1.3矩形的性质与判定 习题2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦矩形性质与判定，通过定理应用、折叠计算、综合证明构建“性质-判定-拓展”逻辑链，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用|单选1/5/7、填空11/12|直角三角形斜边中线性质、矩形对角线性质|从矩形定义出发，关联平行四边形性质，突出“直角”“对角线相等”特性| |判定应用|单选2/3、解答20(1)/21(1)|对角线相等的平行四边形判定、直角平行四边形判定|以平行四边形为基础，通过边/角/对角线条件实现矩形判定| |综合计算|单选6/8/9/10、填空13/14/15|折叠性质+勾股定理、坐标几何法、方程思想|结合折叠变换、坐标运算，体现性质在动态与数形结合中的应用| |证明与探究|解答17/19/23/25|全等证明、折叠构造、性质迁移|从基础证明到综合探究，衔接菱形、直角三角形知识，培养逻辑推理与创新意识|

1.3矩形的性质与判定 习题2026-2027学年北师大版数学九上 一、单选题 1．如图，，矩形的顶点B在直线m上，则等于（     ） A． B． C． D．无法计算 2．如图，小明能用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线长就可以判断了，他的依据是（     ） A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．有三个角是直角的四边形是矩形 3．如图，四边形是平行四边形，添加下列一个条件，使它为矩形，则添加的条件可以是（     ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，点是的中点，点在上运动，当时，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 5．课堂实践活动中，一名学生用刻度尺（单位：）测量自制直角三角形手工纸片．如图所示，已知，D为斜边的中点，点A，B对应的刻度分别为2和8，则的长为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在矩形中，，，折叠该矩形，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在矩形中，对角线、相交于点．若，，则长是（     ） A．2 B．3 C． D．4 8．如图，在矩形中，按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点，若，，则该矩形的周长（     ） A．32 B．24 C．48 D．50 9．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点C，A分别在轴，轴上，，．折叠矩形，使与重合，是折痕；展开后，在上取一点，将沿折叠，使点的对应点恰好落在折痕上，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 10．如图，已知矩形，，分别是边，的中点，，分别是边，上两点，将沿对折，使点落在点上．若，，且是的中点，则的值（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是______________． 12．如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，，则的长为________． 13．如图，在矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，且，则矩形纸片的周长为______________． 14．如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为和，则的长为________． 15．如图，四边形是矩形，点是边延长线上的一点，连接交于点，点是的中点，连接，．已知，，，则的长度为___________． 三、解答题 16．如图，将一张矩形纸片沿着虚线剪成两张全等的直角梯形纸片．根据图中标出的数据，求剪成的直角梯形纸片的上底和下底的长度． 17．已知：如图，E为矩形的边的中点，连接，，求证：是等腰三角形． 18．如图，在矩形中，，，P为上一点，过点P作，，垂足分别为E，F，求的值． 19．如果你身旁没有量角器和三角尺，又需要作的角，可以采用下面的方法（如图所示）： （1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． （2）再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕．同时得到线段，把纸片展平． 由此得到，和都是，请你写出证明过程． 20．如图，在菱形中，对角线与相交于点O．过点C作，过点D作，与相交于点E，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 21．已知四边形为菱形，于点H，延长至点E，使得，连接，交于点O，连接； (1)求证：四边形为矩形； (2)已知菱形的周长20，菱形的面积为24，试求线段的长； 22．如图，平行四边形的对角线，相交于点O，平分，，．若，，求的长． 23．如图，在矩形中，点，在上，，，的延长线相交于点． (1)求证：； (2)求证：是等腰三角形． 24．【课本重现】 你能用折纸、作图等方法得到一个菱形吗？动手试一试！ 小颖、小明和小刚三位同学分别做了以下操作： 【操作1】小颖同学按以下方式进行操作，如图1： 【操作2】小明同学按以下方式进行操作：如图2，在矩形的纸片上，利用无刻度直尺和圆规作对角线的垂直平分线分别交、于、两点，再连接，． 【操作3】小刚同学按以下方式进行操作：将两张相同的矩形纸片叠放在一起，可以重叠出菱形．当按如图3的方式将两个矩形的两个对角顶点重合进行叠放，得到的菱形边长最大． (1)请写出小颖这样操作的理论依据（提示：文字语言表述，说明理由即可）； (2)请按照操作2用尺规画出图形（保留作图痕迹，标明字母，不用写作法），并证明四边形是菱形； (3)已知如图3的矩形卡片中，，则此时菱形的边长为 ． 25．综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为，点为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证明； 独立思考： (1)请解答老师提出的问题； 实践探究： (2)勤学小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如图②，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断四边形的形状，并加以证明； 问题解决： (3)善思小组突发奇想，将矩形沿着（为的中点）所在直线折叠，如图③，点的对应点为，连接．该小组提出一个问题：若，，求四边形的面积．请你思考此问题，并直接写出结果． 26．我们定义，有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． (1)已知：如图1，四边形的顶点A，B，C在网格格点上，请你在如下的的网格中画出3个等邻边四边形，要求顶点D在网格格点上； (2)如图2，矩形中，，，点E在边上，连接作于F，，找出图中的等邻边四边形并说明理由； (3)如图3，在中，，，，D是的中点，点M是边上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，求的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026年9月4日初中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C A A D B C B C 1．B 【分析】过点C作，设与l交于点F，根据平行线的性质求出，然后由矩形得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：如图，过点C作，设与l交于点F， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．C 【分析】根据矩形的判定定理求解即可． 【详解】解：检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线长就可以判断了，依据是对角线相等的平行四边形是矩形， 3．C 【分析】根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，然后逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形， ∴A项不符合题意， ∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形， ∴B项不符合题意， ∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形， ∴C项符合题意， ∵，无法判定平行四边形是矩形， ∴D项不符合题意． 4．A 【分析】由点是的中点，可得出点的坐标，当，由等腰三角形的性质即可得出点的坐标． 【详解】解：过点作于点， ∵矩形的顶点，的坐标分别为，点是的中点， ∴点，点的纵坐标为， ∵，， ∴， 即点， ∴点． 5．A 【分析】根据直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，据此作答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵为的中点，， ． 6．D 【分析】由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程求出，根据折叠的性质和矩形的性质得出即到的距离为，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，则， ∵矩形， ∴，与的距离为，即到的距离为， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， . 7．B 【分析】先证明是等边三角形，得出，，再根据勾股定理求出结论即可． 【详解】解：在矩形中，， ， ， 是等边三角形， ， ， 在中，． 8．C 【分析】连接，求出，根据勾股定理求出，即可求出结论． 【详解】解：连接， 由作图知，垂直平分， ， 在矩形中，， ， ， ， 则该矩形的周长． 9．B 【分析】根据第一次折叠确定的位置及点纵坐标，根据第二次折叠性质得出，在中利用勾股定理求出长，进而确定 点横坐标． 【详解】解：∵ 折叠矩形使与重合，是折痕， ∴ 垂直平分，，为 中点， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ， ∴，， 点纵坐标为 ； ∵ 将沿折叠，点的对应点落在折痕上， ∴， 在 中， ， ∵ 点 在点左侧 ， ∴ 点横坐标为 ， ∴ 点的坐标为 ． 10．C 【分析】由题意可证四边形是矩形，可得，，由折叠性质可得，由勾股定理可求解． 【详解】解：四边形是矩形 ，，， ，分别是边，的中点，是的中点， ，， ， ，，， 四边形是矩形， ，， 将沿对折，使点落在点上 ， 在中，， ， （负值已舍去） ． 11． 对角线相等，或四个角都是直角 【分析】对比矩形与一般平行四边形的性质，找出矩形特有的性质即可． 【详解】解：平行四边形的性质是：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分． 矩形是特殊的平行四边形，它具备一般平行四边形的所有性质，同时还拥有一般平行四边形不具备的性质：四个角都是直角，或对角线相等． 因此符合要求的性质是对角线相等，或四个角都是直角． 12．5 【分析】根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：，，， ． 13． 【分析】通过翻折角相等可知利用勾股定理可求出，再设长为在中用勾股定理求出，再利用勾股定理求出即可得出周长． 【详解】解：由于翻折，得 ，， 在中， 设长为，则 在中， 即 解得 即 14． 【分析】根据矩形的对角线相等可得，利用刻度尺上、两点的读数差求出的长，即可得出的长． 【详解】解：四边形是矩形， ， 顶点，对应的刻度分别为和， ， ． 15． 【分析】利用矩形的性质与勾股定理可得，设，则，由可得，利用直角三角形的性质可得，从而得到，因此，进而求出的长． 【详解】解：设， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， 在中，， 在中，点是的中点， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 16．直角梯形的上底，下底 【分析】根据直角三角形的性质和勾股定理先求出的长，再根据矩形的长为18，且直角梯形全等，即可求出梯形的上下底长． 【详解】解：如下图，过点D作， 由题意可知：， 在中，， ， 设，则， ， ， ， 矩形的长为18，且直角梯形全等， 直角梯形的上底，下底． 17．证明：∵四边形为矩形， ∴， ∵E为矩形的边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】根据矩形的性质得到，证明，得到，则可证明是等腰三角形． 【详解】略 18． 【分析】根据矩形的性质可得，，由勾股定理可得的长，则可得到的长，根据，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴ 如图所示，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴． 19．证明：如图，连接，由折叠与矩形的性质，得，垂直平分， ， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 由折叠的性质，得， ∵， ∴， ∴均为． 【分析】首先，连接，由折叠与矩形的性质，得，垂直平分， ，再证得为等边三角形，得，再由折叠的性质，得，最后，由，可证得结论． 【详解】略 20．(1)证明：∵四边形是菱形， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形； (2) 【分析】（1）先由菱形的性质得到，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，即可证明其为矩形； （2）先根据菱形的性质，结合直角三角形的性质求解，再由矩形的性质求出，最后由勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． 21．(1)证明：∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，   ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为矩形． (2) 【分析】（1）利用菱形的性质得出，再由，利用线段和差关系求出，从而得到，继而证明四边形为平行四边形，再由即可证得结论； （2）由菱形的周长求出其边长，再利用其面积，通过菱形的面积公式得出的长度，利用勾股定理求出的长度，最后通过线段和差关系即可求出结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形为菱形，周长为20， ∴， ∵菱形的面积为24， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 22． 【分析】先证明，结合平行四边形的性质证明，可得，得出平行四边形是菱形，再利用菱形的性质得出，，四边形是矩形，从而得出答案． 【详解】解：平分， ． ∵四边形是平行四边形， ∴， ， ， ， ∴平行四边形是菱形， ，，， ，， ，， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形， ． 23．(1)证明：四边形是矩形， ，， 在和中， ，，， ； (2)证明：由（1）知，， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ∴， 是等腰三角形． 【分析】（1）由矩形的性质，可证得和对应的边角边相等，即可得证； （2）由可证得对应角相等，再根据等角的余角相等，即可证得结论． 【详解】（1）略 （2）略 24．(1)小颖的操作中，虚线为四边形的边，而四边形的边为重合的同一虚线，即四边形的四条边相等，故沿虚线剪下的四边形是菱形 (2)， 证明：设交于点， 是的垂直平分线， ， ， ，， 在和中， ， ， 是的中垂线， ，， ， 四边形是菱形； (3) 【分析】（1）两次对折后剪下的三角形展开后得到的四边形四条边完全相等，利用四条边相等的四边形为菱形判定所得图形是菱形； （2）尺规作图：分别以点，点为圆心，取大于的长度为半径画弧，两弧交于两点，连接这两点分别交、于、两点，则为所求的的垂直平分线，再连接，即可；由垂直平分线得到，利用矩形证，得到；再根据垂直平分线上的点到线段两端距离相等，得到，，推出四条边相等，从而可证明四边形为菱形； （3）先利用证明，从而得到线段等量关系，设菱形边长为，在直角三角形中，利用勾股定理列出方程，求解即可得到菱形边长． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，设点的对应点为点，交于点， 在和中， ， ， ，， 设，则， 在中，， ， 化简得，解得， ， 此时菱形的边长为． 25．(1)，证明如下： 如图，延长，相交于点， 四边形是平行四边形， ， ，． 为的中点， ， ， ，即为的中点， 又， ∴在中，； (2)四边形为平行四边形，证明如下：如图， 由折叠可知，． 为的中点， ， ， ． ， ， ， ． 四边形为平行四边形， ， 四边形为平行四边形； (3) 【分析】（1）延长，相交于点，证明，得到，然后利用直角三角形的性质证明即可； （2）由折叠的性质得到，，然后推出，得到，进而证明即可； （3）连接，首先求出，然后利用等面积法求出，利用勾股定理求出，然后利用四边形的面积求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，连接， ∵四边形是矩形 ∴， ∵为的中点 ∴ ∴ 由折叠得，，即 ∴ ∴ ∴ 由折叠得，，， ∴ 由（2）得， ∴ ∴ ∴四边形的面积 ． 26．(1)解：3个不同形状的等邻边四边形如图所示． (2)解：四边形和四边形都是等邻边四边形． 理由如下： ∵四边形是矩形， ，，， ， 由勾股定理得，， ， ， ∴四边形和四边形都是等邻边四边形． (3)4或6或 【分析】（1）因为“等邻边四边形”要求有一组邻边相等的凸四边形，所以先确定的长度，再分别令等邻边相等情况，结合网格格点坐标特征确定D点位置，保证四边形为凸四边形． （2）先根据矩形性质得到，结合，用勾股定理求出长度，得到长度．再利用的相等关系，判断是否为等邻边四边形． （3）先根据的角度和边长条件，求出的长度，再得到的长度．因为等邻边四边形是，所以分三种邻边相等的情况讨论：，结合点M在上的条件，对符合的情况用含的直角三角形，勾股定理，线段的和差关系求出长度． 【详解】（1）略． （2）略． （3）解：分三种情况讨论： ①∵在中，，，， ∴， ∵点M是边上一点，四边形是“等邻边四边形”， ∴当时，； ②∵，D是的中点， ， 当时，如图3，作于H， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ； ③当时，如图4，作于H， 设， 由②得，， 则， 在中，， 即， 解得，即， ； 综上所述，的长为4或6或． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $