本”求得； （2）结合二次函数的性质以及基本不等式即可求得分段函数的最大值. 【详解】（1）由题可知，当时，总成本为，故有，解得. 因此当时，； 当时，. 综上，. （2）当时，，所以在上单调递增， 所以当时，在处取得最大值，最大值为. 当时， . 当且仅当，即时，等号成立. 因为满足， 所以当时，在处取得最大值，最大值为. 综上，年利润有最大值，最大值是，此时产量是吨. 5．某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1.5米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计9600元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为（）米，原有墙体足够长. (1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为（）元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求的取值范围. 【答案】(1)10米 (2) 【分析】（1）由题意建立甲工程队报价与左面墙的长度间的函数关系，再根据基本不等式求得最低报价及对应的左面墙的长度； （2）利用（1）的结论，列出不等式，分离参数，并根据基本不等式求得的取值范围. 【详解】（1）设甲工程队的总报价为元， 依题意，左、右两面墙的长度均为（）米， 则长方体前面新建墙体的长度为米， 所以， 即， 当且仅当，即时，等号成立. 故当左面墙的长度为10米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为19200元. （2）由题意可知，， 即对任意的恒成立， 所以，可得，即. ， 当且仅当，即时，取最小值36. 所以，即的取值范围是. 6．物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 【答案】(1)，. (2)仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 【分析】（1）由题意设，，其中， 根据题目数据代入求出即可得到答案； （2）利用基本不等式即可求出答案. 【详解】（1）由题意设，，其中， 当时，，解得，，解得， 所以，. （2）由（1）知 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 7．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月库存货物费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成正比，比例系数为1.5，每月土地占地费（单位：万元）与x之间的函数关系为，为常数；若在距离车站5km处建造仓库，则两项费用之和为11.5万元. (1)要使两项费用之和最小，应该把仓库建在距离车站多少千米处? (2)要使两项费用之和不超过13.5万元，仓库到车站的距离应该在什么范围内? 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，进而根据题意建立方程关系得，此时可建立函数关系，再结合基本不等式求解最值即可得答案； （2）根据题意解即可得答案. 【详解】（1）解：因为每月库存货物费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成正比，比例系数为1.5， 所以，当时， 因为每月土地占地费（单位：万元）与x之间的函数关系为，为常数 所以当时，， 因为在距离车站5km处建造仓库，则两项费用之和为11.5万元，、 所以，解得， 所以两项费用之和为， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，两项费用之和最小，为. 所以两项费用之和最小，应该把仓库建在距离车站千米处 （2）解：由（1）得两项费用之和为， 要使两项费用之和不超过13.5万元，即， 整理得，解得， 所以仓库到车站的距离应该在范围内. 8．某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元.设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）. 【答案】(1) (2)万元. 【分析】（1）根据给定条件，直接求出y关于x的函数关系式； （2）求出年平均盈利额的表达式，再利用基本不等式求得最大值. 【详解】（1）根据题意：， 故y关于x的函数关系式为. （2）由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 因为，等号成立时， 所以， 故第年年平均盈利额取得最大值，最大值为万元. 9．某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元．使用若干年后对该设备处理的方案有两种： 方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额（注：）达到最大值时，该设备以30万元的价格处理. (1)设前年的总盈利额为（不含设备处理收益），写出方案一中与的函数关系式； (2)结合总利润（总利润＝总盈利额＋设备处理时获得的收入）判断哪种方案较为合理？并说明理由. 【答案】(1) (2)略 【分析】（1）利用已知条件即可写出与的函数关系式； （2）分别写出两种方案的总利润以及所需要的时间，即可得出结论. 【详解】（1）根据题意可得， 则方案一中与的函数关系式为：. （2）方案一：因为， 所以当时，总盈利额的最大值为万元， 此时处理掉设备，则总利润为万元， 方案二：由年平均盈利额为： ， 当且仅当即时等号成立， 即当时，年平均盈利额最大为20万元， 此时总盈利额万元， 此时处理掉设备，则总利润为万元， 综上，两种方案获利都是110万元， 但方案一需要5年，而方案二仅需要4年，故方案二合理. 10．某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上追加投入万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加的利润（单位:万元）与之间的函数关系式. (2)若要追加的总成本不超过3万元，求的取值范围. (3)当为多少时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？ 【答案】(1)； (2)的取值范围为； (3)当为5万元时，该公司在本季度增加的利润最大,最大万元. 【分析】（1）由题意知，增加的利润增加的产量售价追加投入投入的其他成本；（2）由题意知，追加的总成本追加投入投入的其他成本，列出不等式求解即可；（3）将函数解析式进行化简，利用换元法再结合基本不等式求解. 【详解】（1）由题知， 又，解得， 所以. （2）由题知追加的总成本， 整理得，解得， 又，所以的取值范围为. （3）由知，令，则， 代入函数解析式得 ， 当且仅当时，等号成立， 此时，. 故当为5万元时，该公司在本季度增加的利润最大，最大万元. 11．2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革．某研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长t（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段．通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：；已知初始综合性能评分，且在处函数图象是连续不断的． (1)求常数c和k的值； (2)已知大模型的标准化训练效率定义为，，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？ 【答案】(1)， (2)百GPU小时，“天穹”模型的标准化训练效率最高. 【分析】（1）根据函数的初始值和连续性求出的值即可. （2）先求出不同的范围时的解析式，然后根据基本不等式及二次函数的性质分别求出的最大值，再比较即可. 【详解】（1）因为，又，所以； 所以当时，，又因为在处函数图象是连续不断的， 所以，解得. （2）由（1）可得， 当时，， ， 因为，所以，当且仅当时，即时等号成立， 此时，此时的最大值为4； 当时，， 此时 综上所述，当时，，此时“天穹”模型的标准化训练效率最高. 12．甲乙两地的高速公路全长166千米，汽车从甲地进入该高速公路后匀速行驶到乙地，车速（千米/时）．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分为，固定部分为220元． (1)若每小时的运输成本不高于420元，汽车的速度应该控制在什么范围？ (2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本约为多少元？（结果保留整数） 【答案】(1)（千米/时）； (2)当时，最小运输成本为696元． 【分析】（1）根据题意列出不等式，根据一元二次不等式的解法，求出结果即可. （2）根据题意，列出函数，根据基本不等式，求出最小值即可. 【详解】（1）由题意得汽车每小时的运输成本为（元）， 每小时的运输成本不高于420元，所以，解得， 可得，即（千米/时）， 所以，此时汽车的速度应该控制在（千米/时）； （2）因为汽车从甲地进入该高速公路后匀速行驶到乙地，车速（千米/时）， 所以汽车的行驶时间为（小时）， 所以全程运输成本，， 由基本不等式可得，当且仅当时，即时取等号， 即当速度为（千米/时），最小运输成本为696元． 题型四 对勾函数求最值 1．已知实数满足，则的最小值为（     ） A．5 B．6 C．9 D． 【答案】B 【分析】先利用函数的单调性求出的取值范围，再通过求导或者根据对勾函数性质求解即可. 【详解】∵，∴， 又∵是定义在上的增函数， ∴，解得. 令， 法一：在上恒成立，∴在上单调递增， 即. 法二：由对勾函数的性质可知，在上单调递增， 所以. 2．不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C．8 D．10 【答案】D 【详解】对任意，不等式恒成立， 而函数在上单调递减，则，因此 所以的最小值是10. 3．下列结论正确的是（   ） A．当且时， B．当时， C．当时，的最小值为2 D．当时，无最大值 【答案】B 【分析】由基本不等式判断选项B正确，对于A取特值证伪，对于C由对勾函数的性质证伪，对于D使用函数的单调性确定在给定区间的最大值. 【详解】对于A，令，，故A错误， 对于B，若，则，所以， 当且仅当即时等号成立，故B正确， 对于C，若，， 当且仅当即时等号成立， 由对勾函数的性质，在上单调递增， 所以，故C错误， 对于D，因为单调递增，单调递减，单调递增， 所以单调递增，所以在上的最大值为，故D错误. 4．下列函数中，最小值为4的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合各个函数的定义域，利用基本不等式和对勾函数的单调性分别求解最值即可求解. 【详解】对于A，由对勾函数的性质可得在上单调递增， 所以，故A错误， 对于B，设，，则原式为， 由对勾函数的性质可得在上单调递减， 所以，故B错误， 对于C，，因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故C正确， 对于D，若，则，故D错误。 5．已知函数在定义域内有最大值，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，， 当且仅当，即时，等号成立. 由对勾函数的性质可得，在上单调递增，在上单调递减. 当时，函数单调递减，. 函数在定义域内有最大值，则，即实数的取值范围是. 6．已知实数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，根据直线与圆的位置关系求出的范围，再利用对勾函数的单调性求最值. 【详解】因为，所以原点在圆外， 令，则， 则直线与圆存在交点， 则圆心到直线的距离为，得， 则， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以， 故的最小值是. 故选：D 7．下列说法正确的是（    ） A．当时，的最小值为2 B．当时，的最小值为4 C．的最小值为 D．当时，的最大值为1 【答案】D 【分析】根据题意，利用对勾函数的单调性，可得判定A、B错误，由不是定值，可判定C错误；结合基本不等式，可判定D正确. 【详解】对于A，当时，单调递减，所以，所以A错误； 对于B，当时，可得，令， 则在上单调递减，时，函数取得最小值5，所以B错误； 对于C，由不是定值，所以不是的最小值，所以C错误； 对于D，当时，，当且仅当，即时取等号，所以D正确． 故选：D. 8．(多选)下列结论正确的有（     ） A．若，则的最大值为6 B．若，，，则的最大值为 C．的最小值为2 D．的最小值为3 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用基本不等式，以及对勾函数的单调性，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为，可得，所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，所以A正确； 对于B，由，且，可得， 则，即， 解得，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，所以B正确； 对于C，由，令， 因为在上单调递增，所以最小值为，所以C错误； 对于D，由，令，则， 因为在单调递增，所以最小值为，所以D正确． 9．(多选)下列关于函数的说法中，正确的有（   ） A．的定义域为 B．是偶函数 C．在区间上单调递增 D．的值域为 【答案】AD 【分析】根据函数的奇偶性得出函数为奇函数，再利用单调性的定义，得到函数在上单调递增，结合基本不等式和对称性，即可求解. 【详解】因为函数， 可知，所以函数的定义域为，故A正确； 且，所以为奇函数，故B错误； 任取，且， 则， 因为，则且，可得， 所以在上单调递减，故C错误； 当时，，当且仅当时，等号成立， 又由结合为奇函数，可得的值域为，故D正确. 10．(多选)下列说法正确的是（    ） A．若实数，，满足，则； B．若，则函数的最小值为； C．不等式的解集为； D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是． 【答案】AC 【分析】由不等式的性质可判断A；由换元法和对勾函数的单调性可判断B；由二次不等式的解法可判断C；对讨论，结合二次函数的图象和性质可判断D． 【详解】若实数，，满足，可得，则，故A正确； 若，设 ，函数 即， 由对勾函数的性质可知，函数在递增， 则函数的最小值为 ，故B错误； 不等式即为，解得， 即不等式的解集为，故C正确； 当时，不等式恒成立， 若，则恒成立； 若，则，解得． 综上的取值范围是，故D错误． 故选：AC 11．(多选)以下命题正确的是（   ） A．已知，则有最大值 B．函数的最小值为5 C．已知且，则的最小值为9 D．已知为正实数，，则的最小值 【答案】BCD 【分析】A利用基本不等式求解；B令，结合对勾函数单调性求解；C利用基本不等式，结合一元二次不等式求解；D利用1的妙用. 【详解】因，则，则，等号成立时， 故， 则，A错误； 令，则， 因在上单调递增，则， 故函数的最小值为5，B正确； 因，则，即， 得，即，等号成立时，故C正确； 因为正实数，， 则， 等号成立时，故D正确. 故选：BCD 12．(多选)下列命题中的真命题有（   ） A．当时，的最小值是3 B．的最小值是2 C．当时，的最大值是5 D．当时，的最大值是 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式结合对勾函数的性质一一判定选项即可. 【详解】对A：当时，， 当且仅当，即时取得等号，故A正确； 对B：， 令，则，令， 又在上单调递增，故， 故的最小值为，也即的最小值为，故B错误； 对C：，当且仅当，即时取得等号； 故当时，的最大值是，故C正确； 对D：当时，，当且仅当，即时取得等号，故，即的最大值是，故D正确. 故选：ACD 13．已知方程有两个不相等的正根，，且，则的取值范围是___ 【答案】 【分析】利用韦达定理可得，整理可得，结合图象可得，，，构造，结合对勾函数单调性分析求解. 【详解】因为方程有两个不相等的正根， 则，即，可得， 由，可得， 可知与在内有2个交点，如图所示： 则，，， 构造，可知在内单调递减， 则，即， 所以的取值范围是. 14．已知函数，若在区间上有2个不同的零点，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】由题意，转化为函数和函数在上有两个交点，作出函数图象，数形结合求解即可. 【详解】函数在区间上有2个不同的零点， 方程在上有2个不同的实数解， ⇔方程在上有2个不同的实数解， 函数和函数在上有两个交点． 令，因为在上单调递减，在[2，4]上单调递增， 所以在处取得最小值为4，又由， 当时，． 如图， 当时，函数和函数在上有两个交点， 故的取值范围是． 故答案为： 15．已知函数在上存在最小值，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】利用对勾函数的性质，对实数进行讨论可得其取值范围. 【详解】已知在上存在最小值, 当时，函数为对勾函数，在处取得最小值， 为使最小值点落在区间内，需，解得， 当时，函数单调递增，在区间内不存在最小值点， 因此实数的取值范围是. 16．已知关于的不等式的解集为，其中，则的取值范围是________________. 【答案】 【分析】由一元二次不等式的解集得，应用基本不等式求得，进而有，最后结合对勾函数的性质求范围. 【详解】由题设是的两个根，且， 则且，所以， 而，当且仅当时取等号， 而时不满足，所以， 因在上单调递增， 所以，即的范围是. 故答案为： 17．已知函数. (1)当时，求函数的值域； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，转化为的一元二次函数，再利用复合函数的性质求值域. （2）令，然后参变分离求解参数范围即可. 【详解】（1）由对数函数单调性可知，当时，， 令，可得， 由题意得二次函数开口向上，在区间单调递减，在区间单调递增， 可知当时，，当时，； 因此可得当时，该函数的值域为. （2）当时，可得， 原不等式可化为对于恒成立， 即可得对于恒成立， 由对勾函数性质得函数在上单调递增， 所以，因此只需即可， 得到；即的取值范围是. 18．在一次水下考古活动中，潜水员需潜入水深为40米的水底进行作业，其用氧量包含以下三个方面：①下潜时，平均速度为米/分钟，用氧量为升/分钟；②水底作业需要10分钟，作业时用氧量为升/分钟；③返回水面时，平均速度为米/分钟，用氧量为升/分钟；设潜水员在此次考古活动中的总用氧量为升 (1)将表示为的函数； (2)若，求总用氧量的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）分别求出下潜时，水底作业时，返回水面时的用氧量即可； （2）利用基本不等式求出的最小值，结合函数图象是连续的，比较端点函数值可得的最大值，从而求出答案． 【详解】（1）由题意得下潜时间分钟，用氧升； 水底作业用氧升； 返回时间分钟，用氧升； 故总用氧量为：，； （2）在上，由均值不等式， 当且仅当，即时等号成立， 即在上的最小值为， 因为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又当时，， 当时，，且， 结合在上的图象是连续的，可得 在上的最大值为， 所以取值范围为． 19．已知函数. (1)若，求函数的值域； (2)当时，解关于的不等式. 【答案】(1) (2)时，不等式解集为；时，不等式解集为；时，不等式解集为；时，不等式解集为. 【分析】（1）直接根据对勾函数的单调性计算值域即可； （2）含参数分类讨论计算一元二次不等式即可. 【详解】（1）时，， 由对勾函数的性质可知在上单调递减， 在上单调递增， 所以时，，时，， 即的值域为； （2）由题意， 即， 若，易得， 若，则， 若，则，解得， 若，则，解得， 综上所述：时，不等式解集为；时，不等式解集为； 时，不等式解集为；时，不等式解集为. 20．已知函数，且， (1)求的解析式； (2)当时，求的最大值； (3)若，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据已知，应用待定系数法求函数解析式； （2）化函数式为，应用基本不等式求函数最大值； （3）问题化为与在上的值域有交集，并求出的值域列不等式求参数范围. 【详解】（1）已知函数， 由，显然，则， 所以 ，得，解得， 所以； （2）当时，， 由，则，当且仅当，即时取等号， 所以，即在时的最大值为； （3）由，得， 因为，使得不等式成立， 所以与在上的值域有交集， 令，则在上单调递减，在上单调递增， ，所以，则， 所以，解得. 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4 基本不等式 基础知识梳理 1.基本不等式: （1）基本不等式成立的条件：   （2）等号成立的条件:当且仅当  时,等号成立. （3）  叫做正数的算术平均数,  叫做正数的几何平均数.基本不等式表明:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2.利用基本不等式求最值 已知都是正数, （1）如果积等于定值那么当时,和有最小值  （简记为积定和最小）. （2）如果和等于定值那么当时,积有最大值  （简记为和定积最大）. 3.几个重要的不等式 题型一 基本不等式的理解 1．若，且，则下列不等式中，恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2．已知正实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 3．若，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 4．(多选)下列结论中正确的有（    ） A．若，则 B．若，且，同号，则 C．若，则 D．若，则 5．（多选）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 6．(多选)已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 7．(多选)已知，则（   ） A． B． C． D． 8．已知且为正数，求证：. 9．设均为正数，且，求证：. 10．（1）已知，，证明：； （2）已知，，且，求的最小值. 题型二 基本不等式求最值 1．已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C． D． 2．已知 ，且 ，则的最小值为（    ） A．4 B． C．5 D． 3．若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．，，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．对任意正实数x、y，记（比如），则m的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．已知点在线段上（不含端点），是直线外一点，且，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 7．已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 8．已知正数x，y满足．若不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．已知不等式对于任意的恒成立，则正实数的最大值为（    ） A．10 B．9 C． D． 10．若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．(多选)已知正数，满足，则下列选项正确的是（     ） A．的最小值是4 B．的最小值是1 C．的最小值是1 D．的最大值是 12．(多选)设正实数，，满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C． D． 13．(多选)下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．已知正数，满足，则的取值范围为 C．已知，，且，则的最小值为 D．若正数，，满足，则有 14．(多选)若正实数，满足，则（   ） A． B．有序数对有4个 C．的最大值为 D．的最小值为24 15．已知，且，则的最大值为________． 16．已知正实数，满足，则的最小值为________． 17．已知，，且，则的最小值为______. 18．已知，则的最大值是__________. 19．已知，且，若恒成立，则实数的范围是______． 20．若正实数，满足，不等式恒成立，则的取值范围是__________． 21．若正数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是_________． 22．若满足且恒成立，则的取值范围是____________. 23．已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数的范围是____________. 24．已知，证明：. 25．已知.求证：. 26．已知正数，满足，求的最大值． 27．回答下列问题 (1)若，求的最小值 (2)已知，且，若恒成立，求的取值范围 28．已知，都是正实数，解决下列问题： (1)若，求的最小值； (2)若，求的最小值． 29．已知是二次函数，且满足． (1)求的解析式； (2)当时，求的最大值； 30．已知函数， (1)若关于的不等式的解集为，求不等式的解集； (2)当时，对任意满足，且恒成立，求实数的取值范围. 题型三 基本不等式的实际应用 1．如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为______m.    2．某水产养殖场拟造一个平面图为矩形且面积为160平方米的水产养殖网箱，为了避免混养，箱中要安装一些筛网，如平面图所示．如果网箱四周网衣(图中实线部分)建造单价为每米112元，筛网(图中虚线部分)的建造单价为每米96元，网箱底面建造单价为每平方米100元，网衣及筛网的厚度忽略不计．把建造网箱的总造价y(元)表示为网箱的长x(如图所示，单位为米)的函数，并求出最低造价． 3．某夏令营在区域内活动，三个内角满足． (1)求的最小值； (2)夏令营活动组织者要求在点集合，设小明从点出发准时到达点的概率为，小红从点出发准时到达点的概率为，两人是否准时到达点互不影响，已知两人中有且仅有一人准时到达点的概率为0.52，至少有一人准时到达点的概率为0.76，求的值． 4．某种植园种植某菌类的年固定成本为3万元，每产出x吨该菌类需另外投入成本万元，该菌类可以每吨6万元的价格全部售完，设种植园种植该菌类年利润（利润=销售额-成本）为万元，当种植园产出该菌类2吨时，年利润为1万元. (1)求年利润（单位：万元）关于年产量x（单位：吨）的函数关系式； (2)年利润是否有最大值？最大值是多少？此时产量是多少？ 5．某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1.5米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计9600元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为（）米，原有墙体足够长. (1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为（）元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求的取值范围. 6．物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 7．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月库存货物费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成正比，比例系数为1.5，每月土地占地费（单位：万元）与x之间的函数关系为，为常数；若在距离车站5km处建造仓库，则两项费用之和为11.5万元. (1)要使两项费用之和最小，应该把仓库建在距离车站多少千米处? (2)要使两项费用之和不超过13.5万元，仓库到车站的距离应该在什么范围内? 8．某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元.设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）. 9．某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元．使用若干年后对该设备处理的方案有两种： 方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额（注：）达到最大值时，该设备以30万元的价格处理. (1)设前年的总盈利额为（不含设备处理收益），写出方案一中与的函数关系式； (2)结合总利润（总利润＝总盈利额＋设备处理时获得的收入）判断哪种方案较为合理？并说明理由. 10．某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上追加投入万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加的利润（单位:万元）与之间的函数关系式. (2)若要追加的总成本不超过3万元，求的取值范围. (3)当为多少时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？ 11．2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革．某研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长t（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段．通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：；已知初始综合性能评分，且在处函数图象是连续不断的． (1)求常数c和k的值； (2)已知大模型的标准化训练效率定义为，，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？ 12．甲乙两地的高速公路全长166千米，汽车从甲地进入该高速公路后匀速行驶到乙地，车速（千米/时）．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分为，固定部分为220元． (1)若每小时的运输成本不高于420元，汽车的速度应该控制在什么范围？ (2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本约为多少元？（结果保留整数） 题型四 对勾函数求最值 1．已知实数满足，则的最小值为（     ） A．5 B．6 C．9 D． 2．不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C．8 D．10 3．下列结论正确的是（   ） A．当且时， B．当时， C．当时，的最小值为2 D．当时，无最大值 4．下列函数中，最小值为4的是（   ） A． B． C． D． 5．已知函数在定义域内有最大值，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．已知实数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 7．下列说法正确的是（    ） A．当时，的最小值为2 B．当时，的最小值为4 C．的最小值为 D．当时，的最大值为1 8．(多选)下列结论正确的有（     ） A．若，则的最大值为6 B．若，，，则的最大值为 C．的最小值为2 D．的最小值为3 9．(多选)下列关于函数的说法中，正确的有（   ） A．的定义域为 B．是偶函数 C．在区间上单调递增 D．的值域为 10．(多选)下列说法正确的是（    ） A．若实数，，满足，则； B．若，则函数的最小值为； C．不等式的解集为； D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是． 11．(多选)以下命题正确的是（   ） A．已知，则有最大值 B．函数的最小值为5 C．已知且，则的最小值为9 D．已知为正实数，，则的最小值 12．(多选)下列命题中的真命题有（   ） A．当时，的最小值是3 B．的最小值是2 C．当时，的最大值是5 D．当时，的最大值是 13．已知方程有两个不相等的正根，，且，则的取值范围是___ 14．已知函数，若在区间上有2个不同的零点，则的取值范围是__________． 15．已知函数在上存在最小值，则实数的取值范围是__________. 16．已知关于的不等式的解集为，其中，则的取值范围是________________. 17．已知函数. (1)当时，求函数的值域； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围. 18．在一次水下考古活动中，潜水员需潜入水深为40米的水底进行作业，其用氧量包含以下三个方面：①下潜时，平均速度为米/分钟，用氧量为升/分钟；②水底作业需要10分钟，作业时用氧量为升/分钟；③返回水面时，平均速度为米/分钟，用氧量为升/分钟；设潜水员在此次考古活动中的总用氧量为升 (1)将表示为的函数； (2)若，求总用氧量的取值范围． 19．已知函数. (1)若，求函数的值域； (2)当时，解关于的不等式. 20．已知函数，且， (1)求的解析式； (2)当时，求的最大值； (3)若，使得不等式成立，求的取值范围． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $