22.4 相似三角形的性质（第2课时 周长比、面积比与相似比的关系）（教学课件）数学新教材沪科版九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方，通过地图比例尺问题导入，连接相似比概念，以具体实例和严格证明构建学习支架，引导学生从猜想走向理解。 其亮点在于用实际情境培养数学眼光，通过严谨证明发展推理思维，结合实例应用强化数学语言表达。采用问题驱动和分层练习，小结明确性质与思想方法，帮助学生提升抽象能力和应用意识，为教师提供完整教学资源。

学 习 目 标 1 2 3 能掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方的证明方法。 理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 掌握相似三角形的周长比、面积比在实际中的应用。 22.3相似三角形判定 第二课时 两角相等判定三角形相似 第二十二章 相似三角形 沪科版（新教材）·九年级上册 导入新课 如图,在比例尺为1∶500的地图上,测得一个三角形地块的周长为12 cm,面积为6 cm2,求这个地块的实际周长及面积. 问题1　在这个情境中,地图上的三角形地块与实际地块是什么关系? 1∶500表示什么含义? 问题2　要解决这个问题,需要什么知识? 问题3　你能对这个地块的实际周长与面积作出估计吗? 问题4　如何判断你的猜想是否正确呢? 两个图形相似.1∶500表示相似比. 两个全等三角形的周长、面积相等,那么两个相似三角形的周长、面积分别有怎样的关系呢? 3 导入新课 【尝试·思考】 如果△ABC∽△A'B'C',相似比为2,那么△ABC与△A'B'C'的周长比是多少?面积比呢? 如果△ABC∽△A'B'C',相似比为k,那么你能求△ABC与△A'B'C'的周长和面积比吗? 解:∵△ABC∽△A'B'C',相似比为2, ∴===2, ∴=2， 即△ABC与△A'B'C'的周长比是2. 4 新知探究 如图，∆ABC∽∆A′B′C′，若 ，则 值为多少？ 解：∵∆ABC∽∆A′B′C′ ∴===k, 即△ABC与△A'B'C'的周长比是k. ∴=k， 新知探究 问题：我们知道，如果两个三角形相似，它们周长的比等于相似比.那么它们面积之比之间有什么关系？也等于相似比吗？ A B C A1 B1 C1 新知探究 问题：图中 (1)(2)(3) 分别是边长为 1，2，3 的等边三角形，回答以下问题： 1 2 3 （1） （2） （3） 1 : 2 1 : 4 1 : 3 结论： 相似三角形的面积比等于____________． 相似比的平方 新知探究 A B C D A′ B′ C′ D′ 想一想：怎么证明这一结论呢？ 证明：设 △ABC∽△A′B′C′，相似比为 k， 如图，分别作出△ABC和△A′B′C′的高 AD 和A′D′. ∵△ABD 和 △A′B′D′ 都是直角三角形，且∠B =∠B′， ∴△ABD∽△A′B′D′. ∵△ABC∽△A′B′C′. 新知探究 相似三角形的面积比等于相似比的平方. 相似三角形周长的比等于相似比. A B C A1 B1 C1 新知探究 例1.如图，△ABC 的面积为 25，直线DE//BC，如果 △ADE 的面积为 9，求 的值. ∴△ADE ∽△ABC. 解： ∵DE//BC， A B C D E 课堂训练 5.已知一个三角形的三边长分别是1，2，3，与其相似的三角形的最大边长为3，求较大三角形的周长. 解:∵边长分别是1，2，3的三角形的最大边为3，小于另一 三角形的最大边3， ∴这个三角形的周长等于1＋2＋3＝4＋2， ∴它与另一三角形的相似比＝3∶3＝1∶， 它与另一三角形的周长的比也为1∶， ∴另一三角形的周长＝(4＋2)×＝4＋4. 新知探究 例2 如图，D，E 分别是 AC，AB 上的点，已知 △ABC 的面积为 100 cm2，且 ，求四边形 BCDE 的面积. 　 B C A D E ∴ △ADE ∽△ABC. ∵ 它们的相似比为 3 : 5，∴ 面积比为 9 : 25. 解：∵ ∠BAC = ∠DAE，且 又∵ △ABC 的面积为 100 cm2， ∴ △ADE 的面积为 36 cm2 . ∴ 四边形 BCDE 的面积为 100－36 = 64 (cm2). 课堂训练 1. 判断： (1) 一个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍，这个 三角形的周长也扩大为原来的 5 倍 ( ) (2) 一个四边形的各边长扩大为原来的 9 倍，这个 四边形的面积也扩大为原来的 9 倍 ( ) √ × 课堂训练 2.若△AB C∽△AB'C，且面积比为4∶9，则其对应边上的高的比为 (　C　) A. B. C. D. 3.已知△ABC的三边分别是5，6，7，与它相似△A'B'C'的最短边为10，则△A'B'C'的周长是　36　.  C 36　 课堂训练 4.如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝2 m，CD＝5 m，点P到CD的距离是3 m，则P到AB的距离是 (　C　) A. m B. m C. m D. m C 新知巩固 1.如果两个相似三角形的面积之比为9∶4，那么这两个三角形的周长之比为 (　D　) A.81∶16 B.27∶12 D C.9∶4 D.3∶2 2. 连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积 比等于_____. 1 : 2 1 : 4 新知巩固 3.△ABC与△A1B1C1是相似三角形，且＝2，S△ABC＝9，则＝　36　.  36　 4.已知△ABC∽△DEF，且相似比为2∶3，则下列说法中正确的结论是　①④　.  ①对应中线之比为2∶3；②对应角平分线之比为3∶2；③△ABC与△DEF的周长之比为4∶9；④△ABC与△DEF的面 积之比为4∶9. ①④　 新知巩固 5.如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测量“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，边DE与点B在同一直线上，已知直角三角形纸板中DE＝16 cm，EF＝12 cm，测得眼睛D离地面的高度为1.8米，他与“步云阁”的水平距距离CD为104 m，则“步云阁”的高度AB是 (　C　) A.75.5 m B.77.1 m C.79.8 m D.82.5 m C 新知巩固 6.如图，在平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE＝CD. (1)求证:△ABF∽△CEB； (2)若△DEF的面积为2，求平行四边形ABCD的面积. 解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，AB∥CD， ∴∠ABF＝∠CEB， ∴△ABF∽△CEB. 新知巩固 (2)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB平行且等于CD， ∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF. ∵DE＝CD， 新知巩固 ∴＝2＝，＝2＝. ∵S△DEF＝2， ∴S△CEB＝18，S△ABF＝8. ∵S四边形BCDF＝S△BCE－S△DEF＝16， ∴S四边形ABCD＝S四边形BCDF＋S△ABF＝16＋8＝24. 新知巩固 7. 如图，这是圆桌正上方的灯泡 (点 A) 发出的光线照 射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为 1.2 米，桌面距离地面为 1 米，若灯泡距离地面 3 米，则地面上阴影部分的面积约为多少 (结果保留两位小数)？ A D E F C B H 解：∵ FH = 1 米，AH = 3 米， 桌面的直径为 1.2 米， ∴ AF = AH－FH = 2 (米). DF = 1.2÷2 = 0.6 (米). ∵DF∥CH，∴△ADF ∽△ACH. 新知巩固 A D E F C B H ∴ 即 解得 CH = 0.9 (米). ∴ 阴影部分的面积为： (平方米). 答：地面上阴影部分的面积为 2.54 平方米. 新知巩固 8. 如图，△ABC 中，DE∥BC，DE 分别交 AB、AC 于点 D、E，S△ADE＝2S△DCE，求 S△ADE : S△ABC. 解：过点 D 作 AC 的垂线，交点为 F，则 ∴ 又∵ DE∥BC，∴ △ADE ∽△ABC. A B C D E F ∴ 即 S△ADE : S△ABC＝4 : 9. 课堂小结 相似三角形的性质2 相似三角形周长之比等于相似比 相似三角形面积之比等于相似比的平方 思想方法 课堂小结 （1）分类讨论思想； （2）建模思想：将有理数加法转化为实际问题数学模型； （3）化归思想； 谢谢聆听 $