专题03 用一元二次方程解决问题【（挑战压轴题）导图知识卡片+九大考点讲练+优选题训练 共42题】-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

本讲义聚焦“用一元二次方程解决问题”核心知识点，系统衔接一元二次方程解法与实际应用，涵盖传播、增长率、图形、数字、营销等九大题型，通过思维导图构建知识框架，形成从理论到实践的完整学习支架。 资料以“思维导图+题型讲练+拔尖练”为特色，典例结合变式训练（如传播问题中病毒传染实例）培养推理能力，图形问题（如矩形菜地围建）发展几何直观与模型意识。课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺，提升用数学语言解决实际问题的能力。

专题03用一元二次方程解决问题『挑战压轴题」 「思维导图+九大题型讲练+优选题拔尖练共42题」 【2026-2027学年苏科版数学新教材•九年级上册】 山且录导航 高频压轴题型举一反三变式训练....… 2 题型一传播问题（一元二次方程的应用）.…。 2 题型二增长率问题（一元二次方程的应用）.· …3 题型三与图形有关的问题（一元二次方程的应用）......4 题型四数字问题（一元二次方程的应用）.. …5 题型五营销问题（一元二次方程的应用）. 6 题型六动态几何问题（一元二次方程的应用）...·· 题型七行程问题（一元二次方程的应用）.· 0 题型八握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）. 10 题型九其他问题（一元二次方程的应用）..... 10 优选题拔尖练………… …11 第1页共15页 ■山思维导图技巧点拔 苏科版数学新教材九年级上册挑战压轴题专题03《用一元二次方程解决问题》知识点思维导图 心一、核心方法 膏三、一元二次方程基础知识 ◆四、典型应用类型与解题要点 ①审题理解抓住题目中的等量关系，理清己如量，未知量 -般形式：ax2+bx+c=0(a0) ①几何图形面积问题 例：如知图，长为(0+2r)cm 及它们之间的数量关系： 80 cm 利用图形面职公式表示相关量。设末知数， 宽为(50+2x)cm,康积为 ②设元遗 根呢意设未知致（一般设），用含x的式子 求根公式：x=二b土vB-4ae 2a (b2-4ac≥0) 得到一元二次方程. 5400m2. 表示相关量 判别式：△=b2-4ac 方程：(80+2x)50+2) ③列方程报羯等量关系列出一元二次方程。 判别试4△>0△=04<0 ②销售利润问题 O解方程解一元二次方程，求出未知数的值 型 美系式 报的情况 再个不相等两个相等的 设有实戴根 抓住成本.售价、销、利润”之间的关 每件售价为x元 利网（售价一成本）×领量 的实数根 实数根 系列方程。 ⑤检验作著 检验所求解是否荷合实际意义， 降价(x元)后 利洞m(售价一x一成本)X销量 写出答案。 强价x元)后利湖=（传的+x一成本】×销量 应二、常见等量关系与模型 Q ③行程问题 例：如图。设乱艇从C处到B处需航行xh, 利用坊程。速度。时间的关系，结合直角三 角形构建方程。 AB =60x km.BC=75x km. ①几何图形模型 用一元二次方程 AC=30 km. 解决问题 (60x2+302=(75x)2 边长为a [☑五、解应用题的一般步骤 ④增长（下降）问题 例：某种药品源价125元/盒，连续两次牌价x元。 ②行程问题横型 路程=速度×时同 利用增长（下障）建立方程。注意单 “1的变化 原价第一次牌价后第二次降价后 sevt 审题：理解题意，找出已知量。未如量及等量关系 125125(1-) 125(1- 设元：设来如数，表示相关量 ③销售利洞问题模型利润一售价×销量一成本 利■（单价一成本）×骑量 列方程：根据等量关系列一元二次方程 6方案与人数问题 人数人 人均收费/元 解方程：求出来知数的值 ④增长（下降）问题模型增长后的量原来的量×1+增长率) x≤30 4000 检：舍去不符合实际意义的解 下降后的量一原来的量×(1一下降率) x>30 4000-50(x-30) 作香：写出符合实际意义的答案 ★六、压轴题考点技巧 Q1.抓住关键考量关系 丹2灵活设元 ◇3.检验解的合理性 ☆4.数形结合 前5分类讨论思想 羽6逆向思维 ·从题目中提炼出核心数量关系， ,设未知数时尽量使等量关系简洁 ·用图形表示鬆夏，帮助发现隐藏 ·当方案不随一或涉及取整。范国 ·从结粟出爱反雅已知量，或从条件 准确列方程。 理免分式或小数。 关系（如行程问题常用直角三角影 时。需分类讨论. 出发维导结果，遮择更易入手的 注第单位统一，道免出现“隐含 复杂题目可尝试多种设元方法 检验题目中的其他隐含条件是否 面积。周长问题可用几何图形法 例：人败同题中，人数≤30与 方向。 条件”遗漏， 选最筒便的。 满足 助分析， 人数>30的收费标准不 山高频压轴题型举二反三李式训练 题型一传播问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】(2026·重庆·一模)某位同学经过老师指点后学会了某道数学题，回到班级后第一节课他 教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这道数学 题.设一人每次教会了x名同学，则下列方程正确的是() A.1+x2=36 B.1+x(x+1)=36C.x+x2=36 D.1+x+x(x+1)=36 【变式训练1】（25-26九年级上·广东东莞·期末)甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感 染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现。在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到 有效控制，经过两轮传染后共有25人感染了“甲流病毒”，则第三轮传染后，共有人感染了“甲 流病毒” 第2页共15页 【变式训练2】(25-26九年级上·广东揭阳·阶段检测)新冠病毒持续影响全国人民的生活，有研究表明， 新冠病毒变异株仍具有较强的传染性，当一个人感染了该病毒后，在没有防控的情况下，若经过两轮传染 后共有25人感染，那么，每轮传染中平均一个人传染了多少人？ 题型二增长率问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车 正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某品牌新能源汽车10月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多， 该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，12月份的销售量达到4.32万辆.求从10月份到12月份该品牌新能 源汽车销售量的月平均增长率. 【变式训练1】(25-26八年级下·浙江杭州·期末)甲、乙两种品牌的智能机器人采摘苹果，它们原来每 分钟采摘的个数相同，现它们都提高采摘速度，其中甲品牌智能机器人连续两次提速的百分率都是x,乙品 牌智能机器人一次性提速的百分率是2x.提速后甲品牌智能机器人平均每分钟采摘的苹果个数是乙品牌智 能机器人平均每分钟采摘的苹果个数的倍，则x的值为( A.0.2 B.0.3 C.0.5 D.1 【变式训练2】(2026山东临沂·二模)随着人工智能的迅速发展，某AI企业近两年的总收入逐年递增.该 企业2023年缴税40万元，2025年缴税48.4万元.若每年保持相同的增长率，则该企业这两年缴税的年平 均增长率是 第3页共15页 题型三与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】(25-26八年级下·浙江杭州·期末)某农场有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙MN, 现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地ABCD,菜地左右两边各开一扇宽为1米的门.已知木栏总长为30米， 左右两边的门均不消耗木栏 M W D M D 门 B B (图1) (图2) (1)如图1，当AD≤MN时，设AB长为x米. ①请用含x的代数式表示BC的长，并写出x的取值范围. ②若围成的菜地面积为96平方米，求AB的长 (2)如图2，当AD>MW时，围成的菜地面积是否可以达到121平方米？说明理由. 【变式训练1】(25-26八年级下·吉林·期末)某学校计划利用一片空地为学生建一个矩形车棚，其中一 边靠墙（墙的长度为12米），另三边用总长为28米的木板材料围成.若使得车棚的面积为80平方米，则 这个矩形车棚的相邻两边长分别应为多少米？ 第4页共15页 【变式训练2】(25-26八年级下·山东威海·期末)某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外 三边用木栅栏围成.已知墙长25m,木栅栏长47m,在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口（另选材料建 出入门).当鸡场的面积为280m时，求垂直于墙的一边的长. srriseeeeeeeeesersiesiees 出入口 题型四数字问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】(25-26八年级下·福建福州·期末)2026年4月5日是我国的传统节日清明节，又称踏青 节、行清节、三月节、祭祖节等，在每年4月4日至6日之间，是祭祀、祭祖和扫墓的节日.清明节源自 上古时代的祖先信仰与春祭礼俗，兼具自然与人文两大内涵，既是自然节气点，也是传统节日，清明节与 春节、端午节、中秋节并称为中国四大传统节日.在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）.若 圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数.（请用方程知识解答） 2026年04月 日一 四五六 3 6 7 8 91011 12131415 161718 19202122 232425 2627282930 第5页共15页 【变式训练1】(25-26八年级下·福建福州·期末)月历中的奥秘（九年级版）：如图是2025年10月的 月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列的9个数（如6,7,8,13,14,15,20,21,22）.试解 决以下的问题： 日 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 202122 23 24 25 26 27 282930 31 (1)用矩形任意圈出的三行三列9个数中，若最小的数设为x,那么最中间的数可用x表示为 最大 的数可用x表示为 (2)若矩形圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，这9个数的和是多少？（请列方程解决） 【变式训练2】(25-26八年级下·浙江湖州·期末)“积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在3×3积幻 方中，9个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等.如图，已知一 个“3×3积幻方”只呈现了4个小方格中的数，则其中x的值是 x-14 x+16 题型五营销问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】(25-26八年级下·吉林长春·期末)长春市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价 为80元，销售价为120元时，每天可售出20件.为了迎接“十一”国庆节，商店决定在销售价120元的 基础上，采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那 么平均可多售出2件.设每件童装降价x元 (1)采取降价措施后，每天可销售一件，每件盈利_一元；（用x的代数式表示，并化为最简形式） (2)该童装专卖店希望平均每天盈利1200元，且优惠力度最大，则每件童装应该降价多少元？ 第6页共15页 【变式训练1】(25-26九年级上·北京·阶段检测)某商场服装专柜在销售中发现，某款童装平均每天可 售出20件，每件盈利40元，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量.经过调查发现，每件童装降价4 元，平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装降价多少元？ 【变式训练2】(25-26八年级下·江苏南通·期末)某网店销售一批同款护眼台灯，在销售过程中发现， 这款护眼台灯销售单价为60元时，每星期卖出100个.如果调整销售单价，每降价1元，每星期就可以多 卖出2个.现网店决定降价销售，设销售单价为x元，每星期的销售量为y个， (1)y关于x的函数解析式为_： (2)若销售单价不低于50元时，求最大销售量： (3)若这款护眼台灯进价为每个40元，该网店能否达到2600元的利润？ 题型六动态几何问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】(2026·河南洛阳·三模)如图，在平行四边形ABCD中，∠B=60°，AB=6cm,BC=12Cm.点 P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→D运动，同时点Q从点C出发，以3cm/s的速度沿C→B运动.设点 P的运动时间为t,在此运动过程中，当PQ=CD时，t的值为( P D A.1.5 B.3 C.1.5或3 D.3或4 第7页共15页 【变式训练1】(2026·天津南开·三模)如图，在边长为8cm的正方形ABCD中，点E在边CD上，且DE=2cm, 动点P从点C出发，以1cm/s的速度沿边CD向终点D运动；动点Q从点D同时出发，以2cm/s的速度沿边 DA,边AB,向终点B运动.连接EQ和PQ,设运动的时间为ts.有下列结论： ①当t=5s时，PQ∥BC: ②当0≤t≤4时，△EPQ的最大面积为9cm2: ③t只有两个不同的值满足△EPQ的面积为4cm2. 其中，正确结论的个数是( D E A.0 B.1 C.2 D.3 【变式训练2】(25-26九年级上·天津河北·期末)如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC=8cm, 动点P从点A出发沿边AB向点B以1cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B出发沿边B-C-A向点 A以2cm/s的速度移动，规定其中一个动点到达终点，另一个也随之停止运动.如果点P,Q分别从点A,B 同时出发，设运动的时间为ts,当t=1时，点P,Q位置如图所示，回答下列问题： (1)填空：当0<t<4时，AP= BP= BQ=_ CO= (用含有t的代数式作答) (2)当1<t<4时，t为何值时，可使AP=CQ: (3)当t为何值时，△BPQ的面积为5cm2. 第8页共15页 题型七行程问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】(25-26九年级上·全国·周测)如图，甲、乙从直径的两端点A、B分别按顺时针、逆时针 的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程1(cm)与时间t(S)之间满足关系式l-t2+t(t≥0)，乙以4cm/s 2 的速度匀速运动，半圆的长度为21cm。 甲 A (1)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间？ (2)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多长时间？ 【变式训练1】(24-25九年级上·湖南湘西·期中)数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图 所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程(cm) 与时间t(s)满足关系：1-+tt≥0)，乙以4cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为21cm.甲、乙从开 始运动到第三次相遇时，它们运动了一一秒， 甲A B乙 【变式训练2】(23-24九年级上·全国·单元测试)一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面 有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车. (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 第9页共15页 题型八握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】(2026·湖北·中考真题)2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众 足球赛事.楚超有n支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场 比赛，则可列方程( A.n(n-1)=136 B.n(m-1)=136 C.3n(m+1)=136 D.n(n+1)=136 【变式训练1】(25-26九年级上·湖北咸宁·期末)某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握 手45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有x人. (1)填空：根据题意，可列方程：一： (②)我们都知道连接多边形不相邻的两个项点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条， 多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数：如果不可以，请说明理由 【变式训练2】(25-26九年级上·青海·阶段检测)手工制作小组有若干人，他们将自己制作的手工艺品 向本组成员各赠送一件，已知全组共互赠手工艺品90件，求该小组有多少位同学？ 题型九其他问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】(25-26八年级下·浙江杭州·期末)把一个足球垂直地面向上踢，t(秒)后该足球的高度 (米)适用公式=20t-5t2. (1)经过多少秒时球的高度为15米？ (2)试问球在上升过程中，球的高度能否达到21米，若能请求出对应的时间，若不能请说明理由. 第10页共15页 【变式训练1】(25-26八年级下·陕西西安·期末)己知某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系， 当每盆植3株时，平均每株盈利4元：若每盆增加1株，则平均每株盈利减少0.5元.要使每盆的盈利达到 20元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是( A.(x+3)(4-0.5x)=20 B.(x+3)(4+0.5x)=20 C.(x+4)(3-0.5x)=20 D.(x+1)(4-0.5x)=20 【变式训练2】(25-26八年级下·浙江宁波·期末)中国航天“嫦娥探月”、“天问探火”以及空间站建 设等成就激发了广大青少年对航天的热情.某航天科技体验馆将在暑假期间推出“逐梦苍穹”航天体验营， 团体票收费标准如下： ①如果参加人数不超10人，人均费用为300元： ②如果参加人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元，直到人均费用200元时不再下降. (1)若有x(10≤x≤30)人参加活动，则人均费用是 一元（用含x的代数式表示）； (2)若某研学团参加体验营需要支付5000元的团体票费用，求研学团的人数. 山优选题拔尖练 1.(25-26九年级上·陕西安康·期中)郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营 业额为297.9万元.设平均每月营业额的增长率为x,则下面所列方程正确的是( A.90(1+x)2=297.9 B.90(1-x)2=297.9 C.90(1+2x)=297.9 D.90+90(1+x)+90(1+x)2=297.9 2.(26-27九年级上·全国·课后作业)DeepSeek模型的能力与其训练数据量密切相关.假设在某研发阶 段，DeepSeek模型的初始训练数据量为325万亿个标记.研发团队通过两次数据扩容，使最终的训练数据 量达到468万亿个标记，求这两次数据扩容的平均增长率( A.10% B.20% C.15% D.25% 3.(2026湖北武汉中考真题)对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法.以方程x2+8x=48 为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为x的正方形，再以正方形的边 第11页共15页 为一边向外构造四个面积为2x的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为48+4×22=64，则该方程的 正数解为8一2×2=4.小美尝试用此方法解关于x的方程x2+12x+c=0,构造如图2所示的图形.若 图2中大正方形的面积为100，则方程x2+12x+c=0的正数解是（ 2x 2x 2 2x 图1 图2 A.4 B.5 C.6 D.7 4.(25-26八年级下·辽宁大连·期末)我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有户不 知高、广，竿不知长短.横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出.问户高、广、邪各几何？”其大意是： “今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长短.横放，竿比门宽长出4尺：竖放，竿比门高长出2尺；斜 放，竿与门对角线恰好相等.问门高、宽和对角线的长各是多少？”设竿长为x尺，可列方程为( A.x2+(x+2)2=(x+4)2 B.(x-4)2+(x-2)2=x2 C.(x-2)2+x2=(x+4)2 D.(x-2)2+x2=(x+2)2 5.(25-26八年级下·广西百色·期末)如图，为落实劳动教育，学校计划用总长为8米的篱笆，在两面 足够长的垂直围墙的墙角处，围出一块7平方米的矩形劳动实践园地.若设矩形的一边长为x米，则列出的 方程式( LLLLLLLLLL1L1 A.x(8-x)=7 B.x(4-x)=7 C.x(8-2x)=7 D.2x(8-x)=7 6.(26-27九年级上·全国·课后作业)在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮 球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56 场，则参加小组赛的球队有_支， 7.(25-26八年级下·福建福州·期末)在综合实践活动课上，小磊同学经过思考将宽为acm的矩形卡纸 剪成如图1所示的四块图形，若用这四块图形恰好能够拼成如图2所示的正方形，且正方形的边长比矩形 的宽多1，则该矩形卡纸的宽a=cm. 第12页共15页 ① ② ② ① ① ② 1 ② 图1 图2 8.(25-26九年级上·北京·阶段检测)某药品两次涨价，零售价涨为原来的1.2倍，已知两次涨价的百 分率一样，求每次涨价的百分率 (精确到0.1%，V30≈5.477) 9.(25-26八年级下·山西大同·期末)如图1为一矩形纸板，长12cm,宽6cm.在它的四角各切去一 个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）·如果要制作的无盖方 盒的底面积为40cm2,则矩形纸板各角应切去正方形的边长为 cm 图1 图2 10.（25-26八年级下·江苏扬州·期末)某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40 元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商 场平均每天可多售出1件.若商场平均每天盈利600元，每件衬衫应降价多少元？若设每件衬衫应降价x 元，则可列方程为一一一一 11.(25-26九年级上·陕西安康·阶段检测)随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可 售出30台，每台可盈利50元，经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台.为了增大利 润，商场决定采取适当的降价措施 (1)商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ (2)该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由. 第13页共15页 12.(26-27九年级上·全国·课后作业)随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成 为人们喜爱的交通工具.某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新 能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆.某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源 汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价 定为25万元/辆时，平均每周售出8辆，售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售 价，使平均每周的销售利润为96万元. (1)求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)为推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价， 13.(26-27九年级上·全国·课后作业)凤翔泥塑是我国一种独特的民间艺术，经过翻拼、封合、缝洗、 阴干、钩勒、上彩、上光等十几道工序做成，作品简洁艳丽，夸张传神，表现出浓郁的西府特色.某种泥 塑的制作成本为30元/件，泥塑店销售一段时间后发现，当该泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件，若 在此基础上每件泥塑的售价每上涨1元，则该泥塑月销售量将减少10件，设该泥塑的售价上涨x元/件.该 店为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价上涨多少元/件？ 第14页共15页 14.(26-27九年级上·全国·单元复习)如图所示，在△ABC中，AB=60厘米，BC=80厘米，∠B=90°， 点P从点A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿BC边 向点C以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动），如果PQ分别从AB同时出发，经过几秒，△PBQ 的面积等于100平方厘米？ A-P B 15.(26-27九年级上·全国·期末)一商场以20元的进价购进纪念品，以30元每个的价格售出，每周可 以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨5元，就少卖50个. (1)若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大程度地让利消费者，售价应定为多少钱？ (2)因商场改变销售策略，在不改变(1)的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484 个，求这两周的平均增长率， 第15页共15页nullnull 专题03 用一元二次方程解决问题『挑战压轴题』 「思维导图+九大题型讲练+优选题拔尖练 共42题」 【2026-2027学年苏科版数学新教材•九年级上册】 高频压轴题型举一反三变式训练 2 题型一 传播问题(一元二次方程的应用) 2 题型二 增长率问题(一元二次方程的应用) 4 题型三 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 5 题型四 数字问题(一元二次方程的应用) 7 题型五 营销问题(一元二次方程的应用) 9 题型六 动态几何问题(一元二次方程的应用) 12 题型七 行程问题(一元二次方程的应用) 16 题型八 握手、循环赛问题(一元二次方程的应用) 19 题型九 其他问题(一元二次方程的应用) 20 优选题拔尖练 22 题型一 传播问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（2026·重庆·一模）某位同学经过老师指点后学会了某道数学题，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这道数学题．设一人每次教会了x名同学，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】这道题考的是传播问题，将每一次的传播情况分析清楚，将初始人数和后两次的传播人数加起来就是最终的总人数． 【详解】解：初始会做这道题的人数为1人， ∵第一节课，原来会的1人教会 名同学，第一节课后会做的人数为人， ∵第二节课，所有会做的 人每人教会x名同学，第二节课新增会做的人数为， ∴全班会做的总人数为初始人数加上两节课新增的人数，列方程得: ． 【变式训练1】（25-26九年级上·广东东莞·期末）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有25人感染了“甲流病毒”，则第三轮传染后，共有_______人感染了“甲流病毒”． 【答案】125 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据两轮感染的总人数25即可列出方程求解，再计算三轮传染后的总感染人数即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 根据题意，得， 解得：或(舍去)， 三轮传染后总感染人数为， 故答案为：125． 【变式训练2】（25-26九年级上·广东揭阳·阶段检测）新冠病毒持续影响全国人民的生活，有研究表明，新冠病毒变异株仍具有较强的传染性，当一个人感染了该病毒后，在没有防控的情况下，若经过两轮传染后共有25人感染，那么，每轮传染中平均一个人传染了多少人？ 【答案】每轮传染中平均一个人传染了4人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每轮传染中平均一个人传染了x人，则第一轮传染中感染了x人，第二轮传染中感染了人，根据1人感染了后经过两轮传染共有25人感染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x人， 则第一轮传染中感染了x人，第二轮传染中感染了人， 依题意得：，即 解得，（不合题意，舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染了4人． 题型二 增长率问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车10月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，12月份的销售量达到4.32万辆．求从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． 【答案】 【分析】本题是“平均增长率”应用题，可利用“复利增长模型”建立方程再求解．已知初始值是10月销售量3万辆，经过2个月后的终值为12月份的销售量4.32万辆，设月平均增长率为x，则列出一元二次方程，再通过解方程即可求出一元二次方程的两个根，最后应注意增长率为正数，应舍去负根． 【详解】解：设从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）； 答：从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为． 【变式训练1】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）甲、乙两种品牌的智能机器人采摘苹果，它们原来每分钟采摘的个数相同，现它们都提高采摘速度，其中甲品牌智能机器人连续两次提速的百分率都是，乙品牌智能机器人一次性提速的百分率是．提速后甲品牌智能机器人平均每分钟采摘的苹果个数是乙品牌智能机器人平均每分钟采摘的苹果个数的倍，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出原来的采摘个数，根据甲品牌智能机器人连续两次提速的百分率都是列出，再根据乙品牌智能机器人一次性提速的百分率是列出，最后根据提速后甲品牌智能机器人平均每分钟采摘的苹果个数是乙品牌智能机器人平均每分钟采摘的苹果个数的倍列出方程求解即可． 【详解】设甲、乙原来每分钟采摘苹果的个数为，其中， 根据题意列方程：， ，两边约去得：， 展开整理得：， 因式分解得：， 解得，（舍）， 答：的值为． 【变式训练2】（2026·山东临沂·二模）随着人工智能的迅速发展，某企业近两年的总收入逐年递增．该企业2023年缴税40万元，2025年缴税万元．若每年保持相同的增长率，则该企业这两年缴税的年平均增长率是________． 【答案】 【分析】设年平均增长率为，根据2023年和2025年的缴税额列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，即可得到结果． 【详解】解：设该企业这两年缴税的年平均增长率为， 根据题意得， 解得，（舍去）． ∴该企业这两年缴税的年平均增长率是． 题型三 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）某农场有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为米的门．已知木栏总长为米，左右两边的门均不消耗木栏． (1)如图，当时，设长为米． 请用含的代数式表示的长，并写出的取值范围． 若围成的菜地面积为平方米，求的长． (2)如图，当时，围成的菜地面积是否可以达到平方米？说明理由． 【答案】(1) ，； ； (2)解：不可以，理由如下， 设长为米， 当时，， 则围成的菜地面积， ， ∴方程无实数根， ∴围成的菜地面积不可以达到平方米． 【分析】 根据图形和条件确定边长表达式； 根据面积公式列出方程求解即可； 根据面积公式列出方程，再根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】（1）解： ， 由题意得，解得； ∵围成的菜地面积为平方米， ∴，整理得， 解得，（舍去）， ∴的长为米； 【变式训练1】（25-26八年级下·吉林·期末）某学校计划利用一片空地为学生建一个矩形车棚，其中一边靠墙（墙的长度为12米），另三边用总长为28米的木板材料围成．若使得车棚的面积为80平方米，则这个矩形车棚的相邻两边长分别应为多少米？ 【答案】这个矩形车棚的相邻两边长分别应为8米，10米 【分析】设平行于墙的边长为米，则垂直于墙的边长为米，根据车棚的面积为80平方米列方程，求解即可． 【详解】解：设平行于墙的边长为米，则垂直于墙的边长为米， 依题意得，， 整理得，， 解得：，， ∵墙的长度为12米， ∴不合题意，舍去， ∴， ∴， 答：这个矩形车棚的相邻两边长分别应为8米，10米． 【变式训练2】（25-26八年级下·山东威海·期末）某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长，木栅栏长，在与墙垂直的一边留出宽的出入口（另选材料建出入门）．当鸡场的面积为时，求垂直于墙的一边的长． 【答案】 【分析】设与墙垂直的一边长为，然后根据矩形面积列方程求解即可． 【详解】解：设垂直于墙的一边长，平行于墙的栅栏总长：（出入口1不用栅栏） 当鸡场的面积为时，， 解得， ∵墙长25， ∴， 解得， ∴， 答：垂直墙一边长． 题型四 数字问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26八年级下·福建福州·期末）2026年4月5日是我国的传统节日清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，在每年4月4日至6日之间，是祭祀、祭祖和扫墓的节日．清明节源自上古时代的祖先信仰与春祭礼俗，兼具自然与人文两大内涵，既是自然节气点，也是传统节日．清明节与春节、端午节、中秋节并称为中国四大传统节日．在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．（请用方程知识解答） 【答案】9 【分析】设四个数中最小数为，则最大数为，再根据最小数与最大数的乘积为153列一元二次方程求解，最后选择符合实际的解即可． 【详解】解：设四个数中最小数为，则最大数为 由题意得：， 整理得：， ， 即， 解得：（舍）， 答：最小数为9． 【变式训练1】（25-26八年级下·福建福州·期末）月历中的奥秘（九年级版）：如图是年月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列的个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．试解决以下的问题： (1)用矩形任意圈出的三行三列个数中，若最小的数设为，那么最中间的数可用表示为________，最大的数可用表示为________； (2)若矩形圈出的个数中，最大数与最小数的积为，这个数的和是多少？（请列方程解决） 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据图中每行和每列数的关系，即可得到答案． （2）设最小数为，最大数为，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵每行的后一个数比前一个数大，每列的下一个数比上一个数大， ∴中间的数可用表示为， 最大的数可用表示为； （2）解：设最小数为，最大数为，根据题意可列方程：， ， 解得或（舍去）， 最小数为，最大数为， 个数为， 其和为． 【变式训练2】（25-26八年级下·浙江湖州·期末）“积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在积幻方中，个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等．如图，已知一个“积幻方”只呈现了个小方格中的数，则其中的值是_________． 【答案】16 【分析】根据题意，得到，整理得，再根据解一元二次方程的方法解方程，即可求出的值． 【详解】解：根据题意，可得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 因式分解，得， 解得，， ∵个小方格中的正整数互不相等， ∴，即的值是16． 题型五 营销问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26八年级下·吉林长春·期末）长春市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接“十一”国庆节，商店决定在销售价120元的基础上，采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元． (1)采取降价措施后，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示，并化为最简形式） (2)该童装专卖店希望平均每天盈利1200元，且优惠力度最大，则每件童装应该降价多少元？ 【答案】(1)， (2)每件童装应该降价元 【分析】（1）根据“每件童装降价1元，那么平均可多售出2件”列出代数式即可； （2）根据总利润销售量单件利润，列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：∵如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元， ∴采取降价措施后，每天可销售件，每件盈利元 （2）解：由题意得， 整理得， 解得，， ∵要使优惠力度最大， ∴， ∴每件童装应该降价元． 【变式训练1】（25-26九年级上·北京·阶段检测）某商场服装专柜在销售中发现，某款童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量．经过调查发现，每件童装降价4元，平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装降价多少元？ 【答案】每件童装降价元 【分析】本题利用总盈利=每件盈利×平均每天销售量的数量关系列一元二次方程求解，根据题目扩大销售量的要求，选取符合题意的解即可． 【详解】解：设每件童装降价元．由题意可知，每降价元，平均每天可多售出件， 因此降价元后，每件盈利为元，平均每天销售量为件， 根据总盈利为元，列方程得： 整理方程得 因式分解得 解得， ∵要求扩大销售量，降价越多销售量越大， ∴ 答：每件童装降价元． 【变式训练2】（25-26八年级下·江苏南通·期末）某网店销售一批同款护眼台灯，在销售过程中发现，这款护眼台灯销售单价为元时，每星期卖出个．如果调整销售单价，每降价元，每星期就可以多卖出个．现网店决定降价销售，设销售单价为元，每星期的销售量为个． (1)关于的函数解析式为 ； (2)若销售单价不低于元时，求最大销售量； (3)若这款护眼台灯进价为每个元，该网店能否达到元的利润？ 【答案】(1) (2)个 (3)不能达到 【分析】（1）根据降价金额与销量增加的关系，推导y与x的函数解析式； （2）利用一次函数的增减性，结合自变量的取值范围，求出最大销售量； （3）根据总利润单个利润销售量列方程，通过判断方程是否存在实数解，得到能否达到目标利润的结论. 【详解】（1）解： 由题意可得，销售单价为元时，降价金额为元， 每降价1元多卖出2个，因此多卖出的销量为个， 总销量， 整理得； （2）解：由题意得，结合(1)可得， 函数中，， ∴随的增大而减小， 当取最小值时，取得最大值， 将代入得； 答：最大销售量为（个）. （3）解：由题意， ， 展开整理得， ∵， ∴该方程没有实数根， ∴不存在满足条件的销售单价； 答：该网店不能达到元的利润. 题型六 动态几何问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（2026·河南洛阳·三模）如图，在平行四边形中，，，．点P从点A出发，以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿运动．设点P的运动时间为t，在此运动过程中，当时，t的值为（     ） A．1.5 B．3 C．1.5或3 D．3或4 【答案】C 【分析】由题意易得，，，，则有，，由题意可分当时，当时，且满足，然后分类画出图形进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∵四边形是平行四边形，，， ∴，，， ∴，， 由题意可分： 当时，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， 此时，解得：； 当时，且满足，分别过点A、P作， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理可得， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上所述：t的值为1.5或3． 【变式训练1】（2026·天津南开·三模）如图，在边长为的正方形中，点E在边上，且，动点P从点C出发，以的速度沿边向终点D运动；动点Q从点D同时出发，以的速度沿边，边，向终点B运动．连接和，设运动的时间为．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③只有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】分别表示出， 等线段长，根据平行线的判定判断①；根据三角形面积公式列出函数关系式，利用二次函数性质求最值判断②；分段讨论Q的位置，列方程求解判断③． 【详解】解：∵正方形边长为， ，P的速度为，Q的速度为， ∴ ，， 当时，Q在上，； 当时，Q在上，； ①如图：当时，P在上，，则 ，Q走过的路程为，此时Q在上，， ∵， ∴不垂直于，即不平行于，故①错误； ②如图：当时，Q在上，； ∵， ∴，即P在E右侧； ∴， ∴， ∵， ∴当时，的最大面积为，故②正确； ③当时，由②可得， 令，解得或（不符合题意舍去）； 当时，Q在上，的高为8，， ∴， 令，解得或． ∴满足条件的t值有，5，7，共3个，故③错误． 综上，正确的结论只有②，个数为1． 【变式训练2】（25-26九年级上·天津河北·期末）如图，在中，，动点从点出发沿边向点以的速度移动（不与点重合），动点从点出发沿边向点以的速度移动，规定其中一个动点到达终点，另一个也随之停止运动．如果点，分别从点，同时出发，设运动的时间为，当时，点，位置如图所示，回答下列问题： (1)填空：当时，___________，___________，___________，___________（用含有的代数式作答） (2)当时，为何值时，可使； (3)当为何值时，的面积为． 【答案】(1)，，， (2)为，可使 (3)或 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，相似三角形的判定，运用分类讨论思想是解题的关键； （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据，可得到，即可求解； （3）根据的面积为和运动情况，分类讨论：①当时，②当时，分别求出的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，，，，， 故答案为：，，，； （2）解：当时，， ∵， ∴， 解得， ∴为，可使； （3）解：∵的面积为， ∴①当时，， ∵，， ∴，整理得， 解得，， ∵， ∴； ②当时，如图所示，过点作，交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴，整理得， 解得， ∵， ∴， 综上可知，当或时，的面积为． 题型七 行程问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·周测）如图，甲、乙从直径的两端点、分别按顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间之间满足关系式，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为。 (1)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间？ (2)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多长时间？ 【答案】(1)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了; (2)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了. 【分析】根据题意：甲乙第一次相遇时，二者的路程之和为半圆长度21cm，列方程计算即可； 甲乙第二次相遇时，二者的路程之和为三个半圆长度，列方程计算即可. 【详解】解：（1）由图可知，甲、乙第一次相遇时，走过的总路程为半圆的长度21cm. ， 解得，（不合题意，舍去）. 答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了. （2）由图可知，甲、乙第二次相遇时，走过的总路程为三个半圆的长度. ， 解得，（不合题意，舍去）. 答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了. 【变式训练1】（24-25九年级上·湖南湘西·期中）数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了______秒． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用甲乙的路程之和等于，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 整理得： ， 解得： (不符合题意，舍去)， 故答案为：． 【变式训练2】（23-24九年级上·全国·单元测试）一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 【答案】(1)15米/秒；2秒 (2)15米/秒 (3)秒 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意正确列出式子． （1）由题意可得从刹车到停车所滑行了30米，根据题意可求出平均车速，继而可求得时间； （2）汽车从刹车到停车，车速从30米/秒减少到0，由（1）可得车速减少共用了2秒，平均每秒车速减少量总共减少的车速时间，由此可求得答案； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒，，继而可表示出这段路程内的平均车速，根据“路程平均速度时间”列方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，该辆汽车以30米/秒的速度行驶，从刹车到停车所滑行了30米， 则在这段时间内的平均车速为米/秒； 从刹车到停车所用的时间是秒； （2）从刹车到停车车速的减少值是， 从刹车到停车每秒平均车速减少值是米/秒； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒， 则这段路程内的平均车速为米/秒， 所以， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：刹车后汽车行驶到20米时用了秒． 题型八 握手、循环赛问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（2026·湖北·中考真题）2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单循环赛制的比赛规则计算总场数，即可列出对应方程． 【详解】解：∵共有支球队参赛，单循环赛制要求每两支球队之间比赛场， ∴每支球队需要和除自身外的支球队各比赛场， 又∵每一场比赛会被两支球队重复计算次，需要去掉重复计数， ∴总比赛场数为， 已知总比赛场数为场， ∴可列方程． 【变式训练1】（25-26九年级上·湖北咸宁·期末）某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有人． (1)填空：根据题意，可列方程： ； (2)我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由． 【答案】(1) (2)多边形对角线可以有27条，即多边形的边数为9 【分析】（1）设参加聚会的同学共有人，每个人与其他个人握手，所有到会同学都互相握一次手，因此总次数为，根据共握手45次，列出方程即可． （2）设多边形的边数为，对角线数量为27，依题意可以得到方程，解方程即可． 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设参加聚会的同学共有人，每个人与其他个人握手，所有到会同学都互相握一次手，因此总次数为，根据共握手45次， 列出方程为：， 故答案为：． （2）解：设多边形的边数为，对角线数量为27 依题意可以得到方程 化简为 解得或 因为为正整数，所以 答：多边形对角线可以有27条，即多边形的边数为9． 【变式训练2】（25-26九年级上·青海·阶段检测）手工制作小组有若干人，他们将自己制作的手工艺品向本组成员各赠送一件，已知全组共互赠手工艺品件，求该小组有多少位同学？ 【答案】该小组有名同学 【分析】本题考查了一元二次方程的实际运用：要全面、系统地弄清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 先求每名同学赠的手工艺品，再求名同学赠的手工艺品，而已知全组共互赠了件，故根据等量关系可得到方程． 【详解】解：设该小组有名同学， 则每名同学所赠的手工艺品为：件， 那么名同学共赠：件， 所以，． 解得：不合题意舍去，， 答：该小组有名同学． 题型九 其他问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）把一个足球垂直地面向上踢，（秒）后该足球的高度（米）适用公式． (1)经过多少秒时球的高度为米？ (2)试问球在上升过程中，球的高度能否达到米，若能请求出对应的时间，若不能请说明理由． 【答案】(1)秒或秒 (2)不能，理由如下： ∵据题意得，整理得， ∴， ∴一元二次方程无解， ∴球的高度不能达到米． 【分析】（1）将代入即可求解； （2）将代入，求出判别式即可求解． 【详解】（1）当时，， 整理得：， 解得：，； ∴经秒或秒时球的高度为米； 【变式训练1】（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，当每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，则平均每株盈利减少元．要使每盆的盈利达到20元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“总盈利每盆总株数平均单株盈利”，分别表示出每盆总株数和平均单株盈利，即可列出方程． 【详解】解：设每盆多植株， ∵原来每盆植3株， ∴现在每盆总株数为株， ∵每增加1株，平均每株盈利减少元， ∴增加株后，平均单株盈利为元， ∵要求每盆盈利达到20元， ∴列出方程为 ． 【变式训练2】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）中国航天“嫦娥探月”、“天问探火”以及空间站建设等成就激发了广大青少年对航天的热情．某航天科技体验馆将在暑假期间推出“逐梦苍穹”航天体验营，团体票收费标准如下： ①如果参加人数不超人，人均费用为元； ②如果参加人数超过人，每增加1人，人均费用降低5元，直到人均费用元时不再下降． (1)若有人参加活动，则人均费用是_______元（用含x的代数式表示）； (2)若某研学团参加体验营需要支付元的团体票费用，求研学团的人数． 【答案】(1) (2)人 【详解】（1）解：由题意得当时，人均费用为元， ， 有人参加活动，人均费用为元； （2）解：设有位研学团成员， 当时，，不符合题意， 当时，， 化简得， 方程两边同时除以得 ， 因式分解得， 解得、（舍去）， 当时，， 解得（舍去）， 答：研学团的人数为人． 1．（25-26九年级上·陕西安康·期中）郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据月平均增长率分别表示2月、3月的营业额，结合三个月总营业额列方程 【详解】解：设平均每月营业额的增长率为x，2月份营业额为万元，3月份营业额为万元， ∵1月、2月、3月总营业额为万元， ∴ 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）模型的能力与其训练数据量密切相关．假设在某研发阶段，模型的初始训练数据量为325万亿个标记．研发团队通过两次数据扩容，使最终的训练数据量达到468万亿个标记，求这两次数据扩容的平均增长率（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设两次数据扩容的平均增长率为，再根据初始数据量、平均增长率及两次扩容后的最终数据量，利用增长率的增长规律列方程即可． 【详解】解：设两次数据扩容的平均增长率为， 由题意得， 整理得， ∵， ∴， 解得， ∴这两次数据扩容的平均增长率为． 3．（2026·湖北武汉·中考真题）对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】仿照题中方法，构造一个面积为的正方形，向外构造四个面积为的矩形，得出四个小正方形的边长为，根据大正方形的面积为得出大正方形的边长为，进而求出方程的正数解即可． 【详解】解：如图2，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形， ∴四个小正方形的边长为， ∵大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∴方程的正数解是． 4．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”其大意是：“今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？”设竿长为尺，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由竿长与门宽、门高的大小关系表示出门宽与门高，再结合勾股定理列方程． 【详解】解：设竿长为尺，则门宽为尺，门高为尺. ∵ 斜放竿与门对角线恰好相等， ∴ 门对角线长为尺， 由勾股定理得． 5．（25-26八年级下·广西百色·期末）如图，为落实劳动教育，学校计划用总长为米的篱笆，在两面足够长的垂直围墙的墙角处，围出一块平方米的矩形劳动实践园地．若设矩形的一边长为米，则列出的方程式（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设矩形的一边长为米，则另一边长为米， 根据题意得． 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有______支． 【答案】8 【分析】设参加小组赛的球队数量为，根据双循环赛制得到总比赛场数的表达式，列方程求解后舍去不符合实际的负根即可． 【详解】解：设参加小组赛的球队有支， ∵赛制为双循环，每两支球队之间进行两场比赛， ∴总比赛场数为， 根据题意，得， 解得，， ∵球队数量为正整数， ∴舍去， ∴， 故参加小组赛的球队有7支． 7．（25-26八年级下·福建福州·期末）在综合实践活动课上，小磊同学经过思考将宽为的矩形卡纸剪成如图1所示的四块图形，若用这四块图形恰好能够拼成如图2所示的正方形，且正方形的边长比矩形的宽多1，则该矩形卡纸的宽______cm． 【答案】 【分析】根据线段之间的关系，用含a的式子表示出正方形的边长和矩形的长，再根据矩形和正方形的面积相等，列方程，求解检验即可． 本题考查了一元二次方程的实际应用，正确地列出方程是解题的关键． 【详解】解：由图1可得，直角三角形①的较短直角边和梯形②的上底重合，直角三角形①的较长直角边和梯形②的高之和是矩形的长，梯形②的下底是矩形的宽，即在图2中，，， ∴矩形的长为， 根据矩形和正方形的面积相等，得， 整理得， 解得，（舍去）， ∴． 8．（25-26九年级上·北京·阶段检测）某药品两次涨价，零售价涨为原来的倍，已知两次涨价的百分率一样，求每次涨价的百分率________（精确到，） 【答案】约为 【详解】解：设药品的原始零售价为，每次涨价的百分率为， 则， 解得：（舍），， 即每次涨价的百分率约为． 9．（25-26八年级下·山西大同·期末）如图1为一矩形纸板，长，宽．在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为，则矩形纸板各角应切去正方形的边长为______． 【答案】 【分析】设切去正方形的边长为 ，根据矩形的长和宽分别减去 表示出底面的长和宽，利用矩形面积公式列一元二次方程求解，并根据实际意义检验根的合理性即可． 【详解】解：设矩形纸板各角应切去正方形的边长为． 根据题意，得 ． 整理，得 ． 解得 ． 当 时，，不合题意，舍去． 所以 ，即矩形纸板各角应切去正方形的边长为1． 10．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天盈利600元，每件衬衫应降价多少元？若设每件衬衫应降价元，则可列方程为________． 【答案】 【分析】本题根据总利润每件衬衫的利润每天的销售量列方程，先分别表示出降价后每件衬衫的利润与每天的销售量，再代入等量关系即可得到方程． 【详解】解：设每件衬衫应降价元，根据题意，降价后每件衬衫的利润为元，每件降价元后，每天多售出件， 因此每天的销售量为件， 已知商场平均每天盈利元，结合总利润公式可得方程． 11．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台．为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施． (1)商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ (2)该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)每台电暖器应降价15元或20元 (2)不能．理由如下： 设每台电暖器降价元．根据题意，得 ， 整理，得． ∵， ∴该方程无实数根． ∴该商场平均每天盈利不能达到2500元． 【分析】（1）设每台电暖器降价元，则每台盈利元，每天可以售出台，利用总利润=每台的利润×销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出x的值； （2）由根的判别式可得出该方程无实数根，进而可得出商场平均每天盈利不能达到2500元． 【详解】（1）解：设每台电暖器降价元．根据题意，得 ， 解得． 答：每台电暖器应降价15元或20元． （2）略 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆．某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆，售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为96万元． (1)求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)为推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】(1) (2)万元 【分析】（1）由平均增长率问题的解法，列一元二次方程求解即可； （2）设下调后每辆汽车的售价为万元，由等量关系列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 根据题意，得， 解得，（负值不符合题意，舍去）， 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为； （2）解：设下调后每辆汽车的售价为万元，则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆， 根据题意，得， 解得，， 此次销售尽量让利于顾客， ， 答：下调后每辆汽车的售价为21万元． 13．（26-27九年级上·全国·课后作业）凤翔泥塑是我国一种独特的民间艺术，经过翻拼、封合、缝洗、阴干、钩勒、上彩、上光等十几道工序做成，作品简洁艳丽，夸张传神，表现出浓郁的西府特色．某种泥塑的制作成本为30元/件，泥塑店销售一段时间后发现，当该泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件．若在此基础上每件泥塑的售价每上涨1元，则该泥塑月销售量将减少10件，设该泥塑的售价上涨x元/件．该店为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价上涨多少元/件？ 【答案】该泥塑的售价上涨10元/件 【分析】根据月销售利润达到6000元列出一元二次方程并解方程，再根据题意即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：， 解得，， 又要尽可能让顾客得到实惠， ． 答：该泥塑的售价上涨10元/件． 14．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图所示，在中，厘米，厘米，，点P从点A开始沿边向点B以1厘米秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿边向点C以2厘米秒的速度移动（到达点C即停止运动），如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒，的面积等于100平方厘米? 【答案】经过秒或秒，的面积等于100平方厘米 【分析】设运动时间为t秒，根据题意和三角形面积公式进行分类讨论求解即可． 【详解】解：设运动时间为t秒， 当时，依题意，得 解得，（不合题意，舍去）； 当时，依题意，得 解得． ∴经过秒或秒，的面积等于100平方厘米． 15．（26-27九年级上·全国·期末）一商场以20元的进价购进纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨5元，就少卖50个． (1)若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大程度地让利消费者，售价应定为多少钱? (2)因商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 【答案】(1)40元 (2) 【分析】（1）设售价应定为每个元，则每个利润为元，销量为个，利用总利润为8000元，再建立方程解题即可； （2）由（1）得：当售价为每个40元时，销量为400个，设这两周的平均增长率为，再结合增长率的含义建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设售价应定为元，则每个利润为元， 由题意得， 解得：，， ∵更大程度让利消费者， ∴， 答：商场计划一周的利润达到8000元，并且更大程度让利消费者，售价应定为40元； （2）解：由（1）得：当售价为40元时，销量为400个， 设这两周的平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：这两周的平均增长率为． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 用一元二次方程解决问题『挑战压轴题』 「思维导图+九大题型讲练+优选题拔尖练 共42题」 【2026-2027学年苏科版数学新教材•九年级上册】 高频压轴题型举一反三变式训练 2 题型一 传播问题(一元二次方程的应用) 2 题型二 增长率问题(一元二次方程的应用) 3 题型三 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 4 题型四 数字问题(一元二次方程的应用) 5 题型五 营销问题(一元二次方程的应用) 6 题型六 动态几何问题(一元二次方程的应用) 7 题型七 行程问题(一元二次方程的应用) 9 题型八 握手、循环赛问题(一元二次方程的应用) 10 题型九 其他问题(一元二次方程的应用) 10 优选题拔尖练 11 题型一 传播问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（2026·重庆·一模）某位同学经过老师指点后学会了某道数学题，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这道数学题．设一人每次教会了x名同学，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26九年级上·广东东莞·期末）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有25人感染了“甲流病毒”，则第三轮传染后，共有_______人感染了“甲流病毒”． 【变式训练2】（25-26九年级上·广东揭阳·阶段检测）新冠病毒持续影响全国人民的生活，有研究表明，新冠病毒变异株仍具有较强的传染性，当一个人感染了该病毒后，在没有防控的情况下，若经过两轮传染后共有25人感染，那么，每轮传染中平均一个人传染了多少人？ 题型二 增长率问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车10月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，12月份的销售量达到4.32万辆．求从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． 【变式训练1】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）甲、乙两种品牌的智能机器人采摘苹果，它们原来每分钟采摘的个数相同，现它们都提高采摘速度，其中甲品牌智能机器人连续两次提速的百分率都是，乙品牌智能机器人一次性提速的百分率是．提速后甲品牌智能机器人平均每分钟采摘的苹果个数是乙品牌智能机器人平均每分钟采摘的苹果个数的倍，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【变式训练2】（2026·山东临沂·二模）随着人工智能的迅速发展，某企业近两年的总收入逐年递增．该企业2023年缴税40万元，2025年缴税万元．若每年保持相同的增长率，则该企业这两年缴税的年平均增长率是________． 题型三 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）某农场有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为米的门．已知木栏总长为米，左右两边的门均不消耗木栏． (1)如图，当时，设长为米． 请用含的代数式表示的长，并写出的取值范围． 若围成的菜地面积为平方米，求的长． (2)如图，当时，围成的菜地面积是否可以达到平方米？说明理由． 【变式训练1】（25-26八年级下·吉林·期末）某学校计划利用一片空地为学生建一个矩形车棚，其中一边靠墙（墙的长度为12米），另三边用总长为28米的木板材料围成．若使得车棚的面积为80平方米，则这个矩形车棚的相邻两边长分别应为多少米？ 【变式训练2】（25-26八年级下·山东威海·期末）某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长，木栅栏长，在与墙垂直的一边留出宽的出入口（另选材料建出入门）．当鸡场的面积为时，求垂直于墙的一边的长． 题型四 数字问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26八年级下·福建福州·期末）2026年4月5日是我国的传统节日清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，在每年4月4日至6日之间，是祭祀、祭祖和扫墓的节日．清明节源自上古时代的祖先信仰与春祭礼俗，兼具自然与人文两大内涵，既是自然节气点，也是传统节日．清明节与春节、端午节、中秋节并称为中国四大传统节日．在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．（请用方程知识解答） 【变式训练1】（25-26八年级下·福建福州·期末）月历中的奥秘（九年级版）：如图是年月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列的个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．试解决以下的问题： (1)用矩形任意圈出的三行三列个数中，若最小的数设为，那么最中间的数可用表示为________，最大的数可用表示为________； (2)若矩形圈出的个数中，最大数与最小数的积为，这个数的和是多少？（请列方程解决） 【变式训练2】（25-26八年级下·浙江湖州·期末）“积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在积幻方中，个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等．如图，已知一个“积幻方”只呈现了个小方格中的数，则其中的值是_________． 题型五 营销问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26八年级下·吉林长春·期末）长春市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接“十一”国庆节，商店决定在销售价120元的基础上，采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元． (1)采取降价措施后，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示，并化为最简形式） (2)该童装专卖店希望平均每天盈利1200元，且优惠力度最大，则每件童装应该降价多少元？ 【变式训练1】（25-26九年级上·北京·阶段检测）某商场服装专柜在销售中发现，某款童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量．经过调查发现，每件童装降价4元，平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装降价多少元？ 【变式训练2】（25-26八年级下·江苏南通·期末）某网店销售一批同款护眼台灯，在销售过程中发现，这款护眼台灯销售单价为元时，每星期卖出个．如果调整销售单价，每降价元，每星期就可以多卖出个．现网店决定降价销售，设销售单价为元，每星期的销售量为个． (1)关于的函数解析式为 ； (2)若销售单价不低于元时，求最大销售量； (3)若这款护眼台灯进价为每个元，该网店能否达到元的利润？ 题型六 动态几何问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（2026·河南洛阳·三模）如图，在平行四边形中，，，．点P从点A出发，以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿运动．设点P的运动时间为t，在此运动过程中，当时，t的值为（     ） A．1.5 B．3 C．1.5或3 D．3或4 【变式训练1】（2026·天津南开·三模）如图，在边长为的正方形中，点E在边上，且，动点P从点C出发，以的速度沿边向终点D运动；动点Q从点D同时出发，以的速度沿边，边，向终点B运动．连接和，设运动的时间为．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③只有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练2】（25-26九年级上·天津河北·期末）如图，在中，，动点从点出发沿边向点以的速度移动（不与点重合），动点从点出发沿边向点以的速度移动，规定其中一个动点到达终点，另一个也随之停止运动．如果点，分别从点，同时出发，设运动的时间为，当时，点，位置如图所示，回答下列问题： (1)填空：当时，___________，___________，___________，___________（用含有的代数式作答） (2)当时，为何值时，可使； (3)当为何值时，的面积为． 题型七 行程问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·周测）如图，甲、乙从直径的两端点、分别按顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间之间满足关系式，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为。 (1)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间？ (2)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多长时间？ 【变式训练1】（24-25九年级上·湖南湘西·期中）数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了______秒． 【变式训练2】（23-24九年级上·全国·单元测试）一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 题型八 握手、循环赛问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（2026·湖北·中考真题）2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（     ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26九年级上·湖北咸宁·期末）某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有人． (1)填空：根据题意，可列方程： ； (2)我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由． 【变式训练2】（25-26九年级上·青海·阶段检测）手工制作小组有若干人，他们将自己制作的手工艺品向本组成员各赠送一件，已知全组共互赠手工艺品件，求该小组有多少位同学？ 题型九 其他问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）把一个足球垂直地面向上踢，（秒）后该足球的高度（米）适用公式． (1)经过多少秒时球的高度为米？ (2)试问球在上升过程中，球的高度能否达到米，若能请求出对应的时间，若不能请说明理由． 【变式训练1】（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，当每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，则平均每株盈利减少元．要使每盆的盈利达到20元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（     ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）中国航天“嫦娥探月”、“天问探火”以及空间站建设等成就激发了广大青少年对航天的热情．某航天科技体验馆将在暑假期间推出“逐梦苍穹”航天体验营，团体票收费标准如下： ①如果参加人数不超人，人均费用为元； ②如果参加人数超过人，每增加1人，人均费用降低5元，直到人均费用元时不再下降． (1)若有人参加活动，则人均费用是_______元（用含x的代数式表示）； (2)若某研学团参加体验营需要支付元的团体票费用，求研学团的人数． 1．（25-26九年级上·陕西安康·期中）郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）模型的能力与其训练数据量密切相关．假设在某研发阶段，模型的初始训练数据量为325万亿个标记．研发团队通过两次数据扩容，使最终的训练数据量达到468万亿个标记，求这两次数据扩容的平均增长率（     ） A． B． C． D． 3．（2026·湖北武汉·中考真题）对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”其大意是：“今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？”设竿长为尺，可列方程为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·广西百色·期末）如图，为落实劳动教育，学校计划用总长为米的篱笆，在两面足够长的垂直围墙的墙角处，围出一块平方米的矩形劳动实践园地．若设矩形的一边长为米，则列出的方程式（     ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有______支． 7．（25-26八年级下·福建福州·期末）在综合实践活动课上，小磊同学经过思考将宽为的矩形卡纸剪成如图1所示的四块图形，若用这四块图形恰好能够拼成如图2所示的正方形，且正方形的边长比矩形的宽多1，则该矩形卡纸的宽______cm． 8．（25-26九年级上·北京·阶段检测）某药品两次涨价，零售价涨为原来的倍，已知两次涨价的百分率一样，求每次涨价的百分率________（精确到，） 9．（25-26八年级下·山西大同·期末）如图1为一矩形纸板，长，宽．在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为，则矩形纸板各角应切去正方形的边长为______． 10．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天盈利600元，每件衬衫应降价多少元？若设每件衬衫应降价元，则可列方程为________． 11．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台．为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施． (1)商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ (2)该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆．某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆，售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为96万元． (1)求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)为推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 13．（26-27九年级上·全国·课后作业）凤翔泥塑是我国一种独特的民间艺术，经过翻拼、封合、缝洗、阴干、钩勒、上彩、上光等十几道工序做成，作品简洁艳丽，夸张传神，表现出浓郁的西府特色．某种泥塑的制作成本为30元/件，泥塑店销售一段时间后发现，当该泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件．若在此基础上每件泥塑的售价每上涨1元，则该泥塑月销售量将减少10件，设该泥塑的售价上涨x元/件．该店为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价上涨多少元/件？ 14．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图所示，在中，厘米，厘米，，点P从点A开始沿边向点B以1厘米秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿边向点C以2厘米秒的速度移动（到达点C即停止运动），如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒，的面积等于100平方厘米? 15．（26-27九年级上·全国·期末）一商场以20元的进价购进纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨5元，就少卖50个． (1)若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大程度地让利消费者，售价应定为多少钱? (2)因商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $