专题3.5 点与圆、直线与圆的位置关系【导图+知识卡片+知识梳理+24个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共73题】-2026-2027学年苏科版数学九年级上册同步讲练

本讲义聚焦苏科版九年级上册“点与圆、直线与圆的位置关系”核心知识点，系统梳理点与圆的d与r关系、直线与圆的相交相切相离判定，重点突破切线的性质与判定，延伸至三角形内切圆及切线长定理，构建从基础到综合的知识支架。 资料以思维导图串联知识体系，24个题型分层讲练覆盖切线判定证明、内切圆半径计算等，结合中考真题与难度分层训练，培养几何直观与推理能力。课中辅助教师精准教学，课后助力学生查漏补缺，提升解决综合问题的数学思维与应用意识。

nullnull 专题3.5 点与圆、直线与圆的位置关系『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+24个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共73题） 【苏科版数学新教材•九年级上册】 同学你好，本套讲义针对2026年苏科版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲义包含精编思维导图，知识梳理精讲，重点难点题型讲练，中考真题实战演练，精选真题难度分层练等五大部分！题目新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 思维导图 3 知识梳理 3 知识点一 点与圆的位置关系 3 知识点二 直线和圆的位置关系 3 知识点三 直线和圆的位置关系的性质和判定（重点） 4 知识点四 切线的判定（难点） 4 知识点五 切线的性质（重点） 5 知识点六 三角形的内切圆 5 题型讲练 6 题型一 判断直线和圆的位置关系 6 题型二 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 7 题型三 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 7 题型四 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 7 题型五 求直线平移到与圆相切时运动的距离 8 题型六 切线的应用 8 题型七 有关切线的概念辨析 9 题型八 判断或补全便直线为切线的条件 9 题型九 证明某直线是圆的切线 10 题型十 切线的性质定理 11 题型十一 切线的性质和判定的综合应用 12 题型十二 应用切线长定理求解 13 题型十三 应用切线长定理求证 14 题型十四 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 15 题型十五 圆外切四边形模型 16 题型十六 三角形内心有关应用 17 题型十七 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 17 题型十八 三角形内切圆与外接圆综合 17 题型十九 过圆外一点作圆的切线(尺规作图) 17 题型二十 圆内知识综合(圆的综合问题) 18 题型二十一 圆与三角形的综合(圆的综合问题) 20 题型二十二 圆与四边形的综合(圆的综合问题) 21 题型二十三 圆与函数的综合(圆的综合问题） 22 题型二十四 其他问题(圆的综合问题） 24 中考真题演练 26 难度分层训练 28 【基础夯实】 28 【培优拔高】 31 知识点一 点与圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离OP为d。如图： （1）如图1：d＞r点在 圆外 。 （2）如图2：d＝r点在圆上。 （3）如图3：d＜r点在圆内。 知识点二 直线和圆的位置关系 (1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线． (2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． (3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 知识点三 直线和圆的位置关系的性质和判定（重点） 由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径． 要点诠释： 这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定． 知识点四 切线的判定（难点） （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 要点诠释： 切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 知识点五 切线的性质（重点） （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直． 知识点六 三角形的内切圆 1.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等. 要点诠释： (1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； (2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). (3) 三角形的外心与内心的区别： 名称 确定方法 图形 性质 外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点 (1) 到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部 内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点 (1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部. 知识点七 切线长定理（难点） （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处；②全等关系三对；③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 题型一 判断直线和圆的位置关系 【典例精讲】（25-26九年级上·广东广州·期末）若的半径为5，圆心O到直线的距离为2，则直线与的位置关系是________．（填“相交”、“相切”或“相离”） 【变式训练】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）已知的半径等于3，圆心到直线上一点的距离为9，则直线与的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能 题型二 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【典例精讲】（25-26九年级上·河北衡水·期末）已知的半径为，圆心到直线的距离为4，若直线与相离，且为整数，则的值可以为__________．（写出一个即可） 【变式训练】（2025九年级上·北京·专题练习）已知直线与圆相离，求k的取值范围． 题型三 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）若半径为的与直线l相离，则圆心O到直线l的距离可以是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）已知的半径为5，点到直线的距离为，若直线与相离，则的取值范围是______． 题型四 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 【典例精讲】（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆心坐标是，将沿轴正方向平移，使与轴相切，则平移的距离为（    ） A．1 B．1或5 C．3 D．5 【变式训练】如图，在直线l上有相距7cm的两点A和O（点A在点O的右侧），以O为圆心作半径为1cm的圆，过点A作直线AB⊥l．将⊙O以2cm/s的速度向右移动（点O始终在直线l上），则⊙O与直线AB在_____秒时相切． 题型五 求直线平移到与圆相切时运动的距离 【典例精讲】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（　　） A．1 B．1或2 C．3 D．1或3 【变式训练】如图，直线、相交于点，，半径为的圆的圆心P在直线上，且与点的距离为，若点以的速度由A向B的方向运动，当运动时间为________ 时，与直线相切． 题型六 切线的应用 【典例精讲】（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，半圆O的直径，点C是半圆弧上一点，点D为的中点，延长交于点G．在射线上取一点E，使得． (1)当点E为中点时，求的长； (2)过点E作直线的垂线，垂足为F，连接．证明，并求的最大值． 【变式训练】（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）如图，以坐标原点为圆心，2为半径作圆，直线与相交，则的取值范围是______． 题型七 有关切线的概念辨析 【典例精讲】（2026九年级上·山东青岛·专题练习）下列说法：①三点确定一个圆；②垂直于弦的直径平分弦；③三角形的内心到三角形三条边的距离相等；④垂直于半径的直线是圆的切线．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练】（23-24九年级上·江苏南京·阶段检测）下列说法中，正确的是（   ） A．垂直于半径的直线是圆的切线 B．同圆中同弧所对的圆周角相等 C．长度相等的弧是等弧 D．三点确定一个圆 题型八 判断或补全便直线为切线的条件 【典例精讲】（2025·江苏徐州·模拟预测）请用圆规和无刻度的直尺按要求作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图①，过点P作的一条切线； (2)如图②，在l上作一点Q，使得直线被截得的弦被点P平分； (3)如图③，过点P作一条直线，使得该直线被截得的弦的长度与弦的长度相等． 【变式训练】（2025·吉林长春·二模）图①、图②、图③是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C均是格点，格点O在边BC上，且经过格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图． (1)在图①中，在上找一点M，使点M与点A的距离最大； (2)在图②中，在上找一点N，使点N到的距离最小； (3)在图③中，过点B作的切线，点H为切点． 题型九 证明某直线是圆的切线 【典例精讲】（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图，为的直径，点在外，连接，，线段交于点，连接，，． (1)求的度数； (2)求证：是的切线．​ 【变式训练】（24-25九年级上·云南德宏·期末）如图，在中，，以为直径的交于点D（点D与点A不重合），交于点E，过点E作于点F，交的延长线于点G． (1)求证：是的切线； (2)如图2，连接、，交点为H，当时，求线段的长． 题型十 切线的性质定理 【典例精讲】（2025·江苏无锡·一模）如图,中,，点O在上,过点B，分别与、交于D、是的切线交于点F． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若与相切于点M的半径为3，，求的长． 【变式训练】（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，，是的切线，点，是切点，点为上一点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型十一 切线的性质和判定的综合应用 【典例精讲】（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）如图，，分别与相切于点，，且，平分． (1)求证：与相切； (2)若，求的长． 【变式训练】（25-26九年级上·山东聊城·期末）如图，圆内接四边形的边过圆心O，过点C的直线与边所在直线垂直于点M． (1)若是的切线，且．求的度数． (2)试猜想与满足什么关系时，直线与相切？并说明理由． 题型十二 应用切线长定理求解 【典例精讲】（25-26九年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，，是的切线，，为切点，是的直径． (1)若，的度数是多少？ (2)若，，求的周长． 【变式训练】（25-26九年级上·天津滨海新区·阶段检测）如图，，是的切线，切点分别是A，B．若，，则_____ ． 题型十三 应用切线长定理求证 【典例精讲】（2025·四川南充·一模）如图，在中，点是边上一点，以点为圆心，为半径作，与相切于点，连接，，平分． (1)求证：是的切线； (2)点为边上一点，且，若，，求的半径长． 【变式训练】（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，已知是的直径，内接于，点为的内心，连接并延长交⊙于点，点是上任意一点，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)若，，请直接写出的周长． 题型十四 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【典例精讲】（25-26九年级上·广东惠州·期末）《九章算术》中记载：“今有勾五步，股一十二步．问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形（如图），勾（短直角边）长为步，股（长直角边）长为步，问该直角三角形内切圆的直径是多少？求得该直径等于（    ）步（注：“步”为古代长度单位）． A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·湖北随州·期末）如图，是的内切圆，，，为切点，，，，的半径为________． 题型十五 圆外切四边形模型 【典例精讲】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在四边形中，，，与四边形各边都相切，连接，若的半径为2，，则的值是（　　）． A． B． C． D． 【变式训练】阅读材料：已知，如图（1），在面积为S的△ABC中， BC=a,AC=b, AB=c,内切圆O的半径为r连接OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形． ∴．      （1）类比推理：若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），如图（2），各边长分别为AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四边形的内切圆半径r； （2）理解应用：如图(3)，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=21，CD=11，AD=13，⊙O1与⊙O2分别为△ABD与△BCD的内切圆，设它们的半径分别为r1和r2，求的值. 题型十六 三角形内心有关应用 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知一个三角形的三边长分别为5、12、13，则该三角形内心与外心之间的距离是__________． 【变式训练】（25-26九年级上·安徽淮南·期末）下列说法正确的是（   ） A．三角形的内心是三边垂直平分线的交点 B．三角形的外心是三个内角平分线的交点 C．等腰直角三角形的内心与外心重合 D．等边三角形的内心与外心重合 题型十七 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【典例精讲】（25-26九年级上·云南曲靖·期末）如图，的内切圆分别与相切于点，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·广西钦州·阶段检测）如图，已知是的内切圆，切点分别为，，，若，，，则内切圆的半径为____． 题型十八 三角形内切圆与外接圆综合 【典例精讲】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知，分别是的外心和内心，，则的大小是______． 【变式训练】（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）已知的外心为，内心为，，_______ 题型十九 过圆外一点作圆的切线(尺规作图) 【典例精讲】（25-26九年级上·河南许昌·期末）如图，是半圆的直径，点是延长线上一点，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作半圆的切线，切点为．（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接． ①若，则的长为________； ②若，则的长为________． 【变式训练】（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）尺规作图：已知⊙O，点P在圆外，过点P引圆的两条切线．（不写作法，保留作图痕迹） 题型二十 圆内知识综合(圆的综合问题) 【典例精讲】（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，内接于为的直径，的平分线交于点．连接，过点作 ，交的延长线于点． (1)求证： 是的切线； (2)若，求的长． 【变式训练】（2024·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，的半径为2，对于点和的弦，给出如下定义：若，则称弦是点的“关联弦”． (1)如图1，已知点，点，，，，，，在弦，，中，点的“关联弦”是 ； (2)如图2，已知点，在上，弦是点的“关联弦”，直接写出长度的最大值； (3)如图3，已知点，，对于线段上一点，存在的弦，使得弦是点的“关联弦”，若对于每一个点，将其对应的“关联弦”长度的最大值记为，则当点在线段上运动时，直接写出的取值范围． 题型二十一 圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【典例精讲】（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，等圆和相交于两点，经过的圆心，连接，作直径，延长到点，使，连接． (1)求的度数； (2)求证：为的切线． 【变式训练】（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）如图，是的直径，点在上且，点是劣弧上的一动点（不与、重合），连接与相交于点，延长交的延长线于点D． (1)求证：； (2)若半径为2，当运动点恰使时，求的长． 题型二十二 圆与四边形的综合(圆的综合问题) 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）【问题情境】如图，矩形中，作，分别交边于点E，交边于点F，作的外接． 【特殊体会】当时，如图1，判断与之间的数量关系是_______； 【初步探究】当经过点D时，如图2，试探究、、之间的数量关系，并加以证明； 【深入探究】当与相切时，如图3，解决下列问题： ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，求（直接写出结果）． 【变式训练】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知的半径是，直线与相交于，两点，点，分别在直线的异侧，且是上的两个动点，且，则四边形面积的最大值是（   ） A．25 B． C． D． 题型二十三 圆与函数的综合(圆的综合问题） 【典例精讲】在平面直角坐标系中，若将点P沿x轴折叠得到点，再将点绕点R顺时针旋转得到，则称点是点P关于x轴-点R的折旋点． 例如：点关于x轴-点O的折旋点是点． (1)如图1，点． 若点B是点A关于x轴-点的折旋点，则点B的坐标为___________； 若点是点A关于x轴-点E的折旋点，则点E的坐标为___________； (2)如图2，的半径为2，若上存在点M，使得点是点M关于x轴-点的折旋点，且点在直线上，求b的取值范围； (3)是y轴上的动点，的半径为2，若上存在点N，使得点是点N关于x轴-点的折旋点，且点在直线上，直接写出t的取值范围． 【变式训练】（2023·河北唐山·二模）如图，菱形中，，．点P为射线上一动点，在射线上取一点E，连接，使．作的外接圆，设圆心为O．    (1)当圆心O在上时，______； (2)当点E在边上时， ①判断与的位置关系，并证明： ②当为何值时，有最大值？并求出最大值； (3)如图，连接，若，直接写出值；将优弧沿PE翻折交射线于点Q，直接写出弧的长． 题型二十四 其他问题(圆的综合问题） 【典例精讲】（25-26九年级上·北京朝阳·阶段检测）给定图形W和点P，Q，若图形W上存在两个不重合的点M，N，使得点P关于点M的对称点与点Q关于点N的对称点重合，则称点P与点Q关于图形W双对合． 在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)在点，，中，与点O关于线段双对合的点是________； (2)点K是x轴上一动点，的直径为1． ①若点A与点关于双对合，求t的取值范围； ②当点K运动时，若上存在一点与上任意一点关于双对合，直接写出点K的横坐标k的取值范围． 【变式训练】（24-25九年级上·北京·期末）在平面直角坐标系中，设的半径为，对于内的点和弦，给出如下定义：若点关于直线的对称点在的外部，且，则称点是弦的“限角对称点”． (1)如图1，当时， ①点．在点中，点___________是弦的“限角对称点”； ②若点是弦的“限角对称点”，则弦的长度最大值是___________； (2)已知，设直线与轴，轴分别交于，两点，若线段上始终存在点，使点是某条弦的“限角对称点”，求出的取值范围． 【真题演练1】（2025·浙江杭州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线经过，，的半径为2，点是直线上的一动点，过点作的一条切线，为切点，则切线长的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D． 【真题演练2】（2025·河北石家庄·中考真题）已知的半径为是上两定点，点是上一动点，且的平分线交于点，过点作的平行线交的延长线于点．下列说法中正确的是（   ） ①的最大值是； ②点为上一定点； ③面积的最大值是； ④与相交； ⑤若为锐角三角形，则． A．③④ B．①② C．①④ D．①②⑤ 【真题演练3】（2025·河北沧州·中考真题）如图，已知与相切于点，是的直径，且，延长交于点．若，，则点与上的点的最大距离为_____． 【真题演练4】（2025·湖北武汉·中考真题）如图，中，，，，是的内切圆，连接，，则的面积为_________． 【真题演练5】（2025·四川广元·中考真题）如图，是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，过格点A，B，C，D．仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题． (1)在图1中，先画圆心O，再画的中点M； (2)在图2中，先画点D关于点C的中心对称点E；再过点D作的切线． 【基础夯实】 1．（25-26九年级上·山东烟台·阶段检测）在中，，，且，则这个三角形的内切圆半径为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26九年级上·河南商丘·期末）如图，在平面直角坐标系中，与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交于M，N两点，若点M的坐标是，则点N的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·北京房山·阶段检测）如图，在中，分别是的切线，A，D为切点，经过圆心O交于点E，连接，若，则（　　） A．28° B．45° C．52° D．59° 4．（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，与相切于点A，连接并延长交于点C，连接．若，则的度数为________． 5．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图，与相切于点A，连接OA，点C在上，连接并延长交于点D，连接，若，则_______ 度． 6．（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，是圆O的切线，A、B为切点，是直径，，________． 7．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，P为外一点，切于点A，若，，则的半径是________． 8．（2025·山东东营·三模）如图，在中，是的直径，，是上不同于，的两点，，连接．过点作，垂足为，直线与交于点． (1)求证：是的切线； (2)当，，时，求的长． 9．（2025·浙江丽水·二模）如图，为的直径，P为延长线上一点，过点P作的切线，切点为M．过点A作于点C，交于点N，连接． (1)求证：平分； (2)若的直径为，求的长． 10．（2025·甘肃金昌·一模）希腊数学家欧几里得，被称为“几何学之父”．在其所著的《几何原本》第三卷中有一个命题：“过已知点作直线切于已知圆”．如图，设点P是已知点，是已知圆，对于上命题，我们可以进行如下尺规作图：①连接，分别以点O，P为圆心，大于长为半径作弧，在上方交于点M，在下方交于点N，连接，交于点A；②以点A为圆心，长为半径作，与交于两点Q和R；③连接，则是的切线． 请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图中补全图形，保留作图痕迹． 【培优拔高】 1．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图1，在中，，点I为内心．动点D以的速度从点C出发，沿折线运动．线段的长y（单位：cm）与点D的运动时间x（单位：s）的关系如图2所示．其中，点是两段曲线的连接点，则下列说法正确的是（    ） A．图象最低点的纵坐标为3或5 B．图象上纵坐标为5的点有3个 C．图象最高点的横坐标为25 D．的面积为 2．（25-26九年级上·河南洛阳·期末）如图，，分别与相切于点A，B．若．则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，半圆的直径，为半圆的一条弦，将沿弦翻折后与相切于点，若点为中点，则弦的长为（    ） A．6 B． C． D． 4．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，在矩形中，是的中点，若是直径，是直线上任意一点，与相切于点，，当最大时，的长为___________． 5．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，点在等边三角形的内部，连接，，是的中点，连接．若，则的度数的取值范围是___________． 6．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在矩形中，点在边上，扇形与边相切于点，点，分别在，边上，是的内切圆．若，，，则的半径为___________． 7．（25-26九年级上·河南南阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B，C，点A在直线上，且点A的坐标为，半径为2的的圆心P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿射线运动．设点P运动的时间为t秒，则当_____秒时，与x轴相切． 8．（25-26九年级上·天津滨海新区·阶段检测）如图直角坐标系中，以为圆心的交x轴负半轴于A，交x轴正半轴于B，交y轴于C、D． (1)若C点坐标为，点A坐标为 ； (2)在（1）的条件下，上存在点P，使，则满足条件的点P坐标为 ； (3)过点C作的切线，过点A作，垂足为点F，与另一个交点为点N．当的半径大小发生变化时，的长度是否变化？若变化，求变化范围，若不变，证明并求值． 9．（25-26九年级上·云南西双版纳·期末）如图，在中，，点是外接圆上的一点，且，连接． (1)若，求的度数； (2)如图，过点作，求证：是的切线； (3)点是上一动点（不与重合），连接，是否存在常数，使等式成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 10．（25-26九年级上·北京房山·阶段检测）如图，是的直径，点B在线段的延长线上，直线与相切于点D．连接． (1)尺规作图：过点A作，交延长线于点C（保留作图痕迹，不写作法）； (2)①求证：平分； ②若，求的长． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.5 点与圆、直线与圆的位置关系『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+24个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共73题） 【苏科版数学新教材•九年级上册】 同学你好，本套讲义针对2026年苏科版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲义包含精编思维导图，知识梳理精讲，重点难点题型讲练，中考真题实战演练，精选真题难度分层练等五大部分！题目新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 思维导图 3 知识梳理 3 知识点一 点与圆的位置关系 3 知识点二 直线和圆的位置关系 3 知识点三 直线和圆的位置关系的性质和判定（重点） 4 知识点四 切线的判定（难点） 4 知识点五 切线的性质（重点） 5 知识点六 三角形的内切圆 5 题型讲练 6 题型一 判断直线和圆的位置关系 6 题型二 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 7 题型三 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 8 题型四 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 9 题型五 求直线平移到与圆相切时运动的距离 10 题型六 切线的应用 12 题型七 有关切线的概念辨析 15 题型八 判断或补全便直线为切线的条件 16 题型九 证明某直线是圆的切线 19 题型十 切线的性质定理 22 题型十一 切线的性质和判定的综合应用 24 题型十二 应用切线长定理求解 27 题型十三 应用切线长定理求证 29 题型十四 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 32 题型十五 圆外切四边形模型 34 题型十六 三角形内心有关应用 38 题型十七 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 39 题型十八 三角形内切圆与外接圆综合 41 题型十九 过圆外一点作圆的切线(尺规作图) 43 题型二十 圆内知识综合(圆的综合问题) 45 题型二十一 圆与三角形的综合(圆的综合问题) 51 题型二十二 圆与四边形的综合(圆的综合问题) 54 题型二十三 圆与函数的综合(圆的综合问题） 58 题型二十四 其他问题(圆的综合问题） 64 中考真题演练 73 难度分层训练 81 【基础夯实】 81 【培优拔高】 91 知识点一 点与圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离OP为d。如图： （1）如图1：d＞r点在 圆外 。 （2）如图2：d＝r点在圆上。 （3）如图3：d＜r点在圆内。 知识点二 直线和圆的位置关系 (1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线． (2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． (3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 知识点三 直线和圆的位置关系的性质和判定（重点） 由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径． 要点诠释： 这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定． 知识点四 切线的判定（难点） （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 要点诠释： 切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 知识点五 切线的性质（重点） （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直． 知识点六 三角形的内切圆 1.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等. 要点诠释： (1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； (2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). (3) 三角形的外心与内心的区别： 名称 确定方法 图形 性质 外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点 (1) 到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部 内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点 (1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部. 知识点七 切线长定理（难点） （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处；②全等关系三对；③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 题型一 判断直线和圆的位置关系 【典例精讲】（25-26九年级上·广东广州·期末）若的半径为5，圆心O到直线的距离为2，则直线与的位置关系是________．（填“相交”、“相切”或“相离”） 【答案】相交 【分析】本题考查直线和圆的位置关系．设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和相交⇔，②直线l和相切⇔，③直线l和相离⇔．据此判断即可． 【详解】解：∵的半径为5，圆心到直线的距离为2， ∴, ∴直线与圆相交， 故答案为：相交． 【变式训练】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）已知的半径等于3，圆心到直线上一点的距离为9，则直线与的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系判定定理．结合垂线段最短的性质，明确圆心到直线的距离与圆心到直线上一点距离的区别，进而分析直线与圆的位置关系． 【详解】解：设圆心到直线的距离为， ∵圆心到直线上一点的距离为9，根据垂线段最短的性质， ∴， 又∵的半径， ∴可能满足（此时直线与圆相离），或（此时直线与圆相切），或（此时直线与圆相交）， ∴直线与的位置关系以上都有可能． 故选：D． 题型二 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【典例精讲】（25-26九年级上·河北衡水·期末）已知的半径为，圆心到直线的距离为4，若直线与相离，且为整数，则的值可以为__________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查直线与圆的关系，根据直线与圆相离的位置关系，圆心到直线的距离大于半径得出，再根据r为整数且，即可得出答案． 【详解】∵直线l与相离， ∴圆心O到直线l的距离．已知， ∴，即， 又∵r为整数且， ∴r可取1，2，3． 故答案为：3 【变式训练】（2025九年级上·北京·专题练习）已知直线与圆相离，求k的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解答的关键是熟知直线与圆的三种位置关系的判定方法：计算圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系，若，相离；若，相切；若，相交． 本题先利用直线与圆心的距离公式求出d，再与半径r比较列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意，圆心坐标为，半径，直线为， ∵直线与圆相离需满足， ∴， 两边平方得，即， ∴， 解得：． 故k的取值范围为． 题型三 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）若半径为的与直线l相离，则圆心O到直线l的距离可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，一个圆的圆心到直线的距离为d，圆的半径为，则当时，直线与圆的位置关系为相离；当时，直线与圆的位置关系为相切，当时，直线与圆的位置关系为相交，由题意可得圆心O到直线l的距离大于，据此可得答案． 【详解】解：∵半径为的与直线l相离， ∴圆心O到直线l的距离大于， ∴四个选项中，只有D选项符合题意， 故选：D． 【变式训练】（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）已知的半径为5，点到直线的距离为，若直线与相离，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知的半径为，圆心到直线的距离为，当时，直线和相离是解答此题的关键． 根据圆与直线相离的位置关系，圆心到直线的距离大于半径，即可求解． 【详解】解：∵直线与相离， ∴圆心到直线的距离大于的半径，即． 故答案为：． 题型四 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 【典例精讲】（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆心坐标是，将沿轴正方向平移，使与轴相切，则平移的距离为（    ） A．1 B．1或5 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径，注意分类讨论． 分圆心在轴的左侧和轴的右侧两种情况，根据半径等于圆心到直线的距离写出答案即可． 【详解】解：当位于轴的左侧且与轴相切时，此时圆心到轴的距离是，的坐标为，所以平移的距离为； 当位于轴的右侧且与轴相切时，此时圆心到轴的距离是，的坐标为，所以平移的距离为． 故选：B． 【变式训练】如图，在直线l上有相距7cm的两点A和O（点A在点O的右侧），以O为圆心作半径为1cm的圆，过点A作直线AB⊥l．将⊙O以2cm/s的速度向右移动（点O始终在直线l上），则⊙O与直线AB在_____秒时相切． 【答案】3或4/4或3 【分析】根据切线的判定方法，当点O到AB的距离为1cm时，⊙O与直线AB相切，然后分两种情况：⊙O在直线AB左侧和在直线AB右侧，进行计算即可． 【详解】∵直线AB⊥l， ∴当⊙O在直线AB左侧距AB的距离为1cm时，⊙O与直线AB相切， 此时⊙O移动了7－1=6cm，所需时间为6÷2=3s； 当⊙O在直线AB右侧距AB的距离为1cm时，⊙O与直线AB相切， 此时⊙O移动了7+1=8cm，所需时间为8÷2=4s． 故答案为：3或4． 题型五 求直线平移到与圆相切时运动的距离 【典例精讲】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（　　） A．1 B．1或2 C．3 D．1或3 【答案】D 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，通过垂径定理把求线段的长的问题转化为解直角三角形的问题是关键．作于点，由垂径定理即可求得的长，根据勾股定理即可求得的长，再分点向上平移与向下平移两种情况进行讨论即可． 【详解】解：连接，作于点，由垂径定理得： ， 在直角中，由勾股定理得：， 即， ， 的半径是2． 将向上平移，当与轴相切时，平移的距离； 将向下平移，当与轴相切时，平移的距离． 故选：D 【变式训练】如图，直线、相交于点，，半径为的圆的圆心P在直线上，且与点的距离为，若点以的速度由A向B的方向运动，当运动时间为________ 时，与直线相切． 【答案】或 【分析】在射线上或在射线上，设对应的圆的圆心分别在M，根据切线的性质，在中，根据30度的角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得的长，进而求得的长，从而求得由P到M移动的时间；根据，即可求得，也可以求得由P到M移动的时间． 【详解】解：当在射线上，设与相切于点E，P移动到M时，连接． ∵与直线相切， ∴， ∵在中，，， ∴， 则， ∵以的速度沿由A向B的方向移动， ∴移动时与直线相切． 当在射线上时，同理可求移动时与直线相切． 故答案为：或． 题型六 切线的应用 【典例精讲】（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，半圆O的直径，点C是半圆弧上一点，点D为的中点，延长交于点G．在射线上取一点E，使得． (1)当点E为中点时，求的长； (2)过点E作直线的垂线，垂足为F，连接．证明，并求的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析，的最大值为 【分析】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，切线的性质， 对于（1），设，则，可得，再根据勾股定理列出方程求出解即可； 对于（2），连接，作，，再根据“角角边”证明，可得，然后证明，可得，最后根据角平分线性质的逆定理得出答案； 过C作的平行线，可得，作，可得四边形为矩形，进而得出，再说明，然后根据圆心O到直线的距离半径，即，，可知当N与C重合，即与圆相切时，取得最大值为5，此时的最大值为，最后根据等腰直角三角形的性质得出答案． 【详解】（1）解：设，则， ， 为直径， ， ， 即， 解得， ； （2）证明：连接，作，垂足为H，，交延长线于点I， ， ． 又，， ， ． 为直径， ． ，， ， ， ， 平分 ； 过C作的平行线，交延长线于M，则， 作于N，交于P， 则，四边形为矩形， ，为中点， ， ． ∵直线与必有交点C， ∴圆心O到直线的距离半径，即，， ∴当N与C重合，即与圆相切时，取得最大值为5， 的最大值为． ， ∴在等腰直角三角形中，， 的最大值为． 【变式训练】（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）如图，以坐标原点为圆心，2为半径作圆，直线与相交，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查直线与圆的交点问题，求出相切时的b的值是解题的关键． 分别求出直线与圆相切，且直线经过一，二，四象限时的b的值和直线与圆相切，且直线经过二，三，四象限时b的值，即可确定出b的取值范围． 【详解】解：如图，直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，， ∴； 当时，， 解得 ∴； ∴， ∴为的等腰直角三角形， 当直线与相切时，切点为点， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 同理，当直线经过二、三、四象限时， ∴的取值范围是， 故答案为：． 题型七 有关切线的概念辨析 【典例精讲】（2026九年级上·山东青岛·专题练习）下列说法：①三点确定一个圆；②垂直于弦的直径平分弦；③三角形的内心到三角形三条边的距离相等；④垂直于半径的直线是圆的切线．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据三角形内心的概念和性质、垂径定理、切线的判定定理、确定圆的条件判断即可． 本题考查了三角形的内切圆与内心，垂径定理，确定圆的条件，切线的判定，掌握基本的概念是解题关键． 【详解】∵ ①不在同一直线上的三点确定一个圆，三点共线，无法确定圆，∴ ①错误； ∵ ②根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦是正确的，∴ ②正确； ∵ ③三角形的内心是角平分线交点，到三边距离相等，∴ ③正确； ∵ ④垂直于半径且过半径外端的直线才是切线，∴ ④错误； ∴ 正确说法有②和③，共2个． 故选：B． 【变式训练】（23-24九年级上·江苏南京·阶段检测）下列说法中，正确的是（   ） A．垂直于半径的直线是圆的切线 B．同圆中同弧所对的圆周角相等 C．长度相等的弧是等弧 D．三点确定一个圆 【答案】B 【分析】本题考查的是等弧的概念、确定圆的条件、切线的判断定理、圆周角定理，正确理解相关的概念和定理是解题的关键．根据等弧的概念、确定圆的条件、切线的判断定理、圆周角定理判断即可． 【详解】解：A、经过半径的外端，垂直于半径的直线是圆的切线，故本选项说法不正确，不符合题意； B、同圆中同弧所对的圆周角相等，本选项说法正确，符合题意； C、能够互相重合的弧是等弧，长度相等的弧不一定是等弧，故本选项说法不正确，不符合题意； D、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项说法不正确，不符合题意； 故选：B． 题型八 判断或补全便直线为切线的条件 【典例精讲】（2025·江苏徐州·模拟预测）请用圆规和无刻度的直尺按要求作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图①，过点P作的一条切线； (2)如图②，在l上作一点Q，使得直线被截得的弦被点P平分； (3)如图③，过点P作一条直线，使得该直线被截得的弦的长度与弦的长度相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了尺规作图、切线的判定、圆周角定理、垂径定理，根据题意正确作图是解题的关键． （1）作的垂直平分线交于点，再以M为圆心，为半径画圆，交于点，连接，根据圆周角定理得到，则切线即为所求； （2）连接，过点作的垂线，直线交直线l于点Q，根据垂径定理可得弦被点P平分，则点Q即为所求； （3）过点O作的垂线，垂足为G；以点O为圆心，长为半径作小；作的垂直平分线得到的中点M，再以为直径作，交小于点H，根据圆周角定理得到；作直线，交于点C，D，则，则直线即为所求． 【详解】（1）解：如图①，直线即为所求； （2）解：如图②，点Q即为所求； （3）解：如图③，直线即为所求． 【变式训练】（2025·吉林长春·二模）图①、图②、图③是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C均是格点，格点O在边BC上，且经过格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图． (1)在图①中，在上找一点M，使点M与点A的距离最大； (2)在图②中，在上找一点N，使点N到的距离最小； (3)在图③中，过点B作的切线，点H为切点． 【答案】(1) 如图①中，点M即为所求； (2) 如图②中，点N即为所求； (3) 如图③中，直线即为所求． 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，垂线段最短，勾股定理、垂径定理，切线的判定和性质，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）根据过圆外一点与圆上一点取最值时两点所在直线过圆心，作射线交于点，点即为所求； （2）取格点，连接交于点，此时，则点即为所求； （3）取格点，此时，则直线即为切线即可． 题型九 证明某直线是圆的切线 【典例精讲】（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图，为的直径，点在外，连接，，线段交于点，连接，，． (1)求的度数； (2)求证：是的切线．​ 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查圆的基本性质，解题的关键是掌握同弧或者等弧所对的圆周角是圆心角的一半，切线的判定，即可． （1）根据同弧或者等弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可； （2）根据三角形的内角和，求出，再根据切线的判定，即可． 【详解】（1）解：∵ ∴． （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∵是半径， ∴， 即是的切线． 【变式训练】（24-25九年级上·云南德宏·期末）如图，在中，，以为直径的交于点D（点D与点A不重合），交于点E，过点E作于点F，交的延长线于点G． (1)求证：是的切线； (2)如图2，连接、，交点为H，当时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，首先证明，进而可得，再证明，易得，结合可证明，即可证明结论； （2）连接，首先证明，进而证明，易得是等边三角形，结合等边三角形的性质可得，然后证明，由即可获得答案． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：如图2，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型十 切线的性质定理 【典例精讲】（2025·江苏无锡·一模）如图,中,，点O在上,过点B，分别与、交于D、是的切线交于点F． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若与相切于点M的半径为3，，求的长． 【答案】(1)，详见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质、勾股定理、正方形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是作辅助线，利用切线性质得垂直，结合特殊四边形与勾股定理建立方程求解。 （1）连接，由等腰三角形性质得；结合切线性质，推得； （2）连接，证正方形得边长为，用勾股定理求、，设，在中列方程，解得。 【详解】（1）证明：连接 ． ∵ ， ∴ ∵ ， ∴ ∴ ∴ ∵ 是 的切线， ∴ ∴ （2）解：连接 ． ∵ 与 相切于点 ， ∴ ∵ ， ∴ 四边形 是矩形． ∵ ， ∴ 矩形 是正方形． ∴ . 在 中，， ∴ ． 设 ，则 ，， 在 中，由勾股定理：，，，，． ∴ ． 【变式训练】（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，，是的切线，点，是切点，点为上一点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角定理求出的度数，根据切线的性质得出，，然后根据四边形的内角和为求解即可． 【详解】解：连接、， ∵， ∴， ∵，是的切线， ∴，， ∴， ∴． 题型十一 切线的性质和判定的综合应用 【典例精讲】（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）如图，，分别与相切于点，，且，平分． (1)求证：与相切； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理等知识点，解题的关键是正确添加辅助线，灵活运用各知识点． （1）连接，过点作于点，根据切线的性质以及角平分线的性质定理得到，即可证明； （2）先证明，然后证明，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：连接，过点作于点， ∵，分别与相切于点，， ∴， ∵平分，， ∴， ∵是半径， ∴是半径， ∴与相切； （2）解：∵，，，， ∴ ， ∵平分 ∴， ， ， ， ， ∵， ∴． 【变式训练】（25-26九年级上·山东聊城·期末）如图，圆内接四边形的边过圆心O，过点C的直线与边所在直线垂直于点M． (1)若是的切线，且．求的度数． (2)试猜想与满足什么关系时，直线与相切？并说明理由． 【答案】(1) (2)时，与相切．理由见解析 【分析】本题考查了切线的判定与性质，圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理是解决问题的关键． （1）连接，由切线的性质得到，再根据圆周角定理结合直角三角形的性质求出，根据，得到，利用圆内接四边形的性质，求出，即可解答； （2）当时，与相切，由，得到，根据等腰三角形的性质推出，易证，推出，证明即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵是的切线， ． ， 为的直径， ． ， ． ∵四边形为圆内接四边形， ． 又， ， ． （2）解：当时，与相切． 理由：， ， 又， ， ， ． ， ． 又为的半径， 与相切． 题型十二 应用切线长定理求解 【典例精讲】（25-26九年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，，是的切线，，为切点，是的直径． (1)若，的度数是多少？ (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用切线的性质得到，则利用互余计算出的度数，再根据切线长定理得到，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算的度数； （2）连接，先根据直角三角形的性质求得，再根据切线的性质得到，，推出是等边三角形，进而可得到答案． 【详解】（1）解：∵是的切线， ∴，即． ∴． ∵，是的切线， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵是的直径， ∴， 在中，，， ∴， 由勾股定理：， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长为． 【变式训练】（25-26九年级上·天津滨海新区·阶段检测）如图，，是的切线，切点分别是A，B．若，，则_____ ． 【答案】6 【分析】本题考查了切线长定理、含的直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据切线长定理推出平分，进而解题． 【详解】解：由题意知，平分， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：6 ． 题型十三 应用切线长定理求证 【典例精讲】（2025·四川南充·一模）如图，在中，点是边上一点，以点为圆心，为半径作，与相切于点，连接，，平分． (1)求证：是的切线； (2)点为边上一点，且，若，，求的半径长． 【答案】(1) 证明：与相切， ． ． 平分线， ． 在和中 ． ． 是的切线． (2)4 【分析】（1）要证是的切线，通过切线性质得，结合角平分线证，从而得，完成证明； （2）先证得，结合切线长定理得，再用勾股定理表示，最后在中列方程求解半径． 【详解】（1）略 （2）解：在和中， ． ． ． ，是的切线， ． ． ． 设，则，． ， ． 解得． 的半径长为． 【变式训练】（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，已知是的直径，内接于，点为的内心，连接并延长交⊙于点，点是上任意一点，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)若，，请直接写出的周长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)60 【分析】（1）利用圆周角定理得到，再根据三角形的内角和定理求，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可； （2）连接，由三角形的内心性质得到内心，，，得出，然后利用圆周角定理得到，利用三角形的外角性质证得，然后利用等角对等边可得结论； （3）过点分别作，，，垂足分别为，，．由内心性质和等腰直角三角形性质勾股定理求出，由．勾股定理得，即得． 【详解】（1）解：是的直径， ． ， ． 四边形是的内接四边形， ， ． （2）证明：如图，连接． 点为的内心，， ，， ， ． ，， ， ． （3）解：如图，过点分别作，，，垂足分别为，，． 点为的内心，即为的内切圆的圆心， ，，分别为该内切圆与三边的切点， ，，． ，， ． 在中，由勾股定理得， ， 解得（负值已舍去）， ． ，， ． 在中，由勾股定理得， ∴的周长为 ． 题型十四 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【典例精讲】（25-26九年级上·广东惠州·期末）《九章算术》中记载：“今有勾五步，股一十二步．问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形（如图），勾（短直角边）长为步，股（长直角边）长为步，问该直角三角形内切圆的直径是多少？求得该直径等于（    ）步（注：“步”为古代长度单位）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求直角三角形的内切圆的半径、切线的性质、勾股定理．首先利用勾股定理求出直角三角形的斜边长为，根据切线的性质可知，利用三角形的面积公式求出内切圆的半径，再根据直径与半径的关系求出结果． 【详解】解：如下图所示，连接、、、、、， 则有、、， ， ，，， ， ， ， ， 解得：， ， 答：该直角三角形内切圆的直径是. 【变式训练】（25-26九年级上·湖北随州·期末）如图，是的内切圆，，，为切点，，，，的半径为________． 【答案】 【分析】本题主要考查内切圆的性质、三角形的面积等，熟练掌握内切圆的性质是解题的关键． 先连接，设圆的半径为，根据题目条件推出，，最后根据三角形的面积公式，运用等面积法即可求解． 【详解】解：如图，连接，设圆的半径为， ∵是的内切圆，，，为切点， ∴，， ∵，，， ∴， ∵ ， 即， 解得：． 故答案为：． 题型十五 圆外切四边形模型 【典例精讲】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在四边形中，，，与四边形各边都相切，连接，若的半径为2，，则的值是（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设切点依次为点E、F、G、H，连接，，，，，，，，分别过点A、D作的垂线，垂足为M、N，由切线长定理可以推出，．根据内切圆半径与多边形面积和周长之间关系可以算出，梯形的高为4，使用勾股定理和矩形的性质算出下底，，最后使用勾股定理算出的值． 【详解】解：如图，设切点依次为点E、F、G、H，连接，，，，，，，，分别过点A、D作的垂线，垂足为M、N，设半径为， 与四边形各边都相切，由切线长定理可知，，，，， ∴， ， ， ∵， ∴， 由切线的性质可知，，，，， ∴， ， ， ， ， ∵在四边形中，，， ∴四边形是等腰梯形， 设梯形的高为h， 则，即， 解得，， ∵，， ∴， 在直角中，， 同理，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ， ∵， ∴，解得，， ∴， 在直角中，． 故选：B． 【变式训练】阅读材料：已知，如图（1），在面积为S的△ABC中， BC=a,AC=b, AB=c,内切圆O的半径为r连接OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形． ∴．      （1）类比推理：若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），如图（2），各边长分别为AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四边形的内切圆半径r； （2）理解应用：如图(3)，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=21，CD=11，AD=13，⊙O1与⊙O2分别为△ABD与△BCD的内切圆，设它们的半径分别为r1和r2，求的值. 【答案】（1）（2）. 【分析】（1）如图，连接OA、OB、OC、OD，则△AOB、△BOC、△COD和△DOA都是以点O为顶点、高都是r的三角形，根据即可求得四边形的内切圆半径r. （2）过点D作DE⊥AB于点E，分别求得AE的长，进而BE 的长，然后利用勾股定理求得BD的长；然后根据，，两式相除，即可得到的值. 【详解】解：（1）如图（2），连接OA、OB、OC、OD. ∵ ∴ （2）如图（3），过点D作DE⊥AB于点E， ∵梯形ABCD为等腰梯形， ∴ ∴ 在Rt△AED中， ∵AD=13，AE=5，∴DE=12， ∴ ∵AB∥DC，∴. 又∵， ∴.即. 题型十六 三角形内心有关应用 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知一个三角形的三边长分别为5、12、13，则该三角形内心与外心之间的距离是__________． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的外心与内心概念、勾股定理的逆定理、内切圆的性质．利用三角形三边分别为5、12、13，可得三角形是直角三角形，根据内切圆的性质可判定四边形是正方形，所以用r分别表示；再利用作为相等关系求出，则可得，N为圆与的切点，M为的中点，根据直角三角形中外接圆的圆心是斜边的中点，即M为外接圆的圆心，在中，先求得，再由勾股定理可求得的长． 【详解】解：如图， ∵三角形三边分别为5，12，13， ∴， 根据勾股定理的逆定理，得三角形是直角三角形，外接圆的半径：， 如图，设，， 设的内切圆的半径为r，则， ∵， ∴， ∴，解得， ∴， 在中，， 根据勾股定理得∴， 则该三角形内心与外心之间的距离为， 故答案为：． 【变式训练】（25-26九年级上·安徽淮南·期末）下列说法正确的是（   ） A．三角形的内心是三边垂直平分线的交点 B．三角形的外心是三个内角平分线的交点 C．等腰直角三角形的内心与外心重合 D．等边三角形的内心与外心重合 【答案】D 【分析】本题考查三角形内心与外心的定义，内心：三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形三个内角角平分线的交点．外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．结合定义逐一辨析选项． 【详解】解：∵三角形的内心是三个内角平分线的交点，外心是三边垂直平分线的交点． ∴A选项说法错误，B选项说法错误； ∵等腰直角三角形的外心在斜边中点处，内心在三角形内部，二者不重合． ∴C选项说法错误； ∵等边三角形的内角平分线与三边垂直平分线重合，其内心与外心为同一点． ∴D选项说法正确． 故选：D． 题型十七 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【典例精讲】（25-26九年级上·云南曲靖·期末）如图，的内切圆分别与相切于点，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，数形结合可得到的周长． 【详解】解：∵的内切圆分别与相切于点，且， ∴， ∴， ∴的周长， 故选：A． 【变式训练】（25-26九年级上·广西钦州·阶段检测）如图，已知是的内切圆，切点分别为，，，若，，，则内切圆的半径为____． 【答案】2 【分析】本题主要考查切线长定理和直角三角形内切圆半径的求法，求解直角三角形内切圆半径是解题的关键． 首先利用切线长定理求出三角形各边的长度，然后验证出三角形为直角三角形，进而根据等面积法计算半径即可． 【详解】解：∵是的内切圆，切点分别为，，， ∴，，， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴ ∴是直角三角形， 设内切圆的半径为 ∴ 即 解得， 故答案为：． 题型十八 三角形内切圆与外接圆综合 【典例精讲】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知，分别是的外心和内心，，则的大小是______． 【答案】或 【分析】本题考查三角形的外心和内心的性质．外心是三角形外接圆的圆心，给定，根据点的位置不同，有两种可能值；内心是三角形角平分线的交点，利用公式计算即可． 【详解】解：∵是的外心，， ∴当点在优弧上时，， ， ∵是的内心， ， ， ∴； 当点在劣弧上时，， ， ∵是的内心， ， ， ∴． 故答案为：或． 【变式训练】（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）已知的外心为，内心为，，_______ 【答案】或 【分析】本题考查三角形的外心、内心的性质以及圆周角定理，熟练掌握对外心、内心的性质是解题的关键． 用三角形外心的性质和圆周角定理得出的度数，再利用三角形内角和定理以及三角形内心的性质得出答案． 【详解】解：∵是的外心，， 当点在优弧上时，如图： ∴， ∵是的内心， ∴、分别平分、， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴当时，； 当点在劣弧上时， 则， ∵是的内心，同理可得， ∴； 故答案为：或． 题型十九 过圆外一点作圆的切线(尺规作图) 【典例精讲】（25-26九年级上·河南许昌·期末）如图，是半圆的直径，点是延长线上一点，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作半圆的切线，切点为．（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接． ①若，则的长为________； ②若，则的长为________． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了尺规作图、勾股定理、锐角三角函数、圆周角定理，关键是找到； （1）在半圆上找到点构造即可； （2）①利用勾股定理可求，则，继而可得，则可求； ②根据勾股定理可求，则可求得． 【详解】（1）解：作的垂直平分线找到的交点，以为圆心为半径画弧交半圆于点， 如图所示：点即为所求． 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 即：， ∴是半圆的切线；     （2）解：①连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是半圆的切线， ∴， ∴， ； ②∵， ∴， ∴． 【变式训练】（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）尺规作图：已知⊙O，点P在圆外，过点P引圆的两条切线．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查直径所对圆周角为，切线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．以为直径作，与交于，连接，根据直径所对圆周角为，则，由切线的判定定理可知为的两条切线． 【详解】解：如图，PA、PB为所作． 理由：以为直径作，与交于，连接，根据直径所对圆周角为，则，由切线的判定定理可知为的两条切线． 题型二十 圆内知识综合(圆的综合问题) 【典例精讲】（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，内接于为的直径，的平分线交于点．连接，过点作 ，交的延长线于点． (1)求证： 是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）通过连接，利用角平分线性质、圆周角定理及平行线性质，证明，从而得出是切线． （2）先利用勾股定理求出的长度，再根据弧、弦关系及等腰直角三角形性质求出、的长度，最后利用相似三角形求出的长． 【详解】（1）证明：∵连接， ∵平分， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是的切线． （2）解：如图， ∵为的直径， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴即， ∴ ∵，， ∴． ∴即， ∴, ∴ ∴ ∵ ∴， ∴． 【变式训练】（2024·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，的半径为2，对于点和的弦，给出如下定义：若，则称弦是点的“关联弦”． (1)如图1，已知点，点，，，，，，在弦，，中，点的“关联弦”是 ； (2)如图2，已知点，在上，弦是点的“关联弦”，直接写出长度的最大值； (3)如图3，已知点，，对于线段上一点，存在的弦，使得弦是点的“关联弦”，若对于每一个点，将其对应的“关联弦”长度的最大值记为，则当点在线段上运动时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)长度的最大值为 (3) 【分析】（1）根据题意判断角是否为即可； （2）根据直径所对的圆周角为，找出的运动轨迹后求解即可； （3）先确定的范围，根据定义求关联弦的取值范围，再结合的取值范围求解即可． 【详解】（1）连接，，，，，，如图所示： 解：∵点，点，，，， ∴，，和是点的关联点； ∵，， ∴，，， ∴， ∴， 综上点的“关联弦”是和； （2）解：∵，， ∴， 设的中点为，则， ∵，的长为定值， ∴点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆上，如图所示： ∴当在轴上时最大，此时，， ∴； （3）解：连接，，当时，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵是点的关联弦，则， 如图，都点的关联弦，显然， 由（2）可知时，取得最大值， 如图，过点作于点， ∴， ∴是等腰直角三角形， 当取得最大值时，为的直径，即，则， 当取得最小值时，与相切，此时与重合，如图， ∴， 又， ∴四边形是正方形， ∴，即，则， 又∵，， ∴当时，可以取得最大值，最小值， ∴． 题型二十一 圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【典例精讲】（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，等圆和相交于两点，经过的圆心，连接，作直径，延长到点，使，连接． (1)求的度数； (2)求证：为的切线． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，切线的判定，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． （1）如图，连接，，，证明，四边形是菱形，，是等边三角形，可得，进一步可得结论； （2）如图，连接，由（1）得：，是等边三角形，可得，证明为等边三角形，可得，，证明，可得，再进一步证明即可． 【详解】（1）解：如图，连接，，， ∵和相交于两点，且经过的圆心， ∴，， ∴四边形是菱形，，是等边三角形， ∴， ∴． （2）证明：如图，连接， 由（1）得：，是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴为的切线． 【变式训练】（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）如图，是的直径，点在上且，点是劣弧上的一动点（不与、重合），连接与相交于点，延长交的延长线于点D． (1)求证：； (2)若半径为2，当运动点恰使时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据圆周角定理，三角形全等的判定，证明即可； （2）设，则，解得即可． 本题考查了圆周角定理，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解方程，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：是直径 又 是等腰直角三角形 由圆周角定理，且（同弧所对圆周角）． 在和中： ． （2）解：由（1）， 又半径为2， ， 在等腰直角中， ， ， 在中， 设，则， ，（负值舍去） ． 题型二十二 圆与四边形的综合(圆的综合问题) 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）【问题情境】如图，矩形中，作，分别交边于点E，交边于点F，作的外接． 【特殊体会】当时，如图1，判断与之间的数量关系是_______； 【初步探究】当经过点D时，如图2，试探究、、之间的数量关系，并加以证明； 【深入探究】当与相切时，如图3，解决下列问题： ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，求（直接写出结果）． 【答案】【特殊体会】 【初步探究】，见解析 【深入探究】①与相切；② 【分析】特殊体会：由已知、根据“直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”可得结论； 初步探究：由已知、根据“圆周角所对的弦是直径”得：是的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”得，根据“同角的余角相等”得，根据“直角三角形两锐角互余”可得，根据“等角对等边”得，再根据“”证明，得到：，等量代换得出结论； 深入探究：① 连接，根据“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”得 ，由已知、根据“切线垂直于过切点的半径”得，则四边形是矩形，可得，即，根据“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线”得出结论； ② 延长交于点，连接，根据“有三个角是直角的四边形是矩形”得：四边形都是矩形，从而得到：，由勾股定理得，从而，再根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：特殊体会：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴； 初步探究：．如题图2． ∵四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，． ∴． ∴． ∴，． ∵， ∴． 深入探究：①与相切． 如图，连接、． ∵， ∴． ∵与相切， ∴． ∴， 又 ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 又 ∵是半径， ∴与相切． ②． 如图，延长交于点， ∵，， ∴ 四边形、都是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知的半径是，直线与相交于，两点，点，分别在直线的异侧，且是上的两个动点，且，则四边形面积的最大值是（   ） A．25 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，几何图形面积最值的计算，掌握圆内接四边形的性质，得到当点与点重合，点与点重合时，，此时值最大，最大值为是解题的关键． 如图所示，作直线，连接，过点作于点，过点作于点，由内接四边形可得，由圆周角定理可得，则，，所以有，由题意可得当的值最大时，四边形面积有最大值，即与点重合，点与点重合时，，此时值最大，最大值为，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，作直线，连接，过点作于点，过点作于点， ∵的半径是5， ∴，， ∵点都在圆上， ∴四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴当的值最大时，四边形面积有最大值， ∴当点与点重合，点与点重合时，，此时值最大，最大值为， ∴四边形面积的最大值是， 故选：D ． 题型二十三 圆与函数的综合(圆的综合问题） 【典例精讲】在平面直角坐标系中，若将点P沿x轴折叠得到点，再将点绕点R顺时针旋转得到，则称点是点P关于x轴-点R的折旋点． 例如：点关于x轴-点O的折旋点是点． (1)如图1，点． 若点B是点A关于x轴-点的折旋点，则点B的坐标为___________； 若点是点A关于x轴-点E的折旋点，则点E的坐标为___________； (2)如图2，的半径为2，若上存在点M，使得点是点M关于x轴-点的折旋点，且点在直线上，求b的取值范围； (3)是y轴上的动点，的半径为2，若上存在点N，使得点是点N关于x轴-点的折旋点，且点在直线上，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据折旋点定义求解即可； 根据折旋点定义求解即可； （2）设M点坐标为，根据（1）可知的坐标为，当直线与圆相切时，与y轴交点最高或最低，即可确定b的取值范围； （3）确定点F的折旋点，再根据与圆相切求取值范围． 【详解】（1）解：如图所示，点关于x轴对称点F的坐标为，绕顺时针旋转得到点B，易证,，，B点坐标为， 故答案为：， 如图所示，E点是以为斜边的等腰直角三角形的直角顶点， 因此，E点坐标为， 故答案为：； （2）解：设M点坐标为，根据（1）可知的坐标为， 点在直线上， ,即， ∴点M在直线上， 当直线与圆相切时，与y轴交点最高或最低， 如图所示，当M在第二象限时，连接， ，，， 同理，当M在第四象限时，， 所以，；    （3）解：由可知，由（1）可知，关于x轴－点的折旋点N坐标为， ∴点N关于x轴－点的折旋点在以为圆心，半径为2的圆上， 当圆在直线左侧与直线相切时，如图所示，由可知，，易得，，， 由三角函数得，，， ， ，    当圆在直线右侧与直线相切时，如图所示，同理可得，，, ， ， ．    【变式训练】（2023·河北唐山·二模）如图，菱形中，，．点P为射线上一动点，在射线上取一点E，连接，使．作的外接圆，设圆心为O．    (1)当圆心O在上时，______； (2)当点E在边上时， ①判断与的位置关系，并证明： ②当为何值时，有最大值？并求出最大值； (3)如图，连接，若，直接写出值；将优弧沿PE翻折交射线于点Q，直接写出弧的长． 【答案】(1)1 (2)①与的位置关系是相切，见解析；②当时，有最大值，为1 (3)， 【分析】（1）可证得，进而解直角三角形和直角三角形，从而求得结果； （2）①连接，，利用圆周角定理推出，继而推出，再根据，推出，从而得到与的位置关系是相切； ②连接，可证得，从而得到，设得方程，故，利用二次函数得最值，得到当，即时，有最大值，最大值为1； （3）可推出，进而得出，，，故，四边形是菱形，可推出点A是对称后的优弧的圆心，根据弧长公式得出结果． 【详解】（1）解：菱形中，， ∵是的直径， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， 故答案为：1； （2）①与的位置关系是相切，理由如下： 证明：如图1，连接，，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即与的位置关系是相切； ②如图2，连接．    ∵，，， ∴， 在菱形中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，得到 ∴， 设， ∴，则， ∴， ∵， ∴当，即时，有最大值，最大值为1． （3）∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， 又∵将优弧沿翻折交射线于点， ∴， ∴四边形是菱形，    ∴点A，O关于对称， ∴弧在以A为圆心，长为半径的圆上． ∵， ∴． 题型二十四 其他问题(圆的综合问题） 【典例精讲】（25-26九年级上·北京朝阳·阶段检测）给定图形W和点P，Q，若图形W上存在两个不重合的点M，N，使得点P关于点M的对称点与点Q关于点N的对称点重合，则称点P与点Q关于图形W双对合． 在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)在点，，中，与点O关于线段双对合的点是________； (2)点K是x轴上一动点，的直径为1． ①若点A与点关于双对合，求t的取值范围； ②当点K运动时，若上存在一点与上任意一点关于双对合，直接写出点K的横坐标k的取值范围． 【答案】(1)D，F (2)①；②或 【分析】（1）根据双对合的定义逐一判断即可得到答案； （2）①由双对合定义画出图形，结合图形，新定义，由此求出取值范围；②找出临界图形，计算即可求出k的取值范围． 【详解】（1）解：关于线段的对称点为,上任意一点关于线段对称点轨迹为, ∵，， ∴， ∴由图可知,与点关于线段对对合， 故答案为D，F； （2）解：①、先任意取轴上一点,在上任取一点，过点作关于此点的对称点，则可得对称点轨迹为以为圆心，半径为的,若在轴上运动时，则在直线上运动. 作关于上任意一点对称后的轨迹，可得轨迹为过点且半径为的圆，转动一周后轨迹则为以为圆心，半径为的圆，此圆与轴则为点的取值范围， . ∴t的取值范围是； ②取上任意一点，作关于的一次对称，则轨迹为半径为的蓝圆， 当上任意一点改变位置时，则蓝圆也会转动，谁的一次对称图形和蓝圆有交点，则即与对应点为双对合点. 当上的一点E,作点E关于的一次对称图形，则一次对称图形为半径为1的圆（记作红圆），当红圆与所有蓝圆都有交点时，则此时具有双对合点。 如图，当红圆与外切时，红圆可以与所有蓝圆有交点，当红圆圆心为K时，红圆也可以与所有蓝圆有交点， 红圆圆心距离K最远为，红圆圆心关于点K对称点即为点E， 以K为圆心，为半径作圆（橙色）， 当橙色圆与相切的时候，或； 当橙色圆与相切的时候， ∵， ∴，即与x轴的夹角为， ∴交点， 此时，即； 当上的一点在上时，则上的点离最近的点到的距离大于1，不存在． 综上所述：或． 【变式训练】（24-25九年级上·北京·期末）在平面直角坐标系中，设的半径为，对于内的点和弦，给出如下定义：若点关于直线的对称点在的外部，且，则称点是弦的“限角对称点”． (1)如图1，当时， ①点．在点中，点___________是弦的“限角对称点”； ②若点是弦的“限角对称点”，则弦的长度最大值是___________； (2)已知，设直线与轴，轴分别交于，两点，若线段上始终存在点，使点是某条弦的“限角对称点”，求出的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】本题灵活考查坐标系中点的对称，对称的性质，三角形外角的性质，圆的基本性质，根据条件，找到对应情况的图形是解题关键． （1）先将条件利用对称的性质，转化为的关系，再分析，简化计算， ①根据点A，B的坐标判断的形状，作出对应点，对应三角形，利用三角形外角的性质判断与的关系，再根据图象判断对称点与圆的位置关系即可； ②先通过圆的性质，找到弦最大值的情况，再利用勾股定理求解即可； （2）先求出M，N的坐标，再利用（1）中结论，找到的取值范围，再根据找到的最大值与最小值的情况，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵点和点关于直线对称， ∴， 故“限角对称点”的定义中，条件“”等价于“”， ①由题意，作出对应点图象如下，取点， ∵，，，，横坐标相同， ∴点A，，D，在同一直线上，且轴， ∵， 又由题意可知，的半径为2，即， ∴是等边三角形， ∴， 由外角的性质，可得，， ∵，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 其中，，故不为弦的“限角对称点”， 由图象可知，点，关于直线的对称点显然在外部，且，， 故点，是弦的“限角对称点”； ②求解前，为得到弦最大值情况，先论证三个结论， 结论1：如图所示情况，令，由外角的性质可知， 于是，得结论1：若点C为内一点，且不为圆心，则当为定值时，在远离点C一侧的圆弧上时的长度大于在靠近点C一侧的圆弧上时的长度； 结论2：如图所示情况，， 显然，当与同在远离点C的一侧时，当时，； 结论3：如图所示情况，为定值k，即点C在半径为k的的同心圆上， 设为符合条件的任意一点，为定值，假设此时为满足条件的弦的最大值，且， 取点A，，使得，， 由假设，得，故点A在上， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴在垂直于的直径上， ∴点在所在圆中，相对的最远端， ∴， 又，， ∴两者相矛盾，该情况不存在， 故可得结论3：若点C在内，为定值，当，且在远离点C一侧的圆弧上时，弦取得最大值； 由上述3个结论，可得弦取得最大值的情况为，，如下图，设交x轴于点D， ∵， ∴点C在的垂直平分线上， 由垂径定理，，， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∴， 由勾股定理，得，即， 解得（负值已舍去）， ∴， 此时，， ， ∴此时点C关于的对称点在，满足题意， 故弦的最大值为； （2）解：如图，作于点P， 令，得， ∴， ∴， 令，得， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，为等腰直角三角形， 以为半径，点O为圆心作圆，由题意，可假设与y轴负半轴交于点B，与x轴正半轴交于点A， 则，，，， ∴， 由外角的性质，，即， ∴， 又由图象，显然点P关于的对称点在的外部， ∴此时点P满足“限角对称点”的定义， ∵点C在内，且在上， ∴，即， 由（1）可知，在题给条件下，当，，且在远离点C的一侧的圆弧上时，取得最大值， 故当一定时，该种情况下，取得最大值，即r取得最大值，且为的“限角对称点”， 当点C在上，的最大值为， 如图，作，取点A，B，使得，，交y轴于点P， 由（1）可知，，，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得， 又， ∴此时， ∴． 【真题演练1】（2025·浙江杭州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线经过，，的半径为2，点是直线上的一动点，过点作的一条切线，为切点，则切线长的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】连接，，根据勾股定理知，当时，线段最短，即线段最短，利用直角三角形的面积公式即可求得的值，进而得到的值． 【详解】解：如图，是的切线，连接，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴最短时，取得最小值， ∵当时，线段最短， 又∵，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 故选：A． 【真题演练2】（2025·河北石家庄·中考真题）已知的半径为是上两定点，点是上一动点，且的平分线交于点，过点作的平行线交的延长线于点．下列说法中正确的是（   ） ①的最大值是； ②点为上一定点； ③面积的最大值是； ④与相交； ⑤若为锐角三角形，则． A．③④ B．①② C．①④ D．①②⑤ 【答案】D 【分析】①由圆周角定理可知，当在优弧的中点时，为最大值，即可得出结论， ②由的平分线交于点，，可得，再由是上两定点即可得出结论， ③当时，最大，再由勾股定理求出高，即可求出面积得出结论， ④连接，根据平行线的性质和切线的定义，得出与相切，即可得出结论， ⑤分别求出时，，时，，即可得出为锐角三角形的范围. 【详解】解：①当在优弧的中点时， 为直径，值最大，最大值为，故①正确. ②∵的平分线交于点，， ∴， ∴， ∵是上两定点， ∴点为上一定点，故②正确. ③∵是上两定点， ∴的长度不变， 则当，的高最大， 设与交于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故③不正确. ④连接， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴为圆的切线，故④不正确. ⑤如图，与交于点，当时，为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 如图，连接，，为直径， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 同理可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴若为锐角三角形，则，故⑤正确． ∴正确的有①②⑤． 【真题演练3】（2025·河北沧州·中考真题）如图，已知与相切于点，是的直径，且，延长交于点．若，，则点与上的点的最大距离为_____． 【答案】 【分析】连接，证明是线段的垂直平分线，继而证明是等边三角形， 根据勾股定理，圆的性质解答即可． 本题考查了圆的切线的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，圆的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵与相切于点， ∴， ∵，， ∴，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， 连接并延长交于点M，此时为所求最大距离， ∴， ∴， 故答案为：． 【真题演练4】（2025·湖北武汉·中考真题）如图，中，，，，是的内切圆，连接，，则的面积为_________． 【答案】18 【分析】本题考查勾股定理，三角形内切圆的性质，切线的性质，三角形面积的计算，构造辅助线求圆的半径是解题的关键．连接，设与切于三点，连接，求出，根据三角形面积公式求得的面积即可． 【详解】解：连接，设与切于三点，连接，则 是的内切圆， ， 在中，，，， ， ， ， ， 令 ，即， 解得，， ， 故答案为：18. 【真题演练5】（2025·四川广元·中考真题）如图，是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，过格点A，B，C，D．仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题． (1)在图1中，先画圆心O，再画的中点M； (2)在图2中，先画点D关于点C的中心对称点E；再过点D作的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了切线的判定、圆周角定理、垂径定理等知识，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． （1）根据，可得是的直径，即可得出弦的垂直平分线与的交点即为圆心，再由网格的特点可知，弦与网格线的交点N即为弦的中点，根据垂径定理可知，与的的交点即为的中点； （2）由网格的特点可知，点是格点，，即点关于点的中心对称点为点；再由是直径，可得，由此得出点与点是关于的轴对称，进而可得与点所在的网格线交点即可得出，即是圆的切线. 【详解】（1）解：如图所示： 点，点即为所求； （2）如图，点，切线即为所求． 由网格的特点可知，点是格点，，即点关于点的中心对称点为点； ∵，， ∵是的直径， ∴，即 ∴是圆的切线. 【基础夯实】 1．（25-26九年级上·山东烟台·阶段检测）在中，，，且，则这个三角形的内切圆半径为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】设的三边分别与相切于点、、，连接，，，，，，然后利用等面积法进行计算即可解答． 【详解】解：∵，，且， ∴， 设的三边分别与相切于点D、E、F，连接，，，，，， ∴，，， 设的半径为， ∴， ∵的面积的面积的面积的面积， ∴， ， ∴． 2．（25-26九年级上·河南商丘·期末）如图，在平面直角坐标系中，与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交于M，N两点，若点M的坐标是，则点N的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连接过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了坐标与图形性质． 作于，连接，如图，设的半径为，先根据切线的性质得，则点的坐标为，再利用垂径定理得，利用轴，，得到点坐标为，然后在中，根据勾股定理得，解得，则，即可得点坐标为． 【详解】解：作于，连接， 如图，设的半径为． ∵与轴相切于原点， ， 点的坐标为． ∵， ． ∵轴，， 点坐标为． 在中，． ∵， ， 解得：， ， ， 点坐标为． 故选：B． 3．（25-26九年级上·北京房山·阶段检测）如图，在中，分别是的切线，A，D为切点，经过圆心O交于点E，连接，若，则（　　） A．28° B．45° C．52° D．59° 【答案】D 【分析】如图：连接，由切线的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余可得、，由圆周角定理可得，即，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵分别是的切线，A，D为切点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即D选项符合题意． 4．（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，与相切于点A，连接并延长交于点C，连接．若，则的度数为________． 【答案】 【分析】连接，根据切线的性质可得，再根据三角形的外角的性质和等边对等角即可求解． 【详解】解：连接， ∵与相切于点， , ， , ∵， ． 5．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图，与相切于点A，连接OA，点C在上，连接并延长交于点D，连接，若，则_______ 度． 【答案】80 【分析】先根据等腰三角形的性质得，再根据切线的性质得，然后根据四边形内角和等于得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵与相切于点A， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 6．（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，是圆O的切线，A、B为切点，是直径，，________． 【答案】 【分析】连接，根据切线的性质结合四边形的内角和为360度，求出的度数，再根据等边对等角求出的度数即可． 【详解】解：连接， ∵是圆O的切线， ∴， ∵， ∴， ∵，为直径， ∴． 7．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，P为外一点，切于点A，若，，则的半径是________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，连接，由切线的性质可得，则可证明是等腰直角三角形，得到，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵切于点A， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴的半径是3， 故答案为：3． 8．（2025·山东东营·三模）如图，在中，是的直径，，是上不同于，的两点，，连接．过点作，垂足为，直线与交于点． (1)求证：是的切线； (2)当，，时，求的长． 【答案】(1) 证明：连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 又∵为的半径， ∴为的切线； (2) 【分析】（）连接，则有，由外角性质可得，又，则，所以，然后通过平行线的性质，从而求证； （）连接，由圆周角定理可得，所以，则，最后通过角所对直角边是斜边的一半和线段和差即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接，如图所示： ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．（2025·浙江丽水·二模）如图，为的直径，P为延长线上一点，过点P作的切线，切点为M．过点A作于点C，交于点N，连接． (1)求证：平分； (2)若的直径为，求的长． 【答案】(1) 证明：如图1，连接， ∵是的切线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； (2) 【分析】（1）根据切线的性质定理得出，得出，根据平行线的性质得出，再根据等边对等角以及等量代换即可得出结论； （2）过点O 作于点E，连接，则，得出四边形为矩形，最后利用垂径定理以及勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图2，过点O 作于点E，连接，则， ∵过点P作的切线，切点为M， ∴，即， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵的直径为10， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∴． 10．（2025·甘肃金昌·一模）希腊数学家欧几里得，被称为“几何学之父”．在其所著的《几何原本》第三卷中有一个命题：“过已知点作直线切于已知圆”．如图，设点P是已知点，是已知圆，对于上命题，我们可以进行如下尺规作图：①连接，分别以点O，P为圆心，大于长为半径作弧，在上方交于点M，在下方交于点N，连接，交于点A；②以点A为圆心，长为半径作，与交于两点Q和R；③连接，则是的切线． 请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图中补全图形，保留作图痕迹． 【答案】 解：补全图形如图所示． 【分析】根据所给作图步骤作图即可． 【培优拔高】 1．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图1，在中，，点I为内心．动点D以的速度从点C出发，沿折线运动．线段的长y（单位：cm）与点D的运动时间x（单位：s）的关系如图2所示．其中，点是两段曲线的连接点，则下列说法正确的是（    ） A．图象最低点的纵坐标为3或5 B．图象上纵坐标为5的点有3个 C．图象最高点的横坐标为25 D．的面积为 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内心的性质，勾股定理，函数的图象等知识，过点I作于M，于N，于Q，连接，，，根据内心的性质可证明四边形是正方形，得出，由函数图象可知，点P表示点D和点B重合，则可求出，设，则，在中，根据勾股定理得出，解得，，当时，在中，根据勾股定理得出，解得；当时，在中，根据勾股定理得出在中，，解得，不符合题意，舍去；则，然后逐项分析即可． 【详解】解：过点I作于M，于N，于Q，连接，，， 则四边形是矩形， ∵I是内心， ∴，，， ∴矩形是正方形， ∴， 由图2知，当点D运动时，点D和点B重合，此时， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， 当时，，， ∴，， 在中，， ∴， 解得； 当时，，， ∴，， 在中，， ∴， 解得，不符合题意，舍去； ∴， ∴，， ∴，故选项D错误； 当点D和M或N或Q重合时，最小，最小值为，故选项A错误； ∵，，，，， ∴在上存在一个位置，使；在上存在两个位置，使；在上存在一个位置，使； ∴一共存在四个位置使， ∴图象上纵坐标为5的点有4个，故选项B错误； 当点D和A重合时，最大，此时，故选项C正确， 故选：C． 2．（25-26九年级上·河南洛阳·期末）如图，，分别与相切于点A，B．若．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查切线的性质、四边形内角和、圆周角定理，由切线的性质得，进而得，再由圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵，分别与相切于点A，B， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 3．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，半圆的直径，为半圆的一条弦，将沿弦翻折后与相切于点，若点为中点，则弦的长为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的相关性质，轴对称及性质，勾股定理，切线的性质，垂径定理，构造辅助线、应用勾股定理是解题的关键．设为翻折之后的的圆心，连接，，，先求出，然后利用勾股定理求出，最后应用垂径定理求出即可． 【详解】解：半圆的直径， ， 设为翻折之后的的圆心，连接，，， 将沿弦翻折后与相切于点， ，， 又为中点， ，， 在中，， ， 在中，， ， 故选：C． 4．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，在矩形中，是的中点，若是直径，是直线上任意一点，与相切于点，，当最大时，的长为___________． 【答案】 【分析】连接，延长交的延长线于点，过点作于点，由矩形的性质得到，，根据勾股定理求出，由切线的性质推出，判定，得到，从而推出，由，推出当最大时，，得到点与点重合，证得，推出，，进而求出，，最后利用三角形面积公式，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接，延长交的延长线于点，过点作于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴在中，， ∵与相切于点，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∵， ∴当最小时，最大，最大， ∴当最大时，， 此时，点与点重合， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，的长为， 故答案为：． 5．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，点在等边三角形的内部，连接，，是的中点，连接．若，则的度数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】作的外接圆，圆心为，连接、，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得到，根据等边三角形的性质以及角的和差得，再分析点的两个临界位置，求出的度数，即可求解． 【详解】解：作的外接圆，圆心为，连接、， ∵点是的外接圆圆心， ∴， ∵， ∴， ∵等边三角形， ∴， ∴； 当点和点趋近于重合时，可看作圆的切线， 则， ∴， ∵是的中点， ∴点和点也趋近于重合， ∴； 当点和点重合时，则点是的中点， 又∵等边三角形， ∴， ∴，即； 综上，的度数的取值范围是． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在矩形中，点在边上，扇形与边相切于点，点，分别在，边上，是的内切圆．若，，，则的半径为___________． 【答案】/0.5 【分析】连接，根据切线的性质得到，进而得到四边形是矩形，则，再证明，得到，则，设，，则，，根据完全平方公式求出，再根据三角形的内切圆半径公式即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵矩形， ∴， ∵扇形与边相切于点， ∴，即， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵是的内切圆， ∴的半径． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·河南南阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B，C，点A在直线上，且点A的坐标为，半径为2的的圆心P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿射线运动．设点P运动的时间为t秒，则当_____秒时，与x轴相切． 【答案】4或8 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质．设与坐标轴的切点，根据已知条件得到，推出是等腰直角三角形，，①当与轴相切时，②当与轴和轴都相切时，根据等腰直角三角形的性质得到结论． 【详解】解：设与坐标轴的切点为， 直线与轴、轴分别交于点、，点， 时，时，；当时，， ， ， ，， 是等腰直角三角形，， ①当与轴相切时，   点是切点，的半径是， 轴，， 是等腰直角三角形， ， ， 点的速度为每秒个单位长度， ； ②如图，与轴和轴都相切时， ， ， 点的速度为每秒个单位长度， ； 综上所述，则当或秒时，与x轴相切， 故答案为：或． 8．（25-26九年级上·天津滨海新区·阶段检测）如图直角坐标系中，以为圆心的交x轴负半轴于A，交x轴正半轴于B，交y轴于C、D． (1)若C点坐标为，点A坐标为 ； (2)在（1）的条件下，上存在点P，使，则满足条件的点P坐标为 ； (3)过点C作的切线，过点A作，垂足为点F，与另一个交点为点N．当的半径大小发生变化时，的长度是否变化？若变化，求变化范围，若不变，证明并求值． 【答案】(1) (2)， (3)不变，为6，证明见解析 【分析】（1）连接，根据勾股定理求出的半径，进而求解； （2）根据题意，可知为等腰直角三角形，过点作，证明，即可求出第一个点的坐标，再推出为的中点，进而求坐标即可； （3）连接，作于H，证明，得到，进而求解． 【详解】（1）解：连接，由题意知，， ∴， 即的半径为5； ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形，且， 过点作，如图， ∵， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； 另一个点位置如图，此时，则有， ∴、、三点共线，且为的中点， ∵，设， 则有， 解得， ∴； 即存在两个这样的点，； （3）解：不变，为6；理由如下： 证明：如图2，连接，作于H，则， ∵过点C作的切线， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即． 9．（25-26九年级上·云南西双版纳·期末）如图，在中，，点是外接圆上的一点，且，连接． (1)若，求的度数； (2)如图，过点作，求证：是的切线； (3)点是上一动点（不与重合），连接，是否存在常数，使等式成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在， 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据圆周角定理求出，然后可得答案； （2）连接，证明是等腰直角三角形，可得，再根据已知条件得出即可； （3）作于D，交的延长线于E，证明四边形是正方形，可得，再证，利用全等三角形的性质，通过等量代换可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴是的直径，， ∵， ∴ ∴； （2）连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （3）存在；作于D，交的延长线于E， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∵，，等腰直角三角形中， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．（25-26九年级上·北京房山·阶段检测）如图，是的直径，点B在线段的延长线上，直线与相切于点D．连接． (1)尺规作图：过点A作，交延长线于点C（保留作图痕迹，不写作法）； (2)①求证：平分； ②若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）利用过已知点作已知直线的垂线的作法画出图形即可； （2）①如图：连接，根据切线的性质可得，从而得到，再结合，可得即可证明结论；②在中，根据勾股定理可得，然后根据等边对等角、三角形外角的性质以及等量代换可得，最后根据等角对等边即可解答． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求. （2）①证明：如图：连接， ∵直线与相切于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； ②解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $