第七章 证明 单元测试2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册第七章“证明”单元测试，以命题、公理、平行线、轴对称等知识为核心，融入世界杯积分、密码破译等真实情境，通过基础辨析与综合探究，培养逻辑推理与几何直观素养，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|命题结构、公理判断、反例应用|结合世界杯小组赛积分（第5题）考查推理能力| |填空题|5题|平行线判定、反例构造|以密码破译（第15题）渗透逻辑分析| |解答题|5题|命题证明、几何综合|盘山公路模型（第19题）与轴对称探究（第20题）体现知识整合应用|

第七章 证明 单元测试2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．命题“同位角相等，两直线平行”的题设是（   ） A．两直线平行 B．同位角相等 C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行 2．下列命题不是公理的是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．同角的补角相等 D．同位角相等，两直线平行 3．举反例证明“两个锐角的和一定是钝角”是假命题，正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 4．已知命题A∶“任何等腰三角形的底边的长度都比腰的长度长”，下列三边长度可以作为证明“命题A是假命题”的反例的是(    ) A．3，4，5 B．8，6，6 C．6，6，12 D．6，8，8 5．卡塔尔世界杯已经结束，阿根廷捧得大力神杯！我们知道，世界杯小组赛分成8个小组，每小组4个队，小组内进行单循环赛（两支球队间只比赛一场），已知胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，小组赛结束后，积分前两名（相同积分比较净胜球）进入16强． 下表是世界杯E组积分表： 排名 球队 积分 1 日本 6 2 西班牙 4 3 德国 4 4 哥斯达黎加 ？ 如果本小组比赛中只有一场战平，根据此表，可以推断哥斯达黎加的积分是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知直线，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 8．如图，，下列结论正确的是（　　） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． A．①② B．②④ C．②③④ D．② 9．如图，，．若点，，，在同一条直线上，则添加下列条件仍不能判定的是（　　） A． B． C． D． 10．如图，直尺和三角板摆放在课桌面上，直尺的边缘，三角板中角的顶点在上，直角顶点在上，三角板与直尺边缘形成的，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．设，，为同一平面内三条不同直线，若，，则与的位置关系是___． 12．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举一个反例，反例中的的值可以是__________． 13．如图，直线、被直线所截，交点分别为点F、D，添加一个条件，使得，你添加的是________．（添加一个即可） 14．如图，图1是一个花盆支架，图2为其正面结构示意图，底座为，支撑杆于点，平台边框和均与支架垂直，经测量得，，则与的位置关系是______________________． 15．破译密码：根据下面五个已知条件，可推断出正确的密码是______．    6 2 8 只有一个号码正确且位置正确 6 1 9 只有一个号码正确但位置不正确 8 7 6 只有两个号码正确但位置都不正确 5 3 2 三个号码都不正确 2 5 7 只有一个号码正确但位置不正确 三、解答题 16．如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题： ①；②；③． 从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由． 17．完成下面证明． 如图，三角形，，为上一点，，，点、分别在、上，且． 求证：． 证明：，， _________．（依据：___________） ， _________°． ， _________． ．（依据：_______________） 18．某次数学竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在A、B、C三个选项中，只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分： 第一题 第二题 第三题 第四题 第五题 得分 甲 C C A B B 4 乙 C C B B C 3 丙 B C C B B 2 丁 B C C B A (1)则丁同学的得分是 ； (2)如果有一个同学得了1分，他的答案可能是 （写出一种即可） 19．问题情境：“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与山外的世界．图为河南鹤壁市淇县的一段盘山公路，数学活动课上，老师把山路抽象成数学模型，并提出了以下问题： (1)如图，，，，求的度数； (2)如图改为图，其中，，，，求的度数； (3)如图，，试问，，，，，，的关系是什么？请直接写出你的结论． 20．综合与探究： 问题情境：数学课上，同学们利用所学的平行线、三角形及轴对称的知识，探索图形变化中的数学问题．已知中，，点P是边的中点，点D是射线上的一个动点，过点D作直线，点P关于直线l的对称点为点Q．    特例分析：（1）如图1，当直线l经过点A时，点Q恰好落在边上，连接，交直线l于点O．猜想此时与的位置关系，并说明理由； 拓展探究：（2）如图2，当直线l与线段交于点E（不与A，P重合）时，点Q落在内部，连接并延长交线段于点G，连接并延长，交直线l于点O，交线段于点F，连接．猜想此时与的数量关系，并说明理由； （3）若直线l与线段的延长线交于点E，连接并延长交射线于点G，连接交线段于点F．请借助备用图探究线段之间的数量关系（直接写出结论即可）． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B D D A A B D A 1．【答案】B 【知识点】写出命题的题设与结论 【分析】本题考查命题的组成，命题由题设和结论两部分构成，题设是命题中的已知条件，结论是由已知条件推出的结果，掌握命题题设与结论的区分方法是解题关键． 【详解】解：命题“同位角相等，两直线平行”可改写为“如果同位角相等，那么两直线平行”． ∴该命题的题设是“同位角相等”． 2．【答案】C 【知识点】定理与证明 【分析】本题考查公理与定理的区分．公理是不需要证明的基本命题，而定理是通过公理推导出的命题，据此可得答案． 【详解】解：A、B、D三个选项中的命题都是公理， C选项中的命题需要证明，即该命题不是公理， 如则， 故选：C． 3．【答案】B 【知识点】举例说明假（真）命题 【分析】要证明“两个锐角的和一定是钝角”是假命题，反例需满足两个条件，即两个角都是锐角，且它们的和不是钝角，计算各选项后即可判断． 【详解】解：选项A：，和为钝角，不符合要求； 选项B：，，均为锐角，，和为锐角，不是钝角，满足反例要求； 选项C：，和为钝角，不符合要求； 选项D：是直角，不是锐角，不满足“两个锐角”的前提，不符合要求； 选B． 4．【答案】D 【知识点】举反例 【分析】本题考查举反例证明假命题，要证明命题A是假命题，需找到一个能构成等腰三角形且底边长度不大于腰长的三边组合，同时满足三角形三边关系，据此进行判断即可． 【详解】解∶A、不是等腰三角形，不能作为证明“命题A是假命题”的反例，不符合题意； B、满足命题A，不能作为证明“命题A是假命题”的反例，不符合题意； C、，不能组成三角形，不能作为证明“命题A是假命题”的反例，不符合题意； D、是等腰三角形，且底边长度小于腰长，可以作为证明“命题A是假命题”的反例，符合题意； 故选D． 5．【答案】D 【知识点】以代数为背景的推理与论证 【分析】根据题意可得小组内每个队进行3场比赛，一共进行了场，再由表格可得日本队，西班牙队，德国队的胜负情况，即可求解． 【详解】解：根据题意得：小组内每个队进行3场比赛，一共进行了场， ∵日本队得6分， ∴日本队胜2场，负1场， ∵西班牙队得4分， ∴西班牙队胜1场，平1场，负1场， ∵德国队得4分， ∴德国队胜1场，平1场，负1场， ∴哥斯达黎加队可以是胜1场，负2场，也可以是平2场，负1场， ∵本小组比赛中只有一场战平，那就是西班牙队和德国队战平， ∴斯达黎加队胜1场，负2场， ∴哥斯达黎加的积分是3分． 故选：D 【点睛】本题主要考查了逻辑推理，明确题意，准确得到日本队，西班牙队，德国队的胜负情况是解题的关键． 6．【答案】A 【知识点】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的性质即可判断B、C选项，再根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可判断选项D． 【详解】解：由轴对称图形的性质得到，， ∴， ∴B、C、D选项不符合题意， 故选：A． 7．【答案】A 【知识点】两直线平行同位角相等、根据平行线的性质求角的度数 【分析】根据两直线平行，同位角相等，得到，因为，得到的度数，进而得到的度数． 【详解】解：如图，设的邻补角为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：． 8．【答案】B 【知识点】同旁内角互补两直线平行、对顶角相等、同位角相等两直线平行 【分析】根据平行线的判定定理，即可一一判定． 【详解】解：由，不能判定， 故①不符合题意； ，， ， ， 故②符合题意； 由，，不能判定， 故③不符合题意； ，， ， ， 故④符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握和运用平行线的判定定理是解决本题的关键． 9．【答案】D 【知识点】内错角相等两直线平行、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合），平行线的性质，先整理得，，再结合每个选项进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， A、∵，，，∴，故该选项不符合题意； B、∵，，，∴，故该选项不符合题意； C、∵，∴，∵，，∴，故该选项不符合题意； D、∵，，，∴不能证明，故该选项符合题意； 故选：D 10．【答案】A 【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线的性质求角的度数 【分析】此题主要考查了平行线的性质，平行公理推论，过点作，且点在点的右侧，则，进而得，，由此得，再根据，即可得出的度数，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． 【详解】解：过点作，且点在点的右侧，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 11．【答案】 【知识点】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，解题时利用了：在同一平面内，两条直线都与同一条直线垂直，则这两直线平行．根据在同一平面内，两条直线都与同一条直线垂直，则这两直线平行作答． 【详解】解：在同一平面内，，， ∴， 即与的位置关系是平行， 故答案为：． 12．【答案】（答案不唯一） 【知识点】举反例 【分析】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．反例中的满足，使，据此求解即可． 【详解】解：当时，满足，但， 所以判断命题“如果，那么”是假命题，举出． 故答案为：（答案不唯一）． 13．【答案】（答案不唯一，正确即可） 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法即可求解． 【详解】解：添加的条件，根据“同旁内角互补，两直线平行”可得． 故答案为：（答案不唯一） 14．【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】根据垂直于同一条直线的两条直线平行证明，利用平行线的性质求出的度数，再结合已知的度数，利用内错角相等判定． 【详解】解：，平台边框和均与支架垂直， ， ， ， ， ， ， ． 15．【答案】798 【知识点】以代数为背景的推理与论证 【分析】先判断出密码中必有数字7且在百位上，再判断出密码中必有式子8且在个位上，最后判断出密码中必有9，即可得出结论． 【详解】解：密码532，三个号码都不正确， 密码中没有数字：2，3，5， 密码257只有一个号码正确但位置不正确， 密码中必有数字7，并且不能在个位， 密码876只有两个号码正确，但位置都不正确， 密码7不能在十位，密码中8，6只有一个正确， 密码中的7只能在百位， 密码628中只有一个号码正确且位置正确， 密码中必有数字8，且在个位， 密码619中只有一个号码正确当位置不正确， 密码中只有数字9，且在十位， 正确的密码为798， 故答案为：798． 【点睛】此题是推理与论证题目，判断出密码中必有数字7且在百位上是解本题的关键． 16．【答案】 可以构造出3个命题，分别为：①②⇒③；②③⇒①；①③⇒②．以上3个命题都是真命题， ①②⇒③， ， ， ， ， ， ； ②③⇒①， ， ， ， ， ， ； ①③⇒②， ， ， ， ， ， ． 【知识点】根据给出的论断组命题并证明 【分析】本题考查命题的证明，根据命题的定义，选择条件和结论，根据平行线的判定和性质，进行证明即可． 【详解】略 17．【答案】证明：，， ．（两直线平行，内错角相等） ， ． ， ． ．（同位角相等，两直线平行） 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】根据平行线的性质得出，利用角的和差关系求出，即可得出，根据平行线的判定定理即可得出答案． 【详解】略 18．【答案】(1)3 (2)（答案不唯一） 【知识点】判断命题真假、逻辑推理与论证 【分析】（1）分甲从第1题到第5题依次错一道，进而得出其余四道的正确选项，再根据乙，丙的选项和得分判断，进而得出甲具体选错的题号，即可得出结论； （2）由（1）先得出五道题的正确选项，然后留一个正确，其他都错误即可得出结论． 【详解】（1）解：当甲选错了第1题，那么，其余四道全对， 针对于乙来看，第1，3，5道错了，做对两道，此时，得分为2，而乙得分3，所以，此种情况不符合题意， 当甲选错了第2题，那么其余四道全对， 针对于乙来看，第2，3，5道错了，做对2道，此时，得分为2分，而乙得分3分，所以，此种情况不符合题意， 当甲选错第3题时，那么其余四道都对， 针对于乙来看，第5道错了，而乙的得分是3分，所以，乙只能做对3道，即：第3题乙也选错，即：第3题的选项C正确， 针对于丙来看，第1，5题错了，做对3道，此时，丙的得分为3分，而丙的得分为2分，所以，此种情况不符合题意， 当甲选错第4题，那么其余四道都对， 针对于乙来看，第3，4，5道错了，做对了2道，此时，得分2分，而乙的得分为3分，所以，此种情况不符合题意， 当甲选错第5题，那么其余四道都对， 针对于乙来看，第3道错了，而乙的得分为3分，所以，乙只能做对3道，所以，乙第5题也错了，所以，第5题的选项A是正确的， 针对于丙来看，第1，3，5题错了，做对了2道，得分2分， 针对于丁来看，第3，5题错了，做对了3道，得分3分， 故答案为：3； （2）解：由（1）知，五道题的正确选项分别是：， 如果有一个同学得了1分，那么，只选对1道， 即：他的答案可能是或或或等， 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】此题是推理论证题目，确定出五道题目的正确选项是解本题的关键． 19．【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】平行公理的应用、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查的知识点是平行于同一条直线的两直线互相平行、平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质． （1）作交于点，可推得，再根据两直线平行，内错角相等、两直线平行，同旁内角互补即可求出； （2）作交于点，作交于点，推得后，再根据两直线平行，内错角相等、两直线平行，同旁内角互补即可得出； （3）作交于点，作交于点，作交于点，作交于点，作交于点，推得后，根据两直线平行，内错角相等即可得到各角之间的关系． 【详解】（1）解：作交于点， ， ， ，， ， ∴． （2）解：作交于点，作交于点， ， ， ，，， 又，，， ，， ， ． （3）解：作交于点，作交于点， 作交于点，作交于点， 作交于点， ， ，，， ，，， 又，，， ，， ， ， ， ， ， ， 即． 20．【答案】 （1），理由如下： 由轴对称的性质可得， ∵直线，即， ∴； （2），理由如下： 同理可证明， ∴，， 如图所示，过点A作于H， ∴， ∵， ∴， ∴； 由轴对称的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴；    （3）如图所示，当点D在线段上时，    同理可证明，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 如图所示，当点D在线段的延长上时，    同理可证明，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，或． 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、全等三角形综合问题、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，轴对称图形的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）由轴对称的性质可得，再由可得； （2）同理可证明，则，；过点A作于H，证明，得到；由轴对称的性质可得，则可证明，再证明，可得； （3）分点D在线段上和点D在线段的延长上两种情况， 通过证明，得到，再根据线段的和差关系可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $