第七章 证明 单元小测 2026-2027学年北师大版数学 八年级上册

**基本信息** 北师大版八年级上册第七章“证明”单元卷，含知识点总结、测试及解析，覆盖全章5节内容，强化推理规范与证明格式，适配单元复习，培养推理意识与几何直观。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题30分|定义与命题、三线八角、平行线判定|基础概念辨析，如命题判断、基本事实识别| |填空题|6题24分|命题结构、反例、邻补角计算|聚焦易错点，如命题改写、反例作用| |解答题|7题66分|平行线性质与判定、三角形内角和定理、拐点辅助线、反例验证|综合应用推理，如证明“同旁内角互补”，通过代数式反例强化“为什么要证明”，培养逻辑推理与创新意识|

北师大版数学　八年级上册 第七章　证明　单元小测 知识点总结 ＋ 单元测试 ＋ 答案与解析 班级：＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿　学号：＿＿＿＿＿＿　得分：＿＿＿＿＿＿ 【使用说明】本卷依据北师大版数学八年级上册第七章「证明」编写，覆盖第 1 节「为什么要证明」、第 2 节「定义与命题」、第 3 节「平行线的判定」、第 4 节「平行线的性质」、第 5 节「三角形内角和定理」全部内容，不涉及本章以外的知识。 全卷分三部分：第一部分为知识点总结；第二部分为单元小测，满分 分，建议用时 分钟；第三部分为参考答案与解析。 本章的所有推理都要求写出理由，证明题须按「已知、求证、证明」的规范格式书写。 第一部分　知识点总结 知识点 1　为什么要证明 1．观察、实验、归纳得到的结论不一定可靠 （1）眼睛会「骗人」——视觉上看起来相等（或不相等）的量，实际未必如此，必须度量或推理才能确认。 图 7-1　甲、乙两条线段看上去不一样长，量一量却相等 （2）由几个特例归纳出的结论也可能出错。 例如代数式 ，当 取 ，，，， 时结果都是质数，但当 时 不是质数，猜想被推翻了。 2．一个反例就足以否定一个结论 要说明一个结论不正确，只需举出一个满足条件但不满足结论的例子（叫做反例）； 要说明一个结论正确，举多少个例子都不够，必须推理证明。 知识点 2　定义与命题 1．定义　对名称或术语的含义加以描述、作出明确规定的语句，叫做定义。 2．命题　判断一件事情的句子叫做命题。 （1）疑问句、祈使句、单纯的式子都不是命题； （2）判断是否为命题，只看有没有作出判断，与判断的对错无关——假命题也是命题。 3．命题的结构　每个命题都由条件（题设）与结论两部分组成，都可以改写成 「如果」后面是条件，「那么」后面是结论。 4．真命题与假命题 （1）条件成立时结论一定成立的命题，叫做真命题； （2）条件成立时结论不一定成立的命题，叫做假命题。 判断真假的方法很「不对称」：否定只需一个反例，肯定必须严格证明。 5．基本事实（公理）　人们在长期实践中公认为正确、不需要证明的命题。本章用到的基本事实主要有： （1）两点确定一条直线； （2）两点之间线段最短； （3）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； （4）同位角相等，两直线平行； （5）两直线平行，同位角相等； （6）等式与不等式的基本性质。 6．定理　经过证明的真命题叫做定理。定理一经证明，就可以作为以后推理的依据。 7．证明的书写格式 （1）已知：结合图形，用字母写出条件； （2）求证：结合图形，用字母写出结论； （3）证明：一步一步写出推理过程，每一步都要在括号里注明理由。 图 7-2　证明「对顶角相等」： 示例（证明对顶角相等） 已知：如图 7-2，直线 与 相交于点 。 求证：。 证明：∵ 与 互为邻补角（邻补角的定义）， ∴ 。 同理 。 ∴ ，（等式的性质）。 ∴ （等量代换）。 知识点 3　三线八角与平行线的判定 1．三线八角　两条直线 、 被第三条直线 所截，共产生 个角。 图 7-3　直线 、 被直线 所截 （1）同位角（位置相同）： 与 ， 与 ， 与 ， 与 ； （2）内错角（都在内部、分居截线两侧）： 与 ， 与 ； （3）同旁内角（都在内部、同在截线一侧）： 与 ， 与 。 辨认口诀：先看在两条被截直线之间还是外面（内、外），再看在截线的同侧还是两侧（同旁、内错）。 2．平行线的三条判定 （1）同位角相等，两直线平行（基本事实，是本节推理的出发点）； （2）内错角相等，两直线平行（定理）； （3）同旁内角互补，两直线平行（定理）。 图 7-4　判定两直线平行的三条途径 判定定理 1 的证明　已知 ，求证 。 证明：∵ （对顶角相等）， 又 ∵ （已知）， ∴ （等量代换）。 ∴ （同位角相等，两直线平行）。 3．另外两条判定 （1）平行于同一条直线的两条直线互相平行； （2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 知识点 4　平行线的性质 三条性质 （1）两直线平行，同位角相等（基本事实）； （2）两直线平行，内错角相等（定理）； （3）两直线平行，同旁内角互补（定理）。 判定与性质的区别（本章最容易混淆的地方） 已知什么 得到什么 方向 判定 角相等（或互补） 两直线平行 由角定线 性质 两直线平行 角相等（或互补） 由线定角 口诀：由角定线用判定，由线定角用性质。用反了就成了「循环论证」。 常用辅助线——过「拐点」作平行线　遇到折线形（拐点）问题时，过拐点作已知直线的平行线，可以把分散的角联系起来。 图 7-5　， 是拐点，常过 作 知识点 5　三角形内角和定理及其推论 1．三角形内角和定理　三角形三个内角的和等于 。 证明思路：过一个顶点作对边的平行线，利用平行线的性质把三个内角「搬」到同一条直线上，凑成一个平角。 图 7-6　过点 作 证明：过点 作 。 ∵ （作图）， ∴ ，（两直线平行，内错角相等）。 ∵ 、、 三点共线， ∴ （平角的定义）。 ∴ （等量代换）。 2．三角形的外角　三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角。 图 7-7　（即 ）是 的一个外角 3．两条推论 推论 1　三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和： 推论 2　三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角： 推论 1 的证明：∵ （邻补角的定义）， ∴ 。 ∵ （三角形内角和定理）， ∴ 。 ∴ （等量代换）。 4．常用结论 （1）直角三角形的两个锐角互余； （2）三角形中至少有两个锐角； （3）三角形的三个内角中，最大的角不小于 。 知识点 6　易错警示 ① 把判定与性质用反。由角相等推平行用判定，由平行推角相等用性质。 ② 理由写得不完整。要写「同位角相等，两直线平行」，不能只写「平行」或「同位角」。 ③ 找同位角、内错角时没弄清「哪两条直线被哪一条所截」。这是辨认三线八角的第一步。 ④ 同旁内角误认为相等。同旁内角是互补（和为 ），只有都等于 时才相等。 ⑤ 把要证明的结论当作理由。这叫循环论证，是不允许的。 ⑥ 举反例时反例不满足条件。反例必须满足条件但不满足结论，两个要求缺一不可。 ⑦ 认为假命题不是命题。只要作出了判断就是命题，与真假无关。 ⑧ 作辅助线时不说明作法。必须写清「过点 作 」，并用虚线画出。 ⑨ 外角推论中把「不相邻」漏掉。外角等于与它不相邻的两个内角之和。 ⑩ 角度计算漏写单位「」。 第二部分　单元小测（满分 分，时间 分钟） 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1． 下列语句中，属于命题的是（　　） A．画一条线段　　B． 是质数吗　　C．两点确定一条直线　　D． 2． 下列命题中，是假命题的是（　　） A．对顶角相等　　　　　　　B．两点之间线段最短 C．相等的两个角是对顶角　　D．同角的补角相等 3． 下列命题中，属于基本事实的是（　　） A．对顶角相等　　　　　　　　B．两点确定一条直线 C．同角的补角相等　　　　　　D．三角形的内角和是 4． 如图，直线 、 被直线 所截，则 与 是（　　） 第 4～5 题图 A．同位角　　B．内错角　　C．同旁内角　　D．邻补角 5． 上图中，能判定 的条件是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 6． 「两直线平行，同旁内角互补」这句话是（　　） A．定义　　B．基本事实　　C．定理　　D．假命题 7． 若两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角中的一个角是 ，则另一个角是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 8． 在 中，，，则 的度数是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 9． 如图， 是 的一个外角。若 ，，则 的度数是（　　） 第 9 题图 A．　　B．　　C．　　D． 10． 要说明命题「任何两个奇数的和都是奇数」是错误的，下列反例合适的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11． 判断一件事情的句子叫做＿＿＿＿；经过证明的真命题叫做＿＿＿＿。 12． 把命题「两直线平行，内错角相等」改写成「如果……那么……」的形式：如果＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，那么＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 13． 要说明一个命题是假命题，只需举出一个＿＿＿＿。 14． 若 与 互为邻补角，且 ，则 ＿＿＿＿。 15． 在 中，若 ，则 ＿＿＿＿。 16． 证明「内错角相等，两直线平行」时，先由＿＿＿＿角相等把内错角转化为同位角，再用基本事实「＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿」得出结论。 三、解答题（本题共 7 小题，共 66 分） 17．（8 分）指出下列语句中哪些是命题，哪些不是命题；对于是命题的，判断它的真假。 （1）两条直线相交只有一个交点； （2）作 的平分线； （3）如果 ，那么 ； （4） 与 的和是多少？ （5）相等的两个角是直角。 18．（10 分）如图，直线 与 相交于点 ，射线 平分 。 第 18 题图 （1）若 ，求 的度数； （2）求 的度数，并说明理由； （3）若 ，求 的度数。 19．（10 分）完成下面证明「同旁内角互补，两直线平行」的过程。 已知：如图，直线 、 被直线 所截，。 第 19 题图 求证：。 证明：∵ （＿＿＿＿＿＿＿＿）， ∴ 。 ∵ （已知）， ∴ ＿＿＿＿＿＿。 ∴ （＿＿＿＿＿＿）。 ∴ （＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿）。 20．（10 分）如图，，、 在 上，、 在 上。 第 20 题图 （1） 与 是什么角？它们有什么关系？为什么？ （2）若 ，求 的度数； （3）求 的度数； （4）若还知道 ，判断 与 的位置关系，并说明理由。 21．（10 分）如图，， 在 上， 在 上， 是折线 的拐点。 第 21 题图 （1）过点 作 ，说明 ； （2）求证：； （3）若 ，，求 的度数。 22．（10 分）利用平行线的性质证明三角形内角和定理，并解决相关计算。 第 22 题图 已知：如图，。 求证：。 （1）写出证明过程（提示：过点 作 ，每一步注明理由）； （2）若 ，，求 的度数； （3）在 中，若 比 大 ，，求 与 的度数。 23．（8 分）阅读并解答。 小明发现：当 取 ，，， 时，代数式 的值分别是 ，，，，它们都是质数。于是他猜想：对于任意的自然数 ， 的值都是质数。 （1）分别求出 、 时 的值，它们是质数吗？ （2）求 时 的值，并把它写成两个相同因数的乘积； （3）小明的猜想正确吗？请说明理由； （4）这个例子对你理解「为什么要证明」有什么启发？ 第三部分　参考答案与解析 一、选择题 1．C 【解析】命题必须对一件事情作出判断。 A 是祈使句，只提出作图要求；B 是疑问句，只是提出问题；D 只是一个式子，都没有作出判断； C 对「两点」与「直线」的关系作出了判断，是命题。 2．C 【解析】相等的两个角不一定是对顶角。 反例：角平分线把一个角分成的两个角相等，但它们不是对顶角。所以 C 是假命题。 A、B、D 都是真命题。 3．B 【解析】基本事实是公认为正确、不需要证明的命题。 「两点确定一条直线」正是这样的基本事实； 而 A、C、D 都是经过证明得到的定理。 4．B 【解析】 与 都在两条被截直线 、 之间（内部），且分别在截线 的两侧，所以是内错角。 5．B 【解析】 是一组内错角相等，由「内错角相等，两直线平行」可判定 。 A、C 中的两个角都在同一个交点处，D 中的两个角也在同一个交点处，它们的相等与两直线是否平行无关。 【方法总结】能判定两直线平行的角，必须是分别在两个交点处的一对角。 6．C 【解析】它是由基本事实「两直线平行，同位角相等」经过证明得到的真命题，所以是定理。 7．A 【解析】两直线平行，同旁内角互补，所以另一个角为 【易错点】选项 C 误认为同旁内角相等。同旁内角是互补关系。 8．B 【解析】由三角形内角和定理得 9．C 【解析】由三角形外角的推论 1，一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，所以 也可以先求 ：，再由邻补角得 。 10．B 【解析】反例必须满足条件而不满足结论。 条件是「两个奇数」，结论是「和是奇数」。 B 中 与 都是奇数（满足条件），而 是偶数（不满足结论），所以 B 是合适的反例。 A、C、D 中都含有偶数，不满足「两个奇数」这一条件，不能作为反例。 二、填空题 11． 命题；　定理 12． 两条直线平行（被第三条直线所截）；　内错角相等 【解析】改写时要把省略的条件补充完整，「如果」后面写条件，「那么」后面写结论。 13． 反例 14． 【解析】邻补角的和是 ，所以 15． 【解析】设 ，则 ，。由三角形内角和定理得 合并得 ，所以 ，因此 16． 对顶；　同位角相等，两直线平行 【解析】证明思路是：由对顶角相等把内错角转化成同位角，再用基本事实得出两直线平行。 三、解答题 17．（8 分） 是命题的：（1）（3）（5）。 不是命题的：（2）（4）。 理由：（2）是祈使句，只提出一个作图要求，没有作出判断； （4）是疑问句，只是提出问题，也没有作出判断。 真假判断： （1）真命题。两条不同的直线相交时，交点有且只有一个。 （3）真命题。若 ，则两边同时平方仍相等，即 。 （5）假命题。反例：，两个角相等，但都不是直角。 【方法总结】判断是不是命题，只看有没有作出判断，与判断的对错无关——（5）虽然是错的，但它仍然是命题。 18．（10 分） （1）∵ 平分 （已知）， ∴ （角平分线的定义）。 ∴ 。 （2）。 理由：∵ 直线 与 相交于点 ， ∴ 与 是对顶角。 ∴ （对顶角相等）。 （3）∵ ，且 （角平分线的定义）， ∴ 。 ∵ 与 互为邻补角， ∴ 。 19．（10 分） 证明：∵ （邻补角的定义）， ∴ 。 ∵ （已知）， ∴ 。 ∴ （等量代换）。 ∴ （同位角相等，两直线平行）。 【方法总结】平行线的两条判定定理，证明思路完全一样：先把内错角或同旁内角的条件转化成同位角相等，再用基本事实收尾。 20．（10 分） （1） 与 是直线 、 被截线 所截得到的内错角，它们相等。 理由：∵ （已知）， ∴ （两直线平行，内错角相等）。 （2）由（1）得 （3）∵ 与 （即 ）互为邻补角， ∴ 。 （也可以这样想： 与 是同旁内角，由「两直线平行，同旁内角互补」直接得 。） （4）。 理由：∵ 与 是直线 、 被直线 所截得到的同位角， 又 ∵ （已知）， ∴ （同位角相等，两直线平行）。 【方法总结】本题前三问由「线」推「角」，用的是性质；第（4）问由「角」推「线」，用的是判定。一道题里两个方向都用到，正是本章的重点。 21．（10 分） （1）过点 作 。 ∵ （已知），（作图）， ∴ （平行于同一条直线的两条直线互相平行）。 第 21 题答案图（虚线 为辅助线） （2）证明：∵ （作图）， ∴ （两直线平行，内错角相等）。 ∵ （已证）， ∴ （两直线平行，内错角相等）。 ∵ （角的和）， ∴ （等量代换）。 （3）由（2）得 【方法总结】「拐点」问题的通法：过拐点作平行线，把一个大角拆成两个小角，再分别用平行线的性质把它们「转移」到已知角上。 22．（10 分） （1）证明：过点 作 （如图中虚线）。 ∵ （作图）， ∴ （两直线平行，内错角相等）。 同理 （两直线平行，内错角相等）。 ∵ 、、 三点共线， ∴ （平角的定义）。 ∴ （等量代换）。 即三角形三个内角的和等于 。 （2）由三角形内角和定理得 （3）由三角形内角和定理得 又因为 比 大 ，所以 两式相加得 再代入 ，得 所以 ，。 【方法总结】已知两角的和与差求这两个角，把两式相加可直接消去一个角，这与第五章解二元一次方程组的加减消元法是同一个思路。 23．（8 分） （1）当 时， 是质数。 当 时， 也是质数。 （2）当 时， 而 （3）小明的猜想不正确。 理由：当 时，，它除了 和它本身以外还有因数 ，所以不是质数。 这个例子就是小明猜想的一个反例，一个反例就足以说明猜想是错误的。 （4）启发： 由观察、计算几个特例归纳出的结论只能叫做猜想，即使前面验证了很多次都成立，也不能保证对所有情况都成立——本题中前 个数（ 从 到 ）都符合，第 个就「失灵」了。 因此，要否定一个结论，只需举出一个反例；要肯定一个结论，必须进行严格的推理证明。这正是我们「为什么要证明」的原因。 【学后反思】本章可以概括为「从猜想到证明」的完整链条： ① 为什么要证明——观察会骗人、归纳会失灵，只有推理才能确认； ② 用什么来证明——基本事实是起点，定理是台阶，每一步都要讲得出理由； ③ 怎样写证明——「已知、求证、证明」三段式，括号里注明依据； ④ 证明什么——本章的核心成果是平行线的三条判定、三条性质，以及三角形内角和定理与外角的两条推论。 记住两句口诀：由角定线用判定，由线定角用性质；遇到拐点就作平行线。 1 学科网（北京）股份有限公司 $