25.3 实际问题与一元二次方程 同步练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 分层明晰，梯度合理，以“基础巩固—中档提升—综合应用”为路径，覆盖几何图形、传播与变化率、循环问题，培养抽象能力、模型意识与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础题|单一知识点直接应用（如直角三角形边长、传播人数计算）|填空、选择为主，强化概念理解，培养抽象能力| |中档题|多知识点结合（如小路宽度方程判断、增长率应用）|解答题为主，需分析情境列方程，发展推理意识| |综合题|跨知识点综合（如动态几何、利润与增长率结合）|含探究性问题，需建立模型解决，提升创新意识|

25.3实际问题与一元二次方程 第1课时 几何图形问题 基础题 知识点1 几何图形问题 1.若直角三角形的三边长是连续偶数，则三边长分别是 . 2.一个直角三角形的两条直角边的长相差3，面积是9，则较长的直角边的长为 . 3.用一条长 56 cm的绳子围成一个矩形区域. (1)若围成的矩形面积为 180 cm²，求该矩形的长和宽. (2)能围成一个面积为 200 cm² 的矩形吗?若能，求出它的长和宽；若不能，请说明理由. 知识点2 边框与甬道问题 4.如图,在长为100m,宽为 80 m 的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为 7 644 m²，则道路的宽应为多少米?设道路的宽为 xm，则可列方程为( ) A.100×80-100x-80x=7 644 C.(100-x)(80-x)=7 644 5.如图，有一幅长20cm，宽16 cm的矩形照片，现要为这幅照片配一个相框，要求相框的四条边宽度相等，且相框边的面积为照片面积的二分之一.求相框边的宽度. 知识点3 围墙问题 6.为全面落实劳动教育，某校在如图所示的两面成直角的围墙角落(两面墙足够长)用篱笆围成矩形花圃 ABCD,且 BC>AB,所用篱笆总长为30 m.设AB= xm. (1)花圃 ABCD 的面积为 m²(用含x的代数式表示). (2)若篱笆围成的矩形 ABCD 的面积为200 m²,现要在花圃 ABCD 的对角线上修一条小道BD(小道宽度忽略不计)，则小道BD的长为 m(结果保留根号). 7.如图，某农场要建一个矩形的养鸡场，养鸡场的一边靠墙(墙足够长)，另三边用木栏围成，木栏长40 m,当AB长为 m时,养鸡场的面积为200 m². 中档题 8.如图，某小区在一块长为16 m，宽为9 m的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的长平行，另外两条和矩形的宽平行，空地剩下的部分种植花草，使得小路占地面积为40 m²，求小路的宽度.设小路的宽度为x m，甲、乙两位同学分别得到如下方程： 甲:(16-2x)(9-x)=16×9-40; 乙： 下列判断正确的是 ( ) A.甲对，乙不对 B.甲不对，乙对 C.甲、乙均对 D.甲、乙均不对 9.如图，将一个体积为 315 cm³的包装盒剪开铺平，则该包装盒平面图中x的值为 10.如图,小程的爸爸用一段 10 m长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长5.5m)的矩形鸭舍，其面积为15 m²，在鸭舍侧面中间位置留一个1m 宽的门(由其他材料制成),则 BC的长为 m. 11. 如图，A是一次函数y=2x-6图象上的一点(点A 在第四象限)，且矩形 ABOC的面积等于4，则点 A的坐标为 12.小明准备进行如下实验操作：如图，把一根长为32 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形. (1)要使这两个正方形的面积之和等于34 cm²，则这两个正方形的边长各是多少? (2)小明认为，这两个正方形的面积之和不可能等于 30 cm².你认为他的说法正确吗?请说明理由. 综合题 13.如图，在矩形ABCD中,AB=5cm ,BC=6 cm,点 P 从点 A 开始,沿边 AB 向终点 B 以1 cm/s的速度移动,点Q 从点 B 开始,沿边 BC 向终点C 以2cm /s的速度移动.如果点 P，Q分别从点A，B同时出发，当点 Q 运动到点C 时，两点停止运动.设运动时间为 ts . (1)填空:BQ= cm,PB= cm(用含 t的代数式表示). (2)当 t为何值时,PQ的长度等于5cm? (3)是否存在t的值，使得五边形 APQCD 的面积等于 26 cm²?若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由. 第 2课时 传播问题与平均变化率问题 基础题 知识点1 传播问题 1.有1人患了流感，第一轮传染了6人，第一轮过后共有 人患了流感；第二轮传染时平均每人也传染了6人，第二轮传染了 人，第二轮过后共有 人患了流感. 2.某村为提高当地“村 BA”总决赛的热度，发起了邀请好友转发海报得门票的活动.小方从公众号转发链接给自己后，又转发给x个好友，收到链接的每个好友又各自转发给x个互不相同的人，此时小方的这条链接共被转发133次，刚好满足领取门票的资格，则可列方程为( ) A.1+x+x=133 C. x(1+x)=133 3.