专题04 反比例函数图形的图像与性质【（挑战压轴题） 典型题培优系列讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

本讲义聚焦苏科版九年级上册反比例函数的图像与性质核心知识点，系统覆盖图像判断、对称性、参数范围、增减性、面积计算及与几何、一次函数综合应用等内容。通过思维导图构建知识框架，14个题型从基础到综合形成递进式学习支架，衔接概念理解与实际解题。 资料亮点在于题型分类细致，典例精讲结合变式训练，优选题拔尖练提升综合能力。借助思维导图培养抽象能力与几何直观（数学眼光），通过反比例函数与几何图形面积计算等题型，发展推理能力与模型意识（数学思维、数学语言）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

专题04 反比例函数的图像与性质『挑战压轴题』 「思维导图+14个题型讲练+优选题拔尖练 共43题」 【2026-2027学年苏科版数学新教材•九年级上册】 高频压轴题型举一反三变式训练 2 题型一 判断(画)反比例函数图象 2 题型二 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 6 题型三 已知双曲线分布的象限，求参数范围 10 题型四 判断反比例函数的增减性 12 题型五 判断反比例函数图象所在象限 13 题型六 已知反比例函数的增减性求参数 14 题型七 比较反比例函数值或自变量的大小 16 题型八 已知比例系数求特殊图形的面积 17 题型九 求反比例函数解析式 19 题型十 反比例函数与几何综合 21 题型十一 根据图形面积求比例系数(解析式) 25 题型十二 一次函数与反比例函数图象综合判断 27 题型十三 一次函数与反比例函数的交点问题 29 题型十四 一次函数与反比例函数的其他综合应用 31 优选题拔尖练 34 题型一 判断(画)反比例函数图象 【典例精讲】（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，已知点，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的解析式，并在图中画出该反比例函数的图象； (2)当时，求函数值y的取值范围； (3)若关于x的一次函数的图象经过点B，且与图中的反比例函数的图象交于点P，当时，直接写出点P的横坐标的取值范围． 【答案】(1) ，图象如图： (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质、一次函数图象和性质； （1）用待定系数法即可求解出反比例函数解析式，再画出图象即可； （2）根据反比例函数图象的性质，采用数形结合的方法，即可判断出函数值的取值范围； （3）根据一次函数和反比例函数的性质，过点B分别作坐标轴的垂线，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：反比例函数图象过， 将点A代入得：， ， 反比例函数解析式为：； （2）解：， 反比例函数从左往右下降，随的增大而减小， 当时，最大值为当时，， 当时，函数值的取值范围为：； （3）解：如图，过点B分别作轴，轴的垂线，分别交反比例函数图象于点E，F， 把代入，得， 把代入，得， ，， ， 在一次函数中，随的增大而增大， 点P的横坐标的取值范围为：． 【变式训练】已知函数，小明研究该函数的图像及性质时，列出y与x的几组对应值如下表，请解答下列问题： x … 1 2 3 4 … y … (1)完成表格． (2)在平面直角坐标系中，描出以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图像； (3)写出该函数的两条性质： ①___________； ②___________． 【答案】(1)，，， (2)见解析 (3)①该函数图像关于轴对称；②图像均在轴的下方 【分析】（1）根据函数解析式求出表格中相应的值即可； （2）根据描点法画函数图像即可； （3）根据函数图像得到该函数的性质． 【详解】（1）解：∵函数， ∴时，；时，；时，；时，； 故答案为：，，，； （2）函数图像如图所示： （3）该函数的性质有： ①该函数图像关于轴对称； ②图像均在轴的下方； ③时，随增大而减小；时，随增大而增大； 故答案为：①该函数图像关于轴对称；②图像均在轴的下方． 题型二 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【典例精讲】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）在函数的学习中，我们经历了“函数表达式-画函数图象-利用函数图象研究函数性质-利用图象和性质解决问题”的学习，我们可以借鉴这种方法探究函数的图象性质． (1)根据题意，列表如下： … 0 … 2 3 5 … … 1 2 4 … … 在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象； (2)观察图象，发现： ①当时，y随x的增大而______（填“增大”或“减少”）； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为______； ③图象上的点关于对称中心对称的点的坐标为______； (3)函数的图象可由函数的图象平移得到（不必画图），想象平移后得到的函数图象，直接写出当时，的取值范围是______． 【答案】(1) 函数的图象如图所示： (2)①增大；②；③ (3)或 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据描点、连线可作出函数图象； （2）根据（1）中函数图象可分别求解①②③； （3）由题意先得出当时，x的值，然后借助（1）中函数图象可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：①当时，y随x的增大而增大； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为； ③图象上的点关于对称中心对称的点的坐标为； 故答案为增大；； （3）解：当时，则有，解得：， 结合（1）中函数图象可知：当或时，； 故答案为或． 【变式训练】（2025九年级上·全国·专题练习）如图是反比例函数的图像，在图像上任取一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，则四边形是一个矩形，这个矩形的面积为．根据下列要求画图，并写出理由． (1)试利用反比例函数的图像在图中画出面积为的平行四边形（不可为矩形）； (2)试利用反比例函数的图像在图中画出面积为的三角形． 【答案】(1) 解：连接，过点作交轴于点，如图： 轴，， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形即为所求； (2) 解：连接并延长交反比例函数于，连接，如图： 由反比例函数图象的对称性可知，与关于点对称， ， ， ， ， ， 即为所求． 【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，反比例函数的图象与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）连接，过点作交轴于点，可知四边形是平行四边形，则有，从而，所以平行四边形即为所求； （2）连接并延长交反比例函数于，连接，由反比例函数的对称性可知，可得，所以即为所求． 题型三 已知双曲线分布的象限，求参数范围 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·单元复习）已知反比例函数． (1)若，则x的取值范围是__________； (2)若，则x的取值范围是__________； (3)若，且，则x的取值范围是__________． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】本题考查反比例函数的增减性， （1）先求出当时的值，然后根据反比例函数的增减性进行求解即可； （2）先求出当时的值，然后根据反比例函数的增减性进行求解即可； （3）先分别求出当和时的值，然后根据反比例函数的增减性进行求解即可； 解题的关键在于熟知反比例函数的性质：当时，函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小；当时，函数的图像在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大． 【详解】（1）解：反比例函数的图像如图所示， 当时，， ∵函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∴当时，x的取值范围是或， 故答案为：或； （2）当时，， ∵函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∴当时，x的取值范围是， 故答案为：； （3）当时，；当时，， ∵函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∴当且时，x的取值范围是或． 【变式训练】（23-24九年级上·湖南永州·单元测试）如图是三个反比例函数，，在轴上方的图象，则，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，由图象分布的位置可得，，，再由时，由图象可得，即得，进而可得，即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第一象限，反比例函数和的图象分布在第二象限， ∴，，， 当时，由图象可得， ∴， ∴， 故选：． 题型四 判断反比例函数的增减性 【典例精讲】（25-26八年级下·福建福州·期末）已知反比例函数，当时，自变量的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论，根据反比例函数的增减性，结合求解即可． 【详解】解：反比例函数中，， ∴ 函数图象位于第一、三象限，且， 分两种情况讨论： （1） 当时，，显然满足，因此所有都符合条件； （2）当时，令，， 解得， 在第三象限，y随着x的增大而减小， 时， 综上，自变量的取值范围是或． 【变式训练】（25-26八年级下·上海杨浦·期末）已知点、、在反比例函数（）的图象上，那么、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据判断反比例函数的象限分布，再结合每个象限内随的变化规律即可比较大小. 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ∵点，的横坐标都小于， ∴，两点都在第三象限， ∵， ∴， 又∵点的横坐标， ∴点在第一象限，可得， 综上可得. 题型五 判断反比例函数图象所在象限 【典例精讲】（2026·安徽淮南·一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点为，则一次函数与反比例函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的顶点式、一次函数与反比例函数的图象特征；解题的关键是由二次函数顶点坐标确定的符号，进而判断一次函数和反比例函数图象经过的象限．由二次函数的顶点为，得对称轴为直线，即，将顶点坐标代入得；由顶点纵坐标-2为最小值，知抛物线开口向上，即，则，一次函数中，，图象经过第一、二、三象限；反比例函数中，图像在第一、三象限：结合选项图像特征得出正确选项． 【详解】解：二次函数图象的顶点为 可设，即 该二次函数图象的对称轴为 一次函数为，即， 一次函数的图象恒经过定点，排除． 当时，，排除D． 故选A． 【变式训练】（24-25九年级上·福建福州·阶段检测）在直角坐标系中，函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图象，绝对值的化简，掌握反比例函数图象是解决问题的关键．需分和两种情况进行讨论，即可得到答案． 【详解】解：当时， 函数解析式化简为：， ，故取其在第一象限的图象； 当时， 函数解析式化简为：， ，故取其在第二象限的图象． 故选：B． 题型六 已知反比例函数的增减性求参数 【典例精讲】（2026·上海·中考真题）已知点与点在同一条反比例函数的图象上，若，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先根据点的坐标求出反比例函数的值，得到反比例函数解析式，再利用反比例函数的增减性，结合的取值范围，得到的取值范围． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数解析式为， ， 反比例函数在第一象限内，随的增大而减小， 点在该反比例函数图象上，且， 当时，， ． 【变式训练】（25-26八年级下·福建泉州·期末）已知、两点在反比例函数的图像上，且，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】先根据反比例函数的性质判断的增减性，再由且，判断出，两点分别位于不同象限，根据象限内点的坐标特征列不等式组求解． 【详解】解：反比例函数中，， 该反比例函数图像在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ， ， 又， 点，不在同一象限，即在第三象限，在第一象限， ∴ ， ∴的取值范围为． 题型七 比较反比例函数值或自变量的大小 【典例精讲】（25-26八年级下·山东青岛·期末）关于反比例函数，下列说法错误的是（     ）． A．点，均在其图象上 B．函数图象在第二、四象限 C．若，则x的取值范围是 D．该函数图象上有两点，，若，则 【答案】D 【分析】根据反比例函数的图象与性质，逐个判断各选项的说法，即可得到答案． 【详解】解：A选项：将代入，得，所以点在图象上；将代入，得，所以点也在图象上，A说法正确，不符合题意； B选项：因为，所以反比例函数图象位于第二、四象限，B说法正确，不符合题意； C选项：令，代入得，解得，因为，在第四象限内随增大而增大，所以当时，的取值范围是，C说法正确，不符合题意； D选项：反比例函数仅在每个象限内满足随增大而增大，若两点不在同一象限，结论不成立，例如取，，满足，此时，，有，不满足，D说法错误，符合题意． 【变式训练】（25-26八年级下·河南鹤壁·期末）已知点，，在反比例函数（为任意实数）的图象上，且，则，，的大小关系为________． 【答案】/ 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，再根据反比例函数的性质，结合各点横坐标的范围判断点所在象限，再根据函数的增减性比较纵坐标的大小． 【详解】解：对于反比例函数，比例系数 对任意实数，， ， 可得 反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大． ， 点在第二象限，可得 ， 点，都在第四象限，可得， 又在第四象限内随的增大而增大，且， 综上可得． 题型八 已知比例系数求特殊图形的面积 【典例精讲】（25-26八年级下·江苏泰州·期末）如图，点为反比例函数的图像上一点，过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为，，线段被反比例函数的图像上一点分成两部分，且，连接，则的面积为______． 【答案】 【分析】设点的横坐标为，根据垂线定义及线段比例关系表示出点的横坐标，利用点、纵坐标相等建立关于的方程求出值，最后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：设点的坐标为，其中， 过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为， 轴，轴， 点的坐标为，点的坐标为， 的长度为， 点在线段上，且， ， 点的横坐标为， 点在反比例函数的图象上，且点的纵坐标与点相同， 点的坐标为， ， 整理得：， 解得：， ， ， 为直角三角形， ， ， ． 【变式训练】（25-26九年级上·山东滨州·期末）如图，反比例函数，的图象在平面直角坐标系中，点B为的图象上一点，过点B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为，线段被的图象上一点D分成两部分，且，连接，则的面积为（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】由题意设点，则，由点B和点D的纵坐标相同得出，进而可求出的面积． 【详解】解：∵， ∴设点，则， 由题意知，点B和点D的纵坐标相同， ∴， 解得：， ∴， ∴. 题型九 求反比例函数解析式 【典例精讲】（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，一次函数与函数的图象相交于点，．下列说法错误的是（     ） A．两图象的交点的坐标为 B．若，则的取值范围是或 C．一次函数与反比例函数都随的增大而增大 D．连接，，则的面积是 【答案】C 【分析】由题意易得一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为，然后根据一次函数及反比例函数的图象与性质进行排除选项即可． 【详解】解：由题意可把代入一次函数得：，解得：， ∴一次函数的解析式为， ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵在一次函数上， ∴， ∴点的坐标为，故A正确； 由图象可知：若，则的取值范围是或，故B正确； ∵， ∴一次函数随的增大而增大，反比例函数在每个象限内，随的增大而减小，故C错误； 由一次函数可知：其函数图象与轴的交点坐标为， ∴，故D正确． 【变式训练】（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在中，．过点A作于点．点P为上一点（P与均不重合），，连接，点E为的中点，记点E与点P的距离为的面积为的面积为，记． (1)请直接写出分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并分别写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)； (2) 函数：关于直线对称； 函数：随的增大而减小； (3) 【分析】（1）利用等腰三角形的性质和勾股定理求得的值，再写出对应的函数解析式即可； （2）先描点，再画出函数图象，观察图象得到函数性质； （3）结合函数图象即可解答． 【详解】（1）解：，， 为等腰直角三角形， ， ， ， 点E为的中点， ， ； ， （2）解：当时，；； 当时，；； 当时，；； 当时，；； 当时，；； 图象略； 函数：关于直线对称； 函数：随的增大而减小； （3）解：结合函数图象，当时，． 题型十 反比例函数与几何综合 【典例精讲】（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点、都在反比例函数（）的图象上，对角线平行于轴，坐标原点为的中点，若菱形的面积为40，则的值为（     ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【分析】过点作轴于点，记与轴交于点F，与轴交于点N，连接，，由菱形的性质可得，求出，证明，则有，根据反比例函数的意义可得，即可求的值． 【详解】解：过点作轴于点，记与轴交于点F，与轴交于点N，连接，， 是的中点，四边形是菱形， ∴，， ，， 轴，O为的中点， ∴，，，， ∴， ∴， ∴点N是的中点， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ∵，，均垂直轴， ∴， ∴四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ∵点在反比例函数的图象上， ， ． 【变式训练】（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点，． (1)求反比例函数表达式和一次函数表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)在反比例函数图象上有一点，使得，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)点坐标为或 【分析】（1）将代入得，得出，将代入得，，进而待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据图象写出一次函数在反比例函数下方时的自变量的取值范围，即可求解； （3）分别求得点的坐标，求得，根据，得出，进而将代入反比例函数解析式，即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， ， ∴反比例函数的解析式为， 将代入得，， ∴点的坐标为． 将点和点的坐标代入得， ， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）由图象可知：或 （3）解：将代入得，， ∴点的坐标为， ， ． 将代入得，， ∴点的坐标为， ， 解得． ∴当， 将代入得，， ∴点坐标为． ∴当， 将代入得，， ∴点坐标为． 综上：点坐标为或． 题型十一 根据图形面积求比例系数(解析式) 【典例精讲】（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，点、是反比例函数 图象上的两点，延长线段交轴于点，且点为线段中点，连接、，若，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】设点坐标为，由是中点且在轴上推出点坐标，再求直线解析式得到点纵坐标，最后利用三角形面积列方程求． 【详解】解：设，其中． 点是线段的中点，点在轴上，设， 由中点公式，，解得． 又点在的图象上， ∴． 设直线的解析式为， 将、代入，得： ， 解得，． 直线的解析式为． 令，得，即． 由题意，以轴上的为底，点的横坐标为高， ． ， ，解得． 【变式训练】（25-26八年级下·河南洛阳·期末）如图，点在反比例函数的图象上，点是上一点，过点作轴于点，连结．若，的面积为，则的值为____________ 【答案】 【分析】设点的坐标是，可得：，根据，可得：，即可求出的值． 【详解】解：设点的坐标是， 则，， ， ， ， , ， ． 题型十二 一次函数与反比例函数图象综合判断 【典例精讲】（25-26八年级下·山东东营·期末）已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况，进行讨论，判断即可. 【详解】解：当时，则，则双曲线过一、三象限， ∵，，则直线过一、二、四象限； 当时，则，则双曲线过二、四象限， ∵，，则直线过一、二、三象限； 观察可知，只有选项C的图象符合题意. 【变式训练】（2025·四川广元·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．过点A作轴，垂足为C，连接． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)根据所给条件，请直接写出关于x的不等式的解集； (3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)或； (3)或． 【分析】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，求出函数关系式是解决问题的为前提 （1）先利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数解析式，再求出点B的坐标，最后用待定系数法求一次函数解析式； （2）根据图象直接得出答案； （3）先求出，再根据面积关系求出，进而确定点P的坐标． 【详解】（1）解：，两点都在反比例函数的图象上， ． ． 反比例函数的解析式为，． ，两点都在一次函数的图象上， 解得 一次函数的解析式为． （2）解：由图可知，当或时，不等式． （3）解：存在． 如图，过点B作轴，垂足为D． ，， ，． ，． ． ， ． 设点P的横坐标为，则． ． 或． 当点P在上，则或． 点P的坐标为或． 题型十三 一次函数与反比例函数的交点问题 【典例精讲】（25-26八年级下·河南周口·期末）一次函数与反比例函数交于，当时， x的取值范围是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】不等式表示一次函数值小于反比例函数值，结合两个交点坐标及对应函数图象即可得到的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为，其函数图象分别位于第二、四象限； 把，代入，得， 解得，即一次函数的表达式为． ∴反比例函数与一次函数的图象如图所示： 由图象可知，当时，的取值范围是或． 【变式训练】（2026·四川甘孜·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求正比例函数的解析式； (2)点是轴正半轴上的一点，若的面积为8，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）根据代入求解即可． 【详解】（1）解： 在反比例函数的图象上， ，则， 点在正比例函数的图象上， ，则， ∴正比例函数的解析式为； （2）解：联立和得，即，则， ∴， 的面积为8，即， ， ， ∵点是轴正半轴上的一点， 点的坐标为． 题型十四 一次函数与反比例函数的其他综合应用 【典例精讲】（25-26九年级上·山东·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，依次进行下去，记点的横坐标为，若，则（   ） A．2 B． C． D．-2 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，点坐标规律探索，依次求出各点的坐标，观察到每 3 次变化为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出，从而得到每 3 次变化为一个循环组依次循环，用 2025除以 3 ，根据商的情况确定出即可． 【详解】解：当时，的横坐标与的横坐标相等为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 由上可知，，3个为一组依次循环， ， ， 故选：C． 【变式训练】（25-26九年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点．连接，若． (1)求反比例函数与一次函数的关系式； (2)直接写出不等式组的解集； (3)已知是轴上一点，若以点、、为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点或或或 【分析】（1）一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，根据，得确定，继而利用待定系数法，求两个函数的解析式即可． （2）利用交点的横坐标，数形结合思想直接解答即可． （3）设点，根据两点间距离公式，得点， ，，根据勾股定理的逆定理，分类建立方程解答即可． 本题考查了待定系数法，交点坐标的求解，数形结合求不等式组的解集，两点间距离公式，勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，点，点，， ∴，， 解得， ∴点， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为； 根据题意，得， 解得， ∴一次函数的解析式为． （2）解：根据题意，得， 故不等式组的解集为 （3）解：设点，根据两点间距离公式，得点，， ， 当时，此时三角形是直角三角形， 故， 整理，得， 解得或， 此时点或； 当时，此时三角形是直角三角形， 故， 解得， 此时点； 当时，此时三角形是直角三角形， 故， 解得， 此时点； 综上所述，存在点P使得以点、、为顶点的三角形是直角三角形，且点或或或． 1．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点B为x轴上的点，点D是第一象限内的一点，轴，已知线段交反比例函数的图像于点C，连接，点C为的中点，连接，交反比例函数图像于点A．若的面积为5，则k的值为（     ） A．10 B．5 C．8 D．20 【答案】A 【分析】利用三角形中线性质得出，结合反比例函数k的几何意义求解． 【详解】解：∵C为中点，且的面积为5， ∴， ∴， ∵轴，点C在反比例函数图像上， ∴， ∴，解得， ∵该反比例函数的图像在第一象限， ∴， ∴． 2．（23-24九年级下·广东湛江·自主招生）一次函数经过第一、二、三象限，则函数的图像大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数经过的象限确定 、 的符号，进而确定反比例函数型的图像分布区域； 【详解】解：一次函数 的图像经过第一、二、三象限， ，， 函数的图像经过第一、三象限，且无限接近轴， 函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，其无限接近直线，排除B、C选项； 当时，，当时，，排除D选项；A选项符合题意． 3．（25-26八年级下·福建泉州·期末）已知，，三点都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】先根据反比例函数系数判断图象位置和增减性，再结合m的范围确定三个点横坐标的范围，结合增减性比较y的大小即可得到结果． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， A、当时，可得，三点都在第二象限，根据增减性得，即，故该选项不符合题意； B、当时，可得，A、B在第二象限，C在第四象限，可得，且，，，即，故该选项符合题意； C、当时，可得，点A在第二象限，点B、C在第四象限，根据增减性得，故该选项不符合题意； D、当时，可得，三点都在第四象限，根据增减性得，故该选项不符合题意； 4．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期末）若，则与在同一坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从和两种情况分类讨论得出答案． 【详解】解：，分两种情况： ①当时，正比例函数的图象过第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项； ②当时，正比例函数的图象过第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项B符合． 5．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，轴，轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点，在格点上，设点的坐标为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由点的坐标为可得，由点，在格点上可得，解得，． 6．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象分别与等腰直角的直角边和斜边交于点，，点在轴负半轴上，连接，，若，且的面积为3，则________． 【答案】 【分析】作，连接，根据等腰直角三角形的性质得，再设点，则点，即可求出，，同理，最后根据求出答案． 【详解】解：过点D作，交x轴于点E， ∵等腰直角，， ∴，则点D是的中点． ， ， ∵， ∴． 设点， , ， ∴， ∴，，同理， ∴， 即， 解得． 7．（25-26八年级下·上海嘉定·期末）如果反比例函数（是常数）的图像在第二、四象限，那么的值是__________． 【答案】 【分析】先根据反比例函数的定义得到的次数与系数满足的条件，求出的所有可能值，再结合图象在第二、四象限的性质确定系数的符号，即可得到的值． 【详解】解：∵反比例函数的一般形式为，其中， ∴可得，解得且， ∵反比例函数的图像在第二、四象限， ∴，解得 ， ∴． 8．（25-26八年级下·浙江金华·期末）如图，正比例函数与反比例函数图象交于点A、B，已知点A的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】 或 【分析】先利用正比例函数和反比例函数的对称性，因为两个函数的交点关于原点对称，所以由点A的横坐标为1，可得到点B的横坐标．将不等式变形为，问题转化为找正比例函数图象在反比例函数图象上方时对应的x的取值范围．结合函数图象，分和两个区间，根据两个交点的横坐标，确定满足的x的范围． 【详解】解：正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，因此它们的交点、也关于原点对称． 已知点横坐标为，因此点横坐标为． ，即找正比例函数值大于反比例函数值时的范围． 观察图象可得：当时，正比例函数图象在反比例函数图象上方，满足； 当时，正比例函数图象也在反比例函数图象上方，满足． 因此不等式的解集为 或 ． 9．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，一次函数图象与x轴、y轴分别相交于C、B两点，与反比例函数在第一象限的图象相交于点．点D的横坐标为4，过点D作y轴的平行线，交反比例函数的图象于点E，连接．则的面积为__________． 【答案】4 【分析】根据一次函数的性质和反比例函数的性质分别求出点、的坐标，进而计算． 【详解】解：对于一次函数，时，， ∴； 将点代入一次函数， 有， 解得， ∴， 将代入反比例函数， 有， 解得， ∴反比例函数的解析式为， ∵， ∴，即， ∵轴， ∴， ∴，即， ∴． 10．（25-26八年级下·四川遂宁·期末）如图，一组等腰三角形的底边均在轴的非负半轴上，两腰的交点在反比例函数的图象上，且它们的底边都相等．若，，，…的面积分别为，，，…，，则的值_________． 【答案】 【分析】分别过点，，，，作x轴的垂线，垂足分别为，，，，，设，则，，，，，分别求出，，，…，总结得出，最后将代入即可解题． 【详解】解：分别过点，，，，作x轴的垂线，垂足分别为，，，，． 设，则，，，，， ， ， ， ， …，依次类推， ， ∴． 11．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)已知点是轴上一点，连接、，若的面积为，求出点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为y．一次函数的表达式为y (2)点坐标为或 【分析】（1）先把代入反比例函数求出，得到反比例解析式，再将代入反比例函数求出；最后把、两点坐标代入，解方程组求出． （2）先求出一次函数与轴交点，设为；设，以为公共底边，利用列式计算，解出． 【详解】（1）解：把代入反比例函数， ，解得， 反比例函数解析式：． 将代入： ， ． 把，代入得方程组： ， 解得， 一次函数解析式：． （2）解：设直线与轴交于点，如图所示， 令， 解得， ． 设点坐标，则． 的高为点纵坐标6，的高为点纵坐标的绝对值． ， 解得或， 点坐标为或． 12．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，交轴于点，轴，垂足为，轴于点，，，． (1)求的值； (2)连接，，求和的面积； 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）先由得到点纵坐标，代入左侧反比例函数求出横坐标，得到线段长度；结合算出长，再由确定点坐标，最后将点坐标代入右侧反比例函数，即可算出． （2）先算出梯形的总面积，再分别求出左右两侧直角三角形、的面积，用梯形面积减去两个直角三角形面积，剩余部分就是的面积．利用、两点坐标列方程组求出直线的解析式，令得到直线与轴交点的纵坐标，即线段长度；以为底、为高，套用三角形面积公式计算出面积． 【详解】（1）解：由题意可知， ，轴， ∴点的纵坐标为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴点的横坐标为． ． ， ． ， ∴点的坐标为． ． （2）解：， ， ， ． 设直线的表达式为，得 ， 解得． 直线的表达式为，点的坐标为 ． 13．（25-26八年级下·上海松江·期末）已知y与x成反比例，z与y成正比例，又当时，；当时，． (1)求z关于x的函数表达式； (2)当时，求z的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意设把时，代入，求得的值；设，把，，代入计算求出的值，即可确定与的函数解析式；将代入，可求得与的函数解析式， （2）将代入（1）中的解析式再计算即可． 【详解】（1）解：∵y与x成反比例，z与y成正比例， ∴设，， 当时，， ， ， ， 当时，， ， ， ， ，即. （2）解：将代入， 得． 14．（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，，，为常数． (1)求一次函数和反比例函数的关系式； (2)根据图象直接写出不等式的解集为__________； (3)点为轴上一点，若的面积为2，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)一次函数的关系式为，反比例函数的关系式为 (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数的关系式，进而求出点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数的关系式即可； （2）根据函数图象找到一次函数的图象在反比例函数的图象上方时自变量的取值范围即可； （3）设直线交x轴于点D，求出点D的坐标，根据建立方程求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：把点A的坐标代入得，解得， ∴反比例函数的关系式为， 把点B的坐标代入得， ∴， 把点A和点B的坐标代入得， 解得， ∴一次函数的关系式为； （2）解：由（1）和函数图象可得不等式的解集为或； （3）解：如图所示，设直线交x轴于点D， 在中，当时，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点P的横坐标为或， ∴点P的坐标为或． 15．（25-26八年级下·河南开封·期末）如图，反比例函数的图象经过点，连接并延长交反比例函数图象于点，为反比例函数图象上一点，横坐标为，一次函数的图象经过、两点，与轴交于点，连接、． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)当时，直接写出自变量的取值范围． 【答案】(1)； (2)2 (3)或 【分析】（1）先将代入反比例解析式求解，然后求出点C坐标，再将点B，C坐标代入求解； （2）作轴交于点E，求出点D坐标及所在直线解析式，从而可得长度，再根据求解； （3）直接根据函数图象求解． 【详解】（1）解：将代入， 得， 解得， ∴， ∵A，B在反比例函数图象上， ∴点A，B关于原点成中心对称， ∴点B坐标为， 把代入得， ∴点C坐标为， 将，代入得， 解得， ∴； （2）解：如图，作轴交于点E， 设所在直线解析式为， 将，代入得， 解得， ∴， 将代入得， 解得， ∴点D坐标为， 把代入得， ∴点E坐标为，， ∴ ； （3）解：由函数图象可知，当时，或． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $null专题04反比例函数的图像与性质『挑战压轴题」 「思维导图+14个题型讲练+优选题拔尖练共43题」 【2026-2027学年苏科版数学新教材•九年级上册】 山且录导航 高频压轴题型举一反三变式训练..·. 2 题型一判断（画）反比例函数图象··… 2 题型二由反比例函数图象的对称性求点的坐标.· …4 题型三已知双曲线分布的象限，求参数范围.... .5 题型四判断反比例函数的增减性.·.. 6 题型五判断反比例函数图象所在象限· 6 题型六已知反比例函数的增减性求参数..·... ……7 题型七比较反比例函数值或自变量的大小. 7 题型八已知比例系数求特殊图形的面积.·· ……7 题型九求反比例函数解析式....·.. …8 题型十反比例函数与几何综合.。 .9 题型十一根据图形面积求比例系数（解析式）··· 10 题型十二一次函数与反比例函数图象综合判断... 11 题型十三一次函数与反比例函数的交点问题..12 题型十四一次函数与反比例函数的其他综合应用. ..12 优选题拔尖练...... .14 第1页共19页 ■山思维导图技5点拨 骨一、反比例函数的概念 五、反比例函数的图象与 k值的关系 一般地。形如y=《(≠)的函数。叫作反比例函 反比例函数y=冬(≠0)中，k的符号决定图象所在的象限 其中素叫作比例系数， 的大小决定图象在每个象限内离坐标轴的远近。 二、反比例函数的图象 k>0时（在一，三象限） k<0时（在二、四象限] 反比例函数y=(化≠)的图象是双曲线， 当k>0时，运大， 它分布在第 关于原点对称 三象限或第二、四象限 图象在每个象限内越靠近坐标轴 当k<0时.越大， 图象在每个象限内越囊近坐标轴 苏科版数学九年级上册 0 挑战压轴题专题04 三、反比例函数的性质 反比例函数的 y=冬≠0) 观察y=冬k0)的图象可知： 图像与性质 当自变量x的取值范围是1<x<2时 通数表达式 y=>0) y=<0) y1 对应的函数值，的取值范围是2<y<4 函数图象 七、常考题型与核心结论 ①求解析式：利用特定系数法，把已如点代入y=冬求k 图象组成 由两支曲线组成，称为双曲线 ②判断点在图象上：把点的坐标代入解析式，看等式是否成立 图象对称性 关于原点中心对称 y=(k≠0】 围象所在象限 一。三象限 二、四象限 ③比较函数值大小：同一象限内，k>0时，x超大，y越小： 可 在每一个象限内，y随x的在每一个象限内，y随x的 k<0时.x悠大，y虑大， 函数变化趋势 增大而减小 增大而增大 ④求自支量取值范国：由题意结合图象，确定的范围。再由y=专求y的范围。 秀数层的取值范压 x≠0 ⑤几何应用：求面积。线段长度，周长等。常用点的坐标满足灯=k进行计算。 函数值的取值范 y≠0 增性总结 x>0时，y随x指大而减小： x>0时，y随x增大而减小： (☆压轴题考点技巧 x<0时，y随x增大而减小。 x<0时，y随x增大而增大 学习小结 ★牢记反比例函数解析式：y=本（依≠0） 四、反比例函数图象上的点的特征 ②待定系数法 ③利用性质巧解题 ④分类讨论思想 ⑤转化与方程思想 ★图象是双血线，关于原点对称。 ①数形结合思想 反比例函数y=车(k≠0)图象上的任意 ★k的符号决定象限，肉决定图象位置 一点x,功都满足对=k 反比侧函数困象是双曲线 己如函数图象过一点 灵活远用x学=熏。对将性 裤及>0与C0.5君 将几钢网题转化为代数问题 ★同一象限内。掌握增减性规律。 在同一反比例函数图象上，若点A(无，) 代入y=车（0） 单调性等性，快速求解 不同象限时。要注意分类 如面积。线吸长度等，利可 B,为)， 地减性、取值范等同 求出太。从而确定解析式 比较大小取值范调等问 计论，免围解 坐标表，建立方程 ★图象上点满足y一k,灵活运用 ★结合图象求取值范围。注意x地0,0 则== 厚 史 △6 昌山高频压轴题型举。反三变式训练 题型一判断（画）反比例函数图象 【典例精讲】(23-24九年级上·河北保定·期末)如图，已知点B(4,4),反比例函数y=x>0)的图象 经过点A(1,3) 7 6 5 4 B 1 012345678x (1)求反比例函数的解析式，并在图中画出该反比例函数的图象： 第2页共19页 (2)当x≥3时，求函数值y的取值范围： (3)若关于x的一次函数y=ax+b(a≠0)的图象经过点B,且与图中的反比例函数的图象交于点P,当a>0 时，直接写出点P的横坐标xp的取值范围. 【变式训练】已知函数y=- 小明研究该函数的图像及性质时，列出，与x的几组对应值如下表，请解 答下列问题： -4 -3 2 -1 2 -3 6 3 (1)完成表格 (2)在平面直角坐标系x0y中，描出以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图像： y 8 6 …5 -4 …3 2 1 -8-7-6-5-4-3-2-10 2345678x …2 3 4 5 6 (3)写出该函数的两条性质： ① ② 第3页共19页 题型二由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【典例精讲】(25-26九年级上·辽宁沈阳·期中)在函数的学习中，我们经历了“函数表达式-画函数图 象-利用函数图象研究函数性质-利用图象和性质解决问题”的学习，我们可以借鉴这种方法探究函数y=一 产的图象性质。 (1)根据题意，列表如下： -3 -1 2 3 5 … y 2 -4 -2 -1 在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象： (2)观察图象，发现： ①当x>1时，y随x的增大而_（填“增大”或“减少”）； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为一一一： ③图象上的点A(3,一2)关于对称中心对称的点的坐标为一一一： (3)函数1=-÷+2的图象可由函数y=-的图象平移得到（不必画图），想象平移后得到的函数1= ÷+2图象，直接写出当y1之-2时，x的取值范围是 第4页共19页 【变式训练】(2025九年级上·全国·专题练习)如图是反比例函数y=的图像，在图像上任取一点A, 过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为B、C,则四边形ABOC是一个矩形，这个矩形的面积为4.根据 下列要求画图，并写出理由. O B (备用图) (1)试利用反比例函数y=的图像在图中画出面积为4的平行四边形（不可为矩形）； (2)试利用反比例函数y=的图像在图中画出面积为4的三角形. 题型三已知双曲线分布的象限，求参数范围 【典例精讲】(25-26九年级上·全国·单元复习)已知反比例函数y=二 (1)若y<4,则x的取值范围是 (2)若y≥2，则x的取值范围是 (3)若-2<y≤2，且y≠0，则x的取值范围是 【变式训练】(23-24九年级上·湖南永州·单元测试)如图是三个反比例函数1=是，2=冬，为=2 在x轴上方的图象，则k1,k2,k3的大小关系为() A.k1>k2>k3 B.k2>k3>k1 第5页共19页 C.k1>k3>k2 D.k3>k1>k2 题型四判断反比例函数的增减性 【典例精讲】(2526八年级下·福建福州·期末)已知反比例函数y=三当y≥-2时，自变量x的取值 范围是( A.x≥-2.5 B.x>0或x<-2.5 C.x≤-2.5 D.x>0或x≤-2.5 【变式训练】(25-26八年级下·上海杨浦·期末)已知点4(-3，yB(-1,y2)、C(2,y3)在反比例函数y=冬 (k>0)的图象上，那么y1、y2、y3的大小关系是( ) A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3 C.y3<y1<y2 D.y3<y2<y1 题型五判断反比例函数图象所在象限 【典例精讲】(2026·安徽准南·一模)在平面直角坐标系x0y中，己知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 图象的顶点为(-1，-2)，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=的图象可能是() C. 【变式训练】(2425九年级上·福建福州·阶段检测)在直角坐标系中，函数y=的图象大致是〈 第6页共19页 C 题型六已知反比例函数的增减性求参数 【典例精讲】(2026·上海·中考真题)已知点A(m,)与点B(3,4)在同一条反比例函数y=的图象上，若 0<m<3,则n的取值范围是 【变式训练】(25-26八年级下·福建泉州·期末)已知A(a-1y小B(Q+1,)两点在反比例函数)y=生 的图像上，且y1<y2,则a的取值范围为 题型七比较反比例函数值或自变量的大小 【典例精讲】(25-26八年级下·山东青岛·期末)关于反比例函数=一手下列说法错误的是( 人 A.点(2，-2)，(-4,1)均在其图象上 B.函数图象在第二、四象限 C.若y<-2,则x的取值范围是0<x<2 D.该函数图象上有两点A(x1y1),B(x2y2),若x1<x2,则y1<y2 【变式训练】(25-26八年级下河南鹤壁期末)已知点4(x1,y),B(x2,y2),C(x3,y3)在反比例函数y=-m4 (m为任意实数)的图象上，且x1<0<x2<x3,则y1,y2,y3的大小关系为 题型八已知比例系数求特殊图形的面积 【典例精讲】(25-26八年级下·江苏泰州·期末)如图，点B为反比例函数y1=牛生(x<0)的图像上一点， 过点B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为A,C,线段BC被反比例函数y2=x<0)的图像上一点D分成 两部分，且BD:CD=1:2,连接AC,则△ABC的面积为· 【变式训练】(25-26九年级上·山东滨州·期末)如图，反比例函数y1=+(x<0),y2=(x<0)的图 第7页共19页 象在平面直角坐标系中，点B为y1=生(x<0)的图象上一点，过点B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别 为A,C,线段BC被y2=(x<0)的图象上一点D分成两部分，且BD:CD=1:2,连接AC,则△ABC的面积 为( A.2 B. c.号 D.1 题型九求反比例函数解析式 【典例精讲】(25-26八年级下·河南周口·期末)如图，一次函数y1=x+b与函数y2=(化≠0)的图象 相交于点M(1,2),N(-2,n).下列说法错误的是( A.两图象的交点N的坐标为(-2，-1) B.若y1>y2,则x的取值范围是-2<x<0或x>1 C.一次函数y1与反比例函数y2都随x的增大而增大 D.连接OM,ON,则△MON的面积是 【变式训练】(25-26八年级下·重庆·期末)如图，在△ABC中，BC=14,∠ACB=45°.过点A作AD1BC 于点D,AD=8.点P为AB上一点(P与A,B均不重合)，AP=x,连接CP,点E为AB的中点，记点E与点 P的距离为y,△ACP的面积为S,△ABC的面积为S2,记2=号 第8页共19页 2110 987 6 5432 D 0123456789101112元 (1)请直接写出y1y2分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围： (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y1,y2的图象，并分别写出函数y1,y2的一条性质： (3)结合函数图象，请直接写出当y1≥y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）· 题型十反比例函数与几何综合 【典例精讲】(25-26八年级下·福建泉州·期末)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A、D 都在反比例函数y=《(x>0)的图象上，对角线BD平行于x轴，坐标原点O为BC的中点，若菱形ABCD的 面积为40，则k的值为( A.10 B.15 C.20 D.25 第9页共19页 【变式训练】（25-26八年级下·河南南阳·期末)如图，一次函数y=mx+n(m≠0)的图象与反比例函 数y=(k≠0)的图象交于点A(-3,Q),B(1,3),且一次函数与x轴，y轴分别交于点C,D. B D (1)求反比例函数表达式和一次函数表达式： (2)根据图象直接写出不等式mx+n<的解集： (3)在反比例函数图象上有一点P,使得S△ocP=2S△oBD,求点P的坐标， 题型十一根据图形面积求比例系数（解析式） 【典例精讲】(2526八年级下·福建泉州·期末)如图，点A、B是反比例函数y=(化≠0)图象上的两 点，延长线段BA交y轴于点C,且点A为线段BC中点，连接OA、OB,若S△4cO=3,则k的值为( 第10页共19页 A.1 B.2 C.3 D.4 【变式训练】(25-26八年级下·河南洛阳·期末)如图，点A在反比例函数y=(x<0)的图象上，点B 是0A上一点，过点A作AC1x轴于点C,连结BC.若OB=0A,△OBC的面积为1，则k的值为 题型十二一次函数与反比例函数图象综合判断 【典例精讲】(25-26八年级下·山东东营·期末)已知k≠0，则反比例函数y=和一次函数y=-2kx+3 的图象可能是( 众 【变式训练】（2025·四川广元·模拟预测)如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=m的图象相交于 A(-1,2),B(2,n)两点.过点A作AC1x轴，垂足为C,连接BC. (1)求反比例函数与一次函数的解析式： (②)根据所给条件，请直接写出关于x的不等式kx+b>四的解集： (3)反比例函数y=的图象上是否存在一点P,使得S△Ac=S△AcP?若存在，求出点P的坐标：若不存在， 请说明理由. 第11页共19页 题型十三一次函数与反比例函数的交点问题 【典例精讲】(25-26八年级下·河南周口·期末)一次函数y=kx+b与反比例函数y=交于A(-2,2) 、B(1,-4),当kx+b<时，x的取值范围是( A.x<-2或0<x<1B.-2<x<0或x>1C.x<-2或x>1D.-2<x<1 【变式训练】(2026·四川甘孜·中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=kx(k≠0) 与反比例函数y=的图象交于A(-2,n),B两点. (1)求正比例函数的解析式： (2)点C是y轴正半轴上的一点，若△ABC的面积为8，求点C的坐标. 题型十四一次函数与反比例函数的其他综合应用 【典例精讲】(25-26九年级上·山东·阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，已知直线y=x+1和双 曲线y=-,在直线上取一点，记为A1,过A1作x轴的垂线交双曲线于点B1,过B1作y轴的垂线交直线于点A2, 过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2,过B2作y轴的垂线交直线于点A3,依次进行下去，记点An的横坐标为an, 若a1=2,则a2025=() 第12页共19页 A B A.2 B.- c.-月 D.-2 【变式训练】(25-26九年级上·辽宁大连·阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b 的图象与x轴交于点A(-1,0),与反比例函数y=在第一象限内的图象交于点B(仔，n).连接0B,若S△40B=1. (1)求反比例函数与一次函数的关系式： (x>0 (②)直接写出不等式组世>kx+b的解集： (3)己知P是y轴上一点，若以点A、B、P为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出点P的坐标， 第13页共19页 山优选题拔尖练 折。，。==，=======。 1.(25-26八年级下·吉林长春·期末)如图，在平面直角坐标系中，点0是坐标原点，点B为x轴上的 点，点D是第一象限内的一点，DBIx轴，已知线段DB交反比例函数y=(x>O)的图像于点C,连接OC, 点C为BD的中点，连接OD,交反比例函数图像于点A.若△ODC的面积为5，则k的值为( ) A.10 B.5 C.8 D.20 2.（23-24九年级下·广东湛江·自主招生)一次函数y=kx+b经过第一、二、三象限，则函数y= xtb 的图像大致为( ) 3.（25-26八年级下·福建泉州·期末)已知A(m-1,y1),B(m,y2),C(m+1,y3)三点都在反比例函数y=-2 的图象上，则下列结论正确的是( A.当m<-1时，0<y3<y2<y1 B.当-1<m<0时，y3<0<y1<y2 C.当0<m<1时，y3<y2<0<y1 D.当m>1时，y3<y2<y1<0 4.(25-26九年级下·黑龙江大庆·期末)若ab<0,则y=ax与y=在同一坐标系中的大致图象可能是 ) 第14页共19页 之， 5.(25-26八年级下·山东泰安·期末)如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，x轴，y 轴都在格线上，其中反比例函数y=(化≠0，x>0)的图象被撕掉了一部分，已知点M,N在格点上，设点N 的坐标为(n,一2)，则k=( A.-2 B.-3 C.-4 D.-5 6.(25-26八年级下·江苏南京·期末)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=化<0)的图象分别 与等腰直角△AOB的直角边AB和斜边OB交于点C,D,点A在x轴负半轴上，连接AD,CD,若AD 1 OB,且 △BCD的面积为3，则k= B D 7.(25-26八年级下·上海嘉定·期末)如果反比例函数y=(m+1)xm-4（m是常数)的图像在第二、四 象限，那么m的值是 8.(25-26八年级下·浙江金华·期末)如图，正比例函数y=ax(Q≠0)与反比例函数y=(b≠0)图象 交于点A、B,已知点A的横坐标为1，则关于x的不等式ax->0的解集是 第15页共19页 9.(25-26九年级下·山东烟台·期末)如图，一次函数y=x-1图象与x轴、y轴分别相交于CB两 点，与反比例函数y=-在第一象限的图象相交于点4(m,2).点D的横坐标为4，过点D作y轴的平行线， 交反比例函数的图象于点E,连接BE.则△BDE的面积为 10.(25-26八年级下·四川遂宁·期末)如图，一组等腰三角形的底边均在x轴的非负半轴上，两腰的交 点在反比例函数y=的图象上，且它们的底边都相等.若△OA1B1,△A1A2B2,△A2A3B3,… △A2025A2026B2026的面积分别为S1,S2,S3,·,S2026,则S2026的值 B2 B3 Ba A2 A3 第16页共19页 11.（25-26九年级下·黑龙江大庆·期末)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=k1x+b的图象与反 比例函数y=的图象相交于点A(2,6)和点B(-4m). o (1)求反比例函数和一次函数的表达式： (2)已知点C是x轴上一点，连接AC、BC,若△ABC的面积为15，求出点C的坐标. 12.（25-26八年级下山东烟台·期末)如图，在平面直角坐标系中，点4，B分别在反比例函数y=-(x<0) 和y=(k>0,x>0)的图象上，AB交y轴于点E,AC1x轴，垂足为C,BD1x轴于点D,0D=20C,AC=3, BD=2. CO D衣 (1)求k的值； (2)连接OA,OB,求△AOB和△BOE的面积： 第17页共19页 13.(25-26八年级下·上海松江·期末)己知y与x成反比例，2与y成正比例，又当x=8时，y= 当y=时，z=-2. (1)求z关于x的函数表达式： (2)当x=16时，求z的值. 14.(25-26八年级下·河南南阳·期末)如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于 A(1,3),B(3,n)两点，k,b,m为常数. 长 (1)求一次函数和反比例函数的关系式； (2)根据图象直接写出不等式kx+b>”的解集为 (3)点P为x轴上一点，若△PAB的面积为2，请直接写出点P的坐标. 第18页共19页 15.(25-26八年级下·河南开封·期末)如图，反比例函数y1=的图象经过点A(-1,-3),连接A0并延 长交反比例函数图象于点B,C为反比例函数图象上一点，横坐标为-3，一次函数y2=Qx+b的图象经过B、 C两点，与x轴交于点D,连接AC、AD, D (1)求反比例函数y1和一次函数y2的表达式： (2)求△ACD的面积： (3)当y1>y2时，直接写出自变量x的取值范围. 第19页共19页 专题04 反比例函数的图像与性质『挑战压轴题』 「思维导图+14个题型讲练+优选题拔尖练 共43题」 【2026-2027学年苏科版数学新教材•九年级上册】 高频压轴题型举一反三变式训练 2 题型一 判断(画)反比例函数图象 2 题型二 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 4 题型三 已知双曲线分布的象限，求参数范围 5 题型四 判断反比例函数的增减性 6 题型五 判断反比例函数图象所在象限 6 题型六 已知反比例函数的增减性求参数 7 题型七 比较反比例函数值或自变量的大小 7 题型八 已知比例系数求特殊图形的面积 7 题型九 求反比例函数解析式 8 题型十 反比例函数与几何综合 9 题型十一 根据图形面积求比例系数(解析式) 10 题型十二 一次函数与反比例函数图象综合判断 11 题型十三 一次函数与反比例函数的交点问题 12 题型十四 一次函数与反比例函数的其他综合应用 12 优选题拔尖练 14 题型一 判断(画)反比例函数图象 【典例精讲】（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，已知点，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的解析式，并在图中画出该反比例函数的图象； (2)当时，求函数值y的取值范围； (3)若关于x的一次函数的图象经过点B，且与图中的反比例函数的图象交于点P，当时，直接写出点P的横坐标的取值范围． 【变式训练】已知函数，小明研究该函数的图像及性质时，列出y与x的几组对应值如下表，请解答下列问题： x … 1 2 3 4 … y … (1)完成表格． (2)在平面直角坐标系中，描出以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图像； (3)写出该函数的两条性质： ①___________； ②___________． 题型二 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【典例精讲】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）在函数的学习中，我们经历了“函数表达式-画函数图象-利用函数图象研究函数性质-利用图象和性质解决问题”的学习，我们可以借鉴这种方法探究函数的图象性质． (1)根据题意，列表如下： … 0 … 2 3 5 … … 1 2 4 … … 在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象； (2)观察图象，发现： ①当时，y随x的增大而______（填“增大”或“减少”）； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为______； ③图象上的点关于对称中心对称的点的坐标为______； (3)函数的图象可由函数的图象平移得到（不必画图），想象平移后得到的函数图象，直接写出当时，的取值范围是______． 【变式训练】（2025九年级上·全国·专题练习）如图是反比例函数的图像，在图像上任取一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，则四边形是一个矩形，这个矩形的面积为．根据下列要求画图，并写出理由． (1)试利用反比例函数的图像在图中画出面积为的平行四边形（不可为矩形）； (2)试利用反比例函数的图像在图中画出面积为的三角形． 题型三 已知双曲线分布的象限，求参数范围 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·单元复习）已知反比例函数． (1)若，则x的取值范围是__________； (2)若，则x的取值范围是__________； (3)若，且，则x的取值范围是__________． 【变式训练】（23-24九年级上·湖南永州·单元测试）如图是三个反比例函数，，在轴上方的图象，则，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 题型四 判断反比例函数的增减性 【典例精讲】（25-26八年级下·福建福州·期末）已知反比例函数，当时，自变量的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【变式训练】（25-26八年级下·上海杨浦·期末）已知点、、在反比例函数（）的图象上，那么、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 题型五 判断反比例函数图象所在象限 【典例精讲】（2026·安徽淮南·一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点为，则一次函数与反比例函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级上·福建福州·阶段检测）在直角坐标系中，函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 题型六 已知反比例函数的增减性求参数 【典例精讲】（2026·上海·中考真题）已知点与点在同一条反比例函数的图象上，若，则的取值范围是________． 【变式训练】（25-26八年级下·福建泉州·期末）已知、两点在反比例函数的图像上，且，则的取值范围为__________． 题型七 比较反比例函数值或自变量的大小 【典例精讲】（25-26八年级下·山东青岛·期末）关于反比例函数，下列说法错误的是（     ）． A．点，均在其图象上 B．函数图象在第二、四象限 C．若，则x的取值范围是 D．该函数图象上有两点，，若，则 【变式训练】（25-26八年级下·河南鹤壁·期末）已知点，，在反比例函数（为任意实数）的图象上，且，则，，的大小关系为________． 题型八 已知比例系数求特殊图形的面积 【典例精讲】（25-26八年级下·江苏泰州·期末）如图，点为反比例函数的图像上一点，过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为，，线段被反比例函数的图像上一点分成两部分，且，连接，则的面积为______． 【变式训练】（25-26九年级上·山东滨州·期末）如图，反比例函数，的图象在平面直角坐标系中，点B为的图象上一点，过点B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为，线段被的图象上一点D分成两部分，且，连接，则的面积为（   ） A．2 B． C． D．1 题型九 求反比例函数解析式 【典例精讲】（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，一次函数与函数的图象相交于点，．下列说法错误的是（     ） A．两图象的交点的坐标为 B．若，则的取值范围是或 C．一次函数与反比例函数都随的增大而增大 D．连接，，则的面积是 【变式训练】（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在中，．过点A作于点．点P为上一点（P与均不重合），，连接，点E为的中点，记点E与点P的距离为的面积为的面积为，记． (1)请直接写出分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并分别写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 题型十 反比例函数与几何综合 【典例精讲】（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点、都在反比例函数（）的图象上，对角线平行于轴，坐标原点为的中点，若菱形的面积为40，则的值为（     ） A．10 B．15 C．20 D．25 【变式训练】（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点，． (1)求反比例函数表达式和一次函数表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)在反比例函数图象上有一点，使得，求点的坐标． 题型十一 根据图形面积求比例系数(解析式) 【典例精讲】（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，点、是反比例函数 图象上的两点，延长线段交轴于点，且点为线段中点，连接、，若，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练】（25-26八年级下·河南洛阳·期末）如图，点在反比例函数的图象上，点是上一点，过点作轴于点，连结．若，的面积为，则的值为____________ 题型十二 一次函数与反比例函数图象综合判断 【典例精讲】（25-26八年级下·山东东营·期末）已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式训练】（2025·四川广元·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．过点A作轴，垂足为C，连接． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)根据所给条件，请直接写出关于x的不等式的解集； (3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十三 一次函数与反比例函数的交点问题 【典例精讲】（25-26八年级下·河南周口·期末）一次函数与反比例函数交于，当时， x的取值范围是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 【变式训练】（2026·四川甘孜·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求正比例函数的解析式； (2)点是轴正半轴上的一点，若的面积为8，求点的坐标． 题型十四 一次函数与反比例函数的其他综合应用 【典例精讲】（25-26九年级上·山东·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，依次进行下去，记点的横坐标为，若，则（   ） A．2 B． C． D．-2 【变式训练】（25-26九年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点．连接，若． (1)求反比例函数与一次函数的关系式； (2)直接写出不等式组的解集； (3)已知是轴上一点，若以点、、为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出点的坐标． 1．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点B为x轴上的点，点D是第一象限内的一点，轴，已知线段交反比例函数的图像于点C，连接，点C为的中点，连接，交反比例函数图像于点A．若的面积为5，则k的值为（     ） A．10 B．5 C．8 D．20 2．（23-24九年级下·广东湛江·自主招生）一次函数经过第一、二、三象限，则函数的图像大致为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·福建泉州·期末）已知，，三点都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 4．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期末）若，则与在同一坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，轴，轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点，在格点上，设点的坐标为，则（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象分别与等腰直角的直角边和斜边交于点，，点在轴负半轴上，连接，，若，且的面积为3，则________． 7．（25-26八年级下·上海嘉定·期末）如果反比例函数（是常数）的图像在第二、四象限，那么的值是__________． 8．（25-26八年级下·浙江金华·期末）如图，正比例函数与反比例函数图象交于点A、B，已知点A的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是______． 9．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，一次函数图象与x轴、y轴分别相交于C、B两点，与反比例函数在第一象限的图象相交于点．点D的横坐标为4，过点D作y轴的平行线，交反比例函数的图象于点E，连接．则的面积为__________． 10．（25-26八年级下·四川遂宁·期末）如图，一组等腰三角形的底边均在轴的非负半轴上，两腰的交点在反比例函数的图象上，且它们的底边都相等．若，，，…的面积分别为，，，…，，则的值_________． 11．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)已知点是轴上一点，连接、，若的面积为，求出点的坐标． 12．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，交轴于点，轴，垂足为，轴于点，，，． (1)求的值； (2)连接，，求和的面积； 13．（25-26八年级下·上海松江·期末）已知y与x成反比例，z与y成正比例，又当时，；当时，． (1)求z关于x的函数表达式； (2)当时，求z的值． 14．（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，，，为常数． (1)求一次函数和反比例函数的关系式； (2)根据图象直接写出不等式的解集为__________； (3)点为轴上一点，若的面积为2，请直接写出点的坐标． 15．（25-26八年级下·河南开封·期末）如图，反比例函数的图象经过点，连接并延长交反比例函数图象于点，为反比例函数图象上一点，横坐标为，一次函数的图象经过、两点，与轴交于点，连接、． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)当时，直接写出自变量的取值范围． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $null