2-1 有理数的加法与减法 课件 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦有理数加减运算，涵盖加法类型、法则、运算律，减法法则及混合运算。通过“说一说”联系小学加法引入负数情境，结合物体左右运动实例，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以物体运动等生活实例培养数学眼光，通过探究归纳运算律发展推理意识，用温度、收入等问题强化模型意识。如例3将混合运算转化为加法，学生提升运算能力，教师可借助结构化内容高效教学。

有理数加减与减法 模块一： 有理数的加法一 说一说：小学学过的加法运算涉及正数与正数相加、正数与0相加以及0与0相加，引入负数后，在有理数范围内，加法有哪几种情况？ 负数＋负数 正数＋正数 正数＋0 负数＋正数 0＋0 0＋正数 0＋负数 正数＋负数 负数＋0 三种类型： （1）同号两个数相加； （2）异号两个数相加； （3）一个数同 0 相加． 负数＋正数 正数＋正数 正数＋负数 0＋负数 负数＋0 负数＋负数 一个数同 0 相加 小学学习过的： 没有学习过的： 同号两个数相加 异号两个数相加 正数＋0 0＋0 0＋正数 问题：一个物体沿着一条直线左右方向的运动，我们规定向右为正，向左为负。 例如: 将向右运动5 m记作5 m， 向左运动5 m记作－5 m。 思考1：如果物体沿着一条直线先向右运动5m，再向右运动3m，那么两次运动的最后结果是什么？可以用怎样的算式表示？ 两次运动后，物体从起点向右运动了8m。 写成算式就是： 5+3=8 思考2：如果物体沿着一条直线先向左运动5m，再向左运动3m，那么两次运动的最后结果是什么？可以用怎样的算式表示？ 两次运动后，物体从起点向左运动了8m。 写成算式就是： (－5)＋(－3)＝－8 5+3=8 (-5) +（-3）=-8 观察这两个算式，你从上面两个式子中发现了什么？ 符号相同的两个数相加，和的符号不变，且和的绝对值等于加数的绝对值的和。 探究1：如果物体沿着一条直线先向左运动3m，再向右运动5m，那么两次运动的最后结果是什么？可以用怎样的算式表示？ 结果是物体从起点向右运动了2m。 写成算式就是： (－3)+5=2 －3 5 2 探究2：如果物体沿着一条直线先右向运动3m，再向左运动5m，那么两次运动的最后结果是什么？可以用怎样的算式表示？ 结果是物体从起点向左运动了2m。 写成算式就是： 3+(－5)=－2 3 －5 －2 (－3)+5=2 3+(－5)=－2 观察这两个算式，你从上面两个式子中发现了什么？ 绝对值不相等、符号相反的两个数相加，和的符号与绝对值较大的加数的符号相同，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差。 想一想：如果物体第1s向右（或左）运动5m，第2s原地不动，那么2s后物体从起点向右（或左）运动了______ m。 写成算式就是： 5+0=5或（－5)+0=－5) 这个算式表明： 一个数与0相加，结果仍是这个数。 5 从前面六个算式可知，在有理数的加法运算中，既要考虑________，又要考虑________。 符号 绝对值 你能从这些算式中归纳出有理数加法的运算法则吗？ 有理数加法法则 1.同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和。 2.绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差，互为相反数的两个数相加得0。 3.一个数与0相加，仍得这个数。 两个有理数相加，和是一个________。 有理数 例1：计算 (1)(-3)+(-9)； (2)(-8)+0； (3)12+(-8)； (4)(-4.7)+3.9； (5)()+(+ ). 解：(1)(-3)+(-9)=-(3+9)=-12; (2)(-8)+0=-8; (3)12+(-8)=+(12-8)=4； (4)(-4.7)+3.9=-(4.7-3.9)=-0.8； (5) ()+(+ )=0. 在运算过程中，“先定和的符号，再算和的绝对值”，是一种有效的方法。 1．先判断加法的类型（同号、异号）； 3．最后进行绝对值的加减运算． 2．再确定和的符号； 有理数加法的运算步骤： 1.判断对错，并说明理由. (1) 4＋6＝－10( ) (2)(－2)＋(－5)＝7( ) (3) 2＋(－5)＝3( ) (4)(－6)＋4＝－2( ) 2. 填空. (－2)＋(－3)＝______. 5＋(－2)＝_____. (－7)＋2＝______. (－6)＋4＝ ______. × × √ × －5 3 －5 －2 3.计算：(1)15＋(－22)； (2)(－13)＋(－8) (2) (－13)＋(－8) ＝－(13＋ 8) ＝－21 解：(1)15＋(－22) ＝－(22－15) ＝－7 (3)(－0.9)＋1.5； (4). (4) = = 解：(3)(－0.9)＋1.5 ＝1.5－0.9 ＝0.6 4．用算式表示下面的结果： （1）温度由－4 ℃上升7 ℃； （2）收入7元，又支出5元． 解：（1）－4＋7＝3（℃） （2）7＋（－5）＝2（元） 5. 用“＞”、“＝”、“＜”填空 (1)若a＜0，b＜0，则a＋b____0 (2)若a＞0，b＞0，则a＋b____0 (3)若a＜0，b＞0，|a|＞|b|，则a＋b____0 (4)若a＜0，b＞0，|a|＝|b|，则a＋b____0 ＜ ＞ ＜ ＝ 有理数的加法 有理数加法的 运算步骤 有理数加法法则 同号 判断类型 计算绝对值 确定符号 异号 0 模块二： 有理数的加法二 　　问题：在小学学过哪些加法运算律？ 加法交换律 　　两个数相加，交换加数的位置，和不变，即 a＋b＝b＋a． 　　三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，即(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 加法结合律 　　对于有理数的加法，前面学过的加法交换律和加法结合律还成立吗？ 30 -20 ﹢ ( ) ﹦ ( ) -20 ﹢ 30 ﹦ 10 10 探究1：计算 30+(-20)，(-20)+30, 两次所得的和相同吗？换几个加数再试一试。 从上述计算中，你能得出什么结论？ ① (-5)＋(-13) 　(-13)＋(-5) ② (-37)＋16 16＋(-37) …… 有理数加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变． 加法交换律：a+b=b+a 探究1：计算 30+(-20)，(-20)+30, 两次所得的和相同吗？换几个加数再试一试。 从上述计算中，你能得出什么结论？ 探究2：计算 [8+(-5)]+(-4)，8+[(-5)+(-4)], 两次所得的和相同吗？换几个加数再试一试， 从上述计算中，你能得出什么结论？ [8+(-5)]+(-4)=8+[(-5)+(-4)] 加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变． 例1 计算： (1)8+(-6)+(-8)； (2)16+(-25)+24+(-35). 解：(1) 8+(-6)+(-8) =[8+(-8)]+(-6) =0+(-6) =-6 怎样使计算简化的?根据是什么? 运用了加法交换律。 互为相反数的两个数先相加，从而使计算简化. 例2 计算： (1)8+(-6)+(-8)； (2)16+(-25)+24+(-35). 解： (2) 16＋(－25)＋24＋(－35) ＝16 ＋24 ＋[(－25) ＋(－35)] ＝40＋(－60) ＝－20 把正数或负数分别相加，从而使计算简化. 怎样使计算简化的?根据是什么? 既运用了加法交换律，又运用了加法结合律. 解法1：先计算10袋小麦一共多少千克： 50.5+50.5+50.8+49.5+50.6+50.7+49.2+49.4+50.9+50.4=502.5 再计算总计超过多少千克： 502.5-50×10=2.5. 答：10袋小麦一共502.5千克，总计超过2.5千克. 例3：10袋小麦称后记录(单位：kg)如图所示。10袋小麦一共多少千克？如果每袋小麦以50kg为质量标准，10袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克？ 还有其它的解法吗? 解法2：把每袋小麦超过50kg的千克数记作正数，不足的千克数记作负数。10袋小麦对应的数分别为+0.5，+0.5，+0.8，-0.5，+0.6，+0.7，-0.8，-0.6，+0.9，+0.4. 0.5+0.5+0.8+(-0.5)+0.6+0.7+(-0.8)+(-0.6)+0.9+0.4 =[0.5+(-0.5)]+[0.8+(-0.8)]+[0.6+(-0.6)]+(0.5+0.7+0.9+0.4) =2.5. 50×10+2.5=502.5. 答：10袋小麦一共502.5kg，总计超过2.5kg 比较两种解法。解法2中使用了那些运算律？ 例2：10袋小麦称后记录(单位：kg)如图所示。10袋小麦一共多少千克？如果每袋小麦以50kg为质量标准，10袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克？ 1.填空 20＋______＝(－15)＋20， (＋16)＋(－5)＝_____ ＋ (＋16) [10＋_____]＋(－6)＝10＋[(－4)＋(－6)] (－15) (－5) (－4) 2.观察下面的运算过程，并在横线上写出依据. 15＋ (－8) ＋ 5 ＝(－8)＋15＋5 ______________ ＝(－8)＋(15＋5 ) ______________ ＝(－8)＋20 ＝12 加法交换律 加法结合律 3.计算：(－2.48)＋(＋4.33)＋(－7.52)＋(－4.33 ) 解：(－2.48)＋(＋4.33)＋(－7.52)＋(－4.33 ) ＝[(＋4.33)＋(－4.33 )]＋[(－2.48)＋(－7.52)] ＝0＋(－10) ＝－10 有相反数的可先把相反数相加，能凑整的可先凑整，从而使计算简化. 这道题是怎样使计算简化的? 4.计算： 有分母相同的，可把分母相同的数结合相加，从而使计算简化. 这道题是怎样使计算简化的? 解： 原式= [ = = 5.有6筐蔬菜，每筐质量分别为(单位：kg)： 48，52，47，49，53，54. (1)如果以50kg为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，则用正、负数表示这6筐蔬菜的质量分别为(单位：kg)： _____，_____，_____，_____，_____，_____； (2)试用两种不同的方法求出这6筐蔬菜的总质量． 解:(2)方法一:48＋52＋47＋49＋53＋54＝303； 方法二：(－2)＋(＋2)＋(－3)＋(－1)＋(＋3)＋(＋4)＝3 50×6 ＋3 ＝300＋3＝303 答：这6筐蔬菜的总质量是303kg. －2 ＋2 －3 －1 ＋3 ＋4 有理数的加法 利用加法运算律简化运算的方法 有理数加法运算律 加法交换律 相反数结合法 同号结合法 加法结合律 凑整法 同分母结合法 模块三： 有理数的减法一 温度计上显示的温度是_____℃． 3 3 2 1 0 －1 －2 －3 6 ℃ （1）比1 ℃高多少摄氏度？ （2）比－3 ℃高多少摄氏度？ 3－1＝2． 3－(－3)＝ 6． 3－（－3）＝3＋（＋3） 3－（－3）=6 计算：3+（+3） 3+（+3）=6 说一说：从上面的式子能看出减－3相当于加哪个数吗？ 减去－3相当于加上+3 探究：把式子3－(－3)＝3+(+3)中的3分别换成0，-1，-5， 用上面的方法考虑：0-(-3)，(-1)-(-3)，(-5)-(-3). 这些数减-3的结果与它们加+3的结果相同吗？ 换几个数再试一试 0-(-3)=______ 0+(+3)=______ (-1)-(-3) =______ (-1)+(+3) =______ (-5)-(-3) =______ (-5)+(+3) =______ 3 3 2 2 -2 -2 0-(-3)=0+(+3) (-1)-(-3) = (-1)+(+3) (-5)-(-3) = (-5)+(+3) 计算：9-8，9+(-8)，15-7，15+(-7)，从中又有什么新发现？ 9 – 8 = 9 + ( - 8 ) 15 – 7 = 15 + ( - 7 ) 有理数的减法可以转化为加法来进行 “-”变”+” 变相反数 有理数减法法则： a－b＝a＋(－b) 注意：减法在运算时有 2 个要素要发生变化. 减法 加法 减数 相反数 减去一个数，等于加上这个数的相反数． 例1： 计算: (1)(−3)−(−5) ; (2)0−7; (3)2−5; (4)7.2−(−4.8) ; (5) 解：（1）(−3)−(−5) ＝(－3)＋5 =2 （2）0−7 ＝ 0＋(－7) ＝－7 （3）2−5 ＝ 2＋(－5) ＝－3 （4）7.2−(−4.8) ＝7.2＋4.8 ＝12 （5） = 　　0 减去一个数等于这个数的相反数. 　　要进行减法运算，根据减法法则，先把减法变为____, 再根据_________进行运算. 加法 加法法则 思考：在小学，只有当 a 大于或等于 b 时其中a，b是0或正数），我们才能计算 a－b（如2－1，1－1）。现在，当 a 小于 b 时，你能计算a－b（如1－2，(－1)－1）吗？ 一般地，在有理数范围内，较小的数减去较大的数，所得的差的符号是什么？ 小数减大数，差的符号为负。 a-b 较大的数-较小的数=正数，即：若a>b，则a-b>0 较小的数-较大的数=负数，即：若a<b，则a-b<0 相等的两个数的差为0，即：若a=b，则a-b=0 　　这种比较两个数大小的方法叫做作差法． 　　当a－b＜0 时，a＜b． 　　当a－b＝0 时，a＝b； 作差法比较大小 　　利用有理数的减法可以比较两个数的大小，即如果要比较 a与b 的大小，先求 a与b 的差 a－b． 　　当a－b＞0 时，a＞b； 　　例2：如图，陆地上最高处是珠穆朗玛峰的峰顶，最低处位于亚洲西部名为死海的湖，两处高度相差多少米？ 　　＝ 8 848.86＋432 　　＝ 9 280.86（m） 　　解：8 848.86－(－432) 　　答：两处高度相差9 280.86 m． 1.计算1－(－1)的结果是( ) A.2 B.1 C.0 D.－2 2.下列计算正确的是( ) A. 2－(－2)＝0 B. (－3)－3＝0 C. 0－(－1)＝1 D. －7－2＝－5 A C 3.计算： (1)(－2.8)－(＋2.8)； (2) 解：(1)(－2.8)－(＋2.8) ＝(－2.8)＋(－2.8) ＝－5.6 (2) = = 4.甲地高度是海拔－150米，乙地高度是海拔－130米，丙地高度是海拔－105米，则最高的地方比最低的地方高________米． 45 5.有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则( ) A. a＋b＜0 B. a＋b＝0 C. a－b＞0 D. a－b＜0 C 有理数的减法 方法 法则 　　先把减号变为加号，再把减数变为它的相反数，最后按照有理数的加法法则进行运算． 　　减去一个数，等于加这个数的相反数． 实质 作差法比较大小 　　将减法运算转化为加法运算． 模块四： 有理数的减法二 1.有理数加法法则： （1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和。 （2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差，互为相反数的两个数相加得0。 （3）一个数与0相加，仍得这个数。 2.有理数减法法则： 减去一个数，等于加这个数的相反数． 3.说一说有理数的加法运算律？ 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 　　分析：这个算式中有加法，也有减法。可以先根据有理数减法法则，把减法转化为加法，即把这个算式改写为 （－20）＋（＋3）＋（＋5）＋（－7） 再进行有理数的加法运算。 例3：计算（－20）＋（＋3）－（－5）－（＋7） 解：（－20）＋（＋3）－（－5）－（＋7） ＝ （－20）＋（＋3）＋（＋5）＋（－7） ＝ ［（－20）＋（－7）］＋［（＋3）＋（＋5）］ ＝ （－27）＋（＋8） ＝ －19 这里使用了哪些运算律？ 这里，先把减法转化为加法，然后用加法的交换律与结合律，达到简化运算的目的。 例3：计算（－20）＋（＋3）－（－5）－（＋7） 加减混合运算可以统一为加法运算． a＋b－c＝a＋b＋(－c )． (－20)＋(＋3)＋(＋5)＋(－7) 观察算式： 这个算式中是求哪几个数的和？ (－20)＋(＋3)＋(＋5)＋(－7) －20，3，5，－7这四个数的和. 省略括号 和加号 －20 ＋3 ＋5 －7 负20, 正3, 正5, 负7的和 或：负20加3加5减7. 读作： 例3：计算（－20）＋（＋3）－（－5）－（＋7） 解： (－20)＋(＋3)－(－5)－(＋7) ＝－20＋3＋5－7 ＝－20－7＋3＋5 ＝－27 ＋8 ＝－19 例4：计算 （1）14-25+12-17 （2） 解:(1)14-25+12-17 =14+12-25-17 =26-42 =-16. (2)原式＝ ＝ ＝0＋7－2 ＝5 　　（1）将减法转化为_____； 　　（2）省略_____和_____； 　　（3）运用加法_____律和_____律，将同号两数相加； 　　（4）按有理数_____法则进行运算． 加法 括号 加号 交换 结合 加法 　　有理数加减混合运算的运算步骤： 探究：在数轴上，点A，B分别表示数a，b。对于下列各组数a，b： a=2，b=6；a=0，b=6；a=2，b=-6；a=-2，b=-6。 (1)观察点A，B在数轴上的位置，你能得出它们之间的距离吗？ (2)利用有理数的运算，你能用含有a，b的算式表示上述各组点 A，B之间的距离吗？ 一般地，你能发现点A，B之间的距离与数a，b之间的关系吗？ 　　由数轴知： 　　（1）2，6 之间的距离是 4，而 4＝____－____； 　　（2）0，6 之间的距离是 6，而 6＝____－____； 　　（3）2，－6 之间的距离是 8，而 8＝____－ ____； 　　（4）－2，－6 之间的距离是 4，而 4＝____－ ____． －6 0 1 2 3 －1 －2 －3 4 －4 5 6 －5 6 2 6 0 2 (－6) －2 (－6) 　　数轴上两点间的距离： 　　在数轴上，设 A，B 两点表示的数分别为 a，b（a＞b），则点 A，B 之间的距离等于 a－b． 1.把(－3)－(＋2)－(－4)＋(－5)＋(＋6)统一成几个有理数相加的形式，正确的为( ) A.(－3)＋(＋2)＋(－4)＋(－5)＋(＋6) B.(－3)＋(－2)＋(＋4)＋(－5)＋(＋6) C.(＋3)＋(＋2)＋(＋4)＋(＋5)＋(＋6) D.(－3)－(＋2)－(－4)＋(－5)＋(＋6) B 2.将4－(＋6)－(－3)＋(－5)写成省略括号和加号的和的形式为( ) A. 4－6＋3＋5 B. 4＋6－3－5 C. 4－6＋3－5 D. 4－6－3－5 C 解： = = = 3.计算： = = =0 4.计算 解 = = 16+10 = 6 = = = = 5.已知数轴上有A，B两点，且这两点之间的距离为5，若点A表示的数为3，则点B表示的数为________. -2或8 有理数的加减混合运算 运算步骤 法则 将减法转化为加法 交换加数位置 省略括号和加号 a＋b－c＝a＋b＋(－c) 进行运算 $