第1章 一元二次方程『高频易错题型培优讲练』导图+易错卡片+21个题型讲练+优选题拔尖练 共57题- 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学单元复习讲义通过易错点复习思维导图和知识卡片系统构建一元二次方程知识体系，梳理定义、解法（直接开平方法、配方法等）及应用（传播问题、增长率问题等）脉络，突出参数取值、根的判别式等重难点，呈现知识内在逻辑与关联。 讲义亮点在于“题型分层讲练”设计，21个题型涵盖从定义辨析到动态几何应用，如传播问题通过典例与变式训练培养模型意识，配方法应用题强化推理能力。优选题拔尖练满足分层需求，教师可据此实施精准教学，助力学生提升运算与应用能力。

第1章一元二次方程『高频易错题型培优讲练』 「易错卡片+21个题型讲练+优选题拔尖练共57题」 【2026-2027学年苏科版数学新教材九年级上册·原卷版】 山进义简介- 同学你好，本套讲义针对2026年苏科版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲 义包含精编易错点知识卡片，高频易错题型题型讲练，优选题培优拔尖练等四大部分！题日新 颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最新题日，解析思路清晰，难 度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩 固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ ■山且录导航 98g8。。 题型讲练.… 题型一一元二次方程的定义 题型二化成一元二次方程的一般式.. .4 题型三由一元二次方程的定义求参数.…… 题型四由一元二次方程的解求参数.. 题型五解一元二次方程一直接开平方法.... 题型六解一元二次方程—配方法.....。 题型七配方法的应用.·。 ..5 题型八因式分解法解一元二次方程... 题型九公式法解一元二次方程.· …6 题型十换元法解一元二次方程…。 7 题型十一根据判别式判断一元二次方程根的情况................7 题型十二根据一元二次方程根的情况求参数…………，7 题型十三一元二次方程的根与系数的关系 8 题型十四传播问题（一元二次方程的应用） 8 题型十五增长率问题（一元二次方程的应用）…8 题型十六与图形有关的问题（一元二次方程的应用）…9 题型十七数字问题（一元二次方程的应用）..10 第1页共16页 题型十八营销问题（一元二次方程的应用） 11 题型十九动态几何问题（一元二次方程的应用） 12 题型二十握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 13 题型二十一其他问题（一元二次方程的应用） 13 优选题拔尖练…………………… 14 一、一元二次方程的概念 四、用因式分解法解一元二次方程 ①忽略二次项系数0的条件 西忽陈判别式非负的条件（含参间面 求k的取值范围 混潘一元二 ⑤两边同除含未知数的因式得数丢根 形式 元二次方时的 果开高次 ,化简-x=0。即x=0,这是一次方程 ⑦十字相乘法村号错退 ④方中含条件 :盟有目时不资方得二次项系数10 和为-1一-3和2所以x-3(x+2=0一■3或x-2 选精解法 ⑤含敏的方程分类讨 配方 苏科版数学新教材 五、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 二、用配方法解一元一次方程 ⑥配方时一次项系数以2后忘记平方 九年级上册第1章 :350的两个果+发和X 《一元二次方程》 : 次系数一的平方 易错点复习 右边也要加同的值 ⑦二次系数不为1叶忘记先得 知识点思维导图 韦达定理公式符号 对于 0 口 方程时的碳 ⑨配方后 置出2=3 六。一元三次方程的应用 三、用公式法解一元二次方程 理品902w9 6年漏为144万元求平均增长章 1:0_-2.b-3.c1 合80.有两个不等的实数 ②判 公8智的实数m△0一两个相等的实数慢（一个实相：△<0一没有实数 二的一个等三形的边长求长 有实数报“在实数范围内无解 福鲜：R 公式害代入时特 器.紧品一地 3e货方流特先化 40(100-5x)(10+x100-5x 第2页共16页 苏科版 九年级上册第1章《一元二次方程》易错点复习 知识要点·易错辨析·典型例题·方法归纳 一、一元二次方程的概念与一般形式 二、一元二次方程的解法 三、 解的判别式与根的情况 1.一元二次方程的定义 ①配方法 判别式△ 根的情况 说明 只含有一个未知数，并且未知数的曦 把方程化为(x+m)=n的形式， △>0有两个不相等的实数根b2>4ac 次数是2的整式方程，叫做一元二次方 再开平方求解。 程。 步骤：①移项一②配方一③开方一④求解 △=0 有两个相等的实数根 b2=4ac 2.一般形式 ②公式法 △<0没有实数根 b2<Aac ax2+bx+c=0(a≠0) 当b2-4ac≥0时， 其中a、b是一次项系数，c是 常数项，a≠00。 x=. -b±Vb2-4ac 2a 四、解题中的常见易错点提醒 注意：二次项系数a不能为0， △=b2-4ac:判别根的情况 △二次项系数a的符号或是否为0忽略 否则不是一元二次方程 ③因式分解法 △移项、变形时符号错误。 将方程化为(x-m)(x-n)=0. 3.常见变形 A开平方时漏写±。 则x=m或x=n。 x2+px+q=0 △因式分解不彻底或错误。 ④直接开平方法 ax2+c=0(b=0)等 △公式法中b、c符号代入错误 形如x2=p(p≥0)的方程 △判别式计算出错，忽略根的情况讨论。 直接开平方。 五、经典易错点例题精讲 例了忽略二次项系数a+0的条件 例2配方时忘记加上一次项系数的-半平方 例3 开方时漏写士 例④因式分解不彻底 判断下列方程是否为一元二次方程？ 解方程：x2+4x-5=0 解方程： (x-3)2=16 解方程：2x2-8=0 (1)x2-3x+2=0 错解：x2+4x=5→x2+4x+4=9 (2)0x2+5x-1=0 错解：x-3=4→→x=7 错解：2(x2-4)=0一x2=4 一(x+2)2=9 一x=±2 (3)3x2+2x=0 错因：开平方时漏写了负根。 解析： 递因：应加()广=4： 错因：中间步骤不严谨。 (1)是，a=1 正确解：x2+4x+4=9一x+2)=9 正确解：x-3=士4→ 正确解：2(x-2)(x+2)=0 (2)不是，a=0 一X+2=±3 x1=7,x2=-1 x=2或x=-2 (3)是，a=3 一x1=1,为3=-5 例5公式法代入符号错误 例6判别式计算错误 例7未验证根的合理性 例8移项时符号错误 解方程：x2-4x+3=0 判断方程x2-2x+5=0的根的情况 已知x1.x是方程X2-5x+6=0的两根， 解方程：2x2-x=3 销解：x=-4±4-4x1×3 猫解：△=(-2)2-4×1×5 求x1+2与：2的值 错解：2x2=x-3 -4-20=-16<0 错解：根据韦达定理得+=6，=-5 错因：b的符号应为-4 错因：移项时符号应应变号。 正确解：x=4±V16-12 错误结论：有两个不相等的实数根 错因：常数项应为+6 2 错因：判别式△<0应为无实数根 正确解：十6==5.= 正确解：2x2-x-3=0 =4±2 ÷6 一=3，x2=1 正确结论：无实数根 六、韦达定理（重点理解） 七、解题方法选择建议 八、学习小贴士 若x,x2是-元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根 元二次方理ax2+br+c=0(a0) √公式要记牢：判别式、求根公式、韦达定理 则有： 名+为2=- √步骤要规范：每一步都亚有依据， a 修因式分解 b2-4ac20 不易因式分解 -4ac20】 √计算要细心：符号、数字、开平方、解 X1·x2= a 方程都要谨慎。 ★利用韦达定理可快速求两根之和与两根之积，解决含参问题 因式分解法 公式法 配方法 多做题。多总结，才能少出错！ ★总结：一元二次方程的解法多样，关键在于理解概念、掌握方法、 避免易措、灵活应用 第3页共16页 山高频易错题型讲练 题型一一元二次方程的定义 【典例精讲】(26-27九年级上全国课后作业)下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是( A.x2-y=2 B.2x2-2=X C.ax2-3x+3=0 D.3x2-2x=2x2 【变式训练】（25-26八年级下·安徽合肥·期末)下列方程是一元二次方程的是( ) A.ax2+bx+c=0 B.3(x-9)2-(x+1)2=1 C2= D.Vx+1=x-1 题型二化成一元二次方程的一般式 【典例精讲】(25-26九年级上·北京·阶段检测)一元二次方程2x2-(m+1)x+1=x(x-1)化成一般 形式后二次项的系数为1，一次项的系数为-1，则m的值为( A.1 B.2 C.3 D.4 【变式训练】（25-26九年级上·全国·课后作业)将方程2x2+8=9x化为一般形式是 ,其 中a=一，b=一，c=_一，则b2-4ac=一，用求根公式可得x1=一-，x2=一· 题型三由一元二次方程的定义求参数 【典例精讲】若方程(m+1)xm-1+mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是( ) A.m=1 B.m=-1 C.m=3 D.m=-1或m=3 【变式训练】(25-26八年级·全国·暑假作业)关于x的方程(m+3)xm2-7+x-1=0是一元二次方程， 则m为 题型四由一元二次方程的解求参数 【典例精讲】已知x=1是一元二次方程(m-1)x2+3x-m2=0的一个根，则m的值为( ) A.-1或2 B.-1 C.2 D.0 【变式训练】(25-26八年级下·山东淄博·期末)若关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0(a≠0)有 一个实数根为x=2026,则一元二次方程a(x-1)2+bx-b+2=0必有一个实数根为 题型五解一元二次方程一直接开平方法 【典例精讲】(25-26九年级下·黑龙江大庆·期末)解方程： 第4页共16页 (1)4(x-2)2=36: (2)x2+2x-3=0. 【变式训练】(2026·四川广元·中考真题)若关于x的一元二次方程x2+bx+3=0有两个相等的实数根， 则b的值为( ) A.2V3 B.±2V3 c.3 D.±V3 题型六解一元二次方程—配方法 【典例精讲】(25-26九年级上·陕西安康·阶段检测)用配方法解一元二次方程x2-2x-5=0时，将它 化为(x+a)2=b的形式，则2a+b的值为 【变式训练】(25-26九年级上·陕西安康·期中)用适当的方法解下列方程. (1)(2x+1)2=-(2x+1). (2)2x2-4x-9=0. 题型七配方法的应用 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方 法还有其他重要应用.例：已知x可取任何实数，试求二次三项式2x2-12x+14的值的范围. 解：2x2-12x+14=2(x2-6x)+14=2(x2-6x+32- 32)+14 =2[(x-3)2-9]+14=2(x-3)2-18+14 =2(x-3)2-4. ,无论x取何实数，总有(x-3)2≥0， .2(x-3)2-4≥-4. 即无论x取何实数，2x2-12x+14的值总是不小于-4的实数. 第5页共16页 问题：已知x可取任何实数，求二次三项式-3x2+12x+11的最值情况. 【变式训练】(25-26八年级下安微滁州期末)把关于x的一元二次方程a1(x-m)2+n=0与a2(x-m)2+ n=0称为“同构二次方程”，比如2(x-2)2-4=0与3(x-2)2一4=0就是“同构二次方程”.已知 两个关于x的一元二次方程2(x-1)2-1=0与(a+1)x2+(b-2)x-2=0是“同构二次方程”，则 a-b= 题型八因式分解法解一元二次方程 【典例精讲】(26-27九年级上·云南昆明·开学考试)解方程： (1)x(x-3)=x-3 (2)2x2-7x+3=0 【变式训练】(26-27九年级上·全国·单元复习)解方程： (1)(y+2)2=3y-1)2: (2)(x-1)2-2(x-1)=-1. 题型九公式法解一元二次方程 【典例精讲】解下列一元二次方程. (1)3x2+2x-5=0 (2)2x+6=(x+3)2 第6页共16页 【变式训练】(25-26九年级上·河北邯郸·开学考试)解下列一元二次方程： (1)x2-4x-3=0 (2)x2-4=3(x+2) 题型十换元法解一元二次方程 【典例精讲(23-24八年级下江苏扬州阶段检测)己知关于x的一元二次方程a(x-五)2-k=0(a,五，k都 是常数，且a≠0)的解为x1=-1,x2=3,则方程a(x--1)2=k(a,,k都是常数，且a≠0)的解为 【变式训练】己知点P在反比例函数y=(x>0)的图象上，点Q(m,0)在x轴正半轴上，且满足0<m<8, 若△0PQ的面积为12,0P=PQ=5,则m的值等于-一-· 题型十一根据判别式判断一元二次方程根的情况 【典例精讲】（25-26八年级下·江苏南京·期末)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下 列说法中正确的个数有( ①若b=0,则方程总有实数根；②若b2=4c,则方程有两个相等的实数根： ③若a=b=c,则方程无实数根；④若b=a+c,则方程总有实数根， A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式训练】(25-26八年级下·江苏南通·期末)已知关于x的一元二次方程x2-(m+1)x+2(m-1)=0. (1)求证该方程总有两个实数根： (2)若该方程的一个根是另一个根的2倍，求m的值. 题型十二根据一元二次方程根的情况求参数 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业)关于x的方程kx2+2x-1=0有实数根，则k的值可 以是下列哪个数( A.-1 B.-2 C.-3 D.-4 第7页共16页 【变式训练】已知关于x的方程x2-2(m+1)x+m2=0. (1)当m取什么值时，原方程没有实数根； (2)对选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根. 题型十三一元二次方程的根与系数的关系 【典例精讲】已知a,b是一元二次方程x2+2x-1=0的两根，则3a2-2b+的值是一一-· 【变式训练】若x1,x2是一元二次方程x2-5x+6=0的两个根，则x1+x2-x1x2的值是( ) A.-11 B.11 C.1 D.-1 题型十四传播问题（一元二次方程的应用》 【典例精讲】(25-26九年级上·安徽芜湖·期中)有一个人患了流感，经过两轮传染后新增120个人患了 流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为( A.10 B.11 C.12 D.15 【变式训练】(25-26九年级上·北京·阶段检测)有5个人患了流感，经过两轮传染后共有245个人患了 流感，则每轮传染中平均一个人传染多少人？ 题型十五增长率问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（上册第三章追梦期中达标测试卷）“乒乓球”被称作我国的国球，一直代表着全世界的最 高水平，据统计在伦敦世乒赛结束后的两个月内，我市从事乒乓球运动的人数从3.2万人快速增加到了5 万人 (1)求我市参加乒乓球运动人数的月均增长率； 第8页共16页 (2)为支持市民参与乒乓球运动，市政府决定从某公司购买一批乒乓球台.该公司规定：若购买不超过100 台，每台售价1600元：若超过100台，每增加10台，售价每台可降低40元，但最低售价不得少于1000 元.已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种乒乓球台的台数， 【变式训练】(26-27九年级上·全国·课后作业)随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车 正逐渐成为人们喜爱的交通工具.某品牌新能源汽车10月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多， 该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，12月份的销售量达到4.32万辆.求从10月份到12月份该品牌新能 源汽车销售量的月平均增长率. 题型十六与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·单元复习)为了方便居民收取快递，某小区计划在小区内的空地搭 建一个面积为30平方米的快递投放点.如图是快递投放点的设计图，该快递投放点为矩形ABCD且一边靠 墙：这堵墙长10米，在垂直于墙的两边分别开设“进口”和“出口”两道1.5米宽的门，围建投放点的三 边（不含靠墙的一边和两道门）共需高度适当的板材14米.请求出这个快递投放点的边AB和BC的长. D 进口 出口 c 第9页共16页 【变式训练】(26-27九年级上·全国·单元复习)在“精准扶贫”工作中，某单位建议贫困户借助家里长 25m的墙AB建造面积为450m的矩形区域来养鹌鹑，该单位准备修建长为65m的篱笆，并提供以下两种 方案： riiuuuuuuuu B 图1 图2 (1)如图1，若选取墙AB的一部分作矩形的边，其他三边用篱笆围成，则在墙AB上借用的CF的长度为多少？ (2)如图2，若全部借用AB的长度，并在AB的延长线上拓展BF,构成矩形ADEF,篱笆由BF、EF、DE和AD 构成，求BF的长 题型十七数字问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)根据小明与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后， 给出的答案是( 有没有这样的数，先算这个数的平方，再减去这个数的3倍，最后加上4，运算结果是这 个数的2倍？ A.1 B.4 C.-1 D.1或4 【变式训练】(25-26八年级下·福建福州·期末)2026年4月5日是我国的传统节日清明节，又称踏青 节、行清节、三月节、祭祖节等，在每年4月4日至6日之间，是祭祀、祭祖和扫墓的节日.清明节源自 上古时代的祖先信仰与春祭礼俗，兼具自然与人文两大内涵，既是自然节气点，也是传统节日.清明节与 春节、端午节、中秋节并称为中国四大传统节日.在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）.若 圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数.（请用方程知识解答） 第10页共16页 2026年04月 日一二 三 四五六 清6 7 8 10 11 12131415 161718 19202122 232425 2627282930 题型十八营销问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)凤翔泥塑是我国一种独特的民间艺术，经过翻拼、封合、 缝洗、阴干、钩勒、上彩、上光等十几道工序做成，作品简洁艳丽，夸张传神，表现出浓郁的西府特色.某 种泥塑的制作成本为30元/件，泥塑店销售一段时间后发现，当该泥塑售价为40元/件时，月销售量为400 件.若在此基础上每件泥塑的售价每上涨1元，则该泥塑月销售量将减少10件，设该泥塑的售价上涨x元 /件，该店为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价上涨多少元/件？ 【变式训练】(26-27九年级上·全国·期末)一商场以20元的进价购进纪念品，以30元每个的价格售出， 每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨5元，就少卖50个. (1)若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大程度地让利消费者，售价应定为多少钱？ (2)因商场改变销售策略，在不改变(1)的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484 个，求这两周的平均增长率. 第11页共16页 题型十九动态几何问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·单元复习)如图所示，在△ABC中，AB=60厘米，BC=80厘米， ∠B=90°，点P从点A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点 开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动），如果PQ分别从A、B同时出发，经 过几秒，△PBQ的面积等于100平方厘米？ AP B 【变式训练】(25-26九年级上·福建莆田·阶段检测)如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm,BC=7cm, 点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.若 P,Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P,Q两点同时停止运动. P 求： (1)几秒后，△PBQ的面积等于4cm2? (2)△PBQ的面积能否等于7cm2？说明理由. 第12页共16页 题型二十握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】(25-26八年级下·山东潍坊·期末)2026年的世界杯足球赛中，组委会将参赛球队平均分 成了12个小组，在小组赛中，每支球队都要和组内其他球队进行一场比赛.小莹了解到本届世界杯小组赛 共有72场，但不知道每个小组有几支球队.若设每个小组有x支球队，则可列方程为( A.x(x-1)=72 B.2x(x-1)=72 C.x(x-1)×12=72 D.3xx-1)×12=72 【变式训练】(2026·西藏拉萨·模拟预测)列方程（组）解应用题 某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，求参加此次比赛的球队数， 题型二十一其他问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】(25-26八年级下·浙江绍兴·期末)某电影院为吸引团体观影，推出如下收费标准： 如果观影人数不超过20人，人均票价为50元： 如果人数超过20人，每增加1人，人均票价降低2元，但人均票价不得低于28元. (1)如果某公司组织25人观影，那么人均需支付电影票_元： (2)现某公司组织员工观影，共支付给电影院电影票费用1008元，请问该公司有多少名员工参加观影？ 【变式训练】(25-26八年级下·浙江宁波·期末)某机器人研究小组对机器人行走时的步长s(米/步)、 步频f(步/秒)与步行速度v(米/秒)进行研究，步长s是指机器人单步前进的距离，步频f是指单位时间 内机器人完成的步数，则机器人的步行速度=步长×步频，即v=s×f.在测试模式下，已知步长s与步频f 满足一次函数s=-0.2f+1.2(0<f<6). (1)当步频f=2(步/秒)时，步长s为一（米/步），步行速度v为 (米/秒). 第13页共16页 (2)机器人的步行速度v能否达到1.8（米/秒）？若能，请求出此时步频f的值；若不能，请说明理由. (3)研究小组记录了某两次测试情况：在第一次测试中，机器人以某步频行走了8米：在第二次测试中，机 器人的步频比第一次多了1步/秒，并在与第一次相同的时间内行走了9米，求第一次测试中机器人的步频. ■优迭题培优拔尖练 9 1.（23-24九年级上·河北邢台·期末)若关于x的一元二次方程kx2-3x-=0有实数根，则实数k的取 值范围是( A.k<0 B.k≥-1且k≠0 C.k≥-1 D.k>-1且k≠0 2.(23-24九年级上·河北邢台·期末)若m是方程2x2+3x-1=0的根，则-4m2-6m+2020的值为 A.2020 B.2019 C.2018 D.2017 3.(25-26九年级上·陕西安康·期中)郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营 业额为297.9万元.设平均每月营业额的增长率为x,则下面所列方程正确的是( A.90(1+x)2=297.9 B.90(1-x)2=297.9 C.90(1+2x)=297.9 D.90+90(1+x)+90(1+x)2=297.9 4.(26-27九年级上·全国·课后作业)随着农业科技的发展，某品牌橙子使用现代农业技术和标准化管 理体系进行水果种植，同时也开展优质水果品种繁育、种植技术、精深加工技术和工艺等方面的研究.某 果农在两年前采用旧技术种植橙子，每亩产量为2吨，现在采用新技术种植之后，每亩产量比旧技术多0.5 吨.设每亩产量的年平均增长率为x,根据题意，下列方程正确的是( ）. A.2(1+x2)=2+0.5 B.2(1+x)2=2+0.5 C.2(1+x)=2+0.5 D.2(1+2x)=2+0.5 5.(26-27九年级上·全国·课后作业)甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错 了常数项，因而得到方程的两个根为一4和一5，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为 2和9，则原来的方程是( 第14页共16页 A..x2-9x+18=0 B.x2+9x+18=0 C.x2+5x+18=0 D.x2-9x+14=0 6.(26-27九年级上·全国·课后作业)在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮 球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56 场，则参加小组赛的球队有支 7.(26-27九年级上·全国·单元复习)已知关于x的一元二次方程kx2一6x一1=0没有实数根，请你写 出一个满足条件的亚的值： 8.(25-26八年级下·福建福州·期末)在综合实践活动课上，小磊同学经过思考将宽为acm的矩形卡纸 剪成如图1所示的四块图形，若用这四块图形恰好能够拼成如图2所示的正方形，且正方形的边长比矩形 的宽多1，则该矩形卡纸的宽a= cm. ① ② ② ② ① ① ② 图1 图2 9.(25-26九年级上·四川南充·阶段检测)菱形的两条对角线的长是方程x2一7x+6=0的两根，则菱 形的面积是 10.(25-26九年级上·四川南充·阶段检测)已知m≠n,m2+2012m=2021,n2+2012m=2021, 则mn= 11.(25-26九年级上·陕西安康·阶段检测)随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可 售出30台，每台可盈利50元，经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台.为了增大利 润，商场决定采取适当的降价措施。 (1)商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ (2)该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由. 第15页共16页 12.(25-26九年级上·陕西安康期中)已知关于x的一元二次方程x2-2x+m-1=0有两个实数根x1,x2: (1)求m的取值范围. (2)当x2+x3=6x1x2时，求m的值. 13.(25-26九年级上·陕西安康·期末)解方程： (1)x2-6x+5=0. (2)2x2=3(2x+1). 14.(26-27九年级上·全国·单元复习)关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0. (1)当方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围. (2)若方程有两个实数根x1、x2且满足x12+x22=5,求k的值. 15.(26-27九年级上·全国·课后作业)随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成 为人们喜爱的交通工具.某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新 能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆.某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源 汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价 定为25万元/辆时，平均每周售出8辆，售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售 价，使平均每周的销售利润为96万元. (1)求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)为推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价 第16页共16页null 第1章 一元二次方程『高频易错题型培优讲练』 「易错卡片+21个题型讲练+优选题拔尖练 共57题」 【2026-2027学年苏科版数学新教材•九年级上册•解析版】 同学你好，本套讲义针对2026年苏科版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲义包含精编易错点知识卡片，高频易错题型题型讲练，优选题培优拔尖练等四大部分！题目新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 题型讲练 4 题型一 一元二次方程的定义 4 题型二 化成一元二次方程的一般式 4 题型三 由一元二次方程的定义求参数 5 题型四 由一元二次方程的解求参数 6 题型五 解一元二次方程——直接开平方法 7 题型六 解一元二次方程——配方法 8 题型七 配方法的应用 9 题型八 因式分解法解一元二次方程 10 题型九 公式法解一元二次方程 11 题型十 换元法解一元二次方程 12 题型十一 根据判别式判断一元二次方程根的情况 14 题型十二 根据一元二次方程根的情况求参数 15 题型十三 一元二次方程的根与系数的关系 16 题型十四 传播问题(一元二次方程的应用） 17 题型十五 增长率问题(一元二次方程的应用） 18 题型十六 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 20 题型十七 数字问题(一元二次方程的应用) 21 题型十八 营销问题(一元二次方程的应用) 22 题型十九 动态几何问题(一元二次方程的应用) 24 题型二十 握手、循环赛问题(一元二次方程的应用) 25 题型二十一 其他问题(一元二次方程的应用) 26 优选题拔尖练 28 题型一 一元二次方程的定义 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A、方程含，两个未知数，不符合一元二次方程的定义，故选项不符合题意； B、方程含分式，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，故选项不符合题意； C、当时，方程为，是一元一次方程，不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、整理方程得，符合一元二次方程的定义，故选项符合题意． 【变式训练】（25-26八年级下·安徽合肥·期末）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数为的整式方程是一元二次方程，根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、中未说明，当时方程不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、由整理得，即，该方程满足一元二次方程的全部条件，故该选项符合题意； C、原方程分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，故该选项不符合题意； D、原方程根号内含有未知数，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，故该选项不符合题意． 题型二 化成一元二次方程的一般式 【典例精讲】（25-26九年级上·北京·阶段检测）一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据题意给出的一次项系数列方程求解即可． 【详解】解： 展开右侧得 移项合并同类项得 由题意，该方程一次项系数为，可得 解得． 【变式训练】（25-26九年级上·全国·课后作业）将方程化为一般形式是___________，其中_____， _____，_____，则_____，用求根公式可得______，______． 【答案】 2 8 【分析】根据给出一元二次方程的一般形式，找到其中的， 表达出根的判别式,再结合条件填空即可。 【详解】解：将关于的方程化为一般形式是， 其中则， 用求根公式可得： 故答案为： 题型三 由一元二次方程的定义求参数 【典例精讲】若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】一元二次方程需满足两个条件，x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∴． 【变式训练】（25-26八年级·全国·暑假作业）关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 【答案】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程是一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． 题型四 由一元二次方程的解求参数 【典例精讲】已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A．或2 B． C．2 D．0 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入方程得到关于的方程，求解后再结合一元二次方程的定义排除不符合条件的值，即可得到结果. 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， 解得或， 又原方程是一元二次方程， 二次项系数，即， 而和都满足， 因此的值为或. 【变式训练】（25-26八年级下·山东淄博·期末）若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 【答案】 【分析】根据题意可得，设，可得关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 设， 则方程可化为 ∵关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴， ∴， ∴一元二次方程必有一个实数根为． 题型五 解一元二次方程——直接开平方法 【典例精讲】（25-26九年级下·黑龙江大庆·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ； （2）解：， ， 或， ． 【变式训练】（2026·四川广元·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，代入方程系数计算即可得到的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 根的判别式满足，其中二次项系数，常数项， 代入得，， 整理得，， 解得，． 题型六 解一元二次方程——配方法 【典例精讲】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为___________． 【答案】4 【分析】通过配方法将原方程化为的形式，得到和的值，再代入计算即可. 【详解】解：移项，得， 配方，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， ∴，， ∴. 【变式训练】（25-26九年级上·陕西安康·期中）用适当的方法解下列方程． (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， ． （2）解：， ， ， ， ， ∴， ． 题型七 配方法的应用 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知x可取任何实数，试求二次三项式的值的范围． 解： ∵无论x取何实数，总有， ． 即无论x取何实数，的值总是不小于的实数． 问题：已知x可取任何实数，求二次三项式的最值情况． 【答案】无论取何实数，二次三项式有最大值23 【分析】将配方成，然后结合平方的非负性求解即可． 【详解】解： ， 无论取何实数，总有， ， ． ∴无论取何实数，二次三项式有最大值23． 【变式训练】（25-26八年级下·安徽滁州·期末）把关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则___________． 【答案】 【分析】根据“同构二次方程”的定义，两个方程除完全平方式前的系数不同外其他对应部分相同，由第一个方程可得，因此第二个方程可整理为，通过比较两个方程展开式的对应系数相等建立方程组求解，再计算的值. 【详解】解：∵与是“同构二次方程”， 故方程可化为方程， ， ， ， 解得：， ． 题型八 因式分解法解一元二次方程 【典例精讲】（26-27九年级上·云南昆明·开学考试）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）移项后提取公因式分解因式，转化为一元一次方程求解； （2）将方程左边用十字相乘法分解因式，转化为一元一次方程求解． 【详解】（1）解： 或 解得，． （2） 或 解得，． 【变式训练】（26-27九年级上·全国·单元复习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， 直接开平方，得． 即或， 解得． （2）解：， 移项，得． 因式分解，得， 即， 解得． 题型九 公式法解一元二次方程 【典例精讲】解下列一元二次方程． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：这里． ， ， ，； （2）解：原方程可变形为， 因式分解，得， ，或， ，． 【变式训练】（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）解下列一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据公式法直接求解即可. （2）把原方程等号左边部分进行因式分解，右边的项移到左边，再进一步分解因式求解即可. 【详解】（1）解： ∵ ∴ ∴，. （2）解： 或 ， 题型十 换元法解一元二次方程 【典例精讲】（23-24八年级下·江苏扬州·阶段检测）已知关于x的一元二次方程（都是常数，且）的解为，则方程（都是常数，且）的解为_______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据题意，可得：或，进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（都是常数，且）的解为， ∴方程，即：的解为：或， ∴； 故答案为：． 【变式训练】已知点在反比例函数的图象上，点在x轴正半轴上，且满足，若的面积为，，则的值等于______． 【答案】 【分析】过点作轴于点，根据等腰三角形的性质，得出 ，进而可得，设，勾股定理求得或，进而根据等腰三角形的性质结合坐标系，即可求解． 【详解】解：如图所示，设，过点作轴于点，      ∵，的面积为， ∴ ∴ 设，， ∴ 解得：或 ∴或 则或 ∴或 则或 ∵ ∴， 故答案为：． 题型十一 根据判别式判断一元二次方程根的情况 【典例精讲】（25-26八年级下·江苏南京·期末）已知关于的一元二次方程，下列说法中正确的个数有（     ） ①若，则方程总有实数根；②若，则方程有两个相等的实数根； ③若，则方程无实数根；④若，则方程总有实数根． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】结合已知确定根的判别式的符号，即可作出判断． 【详解】解：∵一元二次方程的根的判别式为， ①当时，， 若，则，此时方程无实数根，故①错误； ②当时，，此时方程有两个相等的实数根，故②正确； ③当时，， ∵， ∴， ∴，此时方程无实数根，故③正确； ④当时，， 此时方程总有实数根，故④正确； 综上所述，正确的个数有个． 【变式训练】（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证该方程总有两个实数根； (2)若该方程的一个根是另一个根的2倍，求的值． 【答案】(1) 证明：∵， ， 该方程总有两个实数根； (2) 的值为或 【分析】（1）通过计算一元二次方程的根的判别式，证明判别式恒大于等于0，即可证明方程总有两个实数根； （2）先对方程因式分解得到两个根，再根据一个根是另一个根的2倍分两种情况列方程求解，即可得到的值. 【详解】（1）略 （2）解： ， 解得，， 方程的一个根是另一个根的倍， 分两种情况讨论： 当时，，解得； 当时，，解得； 综上，的值为或. 题型十二 根据一元二次方程根的情况求参数 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）关于x的方程有实数根，则k的值可以是下列哪个数（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和两种情况讨论，结合方程有实数根的条件确定的取值范围，再对照选项判断． 【详解】解：当时，方程为，解得，故方程有实数根，符合题意； 当时，∵ 方程有实数根， ∴，即，解得且， 综上，的取值范围是，故选项A符合题意． 【变式训练】已知关于的方程． (1)当取什么值时，原方程没有实数根； (2)对选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根． 【答案】(1) (2)时， 【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式得出，根据原方程没有实数根得出，解不等式即可得出答案； （2）根据原方程有两个实数根得出，选取，利用公式法解方程求出两个实数根即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程， ∴判别式， ∵原方程没有实数根， ∴，即， 解得：， ∴当时，原方程没有实数根． （2）解：∵原方程有两个实数根， ∴，即， 解得：， ∴选取满足条件的非零整数（答案不唯一，符合要求即可）， ∴原方程为， ∵，，， ∴， ∴，． 题型十三 一元二次方程的根与系数的关系 【典例精讲】已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是 _____． 【答案】17 【分析】先得出，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两根， ∴， 则原式 ． 【变式训练】若，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A． B．11 C．1 D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，整体代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，，，， ∴，， ∴． 题型十四 传播问题(一元二次方程的应用） 【典例精讲】（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后新增120个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为（     ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每轮传染中平均一个人传染人，根据传染规律得到两轮传染后的总患病人数，结合“新增120人患病”得到总人数的等量关系，列方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染人， ∵初始有1名患者， ∴第一轮传染后，患病人数为， 第二轮传染后，总患病人数为， 又∵经过两轮传染后新增120人患病，总患病人数为， ∴列方程得 ， ∵人数为正数，， ∴， 解得， 故选：A． 【变式训练】（25-26九年级上·北京·阶段检测）有5个人患了流感，经过两轮传染后共有245个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染多少人？ 【答案】 【分析】根据题意列一元二次方程解答即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了人，初始有5个人患流感，第一轮传染后，总患病人数为，第二轮传染后，总患病人数为， 根据题意列方程得：， 解得，（舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染6人． 题型十五 增长率问题(一元二次方程的应用） 【典例精讲】（上册第三章追梦期中达标测试卷）“乒乓球”被称作我国的国球，一直代表着全世界的最高水平．据统计在伦敦世乒赛结束后的两个月内，我市从事乒乓球运动的人数从3.2万人快速增加到了5万人． (1)求我市参加乒乓球运动人数的月均增长率； (2)为支持市民参与乒乓球运动，市政府决定从某公司购买一批乒乓球台．该公司规定：若购买不超过100台，每台售价1600元；若超过100台，每增加10台，售价每台可降低40元，但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种乒乓球台的台数． 【答案】(1) (2)购买的这种乒乓球台的台数为200台 【分析】（1）设该市参加乒乓球运动人数的年均增长率为，利用在世乒赛结束后的两个月参加健身运动的人数在世乒赛结束后的首月参加乒乓球运动的人数该市参加乒乓球运动人数的年均增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设购买台这种乒乓球台，求出购买100台这种乒乓球台所需费用，由该值等于24万元，利用总价单价数量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合每台售价不得少于1000元，即可确定结论． 【详解】（1）解：设我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为x， 由题意得：， 解得（不符合题意，舍去）， 答：我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为； （2）解：（元）元， ∴购买的乒乓球台数超过100台． 设购买的这种乒乓球台的台数为m台， 由题意得：， 解得， 又， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：购买的这种乒乓球台的台数为200台． 【变式训练】（26-27九年级上·全国·课后作业）随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车10月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，12月份的销售量达到4.32万辆．求从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． 【答案】 【分析】本题是“平均增长率”应用题，可利用“复利增长模型”建立方程再求解．已知初始值是10月销售量3万辆，经过2个月后的终值为12月份的销售量4.32万辆，设月平均增长率为x，则列出一元二次方程，再通过解方程即可求出一元二次方程的两个根，最后应注意增长率为正数，应舍去负根． 【详解】解：设从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）； 答：从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为． 题型十六 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·单元复习）为了方便居民收取快递，某小区计划在小区内的空地搭建一个面积为30平方米的快递投放点．如图是快递投放点的设计图，该快递投放点为矩形且一边靠墙；这堵墙长10米，在垂直于墙的两边分别开设“进口”和“出口”两道1.5米宽的门．围建投放点的三边（不含靠墙的一边和两道门）共需高度适当的板材14米．请求出这个快递投放点的边和的长． 【答案】的长为6米，的长为5米 【分析】设的长为x米，则的长为米，根据计划在小区内的空地搭建一个面积为30平方米的快递投放点，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设的长为x米，则的长为米， 根据题意得， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意舍去． 答：的长为6米，的长为5米． 【变式训练】（26-27九年级上·全国·单元复习）在“精准扶贫”工作中，某单位建议贫困户借助家里长的墙建造面积为的矩形区域来养鹌鹑，该单位准备修建长为的篱笆，并提供以下两种方案： (1)如图1，若选取墙的一部分作矩形的边，其他三边用篱笆围成，则在墙上借用的的长度为多少? (2)如图2，若全部借用的长度，并在的延长线上拓展，构成矩形，篱笆由、、和构成，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设的长为，则，由矩形，得，解方程即可； （2）设长为，则，由矩形，得，,由题意，得，解方程即可； 【详解】（1）解：设的长为，则， 由矩形，得， 整理，得， 解得， ， 舍去； ， ． （2）解：设长为，则， 由矩形，得， 由题意，得， 整理，得， 解得， 由长度不能为负数， 故舍去， 故， 故的长为． 题型十七 数字问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）根据小明与的对话，在深度思考后，给出的答案是（     ） 有没有这样的数，先算这个数的平方，再减去这个数的3倍，最后加上4，运算结果是这个数的2倍？ A．1 B．4 C． D．1或4 【答案】D 【分析】设出这个数，再由题目的已知条件建立等式列方程求解即可． 【详解】解：设这个数为， 则，移项可得， 因式分解可得，解得，． 故有这样的数，为1或4． 【变式训练】（25-26八年级下·福建福州·期末）2026年4月5日是我国的传统节日清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，在每年4月4日至6日之间，是祭祀、祭祖和扫墓的节日．清明节源自上古时代的祖先信仰与春祭礼俗，兼具自然与人文两大内涵，既是自然节气点，也是传统节日．清明节与春节、端午节、中秋节并称为中国四大传统节日．在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．（请用方程知识解答） 【答案】9 【分析】设四个数中最小数为，则最大数为，再根据最小数与最大数的乘积为153列一元二次方程求解，最后选择符合实际的解即可． 【详解】解：设四个数中最小数为，则最大数为 由题意得：， 整理得：， ， 即， 解得：（舍）， 答：最小数为9． 题型十八 营销问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）凤翔泥塑是我国一种独特的民间艺术，经过翻拼、封合、缝洗、阴干、钩勒、上彩、上光等十几道工序做成，作品简洁艳丽，夸张传神，表现出浓郁的西府特色．某种泥塑的制作成本为30元/件，泥塑店销售一段时间后发现，当该泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件．若在此基础上每件泥塑的售价每上涨1元，则该泥塑月销售量将减少10件，设该泥塑的售价上涨x元/件．该店为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价上涨多少元/件？ 【答案】该泥塑的售价上涨10元/件 【分析】根据月销售利润达到6000元列出一元二次方程并解方程，再根据题意即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：， 解得，， 又要尽可能让顾客得到实惠， ． 答：该泥塑的售价上涨10元/件． 【变式训练】（26-27九年级上·全国·期末）一商场以20元的进价购进纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨5元，就少卖50个． (1)若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大程度地让利消费者，售价应定为多少钱? (2)因商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 【答案】(1)40元 (2) 【分析】（1）设售价应定为每个元，则每个利润为元，销量为个，利用总利润为8000元，再建立方程解题即可； （2）由（1）得：当售价为每个40元时，销量为400个，设这两周的平均增长率为，再结合增长率的含义建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设售价应定为元，则每个利润为元， 由题意得， 解得：，， ∵更大程度让利消费者， ∴， 答：商场计划一周的利润达到8000元，并且更大程度让利消费者，售价应定为40元； （2）解：由（1）得：当售价为40元时，销量为400个， 设这两周的平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：这两周的平均增长率为． 题型十九 动态几何问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图所示，在中，厘米，厘米，，点P从点A开始沿边向点B以1厘米秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿边向点C以2厘米秒的速度移动（到达点C即停止运动），如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒，的面积等于100平方厘米? 【答案】经过秒或秒，的面积等于100平方厘米 【分析】设运动时间为t秒，根据题意和三角形面积公式进行分类讨论求解即可． 【详解】解：设运动时间为t秒， 当时，依题意，得 解得，（不合题意，舍去）； 当时，依题意，得 解得． ∴经过秒或秒，的面积等于100平方厘米． 【变式训练】（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动． 求： (1)几秒后，的面积等于？ (2)的面积能否等于？说明理由． 【答案】(1)当出发1秒后，的面积等于； (2)解：不能， 理由：假设经过t秒后，的面积等于，即， ∴， 整理得：， 由于， 则方程没有实数根， ∴的面积不能等于． 【分析】（1）设出发t秒时，则，， ，根据， 解方程即可求解； （2）令，根据三角形的面积公式列出方程，再根据得出方程没有实数根，从而得出的面积不能等于． 【详解】（1）解：设出发秒时，则， ，． ∴ 即 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴当出发1秒后，的面积等于； 题型二十 握手、循环赛问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26八年级下·山东潍坊·期末）2026年的世界杯足球赛中，组委会将参赛球队平均分成了个小组，在小组赛中，每支球队都要和组内其他球队进行一场比赛．小莹了解到本届世界杯小组赛共有场，但不知道每个小组有几支球队．若设每个小组有支球队，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算单个小组的比赛场数，再结合小组总数和总比赛场数列出方程即可． 【详解】解：∵每个小组有支球队，每支球队要和组内支球队各进行一场比赛，且甲对乙和乙对甲是同一场比赛， ∴ 一个小组的比赛总场数为， ∵ 一共有个小组，小组赛总场数为场， ∴ 可列方程为． 【变式训练】（2026·西藏拉萨·模拟预测）列方程（组）解应用题 某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛场，求参加此次比赛的球队数． 【答案】参加此次比赛的球队数是9队 【分析】设参加此次比赛的球队数为队，根据球赛问题模型列出一元二次方程即可求解． 【详解】解：设参加此次比赛的球队数为队，根据题意得 ， 化简，得， 解得，（舍去）， 答：参加此次比赛的球队数是9队． 题型二十一 其他问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）某电影院为吸引团体观影，推出如下收费标准： 如果观影人数不超过20人，人均票价为50元； 如果人数超过20人，每增加1人，人均票价降低2元，但人均票价不得低于28元． (1)如果某公司组织25人观影，那么人均需支付电影票 元； (2)现某公司组织员工观影，共支付给电影院电影票费用1008元，请问该公司有多少名员工参加观影？ 【答案】(1) (2) 该公司有名或名员工参加观影 【分析】（1）根据人数超过20人，每增加1人，人均票价降低2元，但人均票价不得低于28元，列式求解即可； （2）设该公司有名员工参加观影，得到人均票价为元，且，再根据共支付给电影院电影票费用1008元列方程求解即可． 【详解】（1）解：人数超过20人，每增加1人，人均票价降低2元，但人均票价不得低于28元， ∴组织25人观影时，元， ∵， ∴人均需支付票价为元； （2）解：观影人数不超过20人，人均票价为50元，则支付总费用为元， ∵， ∴观影人数超过20人， 设该公司有名员工参加观影， ∴ 人均票价为元，且， 解得， ∵共支付给电影院电影票费用1008元， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， ∴该公司有名或名员工参加观影． 【变式训练】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）某机器人研究小组对机器人行走时的步长（米/步）、步频（步/秒）与步行速度（米/秒）进行研究，步长是指机器人单步前进的距离，步频是指单位时间内机器人完成的步数，则机器人的步行速度步长步频，即．在测试模式下，已知步长与步频满足一次函数（）． (1)当步频（步/秒）时，步长为_______（米/步），步行速度为_______（米/秒）． (2)机器人的步行速度能否达到1.8（米/秒）？若能，请求出此时步频的值；若不能，请说明理由． (3)研究小组记录了某两次测试情况：在第一次测试中，机器人以某步频行走了8米；在第二次测试中，机器人的步频比第一次多了1步/秒，并在与第一次相同的时间内行走了9米，求第一次测试中机器人的步频． 【答案】(1)， (2)能，此时步频的值为 (3)第一次测试中机器人的步频为（步/秒） 【分析】（1）利用题干给出的关系，结合已知的与的一次函数关系求解，第一问直接代入计算即可； （2）令列一元二次方程，判断解是否在范围内； （3）设第一次测试中机器人的步频为（步/秒），则第二次步频为（步/秒） ，分别表示行走时间，再由两次行走时间相等建立方程求解． 【详解】（1）解：当步频（步/秒）时，步长（米/步），步行速度（米/秒）； （2）解：由，，可得 令，得方程 整理得 解得 ，符合条件 步行速度能达到（米/秒），此时； （3）解：设第一次测试中机器人的步频为（步/秒），则第二次步频为（步/秒） 第一次步行速度为，行走时间为 第二次步行速度为，行走时间为 由两次行走时间相等，得 整理得 解得， ∵， ∴舍去 ∴第一次测试中机器人的步频为2步/秒． 1．（23-24九年级上·河北邢台·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，结合根的判别式求解k的取值范围． 【详解】解：∵该方程是一元二次方程， ∴， ∵ 方程有实数根， ∴，即， 解得； 综上，且． 2．（23-24九年级上·河北邢台·期末）若是方程的根，则的值为（     ） A．2020 B．2019 C．2018 D．2017 【答案】C 【分析】所求代数式的二次项、一次项系数与方程对应系数成比例，可通过整体代入求值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26九年级上·陕西安康·期中）郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据月平均增长率分别表示2月、3月的营业额，结合三个月总营业额列方程 【详解】解：设平均每月营业额的增长率为x，2月份营业额为万元，3月份营业额为万元， ∵1月、2月、3月总营业额为万元， ∴ 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）随着农业科技的发展，某品牌橙子使用现代农业技术和标准化管理体系进行水果种植，同时也开展优质水果品种繁育、种植技术、精深加工技术和工艺等方面的研究．某果农在两年前采用旧技术种植橙子，每亩产量为吨，现在采用新技术种植之后，每亩产量比旧技术多吨．设每亩产量的年平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两年前每亩产量为吨，年平均增长率为，时间间隔是年，得到两年后产量为吨，继而根据现在每亩产量比旧技术多吨列方程． 【详解】解：设每亩产量的年平均增长率为， ∵两年前每亩产量为吨， ∴一年后产量为吨，两年后产量为吨， ∵现在每亩产量比旧技术多吨，即现在产量为吨， ∴根据题意可列方程． 5．（26-27九年级上·全国·课后作业）甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由甲的错误结果可求出正确的一次项系数，由乙的错误结果可求出正确的常数项，进而确定原方程． 【详解】解：设原一元二次方程为， ∵甲写错常数项，一次项系数正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴， ∵乙写错一次项系数，常数项正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴原方程为． 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有______支． 【答案】8 【分析】设参加小组赛的球队数量为，根据双循环赛制得到总比赛场数的表达式，列方程求解后舍去不符合实际的负根即可． 【详解】解：设参加小组赛的球队有支， ∵赛制为双循环，每两支球队之间进行两场比赛， ∴总比赛场数为， 根据题意，得， 解得，， ∵球队数量为正整数， ∴舍去， ∴， 故参加小组赛的球队有7支． 7．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知关于x的一元二次方程没有实数根，请你写出一个满足条件的k的值：_________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义和方程无实数根的条件，求出k的取值范围，再在范围内取一个符合要求的值即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴． ∵原方程没有实数根， ∴根的判别式． 即， ∴， 解得， 故满足条件的可以为． 8．（25-26八年级下·福建福州·期末）在综合实践活动课上，小磊同学经过思考将宽为的矩形卡纸剪成如图1所示的四块图形，若用这四块图形恰好能够拼成如图2所示的正方形，且正方形的边长比矩形的宽多1，则该矩形卡纸的宽______cm． 【答案】 【分析】根据线段之间的关系，用含a的式子表示出正方形的边长和矩形的长，再根据矩形和正方形的面积相等，列方程，求解检验即可． 本题考查了一元二次方程的实际应用，正确地列出方程是解题的关键． 【详解】解：由图1可得，直角三角形①的较短直角边和梯形②的上底重合，直角三角形①的较长直角边和梯形②的高之和是矩形的长，梯形②的下底是矩形的宽，即在图2中，，， ∴矩形的长为， 根据矩形和正方形的面积相等，得， 整理得， 解得，（舍去）， ∴． 9．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）菱形的两条对角线的长是方程的两根，则菱形的面积是______． 【答案】 3 【分析】利用根与系数的关系得到菱形两条对角线的乘积，结合菱形面积公式计算结果即可． 【详解】解：设方程的两个根为，， 由根与系数的关系得：， ∵菱形的两条对角线的长是该方程的两根， ∴菱形两条对角线的乘积为， ∵菱形的面积等于对角线乘积的， ∴菱形的面积为． 10．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）已知，，，则______． 【答案】 【分析】和是一元二次方程的两个不相等实根，利用根与系数的关系即可求得的值． 【详解】解： 由题意得 ，，且， 可知，是一元二次方程 的两个不相等的实数根， 根据根与系数的关系，得 ． 11．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台．为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施． (1)商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ (2)该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)每台电暖器应降价15元或20元 (2)不能．理由如下： 设每台电暖器降价元．根据题意，得 ， 整理，得． ∵， ∴该方程无实数根． ∴该商场平均每天盈利不能达到2500元． 【分析】（1）设每台电暖器降价元，则每台盈利元，每天可以售出台，利用总利润=每台的利润×销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出x的值； （2）由根的判别式可得出该方程无实数根，进而可得出商场平均每天盈利不能达到2500元． 【详解】（1）解：设每台电暖器降价元．根据题意，得 ， 解得． 答：每台电暖器应降价15元或20元． （2）略 12．（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围． (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据判别式求解即可； （2）利用根与系数的关系可用m表示出已知等式，可求得m的值． 【详解】（1）解：原方程有两个实数根， ，即． 解得． （2）解：且， 即． ， ． 13．（25-26九年级上·陕西安康·期末）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【详解】（1）解：， ，即， ． ，． （2）解：原方程可化为， ，，． 方程有两个不相等的实数根， ． ，． 14．（26-27九年级上·全国·单元复习）关于x的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围． (2)若方程有两个实数根、且满足，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根的判别式的意义得到，解不等式即可得到k的取值范围； （2）根据根与系数的关系得，，利用完全平方公式，由得到，然后解方程后通过k的范围确定k的值． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根、， ∴，， ∴， 解得，． ∵方程有两个实数根， ∴，解得， ∴． 15．（26-27九年级上·全国·课后作业）随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆．某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆，售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为96万元． (1)求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)为推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】(1) (2)万元 【分析】（1）由平均增长率问题的解法，列一元二次方程求解即可； （2）设下调后每辆汽车的售价为万元，由等量关系列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 根据题意，得， 解得，（负值不符合题意，舍去）， 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为； （2）解：设下调后每辆汽车的售价为万元，则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆， 根据题意，得， 解得，， 此次销售尽量让利于顾客， ， 答：下调后每辆汽车的售价为21万元． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 一元二次方程『高频易错题型培优讲练』 「易错卡片+21个题型讲练+优选题拔尖练 共57题」 【2026-2027学年苏科版数学新教材•九年级上册•原卷版】 同学你好，本套讲义针对2026年苏科版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲义包含精编易错点知识卡片，高频易错题型题型讲练，优选题培优拔尖练等四大部分！题目新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 题型讲练 4 题型一 一元二次方程的定义 4 题型二 化成一元二次方程的一般式 4 题型三 由一元二次方程的定义求参数 4 题型四 由一元二次方程的解求参数 4 题型五 解一元二次方程——直接开平方法 4 题型六 解一元二次方程——配方法 5 题型七 配方法的应用 5 题型八 因式分解法解一元二次方程 6 题型九 公式法解一元二次方程 6 题型十 换元法解一元二次方程 7 题型十一 根据判别式判断一元二次方程根的情况 7 题型十二 根据一元二次方程根的情况求参数 7 题型十三 一元二次方程的根与系数的关系 8 题型十四 传播问题(一元二次方程的应用） 8 题型十五 增长率问题(一元二次方程的应用） 8 题型十六 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 9 题型十七 数字问题(一元二次方程的应用) 10 题型十八 营销问题(一元二次方程的应用) 11 题型十九 动态几何问题(一元二次方程的应用) 12 题型二十 握手、循环赛问题(一元二次方程的应用) 13 题型二十一 其他问题(一元二次方程的应用) 13 优选题拔尖练 14 题型一 一元二次方程的定义 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级下·安徽合肥·期末）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 题型二 化成一元二次方程的一般式 【典例精讲】（25-26九年级上·北京·阶段检测）一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练】（25-26九年级上·全国·课后作业）将方程化为一般形式是___________，其中_____， _____，_____，则_____，用求根公式可得______，______． 题型三 由一元二次方程的定义求参数 【典例精讲】若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D．或 【变式训练】（25-26八年级·全国·暑假作业）关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 题型四 由一元二次方程的解求参数 【典例精讲】已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A．或2 B． C．2 D．0 【变式训练】（25-26八年级下·山东淄博·期末）若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 题型五 解一元二次方程——直接开平方法 【典例精讲】（25-26九年级下·黑龙江大庆·期末）解方程： (1)； (2)． 【变式训练】（2026·四川广元·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 题型六 解一元二次方程——配方法 【典例精讲】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为___________． 【变式训练】（25-26九年级上·陕西安康·期中）用适当的方法解下列方程． (1)． (2)． 题型七 配方法的应用 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知x可取任何实数，试求二次三项式的值的范围． 解： ∵无论x取何实数，总有， ． 即无论x取何实数，的值总是不小于的实数． 问题：已知x可取任何实数，求二次三项式的最值情况． 【变式训练】（25-26八年级下·安徽滁州·期末）把关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则___________． 题型八 因式分解法解一元二次方程 【典例精讲】（26-27九年级上·云南昆明·开学考试）解方程： (1) (2) 【变式训练】（26-27九年级上·全国·单元复习）解方程： (1)； (2)． 题型九 公式法解一元二次方程 【典例精讲】解下列一元二次方程． (1) (2) 【变式训练】（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）解下列一元二次方程： (1) (2) 题型十 换元法解一元二次方程 【典例精讲】（23-24八年级下·江苏扬州·阶段检测）已知关于x的一元二次方程（都是常数，且）的解为，则方程（都是常数，且）的解为_______． 【变式训练】已知点在反比例函数的图象上，点在x轴正半轴上，且满足，若的面积为，，则的值等于______． 题型十一 根据判别式判断一元二次方程根的情况 【典例精讲】（25-26八年级下·江苏南京·期末）已知关于的一元二次方程，下列说法中正确的个数有（     ） ①若，则方程总有实数根；②若，则方程有两个相等的实数根； ③若，则方程无实数根；④若，则方程总有实数根． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式训练】（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证该方程总有两个实数根； (2)若该方程的一个根是另一个根的2倍，求的值． 题型十二 根据一元二次方程根的情况求参数 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）关于x的方程有实数根，则k的值可以是下列哪个数（     ） A． B． C． D． 【变式训练】已知关于的方程． (1)当取什么值时，原方程没有实数根； (2)对选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根． 题型十三 一元二次方程的根与系数的关系 【典例精讲】已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是 _____． 【变式训练】若，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A． B．11 C．1 D． 题型十四 传播问题(一元二次方程的应用） 【典例精讲】（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后新增120个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为（     ） A．10 B．11 C．12 D．15 【变式训练】（25-26九年级上·北京·阶段检测）有5个人患了流感，经过两轮传染后共有245个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染多少人？ 题型十五 增长率问题(一元二次方程的应用） 【典例精讲】（上册第三章追梦期中达标测试卷）“乒乓球”被称作我国的国球，一直代表着全世界的最高水平．据统计在伦敦世乒赛结束后的两个月内，我市从事乒乓球运动的人数从3.2万人快速增加到了5万人． (1)求我市参加乒乓球运动人数的月均增长率； (2)为支持市民参与乒乓球运动，市政府决定从某公司购买一批乒乓球台．该公司规定：若购买不超过100台，每台售价1600元；若超过100台，每增加10台，售价每台可降低40元，但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种乒乓球台的台数． 【变式训练】（26-27九年级上·全国·课后作业）随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车10月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，12月份的销售量达到4.32万辆．求从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． 题型十六 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·单元复习）为了方便居民收取快递，某小区计划在小区内的空地搭建一个面积为30平方米的快递投放点．如图是快递投放点的设计图，该快递投放点为矩形且一边靠墙；这堵墙长10米，在垂直于墙的两边分别开设“进口”和“出口”两道1.5米宽的门．围建投放点的三边（不含靠墙的一边和两道门）共需高度适当的板材14米．请求出这个快递投放点的边和的长． 【变式训练】（26-27九年级上·全国·单元复习）在“精准扶贫”工作中，某单位建议贫困户借助家里长的墙建造面积为的矩形区域来养鹌鹑，该单位准备修建长为的篱笆，并提供以下两种方案： (1)如图1，若选取墙的一部分作矩形的边，其他三边用篱笆围成，则在墙上借用的的长度为多少? (2)如图2，若全部借用的长度，并在的延长线上拓展，构成矩形，篱笆由、、和构成，求的长． 题型十七 数字问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）根据小明与的对话，在深度思考后，给出的答案是（     ） 有没有这样的数，先算这个数的平方，再减去这个数的3倍，最后加上4，运算结果是这个数的2倍？ A．1 B．4 C． D．1或4 【变式训练】（25-26八年级下·福建福州·期末）2026年4月5日是我国的传统节日清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，在每年4月4日至6日之间，是祭祀、祭祖和扫墓的节日．清明节源自上古时代的祖先信仰与春祭礼俗，兼具自然与人文两大内涵，既是自然节气点，也是传统节日．清明节与春节、端午节、中秋节并称为中国四大传统节日．在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．（请用方程知识解答） 题型十八 营销问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）凤翔泥塑是我国一种独特的民间艺术，经过翻拼、封合、缝洗、阴干、钩勒、上彩、上光等十几道工序做成，作品简洁艳丽，夸张传神，表现出浓郁的西府特色．某种泥塑的制作成本为30元/件，泥塑店销售一段时间后发现，当该泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件．若在此基础上每件泥塑的售价每上涨1元，则该泥塑月销售量将减少10件，设该泥塑的售价上涨x元/件．该店为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价上涨多少元/件？ 【变式训练】（26-27九年级上·全国·期末）一商场以20元的进价购进纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨5元，就少卖50个． (1)若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大程度地让利消费者，售价应定为多少钱? (2)因商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 题型十九 动态几何问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图所示，在中，厘米，厘米，，点P从点A开始沿边向点B以1厘米秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿边向点C以2厘米秒的速度移动（到达点C即停止运动），如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒，的面积等于100平方厘米? 【变式训练】（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动． 求： (1)几秒后，的面积等于？ (2)的面积能否等于？说明理由． 题型二十 握手、循环赛问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26八年级下·山东潍坊·期末）2026年的世界杯足球赛中，组委会将参赛球队平均分成了个小组，在小组赛中，每支球队都要和组内其他球队进行一场比赛．小莹了解到本届世界杯小组赛共有场，但不知道每个小组有几支球队．若设每个小组有支球队，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式训练】（2026·西藏拉萨·模拟预测）列方程（组）解应用题 某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛场，求参加此次比赛的球队数． 题型二十一 其他问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）某电影院为吸引团体观影，推出如下收费标准： 如果观影人数不超过20人，人均票价为50元； 如果人数超过20人，每增加1人，人均票价降低2元，但人均票价不得低于28元． (1)如果某公司组织25人观影，那么人均需支付电影票 元； (2)现某公司组织员工观影，共支付给电影院电影票费用1008元，请问该公司有多少名员工参加观影？ 【变式训练】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）某机器人研究小组对机器人行走时的步长（米/步）、步频（步/秒）与步行速度（米/秒）进行研究，步长是指机器人单步前进的距离，步频是指单位时间内机器人完成的步数，则机器人的步行速度步长步频，即．在测试模式下，已知步长与步频满足一次函数（）． (1)当步频（步/秒）时，步长为_______（米/步），步行速度为_______（米/秒）． (2)机器人的步行速度能否达到1.8（米/秒）？若能，请求出此时步频的值；若不能，请说明理由． (3)研究小组记录了某两次测试情况：在第一次测试中，机器人以某步频行走了8米；在第二次测试中，机器人的步频比第一次多了1步/秒，并在与第一次相同的时间内行走了9米，求第一次测试中机器人的步频． 1．（23-24九年级上·河北邢台·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 2．（23-24九年级上·河北邢台·期末）若是方程的根，则的值为（     ） A．2020 B．2019 C．2018 D．2017 3．（25-26九年级上·陕西安康·期中）郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）随着农业科技的发展，某品牌橙子使用现代农业技术和标准化管理体系进行水果种植，同时也开展优质水果品种繁育、种植技术、精深加工技术和工艺等方面的研究．某果农在两年前采用旧技术种植橙子，每亩产量为吨，现在采用新技术种植之后，每亩产量比旧技术多吨．设每亩产量的年平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（     ）． A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·全国·课后作业）甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是（     ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有______支． 7．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知关于x的一元二次方程没有实数根，请你写出一个满足条件的k的值：_________． 8．（25-26八年级下·福建福州·期末）在综合实践活动课上，小磊同学经过思考将宽为的矩形卡纸剪成如图1所示的四块图形，若用这四块图形恰好能够拼成如图2所示的正方形，且正方形的边长比矩形的宽多1，则该矩形卡纸的宽______cm． 9．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）菱形的两条对角线的长是方程的两根，则菱形的面积是______． 10．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）已知，，，则______． 11．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台．为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施． (1)商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ (2)该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 12．（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围． (2)当时，求的值． 13．（25-26九年级上·陕西安康·期末）解方程： (1)． (2)． 14．（26-27九年级上·全国·单元复习）关于x的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围． (2)若方程有两个实数根、且满足，求k的值． 15．（26-27九年级上·全国·课后作业）随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆．某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆，售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为96万元． (1)求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)为推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $null