22.3 相似三角形判定（第5课时 直角三角形相似判定）（教学课件）数学新教材沪科版九年级上册

该初中数学课件聚焦直角三角形相似判定，通过回顾相似三角形的三个判定定理，结合等腰、等边三角形是否相似的问题链，类比全等三角形HL定理，构建从一般到特殊的知识支架。 其亮点在于运用类比思想和问题驱动，通过设k法结合勾股定理证明定理，培养学生推理能力，符号语言规范表述体现数学语言。分层训练巩固知识，帮助学生发展推理意识与抽象能力，教师可高效开展教学。

22.3相似三角形判定 第五课时 直角三角形相似判定 第二十二章 相似三角形 沪科版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 了解直角三角形相似定理的证明方法并会应用。 类比证明两个直角三角形全等的方法，继续渗透和培养学生对类比思想的认识和理解。 培养学生类比的意识，了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点律。 导入新课 能否说出我们前面学过的相似三角形的3个判定定理？ 定理1：两角分别相等的两个三角形相似． 定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 定理3：三边成比例的两个三角形相似． A B C A' C' B' A B C A' C' B' AA SAS SSS 3 导入新课 两个等腰三角形一定相似吗？ 40° 120° 40° 40° 相似 依据：“AA” 不相似 不一定相似 4 导入新课 两个等边三角形一定相似吗？ 相似 依据：“AA” 一定相似 5 导入新课 两个直角三角形一定相似吗？ 不一定相似 相似 依据：“AA” 不相似 30° 30° 30° 45° 判定两个直角三角形全等有“HL”的特殊方法，那么判定两个直角三角形相似是否也有特殊的方法呢？ 6 新知探究 类比 全等三角形是相似三角形的特例. HL定理 ， 特殊到一般 ∴ A' B' C' A B C 全等三角形 相似三角形 B' C' A' A B C 新知探究 猜想：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°， . 求证：Rt△ABC∽Rt△A'B'C'． 已知： B' C' A' A B C 新知探究 分析 如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°， . 求证：Rt△ABC∽Rt△A'B'C'． 已知： B' C' A' A B C 要证Rt△ABC∽Rt△A'B'C'， 可设法证明 ， ，只需证 . 若设 新知探究 如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°， . 求证：Rt△ABC∽Rt△A'B'C'． 已知： 　　 证明：设 ，则AB=kA'B'，AC=kA'C'． 你还有其它的证明方法吗？ 设k法 ∵ ∴ , ∴Rt △ABC∽Rt △A′B′C′. 新知探究 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 符号语言 ： 在Rt△ABC 和Rt 中， ∴ . △ABC∽ ∵ ∠C=∠C'=90°， ， B' C' A' A B C 注意：判定两个直角三角形相似，除了可用上述特殊的判定方法外，还可用一般三角形相似的判定定理. 例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝5.在 Rt△A′B′C′ 中，∠A′C′B′＝90°，A′C′＝6，A′B′＝10.求证：△ABC∽△B′C′A′. 证明：在 Rt△ABC 中， 又∵∠ABC＝∠A′C′B′＝90°， ∴Rt△ABC∽Rt△B′C′A′. 新知探究 例2.如图，在△ABC中∠ABC＝90°，BC＝a，AC＝b. (1)以BC为斜边，向外作一个直角三角形，使它与Rt△ABC相似； (2)把上面作出的三角形的直角顶点记作D，求BD的长. 新知探究 解：(1)如图，以BC为一边，向外作∠BCD＝∠A，∠CBD＝∠ACB， CD与BD交于点D，得△CDB.由两角分别相等可知Rt△CDB∽Rt△ABC. 在作两个角时，位置互换，即作∠CBD'＝∠A，∠BCD'＝∠ACB，BD'与CD'交于点D'，得△BD'C. 由两角分别相等可知： Rt△BD'C∽Rt△ABC. 新知探究 新知探究 (2)由Rt△CDB∽Rt△ABC，可得 ， 由Rt△BD'C∽Rt△ABC，可得 . . 因此，所求BD的长为 课堂训练 1.在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90°，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似. (1) ∠A=35°，∠B′=55°： ； (2) AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8： ； (3) AB=10，AC=8，A′B′=25，B′C′=15： . 相似 相似 相似 2.已知两个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别为1,4和3,12，则这两个直角三角形(　　) A.一定相似 B.一定不相似 C.不一定相似 D.以上都不对 A 课堂训练 3.如图，∠ACB＝∠ADC＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c， 要使△ABC∽△CAD，则CD的长度为 (　　) A.B. C.D. C 新知巩固 1.下列说法不正确的是( ) A.有一组角对应相等的两个直角三角形相似 B.两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 C.有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似 D.一条直角边和一条斜边对应成比例的两个直角三角形相似 A 新知巩固 2.如图,已知在△ABC与△DAE中,∠C＝∠AED＝90°,点E在AB上,那么添加下列一个条件后,仍然不能判定△ABC与△DAE相似的是( ) A.∠CAB＝∠D B. C.AD∥BC D. D 新知巩固 3．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，有下列条件：①∠A＝∠BCD；②∠A＋∠BCD＝∠ADC；③ ； ④BC2＝BD·BA，其中能判断△ABC是直角三角形的有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 D 新知巩固 4.如图,在△ABC中,CD为AB边上的高,AC·CD＝BC·AD, 求证:∠ACB＝90°. 证明:∵CD是AB边上的高, ∴∠ADC＝∠CDB＝90°. ∵AC·CD＝BC·AD,∴, ∴△ACD∽△CBD,∴∠A＝∠BCD. ∵∠A＋∠ACD＝90°, ∴∠BCD＋∠ACD＝90°,即∠ACB＝90°. 新知巩固 5. 如图，锐角三角形ABC的边AC，AB上的高线BD，CE交于点O，连接ED，求证：△BOC∽△EOD. 证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BEO＝∠ODC＝90°. ∵∠BOE＝∠COD，∴△BOE∽△COD. ∴ ＝ ，即 ＝ . 又∵∠DOE＝∠BOC，∴△BOC∽△EOD. 追问：本题图中共有 对相似三角形. 8　 新知巩固 6.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,E是BC上的一点,AE交CD于点F,AE·AD＝AF·AC.求证: (1)AE是∠BAC的平分线; 证明:∵在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,∴∠ACE＝∠ADF＝90°. 又∵AE·AD＝AF·AC,∴, ∴△AEC∽△AFD,∴∠CAE＝∠BAE, 即AE是∠BAC的平分线. 新知巩固 (2)AB·AF＝AC·AE. 证明:∵∠ACD＋∠CAB＝90°, ∴AB·AF＝AC·AE. ∴△ACF∽△ABE,∴, 又由(1)知∠CAF＝∠BAE, ∠B＋∠CAB＝90°, ∴∠ACD＝∠B. 课堂小结 直角三角形相似的特殊判定方法： 符号语言： 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 在RT△ABC 和RT 中， ∴ . △ABC∽ ∵ ∠C=∠C'=90°， ， B' C' A' A B C 判定两个直角三角形相似 思想方法 课堂小结 （1）类比思想； （2）从一般到特殊的思想； （3）分类讨论； 谢谢聆听 ＝ $