生物学家研究发现，很多植物的生长都有规律，即主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与这些支干同样数目的小分支.若主干、支干和小分支的总数是 43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是( ) A.7 B.6 C.5 D.4 4.某种电脑病毒的传播速度非常快，如果1台电脑被感染，那么经过两轮传播后就会有 100 台电脑被感染.每轮传播中平均1台电脑会感染几台电脑? 知识点2 平均变化率问题 5.为解决群众看病贵的问题，一种药品连续两次降价，平均每次降价的百分率为x.已知这种药品原来每盒的价格是50元，则第一次降价后每盒的价格是 元，第二次降价后每盒的价格是 元.若经过两次降价后这种药品每盒的价格是32元，则可列方程为 . 6.生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响.据统计，2022年全国生活垃圾无害化处理能力约为4亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2024年提升到约4.4亿吨.设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为x，那么根据题意可以列方程为( ) A.4(1+x)=4.4 B.4(1+2x)=4.4 7.石家庄西柏坡作为革命圣地，拥有丰富的历史文化资源.近年来，景区的知名度和吸引力不断提升，吸引了大量游客前来参观和体验.据了解，2024年7月份该景区接待参观人数为10万，9月份接待参观人数增加到12.1万.求这两个月参观人数的月平均增长率. 中档题 8.有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感.设每轮传染中平均一个人传染了x个人，对于甲、乙、丙三人的说法，下列判断正确的是( ) 甲：第1轮后有(x+1)个人患了流感； 乙：第2轮又增加x(x+1)个人患流感； 丙：依题意可列方程 A.甲错，丙对 B.甲对，乙错 C.甲对，丙错 D.乙和丙都对 9.有一只鸡患了某种传染病，如果不控制，那么经过两轮传染后将有 81 只鸡患上该种传染病，按此传播速度，经过三轮传染后共有 只鸡患上该种传染病. 10.某公司今年10月的营业额为 2 500万元，按计划第四季度的总营业额要达到 9 100 万元，求该公司11月、12月营业额的月平均增长率. 11.社区手工活动期间，有1人完成了手工作品并掌握了完整教程，将教程分享给其他人完成第一轮分享；拥有教程的人又各自继续分享给没有教程的人(不重复)完成第二轮分享.两轮分享结束后，拥有这份作品教程的总人数达到了121人. (1)平均每轮每人分享给多少人? (2)第二轮分享后教程热度上涨，每人分享能力增加 20%，则第三轮分享后拥有该作品教程的总人数是多少? 综合题 12.一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪 CP”刷屏社交平台.某商店紧抓商机，以每套 40元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套58元的价格出售.经统计，2026年1月份的销售量为 256 套，2026 年 3 月份的销售量为400套. (1)求该组合套装1月份到 3月份销售量的月平均增长率. (2)从 2026年4月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经尝试，发现该组合套装每套每降价 1元，月销售量就会在3月份销售量的基础上增加20套.当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为4 800元? 第 3课时 循环问题 学科网（北京）股份有限公司 基础题 知识点1 单循环问题 1.问题：“参加一次聚会的每两人都握了1次手，所有人共握手10次，有多少人参加聚会?” 解题方案：设有x人参加聚会.第1个人分别与其他 个人握手，第2个人分别与其他 个人握手……依次类推，共x个人，如此共握手 次，但此时每两人之间都是按握手两次进行计算的.因此，x个人每两人之间握一次手共握了 次，我们就可以得到方程： .像这样解决问题的方法我们不妨称它为“握手解法”. 2.2025 世界人形机器人运动会于8月在国家速滑馆举办，旨在通过各项比赛展示机器人应用技术的多样性和创新性.某高校科研团队为了选拔参加本次运动会自由搏击赛的机器人，采用分组单循环(每两个人形机器人之间都只进行一场比赛)制，每组x个机器人.若每组共需进行15场比赛，则x的值为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 知识点2 双循环问题 3.某中学九(1)班学生毕业时，老师要求每位同学给班上其他同学写一条毕业祝福语，全班共送出祝福语3 192条，问九(1)班共有多少名学生?设九(1)班共有x名学生，则可列方程( ) B. x(x+1)=3 192 C. x(x-1)=3192 D. x(x-1)=3192 4.今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某群内规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的 红包.若此次抢红包活动，群内所有人共收到132个红包，则该群一共有 人. 5.元旦当天，绘画兴趣小组每名同学都与组内其他同学交换一件自制的小礼物，共交换小礼物72件，则绘画兴趣小组有多少名同学? 中档题 6.我们都知道连接凸多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，五边形的对角线有5条. (1)六边形的对角线有 条，七边形的对角线有 条. (2)凸多边形的对角线可以有20条吗?如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由. (3)A同学说：“我求得一个凸多边形的对角线一共有 30条.”你认为 A同学的说法正确吗?为什么? 学科网（北京）股份有限公司 25.3实际问题与一元二次方程 第1课时几何图形问题 1.6,8,10 2.6 3.解:(1)设矩形的长为 xcm,则宽为(28-x) cm.由题意,得x(28-x)=180,解得 当x=10时,28-x=28-10=18;当x=18时,28-x=28-18=10.∴该矩形的长为18 cm,宽为10 cm. (2)不能.理由如下:设矩形的长为n cm,则宽为(28-n) cm.由题意,得n(28-n)=200,整理,得 没有实数根.∴不能围成一个面积为200 cm² 的矩形. 4. C 5.解:设相框边的宽度为 xcm.由题意,得(20+2x)(16+2x)=20×16+ 解得 (不符合题意，舍去)， 答；相框边的宽度为2cm. (2)10 7.10 8 . A 9.3或7 10.5 11.(1,-4)或(2,-2) 12.解：(1)设其中一个正方形的边长为 xcm，则另一个正方形的边长为 根据题意，得 解得 5.∴这两个正方形的边长分别是3cm，5cm. (2)正确，两个正方形的面积之和不可能等于30cm².理由如下：若两个正方形的面积之和为30 cm²,则 整理，得 ∴此方程无实数根.∴两个正方形的面积之和不可能等于30cm². 13.解:(1)2r (5-t) (2)根据题意,得 解得 ∴当t的值为0或2时，PQ的长度等于5cm. (3)存在.理由如下:· 根据题意，得 解得 当t=4时,2t=8>6,故t=4不符合题意,舍去.∴当t=1时,五边形APQCD 的面积等于26 cm². 宽度为2cm. (2)10 7.10 8 . A 9.3或7 10.5 11.(1,-4)或(2,-2) 12.解：(1)设其中一个正方形的边长为 xcm，则另一个正方形的边长为 根据题意，得 解得 5.∴这两个正方形的边长分别是3cm，5cm. (2)正确，两个正方形的面积之和不可能等于30cm².理由如下：若两个正方形的面积之和为30 cm²,则 整理，得 ∴此方程无实数根.∴两个正方形的面积之和不可能等于30cm². 13.解:(1)2r (5-t) (2)根据题意,得 解得 ∴当t的值为0或2时，PQ的长度等于5cm. (3)存在.理由如下:· 根据题意，得 解得 当t=4时,2t=8>6,故t=4不符合题意,舍去.∴当t=1时,五边形APQCD 的面积等于26 cm². 第2课时 传播问题与平均变化率问题 1.7 42 49 2. B 3. B 4.解：设每轮传播中平均1台电脑会感染x台电脑.根据题意，得1+x+(1+x)x=100,解得. (不合题意，舍去).答：每轮传播中平均1台电脑会感染9台电脑. 7.解：设这两个月参观人数的月平均增长率为x.依题意，得 12.1,解得x₁=0.1=10%,x₂=-2.1(不合题意,舍去).答:这两个月参观人数的月平均增长率为10%. 8. C 9.729 10.解：设该公司11月、12月营业额的月平均增长率是x.根据题意，得 解得 x₂=-3.2(不合题意，舍去)，答：该公司11月、12月营业额的月平均增长率是20%. 11.解:(1)设平均每人每轮分享给x人.根据题意,得1+x+x(1+x)=121,解得 (不合题意，舍去).答：平均每人每轮分享给10人.(2)121+121×10×(1+20%)=1573(人).答:第三轮分享后拥有该作品教程的总人数是1573. 12.解：(1)设该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率为x.根据题意，得 解得x₁=0.25=25%,x₂=-2.25(不合题意，舍去).答：该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率为25%.(2)设该组合套装的售价为y元,则月销售量为400+20(58-y)=(1560-20y)套.根据题意,得(y-40)(1560-20y)=4800,解得 (不合题意，舍去).答：当该组合套装的售价为48元时，月销售利润为4 800元. 第3 课时 循环问题 1.(x-1) (x-1) 2. B 3. D 4.12 5.解：设绘画兴趣小组有x名同学.根据题意，得x(x-1)=72，解得 (不合题意，舍去).答：绘画兴趣小组有9名同学. 6.解：(1)914 (2)凸多边形的对角线可以有20条.理由如下：设此多边形的边数为n.根据题意，得 解得 (不合题意，舍去).∴凸多边形的对角线可以有20条，此多边形的边数为8.(3)A同学的说法不正确，理由如下：根据题意，得 解得 负值舍去).∴符合方程 的正整数n不存在，即凸多边形的对角线不可能有30条. $